TUGAS

BARISAN DAN DERET

DISUSUN OLEH :

Cindra Chatami

SMA NEGERI 2 JAKARTA

2014/2015

1

Daftar Isi

Daftar Isi……………………………………………………….............................. 1

Bab I Materi Pembelajaran

A. Materi Dasar Pola Bilangan......................................................................2

B. Barisan dan Deret..................................................................................... 3

1. Barisan Bilangan.................................................................................. 3

2. Barisan dan Deret Aritmatika.............................................................. 5

3. Barisan dan Deret Geometri................................................................. 7

Bab III Latihan dan Pengayaan

A. Soal Latihan dan Pengayaan.....................................................................10

B. CARA CEPAT MENYELESAIKAN SOAL PADA BARISAN ARITMETIKA BILANGAN GANJIL…………………………………………………………………………………..……………………..15

2

BAB I

Materi Pembelajaran

A. Pola Bilangan

1. Pengertian Pola Bilangan

Suatu barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan pola-pola.

Untuk itu, pelajarilah barisan bilangan berikut ini.

a. Barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... disebut barisan bilangan ganjil.

b. Barisan 2, 4, 6, 8, ....Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap

c. Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan berikut.

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 1 + 2 + 3 + 4

Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan segitiga.

d. Amati pola bilangan pada Gambar di bawah ini

Pola bilangan pada Gambar di atas disebut pola bilangan persegi. Mengapa?

Diskusikan dengan temanmu.

e. Pola bilangan persegi panjang di antaranya dapat kamu lihat pada Gambar di bawah

ini

3

B. Barisan dan Deret

1. Barisan Bilangan

a. Mengenal pengertian barisan suatu bilangan

Barisan atau pola bilangan adalah jajaran bilangan dengan urutan tertentu.

Tepatnya, barisan adalah daerah nilai suatu fungsi dengan daerah asal bilangan

asli (n)

Barisan dapat ditulis dengan mengurutkan sukunya dalam bentuk a1,a2,a3,

a4 , …. an …{an}

anmerupakan sukuke−n , yaitu sukuumum dari suatu barisan

b. Menentukan dan menghitung suku ke-n suatu barisan bilangan.

Seperti yang telah kalian ketahui bahwa suatu barisan selalu memiliki pola yang

teratur sehingga suku ke-n dapat ditentukan. Jika pola barisan bilangan telah

diketahui kalian dapat dengan mudah menentukan suku ke-n barisan tersebut.

Contoh :

Jika Un = 5n - 3, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya!

Jawab:

Un= 5n - 3

U1= 5(1) - 3= 5-1=2

U2= 5(2) - 3= 10-1=7

U3= 5(3) - 3= 15-1=12

U4= 5(4) - 3= 20-1=19

U5= 5(5) - 3= 25-1=24, dan seterusnya.

Jadi barisan bilangan tersebut adalah 2, 7, 12, 17, 22,..........

4

Jika aturan suatu barisan telah diketahui, maka suku berikutnya dari barisan tersebut

dapat ditentukan.

Contoh :1. 2, 6, 10, 14, . . .

+4 +4 +4Aturan pembentukannya adalah “ditambah 4” Dua suku berikutnya adalah 18 dan 22

2. 1, 2, 5, 10, . . .

+1 +3 +5Aturan pembentukannya adalah “ditambah bilangan ganjil berurutan” Dua suku

berikutnya adalah 17 dan 26

3. 1, 1, 2, 3, 5, ...

Aturan pembentukannya adalah “suku berikutnya adalah dengan menjumlahkan

dua suku di depannya”. Dua suku berikutnya adalah 3 + 5 = 8 dan 5 + 8 = 13

Barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... disebut barisan Fibonacci.

Contoh 2:

1) 5, 8, 11, 14,....

Karena aturannya di tambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n,

Dari 3n tersebut agar mendapat 5 maka harus ditambah 2, jadi rumus nya adalah

3n+2

diperoleh hubungan sebagai berikut.

5

Jika aturan suatu barisan ditambah dengan b, maka suku ke-nakan memuat b x n yaitu Un = b x n + ... atau Un = b x n

2. Barisan dan Deret Aritmatika

Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama Barisan aritmatika

adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang konstan. a, a + b, a

+ 2b, a + 3b adalah barisan aritmatika dengan suku pertama = a dan beda = b. ⋅⋅⋅

Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan : Un = a + (n − 1)b

Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan

Sn = n2

(2a + (n − 1)b) = n2

(a + Un)

Contoh :

Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, . Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama. ⋅⋅⋅

Solusi : 2, 5, 8, 11, adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3. ⋅⋅⋅

Suku ke-10, U10 = 2 + (10 − 1) 3 = 29 ⋅

Jumlah 4 suku pertama = 42

(2(2) +(4-1)3) = 26

Suku Tengah

Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmatika maka :

Ut = U 1+Un2

dengan n merupakan bilangan ganjil

Contoh :

Diketahui 3, , 13, 15, adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

tersebut.

Solusi :

3, , 13, 15 adalah barisan aritmatika. Maka U⋅⋅⋅ 1 = a = 3 dan Un = 15.

Maka suku tengah, Ut = 21(3 + 15) = 9

6

Rumus : a3+a4+a5+a6 dinyatakan dengan

∑k=0

n

ak

Misal {an}adalah bentuk 1,3,5,7,9...

1.∑k=2

4

ak adalah .. ?

Jawabannya :

∑k =2

4

ak=a2+a3+a4=3+5+7=15

2.∑k=1

2

a2k=a2+a4+a6=3+7+11=21

3.∑k=1

2

a2k−1=a2.1−1+a2.2−1=a1+a3=1+5=6

3. Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki perbandingan yang

konstan. Misalkan a, ar, ar, adalah barisan geometri dengan suku pertama = a dan rasio = r⋅⋅⋅

maka : Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan :

7

Un = a r⋅ n-1

Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan :

Sn = a(r n−1)r−1

jika r>1

Jika r<1 = a(−rn+1)r−1

Contoh:

Diketahui barisan 2,6,18,54,... Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama

barisan tersebut.

Solusi :

2, 6, 18, 54,

Suku ke-5, U5 = 2 3⋅ 5-1 = 162

Jumlah 4 suku pertama = 2(34−1)

3−1 = 80

Contoh :

Pada barisan geometri diketahui U8 = 36 dan S7 = 52, maka S8 = ⋅⋅⋅⋅⋅

Solusi :

U8 = 36 dan S7 = 52

Pada barisan aritmatika maupun geometri berlaku Sn − Sn−1 = Un.

S8 − S7 = U8 S8 = 52 + 36 = 88.

Contoh :

Pada barisan geometri, a3=2 dan a6=14

Tentukan suku umumnya!Penyelesaian : a3=a r2=2 ...... (1)

8

a6=a r5=14 ......(2)

(1): (2) r3=1

8r= ½a= 8Sn=8¿

Suku Tengah

Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan geometri maka : Ut 2 = U1.Un

dengan n merupakan bilangan ganjil

Contoh: Diketahui 2, 6, 18, 54, 162, adalah barisan geometri. Tentukan suku ⋅⋅⋅⋅

tengah dari barisan tersebut.

Solusi : 2, 6, 18, 54, 162 adalah barisan geometri. Maka U1 = a = 2 dan Un = 162.

Maka suku tengah,

Ut=√2.162= 18

9

BAB II

Latihan dan Pengayaan

Soal Latihan :

1. Jika Un = 7n - 5, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya!

2. Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan Sn = 2n2 − 7n, maka

U5 = ⋅⋅⋅⋅

3. Diketahui 7, , 28, 35, adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

tersebut!

4. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 8, 14, 20, 26. disisipi sebanyak⋅⋅⋅⋅

3 bilangan. Tentukan suku ke-99 dari barisan yang baru!

5. Diketahui barisan 3,9,27,81,... Tentukan suku ke-7 dan jumlah 5 suku pertama barisan

tersebut.

6. Diketahui 4, 8, 16, 32, 64, adalah barisan geometri. Tentukan suku tengah dari⋅⋅⋅⋅

barisan tersebut.

7. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 7,28, 112, 448, disisipi sebanyak 3⋅⋅⋅⋅

bilangan. Tentukan suku ke-8 dari barisan yang baru.

10

CARA CEPAT MENYELESAIKAN SOAL PADA BARISAN ARITMETIKA

BILANGAN GANJIL

Contoh soal:

1. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 75. Jika hasil kali

bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka selisih bilangan terbesar dan terkecil

adalah . . .

Penyelesaian:

Kita misalkan kelima bilangan tersebut adalah

a−2 b , a−b ,a , a+b , a+2b

Maka:

a−2 b+a−b+a+a+b+a+2 b¿Sn

↔ 5 a=75

↔ a=755

↔ a=15

(a−2 b ) ∙ ( a+2 b )=161

↔ a2−4b2=161

↔ 152−4 b2=161

↔ 225−4b2=161

↔ 4 b2=225−161

↔ 4 b2=64

↔ b2=644

↔ b2=16

↔ b=√16

↔ b=± 4

Ambil nilai b=4 → (a+2 b )−( a−2b )=a+2 b−a+2 b=4 b=4 ( 4 )=16

11

Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 16.

2. Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan itu 36 dan

hasil kalinya 1536, maka bilangan terbesarnya adalah . . .

Penyelesaian:

Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah

a−b ,a , a+b

Maka:

a−b+a+a+b¿Sn

↔ 3 a=36

↔ a=363

↔ a=12

(a−b ) ∙ a ∙ (a+b )=1536

↔ a (a−b ) (a+b )=1536

↔ a(a¿¿2−b2)=1536 ¿

↔ 12(12¿¿2−b2)=1536¿

↔ 12(144−b2)=1536

↔ 144−b2=153612

↔ 144−b2=128

↔ b2=144−128

↔ b2=16

↔ b=√16

↔ b=± 4

Ambil nilai b=4 →a+b=12+4=16

Jadi, bilangan terbesarnya adalah 16.

12

3. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut 42 dan

hasil kalinya 1610. Tentukan ketiga bilangan tersebut!

Penyelesaian:

U 1+U 2+U 3=42

U 2−d+U 2+U 2+d=42

U 1+U 2+U 3=42

3 U 2=42U 2=14

U 1 ∙U 2 ∙U 3=1610

(U 2−d ) ∙U 2 ∙ ( U 2+d )=1610

(14−d ) ∙14 ∙ (14+d )=1610

(14−d ) (14+d )=115196−d2=115d=±9

Jika d=+9, barisannya adalah 5, 14, 23.

Jika d=−9, barisannya adalah 23, 14, 5.

4. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang pertama = 35 dan jumlah 4 suku

yang pertama = 24, suku yang ke-15 = …

Penyelesaian:

Kita misalkan kelima bilangan tersebut adalah

a−2 b , a−b ,a , a+b , a+2b

Maka:

a−2 b+a−b+a+a+b+a+2 b¿Sn

↔ 5 a=35

↔ a=355

↔ a=7

a−2 b+a−b+a+a+b=24

↔ 4 a−2 b=24

↔ 4 (7)−2 b=24

↔ 28−2b=24

13

↔ 2b=28−24

↔ 2b=4

↔ b= 42

↔ b=2

a '=a−2b=7−2 (2 )=7−4=3

U n=a '+(n−1 ) b

U 15=3+ (15−1 ) 2=3+(14 ) 2=3+28=31

Jadi, suku ke-15 dari deret aritmetika tersebut adalah 31.

5. Jika (x+2), (2x+3), (5x-2) merupakan tiga suku pertama yang berurutan dari barisan

aritmetika. Tentukan nilai x dan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut!

Penyelesaian:

Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah

a−b ,a , a+b

Maka:

a−(a−b)=(a+b )−a

b=b

(2 x+3 )−( x+2 )=(5 x−2 )−(2 x+3)

x+1=3 x−5

2 x=6

x=3

Sehingga diperoleh:

U 1=x+2=3+2=5=a '

U 2=2x+3=6+3=9

U 3=5x−2=15−2=13

b=U 3−U 2=U 2−U 1=4

U 20=a'+ (n−1 ) b=5+(19 ) 4=81

S20=n2

∙ ( a+U 20 )=202

∙ (5+81 )=10 (86 )=860

14

6. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dan jumlahnya -48. Hasil kali

bilangan kedua dan ketiganya adalah -512. Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar

letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmatika, maka nilai bilangan ke-2 dari

barisan semula ialah …

Penyelesaian:

Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah

ar

, a , ar

Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmetika,

maka:

ar

, ar ,a ↔ a '−b ,a ' , a '+b

a '−b+a '+a '+b=−48

3 a '=−48

a '=−16

a '=−16=ar

a ∙ar=−512

↔a ∙(−16)=−512

↔ a=−512−16

↔ a=32

Jadi, nilai bilangan ke-2 dari barisan semula ialah 32.

7. Jumlah 9 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 207. Jika suku

terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka tentukan suku – suku pada barisan

aritmetika tersebut!

Penyelesaian:

Kita misalkan kelima bilangan tersebut adalah

a−4 b ,a−3b ,a−2 b , a−b ,a , a+b ,a+2 b , a+3b , a+4b

Maka:

a−4 b+a−3 b+a−2 b+a−b+a+a+b+a+2b+a+3 b+a+4b=207

↔ 9 a=207

↔ a=2079

15

↔ a=23

U 3=a+2 b ↔ a+2b=13 (1)

a=U 5=a+4 b↔ a+4 b=23 (2)

Dari (1) dan (2)

a+4 b=23

a+2b=13 −¿

2 b=10

b=5

Sehingga diperoleh:

U 1=a−4b=23−4 (5 )=3

U 2=a−3 b=23−3 (5 )=8

U 3=a−2b=23−2 (5 )=13

U 4=a−b=23−5=18

U 5=a=23

U 6=a+b=23+5=28

U 7=a+2 b=23+2 (5 )=33

U 8=a+3 b=23+3 (5 )=38

U 9=a+4b=23+4 (5 )=43

Jadi, suku – suku pada barisan aritmetika tersebut adalah 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38,

dan 43.

16

17