matematika teknik dasar-2 3 bilangan kompleks - 22017/05/03 · dari hasil ini didapatkan bahwa ada...
TRANSCRIPT
Matematika Teknik Dasar-23 – Bilangan Kompleks - 2Sebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Rekap
Dari materi sebelumnya telah dipelajari operasi dalam bilangan kompleks (penambahan, pengurangam, perkalian, dan pembagian)
Dipelajari pula bagaimana merubah bilangan kompleks a + jb dinyatakan dalam bentuk bilangan polar r(cos + j sin)
Untuk mengingat kembali bisa dinyatakan bentuk bilangan kompleks menjadi bentuk polar.
a. z = 12 – j5
b. z = -5 – j4
c. z = 4 – j3
Rekap
a. z = 12 – j5
r2 = 122 + 52 = 169
r = 13
tan E = 5/12 = 0,4167 E = 22o37’
Maka dari sketsa di samping dalam hal ini = 360o – E = 360o - 22o37’ =337o23’
Maka z = r(cos + j sin)
z = 13(cos 337o23’ + j sin 337o23’)
Rekap
b. z = -5 – j4
r2 = 52 + 42 = 41
r = 6,403
tan E = 4/5 = 0,8 E = 384037’
Maka dari sketsa di samping dalam hal ini = 180o + E = 218o40’
Maka z = r(cos + j sin)
z = 6,403(cos 218o40’ + j sin 218o40’)
Dengan cara singkat ditulis 6,40340°218ہ′
Rekap
c. z = 4 – j3
r2 = 42 + 32 = 25
r = 5
tan E = 3/4 = 0,75 E = 36052’
Maka dari sketsa di samping dalam hal ini = 360o - 36052’ = 323o8’
Maka z = r(cos + j sin)
z = 5(cos 323o8’ + j sin 323o8’)
Dengan cara singkat ditulis 5323ہo8’
Rekap
Dari nilai z = 5(cos 323o8’ + j sin 323o8’), jika diperhatikan
Diukur dari OX dapat juga dinyatakan sebagai - 36052’
Dapat pula ditulis z = 5(cos [-36052’] + j sin [-36052’])
Tetapi diketahui bahwa cos [-] = cos dan sin [-] = -sin
Maka z = 5(cos 36052’ - j sin 36052’)
Perkalian Bilangan Kompleks
Jika dilakukan perkalian antara dua bilangan kompleks sebagai berikut:
z1 = r1 (cos1 + j sin1) dan z2 = r2 (cos2 + j sin2)
Maka z1z2 = r1 (cos1 + j sin1) r2 (cos2 + j sin2)
z1z2 = r1 r2 (cos1 cos2 + j sin1 cos2 + j cos1 sin2 + j2 sin1 sin2)
Disusun ulang suku-suku yang ada dan ingat bahwa j2=-1
z1z2 = r1 r2 [(cos1 cos2 - sin1 sin2 ) j (sin1 cos2 + cos1 sin2)]
z1z2 = r1 r2 [cos(1+2) j sin (1+2)]
cos1 cos2 - sin1 sin2 = cos (1+2)sin1 cos2 + cos1 sin2= sin (1+2)
Perkalian Bilangan Kompleks
Maka prosedur perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar dapat dijelaskan dalam tahapan sebagai berikut:
1. Kalikan kedua r-nya
2. Tambahkan kedua sudutnya ()
Contoh: 2(cos 30o + j sin 30o) x 3 (cos 40o + j sin 40o)
= 2 x 3 cos (30o + 40o) + j sin (30o + 40o)
= 6 (cos 70o + j sin 70o)
Perkalian Bilangan Kompleks
a. 2(cos 120o + j sin 120o) x 4(cos 20o + j sin 20o)= 8(cos 140o + j sin 140o)
b. a(cos + j sin ) x b(cos + j sin )= ab (cos [+] + j sin [+])
c. 6(cos 210o + j sin 210o) x 3(cos 80o + j sin 80o)= 18(cos 290o + j sin 290o)
d. 5(cos 50o + j sin 50o) x 3(cos [-20o] j sin [-20o] )= 15(cos 30o + j sin 30o)
Pembagian Bilangan Kompleks
Sebelumnya telah dibahas bagaimana melakukan pembagian pada bilangan kompleks, yaitu dengan mengalikan dengan konjugat penyebutnya.
𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2
=𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2
𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2
=𝑟1𝑟2
𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑠𝑖𝑛𝜃2 + 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑠𝑖𝑛𝜃2𝑐𝑜𝑠2𝜃2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃2
𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2
=𝑟1𝑟2
[ 𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑠𝑖𝑛𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑠𝑖𝑛𝜃21
𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2
=𝑟1𝑟2
𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − 𝜃2
Peraturannya adalah bagi r-nya dan kurangkan sudutnya.
Pembagian Bilangan Kompleks
Contoh:6 𝑐𝑜𝑠72° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛72°
2 𝑐𝑜𝑠41° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛41°= 3 𝑐𝑜𝑠31° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛31°
Contoh digabungkan dalam satu operasi.
5 𝑐𝑜𝑠60° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛602° 𝑥 4 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛30°
2 𝑐𝑜𝑠50° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛50°
=20 𝑐𝑜𝑠90° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛90°
2 𝑐𝑜𝑠50° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛50°= 10 𝑐𝑜𝑠40° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛40°
Teorema DeMoivre
Jika z1 = r1 (cos1 + j sin1) dan z2 = r2 (cos2 + j sin2)
Maka z1z2 = r1 r2 [cos(1 2) j sin (1 2)]
Jika z3 = r3 (cos3 + j sin3), maka bisa didapatkan
z1z2z3 = r1 r2 [cos(1+ 2)+ j sin (1 +2)] r3 (cos3+ j sin3)
z1z2z3 = r1 r2 r3[cos(1+ 2+ 3)+ j sin (1 +2+ 3)]
Misalkan semua z1,z2,z3 adalah sama dan masing-maisng z adalah = =r (cos + j sin)
z1z2z3 = r.r.r[cos(+ + )+ j sin ( ++ )]
z1z2z3 = r3 [cos(3)+ j sin (3)]
Teorema DeMoivre
Misalkan semua z1,z2,z3 adalah sama dan masing-maisng z adalah = =r (cos + j sin)
z1z2z3 = r.r.r[cos(+ + )+ j sin ( ++ )]
z1z2z3 = r3 [cos(3)+ j sin (3)]
Berarti bahwa jika memangkat tigakan bilangan kompleks dengan bentuk polar cukup dengan memangkat tigakan modulusnya (nilai r) dan mengalikan argumennya dengan 3.
Serupa halnya dengan:
[r(cos + j sin )]4 = r4(cos 4 + j sin 4)
[r(cos + j sin )]5 = r5(cos 5 + j sin 5), dan seterusnya
Teorema DeMoivre
Berarti secara umum bisa dikatakan:
[r(cos + j sin )]n = rn(cos n + j sin n)
Ini disebut sebagai Teorema DeMoivre
Teori ini mengatakan bahwa untuk memangkatkan suatu bilangan kompleks dalam bentuk polar ke pangkat n, dipangkatkan r dengan pangkat n dan mengalikan sudutnya dengan n.
Contoh
[4(cos 50o + j sin 500)]2 = 42(cos (2 x 50o) + j sin (2 x 50o) )
= 16 (cos 100o + j sin 100o)
Teorema DeMoivre
Contoh
Cari akar kuadrat dari 4(cos 70o + j sin 700)
𝑧 = 𝑧1/2 = [4(cos 70o + j sin 700)]1/2 = 41/2(cos (0,5 x 70o) + j sin (0,5 x 70o) )
= 2 (cos 35o + j sin 35o)
Teorema DeMoivre
Dicoba untuk mencari akar pangkat tiga dari suatu bilangan kompleks
Z = 8(cos 120o + j sin 1200) atau bisa disederhanakan 𝑧 = °120ہ8
Boleh kita mengatakan bahwa adalah ‘1 putaran + 120o dan
vektornya akan tetap pada posisi yang sama, atau bisa juga
(‘2 putaran + 120o), (‘3 putaran + 120o), dst.
Misalnya didapat z = 8120ہ° atau z = 8480ہ° atau z = 8840ہ° atau z = 81200ہ°, dst..
Maka jika diterapkan Teorema DeMoivre..
z1/3 = 81/3 ඌ120°
3atau z1/3=81/3 ඌ
480°
3atau z1/3 =81/3 ඌ
840°
3atau z1/3 =81/3 ඌ
1200°
3
Teorema DeMoivre
Maka jika diterapkan Teorema DeMoivre..
z1/3 = 81/3 ඌ120°
3atau z1/3=81/3 ඌ
480°
3atau z1/3 =81/3 ඌ
840°
3atau z1/3 =81/3 ඌ
1200°
3
z1/3 °40ہ2 = atau z1/3= 2160ہ° atau z1/3 °280ہ2 = atau z1/3 ..dst ,°400ہ2 =
Teorema DeMoivre
Dari hasil ini didapatkan bahwa ada 3 akar pangkat-tiga dari
suatu bilangan kompleks. Jika diperhatikan sudutnya maka
dapat dilihat bahwa ketiga akar sama jaraknya pada diagram
di samping, dimana dua vektor bersebelahan dipisahkan
sudut sebesar 120o atau 360o/3.
Sehingga jika dicari akar pangkat tiga dari z = 5(cos 225o + j sin 2250)
Z1/3 = 1,71(cos 75o + j sin 750) atau z1=1,7175ہ° dimana akar kedua dan ketiga tinggal ditambahkan masing-masing 120o, maka z2=1,71195ہ° dan z3=1,71315ہ°
Dimana akar prinsipalnya adalah z1=1,7175ہ° karena yang terdekat sumbu OX positif
Teorema DeMoivre
Jika dicari sebarang akar dari suatu bilangan kompleks:
a. Gunakan Teorema DeMoivre untuk mencari akar pertama dan n akarnya
b. Akar lain dengan demikian akan terdistribusi di sekeliling diagram dengan interval yang tetap sebesar 360o/n
Maka:
2 akar kuadrat, yang dipisahkan sebesar 360o/2, yaitu 180o
3 akar pangkat-3, yang dipisahkan sebesar 360o/3, yaitu 120o
4 akar pangkat-4, yang dipisahkan sebesar 360o/4, yaitu 90o
5 akar pangkat-5, yang dipisahkan sebesar 360o/5, yaitu 72o, dan seterusnya
Ekspansi sin n dan cos n, dimana n adalah bil. positif
Dari Teorema DeMoivre diketahui bahwa: [r(cos + j sin )]n = rn(cos n + j sin n)
cos n + j sin n = (cos + j sin )n
Metode ini hanya menguraikan sisi kanan sebagai deret binomial, yang mana setelah itu dapat disamakan bagian real dan imajinernya.
Maka diuraikan cos 3 + j sin 3 :
cos 3 + j sin 3 = (cos + j sin )3
= (c + js)3 dimana c cos dan s sin
Sehingga diuraikan dengan deret binomial seperti halnya (a + b)3
Ekspansi sin n dan cos n, dimana n adalah bil. positif
cos 3 + j sin 3 = c3 + 3c2(js) + 3c(js)2 + (js)3; karena j2 = -1 dan j3 = -j
= c3 + j3c2s – 3cs2 – js3
= (c3 – 3cs2) + j(3c2s – s3)
cos 3 = cos3 - 3 cos sin2 sin2 diganti dengan (1- cos2 )
= cos3 - [3 cos (1- cos2 )]
= cos3 - 3 cos + 3 cos3
= 4 cos3 - 3 cos
Ekspansi sin n dan cos n, dimana n adalah bil. positif
cos 3 + j sin 3 = c3 + 3c2(js) + 3c(js)2 + (js)3; karena j2 = -1 dan j3 = -j
= c3 + j3c2s – 3cs2 – js3
= (c3 – 3cs2) + j(3c2s – s3)
sin 3 = 3 cos2 sin - sin3 cos2 diganti dengan (1- sin2 )
= 3 (1- sin2 ) sin - sin3
= 3 sin - 3 sin3 - sin3
= 3 sin - 4 sin3
Ekspansi cosn dan sinn dalam sinus & kosinus kelipatan
Misalkan z = cos + j sin
Maka 1
𝑧=z-1 = cos - j sin
z + 1
𝑧= 2 cos dan z -
1
𝑧= j2 sin
Berikut pula dengan Teorema DeMoivre:
zn = cos n + j sin n
dan 1
𝑧𝑛= z-n = cos n - j sin n
zn + 1
𝑧𝑛= 2 cos n dan zn -
1
𝑧𝑛= j2 sin n
Ekspansi cosn dan sinn dalam sinus & kosinus kelipatan
Dikumpulkan empat pernyataan dari z = cos + j sin
z + 1
𝑧= 2 cos z -
1
𝑧= j2 sin
zn + 1
𝑧𝑛= 2 cos n zn -
1
𝑧𝑛= j2 sin n
Ekspansi cosn dan sinn dalam sinus & kosinus kelipatan
Dicoba untuk mengekspansi cos3 sebagai contoh: dengan z + 1
𝑧= 2 cos
(2 cos )3 = z +1
𝑧
3
= z3 + 3z2 1
𝑧+ 3z
1
𝑧2+
1
𝑧3
= z3 + 3 z + 31
𝑧+
1
𝑧3
Ditulis ulang persamaan
(2 cos )3 = 𝑧3 +1
𝑧3+ 3 𝑧 +
1
𝑧
Ekspansi cosn dan sinn dalam sinus & kosinus kelipatan
(2 cos )3 = 𝑧3 +1
𝑧3+ 3 𝑧 +
1
𝑧
(2 cos )3 = 2 cos 3 + 3 x 2 cos
8 cos3 = 2 cos 3 + 6 cos
4 cos3 = cos 3 + 3 cos
cos3 = 1
4(cos 3 + 3 cos )
Masalah Lokus-Lokus
Kadangkala diminta mencari lokus (tempat kedudukan) suatu titik yang bergerak pada diagram Argand dengan suatu kondisi yang telah ditentukan.
Contoh 1:
Jika z = x + jy, carilah lokus yang didefinisikan oleh 𝑧
Kita telah mengatahui dari materi sebelumnya
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
Lokus ini didefinisikan sebagai
𝑥2 + 𝑦2 = 5
x2 + y2 = 25; maka ini adalah berupa lingkarang dengan pusat di titik asal dengan radius 5.
Masalah Lokus-Lokus
Contoh 2:
Jika z = x + jy, carilah lokus yang didefinisikan arg z = 𝜋
4; ( disebut juga argumen z atau arg z)
Dalam hal ini arg z = 𝑡𝑎𝑛−1𝑦
𝑥𝑡𝑎𝑛−1
𝑦
𝑥=
𝜋
4
𝑦
𝑥= tan
𝜋
4= tan 45° = 1
𝑦
𝑥= 1y = x
Jadi lokus arg z= 𝜋
4adalah sebuah garis lurus y = x dan y>0
Masalah Lokus-Lokus
Contoh 3:
Jika z = x + jy, carilah persamaan lokus 𝑧+1
𝑧−1= 2
Karena z = x + jy
z + 1 = x + jy + 1 = (x + 1) + jy = 𝑟1උ𝜃1 = 𝑧1
z - 1 = x + jy - 1 = (x - 1) + jy = 𝑟2උ𝜃2 = 𝑧2
𝑧+1
𝑧−1=
𝑟1උ𝜃1
𝑟2උ𝜃2=
𝑟1
𝑟2උ𝜃1 − 𝜃2
𝑧+1
𝑧−1=
𝑟1
𝑟2=
𝑟1
𝑟2=
𝑥+1 2+𝑦2
𝑥−1 2+𝑦2
Masalah Lokus-Lokus
Contoh 3:
𝑧+1
𝑧−1=
𝑟1
𝑟2=
𝑟1
𝑟2=
𝑥+1 2+𝑦2
𝑥−1 2+𝑦2
𝑥+1 2+𝑦2
𝑥−1 2+𝑦2= 2
𝑥+1 2+𝑦2
𝑥−1 2+𝑦2= 4
Proses berikutnya adalah menyelesaikan persamaan hingga ke bentuk yang paling sederhana.
Masalah Lokus-Lokus
Contoh 3:
Proses berikutnya adalah menyelesaikan persamaan hingga ke bentuk yang paling sederhana.
𝑥+1 2+𝑦2
𝑥−1 2+𝑦2= 4; maka
(x+1)2 + y2 = 4 {(x-1)2 + y2}
x2 + 2x + 1 + y2 = 4 (x2 – 2x + 1 + y2)
x2 + 2x + 1 + y2 = 4x2 – 8x + 4 + 4y2
3x2 – 10x + 3 + 3y2 = 0