materi aplikasi matlab pada teknologi proses sttn-batan_2

5/22/2018 Materi Aplikasi Matlab Pada Teknologi Proses STTN-BATAN_2

Materi Coaching MatlabAplikasi Matlab pada Teknologi Proses

Disampaikan pada coaching Matlab STTN-BATAN Yogyakarta

Oleh

Gde Pandhe Wisnu [email protected]

Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir

Badan Tenaga Nuklir NasionalYogyakarta

2011


Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses 2011

i

Daftar Isi

Daftar Isi ................................................................................................................................... i

1.

Review Tools Box pada Matlab ................................................................................ 1

2. Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses .................................................................... 32.1. Waktu untuk mencapai ketinggian tertentu pada tangki bocor (integrasi numeris) ................................. 32.2. Waktu steady state tangki bocor (mencari nilai nol fungsi/root finding problems dan integrasi numeris)

................................................................................................................................................................... 72.3. Kecepatan dan debit aliran cairan diantara dua tangki (root finding problems) ..................................... 102.4. Pencampuran di dalam tangki dengan pemanas (penyelesaian persamaan diferensial ordiner simultan)

................................................................................................................................................................. 142.5. Distribusi suhu pada batang logam diantara dua dinding panas (penyelesaian persamaan diferensial

ordiner dengan permasalahan nilai batas, boundary value problem) ..................................................... 202.6. Pengeringan padatan silinder-penyelesaian persamaan diferensial parsial (PDP) .................................. 252.7. Penentuan order reaksi dan konstanta kecepatan reaksi ........................................................................ 32

3. Latihan ................................................................................................................... 363.1. Penentuan dew point campuran .............................................................................................................. 363.2. Adsorpsi senyawa limbah ......................................................................................................................... 373.3. Reaktor tabung non-adiabatis dan non-isotermal (penyelesaian persamaan diferensial ordiner

simultan) .................................................................................................................................................. 37



1

1. Review Tools Box pada MatlabFungsi Deskripsi

Optimasi danroot finding problem

Fmi nbnd Minimasi fungsi nonlinear skalar pada batas-batas tertentu

Fmi nsearch Minimasi fungsi nonlinear multidimensi tak berbatas denganmenggunakan metode pencarian langsung Nelder-Mead

Fzer o Pencarian nilai-nilai pembuat nol fungsi

Integrasi Numerik

Quad Integrasi numerik dengan metode berderajat rendah

Quadl Integrasi numerik dengan metode berderajat lebih tinggi

Dbl quad Integrasi numerik untuk integral ganda

Tr i pl equad Integrasi numerik untuk integral tingkat tiga

Tr apz Integrasi numerik dengan metode trapezoidal

Plotting & Grafik

Ezpl ot Menggambar grafik fungsi 2D

ezpl ot 3 Menggambar grafik fungsi parametrik 3D

Ezpol ar Menggambar grafik fungsi polar

Ezcount our Menggambar kontur

Ezcount our f Menggambar kontur berisi

Ezmesh Menggambar kurva permukaan 3D

Ezmeshc Menggambar kurva permukaan dengan kontur

Ezsur f Menggambar permukaan 3D berwarna

Ezsur f c Menggmabar permukaan 3D dengan kontur

Fpl ot Menggambar fungsi 2D

Solver untuk Persamaan Differensial (PD)

PD Ordiner dengan masalah initial value(nilai awal)ode45 Menyelesaikan PDO non-stiff dengan metode berderajat menengah

ode23 Menyelesaikan PDO non-stiff dengan metode berderajat rendah

ode113 Menyelesaikan PDO non-stiff dengan metode berderajat yangditentukan

ode23t Menyelesaikan PDO stiff dan persamaan aljabar diferensialberindeks 1 dengan metode trapezoidal

ode15s Menyelesaikan PDO stiff dan persamaan aljabar diferensialberindeks 1 dengan metode berderajat yang ditentukan

ode23s Menyelesaikan PD stiff dengan metode berderajat rendah

ode23tb Menyelesaikan PD stiff dengan metode berderajat rendah

PD Ordiner dengan masalahboundary value(nilai batas)



2

bvp4c Menyelesaikan PDO dengan BVP dua titik dengan collocation

PD Parsial 1Dpdepe Menyelesaikan PD Parsial parabolic-eliptik dengan masalah nilai

awal

Fungsi-fungsi dasar

abs Nilai absolut

cumpr od Produk kumulatif dari elemen-elemen

cumsum Produk kumulatif dari penjumlahan elemen

cumt r apz Kumulatif integrasi numerik dengan metode trapezoidal

max Komponen terbesar

mean Nilai rerata

medi an Nilai tengah

mi n Komponen terkecil

pr od Produk dari elemen-elemensort Menyusun elemen-elemen array dengan urutan semakin naik atau

turun

std Standar deviasi

sum Jumlah dari elemen-elemen

Lebih lengkap lihat pada ketik hel p f unf un dan hel p el f unpada command wi ndow



3

2.Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses2.1. Waktu untuk mencapai ketinggian tertentu pada tangki bocor (integrasi

numeris)

Suatu tangki kosong kemudian disi cairan A dengan debit Fin m3/jam. Pada saat yang

bersamaan bagian dasar tangki mengalami kebocoran sebesar d cm dengan kecepatan cairan

keluar sebesar v m/s yang merupakan fungsi dari tinggi cairan di dalam tangki (h). v sebagai

fungsi h dapat didekati dengan persamaan berikut :

=2 (1.1)Dengan g adalah percepatan gravitasi bumi yang besarnya 10 m/s

2. Ingin diketahui berapa lama

waktu yang diperlukan agar tinggi cairan di dalam tangki mencapai 0,5 m ? Asumsikan bahwa

densitas cairan tidak mengalami perubahan.

Fin=15 m3/jam

Fout m3/jam

D= 3 m

d= 3 cm

Gambar 1. Sistem untuk kasus 1 dan kasus 2

Diketahui:

Dari neraca massa di dalam tangki diperoleh persamaan sebagai berikut :

=

(1.2)dengan

= ;= 14 2; = 14 2PenyelesaianUntuk mencari nilai t pada saat h tertentu dapat dilakukan dengan memodifikasi persamaan

neraca massa diatas menjadi:

= (1.3)Integrasi persamaan diatas dengan batas-batas sebagai berikut:



4

Pada saat t=0 maka h=0

Pada saat t=t maka h=0,5

Menghasilkan persamaan sebagai berikut :

= =0,5=0 (1.4)Algoritma pemrogramannya adalah sebagai berikut:

Input Data

Fin, g, D, d,

h

Subroutine

function t=integ_fun(h)

Hitung A, A0, v, Fout, dan t

Perhitungan

Selesai

Mulai Perhitungan

integrasi integ_fun

t=quadl(@integ_fun,0,h)

t

h

Gambar 2. Algoritma program untuk kasus 1

Main program r un_i nt eg_f un

% Kasus 1

% Menghi t ung wakt u pengi si an t angki

% ==================================

cl c

cl ear al l

% def i ni si gl obal var i abel

% ==================================

gl obal Fi n D d g

% I nput Dat a

% ==================================

Fi n=15/ 3600; % m3/ j amt o m3/ s

D=3; % m

d=3/ 100; % cm t o m

g=10; % m/ s2



5

% Bat as i nt egr asi

% ==================================

h=0. 5;

% I nt egr asi numer i s% ==================================

t =quadl ( @i nt eg_f un, 0, h)

% Tampi l an dal am bent uk gr af i k

% ==================================

r un_f un_ode

Subroutine i nt eg_f un

f unct i on t =i nt eg_f un( h)

gl obal Fi n D d g

A=pi *D 2/ 4;

A0=pi *d 2/ 4;

v=sqr t ( 2*g. *h) ;

Fout=A0*v;

t =A. / ( Fi n- Fout ) ;

Program menampilkan grafik r un_f un_ode

% Kasus 1 & 2

% Menampi l kan gr af i k h ver sus t

% ==================================

% I nput Dat a

% ==================================

t f =12*3600; % j am t o s

[ t s, hs] =ode45( @f un_ode, [ 0, t f ] , [ 0] ) ;

pl ot ( t / 3600, h, ' o' , t s/ 3600, hs)

xl abel ( ' wakt u, j am' )

yl abel ( ' t i nggi cai r an, m' )l egend( ' hasi l hi t ungan' , ' Locat i on' , ' Best ' )

Subroutine f un_ode

f unct i on dhdt =f un_ode( t , h)

gl obal Fi n D d g



6

A=pi *D 2/ 4;

A0=pi *d 2/ 4;

v=sqr t ( 2*g. *h) ;

Fout=A0*v;

dhdt =( Fi n- Fout ) / A;

Hasil

Waktu yang diperlukan hingga tinggi cairan = 0,50 m adalah 0,38 jam

Gambar 3. Profil tinggi cairan terhadap waktu



7

2.2. Waktusteady statetangki bocor (mencari nilai nol fungsi/root findingproblems danintegrasi numeris)

Sama seperti pada Kasus 1, hanya saja ingin dicari berapa lama waktu yang diperlukan agar

kondisi di dalam tangki mencapai steady state(tinggi cairan didalam tangki tetap)?

Penyelesaian

Steady state digambarkan sebagai kondisi dimana tinggi cairan di dalam tangki tetap. Pada

gambar 3, kondisi steady tercapai pada saat dh/dt=0 sehingga dari persamaan (1.2)

() = = = 0 (2.1)Terlebih dahulu dicari berapa nilai h yang memenuhi persamaan (2.1). Kemudian nilai h yang

diperoleh digunakan sebagai kondisi batas atas persamaan (1.4) untuk mencari waktu yang

diperlukan mencapai ketinggian h steady statedengan cara yang sama seperti pada kasus 1.

Input Data

Fin, g, D, d

Hitung h pada saat dh/dt=0

sebagai nilai batas integrasi

h=fzero(@steady_state,h0)

Subroutine

function t=integ_fun(h)

Hitung A, A0, v, Fout, dan t

Perhitungan

Selesai

Mulai Perhitungan

integrasi integ_fun

t=quadl(@integ_fun,0,h)

t

h

h

f

Subroutine

function f=steady_state(h)

Hitung A, A0, v, Fout, dan f




8

Main program r un_i nt eg_f un_2

% Kasus 2

% Menghi t ung wakt u st eady st ate

% ==================================

cl ccl ear al l

% def i ni si gl obal var i abel

% ==================================

gl obal Fi n D d g

% I nput Dat a

% ==================================

Fi n=15/ 3600; % m3/ j amt o m3/ s

D=3; % m

d=3/ 100; % cm t o mg=10; % m/ s2

% Menghi t ung bat as i nt egr asi

% ==================================

h=f zer o( @st eady_st at e, 1) ;

% I nt egr asi numer i s

% ==================================

t =quadl ( @i nt eg_f un, 0, 0. 999*h)

% Tampi l an dal am bent uk gr af i k

% ==================================

r un_f un_ode

Subroutine st eady_st at e

f unct i on f =st eady_st at e( h)

gl obal Fi n D d g

A=pi *D 2/ 4;

A0=pi *d 2/ 4;v=sqr t ( 2*g. *h) ;

Fout=A0*v;

f =A. / ( Fi n- Fout ) ;

Hasil

Waktu yang diperlukan hinggasteady stateadalah 10,81 jam (tinggi cairan = 1,74 m)



9

Gambar 5. Profil tinggi cairan terhadap waktu dan kondisi steady state



10

2.3. Kecepatan dan debit aliran cairan diantara dua tangki (root findingproblems)1

1

2

z1

z2

v,QD, Le

Gambar 6. Sistem untuk kasus 3 : pengaliran cairan antara dua tangki

Suatu cairan akan dialirkan dari tangki 1 menuju tangki 2 melalui pipa dengan diameter D

dengan bantuan pompa. Panjang ekuivalen pipa, Le, diketahui. Karakteristik pompa sentrifugal

yang dipakai berupa hubungan antara head pompa (Hm, cm) dengan debit (Q, cm3/detik) dapat

didekati dengan persamaan :

= 3718,5

2,3496

+ 7,8474. 104

2

9,5812. 108

3 (3.1)

Ingin dihitung kecepatan cairan di dalam pipa (v) dan debit aliran (Q)

Diketahui:

Persamaan Bernoulli

1+ 1+ 12 = 2+ 2+ 22 (3.2)P1=P2=1 atm. Asumsi bahwa diameter tangki cukup besar sehingga v1dan v2dapat dianggap nol,

maka persamaan tersebut menjadi :

2 1+ + = 0 (3.3)

1W.B. Sediawan dan A. Prasetya, 1997,Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia,

hal.115-117, Penerbit Andi : Yogyakarta.



11

Dengan :

= . .22.. (3.4)

= 0,0596

0,215 (3.5)= .. (3.6) = (3.7)Sedangkan debit aliran dapat dihitung dengan persamaan berikut:

= 14

2 (3.8)Diketahui harga-harga:

=1 g/cm3; =0,01 g/cm/s; g=981 cm/s

2; z1=300 cm; z2=800 cm; D=4 cm; Le=20000 cm.

Objective function

()=2 1+ . .22. . = 0 (3.9)Penyelesaian

Harga v dapat ditentukan melalui prosedur trial and error (coba-coba) dengan memasukkan nilai

v ke dalam persamaan fobjdiatas hingga diperoleh nilai fobj(v)=0

Algoritma perhitungan dan programnya pada gambar 7

Main programpump1

% Kasus 3% Menghi t ung v dan Q pada pengal i r an cai r an% ================================================cl ccl ear

% Def i ni s i gl obal var i abel

% ================================================gl obal g Z1 Z2 Le rho mi u D

% I nput dat a% ================================================g=981; % cm/ s2Le=20000; % cmZ1=300; % cm



12

Z2=800; % cmr ho=1; % g/ cm3mi u=0. 01; % g/ cm/ sD=4; % cm

%Ni l ai v t r i al awal% ================================================v0=200;

% Mencar i ni l ai nol dar i f ungsi t uj uan% ( obj ecti ve f uncti on)% ================================================v=f zer o( @obj _f un, v0) ;

% Hi t ung debi t al i r an% ================================================Q=pi / 4*D 2*v;

% Tampi l kan hasi l% ================================================f pr i nt f ( ' kecepat an cai r an ( v) = %6. 4f cm/ s \ n' , v)f pr i nt f ( ' debi t cai r an ( Q) = %6. 4f cm3/ s \ n' , Q)Subroutine obj _f un

f unct i on f obj =obj _f un( v)gl obal g Z1 Z2 Le rho mi u D

Q=pi / 4*D 2*v;

Hm=3718. 5- 2. 3496*Q+7. 8474e- 4*Q 2- 9. 5812e- 8*Q 3;Re=r ho*v*D/ mi u;f =0. 0596. / Re. 0. 215;

F=f *Le*v 2/ 2/ g/ D;W=- Hm;f obj =Z1- Z2- F- W;

Hasil

kecepatan cairan (v) = 227.6735 cm/s

debit cairan (Q) = 2861.0300 cm3/s



13

Mulai perhitungan

Input data

, , g, z1,

z2, D, Le

Masukkan nilai

vtrial

Hitung Q=f(vtrial)

Hitung Hm=f(Q)

Hitung Re=f(v)

Hitung f=f(Re)

Hitung vhitung=f(Hm,f,vtrial)

vhitung=vtrial?

Perhitungan

selesai

Ya

Tidak

coba nilai v baru

Mulai perhitungan

Input data

, , g, z1,

z2, D, Le,

vtrial

Hitung v

v=fzero(@obj_fun,vtrial)

Hitung Q=f(v)

Perhitungan

selesai

Subroutine

function fobj=obj_fun(v)

Hitung Q=f(vtrial)

Hitung Hm=f(Q)

Hitung Re=f(v)

Hitung f=f(Re)

Hitung fobj(v)

Langkah Perhitungan Manual Algoritma Program

Gambar 7. Algoritma perhitungan dan pemrograman kasus 3



14

2.4. Pencampuran di dalam tangki dengan pemanas (penyelesaianpersamaan diferensial ordiner simultan)

C1,kg/m3

Fv1, m3/jam

T1,oC

Cp1, J/kg/oC

Fs, kg/jam

Ts,oC

C2,kg/m3

Fv2, m3/jam

T2,oC

Cp2, J/kg/oC

C,kg/m3

Fv, m

3

/jamT,oC

Cp,J/kg/oC

Fs, kg/jam

Ts,oC

U, watt/m2/oC

A, m2

C, kg/m3

V, m3

T,oC

Gambar 8. Sistem tangki pencampuran dengan pemanas

Sebuah tangki dilengkapi dengan pengaduk dan pemanas akan digunakan untuk mencampur

cairan B berkonsentrasi C1dan bersuhu T1dengan cairan B berkonsentrasi C2dan bersuhu T2.

Campuran keluar tangki dengan konsentrasi C dan suhu T. Untuk mencapai suhu T, fluida

pemanas sebanyak Fs dengan suhu Ts, dialirkan melalui koil pemanas yang sepenuhnya

terendam di dalam cairan B. Ingin diketahuibagaimanakah profil suhu dan konsentrasi terhadap

waktu jika tangki dioperasikan selama 3 jam. Diketahui mula-mula di dalam tangki ada sebanyak

V cairan A dengan suhu T0 dan konsentrasi C0. Nilai kapasitas panas cairan dapat dianggap

tetap.

Diketahui:

C1 = 10 kg/m3; C2 = 2 kg/m

3; C0= 8 kg/m

3; T1= 35

oC; T2= 95

oC; Ts = 120

oC; T0= 35

oC; Fv1

= 5 m3/jam; Fv2 = 3 m

3/jam; Fv= 5 m

3/jam; Fs = 60 kg/jam; V =1 m

3; U=15 watt/m

2/oC ; A=25

m2; Cp=Cp1=Cp2= 3 J/kg/

oC



15

Neraca massa total

kecepatan massa masuk- kecepatan massa keluar = kecepatan massa terakumulasi

1

1+

2

2

=

(4.1)

Jika densitas cairan dapat dianggap konstan maka persamaan tersebut menjadi:

=1+ 2 (4.2)

Kondisi awal:

Pada t=0 maka V=V (4.3)

Neraca massa komponen

kecepatan B masuk- kecepatan B keluar = kecepatan B terakumulasi

11+ 22 = (4.4)11+ 22 = + =

1

11+ 22 (4.5)Kondisi awal:

Pada t=0 maka C=C0 (4.6)

Neraca panas

kecepatan panas masuk - kecepatan panas keluar= kecepatan panas terakumulasi

111 + 222 + ( ) . . ( ) =

111 + 222 + (

)

. . = + +



16

=

1

111 + 222 + () . . +

(4.7)

Kondisi batas:

Pada t=0 maka T=T0 (4.8)

Penyelesaian

Diperoleh persamaan diferensial ordiner simultan dengan permasalahan kondisi awal sebagai

berikut:

=1+ 2

=1

11+ 22 = 1 111 + 222 + ( ) . . +

Kondisi awal

Pada t=0 maka V=V;C=C0,T=T0

Untuk menyelesaikan ketiga persamaan tersebut secara simultan maka dapat digunakan metode

Runge-Kutta. Di dalam toolbox Matlab, metode ini digunakan dalam ode45. Sintaks ode45

adalah sebagai berikut :

[ t , Y] = ode45( odef un, t span, y0)[ t , Y] = ode45( odef un, t span, y0, opt i ons)[ t , Y, TE, YE, I E] = ode45( odef un, t span, y0, opt i ons)sol = ode45( odef un, [ t 0 t f ] , y0. . . )

Algoritma pemrograman penyelesaian permasalahan ini diberikan pada gambar 9.

Main programmi x_heat

% Kasus 4

% Pencampur an cai r an dal am t angki ber pengaduk dengan koi l pemanas

% ===============================================================

% def i ni s i gl obal var i abel



17

% ===============================================================

gl obal Fv1 Fv2 Fv C1 C2

gl obal T1 T2 Ts Tr ef U A Cp

% i nput dat a

% ===============================================================

C1 = 10; % kg/ m3

C2 = 2; % kg/ m3

C0 = 8; % kg/ m3

T1 = 35+273; % C

T2 = 95+273; % C

Ts = 120+273; % C

T0 = 35+273; % C

Fv1 = 5; % m3/ j am

Fv2 = 3; % m3/ j am

Fv= 5; % m3/ j am

Fs = 60; % kg/ j am

V = 1; % m3U = 15; % wat t / m2/ C

A = 25; % m2

Cp = 3; % J / kg/ C

t f =3; % j am

Tr ef =298; % K

% menyel esai an ode si mul t an dengan ode45

% ===============================================================

[ t , Y] =ode45( @mi x_heat _ode_f un, [ 0, t f ] , [ V, C0, T0] ) ;

% menampi l kan hasi l per hi t ungan dal am bent uk gr af i k% ===============================================================

f i gur e(1) % menampi l kan vol um& konsent r asi cai r an t erhadap wakt u

[ AX, H1, H2] =pl ot yy( t , Y( : , 1) , t , Y( : , 2) )

set ( get ( AX( 1) , ' Yl abel ' ) , ' St r i ng' , ' vol um cai ran di dal am t angki , m3' )

set ( get ( AX( 2) , ' Yl abel ' ) , ' St r i ng' , ' konsent r asi cai r an di dal am t angki , kg/ m3' )

xl abel ( ' waktu, j am' )

f i gur e(2) % menampi l kan pr of i l suhu sepanj ang wakt u

pl ot ( t , Y( : , 3) , ' r ' )

xl abel ( ' waktu, j am' )

yl abel ( ' Suhu, K' )l egend( ' T' , ' Locat i on' , ' Best ' )

subroutinemi x_heat _ode_f un

f unct i on dYdt =mi x_heat _ode_f un( t , Y)

gl obal Fv1 Fv2 Fv C1 C2



18

gl obal T1 T2 Ts Tr ef U A Cp

V=Y(1) ;

C=Y(2) ;

T=Y( 3) ;

dYdt =zer os( 3, 1) ;

dYdt ( 1) =( Fv1+Fv2- Fv) ;

dYdt ( 2) =( Fv1. *C1+Fv2. *C2- Fv. *C- C. *dYdt ( 1) ) . / V;

dYdt ( 3) =( Fv1. *C1. *( T1- Tr ef ) +Fv2. *C2. *( T2- Tr ef ) +U. *A. *( Ts- T) . / Cp. . .

- Fv. *C. *( T- Tr ef ) - T. *( C. *dYdt ( 1) +V. *dYdt ( 2) ) ) . / V. / C;

Input dataC1 ; C2 ; C0; T1; T2; Ts; T0; Fv1 ; Fv2 ; Fv ; Fs

; V ; U; A ; Cp ; Cp1 ;

Cp2 ; tf ; Tref

Subroutine

function dYdt=mix_heat_ode_fun(t,Y)

dVdt=f(V)

dCdt=f(V,C)

dTdt=f(V,C,T)

dYdt=[dVdt;dCdt;dTdt]

Perhitungan ode simultan

[t,Y]=ode45(@mix_heat_ode_fun,[0,tf],[V,C0,T0])

Tampilkan hasil

perhitungan dalam

bentuk grafik

Mulai perhitungan

Perhitungan

selesai

t

Y=V,C0,T0

dYdt

Gambar 9. Algoritma program kasus 4



19

hasil

Gambar 10. Profil volum dan konsentrasi terhadap waktu

Gambar 11. Profil suhu terhadap waktu



20

2.5. Distribusi suhu pada batang logam diantara dua dinding panas(penyelesaian persamaan diferensial ordiner dengan permasalahan

nilai batas, boundary value problem)

Suatu batang dengan panjang L dan diameter D, kedua ujungnya ditempelkan pada dinding

panas dengan suhu yang dijaga konstan masing-masing Ta dan Tb (gambar 12). Ingin diketahui

distribusi suhu pada batang logam sebagai fungsi panjang logam pada saat steady state.

Diketahui :

Konduktifitas panas logam (k) =0,2 cal/s/cm/oC

Koefisien perpindahan panas secara konveksi (h) =0,002 cal/s/cm2/oC

L=15 cm; D=1.5 cm

Ta=500 oC Tb=100oC

x x+x

x=0 x=L

Tu=35 oC

qkonveksi

qkonveksi

qkonduksi qkonduksi

Gambar 12. Batang logam diantara dua dinding bersuhu tetap

Neraca panas pada elemen volum = A.x

Kecepatan panas masuk kecepatan panas keluar = kecepatan panas terakumulasi

qkonduksipada x- (qkonduksipada x+x + qkonveksi) = 0

| {|++ }=0Dengan: = . ;dan =.. ( )A = luas perpindahan panas secara konduksi; A=

.D24

A = luas perpindahan panas secara konveksi =. D. x



21

. | . |+ .. ( )= 0Persamaan tersebut diatur ulang dan dibagi dengan elemen volum serta diambil limit x

lim0 .

|

+ .

|

. . . D. x. ( ). D24

= 0 4. . ( ) = 0

Karena nilai k tetap maka diperoleh PD ordiner order dua sebagai berikut:

2 2=

4 . .() . (5.1)

dengan batas-batas:

pada x=0, T=Ta

pada x=L, T=Tb

Penyelesaian

Persamaan matematis yang diperoleh merupakan permasalahan PD ordiner dengan permasalahan

nilai batas. Matlab menyediakan toolsberupa bvp4cuntuk menyelesaikan permasalahan jenis

ini. Akan tetapi, bvp4chanya dapat digunakan untuk menyelesaikan PD ordiner order satu

sehingga terlebih dahulu persamaan (5.1) dimanipulasi sedemikian sehingga menjadi PD ordiner

order 1 simultan.

Misalkan :

= maka

=

2 2

Substitusi persamaan tersebut ke persamaan (5.1) menghasilkan PD ordiner simultan sebagaiberikut :

= (5.2) =

4. .() . (5.3)



22

Sintaks dari bvp4cadalah sebagai berikut:

sol = bvp4c( odef un, bcf un, sol i ni t )sol = bvp4c( odef un, bcf un, sol i ni t , opt i ons)sol = bvp4c(odef un, bcf un, sol i ni t , opt i ons, p1, p2. . . )

Algoritma pemrograman dengan Matlab diperlihatkan pada gambar 13.

Input dataTa,Tb, Tu, h, k, L, D

Tentukan jumlah inkremen panjang (xint) serta nilai

tebakan penyelesaian PDO dengan permasalahan

nilai batas dalam solinit=bvpinit(xint,Y0)

Tampilkan hasil

perhitungan dalam

bentuk grafik

Mulai perhitungan

Perhitungan

selesai

Subroutine

function dy=ode_fun(x,y)dTdx=f(y)

dydx=f(T)

dy=[dTdx;dydx]

Perhitungan numeris dengan bvp4c

sol = bvp4c(@ode_fun,@bc_fun,solinit)

x,y

dy

Subroutine

function bc_res=bc_fun(Ya,Yb)

Pada x=0, T=Ta

Pada x=L, T=Tb

Ya,Yb

bc_res

Ekstrak hasil hitungan sol dengan :

Yxint=deval(sol,xint)

Gambar 13. Algoritma kasus 5



23

Main programr un_ode_bvp

% Kasus 5

% Di st r i busi suhu pada bat ang l ogam

% =================================

% def i ni s i gl obal var i abel

% =================================

gl obal Tu k D h

gl obal Ta Tb

% I nput dat a

% =================================

Ta=400; % deg C

Tb=100; % deg C

Tu=35; % deg C

k=0. 2; % cal / s/ cm/ deg C

D=1. 5; % cmL=15; % cm

h=0. 002; % cal / s/ cm2/ deg C

% Menent ukan j uml ah i nkr emen

% =================================

xi nt = l i nspace( 0, L, 20) ;

% Menent ukan t ebakan awal penyel esai an

% =====================================

sol i ni t =bvpi ni t ( xi nt , [ 0 1] ) ;

% Penyel esai an PDO dengan BVP% =================================

sol = bvp4c( @ode_f un, @bc_f un, sol i ni t ) ;

% Mengekst r ak hasi l penyel esai an

% =================================

Yi nt = deval ( sol , xi nt ) ;

% Menampi l kan hasi l perhi t ungan

% =================================

pl ot ( xi nt , Yi nt ( 1, : ) )

xl abel ( ' x, cm' )

yl abel ( ' T, \ ci r c C' )

subroutineode_f un

f unct i on dy=ode_f un( X, Y)

gl obal Tu k D h

dy=zer os(2, 1) ;



24

dy(1) =Y(2) ;

dy(2)=4*h/ k/ D*( Y( 1) - Tu) ;

subroutinebc_f un

f unct i on bc_r es=bc_f un( Ya, Yb)

gl obal Ta Tb

bc_r es=[ Ya( 1) - Ta

Yb( 1) - Tb] ;

Hasil

Gambar 14. Distribusi suhu pada batang logam



25

2.6. Pengeringan padatan silinder-penyelesaian persamaan diferensialparsial (PDP)2

Suatu padatan berbentuk silinder panjang, berjari-jari R, dengan kadar air mula-mula C0

(g/cm3) dikeringkan dengan udara yang mengandung uap air sebesar yud( g air/g udara).

Kesetimbangan H2O di fasa padat dan di udara dapat didekati dengan hokum Henry berbentuk

y=H.C (6.1)

Kecepatan perpindahan massa uap air dari permukaan padatan ke udara mengikuti

persamaan

2. 2= ( ) (6.2)Dengan y* adalah kadar H2O di udara setimbang dengan kadar H2O pada permukaan

silinder. Karena kadar air dalam silinder sudah cukup rendah, maka kecepatan difusi H2O daridalam silinder ke permukaan berpengaruh dan karena silinder sangat panjang (R



26

2 2+

1

=

1

(6.3)3

C(0,t)=finite atau = 0

C(R,t)=NAA=kGA(H.C-yud)

dengan batas-batas sebagai berikut :

C(r,0)=C0

A merupakan luas perpindahan transfer massa, A=2Nilai-nilai tetapan yang diketahui adalah sebagai berikut :

De=0,04 cm2/jam; kG=0,08 g/cm

2/jam; H=0,2; R=0,2 cm; C0=0,2 g/cm

3; yud=0,002 g/g udara;

waktu pengeringan=25 jam ;L=10 cm;

Penyelesaian

Penyelesaian persamaan differensial parsial (PDP) tersebut secara numeris dapat dilakukan

dengan menggunakan metode implisit, eksplisit atau dengan metode Crank-Nicolson. Khusus

untuk penyelesaian numeris PDP parabolik dan elliptik dengan satu variabel bebas ruang (x) dan

satu variabel bebas waktu (t), Matlab menyediakan tools yang bernama pdepe untuk

menyelesaikan PDP tersebut. Secara umum untuk permasalahan nilai awal, sintaks yang dapat

digunakan adalah sebagai berikut :

sol = pdepe( m, pdef un, i cf un, bcf un, xmesh, t span)

sol = pdepe( m, pdef un, i cf un, bcf un, xmesh, t span, opt i ons)sol = pdepe( m, pdef un, i cf un, bcf un, xmesh, t span, opt i ons, p1, p2. . . )

Algoritma penyelesaiannya disajikan pada gambar 16.

3Penurunan persamaan dapat dilihat pada buku Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik

Kimia, hal.147, karyaW.B. Sediawan dan A. Prasetya



27

Input dataDe; kG; H; R; C0; yud; t0;tf; L

Tentukan jumlah inkremen radius (xmesh) serta

nilai kisaran untuk waktu (tspan). Masukan faktor

geometri (m)

Tampilkan hasil

perhitungan dalam

bentuk grafik

Mulai perhitungan

Perhitungan

selesai

Subroutine

function u0=icfun(x)

Perhitungan numeris dengan pdepe

sol=pdepe(m,@pdefun,@icfun,@bcfun,xmesh,tspan)

Subroutine

function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,DuDx)

Subroutine

function [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t)

Gambar 16. Algoritma pemrograman kasus 6

Untuk menggunakan pdepe, persamaan matematis yang diperoleh harus menyesuaikan dengan

kehendak dari bentuk umum persamaan yang digunakan pada pdepeyaitu:

, , , = , , , + , , , Dengan kondisi batas yang berlaku : 0 dan maka bentuk penulisan ICadalah sebagai berikut

(, 0)=0()Untuk BC, bentuk persamaan yang dikehendaki adalah sebagai berikut :



28

(, , ) + (, ) , , , = 0Sehingga untuk menyelesaikan permasalahan pengeringan padatan silinder tersebut terlebih

dahulu PDP yang diperoleh dimodifikasi sedemikian rupa sehingga memenuhi format yang

diinginkan Matlab.

Modifikasi persamaan

PDP dari kasus:

22+ 1 = 1 Modifikasi persamaan tersebut adalah:

1

=1

Bentuk Matlab:

, , , = , , , + , , , Jika u=C, x=r maka nilai-nilai dari variable c, m, f dan s sebagai berikut:

,

,

,

=1

m=1

, , , = , , , = 0

Bentuk Matlab untuk kondisi awal (IC)

(, 0)=0()IC kasus : C(r,0)=C0

jika t0=0 maka persamaan untuk IC adalah:

IC: (, 0)=0



29

Bentuk Matlab untuk kondisi batas (BC)

(, , ) + (, ) , , , = 0BC pada r=0 kasus : C(0,t)=finite atau (0, ) = 0Modifikasi BC(0, ) = 0 menjadi (0, ) + 0 = 0sehingga :Maka persamaan BC untuk batas kiri (r = 0):

(, , )= 0(, )= 1BC pada r=R kasus : C(R,t)=NAA=kGA(H.C-yud)

Modifikasi BC(, )=menjadi (, , ) = 0sehingga :Maka persamaan BC untuk batas kanan (r=R):

(, , )= (, )= 0Pemrograman dengan pdepe menggunakan sintaks berikut :

sol = pdepe( m, pdef un, i cf un, bcf un, xmesh, t span)

Untuk melengkapi sintaks tersebut diperlukan pdef un, i cf un, bcf un, xmesh, t span.

pdefunf unct i on [ c, f , s] =pdef un( x, t , u, DuDx) gl obal Dec=1/ De;

f =DuDx; s=0;

icfunf unct i on u0=i cf un( x) gl obal C0u0=C0;



30

bcfunf unct i on [ pl , ql , pr , qr] =bcf un( xl , ul , xr , ur , t ) gl obal kG H yud R L

NA=kG*( H*ur - yud) A=2*pi *R*Lpl =0; ql =1; pr=ur - NA*A; qr =0;

Sementara itu pada program pada main program adalah sebagai berikut

% Kasus 6% Penger i ngan padat an si l i nder

% ===============================

% Def i ni si var i abel gl obal % ===============================gl obal Degl obal C0gl obal kG H yud R L

% I nput dat a% ===============================

De=0. 04; % cm2/ j amKG=0. 08; % g/ cm2/ j amH=0. 2; % t anpa sat uanYud=0. 002; % g/ g udar aR=2; % cmC0=0. 2; % g/ cm3L=10; % cmt 0=0; % j amt f =25; % j am

% Menent ukan mesh dan t span

% ===============================xmesh=[ 0: 0. 2: R] % i nkr emen arah r t span=l i nspace( t 0, t f , 10) ; % j angkauan waktu

% def i ni si geomet r i % ===============================m=1;



31

% Menyel esi kan pdepe% ===============================sol =pdepe( m, @pdef un1, @i cf un1, @bcf un1, xmesh, t span)

% Menampi l kan hasi l

% ===============================sur f ( r mesh, t span, sol ) xl abel ( ' Radi us bat ang, cm' ) yl abel ( ' wakt u, j am' ) zl abel ( ' konsent r asi ai r , g/ cm3' )

Hasil

Gambar 17. Konsentrasi air pada padatan silinder sebagai fungsi waktu pengeringan dan radius



32

2.7. Penentuan order reaksi dan konstanta kecepatan reaksi4

Reaksi isomerisasi tak dapat balik

Dijalankan dalam sebuah reactor batch dan diperoleh data konsentrasi tiap waktu sebagai

berikut:

t (men) 0 3 5 8 10 12 15 17.5

CA(mol/l) 4,0 2,89 2,25 1,45 1,0 0,65 0,25 0,07

Tentukan order reaksi terhadap A, dan konstanta kecepatan reaksi, k!

Penyelesaian

CA

Gambar 18. Skema reaktor batch

Asumsi bahwa data diperoleh pada kondisi isotermal dan volum cairan di dalam reactor tetap.

Dicoba model reaksi elementer sebagai berikut:

-rA= k.CA (7.1)

Neraca massa pada reactor batch:

kec. A masuk- kec.A keluar+ kec. A tergenerasi = kec. A terakumulasi

0 0 + =

4Fogler, H.S., 1999, Elements of Chemical Reaction Engineering, 3rded. p.270,Prentice Hall, Inc., Nw Jersey.



33

karena volum reaktor tetap maka persamaan tersebut menjadi :

= = (7.2)Untuk menentukan nilai k dan digunakan metode minimasi sum of squared errors (SSE) yang

didefinisikan sebagai:

= ( )2 (7.3)Semakin kecil nilai SSE maka, semakin baik model tersebut mewakili data percobaan. Cmodel

diperoleh dari hasil penyelesaian persamaan (7.2) dengan mencoba-coba nilai k dan agar

memberikan nilai Cmodel yang sedekat mungkin dengan Cdata atau dengan kata lain nilai SSE

seminimum mungkin.

Karena fungsi yang akan diminimasi merupakan fungsi nonlinier maka pilihan tools pada Matlab

yang tersedia adalah f mi nbndatau f mi nsear ch. Oleh karena tidak ada indikasi nilai batas k

dan yang memberikan nilai SSE minimum, maka f mi nsear ch akan lebih tepat untuk

digunakan.

Algoritma program disajikan pada gambar 19.

Main Programdat a_r eakt or

% Kasus 7 Penent uan order r eaksi dan konst ant a kecepat an r eaksi % =============================================================cl ear cl c

cl f% Def i ni si gl obal var i abel % =========================gl obal t C C_hi t

% I nput data percobaan% =========================t =[ 0 3 5 8 10 12 15 17. 5] ; C=[ 4. 0 2. 89 2. 25 1. 45 1. 0 0. 65 0. 25 0. 07] ;

% Ni l ai t r i al k dan al f a% =========================k0=[ 0. 2, 0. 5] ; % ur ut an ni l ai uj i coba : k al f a

% Mi ni masi f ungsi t uj uan sse% ===========================[ kons, var ] =f mi nsear ch( @hi t _sse, k0) ;

% Tampi l kan hasi l dal am bent uk gr af i k% ====================================f i gur e( 1) pl ot ( t , C, ' * ' , t ' , C_hi t )



34

xl abel ( ' Waktu r eaksi , meni t ' ) yl abel ( ' Konsent r asi A, mol / l ' ) l egend( ' Dat a' , ' Model ' )

% Tampi l kan hasi l pada command wi ndow% ====================================

f pr i nt f ( ' Ni l ai k =%6. 4f \ n' , kons(1) ) f pr i nt f ( ' Ni l ai a =%6. 4f \ n' , kons(2) )

Input data percobaan

Tentukan nilai trial awal untuk k dan

Tampilkan hasilperhitungan dalam

bentuk grafik

Mulai perhitungan

Perhitungan

selesai

Subroutine

function dCdt=ode_reaktor(t,C,kons)

dCdt=f(C)

Minimasi fungsi objektif SSE

kons_hit=fminsearch(@hit_sse,k0)

Subroutine

function fsse=hit_sse(kons)

Penyelesaian ode_reaktor

Hitung fsse


Subroutine hi t _sse

f unct i on f sse=hi t _sse(kons) gl obal t C C_hi t r esi dual % Menyel esai kan PD or di ner unt uk memper ol eh ni l ai C model dengan ode45: [ t hi t , C_hi t ] =ode45( @ode_r eaktor , t , C( 1, 1) , [ ] , kons) ; % Hi t ung ni l ai r esi dual : r esi dual =C_hi t - C' ; % Hi t ung f ungsi t uj uan: f sse=sse( r esi dual ) / ( l engt h( t ) - l engt h( kons) ) ;



35

Subroutine ode_r eakt orf unct i on dCdt =ode_r eakt or ( t , C, kons) dCdt =- kons( 1) . *C kons( 2) ;

HasilNilai k =0.1991

Nilai =0.5027

Gambar 20. Hasil fitting data dengan model



36

3. Latihan3.1. Penentuan dew point campuran5Sistem campuran uap benzen (1) /toluen (2) dengan fraksi mol A (y1) = 0.33 didinginkan pada

tekanan tetap 120 kPa. Ingin dicari pada suhu berapa (oC) pengembunan terjadi dan komposisi

embunan yang terbentuk (xi) jika diketahui bahwa tekanan uap murni mengikuti persamaan

sebagai berikut:

ln () = ()+ (1.1)Komponen6 A B C

Benzen 13,8594 2773,78 220,07

Toluen 14,0098 3103,01 219,79

Petunjuk : kesetimbangan uap-cair mengikuti hokum Roult-Dalton

= (1.2)dengan xiadalah fraksi mol cairan i, Pioadalah tekanan uap murni komponeni, yiadalah fraksimol uap i, dan PTadalah tekanan total system.

Persamaan yang diketahui :

Pada saat kesetimbangan terjadi maka

x1+x2=1 dan y1+y2=1

karena yang diamati adalah cairan maka digunakan persamaan:

f(T)=x1+x2-1 (1.3)

substitusi x1dan x2dari persamaan Roult-Dalton maka:

()=11+ 22 1 (1.4)

5Smith,J.M., Van Ness, H.C., dan Abbott, M.M., 2001, Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics,

edisi ke-6, hal. 361, McGraw-Hill : Singapore.6Tabel 10.2 pada Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics karya Smith, J.M., Van Ness, H.C., dan

Abbott, M.M.



37

3.2. Adsorpsi senyawa limbah7Udara buang pabrik mengandung senyawa A yang akan dihilangkan A-nya sebelum dibuang ke

udara dengan cara menggelembungkan udara tersebut dalam larutan penyerap yang tidak volatile

sehingga sebagian besar A terserap dalam larutan. Jumlah udara G dengan kadar A adalah yAF.

Kandungan A dalam gas keluar larutan dianggap dalam keadaan setimbang dengan A dalam

larutan. Hubungan kesetimbangan uap-cair mengikuti hokum Henry: yA=HxA dimana xA dalam

gmol A/ gmol pelarut bebas A. Suhu sistem dianggap tetap sehingga harga H tetap. Larutan

penyerap berjumlah V dan mula-mula tidak mengandung A. Dengan berjalannya waktu,

kandungan A dalam larutan semakin tinggi sehingga kadar A dalam udara keluar menjadi yAB.

Hitunglah berapa lama proses penggelembungan bisa berlangsung sebelum larutan penyerap

harus diganti dengan larutan segar. Neraca massa A pada peristiwa tersebut dapat diturunkan

menjadi persamaan berikut:

=

0

.

0 (2.1)

G=0,2 gmol udara bebas A/detik; yAF=0,1 gmol A/gmol udara bebas A; yAB=0,05 gmol

A/gmol udara bebas A; H=0,1 gmol larutan bebas A/gmol udara bebas A; dan V=10 gmol bebas

A.

3.3. Reaktor tabung non-adiabatis dan non-isotermal (penyelesaianpersamaan diferensial ordiner simultan)8

Reaksi fasa gas bolak-balik, eksotermis

A B+CDijalankan dalam sebuah reaktor tabung plug-flow, berdiameter dalam D dan panjang L.

Kecepatan reaksi dapat didekati dengan persamaan

= A - B CK Dengan

=

.

= + 7Soal ujian sisipan mata kuliah Perhitungan dengan Komputer, Magister Teknik Kimia, Jurusan Teknik Kimia FT

UGM, tanggal 14 Januari 20118W.B. Sediawan dan A. Prasetya, 1997,Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia,

hal.135-139, Penerbit Andi : Yogyakarta.



38

Perubahan entalpi reaksi mengikuti persaaan

= +(+ )( )Dengan

adalah perubahan entalpi reaksi pada suhu Tref. Umpan reaktor berjumlah F0

(mol/detik) bersuhu T0 dengan komposisi 90% A dan 10% inert (I). Tekanan sepanjang reaktordianggap tetap. Untuk menjaga agar suhu reaktor tidak terlalu tinggi, pendingin berupa cairan

jenuh bersuhu Ts dialirkan diluar tabung (dalam anulus). Pendingin meninggalkan annulus dalam

keadaan uap jenuh pada suhu Ts (sehingga suhu pendingin tetap). Koefisien perpindahan panas

antara gas dan pendingin dihitung berdasarkan luas permukaan dalam tabung=U. Kapasitas

panas gas-gas dianggap tetap dan gas dapat dianggap ideal. Ingin dicari konversi A (X) dan suhu

gas (T) pada berbagai posisi (z), pada keadaan steady.

Diketahui:

U = 0,0085 cal/cm

2

/det/K; F0 = 10 gmol/detik; x0 = 0; P=7,0 atm; D=35 cm; L=1000 cm;CpA,CpB,CpC,CpImasing-masing 20,10,15, dan 10 cal/gmol/K; HR

o= -35000 cal/gmol; R=82

cm3.atm/gmol/K; A=10000 detik

-1; E/R =6500 K; = -12.3; = 4400 K; Tref=273 K; T0=470

K; Ts=421 K

F0,T0,P

90% A

10% I

Ts

z=0

D

z z+z

z=L

xout

Ts

Gambar 21. Skema reaktor alir pipa non-adiabatis dan non-isotermal

Ringkasan Persamaan Diferensial Ordiner Simultan9

= .2 .3,6.0 .

.

.

0,9.(1)1+0,9.

0,9.1+0,9.

2

. .

.1

(3.1)

:

=

0,9.0 .( ). . ..()0 .(0,9.(1). +0,9. .( +)+0,1. ) (3.2)

9Penurunan persamaan dapat dilihat pada buku Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik

Kimia, hal.135-139, karyaW.B. Sediawan dan A. Prasetya



39

Dengan keadaan awal :

Pada z=0; x=0 dan T=T0

=

.exp

.

(3.3)

= exp + (3.4) = +(+ )( ) (3.5)

materi aplikasi matlab pada teknologi proses sttn-batan_2

Documents