Kunjaya AS-ITB

Dasar-dasar Mekanika Benda Langit

Oleh:

Chatief Kunjaya

Departemen Astronomi ITB

Kunjaya AS-ITB

Skalar dan Vektor

• Besaran skalar adalah besaran yang mempunyai nilai saja tidak mempunyai arah

• Contoh : massa, tekanan, waktu dll• Besaran vektor adalah besaran yang

memiliki nilai dan arah• Contoh : kecepatan, momentum, gaya dllPerkalian skalar dg skalar hasilnya skalarPerkalian skalar dg vektor hasilnya vektor yang

arahnya sama dengan vektor yang dikalikan

Kunjaya AS-ITB

Vektor

Dapat digambarkan sebagai anak panah, arah panah menggambarkan arah vektor dan panjang panah menggambarkan besar/nilai vektor

A

Biasanya di dalam buku text, simbol besaran skalar ditulis dalam huruf miring, sedangkan vektor ditulis dalam huruf tegak dan tebal, contoh : A, atau diberi tanda panah diatasnya, contoh : A

Besar/nilai vektor : |A|

Kunjaya AS-ITB

Operasi Vektor

Menjumlahkan dua vektor:

A

BC

CBA =+

αcos22

BABAC ++=

α

α=sudut antara vektor A dan B

Kunjaya AS-ITB

Operasi Vektor

Perkalian titik dua vektor hasilnya skalarJika A · B = DD=|A||B|cos α ; α=sudut antara A dan B

Perkalian silang dua vektor hasilnya vektorJika A × B = E|E|=|A||B|sin αE tegak lurus terhadap A dan juga BJika A dan B ada di suatu bidang datar γ maka E

tegak lurus terhadap bidang γJika A ke Timur dan B ke Utara, maka E ke atas

Kunjaya AS-ITB

Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0)

Dalam koordinat kartesius : x2+y2=r2

r

y

x

Dalam koordinat polar : r = konstan

Kunjaya AS-ITB

Gerak Melingkar Beraturan

• Definisi : benda bergerak dengan lintasan berbentuk lingkaran dengan laju yang tetap

• Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh satu keliling disebut periode (T)

• Bagian lingkaran yang ditempuh dalam satu satuan waktu disebut frekuensi (f)

• Kecepatan sudut (ω)adalah besarnya sudut yang ditempuh dalam satu satuan waktu

T

πω 2=

Kunjaya AS-ITB

Gerak Melingkar Beraturan

Laju adalah jarak yang ditempuh dibagi waktu. Dalam waktu T jarak yang ditempuh benda adalah 2πr, maka

T

rv

π2=Sehingga : v = ωr

Meskipun lajunya konstan, benda yang bergerak melingkar beraturan mengalami percepatan yang arahnya selalu ke pusatlingkaran. Percepatan itu disebut percepatan sentripetal.Gaya yang menyebabkan percepatan itu disebut gaya sentripetal

r

vra

22

cp == ωr

vmrmF

22

cp == ω

Kunjaya AS-ITB

Elips

Persamaan elips yang berpusat di (0,0), panjang setengah sumbu dalam arah x adalah a dan panjang setengah sumbu dalam arah y adalah b

y

x

b

a

r1

r2

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Untuk semua titik pada elipsberlaku : r1+r2=2a

f f

a disebut semimajor axisb disebut semiminor axis

f adalah titik fokus elips

c

Kunjaya AS-ITB

Eksentrisitas elips

Eksentrisitas e merupakan ukuran kelonjongan elips dan didefinisikan sebagai:

2

2

1a

be −=

0 < e < 1 → elips e = 0 → lingkarane = 1 → garis lurus/parabola

Hubungan lainc = aeb2 = a2(1-e2)Bilamana dihasilkan garis lurus?

Bilamana dihasilkan parabola ?

Kunjaya AS-ITB

Elips Dalam Koordinat Kutub

ca

rθ

x = c + r cos θy = r sin θc=aeb2=a2(1-e2)

Masukkan persamaan diatas ke dalam persamaan umum elips

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Kunjaya AS-ITB

Elips Dalam Koordinat KutubHasilnya adalah persamaan elips dalam koordinat

kutub :

ca

rθ θcos1

)1( 2

e

ear

+−=

Buktikan!

Kunjaya AS-ITB

Hukum Newton Tentang Gerak I

Jika jumlah gaya yang bekerja pada sebuah benda adalah nol, maka benda akan diam atau bergerak lurus dengan kecepatan tetap

Disebut juga dengan hukum kelembaman (inertia)

Pengetahuan akan hukum ini menyadarkan manusia bahwa meskipun planet-planet sangat jauh, manusia bisa mengirimkan pesawat ke planet-planet lain. Bagaimana caranya?

Kunjaya AS-ITB

Hukum Newton Tentang Gerak II

Jika jumlah gaya yang bekerja pada sebuah benda tidak nol, maka benda akan mengalami percepatan yang besarnya sebanding dengan resultan gaya-gaya yang diterima benda itu

F = ma

Jika F berubah-ubah, a juga berubah ubah

Antara planet dan matahari ada gaya yaitu gaya gravitasi, maka percepatan yang dialami planet ditentukan oleh gaya gravitasi itu

Kunjaya AS-ITB

Hukum Newton Tentang Gravitasi

Pada dua benda akan terjadi gaya tarik menarik yang berbanding lurus dengan massa masing-masing benda, dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua benda.

221

r

mmGF =

m1 m2F F

r

Kunjaya AS-ITB

Momentum

Momentum didefinisikan sebagai perkalian antara massa dan kecepatan.

Jika m adalah massa (skalar), v adalah kecepatan (vektor) maka, momentum p (vektor) adalah :

vp m=Hukum Newton tentang gerak yang pertama pada hakekatnya adalah hukum Kekekalan MomentumMomentum sebuah benda akan berubah kalau pada benda itu bekerja gaya-gaya yang resultannya tidak nol

Kunjaya AS-ITB

Momentum Sudut

• Momentum sudut, secara matematis adalah perkalian silang (cross product) antara vektor posisi dan vektor momentum

prL ×=r

p

Di dalam gerak melingkar, momentum sudut memberikan gambaran tentang kekuatan gerakan melingkar tersebutMomentum sudut suatu benda dapat berubah kalau padanya bekerja suatu torka/momen gaya

Arah L menuju pengamat

Kunjaya AS-ITB

Hukum Kepler IPlanet-planet mengelilingi matahari dalam orbit

elips, matahari di salah satu titik apinya• Penyebab planet mengelilingi matahari adalah

gravitasi antara matahari dan planet.• Antara planet dan matahari berlaku hukum Newton

tentang gravitasi. Bagaimana gerak planet kalau tidak ada gravitasi ?

• Pada prinsipnya hukum Kepler I itu dapat diturunkan dari hukum Newton tentang gerak dan tentang gravitasi, tetapi untuk itu dibutuhkan pengetahuan kalkulus

Kunjaya AS-ITB

Kunjaya AS-ITB

Hukum Kepler II

Hukum kekekalan momentum sudut berlaku untuk planet yang mengelilingi matahari, karena tidak ada torka luar.

L=konstanr×p=konstanmvr sin α = konstan

Karena massa planet m tidak berubah, makavr sin α = konstan

Ini adalah dua kali luas daerah yang disapu oleh garis hubung matahari-planet tiap satuan waktu,

Kunjaya AS-ITB

Hukum Kepler II

Luas daerah yang disapu oleh garis hubung matahari-planet tiap satuan waktu adalah konstan

Untuk orbit berbentuk lingkaran :sin α = 1, luas daerah yang disapu adalah vr, buktikan!

θr v Untuk orbit elips,

pembuktiannya membutuhkankalkulus

Kunjaya AS-ITB

Hukum Kepler III

Perbandingan jarak planet dari matahari pangkat tiga dan kuadrat periode orbitnya konstan

Hukum ini mudah dibuktikan untuk kasus orbit planet berbentuk lingkaran

Gaya sentripetal pada gerak planet adalah gaya gravitasi

Fcp=Fg

Kunjaya AS-ITB

Hukum Kepler III

2

mhpl2pl r

mmGrm =ω

Dapat diperoleh :

konstan2

3

=T

r

Apakah hukum ini juga berlaku untuk orbit elips ?