matematika lanjutan ed-2-print

Cara Mudah Memahami

MATEMATIKA

EKONOMI

LANJUTAN

EDISI KEDUA

Cara Mudah Memahami

MATEMATIKA EKONOMI LANJUTAN© Nata Wirawan

Edisi Kedua, Januari 2016

Penulis : Nata Wirawan

Penerbit : Keraras Emas Denpasar

Hak Cipta 2016 pada penulis.

ISBN : 978-979-1145-27-5

Dilarang memproduksi sebagian atauseluruh isi buku ini, tanpa ijin tertulis dari penulis

Cara Mudah Memahami

MATEMATIKA

EKONOMI

LANJUTAN

Edisi Kedua

Oleh

Nata Wirawan

Universitas Udayana

Penerbit

Keraras Emas

Jl. Padma No. 107

Denpasar (80238),Bali

Kutipan Pasal 44

Sanksi Pelanggaran Undang-undang Hak Cipta

1 Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau mem-perba-nyak suatu ciptaan atau memberi izin untuk itu, dipidana dengan pi-dana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan /atau denda paling banyak Rp 100.000.000,00 (seratus juta rupiah)

2 Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam ayat (1) dipidana dengan pi-dana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 50.000.000,00 (lima puluh juta rupiah).

Sebagai seorang manusia,

( )

vi Matematika Ekonomi Lanjutan

PRAKATA EDISI KEDUA

Sesuai dengan judul buku ini, maka materi yang dibahas dalam buku ini adalah materi yang belum dibahas dalam buku Cara Mudah Memahami Matematika Ekonomi. Dengan kata lain, materi buku

ini adalah kelanjutan dari materi yang dibahas dalam buku Cara Mudah Memahami Matematika Ekonomi. Alasan disusunnya buku ini yaitu ikut serta menambah jumlah referensi buku matematika ekonomi (lanjutan) dalam bahasa Indonesia. Sasaran yang ingin dicapai adalah hasil perkuliahan yang optimal. Sementara itu, keunggulan buku ini dari buku yang sejenis lainnya adalah buku ini dikemas dalam bahasa yang mudah dipahami dan dimengerti oleh pembaca, sistematis, padat isi dan dilengkapi contoh soal yang relatip banyak.

Dalam edisi kedua buku ini, pokok bahasan dan cara penyajiannya tetap dipertahankan. Pokok bahasan terdiri atas 10 bab seperti yang tercantum dalam daftar isi. Koreksi, penyempurnaan penyajian dan penambahan dan pemutakhiran beberapa soal dilakukan hampir di semua bab. Seperti edisi pertama, buku ini dimulai dari Bab 1, uraian mengenai dasar-dasar matriks dengan uraian pokok pengertian dan operasi matriks. Bab 2, mengenai determinan suatu matriks. Bab 3, uraian mengenai invers dan rank suatu matriks. Bab 4, mengenai persamaan linear simultan dan aplikasinya dalam ekonomi. Bab 5, analisis input-output. Bab 6, program linear dan aplikasinya dalam ekonomi. Bab 7, uraian mengenai turunan fungsi multivariabel dan aplikasinya dalam ekonomi. Bab 8, mengenai optimisasi fungsi multivariabel dan aplikasinya dalam ekonomi. Bab 9, uraian mengenai determinan Jacobian dan Hessian dan aplikasinya dalam ekonomi. Bab terakhir, yaitu Bab 10, uraian mengenai persamaan diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi

Untuk memudahkan bagi mahasiswa dan pemakai lainnya, di dalam memahami dan menelaah materi yang terkandung dalam buku ini, maka tiap pokok bahasan dilengkapi dengan contoh dan soal-soal latihan. Secara keseluruhan buku ini dilengkapi dengan 193 contoh dan 101 soal-soal latihan yang tersebar ke dalam semua bab. Dengan cara penyajian seperti itu diharapkan para pemakai, terutama mahasisawa dapat belajar secara mandiri.

Materi yang terkandung dalam buku ini diperuntukkan satu semester. Oleh karena itu disarankan kepada kolega dosen, agar materi Bab 1 sampai Bab 5 diberikan sebagai bahan UTS (Ujian Tengah Semester). Sisanya yaitu materi Bab 6 sampai dengan Bab 10 dipertimbangkan sebagai bahan UAS (Ujian Akhir Semester).

Edisi kedua Cara Mudah Memahami Matematika Ekonomi Lanjutan ini, sesungguhnya merupakan hasil dari usaha banyak orang. Para mahasiswa, rekan sejawat (kolega dosen), korektor dan penerbit. Mereka itu, semuanya memiliki kontribusi yang cukup besar.

Penulis ingin mengungkapkan rasa terima kasih kepada rekan sejawat – kolega dosen – yang telah memberikan berbagai saran dan masukkan dalam penyusunan edisi-edisi sebelumnya dan naskah edisi ini, yaitu kolega dosen/pengajar di :

Nata WIrawan vii

PRAKATA EDISI KEDUA

Universitas Udayana

Aswitari, L.P. Yuliarmi, Ni N.Jayastra, I K. Purbadharmaja, I B. P.Sudarsana ArkaJember, Md Widanta, A. A. B. Indrajaya, I G. B Yudi Setiawan, P. Santika, I W. Tisnawati, Ni MdVivi Lestari, P. Artha Wibawa, Md.Dwi Setyadhi Mustika, Md. Ayuningsasi, A. A. Sukadana, W. Ayu Desi Indrawati

Universitas Mahasaraswati

Wana Pariartha, I W.Suryani, Ni N.Putru, I. B.Manik Pratiwi, A. ADian Putri Agustina, Md. Ika Prasetya Dewi, Md.I A. P. Utami Paramita

Universitas Hindu Indonesia

Kawiana, Gd. P. Sumadi, Ni Km. Israil Sitepu

Politenik Negeri Bali

Wijana, I MdPutri Suardani, A.A.Dewinta Ayuni, Ni Wyn.Triyuni, Ni NyomanEka Armoni, Ni LuhSuja, I KetutMas Krisna Komala Sari, I G. A.Sadnyana Putra, I G. A.Bagus Mataram, I G. A.Putrana, I WayanJemmy Waciko, Kade

Universitas Pendidikan Ganesha

Bagia, I W.Dwita Atmaja, Md.Anjuman ZukhriFridayana YudiatmajaLucy Sri MusminiM. Rudi IrwansyahWisardja, I W.Yulianthini, Ni N.Sukma Kurniawan, P.Aristia Prayudi, Md.

Universitas Mataram

Karismawan, I P.Akhmad JupriEndang AstutiSatarudinEmilia Septiani

Universitas Negeri Jakarta

R. Tuty Sariwulan

Universitas Warmadewa

Pulawan, I Md. Niti Widari, D. A.Suyatna Yasa, I. P. Ngr. Sri Purnami, A.A.Pertamawati, Ni P

Universitas Pendidikan Nasional

Eratodi, I G. B.Suardana, Kt. Wismantara, I G. Ngr.

STIMI Handayani

Swaputra, I. B.Tettie Setiyarti

Universitas Tabanan

Rastana, Dewa Md.

Universitas Panji Sakti

Sri Wati, P.

Secara khusus kepada Bapak Prof. Ketut Sudibia, Prof. Made Sukarsa dan Bapak Drs. Gede Djegog penulis mengucapkan banyak terima kasih

viii Matematika Ekonomi Lanjutan

PRAKATA EDISI KEDUA

atas bimbingan, saran dan dorongnya, sehingga edisi pertama buku ini dapat diterbitkan tahun 1994 yang lalu. Secara khusus pula kami berterima kasih kepada korektor naskah buku ini dan staf Penerbit Keraras Emas Denpasar, yang menjadikan buku ini lebih sempurna dari edisi sebelumnya. Terima kasih yang tulus dan khusus disampaikan kepada Saudara Gde Aryantha Soethama atas kepiawaiannya dalam me- lay out isi dan mendisain kulit buku ini.

Akhirnya penulis menyadari buku ini jauh dari sempurna, di atas langit ada langit lagi, oleh karena itu kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca dan pemakai buku ini akan penulis terima dengan senang hati. Sementara segala kekurangan dan kesalahan yang terdapat dalam buku ini sepenuhnya bersumber dan menjadi tanggung jawab penulis.

Denpasar, Januari 2016

NW

Nata WIrawan ix Nata WIrawan ix

DAFTAR ISI

PRAKATA EDISI KEDUA vi

BAB 1 DASAR-DASAR MATRIKS 1.1 Pengantar 1 1.2 Pengertian Matriks 1

1.4 Ukuran, Dimensi dan Orde Suatu Matriks 3 1.5 Jenis - jenis Matriks 4 1.6 Operasi Matriks 8 1.7 Matriks Partisi/Matriks Sekatan 15 1.9 Aplikasi operasi matriks dalam Ekonomi dan Bisnis 21 Soal-soal Latihan 22

BAB 2 DETERMINAN SUATU MATRIKS

2.1 Pengantar 25 2.2 Determinan Tingkat Dua 25 2.3 Determinan Tingkat Tiga 27 2.4 Determinan Tingkat Lebih Tinggi 30 2.5 Sifat-sifat Determinan 40 2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen 44 Soal-soal Latihan 45

BAB 3 INVERS DAN RANK SUATU MATRIKS

3.1 Pengantar 48 3.2 Pengolahan Dasar Matriks 48 3.3 Matriks Ajoin dan Matriks Kofaktor 51 3.4 Invers Suatu Matriks 55 3.4.1 Metode Substitusi 55 3.4.2 Metode Matriks Ajoin 58 3.4.3 Metode Gauss - Jourdan 63 3.5 Rank Suatu Matriks 70 Soal-soal Latihan 72

BAB 4 PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DAN APLIKASINYA

DALAM EKONOMI

4.1 Pengantar 75 4.2 Persamaan Matriks 75 4.3 Sistem Dua Persamaan Linear dengan Dua Variabel 78 4.4 Sistem Tiga Persamaan Linear dengan Tiga Variabel 81 4.5 Penyelesaian Persamaan Linear Simultan dengan Menggunakan Matriks 83 4.5.1 Penyelesaian Persamaan Linear Simultan m Persamaan dan n Varaiabel 83

x Matematika Ekonomi Lanjutan

DAFTAR ISI

4.5.2 Penyelesaian Persamaan Simultan n Persamaan n Variabel 85 4.5.3 Persamaan Linear Homogen 98 4.6 Aplikasi Persamaan Linear Simultan dalam Ekonomi dan Bisnis 102 Soal-soal Latihan 106

BAB 5 ANALISIS INPUT - OUTPUT

5.1 Pengantar 110 5.2 Tabel Input - Output 110 5.3 Bentuk Umum Tabel Transaksi Input - Output 112 5.4 Perubahan Permintaan Akhir, PDB dan Kesempatan Kerja 123 Soal-soal Latihan 127

BAB 6 PROGRAM LINEAR DAN APLIKASINNYA

DALAM EKONOMI-BISNIS

6.1 Pengantar 130 6.2 Batasan Program Linear 131 6.3 Model Baku Program Linear 131 6.4 Metode Analisis Program Linear 132 6.4.1 Metode G 6.4.2 Metode Simpleks 143 6.5 Dual dari Program Linear 162 Soal-soal latihan 165

BAB 7 TURUNAN FUNGSI MULTIVARIABEL DAN APLIKASINYA


7.1 Pengantar 169 7. 2 Turunan Parsial 169 7. 3 Diferensial Total, Diferensial Parsial dan Total Derivatif 173 7.4 Diferensiasi Fungsi Implisit 177 7.4.1 Fungsi Implisit f(x, y) = 0 177 7.4.2 Fungsi Implisit F (x, y, z) 177 7.5 Aplikasi Turunan Parsial dalam Ekonomi 179 7.5.1 Biaya Marginal (Marginal Cost) 179 7.5.2 Permintaan Marginal (Marginal Demand) 180 7.5.3 Elastisitas Parsial 184 7.5.4 Fungsi Produksi 186 7.5.5 Teorema Euler 189 7.5.6 Fungsi Produksi Homogen 191 7.5.7 Skala Tingkat Hasil (Return to Scale) 191 7.5.8 Fungsi Utilitas 193 Soal-soal Latihan 194

Nata WIrawan xi

DAFTAR ISI

BAB 8 OPTIMISASI FUNGSI MULTIVARIABEL DAN APLIKASINYA


8.1 Pengantar 198 8.2 Optimisasi Fungsi Multivariabel Tanpa Kendala 198 8.3 Optimisasi Fungsi Multivariabel Dengan Kendala 205 8.3.1 Metode Lagrange Multiplier 205 8.3.2 Syarat Kuhn - Tucker 210 8.4 Aplikasi Optimisasi Fungsi Multivariabel Dalam Ekonomi 216 8.4.1 Produksi Bersama (Joint Product) 216 8.4.2 Diskriminasi Harga 219 8.4.3 Keseimbangan Produksi 223 8.4. 3 Keseimbangan Konsumsi 228 8.4.5 Aplikasi Lainnya dalam Ekonomi 234 8.5 Arti Penting Pengganda Lagrange 239 Soal-soal Latihan 242

BAB 9 DETERMINAN JACOBIAN, HESSIAN DAN APLIKASINYA

DALAM EKONOM-BISNIS

9.1 Pengantar 247 9.2 Determinan Jacobian 247 9.2.1 Determinan Jacobian (Orde) Kedua 247 9.2.2 Determinan Jacobian(Orde) Ketiga 248 9.3 Determinan Hessian dan Aplikasinya dalam Ekonomi 249 9.3.1 Determinan Hessian (Orde) Kedua 250 9.3.2 Determinan Hessian (Orde) Ketiga 251 Soal-soal Latihan 255

BAB 10 PERSAMAAN DIFFERENSIAL DAN APLIKASINYA 257


10.1 Pengantar 257

10.3 Penyelesaian dari Persamaan Differensial 259 10.4 Persamaan Differensial (Biasa) Orde Pertama dan Derajat Pertama 263 10.4.1 PD yang Variabelnya Dapat Dipisahkan 264 10.4.2 PD yang Homogen 266 10.4.3 Persamaan Differensial Eksak 268 10.4.4 Persamaan Differensial Linear Orde Pertama 276 10.4.5 Persamaan Differensial Linear dalam Fungsi y atau dalam Fungsi x 280 10.5 Aplikasi Persamaan Differensial dalam Ekonomi 283 10.6 Aplikasi Persamaan Differensial dalam Model Ekonomi 286 10.6.1 Model Makro Dari Domar 287 10.6.2 Model Hutang Domar 288 10.6.3 Model Pendapatan Konsumsi - Investasi 289 Soal-soal Latihan 291

DAFTAR PUSTAKA 293

Nata WIrawan 1

DASAR-DASAR

MATRIKS

1.1 PengantarDalam bab ini akan dibahas mengenai dasar-dasar matriks antara lain

Dimensi, jenis, operasi dan partisi matriks, dengan penekanan utama operasi matriks.

Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini mahasiswa diharapkan dapat memahami dan mengerti tentang dasar-dasar matriks serta mampu mene-rapkan operasi matriks dengan baik.

1.2 Pengertian MatriksCoba perhatikan Tabel 1.1, yaitu sebuah tabel yang memuat nilai ujian

akhir semester ganjil tahun akademis 2014/15 dari empat mahasiswa FEB-Unud atas tiga mata kuliah.

Tabel 1. 1 Nilai UAS Ganjil Tahun Akademis 2014/15 Tiga Mata Kuliah dari Empat Mahasiswa FEB - Unud

NamaMahasiswa

Mata Kuliah

Statistika Ekonomi Peng. Akuntansi Peng. Bisnis

Ardika

Idrus

Alexander

Pertiwi

85

80

65

75

75

85

85

70

80

70

80

85

Sumber: Data Hipotetis

Apabila angka-angka dari nilai UAS ditulis sebagai berikut,

2 Matematika Ekonomi Lanjutan

1. DASAR-DASAR MATRIKS

857075

808565

708580

807585

Bentuk penulisan angka-angka seperti cara itu, dikenal sebagai bentuk penulisan dari sebuah matriks.

1.3 Definisi dan Notasi Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan, variabel, atau parameter yang disajikan secara terurut dalam baris dan kolom yang berbentuk empat persegi panjang dan termuat dalam kurung biasa ( ), atau kurung siku [ ], atau di antara dua pasang garis tegak rangkap . Bilangan, variabel atau parameter di dalam tanda kurung itu, disebut anggota (elemen/unsur) dari suatu matriks.

Pada umumnya sebuah matriks dilambangkan dengan huruf kapital, sementara unsur-unsurnnya (elemen-elemennya) dilambangkan dengan huruf kecil yang diberi indek, misalnya a ij, bij, dan cij. aij merupakan unsur-unsur matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j, bij adalah unsur-unsur matriks B yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j, dan cij adalah unsur-unsur matriks C yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j.

dinotasikan dengan salah satu dari 3 (tiga) cara berikut:

A = (aij) =

baris ke-1 baris ke-2

baris ke - m

kolom kolom kolom ke-1 ke-2 ke - n

atau

Nata WIrawan 3


A = [aij] =

atau

A = ija =

Baris adalah deretan elemen-elemen yang diletakkan mendatar dan kolom adalah deretan elemen-elemen yang diletakkan secara tegak.

Seperti telah dikemukakan sebelumnya bahwa aij adalah unsur matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j. Dengan demikian a23 adalah unsur matriks A yang terletak pada baris ke-2 dan kolom ke-3; b35 adalah unsur matriks B yang terletak pada baris ke-3 dan kolom ke-5.

1.4 Ukuran, Dimensi dan Orde Suatu Matriks Ukuran suatu matriks adalah banyak baris dan kolom yang dimiliki oleh

suatu matriks. Dimensi suatu matriks adalah baris kali kolom dari suatu matriks. Orde suatu matriks adalah jumlah baris atau jumlah kolom dari matriks bujur sangkar. Secara ringkas suatu matriks A berukuran m x n, dapat juga dinotasikan sebagai,

A = (aij) = A m x n



Contoh 1- 1

A =

Matriks A memiliki 2 baris dan 2 kolomUkuran matriks A adalah 2 x 2Dimensi matriks A adalah 2 x 2Orde matriks A adalah 2

B =

Matriks B memiliki 3 baris dan 2 kolomUkuran matriks B adalah 3 x 2Dimensi matriks A adalah 3 x 2

C =

Matriks C memiliki 2 baris dan 3 kolomUkuran matriks A adalah 2 x 3Dimensi matriks A adalah 2 x 3

D = ( 1 2 4)

Matriks D memiliki 1 baris dan 3 kolomUkuran matriks D adalah 1 x 3Dimensi matriks D adalah 1 x 3Matriks D juga disebut vektor baris berdimensi 3

E =

Matriks E memiliki 4 baris dan 1 kolomUkuran matriks E adalah 4 x 1Dimensi matriks E adalah 4 x 1Matriks E juga disebut vektor kolom berdimensi 4

1.5 Jenis - jenis MatriksBerdasarkan susunan elemen-elemennya, terdapat beberapa jenis

matriks, antara lain:

(1) Matriks Bujur SangkarMatriks bujur sangkar (square matriks) adalah suatu matriks yang

memiliki banyak baris sama dengan banyak kolomnya. Matriks bujur sangkar yang memiliki m baris dan n kolom (dengan m = n ), disebut matriks bujur sangkar berorde n saja.

Contoh 1- 2

A = B = C =

n = m = 2 n = m = 3 n = m = 4

Nata WIrawan 5


(2) Matriks Indentitas

Matriks indentitas atau matriks satuan adalah matriks bujur sangkar yang elemen -elemennya bernilai 1 (satu) pada diagonal utama (diagonal dari kiri atas ke kanan bawah) dan nol diluar diagonal utama. Matriks indentitas yang berorde n biasanya diberi simbol In.

Contoh 1- 3

I2 = I3 = I4 =

(3) Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utama bernilai nol dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol

Contoh 1- 4

A = B = C = D =

(4) Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas (upper tringular) adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Dengan kata lain, nilai elemen-elemen segitiga atas atau diagonal utamanya tidak nol, yang lainnya nol

Contoh 1- 5

A = 400

500

321

B =

(5) Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah (lower tringular) adalah matriks bujur sangkar yang memiliki elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Dengan kata lain, nilai elemen-elemen segitiga bawahnya tidak nol.



Contoh 1- 6

A = B =

(6) Matriks Nol

Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya bernilai nol. Matriks nol umumnya diberi simbol 0

Contoh 1- 7

0 = 0 = 0 =

(7) Matriks Baris

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Matriks baris juga disebut vektor baris.

Contoh 1- 8

A = (4 5 6 7) B = (5 3 1) C = (1 2 )

(8) Matriks Kolom

Matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Matriks kolom juga disebut vektor kolom.

Contoh 1- 9

A = B = C =

(9) Matriks Transpose

Matriks transpose atau matriks putar adalah suatu matriks yang dibentuk dengan cara memutar baris ke-i suatu matriks, menjadi kolom ke-i matriks transpose. Misalnya : baris ke-2 matriks semula diputar dan akan menjadi

Nata WIrawan 7


kolom ke-2 matriks transpose. Transpose dari matriks A dilambangkan dengan A’ atau A T.

Contoh 1-10

(a) Bila, A = , maka A’ =

(b) Bila, B = , maka B’ =

(c) Bila, C = , maka C’ =

(d) Bila, D = , maka D’ =

(10) Matriks Simetris

Matriks simetris atau matriks yang setangkup adalah suatu matriks yang transposenya sama dengan matriks semula.

Contoh 1- 11

Bila

A = maka A’ =

Matriks A disebut matriks simetris.

(11) Matriks Singular dan Tan-Singular

Matriks singular adalah matriks bujur sangkar yang nilai determinannya nol. Sedangkan matriks bujur sangkar yang nilai determinannya tidak sama dengan nol disebut matriks yang tan– singular/nonsingular.

(12) Kesamaan Matriks

Matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, apabila ordenya sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.



Contoh 1- 12

Bila,

A =

876

405

123

, B =

876

405

123

dan C =

830

204

145

maka, A = B dan A C

1.6 Operasi MatriksDalam sub-bab ini akan diuraikan mengenai operasi matriks yang meliputi

penjumlahan dan pengurangan, perkalian matriks dengan skalar, perkalian antar matriks dan pemangkatan suatu matriks.

1) Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan bila kedua matriks tersebut berorde sama. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan matriks, yang dijumlahkan atau dikurangkan adalah elemen-elemen yang seletak (posisi sama). Matriks baru, hasil operasi penjumlahan atau pengurangan, memiliki orde yang sama dengan orde matriks-matriks yang dijumlahkan/dikurangkan.

Contoh 1-13

=

A B C = A + B

Nilai masing-masing elemen matriks C yaitu cij dapat dihitung sebagai

berikut:

cij = aij bijc11 = a11 b11 (ketiga elemen tersebut, seletak)c12 = a12 b12 (ketiga elemen tersebut, seletak)c21 = a21 b21 (ketiga elemen tersebut, seletak)c22 = a22 b22 (ketiga elemen tersebut, seletak)c31 = a31 b31 (ketiga elemen tersebut, seletak)c32 = a32 b32 (ketiga elemen tersebut, seletak)

Dalam operasi penjumlahan dan pengurangan matriks pada Contoh 1-13 yang perlu diperhatikan adalah dimensi dari ketiga matriks yaitu dimensi matriks A, B dan C adalah sama.

Nata WIrawan 9


Contoh 1-14

Bila

A = , B = , dan C = ,

maka,

(a) A + B = + =

(b) A + C = + =

(c) B + C = + =

Contoh 1-15

Bila,

A = 4 3 5

2 4 1 dan B =

1 0 4

6 1 4

maka,

(a) A + B = 4 3 5

2 4 1 +

1 0 4

6 1 4=

5 3 9

8 5 5

(b) A - B = 4 3 5

2 4 1 -

1 0 4

6 1 4=

3 3 1

4 3 3

Contoh 1-16

Bila,

A =

1 5 3

3 6 4

4 7 5

dan B =

0 4 2

5 3 1

2 0 4maka,

(a) A + B =

1 5 3

3 6 4

4 7 5

+

0 4 2

5 3 1

2 0 4

=

1 9 5

8 9 5

6 7 9

(b) B - A =

0 4 2

5 3 1

2 0 4

-

1 5 3

3 6 4

4 7 5

=

1 1 1

2 3 3

2 7 1



Contoh 1-17

Bila,

A =

1 5 3

3 6 4

4 7 5

dan B =

0 4

5 3

2 0

maka,

A B =

1 5 3

3 6 4

4 7 5

0 4

5 3

2 0

Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks

(1) A + B = B + A(2) A + B + C = A + (B + C) = (A + B) + C

2) Hasil Kali Skalar dengan Matriks

Hasil kali matriks A dengan skalar k ditulis kA adalah suatu matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k. Matriks baru ini akan memiliki dimensi yang sama dengan matriks A.

Perkalian skalar k dengan matriks A berdimensi m x n, secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut:

kA = k

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

K

MMMMM

K

K

K

321

3333231

2232221

1131211

=

=

mnmmm

n

n

n

kakakaka

kakakaka

kakakaka

kakakaka

K

MMMMM

K

K

K

321

3333231

2232221

1131211

Nata WIrawan 11


Contoh 1- 18

Bila diberikan

A = 1 2

0 1 dan k = 3

maka,

kA = 3 1 2

0 1 =

3 6

0 3

Contoh 1-19

Bila diberikan

B =

0724

0821

6505

2430

dan k = 2

maka,

kB = 2

0724

0821

6505

2430

=

01448

01642

1210010

4860

3) Perkalian Matriks dengan Matriks

Suatu matriks A dapat dikalikan dengan matriks B bila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Bila matriks A berukuran m x n dan matriks B berukuran n x p, maka ukuran matriks hasil kali keduanya (matriks AB = C) adalah m x p. Untuk memudahkan mengingat dapat dinyatakan sebagai berikut :

A(m x n) B(n x p) = C(m x p)



Contoh 1- 20

Bila diketahuiBila diketahui

A =

3x2232221

131211

aaa

aaa

dan B =

b b

b b

b bx

11 12

21 22

31 323 2

maka, AB = C

3x2232221

131211

aaa

aaa

b b

b b

b bx

11 12

21 22

31 32 3 2

=

2x22221

1211

cc

cc

A B C

Nilai masing-masing elemen matriks C yaitu cij dapat dihitung sebagai berikut:cij = Total hasil kali masing-masing elemen baris ke-i matriks pertama

(matriks A) dengan elemen-elemen kolom ke-j matriks kedua (matriks B).

c11 = Total hasil kali masing-masing elemen baris pertama (ke-1) matriks pertama (matriks A) dengan elemen-elemen kolom pertama (ke-1) matriks kedua (matriks B) = a11b11 + a12b21 + a13b31

c21 = Total hasil kali masing-masing elemen baris kedua (ke-2) matriks pertama (matriks A) dengan elemen-elemen kolom pertama (ke-1) matriks kedua (matriks B) = a21b11 + a22b21 + a23b31

c12 = Total hasil kali masing-masing elemen baris pertama (ke-1) matriks pertama (matriks A) dengan elemen-elemen kolom kedua (ke-2) matriks kedua (matriks B) = a11b12 + a12b22 + a13b32

c22 = Total hasil kali masing-masing elemen baris kedua (ke-2) matriks pertama (matriks A) dengan elemen-elemen kolom kedua (ke-2) matriks kedua (matriks B) = a21b12 + a22b22 + a23b32

Contoh 1- 21

Bila diketahui

A =

4 3

1 5

2 6

dan B = 4

3

maka,

Nata WIrawan 13


(a) AB = C = C

4 3

1 5

2 63 2x

4

32 1x

=

1326

19

25

x

A B C

4

32 1x

4 3

1 5

2 63 2x

B A

Contoh 1-22

Bila diketahui

A =

3 0 1

5 2 4

0 6 7

dan B = ( )4 1 3

maka,

AB =

3 0 1

5 2 4

0 6 73 3x

( )4 1 31 3x

A B

(b) BA = C

= ( )4 1 3

1 3x

3 0 1

5 2 4

0 6 73 3x

= ( )17 20 291 3x

B A C

Contoh 1- 23

Bila diketahui

A =

2 1 3

4 2 0

5 3 6

dan B = 1 3 2

4 5 3

maka,



AB =

2 1 3

4 2 0

5 3 63 3x

1 3 2

4 5 32 3x

A B

(b) BA = C

1 3 2

4 5 32 3x

2 1 3

4 2 0

5 3 63 3x

= 24 13 15

43 23 302 3x

B A C

Contoh 1- 24

Bila diketahui

A =

2 3 4

5 6 7

1 4 8

dan B =

3 5 2

4 9 6

7 1 2

maka,

(a) AB = C

2 3 4

5 6 7

1 4 83 3x

3 5 2

4 9 6

7 1 23 3x

=

46 41 30

88 86 60

75 49 423 3x

A B C

(b) BA = C

3 5 2

4 9 6

7 1 23 3x

2 3 4

5 6 7

1 4 83 3x

=

33 47 63

59 90 127

21 35 513 3x

B A C

Perkalian Matriks

(1) ABC = (AB)C = A(BC)(2) A(B + C) = AB + AC(3) AB BA, dalam keadaan khusus bila AB = BA kedua matriks disebut

Commute.

4) Pemangkatan Matriks

Bila A adalah matriks bujur sangkar berorde n (n bilangan asli), maka

Nata WIrawan 15


berlaku:

An = kalin

AAAA ......

Contoh 1- 25

Bila diketahui

A = 1 2

3 4

maka,

(a) A2 = A.. A = 1 2

3 4

1 2

3 4 =

7 10

15 22

(b) A3 = A2.A = 7 10

15 22

1 2

3 4 =

37 54

81 118

(c) A4 = A 2.A2 = 7 10

15 22

7 10

15 22 =

199 290

435 634

1.7 Matriks Partisi/Matriks SekatanMatriks partisi (matriks sekatan) adalah matriks yang dibagi-bagi menjadi

matriks yang lebih kecil yang disebut sub matriks. Matriks partisi ditandai dengan garis terputus-putus mendatar atau tegak di antara baris dan kolomnya.

Misalkan, matriks A m x n dapat dibagi antara lain sebagai berikut :

1 A = ( A1 A2 )dengan A1 adalah matriks m x n1 dan A2 adalah matriks m x n2 dan n1 + n2 = n

2 A =

A

A

1

2

dengan A1 adalah matriks m1 x n dan A2 adalah matriks m2 x n dan m1 + m2 = m



3 A = A A

A A

11 12

21 22

dengan A11 adalah matriks m 1 x n1

A12 adalah matriks m 1 x n2



dan m1 + m2 = m, serta n1 + n2 = n

Contoh 1- 26

Bila diketahui

A = (A1 A2 ) =

1 2 6

3 4 5

7 8 3

0 4 24 3x

maka,

A1 =

1 2

3 4

7 8

0 44 2x

dan A2 =

6

5

3

24 1x

Contoh 1- 27

Bila diketahui

A = A

A

1

2 =

1 2 6

3 1 5

7 8 3

0 4 24 3x

maka,

A1 = 1 2 6

3 1 52 3x

dan A2 = 7 8 3

0 4 22 3x

Contoh 1- 28

Bila diketahui

A = A A

A A

11 12

21 22 =

1 2 6

3 4 5

7 8 3

0 4 2

maka,

A11 =1 2

3 42 2x

A12 =6

52 1x

,

A21 =7 8

0 42 2x

A22 =3

22 1x

Nata WIrawan 17


A1 dan A2 pada Contoh 1- 26 dan Contoh 1- 27 dan A11, A12, A21 dan A22 pada Contoh 1-28 disebut sub matriks, sementara

A = ( )A A1 2 , A =

A

A

1

2 dan A =

A A

A A

11 12

21 22

disebut matriks partisi atau matriks sekatan.

1) Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Partisi

Syarat penjumlahan dan pengurangan matriks asli (biasa) berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan matriks partisi yang dapat dirumuskan sebagai berikut :

(i) Bila A = ( )A A1 2 dengan A (m x n ) , A

m xn11( )

, Am xn2

2( ) serta n1 + n2 =

n, dan

B = ( )B B1 2dengan B (m x n ) , B m xn1

1( ),B

m xn22( )

serta n1 + n2 = n

Maka berlaku : A ± B = ( )A B A B1 1 2 2± ±

(ii) Bila A = A

A

1

2

, dengan A (m x n ) dan Am x n1

1( ), A

m x n22( )

serta m1 + m2 = m,

dan B = B

B

1

2

, dengan B (m x n ) dan Bm x n1

1( ), B

m x n22( )

serta m1 + m2 = m,

maka berlaku : A B = A B

A B

1 1

2 2

Contoh 1- 29

Bila diketahui

A = ( )A A1 2 =

3 5

6 7, dan B = ( )B B1 2

= 1 2

3 4,

maka,

(a) A + B = ( )A A1 2 + ( )B B1 2

= ( )A B A B1 1 2 2+ +

= ( ) (

( ) ( )

3 1 5 2)

6 3 7 4

+ +

+ + =

4 7

9 11



(b) A - B = ( )A A1 2 - ( )B B1 2

= ( )A B A B1 1 2 2

= ( ) (

( ) ( )

3 1 5 2)

6 3 7 4 =

2 3

3 3

= ( ) (

( ) ( )

3 1 5 2)

6 3 7 4 =

2 3

3 3

Contoh 1- 30

Bila diketahui

A = A

A

1

2

= 3 5

6 7 dan B =

B

B

1

2

= 1 2

3 4

maka,

(a) A + B = A

A

1

2

+ B

B

1

2

= A B

A B

1 1

2 2

= ( ) (

( ) ( )

3 1 5 2)

6 3 7 4 =

119

74

(b) A - B = A

A

1

2

- B

B

1

2

= A B

A B

1 1

2 2

= ( ) (

( ) ( )

3 1 5 2)

6 3 7 4 =

2 3

3 3

Contoh 1- 31

Bila diketahui

A = A A

A A

11 12

21 22

=

2 3 4

1 3 2

5 6 7

B = B B

B B

11 12

21 22

=

4 5 6

1 2 3

3 2 8

maka,

A + B = A A

A A

11 12

21 22

+ B B

B B

11 12

21 22

Nata WIrawan 19


= A B A B

A B A B

11 11 12 12

21 21 22 22

Carilah terlebih dahulu,

A11 + B11 = 2 3

1 3 +

4 5

1 2 =

6 8

2 5

A12 + B12 = 4

2 +

6

3 =

10

5

A21 + B21 = (5 6) + (3 2) = (8 8)

A22 + B22 = ( 7) + ( 8 ) = ( 15 )

Jadi,

A + B = A B A B

A B A B

11 11 12 12

21 21 22 22

=

6 8 10

2 5 5

8 8 15

(2) Perkalian Matriks Partisi

Syarat untuk perkalian matriks asli (biasa) juga berlaku untuk perkalian matriks partisi yang dapat dirumuskan sebagai berikut :

(i) Bila A = ( )A A1 2 , dengan A (m x n ) , A

m xn11( )

, Am xn2

2( ) serta n1 + n2 = n,

dan B = B

B

1

2

dengan B (n x p ) ,B n x p11( )

,Bn x p2

2( ) serta n1 + n2 = n

maka berlaku : AB = ( )A A1 2

B

B

1

2 = A1. B1 + A2.B2

(ii) Bila A=A A

A A

11 12

21 22

, dengan A(mxn), Am x n11

1 1( ), A

m x n121 2( )

, Am x n21

2 1( ),

Am x n22

2 2( ) dan n1 + n2 = n, m1 + m2 = m,

B = B B

B B

11 12

21 22

, dengan B(n x p), B n x p111 1( )

, Bn x p121 2( )

, Bn x p21

2 1( ) B

n x p222 2( )

dan n1 + n2 = n, p1 + p2 = p, maka berlaku,

AB = A A

A A

11 12

21 22

B B

B B

11 12

21 22

= A B A B A B A B

A B A B A B A B

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22



Contoh 1- 32

Bila diketahui

A = ( )A A1 2 =

3 0 1

2 1 2

1 4 3

dan B = 2

1

B

B =

2 1

1 3

0 1

maka,

AB = ( )A A1 2

B

B

1

2

= A1.B1 + A2.B2

=

3 0

2 1

5 4

2 1

1 3+

1

2

3

( 0 1 ) =

6 3

5 5

14 17

+

0 1

0 2

0 3

=

6 4

5 7

14 20

Contoh 1- 33

Bila diketahui

A =A A

A A

11 12

21 22

=

2 1 3

3 4 2

5 6 7

, B = B B

B B

11 12

21 22

=

4 5 6

2 3 1

4 7 8

maka,

AB = A A

A A

11 12

21 22

B B

B B

11 12

21 22

=A B A B A B A B

A B A B A B A B

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

Dicari terlebih dahulu,

A B11 11 = 2 1

3 4

4 5

2 3 =

10 13

20 27

A B12 21 = 3

2 ( 4 7 ) =

12 21

8 14

A B11 11 + A B12 21 = 10 13

20 27 +

12 21

8 14 =

22 34

28 41

Nata WIrawan 21


A B11 12 = 2 1

3 4

6

1 =

13

22

A B12 22 = 3

2 ( 8 )

=

24

16

A B11 12 + A B12 22 = 13

22+

24

16 =

37

38

A B21 11 = ( 5 6 ) 4 5

2 3 =

( 32 43 )

A B22 21 = ( 7 ) ( 4 7 ) = ( 28 49 )

A B21 11 + A B22 21 = ( 4 7 )+ ( 28 49) = ( 60 92 )

A B21 12 = ( 5 6)

6

1 = (36)

A B22 22 = ( 7 ) ( 8 ) = ( 56)

A B21 12 + A B22 22 = ( 36 ) + ( 56 ) = ( 92 )Jadi,

A B A B A B A B

A B A B A B A B

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

=

22 34 37

28 41 38

60 92 92

1.9 Aplikasi operasi matriks dalam Ekonomi dan BisnisAplikasi operasi matriks, termasuk determinan dan invers (kedua topik ini

akan dibahas dalam Bab 3 dan Bab 4) akan memperlihatkan perannya yang begitu penting dalam Bab 4, Bab 5 dan Bab 6. Berikut ini diberikan penerapan operasi matriks secara terbatas dalam ekonomi dan bisnis

Contoh 1- 34

Sebuah industri elektronik yang khusus memproduksi tv (t), vcd player (v) dan tape kompo (k), dalam seminggu menyalurkan produknya melalui tiga toko eceran (toko 1, 2 dan 3). Toko eceran 1 memiliki persediaan 30 tv, 40 vcd, dan 60 tape kompo. Toko eceran 2 memiliki persediaan 50 tv, 60 vcd, dan 20 tape kompo.Toko eceran 3 memiliki 25 tv, 10 vcd dan 70 tape kompo. Bila harga jual per unit (dalam juta rupiah) untuk tv adalah 2, vcd player adalah 1 dan tape kompo adalah 1,5. (a) Nyatakanlah persediaan barang elektronik tersebut (Q) dalam bentuk

matriks.(b) Nyatakanlah harga-harga jual barang elektronik tersebut (P) dalam bentuk

matriks.(c) Jika semua persediaan tersebut terjual habis, hitunglah total penjualan

dari persediaan barang-barang elektronik tersebut (R) pada masing- ma sing toko eceran melalui operasi matriks.



Penyelesaian

(a) Matriks persediaan barang elektronik (Q)

t v k

Toko eceran 1

Toko eceran 2

Toko eceran 3

701025

206050

604030

atau Q =

701025

206050

604030

(b) Matriks harga jual (P)

P =

5,1

1

2

k

v

t

(c) Total penjualan dari masing-masing toko eceran R = QP

3

2

1

R

R

R

= QP =

701025

206050

604030

5,1

1

2

=

165

190

190

Jadi, total penjualan masing-masing toko eceran tersebut adalah : toko eceran 1 dan 2 masing-masing sebesar 190 juta rupiah dan 165 juta untuk toko eceran 3.

Soal-soal Latihan

1- 1 Bila diketahui

A = 4 1

3 4, B =

5 3

4 1 dan C =

3

6

Carilah,

(a) A + B(b) A - B(c) B - A(d) AB(e) BA

(f) A’(g) B’(h) AA’(i) AC

(j) CB’

1- 2 Carilah kA bila diketahui

Nata WIrawan 23


(a) k = 3, A = 3

6

(b) k = 5, A = ( 2 5 6 )

(c) k = 2, A =

4 1 2

5 3 1

2 1 6

1- 3 Bila diketahui

A =

8 3 7

4 7 6

5 2 4

, B =

4 2 3

3 4 1

1 6 2 dan C = ( 2 5 6 )

Carilah

(a) (A + B)2 (d) AA’(b) (A - B)2 (e) BC’(c) (B A)’ (f) (AB)C’

1- 4 Diberikan

X =

2

3

1

, Y =

4

5

6 dan R = ( 1 3 5 )

Tentukanlah

(a) X Y(b) XY’

(c) X’Y(d) YR

1- 5 Bila diketahui

A = 2 1

4 3 , B = 5 9

8 2 dan C = 6 5

4 7

Tentukanlah,(a) A + (B + C)

(b) (A + B) + C

(c) A + B + C

(d) (A - B)2

(e) A2 + 2AB + B2

(f ) ( A + B)2

1- 6 Bila diketahui

A = A A

A A

11 12

21 22 =

1 3 0

2 4 0

0 0 5

B =B B

B B

11 12

21 22 =

0 0 1

0 4 2

1 2 0

Hitunglah AB dengan matriks partisi.



1- 7 Bila diketahui

A =

1 4 3 2

4 6 0 1

5 1 2 4

dan B =

1 2

0 3

4 1

3 5 Hitunglah AB dengan matriks partisi

1- 8 Dalam satu hari, sebuah toko pakaian berhasil menjual 6 kemeja merk A, 10 kemeja merk B dan 4 kemeja merk C. Harga jual per kemeja merk A adalah Rp 80.000,00, kemeja merk B adalah Rp 100.000,00 dan kemeja merk C adalah Rp120.000,00. Harga pokoknya adalah Rp 60.000,00 untuk kemeja A, Rp 85.000,00 untuk kemeja merk B dan Rp 95.000,00 untuk kemeja merk C.(a) Sajikan masing-masing variabel (variabel persediaan, harga jual

dan harga pokok) tersebut dalam bentuk matriks secara terpisah(b) Hitung total penjualan dan total harga pokok kemeja-kemeja tersebut(c) Hitunglah total laba yang diperoleh toko tersebut

1- 9 Persediaan barang A, B dan C di empat gudang yaitu gudang 1, 2, 3 dan 4, dinyatakan oleh matriks Q.

A B C

4Gudang

3Gudang

2Gudang

1Gudang

603

165

864

632

= Q

Jika harga per unit masing-masing barang tersebut (satuan dalam

rupiah), dinyatakan oleh matriks P berikut:

A B C P = (5 4 1)

Tentukanlah nilai persediaan di masing-masing gudang.

1- 10 Sebuah perusahaan manufaktur yang menghasilkan empat jenis produk yaitu barang A, B, C dan D menyalurkan produknya melalui tiga distributor yaitu distributor 1, 2 dan 3. Melalui distributor 1 disalurkan barang A sebanyak 3 unit, barang B sebanyak 2 unit, dan barang C sebanyak 1 unit. Melalui distrbutor 2 disalurkan barang A sebanyak 5 unit, barang B sebanyak 6 unit dan barang C sebanyak 4 unit. Melalui distibutor 3 disalurkan 5 unit barang A, 8 unit barang B dan 10 unit barang C.

(a) Nyatakan banyaknya produk yang disalurkan dalam bentuk matriks.(b) Jika harga per unit barang A, B, C dan D masing-masing $1, $2, $3,

dan $4. Hitunglah nilai persediaan barang pada distributor 1.

Nata WIrawan 25

DETERMINAN

SUATU MATRIKS

2.1 PengantarDalam bab ini akan dibahas cara-cara menghitung determinan suatu

matriks dan mempelajari sifat-sifatnya. Menurut Weber (1982) bahwa determinan suatu matriks pada dasarnya adalah suatu bilangan (skalar) yang didapat dari elemen-elemen suatu matriks dengan menggunakan operasi tertentu, yang merupakan karakteristik matriks tersebut. Hanya matriks bujur sangkar yang memiliki determinan. Determinan yang dibahas dalam bab ini adalah determinan tingkat dua, tingkat tiga dan determinan tingkat yang lebih tinggi.

Penulisan suatu determinan biasanya ditutupi tanda . Misalnya determinan matriks A dinyatakan atau dilambangkan sebagai det (A ) atau

A . Determinan matriks B, dinyatakan atau dilambangan dengan det (B) atau B . Determinan matriks lainnya dengan cara yang sama seperti itu, dengan mudah dapat dinyatakan atau dilambangkan. Determinan memegang peranan penting untuk menentukan invers suatu matriks. Determinan juga memegang peranan penting untuk mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linear simultan, misalnya metode Cramer.

Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang determinan dan sifat-sifatnya.

2.2 Determinan Tingkat DuaUntuk matriks kuadrat A berorde 2,

A = a

a a

a11

21 22

12


2. DETERMINAN SUATU MATRIKS

det (A) = A = a a

a a

11 12

21 22

= a11.a22 - a12.a21

Contoh 2- 1

Diberikan,

A = 2 5

3 4, hitunglah determinannya

Penyelesaian

A = 2 5

3 4 A =

a a

a a

11 12

21 22

Det(A) = A = 2 5

3 4 = a11.a22 - a12.a21

= (2 x 4) - (5 x 3) = - 7

Contoh 2- 2

Diberikan,

B = 4 5


Penyelesaian

B = 4 5

2 10 B =

b bb b

11 12

21 22

Det(B) = B = 4 5

2 10 = b11.b22 - b12.b21

= (4 x 10) - (5 x 2) = 30

Contoh 2- 3

Diberikan,

D = 0 1


Penyelesaian

D = 0 1

2 3 D =

d d

d d

11 12

21 22

Nata WIrawan 27


Det(D) = D = 32

10= d11.d22 - d12.d21

= (0)(3) - (1)(2) = - 2

2.3 Determinan Tingkat TigaUntuk matriks kuadrat A berorde 3,

A =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Det(A) = A =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

= a11.a22.a33 + a12.a23.a31

+ a13.a21.a32 – a13. a22. a31

– a11.a23 .a32 – a12. a21.a33

Contoh 2- 4

Diberikan,

A =

1 4 1

3 2 2

1 3 1

,

hitunglah determinannya.

Penyelesaian

A =

1 4 1

3 2 2

1 3 1

A =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21 a32 - a13a22a31 - a11.a23.a32 - a12.a21.a33

= (1 x 2 x 1) + (4 x 2 X 1) + (1 x 3 x 3) - (1 x 2 x 1) - (1 x 2 x 3)

- (4 x 3 x 1)

= 2 + 8 + 9 - 2 - 6 - 12

= - 1



Contoh 2- 5

Diberikan,

B =

3 2 1

5 1 2

1 2 4

, hitunglah determinannya

Penyelesaian

B =

3 2 1

5 1 2

1 2 4

B =

b b b

b b b

b b b

11 12 13

21 22 23

31 32 33

B = b11.b22. b33 + b12.b23.b31 + b13.b21. b32 - b13.b22.b31

- b11.b23.b32 - b12.b21.b33

= (3 x 1 x 4) + (2 x 2 X 1) + (1 x 5 x 2) - (1 x 1 x 1) - (3 x 2 x 2)

- (2 X 5 X 4 )

= 12 + 4 + 10 - 1 - 12 - 40

= - 27

Contoh 2- 6

Diberikan,

D =

1 0 2

3 4 1

2 1 0


Penyelesaian

D =

1 0 2

3 4 1

2 1 0

D =

d d d

d d d

d a d

11 12 13

21 22 23

31 32 33

D = d11.d22. d33 + d12.d23.d31 + d13.d21. d32 - d13.d22.d31 - d11.d23.d32

- d12.d21.d33

= (1 x 4 x 0) + (0 x 1 X 2) + (2 x 3 x -1) - (2 x 4 x 2) - (1 x 1 x -1)

- (0 X 3 X 0)

= 0 + 0 - 6 - 16 + 1 - 0

= - 21

Nata WIrawan 29


Sarrus (Cullen, 1988; Khattar, 2010) memperkenalkan suatu metode yang lebih mudah khusus untuk menghitung determinan matriks kuadrat (bujur sangkar) berorde tiga (3). Menurutnya, determinan suatu matriks berorde 3 (tiga) yang merupakan penjumlahan dari hasil kali-hasil kali elemen suatu matriks bujur sangkar berorde 3 (misalnya matriks A), dapat dihitung melalui cara sebagai berikut

Bila

A =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

dibuat

diagramnya

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a

a a

a a

11 12

21 22

31 32

( - ) ( - ) ( - ) (+) (+) (+)

(Diagram 2.1)maka,

A = a11.a22. a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 - a13.a22.a31 - a11.a23.a32

- a12.a21.a33

Dua kolom pertama, yaitu kolom satu dan kolom dua ditulis kembali disebelah kanan tanda determinan, . Suku-suku dengan tanda positif adalah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal dengan arah kanan, sedangkan suku-suku dengan tanda negatif adalah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal dengan arah kiri.

Contoh 2- 7

Diberikan,

A =

2 3 1

4 2 1

1 2 1


Penyelesaian

Dengan cara Sarrus

A =

2 3 1

4 2 1

1 2 1

2 3

4 2

1 2

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

A = (2x2x1) + (3x1x1) + (1x4x2) - (1x2x1) - (2x1x 2) -(3x4x1) = 4 + 3 + 8 - 2 - 4 - 12 = - 3



Contoh 2- 8

Diberikan,

B =

2 1 3

4 5 2

3 2 0

, hitunglah B

Penyelesaian

Dengan cara Sarrus

B =

2 1 3

4 5 2

3 2 0

2 1

4 5

3 2

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

= (2 x 5 x 0) + (1 x 2 x 3) + (3 x 4 x 2) - ( 3 x 5 x 3) - (2 x 2 x 2) - (1x 4 x 0) = 0 + 6 + 24 - 45 - 8 - 0 = - 23

Contoh 2- 9

Diberikan,

C =

2 4 0

3 0 2

1 3 5

, hitunglah C

Penyelesaian

Dengan Cara Sarrus

C

=

2 4 0

3 0 2

1 3 5

2 4

3 0

1 3

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

= (2 x 0 x 5) + (4 x 2 x 1) + (0 x 3 x 3) - (0 x 0 x 1) - (2x2x 3) - (4 x 3 x 5)

= 0 + 8 + 0 - 0 - 12 – 60 = - 64

2.4 Determinan Tingkat Lebih TinggiDeterminan suatu matriks yang berorde lebih tinggi dari tiga (n > 3),

akan lebih mudah dihitung dengan cara ekspansi kofaktor dari Laplace dibandingkan dengan cara ekspansi hasil kali elemen - elemen suatu matriks.

Determinan yang terjadi bila baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu

Nata WIrawan 31


determinan A dihilangkan disebut minor dari unsur aij dan ditulis Mij . Jadi determinan dari suatu matriks terdiri dari determinan-determinan sub matriks-sub matriksnya. Determinan dari sub matriks-sub matriks inilah disebut minor.

Apabila setiap minor ini diberi tanda aljabar positif (+) atau tanda negatif (-) disebut kofaktor dari unsur aij dan ditulis dengan Cij . Tanda kofaktornya akan positif bila jumlah (i + j) merupakan bilangan genap, dan negatif bila jumlah (i + j) merupakan bilangan ganjil.

Contoh 2- 10

Bila,

A

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

maka,

Minor a11 diperoleh dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-1

M11 =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a a

a a

22 23

32 33

Minor a 21 diperoleh dengan menghilangkan baris ke-2 dan kolom ke-1

M21 =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

= 3332

1312

aa

aa


M23 =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

=

a a

a a

11 12

31 32


M31 =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

= a a

a a

12 13

22 23



Kaitan kofaktor dan minor suatu matriks dirumuskan sebagai berikut :

C ij = (- 1) i j

. Mij

atau (2.1)

C ij = Mij

Kofaktor Cij akan bertanda positif bila jumlah (i + j) merupakan bilangan genap dan negatif bila jumlah (i + j) merupakan bilangan ganjil

Diagram di bawah ini akan sangat membantu untuk menentukan tanda

kofaktor elemen-elemen suatu matriks dan dapat digunakan dari matriks berukuran dua sampai dengan matriks berukuran lima. Untuk yang lebih tinggi dapat dikembangkan lagi.

5X5

Diagram 2.2

Menurut Laplace, determinan suatu matriks kuadrat dapat dihitung melalui ekspansi kofaktor terhadap salah satu baris atau terhadap salah satu kolomnya (Cullen, 1988; Chiang, 2005). Determinan matriks kuadrat A berorde n, dapat dihitung melalaui rumus :

A = aij

j

n

1

C ij (2.2)

A = aij

i

m

1

C ij (2.3)

Dengan memperhatikan rumus (2.2) dan (2.3), dapat dikatakan bahwa determinan suatu matriks sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen baris ke-i dengan kofaktornya masing-masing atau jumlah hasil kali

Nata WIrawan 33


elemen-elemen kolom ke-j dengan kofaktornya masing-masing. Jadi untuk mendapatkan determinan suatu matriks, cukup dilakukan ekspansi kofaktor terhadap salah satu barisnya atau terhadap salah satu kolomnya.

Agar perhitungannya lebih mudah sebaiknya determinan diekspansikan ke baris atau ke kolom yang memuat elemen-elemen bilangan nol sebanyak-banyaknya. Matriks yang memiliki baris nol (semua elemen dari sebuah baris nilainya nol) atau memilki kolom nol (semua elemen dari sebuah kolom nilainya nol) determinannya nol.

Contoh 2- 11

Diberikan,

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Tentukanlah

(a) Minor a11, M11

(b) Minor a12, M12

(c) Minor a13, M13

(d) Kofaktor a11, C11

(e) Kofaktor a12, C12

( f) Kofaktor a13, C13

(g) Determinan A, A

Penyelesaian

A =

987

654

321

(a) M11 = 5 6

8 9 = - 3

(b) M12 = 4 6

7 9 = - 6



(c) M13 = 4 5

7 8 = - 3

(d) C11 = + 5 6

8 9 = - 3

(e) C12 = - 4 6

7 9 = - (- 6) = 6

(f) C13 = + 4 5

7 8 = - 3

(g) Determinan matriks A, dihitung melalui ekpansi baris ke-1

A

= a Cij

j i

n

ij. = a11 C11 + a12

C12 + a13C13

= 1( - 3)+ 2(6) + 3(-3) = 0

Contoh 2- 12

Bila diketahui

A =

3 4 2

5 3 1

2 1 6

Carilah (a) Minor dan kofaktor dari elemen - elemen baris ke-1(b) Determinan matriksnya.

Penyelesaian

A =

612

135

243

(a) M11 = 3 1

1 6 C11 = + M11 = + (17) = 17

= (18 - 1) = 17

M12 = 62

15 C12 = - M12 = - (28) = - 28

= (30 - 2) = 28

Nata WIrawan 35


13M

=

5 3

2 1

13C = + M12 = + ( -1 ) = - 1

= (5 - 6) = -1

(b) Determinan matriks A, dihitung melalui ekspansi baris ke-1

A = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13

= 3(17) + 4 (-28) + 2 (-1)

= 51 - 112 - 2

= - 63

Contoh 2- 13

Hitunglah determinan matriks A berikut ini

A =

2 1 1 3

1 3 0 2

4 8 1 1

3 2 5 0

Penyelesaian

A =

2 1 1 3

1 3 0 2

4 8 1 1

3 2 5 0

Ekspansi terhadap baris ke - 2

Ekspansi kofaktor dilakukan terhadap baris kedua karena baris kedua memuat elemen nol, dengan demikian determinannya dihitung dengan rumus sebagai berikut :

A = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23 + a24 C24

Dicari terlebih dahulu C21 , C22 , C23 dan C24 .

C21 = -

1 1 3

8 1 1

2 5 0 Ekspansi terhadap baris ke - 3

= - 21 3

1 15

1 3

8 10

1 1

8 1



= - {2(1+3) - 5(1 – 24) + 0)} = – {2(4) – 5(-23) + 0)} = - (8 + 115) = -123

C22 = +053

114

312


= 31 3

1 15

2 3

4 10

2 1

4 1

= {3(1 + 3) – 5(2 12) + 0)}

= {12 + 50} = 62

C23 = -

2 1 3

4 8 1

3 2 0 Ekspansi terhadap baris ke - 3

= - 31 3

8 12

2 3

4 10

2 1

4 8

= { }3(1 24 2 2 12) 0+) ( )

= - { }3( 23 2 10) ( )

= - { 69 + 20 } = 49

24C = +

523

184

112 Ekspansi baris ke-1

= +23

841

53

141

52

182

= { })248(1)320(1)240(2 +++

= { }162384 = 45

Jadi,

A = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23 + a24 C24

= 1(-123) + 3 (62) + 0 (49) + 2(45) = 153

Nata WIrawan 37


Contoh 2- 14

Bila diketahui,

A =

1 2 3 4

2 1 2 1

0 0 1 1

3 4 1 2

Hitunglah determinannya,(a) melalui ekspansi kofaktor baris pertama(b) melalui ekspansi kofaktor baris ketiga

Penyelesaian

A

=

1 2 3 4

2 1 2 1

0 0 1 1

3 4 1 2

(a) Melalui ekspansi kofaktor baris ke-1

Rumus determinannya sebagai berikut :

A = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 + a14 C14

Dicari terlebih dahulu C11 , C12 , C13 dan C14 sebagai berikut:

C11 = +

1 2 1

0 1 1

4 1 2 Ekspansi terhadap baris ke 2

= 02 1

1 21

1 1

4 21

1 2

4 1

= { – 0(4–1) + 1(2 – 4) – 1(1 –8)}

= 0 - 2 + 7 = – 5

C12 = -

2 2 1

0 1 1

3 1 2 Ekspansi terhadap baris ke 2

= - 02 1

1 21

2 1

3 21

2 2

3 1



= - {0 + 1(4 – 3) – 1(2 – 6)} = – {1 + 4} = - 5

C13 = +

2 1 1

0 0 1

3 4 2

Ekspansi terhadap baris ke 2

= 01 1

4 20

2 1

3 21

2 1

3 4

= {0 + 0 – 1(18 - 3)} = - 5

C14 = -

2 1 2

0 0 1

3 4 1


= - 01 2

4 10

2 2

3 11

2 1

3 4

= - (0 + 0 – 1(8 – 3)} = – {– 5} = 5Jadi,

A = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 + a14 C14

= 1(5) + 2(- 5) + 3 (- 5) + 4(5) = 0

(b) Melalui ekspansi kofaktor baris ke-3 (baris dengan unsur nol terbanyak) Rumus determinannya adalah :

A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 + a34 C34

Elemen-elemen yang bernilai nol otomatis hasil kali, aij C ij = 0, oleh

karena itu kofaktor-kofaktornya tidak perlu dicari. Jadi, C31 dan C32 tidak

perlu dicari oleh karena nilai a31 = 0 dan nilai a32 = 0.

C33 = +

1 2 4

2 1 1

3 4 2


= +43

211

23

411

24

422

= { })64(1)122(1)164(2 +

= {- 2 ( - 12 ) + 1( - 10 ) - 1( - 2)}

Nata WIrawan 39


= {24 - 10 + 2} = 16

34C = -

143

212

321 Ekspansi terhadap baris ke - 2

= - 22 3

4 11

1 3

3 12

1 2

3 4

= - { } { }+ = +2 2 12) 1 1 9 2 4 6 2 10 8 4( ( ) ( ) ( )

= - (20 - 8 + 4 ) = - 16Jadi,

A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 + a34 C34

= 0 C31 + 0 C32 + 1(16) + 1 (-16) = 0

Catatan :

Contoh 2- 15

Diberikan,

A =

1 2 3 4 5

6 7 8 2 1

0 0 0 0 1

3 2 1 5 4

6 4 0 0 0

, carilah determinannya

Penyelesaian

Ekspansi kofaktor dilakukan terhadap baris ketiga (oleh karena baris ini unsur nol–nya paling banyak)

A =

1 2 3 4 5

6 7 8 2 1

0 0 0 0 1

3 2 1 5 4

6 4 0 0 0

Ekspansi terhadap baris ke – 3

Rumus determinannya adalah

A = a31 C31 + a32 32C + a33 C33 + a34 34C + a35 C35



C

C

C

C

31

32

33

34

Tak perlu dicari, karena nilai unsur – unsurnya nol yaitu a31 = 0 ; a32 = 0 ; a33 = 0 dan a34 = 0

Yang perlu dicari hanyalah C35 , sebagai berikut.

C35 = +

1 2 3 4

6 7 8 2

3 2 1 5

6 4 0 0


= 6

2 3 4

7 8 + 4

1 3 4

6 8 2

3 1 5

2

2 1 5

= 6 23 4

8 21

2 4

7 25

2 3

7 8

4 33 4

8 21

1 4

6 25

1 3

6 8

= [- 6 { 2(6 - 32) - 1(4 - 28) + 5 (16 - 21)} +

{ }4 3 6 32) 1 2 24 5(8 18( ( ) +

= [ - 6{ }53 + 4{ }106 ]

= [ 318 - 424 ] = - 106 Jadi,

A = a31 C31 + a32 32C + a33 C33 + a34 34C + a35 C35

= 0 31C + 0 C32 + 0 33C + 0 C34 + 1 (-106)

= 0 + 0 + 0 + 0 - 106

= - 106

2.5 Sifat-sifat Determinan

1 Harga suatu determinan tidak berubah apabila baris dan kolom yang bersesuaian dirubah

Nata WIrawan 41


Contoh 2-16

Bila,

A = 2 3

1 4 A’ =

2 1

3 4

Dapat dihitung bahwa

A

=

2 3

1 4 = 5

A'

= 2 1

3 4 = 5

maka,

A = A'

2 Apabila dua baris atau dua kolom dari suatu determinan ditukar maka tan-da determinan berubah

Contoh 2-17

Bila,

A = 2 3

1 4

ditukar 1A =

1 4

2 3

maka,

A = 2 3

1 4 = 5

dan, 1A = 1 4

2 3 = - 5

3 Apabila tiap elemen dari suatu baris atau dari suatu kolom suatu determi-nan nol, maka harga determinannya nol

Contoh 2-18

A

= 0 0

3 2 = (0 x 2) - (0 x 3) = 0

B = 50

30 = (0 x 5) - (3 x 0) = 0

4 Apabila dua baris atau dua kolom suatu determinan sama, maka harga determinan akan nol



Contoh 2-19

A =

432

222

222

= 0, (baris pertama sama dengan baris kedua)

B =

611

522

433

= 0, (kolom pertama sama dengan kolom kedua)

5 Bila tiap elemen dari baris atau kolom suatu determinan dikalikan dengan suatu bilangan konstan yang sama maka harga determinan itu dikalikan dengan bilangan konstan tadi

Contoh 2-20

A =

2 4

3 5 = - 2

Bila tiap elemen kolom pertama dikalikan 3, diperoleh :

A = (

( )

3 2) 4

3 3 5

x

x =

6 4

9 5

= 30 – 36

= - 6 = 3( -2) = 3 A

Bila tiap elemen baris pertama dikalikan 3, diperoleh :

A =( ( )3 2) 3 4

3 5

x x =

6 12

3 5

= 30 - 36

= - 6 = 3( -2) = 3 A

6 Harga suatu determinan tidak berubah (tetap) apabila salah satu baris atau kolom ditambah dengan hasil kali bilangan skalar k dengan elemen-elemen dari baris lainnya atau kolom lainnya

Contoh 2- 21

Diberikan,

A

= 4 3

2 5 = 14

Bila tiap elemen-elemen baris pertama dari A ditambah 2 kali elemen- elemen dari baris kedua diperoleh,

Nata WIrawan 43


B = ( ( )4 2 2) 3 2 5

2 5

x x =

8 13

2 5 = 14

Bila tiap elemen elemen kolom pertama ditambah 2 kali elemen- elemen kolom kedua, diperoleh :

C = ( )

( )

4 2 3 3

2 2 5 5

x

x =

10 3

12 5 = 14

7 Determinan dari hasil kali dua matriks kuadrat (matriks bujur sangkar) sama dengan perkalian dari determinan matriks pertama dikalikan de-terminan matriks kedua (atau sebaliknya)

Contoh 2- 22

Bila,

A = 3 6

4 7 dan B =

23

12

maka,

A = 74

63 = - 3 dan B =

23

12 = 1

AB = C

3 6

4 7

2 1

3 2 =

24 15

29 18

C

24 15

29 18432 435 3

3 1 3A B. ( ) ( )

C = A B.

8 Determinan dari suatu matriks segitiga adalah sama dengan hasil kali dari elemen-elemen pada diagonal utama

Contoh 2- 23

Bila diketahui

A =

2 5 2

0 1 3

0 0 6maka,

A = (2) (-1) (- 6) = 12



Contoh 2- 24

Bila diketahui

A =

3 0 0

2 2 0

4 5 3maka,

A = (3)(- 2)(3)

= -18

Contoh 2- 25

Bila diketahui

A =

1 2 3 4 5

0 6 7 8 9

0 0 3 4 6

0 0 0 7 1

0 0 0 0 3maka,

A = (1)(6)(3)(7)(3) = 378

2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran n x n. Sebuah matriks bukan nol, yaitu matriks X yang berukuran n x 1, sedemikian rupa sehingga AX = X, maka matriks X dinamakan vektor Eigen (Eigen Vector) bagi A. Sementara skalar dinamakan nilai Eigen (Eigen Value) bagi A yang terkait dengan X.

Nilai Eigen juga disebut nilai karakteristik dan vektor Eigen juga disebut vektor karakteristik. Sementara itu, nilai karakteristik dan vektor karakteristik disebut akar karakteristik.

Persamaan karakteristik suatu matriks dapat ditulis sebagai berikut:

AX = X

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nx

x

x

2

1

= l

nx

x

x

2

1

(2.4)

Nata WIrawan 45


Contoh 2- 26

Diberikan,

A = 31

62, dan X =

2

4

Periksalah apakah X merupakan vektor Eigen bagi A, dan jika ya, tentukan nilai Eigennya.

Penyelesaian

AX =31

62

2

4 =

10

20

AX dapat dinyatakan sebagai

AX = X

10

20

= 52

4 = 5

Jadi, X merupakan vektor Eigen bagi A, dengan nilai Eigen, = 5. (Perhatikan dalam hal ini, bahwa AX kelipatan dari X)

Contoh 2- 27

Diberikan,

A = 25

61, dan X =

2

3

Periksalah apakah X merupakan vektor Eigen bagi A, dan jika ya, tentukan nilai Eigennya.

Penyelesaian

AX =25

61

2

3 =

11

9

AX dapat dinyatakan sebagai

11

9l

2

3

Jadi, X bukan merupakan vektor Eigen bagi A. Kenapa? Karena AX bukan kelipatan dari X.



Soal-soal Latihan

2- 1 Carilah semua minor dan kofaktor martiks-matriks berikut,

(a) A =

2 3 5

6 5 1

8 4 7

(b) B =

1 0 3

0 2 4

1 2 1

(c) D =

6 5 1

3 2 5

4 2 3

(d) E = 3 6

4 7

2- 2 Carilah determinan dari matriks-martiks berikut:(a) dengan ekspansi kofaktor terhadap baris pertama,(b) dengan ekspansi kofaktor terhadap kolom pertama(c) dengan cara Sarrus

(a) A =

6 3 1

4 2 3

0 4 5(b) B =

2 5 1

3 0 4

2 3 1

2- 3 Carilah determinan dari matriks-martiks berikut dengan matode Sarrus

(a) A =

1 2 3

4 5 6

3 4 1(b) B =

3 3 3

3 3 1

4 2 1

(c) C =

1 2 3

2 3 1

5 4 6

(d) D =

2 0 1

3 1 0

0 0 5

2- 4

A =

1 2 1

4 2 1

3 5 2

Ubahlah matriks A menjadi matriks B dengan jalan menambah kolom kedua dua kali kolom pertama

Tunjukkan bahwa A = B

Nata WIrawan 47


2- 5 Carilah determinan dari matriks - martiks di bawah ini dengan ekspansi kofaktor.

(a) A =

1 3 2 1

2 1 2 4

0 3 1 0

5 4 3 2

(b) B =

2 5 1 3

5 6 3 2

4 1 1 4

3 0 0 0

(c) C =

3 5 6 7 8

0 1 2 3 4

0 0 0 4 5

0 0 0 6 1

0 0 0 0 7

(d) D =

3 4 7 8 5

0 8 3 2 1

0 0 1 2 3

0 0 0 4 5

0 0 0 0 6

2- 6 Periksalah apakah X dan Y merupakan vektor Eigen bagi A, dan jika demikian tentukanlah nilai Eigennya.

(a) A =24

911, X =

1

1, dan Y =

2

1

(b) A =

211

232

112

, X =

0

1

1

, dan Y =

1

0

1

(c) A =

112

332

310

, X =

1

1

1

, dan Y =

1

1

1


INVERS DAN RANK

SUATU MATRIKS

3.1 PengantarDalam bab ini akan dibahas mengenai matriks kofaktor, matriks ajoin,

invers (balikan) dan rank (peringkat) suatu matriks. Untuk dapat memahami dan mengerti mengenai materi yang akan dibahas dalam bab ini, diperlukan pengetahuan yang memadai mengenai operasi matriks dan determinan suatu matrik.

Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini peserta didik (mahasiswa) diharapkan dapat memahami dan mengerti dengan baik mengenai invers dan rank suatu matriks.

3.2 Pengolahan Dasar MatriksPengolahan dasar pada suatu matriks adalah pengolahan atau operasi-

operasi yang dilakukan terhadap baris atau kolom suatu matriks. Pengolahan ini berupa (Hadley, 1964; Ayres, F., 1974).

(1) Penukaran baris ke-i dan ke-j, dinyatakan oleh Hij Penukaran kolom ke-i dan ke-j, dinyatakan oleh Kij(2) Perkalian setiap elemen baris ke- i dengan skalar k 0 dinyatakan

oleh Hi (k)

Perkalian setiap elemen kolom ke-i dengan skalar k 0 dinyatakan oleh Ki

(k)

(3) Penambahan pada setiap elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke - j dinyatakan oleh Hij

(k).

Penambahan pada setiap elemen kolom ke-i dengan k kali elemen-elemen kolom ke - j, dinyatakan oleh Kij

(k)

Nata WIrawan 49

3. INVERS DAN RANK SUATU MATRIKS

Pengolahan dasar baris (transformasi H) maupun pengolahan dasar kolom (transformasi K) tidak mengubah peringkat/rank suatu matriks.

Contoh 3 - 1

A =

3 1 4

2 1 1

3 0 1

(a) Bila baris ke-1 matriks A ditukar dengan baris ke-2, H12, didapat,

A1 =

2 1 1

3 1 4

3 0 1

(b) Bila baris ke-1 matriks A ditukar dengan baris ke-3, H13, didapat,

A1 =

3 0 1

2 1 1

3 1 4

(c) Bila baris ke-2 matriks A ditukar dengan baris ke-3, H23 didapat,

A1 =

3 1 4

3 0 1

2 1 1

(d) Bila kolom ke-1 matriks A ditukar dengan kolom ke-2, K12 didapat,

A1 =

1 3 4

1 2 1

0 3 1

(e) Bila kolom ke-2 matriks A ditukar dengan kolom ke-3, K23, didapat,

A1 =

3 4 1

2 1 1

3 1 0

(f) Bila baris ke-1 matriks A dikalikan 13

atau dibagi 3; H1( )1

3 , didapat

A1 =

1

2 1 1

3 0 1

13

43



(g) Bila baris ke-2 matriks A dikalikan 5; H 25( ) ,didapat

A1 =

3 1 4

10 5 5

3 0 1

(h) Bila kolom ke-1 matriks A dikalikan 13

atau dibagi 3; K1( )1

3 , didapat

A1 =

101

11

411

32

(i) Bila kolom ke-2 matriks A dikalikan 4; K2( )4 , didapat,

A1 =

3 4 4

2 4 1

3 0 1

(j) Bila baris ke-1 matriks A ditambah 3 kali baris yang ke-2 ; H12( )3 ,dida-

pat,

A1 =

( . ( . ) ( . )3 3 2) 1 31 4 31

2 1 1

3 0 1

=

9 4 7

2 1 1

3 0 1

(k) Bila kolom ke-1 matriks A dikurangi 2 kali kolom ke-2; K12( )2

, didapat,

A1 =

( . )

( . )

( . )

3 21 1 4

2 21 1 1

3 2 0 0 1

=

1 1 4

0 1 1

3 0 1

Contoh 3 - 2

Diketahui,

A =

5 3 2

4 2 1

3 6 3

(a) Bila baris ke-1 matriks A dikalikan 15

; H1( )1

5 , didapat

A1 =

1

4 2 1

3 6 3

35

25

(b) Selanjutnya bila terhadap matriks A1 dilakukan pengolahan baris sebagai berikut :

(i) baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-1; H21 ( )4

Nata WIrawan 51


(ii) baris ke-3 dikurangi 3 kali baris ke- 1; H31( )3 , didapat

A2 =

1

0

0

35

25

25

35

215

95

(c) Bila baris ke-2 dari A2 dibagi (- 25

) atau dikalikan (- 52) ; H2

( )52 , didapat,

A3 =

1

0 1

0

35

2532

215

95

(d) Selanjutnya bila terhadap matriks A3 dilakukan pengolahan baris sebagai berikut:

(i) baris ke-1dikurangi35 kali baris ke-2; H12

)(5

3

(ii) baris ke-3 dikurangi 215

kali baris ke-2; H32 ( )

5

21

didapat,

A4 =

1 0

0 1

0 0

12

3292

(e) Bila baris ke-3 dari A4 dikalikan (- 29

); H3( )2

9 , didapat,

A5 =

1 0

0 1

0 0 1

12

32

(f) Selanjutnya bila terhadap A5 dilakukan pengolahan baris sebagai berikut:

(i) baris ke-1ditambah 12

kali baris ke-3; H13)(

21

(ii) baris ke-2 dikurangi 32

kali baris ke- 3; H23)(

2

3

didapat

A6 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

matriks indentitas

Catatan : Contoh 3 - 2 ini, menunjukkan peranan pengolahan dasar baris dalam mengubah suatu matriks bujur sangkar menjadi matriks Indentitas.

3.3 Matriks Ajoin dan Matriks KofaktorMatriks kofaktor adalah suatu matriks yang elemen-elemennya disusun

dari kofaktor masing-masing elemen suatu matriks. Sedangkan matriks

ajoin adalah transpose dari matriks kofaktornya.Matriks ajoin (ajoin suatu matriks) ditulis atau dinyatakan dengan Aj, dan

dirumuskan sebagai :



Aj (A) = (Cij A)’ (3.1)

Contoh 3 - 3

Diberikan,

A = 3 5

4 8

Carilah,(a) Matriks kofaktornya(b) Transpose matriks kofaktornya(c) Matriks Ajoinnya

Penyelesaian

A =3 5

4 8

(a) Matriks kofaktornya,

(Cij A) = C C

C C

11 12

21 22

Dicari terlebih dahulu kofaktor setiap elemen aij, sebagai berikut :

C11 = + 8 = 8 C21 = - 5 = - 5

C12 = - 4 = - 4 C22 = + 3 = 3

Jadi,

(Cij A) = 8 4

5 3

(b) Transpose matriks kofaktor dari A,

(Cij A)’ = 8 5

4 3

(c) Matriks Ajoin A

Aj. (A) = 8 5

4 3

Nata WIrawan 53


Contoh 3- 4

Diberikan

B =

1 2 3

4 5 6

7 1 2

Carilah(a) Matriks kofaktornya(b) Transpose matriks kofaktornya(c) Matriks Ajoinnya

Penyelesaian

B =

1 2 3

4 5 6

7 1 2

(a) Matriks kofaktornya

(Cij B) =

C C C

C C C

C C C

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Dicari terlebih dahulu kofaktor setiap elemen bij, sebagai berikut:

C11 = + 5 6

1 2

= (10 - 6)

= 4

C12 = - 4 6

7 2

= - (8 - 42)

= 34

C13 = + 4 5

7 1

= (4 - 35)

= - 31

C21 = - 2 3

1 2

= - (4 - 3)

= -1

C22 = + 1 3

7 2

= (2 - 21)

= -19

C23 = - 1 2

7 1

= - (1 - 14)

= 13

C31 = + 2 3

5 6

= (12 - 15)

= - 3

C32 = - 1 3

4 6

= - (6 - 12)

= 6

C33 = + 1 2

4 5

= (5 - 8)

= - 3

Jadi,

(Cij B ) =

4 34 31

1 19 13

3 6 3



(b) Transpose matriks kofaktornya

(Cij B )’ =

4 1 3

34 19 6

31 13 3

(c) Matriks Ajoinnya

Aj (B) = (Cij . B)’ =

4 1 3

34 19 6

31 13 3

Contoh 3- 5

Bila diketahui,

A =

6 2 7

5 4 9

3 3 1

Tentukanlah(a) Matriks kofaktornya(b) Matriks Ajoinnya

Penyelesaian

A

=

6 2 7

5 4 9

3 3 1

(a) Matriks kofaktornya

(Cij A) =

C C C

C C C

C C C

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Dicari terlebih dahulu kofaktor setiap elemen aij,sebagai berikut:

C11 = + 4 9

3 1

= -23

12 = - 5 9

3 1

= 22

13

5 4

3 3

= 3

Nata WIrawan 55


21

2 7

3 1

= 19

22 = + 6 7

3 1

= - 15

23 = - 6 2

3 3

= -12

31 = + 2 7

4 9

= -10

C32 = - 6 7

5 9

= - 19

33 = + 6 2

5 4

= 14

Jadi, matriks kofaktornya

(Cij A) =

333231

232221

131211

CCC

CCC

CCC

=

23 22 3

19 15 12

10 19 14

(b) Matriks Ajoinnya

Aj (A) = (Cij A)’ =

23 19 10

22 15 19

3 12 14

3.4 Invers Suatu MatriksSebuah matriks bujur sangkar A berorde n dikatakan mempunyai invers

atau balikan bila ada suatu matriks B, sehingga AB = In. Matriks B ini disebut invers matriks A, ditulis A -1, dan merupakan matriks bujur sangkar berorde n.

Ada beberapa cara untuk menentukan invers suatu matriks, antara lain (1)

n, (2) Metode matriks ajoin dan (3) metode Gauss-Jourdan.

3.4.1 Metode Substitusi

Menentukan invers suatu matriks dengan metode substitusi atau berdasarkan rumus AB = In, langkah-langkahnya sebagai berikut :

(1) Pastikan terlebih dahulu nilai determinannya tidak sama dengan nol. Ingat hanya matriks yang tan-singular (matriks yang determinannya 0 ) memiliki invers

(2) Misalkan matriks inversnya(3) Buatlah persamaan matriksnya



(4) Selesaikanlah persamaan matriksnya(5) Susunlah matriks inversnya

Contoh 3- 6

Diketahui matriks tan-singular

A = 2221

1211

aa

aa , hitunglah inversnya

Penyelesaian

(1) Periksalah determinannya Matriks tan-singular, berarti A 0 , menunjukkan ada invers

(2) Misalkan inversnya

A-1 = B = b b

b b

11 12

21 22

n

a a

a a

11 12

21 22

b b

b b

11 12

21 22 =

1 0

0 1

dengan menyelesaikan persamaan matriks tersebut, akan diperoleh ele-men - elemen dari B yaitu b 11 , b12 , b21 dan b22 sebagai berikut:

a b a b a b a b

a b a b a b a b

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22 =

1 0

0 1

dari persamaan matriks ini didapat,

a11 b11 + a12 b21 = 1 (1)

a11 b12 + a12 b22 = 0 (2)

a21 b11 + a22 b21 = 0 (3)

a21 b12 + a22 b22 = 1 (4)

Selanjutnya dengan menyelesaikan keempat persamaan tersebut secara

simultan (serempak) akan didapat nilai-nilai dari b11, b12, b21 dan b22 sebagai berikut:

b11 = a

a a a a22

11 22 21 12 =

a

A22

b12 = a

a a a a12

11 22 21 12

= a

A12

Nata WIrawan 57


b21 = a

a a a a21

11 22 21 12

= a

A21

b22 = a

a a a a11

11 22 21 12 =

a

A11

Perlu diperhatikan bahwa penyebut a11 a22 - a21 b12 = det (A) = A , dan

hanya matriks tan-singular (matriks bujur sangkar yang determinannya 0) memiliki invers.

Jadi,

B = A-1 =

a

A

a

A

a

A

a

A

22 12

21 11 =

1

A

a a

a a

22 12

21 11

Contoh 3- 7

Bila diketahui,

A = 2 4

3 8 Hitunglah inversnya, bila ada.

Penyelesaian

(1) Periksa determinannya

A = 2 4

3 8 = (16 - 12) = 4 A = 4 0 ini berarti ada invers

(2) Misalkan,

A-1 = B = b b

b b

11 12

21 22

n

2 4

3 8 b b

b b

11 12

21 22=

1 0

0 1

(4) Menyelesaikan persamaan matriks

2 4b 2 4b

3b 8b 3b 8b

11 21 12 22

11 21 12 22

b b =

1 0

0 1



didapat

2b11 + 4b21 = 1 (1)

3b11 + 8b21 = 0 (2)

2b12 + 4b22 = 0 (3)

3 b12 + 8 b22 = 1 (4)

Dari (1) dan (2) didapat 2b11

+ 4b21 = 1 (dikalikan 2) 3b11

+ 8b21 = 0

b11 + 0 = 2

b11 = 2 (5)

Substitusikan (5) ke (1) didapat 2b11

+ 4b21 = 1 2(2) + 4b21 = 1 4b21 = - 3

b21 = - 34

(6)

Dari persamaan (3) dan (4) didapat 2b12

+ 4b22 = 0 (dikalikan 2) 3b12

+ 8b22 = 1

b12 + 0 = - 1

b12 = - 1 (7)Substitusikan (7) ke (4) didapat 3b12

+ 8b22 = 1 3(-1) + 8b22 = 1 8b22 = 4

b22 = 12

Jadi, invers matriks A tersebut adalah

A-1 = B = 2 1

34

12

3.4.2 Metode Matriks Ajoin

Invers suatu matriks dapat dihitung berdasarkan Ajoin suatu matriks dengan rumus :

A-1 = Aj A

A

( ) (3.2)

dengan, A-1 = invers matriks A Aj (A) = Ajoin matriks A A = Determinan matriks A

Nata WIrawan 59


Contoh 3- 8

Bila diketahui

A = 2 4

3 8.

Hitunglah inversnya, bila ada.

Penyelesaian

A = 83

42 = (16 - 12) = 4 A = 4 0 ( ini berarti ada invers)

Matriks kofaktornya

(Cij A) = C C

C C

11 12

21 22

Dicari terlebih dahulu kofaktor setiap elemen aij, sebagai berikut:

C11 = + 8 = 8

C21 = - 4 = - 4

C12 = - 3 = - 3

C22 = + 2 = 2

Matriks kofaktor matriks A

(Cij A) = 8 3

4 2

Matriks Ajoin A

Aj(A) = (Cij A)’ = 8 4

3 2

Jadi, Invers matriks A tersebut adalah

A-1 = Aj A

A

( ) =

A

1 Aj( A)

= 1

4

23

48

= 2 13

412



Contoh 3- 9

Bila diketahui,

B =

1 2 3

1 3 4

1 4 3

.

Carilah invers, bila ada.

Penyelesaian

B

=

1 2 3

1 3 4

1 4 3

= - 2 (cara Sarrus)

Oleh karena B = - 2 0 (ini berarti ada invers)

Matriks kofaktornya

(Cij B) =

C C C

C C C

C C C

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Dicari terlebih dahulu kofaktor masing-masing elemen bij matriks B, sebagai berikut :

C11 = +

3 4

4 3 = - 7

C12 = - 1 4

1 3 = 1

C13 = + 1 3

1 4 = 1

C21 = - 2 3

4 3

= 6

C22 = + 1 3

1 3

= 0

C23 = - 1 2

1 4

= - 2

C31 = + 2 3

3 4

= - 1

C32 = - 1 3

1 4

= - 1

C33 = + 1 2

1 3

= 1

Matriks kofaktornya,

(Cij B) =

7 1 1

6 0 2

1 1 1

Nata WIrawan 61


Matriks Ajoin B

Aj(B) = (Cij B )’ =

7 6 1

1 0 1

1 2 1

Jadi, invers matriks B,

B -1 = Aj A

B

( ) =

1

2

7 6 1

1 0 1

1 2 1 =

72

12

12

12

12

12

3

0

1

Contoh 3-10

Bila diketahui,

A =

1 2 3 4

0 5 1 3

0 0 4 2

0 0 0 1

.

Carilah inversnya, bila ada.

Penyelesaian

A

=

1 2 3 4

0 5 1 3

0 0 4 2

0 0 0 1

= (1)(5)(4)(-1) = - 20 (sifat determinan)

Oleh karena A = - 20 0 (ini berarti ada invers)

Matriks kofaktornya

(Cij A ) =

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

Dicari terlebih dahulu kofaktor masing-masing elemen aij matriks A, sebagai berikut :

C11 = +

5 1 3

0 4 2

0 0 1

= - 2 0 C21 = -

2 3 4

0 4 2

0 0 1 = 8



C12 = -

0 1 3

0 4 2

0 0 1

= 0C22 = +

1 3 4

0 4 2

0 0 1

= - 4

C13 = +

0 5 3

0 0 2

0 0 1 = 0

C23 = -

1 2 4

0 0 2

0 0 1 = 0

C14 = -

0 5 1

0 0 4

0 0 0

= 0C24 = +

1 2 3

0 0 4

0 0 0

= 0

31C = +

2 3 4

5 1 3

0 0 1

= 13

41C = -

2 3 4

5 1 3

0 4 2

= - 30

C32 = -

1 3 4

0 1 3

0 0 1

= 1 C42 = +

1 3 4

0 1 3

0 4 2

= - 10

C33 = +

1 2 4

0 5 3

0 0 1

= - 5

C43 = -

1 2 4

0 5 3

0 0 2

= - 10

C34 = -

1 2 3

0 5 1

0 0 0

= 0

C44 = +

1 2 3

0 5 1

0 0 4

= 20

Matriks kofaktornya

(Cij A) =

20101030

05113

0048

00020

Matriks Ajoinnya

Aj(A) = (Cij A)’ =

20000

10500

10140

3013820

Nata WIrawan 63


Jadi, invers matriks A,

A-1 = 1

A Aj(A) = 1

20

20000

10500

10140

3013820

=

1000

00

0

1

21

41

21

201

51

2

3

20

13

52

3.4.3 Metode Gauss - Jourdan

Untuk mendapatkan invers (balikan A-1 ) dari suatu matriks kuadrat A

misalnya, maka dibentuk terlebih dahulu matriks gandengan (A, I). Selanjutnya melalui pengolahan dasar baris, matriks gandengan (A, I) diubah ke dalam bentuk (I, B), maka B adalah invers dari matriks A.

Pada prinsipnya dengan matode ini yang didasarkan atas pengolahan dasar baris, perubahan yang terjadi sebagai berikut :

(A, I) (I, B) B = Invers A ( A-1

)

Untuk dapat mengubah suatu matriks kuadrat menjadi matriks indentitas, dengan pengolahan dasar baris caranya sebagai berikut (Weber, 1982).

(1) Jadikan nilai elemen a11 dari matriks A sama dengan satu (1), dengan jalan membagi baris pertama dengan nilai a11. Selanjutnya berdasarkan nilai a11 = 1, nol-kan nilai elemen - elemen yang lain pada kolom ke-1

(2) Jadikan nilai elemen a22 dari matriks A1 sama dengan satu (1), dengan jalan membagi baris kedua dengan nilai a22. Selanjutnya berdasarkan nilai a22 = 1, nol-kan nilai elemen - elemen yang lain pada kolom ke-2.

(3) Jadikan nilai elemen a33 dari matriks A2 sama dengan satu (1), dengan jalan membagi baris ketiga dengan nilai a33. Selanjutnya berdasarkan nilai a33 = 1, nol-kan nilai elemen - elemen yang lain pada kolom ke-3

. . .

. . .

. . .



. . .

(n) Jadikan nilai elemen ann dari matriks An-1 sama dengan satu (1), dengan jalan membagi baris ke- n dengan nilai ann . Selanjutnya berdasarkan nilai ann = 1, nol-kan nilai elemen - elemen yang lain pada kolom ke - n.

Catatan : Bila nilai elemen a11 = 0 , tukarkan terlebih dahulu baris pertama dengan

yang lainnya yang elemennya tidak negatif. Baru dilanjutkan terhadap

tahapan pengubahan tersebut.

Bila diperhatikan gerak pengubahan nilai elemen-elemen a11, a22, a33, … ann menjadi 1(satu), mengikuti diagonal utama, yang secara skematis dapat dinyatakan seperti berikut :

A =

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

L

MMMMM

K

K

K

Bagaimana menghitung invers suatu matriks dengan metode eleminasi Gauss - Jourdan, agar lebih jelas, ikutilah contoh berikut ini.

Contoh 3- 11

Diberikan

A = 2 4

3 8

Hitunglah inversnya, bila ada

Penyelesaian

(1) Periksalah determinannya

A

= 2 4

3 8 = 4 0 (ini berarti ada invers)

(2) Matriks gandengannya, (A, I)

2 4

3 8

A

1 0

0 1

I

(3) Pengolahan dasar baris(i) Nilai elemen a11= 2 dijadikan 1 (satu), sebagai berikut:

Nata WIrawan 65


baris ke-1 dibagi 2 atau dikalikan ½ ; H1 (1/2) didapat,

1 2 0

3 8 0 1

12

Selanjutnya, berdasarkan nilai a11 = 1, nilai elemen lainnya pada kolom ke-1, dijadikan nol, dalam hal ini nilai a21= 3 dijadikan nol.

a21= 3 dinolkan caranya baris ke-2 dikurangi 3 kali baris ke-1, H21( -3 )

didapat,

1 2 0

0 2 1

1232

(ii) Nilai elemen a22 = 2 dijadikan 1 (satu), sebagai berikut, baris ke-2 dibagi 2 atau dikalikan ½ ; H2 (1/2) didapat,

1 2 0

0 1

123

412

Selanjutnya, berdasarkan nilai a22 = 1, nilai elemen-elemen lainnya pada kolom ke-2 dijadikan nol, dalam hal ini nilai a12 = 2 dijadikan nol.

a12 = 2 dinolkan, caranya baris ke-1 dikurangi 2 kali baris ke-2 ; H12( -2)

didapat,

1 0

0 1

I

2 134

12

B

Jadi,

A-1 = B = 2 1

34

12

Catatan : Hasil yang diperoleh ini sesuai dengan hasil pada Contoh 3 -7 dan Contoh 3-8.

(I, B) untuk mendapatkan invers dari matriks A (Contoh 3 -11), secara ringkas dapat dinyatakan sebagai berikut:

A

83

42 1 0

0 1

I

)(H

2

11

1083

02121

)3(H21

120

021

23

21

120

021

23

21

)(H2

12

21

4310

1221 )2(H12

I

10

01

B

21

43

12



Contoh 3-12

Bila diketahui,

A =

1 3 2

1 4 6

2 5 7

, carilah inversnya, bila ada.

Penyelesaian


A

=

1 3 2

1 4 6

2 5 7

= 7 0 (ini berarti ada invers)

(2) Matriks gandengan, (A, I)

1 3 2

1 4 6

2 5 7

A

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

(3) Pengolahan dasar baris (i) Nilai elemen a11 dijadikan 1 Oleh karena nilai elemen a11 sudah 1. Maka langsung saja nilai elemen

- elemen lainnya pada kolom pertama dijadikan nol sebagai berikut : a21 = 1 dinolkan, caranya baris ke-2 dikurangi 1 kali baris ke-1, H21

(-1)

a31= 2 dinolkan, caranya baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1, H31(-2)

didapat

1 3 2 1 0 0

0 1 4 1 1 0

0 1 3 2 0 1

(ii) Nilai elemen a22 dijadikan 1 Oleh karena nilai elemen a22 sudah 1. Maka langsung saja nilai elemen-

elemen lainnya pada kolom ke-2 dijadikan nol sebagai berikut : a12 = 3 dinolkan, caranya baris ke - 1 dikurangi 3 kali baris ke-2, H12

(-3)

a32 = -1 dinolkan, caranya baris ke - 3 ditambah 1 kali baris ke- 2 , H32(1)

didapat,

1 0 10 4 3 0

0 1 4 1 1 0

0 0 7 3 1 1

Nata WIrawan 67


(iii) Nilai elemen a33 = 7 dijadikan 1, sebagai berikut

baris ke-3 dikalikan 17

, H3 (1/ 7) didapat,

1 0 10 4 3 0

0 1 4 1 1 0

0 0 1 37

17

17

Selanjutnya, berdasarkan nilai a33 = 1, nilai-nilai elemen lainnya pada ko-lom 3 dijadikan nol, sebagai berikut : a32 = 4 dinolkan, caranya baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-3,

H23 (-4 )

a13 = -10 dinolkan, caranya baris ke-1 ditambah 10 kali baris ke-3, H13

(10) didapat matriks gandengan (I, B) sebagai berikut:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

27

117

107

57

37

47

37

17

17

B

Jadi, invers matriks A,

A -1 = B =

27

117

107

57

37

47

37

17

17

menjadi matriks (I, B) untuk mencari invers matriks A (Contoh 3-12), se-cara singkat dapat dinyatakan sebagai berikut :

1 3 2

1 4 6

2 5 7

A

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

H

H

312

211

( )

( )

1 3 2 1 0 0

0 1 4 1 1 0

0 1 3 2 0 1 H

H

321

123

( )

( )

1 0 10 4 3 0

0 1 4 1 1 0

0 0 7 3 1 1

H31 7( / )

1 0 10 4 3 0

0 1 4 1 1 0

0 0 1 37

17

17

H

H

1310

234

( )

( )

0 0 0

0 1 0

0 0 1

I

27

117

107

57

37

47

37

17

17

B



Contoh 3-13

Diberikan,

A =

3 1 1

1 2 1

4 3 2

Carilah inversnya, bila ada.


A

=

3 1 1

1 2 1

4 3 2

= - 30 0, (ini berarti ada invers)

(2) Matriks gandengan, (A , I)

3 1 1

1 2 1

4 3 2

A

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

(3) Pengolahan dasar baris (i) Nilai elemen a11 = 3 dijadikan 1 sebagai berikut :

baris ke-1 dikalikan 13

, H1(1/ 3) didapat,

100234

010121

00131

31

31

Selanjutnya, berdasarkan nilai a11 =1, nilai - nilai elemen lainnya pada kolom ke-1 dijadikan nol, sebagai berikut:

a21= 1 dinolkan, caranya baris ke-2 dikurangi 1 kali baris ke-1; H21 ( - 1)

a31 = 4 dinolkan, caranya baris ke-3 dikurangi 4 kali baris ke-1; H31( - 4 )

didapat,

100

010

001

3

4

3

10

3

5

3

1

3

4

3

7

3

1

3

1

3

1

(ii) Nilai elemen a22 = 37 dijadikan 1 (satu), sebagai berikut

baris ke-2 dikalikan3

7; H2

(-3 / 7) didapat,

Nata WIrawan 69


100

010

001

3

4

3

10

3

5

7

3

7

1

7

4

3

1

3

1

3

1

Selanjutnya, berdasarkan nilai a22 =1, nilai - nilai elemen lainnya pada kolom ke-2 dijadikan nol, sebagai berikut :

a12 = 13

dinolkan, caranya baris ke-1 dikurangi 13

kali baris ke-2 ; H12

(- 1/ 3)

a32 = 53

dinolkan, caranya baris ke-3 dikurangi 53

kali baris ke-2; H32

(- 5 / 3) didapat,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

17

27

17

47

17

37

307

117

57

(iii) Nilai elemen a33 =7

30 dijadikan 1 (satu), sebagai berikut

baris ketiga dikalikan730

, H3 ( 7/ 30 ) didapat,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

17

27

17

47

17

37

1130

16

730

Selanjutnya, berdasarkan nilai a33 = 1, nilai - nilai elemen lainnya pada kolom ke-3 dijadikan nol, sebagai berikut :

a13 = 71 dinolkan, caranya baris ke-1 ditambah

17

kali baris ke-3,

H13 (1/ 7)

a23 = 74 baris ke-2 ditambah

47

kali baris ke-3 H23(4 / 7) didapat mat-

riks gandengan (I, B), sebagai berikut:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

730

16

130

115

13

215

1130

16

730

B

Jadi, invers dari matriks A tersebut adalah

A -1 = B =

730

16

130

115

13

215

1130

16

730



3.5 Rank Suatu Matriks

dasarnya tidak berbeda satu sama lain. Di bawah ini, akan diuraikan hanya

(1) Rank suatu matriks A n x n yaitu r(A), adalah orde terbesar dari determinan bernilai tidak sama dengan nol.

(2) Rank suatu matriks A m x n , yaitu r(A) adalah banyaknya baris tak nol pada bentuk koronik (bentuk tereduksi) barisnya. Bentuk semacam ini didapat melalui serangkaian pengolahan dasar baris suatu matriks, dengan cara berusaha mengubah sebanyak mungkin baris menjadi vektor nol (baris yang elemen-elemen semuanya bernilai nol); atau berusaha membuat elemen-elemen diluar diagonal utama menjadi nol dan pada diagonal utama jadi 1 atau nol.

Contoh 3- 14

Carilah rank dari,

A =

2 3 1

2 1 2

4 4 3

Penyelesaian

Cara pertama

berorde n x n. Prinsipnya sebagai berikut : cari determinan yang nilainya tidak nol untuk ke pertama kalinya (determinan matriks tersebut atau minor-minornya) dan orde determinan yang nilainya tidak nol langsung menunjukkan rank matriksnya.

A =

2 3 1

2 1 2

4 4 3

= 0 (cara Sarrus)

Oleh karena determinan matriks asalnya sama dengan nol, lanjutkan cari nilai salah satu minornya yang tidak sama dengan nol .

M11 =

1 2

4 3 = (3 - 8 ) = - 5 0

Jadi, rank matriks A tersebut sama dengan orde minor M11-nya yaitu r(A) = 2

Cara kedua

mendapatkan baris nol sebanyak-banyaknya.

Nata WIrawan 71


2 3 1

2 1 2

4 4 3

H1

12

( )

1

2 1 2

4 4 3

32

12

H

H

31

4

21

2

( )

( )

1

0 2 1

0 2 1

32

12

H2

12

( )

1

0 1

0 2 1

32

121

2

H

H

32

2

12

32

( )

( )

1 0

0 1

0 0 0

541

2

)4(

1

)2(

2

H

H

4 0 5

0 2 1

0 0 0

Dari matriks hasil reduksi (matriks setara yang terakhir) ini, ada satu baris nol dari keseluruhan baris (3 baris) yang ada. Jadi, r(A) = banyaknya keseluruhan baris dikurangi banyaknya baris nol. Jadi, r (A) = 3 - 1 = 2

Contoh 3- 15

Carilah rank dari

A =

1 2 3

3 4 1

4 3 2

Penyelesaian

Cara pertama, perhatikan matriks A adalah matriks berorde n x n = 3 X 3

A

=

1 2 3

3 4 1

4 3 2

= - 20 (cara Sarrus)

Oleh karena A = - 20 0, maka rank matriks A tersebut sama dengan ordenya yaitu r(A) = 3

Cara kedua, dengan pengelohan dasar baris, diusahakan mendapatkan baris nol sebanyak-banyaknya.

1 2 3

3 4 1

4 3 2

H

H

31

4

21

3

( )

( )

1 2 3

0 2 8

0 5 10

H2

12

( )

1 2 3

0 1 4

0 5 10

H

H

32

5

12

2

( )

( )

1 0 5

0 1 4

0 0 10

Dari matriks yang setara terakhir ini, tidak ada baris nol dari keseluruhan baris (3 baris) yang ada. Jadi, r(A) = banyaknya keseluruhan baris dikurangi banyaknya baris nol = 3 - 0 = 3

Catatan: Matriks yang terakhir ini (Contoh 3-15), bagaimanapun caranya, dengan

pengolahan dasar baris atau dasar kolom tidak dapat memberikan

vektor nol yaitu baris nol.



Contoh 3- 16

Carilah rank dari,

A = 143

321

Penyelesaian

Cara pertama, yaitu dengan memeriksa determinannya, tidak dapat dipakai, kenapa? Oleh karena matriks tersebut bukan matriks bujur sangkar/berorde n x n.

Cara kedua, yaitu dengan pengolahan dasar baris, cara ini dapat digunakan sebagai berikut :

1 2 3

3 4 1

H21

3( )

1 2 3

0 2 8

Matriks yang terakhir ini dengan pengolahan dasar baris tidak dapat memberikan vektor nol yaitu baris nol.Jadi, r(A) = banyaknya keseluruhan baris dikurangi banyaknya baris nol

= 2 - 0 = 2

Soal-soal Latihan

3 - 1 Dengan pengolahan dasar baris, ubahlah matriksmatriks di bawah ini menjadi matriks indentitas.

(a) A = 3 4

2 5(b) B =

122

133

023

3 - 2 Carilah invers bila ada, dan rank matriksmatriks di bawah ini

(a) A = 3 4

2 5(d) B =

62

93

(b) C =

614

045

321

(e) D = 524

035

210

Nata WIrawan 73


(c) F =

0 2 3

1 3 3

1 2 2

(f) G =

0 1 3

3 5 4

2 0 2

3 - 3 Dengan pengolahan dasar baris, ubahlah matriksmatriks di bawah ini menjadi matriks indentitas.

(a) A = 3 4

2 5 (b) B =

0 2 3

1 3 3

1 2 2

(c) D =

0 2 3

1 3 3

1 2 2

(d) R =

250

204

123

3 - 4 Dengan carilah invers matriks di bawah ini, bila ada

(a) A =

2367

125

213

(b) B =

220

401

321

(c) D =

321

332

564

(e) R =

250

204

121

3 - 5 Carilah invers matriksnya, bila ada.

D =

8 4 6

5 4 5

8 3 6

(a) dengan metode Ajoin

AB = In

3 - 6 Dengan metode ajoin arilah invers dari matriks - matriks di bawah ini, bila ada, dan hitunglah ranknya

(a) A =

2 1 1

2 0 2

5 1 2

(b) B =

3 1 4

2 3 1

3 0 2

(c) E =

1 2 1

2 4 2

1 1 1

(d) D =

1 1 0

1 2 3

0 1 2



3 - 7 Bila matriks A,

A =

220

401

321

Tunjukkan bahwa, (A-1 ) -1 = A

3 - 8 Diberikan

A =

1031

2014

1213

(a) Matriks B dihasilkan dari matriks A melalui pengolahan dasar baris secara bertahap H31

(-1), H2(1), H12, dan H13

1

3( )

. Carilah matriks B .

(b) Ubahlah matriks A tersebut, menjadi matriks indentitas

3 - 9 Dengan carilah invers matriks di bawah ini, bila ada.

(a) A =

0547

1423

3162

5043

(b) B =

7184

3521

8640

5432

3 - 10 Dengan carilah invers matriks di bawah ini, bila ada.

A =

86543

43210

65432

45678

12345

B =

68534

23410

21423

42645

30312

Nata WIrawan 75

PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

DAN APLIKASINYA DALAM

EKONOMI-BISNIS

4.1 PengantarDalam bab ini akan dibahas mengenai persamaan linear simultan, baik

yang terdiri dari m persamaan dengan n variabel, maupun yang terdiri dari n per-samaan dengan n variabel. Di samping itu, dibahas juga mengenai persamaan linear yang homogen. Untuk dapat memahami mengenai sistem persamaan linear dan bagaimana suatu sistem persamaan linear dapat dipecahkan, diperlukan pengetahuan yang memadai mengenai rank, determinan, operasi matriks dan pengolahan dasar matriks. Dalam bab ini juga dipelajari beberapa teknik untuk memecahkan atau menyelesaikan suatu sistem persamaan linear.

Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini peserta didik (mahasiswa) diharapkan dapat memahami sistem persamaan linear dan mampu menerapkannya dalam ekonomi-bisnis.

4.2 Persamaan MatriksSuatu sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan dengan

n variabel (yang tidak diketahui) berikut ini,

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = k1

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = k2

a31 x1 + a32 x2 + . . . + a3n xn = k3 . . . . .

. . . . . (4.1) . . . . .

am1x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = km


4. PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DAN APLIKASINYA DALAM EKONOMI-BISNIS

i, yaitu aij (i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, …, n) dan konstanta kj (j = 1, 2 ..., m), disebut m persamaan linear simultan dengan n variabel yang tidak diketahui. Variabel yang tidak diketahui yaitu xi ( = 1, 2, …, n). Bila suatu sistem persamaan memiliki penyelesaian simultan maka sistem persamaan itu disebut sistem persamaan yang konsisten. Bila sistem persamaan itu tidak memiliki penyelesaian yang simultan disebut sistem persamaan yang tidak konsisten.

Pasangan harga-harga x1, x2, . . ., xn yang memenuhi ke m persamaan tersebut dikatakan penyelesaian (solusi) simultan dari sistem persamaan.

ij dinyatakan dengan A, matriks atau vektor kolom konstanta kj dinyatakan dengan K, dan matriks atau vektor kolom variabel xi dinyatakan X, masing -masing sebagai berikut :

A =

a a a

a a a

a a a

n

m m mn

11 12 1

21 22 2n

1 2

, X =

x

x

xn

1

2

K =

mk

k

k

2

1

Matriks Vektor Vektor

ij kolom variabel xi kolom konstata kj

Maka, sistem persamaan linear simultan (4.1) dapat dinyatakan dalam notasi matriks sebagai berikut:

a a a

a a a

a a a

n

m m mn

11 12 1

21 22 2n

1 2

x

x

xn

1

2

=

mk

k

k

2

1

(4.2)

atau AX = K (4.3)

dengan,

A = (aij X = (x1, x2 . . . xn) = vektor kolom variabel xi K = (k1, k2 . . . km) = vektor kolom konstanta kj

ij dan masing-masing konstanta (kj) diketahui, dan sistem persamaan tersebut memiliki solusi, maka melalui operasi matriks harga xi (x1, x2, . . ., xn) dapat dihitung. Suatu sistem persamaan linear (m x n), mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu :(1) tidak memiliki solusi, (2) tepat satu solusi, yang disebut solusi tunggal/unik, dan (3) banyak tak hingga solusi.

Nata WIrawan 77


Contoh 4 - 1Untuk sistem persamaan linear berikut, susunlah persamaan matriknya,

2x1 - x2 = 4 x1 + 2x2 = - 3

Penyelesaian

, A = 21

12

Vektor Variabel X, X =2

1

x

x

Vektor konstanta K, K = 3

4

Persamaan matriknya, AX = K

2 1

1 2 2

1

x

x =

4

3

Contoh 4 - 2

Susunlah persamaan matriknya, untuk sistem persamaan linear berikut.

x + 2y - z = - 3 3x + y + z = 4 x - y + 2z = 6

Penyelesaian

, A =

211

113

121

Vektor variabel V, V =

z

y

x

Vektor konstanta K, K =

6

4

3



Persamaan matriknya, AV = K

1 2 1

3 1 1

1 1 2

x

y

z =

3

4

6

4.3 Sistem Dua Persamaan Linear dengan Dua VariabelBentuk ax + by = c dengan a, b dan c adalah konstanta serta a, b 0,

disebut sebuah persamaan linear dengan dua variabel (yang tidak diketahui) .Dua variabel yang harganya tidak diketahui itu adalah variabel x dan y.

Satu set persamaan di bawah ini:

a1x + b1y = c1 (1) a2x + b2y = c2 (2)

merupakan persamaan linear simultan yang terdiri dari dua buah persamaan linear dengan dua variabel yang tidak diketahui, variabel yang tidak diketahui adalah x dan y, atau juga disebut suatu sistem dua persamaan linear dalam dua variabel. Pasangan harga x dan y yang memenuhi kedua persamaan itu disebut penyelesaian simultan.

Contoh 4- 3

x + y = 9 (1) x - y = 5 (2)

Bila sistem persamaan diselesaikan didapat nilai x dan y sebagai berikut:

x + y = 9 x - y = 5 2y = 4 y = 2

Bila y = 2 disubstitusikan ke (1) didapat x sebagai berikut:

x + y = 9 x + 2 = 9 x = 7

Jadi, penyelesaian simultan dari sistem persamaan adalah x = 7, y = 2

Ada 3 (tiga) metode untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear

(1) Cara Eleminasi

Kedua persamaan yaitu persamaan (1) dan persamaan (2) langsung

Nata WIrawan 79


dijumlahkan/dikurangkan atau bila perlu salah satu persamaan dikalikan

dilenyapkan.

Contoh 4-4

Carilah solusi dari sistem persamaan berikut,

2x - y = 4 (1) x + 2y = - 3 (2)

Penyelesaian

Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2, selanjutnya dijumlahkan, agar y lenyap/hilang, dan didapat

4x - 2y = 8 (1) x + 2y = - 3 (2) 5x + 0 = 5 x = 1

Bila x = 1 disubstitusikan ke (1) didapat nilai y sebagai berikut:

2x - y = 4 2(1) - y = 4 y = - 2

Jadi, solusi (penyelesaian) simultan dari sistem persamaan tersebut adalah x = 1, y = - 2.

(2) Cara Substitusi

Dicari terlebih dahulu harga salah satu variabel (dalam bentuk persamaan) dari salah satu persaman dalam sistem persamaan tersebut, dan harga ini disubstitusikan ke dalam persamaan yang lain.

Contoh 4- 5

Carilah solusi dari sistem persamaan berikut,

2x - y = 4 (1) x + 2y = - 3 (2)

Penyelesaian

Dari (1) dicari harga x yang masih dalam bentuk persamaan sebagai berikut:

2x - y = 4 (1)

x = 12

y + 2 (3)

Selanjutnya harga x = 12

y + 2 pada (3) disubstitusikan ke dalam (2) sehingga



diperoleh harga y sebagai berikut:

x + 2y = - 3

( 12

y + 2) + 2y = - 3

2 12

y + 2 = - 3

2 12

y = - 5 y = - 2

Kemudian harga y = - 2 disubstitusikan ke dalam (1) atau (2) didapat harga x sebagai berikut:

2x - y = 4 2x - (- 2) = 4 2x + 2 = 4 2x = 2 x = 1

Jadi, solusi (penyelesaian) simultan dari sistem persamaan adalah x = 1, y = - 2

(3) Cara G

yang merupakan titik potong kedua garis tersebut.

Contoh 4- 6

Y

X+2Y = - 3 2X -Y = 4

X

(1, - 2)

Y

X+Y = 2 2X -2Y = 8

X

(Gambar 4.1) (Gambar 4.2)

(a) Persamaan konsisten (b) Persamaan tidak konsisten

2 4

2 3

x y

x y

. . . (1)

. . . (2)

x y

x y

2

2 2 8

. . . (3)

. . . (4)

Nata WIrawan 81


Y X + Y = 1

X 4X + 4Y = 4

(Gambar 4.3)

(c) Persamaan bergantungan (tergantung linear)

x y

x y

1

4 4 4

(5) (6)

Gambar 4.1 menunjukkan bahwa penyelesaian simultan persamaan (1) dan persamaan (2) adalah x = 1, y = - 2, ditulis (1, - 2). Apabila garis-garisnya paralel maka persamaan tidak konsisten (Gambar 4.2). Kenapa ? Oleh karena bila persamaan (3) dikalikan 2 diperoleh 2x + 2y = 4 2x + 2y = 8, jelas tidak konsisten. Persamaan bergantungan dinyatakan dengan garis yang sama. Jadi setiap titik pada garis menyatakan penyelesaiannya dan karena ada titik yang tidak terhingga banyaknya, maka jumlah penyelesaiannya tak berhingga (Gambar 4.3)

4.4 Sistem Tiga Persamaan Linear dengan Tiga VariabelBila bentuk umum sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel

dinyatakan sebagai berikut:

a x + b y+ c z = k

a x + b y + c z = k

a x + b y + c z = k

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

Sistem Persamaan

(1)

(2)

(3)

Sistem persamaan di atas dapat diselesaikan dengan cara substitusi maupun dengan cara eleminasi (menjumlahkan atau mengurangkan) persamaan-persamaan yang ada.Untuk lebih jelasnya bagaimana sistem tiga persamaan dengan tiga variabel dapat diselesaikan, perhatikan Contoh 4- 7.

Contoh 4- 7

Selesaikanlah sistem persamaan berikut,

2x - y + z = 3 (1) x + 3y - 2z = 11 (2) 2x - 2y + 4z = 1 (3)



Penyelesaian

Sistem persamaan akan diselesaikan dengan cara eleminasi dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1

Dari (1) dan (2), z akan dilenyapkna dengan jalan persamaan (1) dikalikan 2 lalu dijumlahkan dengan persamaan (2) dan didapat,

2x - y + z = 3 (kalikan 2) x + 3y - 2z = 11 + 5x + y = 17 (4)

Langkah 2

Dari (1) dan (3), z akan dihilangkan dengan jalan persamaan (1) dikalikan 4 lalu dikurangkan dengan (3), dan didapat,

2x - y + z = 3 (kalikan 4) 3x - 2y + 4z = 1 5x - 2y = 11 (5)

Langkah 3

Persamaan (4) dan (5) dikurangkan, x akan dihilangkan sebagai berikut:

5x + y = 17 5x - 2y = 11 0 + 3y = 6 y = 2

Selanjutnya y = 2 dimasukkan ke dalam (4) atau (5) didapat x sebagai berikut:

5x + y = 17 5x + 2 = 17 5x = 15 x = 3

Terakhir, y = 2 dan x = 3 dimasukkan ke dalam (1) atau (2) atau (3), didapatkan nilai z sebagai berikut:

2x - y + z = 3 2(3) - 2 + z = 3 4 + z = 3 z = -1

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan tersebut adalah x = 3, y = 2 dan z = - 1

Nata WIrawan 83


4.5 Penyelesaian Persamaan Linear Simultan dengan Menggunakan Matriks

4.5.1 Penyelesaian Persamaan Linear Simultan m Persamaan dan n

Varaiabel

Sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan dan n variabel, AX = K dengan K 0 (lihat Subbab 4.2), dapat memiliki penyelesaian/solusi yang simultan atau tidak. Untuk dapat mengetahui apakah suatu sistem persamaan (m x n) memiliki penyelesaian atau tidak, ketentuan berikut, dapat dipakai sebagai pedoman (Hadley, 1964; Weber, 1982).

(1) Bila r(A) = r(A, K) = k, (k = bilangan skalar), maka sistem persamaan me-miliki penyelesaian dan paling tidak ada satu penyelesaian. Selanjutnya,(i) bila k = n, hanya ada satu penyelesaian simultan, yang disebut

penyelesaian tunggal (unik).(ii) bila k < n, maka ada banyak tak berhingga penyelesaian simultan.

(2) Bila r(A) < r(A, K), maka sistem persamaan tidak memiliki penyelesaian simultan.

(A, K) = matriks gandengan/perbesaran/gabungan (Augmented matriks), Kolom

tambahan itu adalah matriks K yang unsur unsurnya adalah konstanta-konstanta dari ruas kanan sistem persamaan linear.

K)

Contoh 4 - 8

Apakah sistem persamaan berikut mempunyai penyelesaian?

3 2 5

2

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

Penyelesaian

A = 3 2 1

1 1 1 (A, K) =

3 2 1 5

1 1 1 2

(i) Rank matriks A, yaitu r(A)

3 2 1

1 1 1

H123( )

0 1 2

1 1 1

H211( )

0 1 2

1 0 1

r(A) = banyak keseluruhan baris dikurangi banyak baris nol = 2 – 0 (tidak terdapat baris nol) = 2



(ii) Rank matriks gandengan (A, K)

3 2 1 5

1 1 1 2

H123( ) 0 1 2 1

1 1 1 2

H211( )

0 1 2 1

1 0 1 1

r(A, K) = banyak keseluruhan baris dikurangi banyak baris nol = 2 – 0 (tidak terdapat baris nol) = 2

r(A) = r(A, K) = 2, ini berarti k = 2 oleh karena k = 2 < n = 3 (n = banyaknya variabel dalam persamaan), maka sistem persamaan memiliki penyelesaian yang banyaknya tak berhingga.

Contoh 4 - 9

Apakah sistem persamaan berikut memiliki penyelesaian?

2x + 3y = 7 4x + 6y = 13

Penyelesaian

A = 2 3

4 6, (A, K) =

2 3 7

4 6 13

(i) Rank A, yaitu r(A)

2 3

4 6 H21

2( )

2 3

0 0

r(A) = banyak keseluruhan baris dikurangi banyak baris nol = 2 – 1 (terdapat satu baris nol) = 1

(ii) Rank matriks gandengan, r(A, K)

2 3 7

4 6 13

H212( )

2 3 7

0 0 1


Oleh karena, r(A) = 1< r(A, K) = 2, maka sistem persamaan tidak memiliki penyelesaian simultan.

Nata WIrawan 85


Contoh 4-10

Apakah sistem persamaan berikut memiliki penyelesaian? Bila ya, tentukanlah penyelesaiannya.

3y2x

8y3x2

Penyelesaian

A = 2 3

1 2, (A, K) =

2 3 8

1 2 3

(i) Rank A, yaitu r(A)

2 3

1 2

H122( )

21

70

)2/7(12H

21

027

r(A) = banyak keseluruhan baris dikurangi banyak baris nol = 2 – 0 (tidak terdapat baris nol) = 2

(ii) Rank matriks gandengan, r( A, K)

2 3 8

1 2 3

H122( )

0 7 14

1 2 3


Oleh karena, r(A) = r(A, K) = 2, maka sistem persamaan tersebut memiliki penyelesaian simultan. Oleh karena k = n (banyak variabel) = 2, maka sistem persamaan memiliki penyelesaian tunggal. Selanjutnya penyele-saiannya lihat Contoh 4-11.

4.5.2 Penyelesaian Persamaan Simultan n Persamaan n Variabel

Untuk dapat mengetahui, apakah suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dan n variabel memiliki penyelesaian atau tidak, ketentuan berikut ini, dapat dipakai sebagai pedoman (Hadley, 1964; Ayres, 1974):(1) Bila r(A) = r(A, K) = n, maka sistem persamaan memiliki penyelesaian

tunggal (hanya satu-satunya pemecahan = pemecahan unik).(2) Bila r(A) = r(A, K) = k < n, maka sistem persamaan memiliki banyak tak

berhingga penyelesaian.(3) Bila r(A) < r(A, K), maka sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian.



Di bawah ini dibahas mengenai penyelesaian persamaan simultan n persamaan dan n variabel dengan 3 (tiga) metode yaitu: (1) Metode

Cramer, (2) Metode Invers, dan (3) Metode Eleminasi Gauss - Jourdan.

(1) Metode Cramer

Untuk mencari penyelesaian simultan dari suatu sistem persamaan yang terdiri atas n persamaan dengan n variabel, Cramer memberikan suatu cara/metode penyelesaian melalui determinan dengan rumus sebagai berikut (Weber, 1982; Bradley, 2013):

Xi = i , dengan 0 (4.4)

dengan, Xi = harga variabel yang ke - i

i diganti dengan vektor konstanta (Kj) Berkaitan dengan metode Cramer, untuk dapat mengetahui apakah suatu

sistem persamaan n persamaan dengan n variabel memiliki penyelesaian atau tidak, caranya sebagai berikut (Ayres, 1974; Budnick 1993).(1) Bila 0, maka sistem persamaan mempunyai penyelesaian tunggal

dan sistem persamaannya disebut konsisten.(2) Bila = 0, maka sistem persamaan dapat mempunyai penyelesaian atau

tidak. Selanjutnya,(i) Apabila = 0, dan sekurang - kurangnya satu determinan 1, 2 .

. . n 0, maka sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian dan sistem persamaannya disebut tak konsisten.

(ii) apabila = 1, 2 n = 0, maka sistem persamaan dapat konsisten atau tidak konsisten. Bila sistemnya konsisten maka sistem tersebut akan memiliki banyak tak berhingga penyelesaian.

Contoh 4-11

Selesaikan sistem persamaan di bawah ini,

3y2x

8y3x2

Penyelesaian

konstanta (misalkan K)

A = 2 3

1 2, K =

8

3

Selanjutnya dapat dihitung berturut-turut,

Nata WIrawan 87


= A = 2 3

1 2 = (- 4) - (3) = -7 0

1 = 8 3

3 2= (-16) +( 9) = - 7

2 =2 8

1 3 = (- 6) - (8) = -14

Terakhir per rumus 4.4, x dan y dapat dihitung,

x = 1 = 7

7 = 1 y = 2 =

14

7= 2

Jadi, penyelesaian simultannya adalah x = 1 dan y = 2

Contoh 4-12

Selesaikan sistem persamaan berikut,

4 2 5

3 4 1

x y

x y

Penyelesaian

A = 4 2

3 4 K =

5

1

= A = 4 2

3 4 = (-16) - (6) = - 22 0

1 = 5 2

1 4= (-20) - (2) = - 22

2 = 4 5

3 1= (4) - (15) = -11

x = 1 = 22

22 = 1

y = 2 = 11

22 =

1

2

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan tersebut adalah x = 1

dan y = 1

2



Contoh 4-13

Selesaikanlah sistem persamaan di bawah ini,

3 2

5

7 1

1010

3

2

2 5

33

x y

x y

Penyelesaian

Persamaan tersebut disederhanakan terlebih dahulu sebagai berikut:

3 2

5

7 1

1010

x y (kalikan 10)

2(3x – 2) + 7y + 1 = 100

6x – 4 + 7y + 1 = 100

6x + 7y = 103

x y3

2

2 5

33 (kalikan 6)

3(x + 3) – 2(2y – 5) = 18

3x + 9 – 4y + 10 = 3

3x - 4y = -1

Sistem persamaan tersebut disederhanakan menjadi,

6 7 103

3 4 1

x y

x y

Dari persamaan yang telah disederhanakan tersebut dapat disusun matriks

A = 6 7

3 4, K =

103

1

Selanjutnya dapat dihitung masing-masing,

= 6 7

3 4 = (- 24) - (21) = - 45 0

1 = 103 7

1 4= (- 412) + (7) = - 405

2 = 6 103

3 1= (- 6) - (309) = - 315

Terakhir per rumus 4.4, x dan y dihitung sebagai berikut:

Nata WIrawan 89


x = 1 = 405

45 = 9

y = 2 = 315

45 = 7

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan adalah x = 9 dan y = 7.

Contoh 4-14


3x - 2x + 2x = - 3

2x + x - x = 5

x - 3x - 3x = - 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Penyelesaian

A =

3 2 2

2 1 1

1 3 3

, K =

3

5

2

1 =

3 2 2

5 1 1

2 3 3


2 =

321

152

233


3 =

3 2 3

2 1 5

1 3 2

= 42 (cara Sarrus)

Selanjutnya per rumus (4.4) dihitung x1, x2 dan x3 sebagai berikut:

x1 = 1 = 42

42 = 1

x2 = 2 = 84

42 = 2

x3 = 3 = 42

42 = -1

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan tersebut adalah x1 = 1, x2 = 2 dan x3 = - 1.



Contoh 4-15

Selesaikan sistem persamaan di bawah ini,

2x + x - x + x = - 4

x + 2x + 2x - 3x = 6

3x - x - x + 2x = 0

2x + 3x + x + 4x = - 5

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

Penyelesaian

A =

4132

2113

3221

1112

, dan K =

4

6

0

5

= A =

2 1 1 1

1 2 2 3

3 1 1 2

2 3 1 4

= 86 2 =

4152

2103

3261

1142

= -172

1 =

4 1 1 3

6 2 2 3

0 1 1 2

5 3 1 4

= 86 3 =

4532

2013

3621

1412

= 258

4 =

2 1 1 4

1 2 2 6

3 1 1 0

2 3 1 5

= - 86

Selanjutnya per rumus (4.4) dihitung x1, x2, x3 dan x4 sebagai berikut:

x1 = 1 = 86

86 = 1 x3 = 3 =

258

86 = 3

x2 = 2 = 172

86 = - 2 x4 = 4 =

86

86 = -1

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan tersebut adalah x1 = 1, x2 = - 2, x3 = 3 dan x4 = - 1.

Nata WIrawan 91


Contoh 4-16

Selesaikanlah sistem persamaan linear di bawah ini

3 = z + y +2x -

6 = z + y + x

11 = z +3y +2x

Penyelesaian

A =

2 3 1

1 1 1

2 1 1

, K =

3

6

11

= A =

112

111

132

= - 6 0 1 =

11 3 1

6 1 1

3 1 1

= - 6

2 =

132

161

1112

= - 12 3 =

2 3 11

1 1 6

2 1 3

= -18

Selanjutnya per rumus (4.4) dihitung x, y dan z sebagai berikut:

x = 1 = 6

6 = 1

y = 2 = 12

6 = 2

z = 3 = 18

6 = 3

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan linear tersebut adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.

Contoh 4-17

Periksalah, apakah sistem persamaan di bawah ini konsisten atau tidak?

x - 3y + 2z = 4

2x + y - 3z = - 2

4x - 5y + z = 5



Penyelesaian

A =

1 3 2

2 1 3

4 5 1

, K =

4

2

5

=

1 3 2

2 1 3

4 5 1

= 0 (cara Sarrus)

1 =

4 3 2

2 1 3

5 5 1

= - 7 (cara Sarrus )

Oleh karena, = 0 dan 1 = - 7(sekurang-kurangnya satu dari 1, 2 dan

3 0), maka sistem persamaan tersebut adalah tidak konsisten.

Contoh 4-18

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut,

x + 2z = 7

3x + y = 5

2y - 3z = - 5

Apakah sistem persamaan tersebut konsisten atau tidak?

Penyelesaian

A =

1 0 2

3 1 0

0 2 3

K =

7

5

5

=

1 0 2

3 1 0

0 2 3

= 9 0

Oleh karena, = 9 0 , maka sistem persamaan tersebut adalah konsisten.

(2) Metode Invers Matriks

Dengan metode ini penyelesaian suatu sistem persamaan linear, n persamaan dengan n variabel dihitung dengan rumus:

X = A-1 K (4.5)

Nata WIrawan 93


Secara skematis penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara/metode invers matriks dapat dinyatakan sebagai berikut:

Sistempersamaan

( n x n )

Matriks Matriks kofaktor

Matriks

Ajoin

Matriks

invers

X = A-1 K

Agar lebih jelas bagaimana cara/metode ini diterapkan perhatikan contoh berikut.

Contoh 4-19


2 3 8

2 3

1 2

1 2

x x

x x

Penyelesaian

Vektor Konstanta Vektor Variabel

A = 2 3

1 2 K =

8

3, X =

x

x

1

2

Pastikan A 0

A =2 3

1 2 = (- 4) - (3) = - 7 0

(Cij A) = 2221

1211

CC

CC

C11 = + M11 = - 2

C12 = - M12 = -1

C21 = - M21 = - 3

C22 = + M22 = 2




(Cij A) = 2 1

3 2

Matriks Ajoin A

Ajoin (A) = (Cij A)’ = 2 3

1 2

,

A-1 = A

)A(Aj =

1

7

2 3

1 2 =

27

37

17

27

Selanjutnya per rumus 4.5, x1 dan x2 dapat dihitung sebagai berikut: X = A-1 K

x

x

1

2

= 27

37

17

27

8

3

= 1

2atau

x

x

1

2

=1

2 x1 = 1 dan x2

= 2

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan adalah x1 = 1 dan x2 = 2.

Contoh 4-20

Selesaikanlah sistem persamaan berikut ini,

3x1 2 2 3

2 5

3 3 2

2 3

1 2 3

1 2 3

x x

x x x

x x x

Penyelesaian

. Vektor Konstanta Vektor Variabel

A =

3 2 2

2 1 1

1 3 3

K =

3

5

2

X =

x

x

x

1

2

3

Nata WIrawan 95


Pastikan A 0

A =

3 2 2

2 1 1

1 3 3

= - 42 0 (cara Sarrus)

(Cij A) =

333231

232221

131211

CCC

CCC

CCC

Dicari terlebih dahulu,

C11 = +33

11 C12 = -

31

12 C13 = +

31

12

= - 6 = 5 = - 7

C21 = - 33

22 C22 = +

31

23 C23 = -

31

23

= -12 = -11 = 7

C31 = + 11

22 C32 = -

12

23 C33 = +

12

23

= 0 = 7 = 7


(Cij A) =

6 5 7

12 11 7

0 7 7

Aj(A) = (Cij A)’ =

6 12 0

5 11 7

7 7 7

A-1 = Aj A

A

( ) =

1

42

6 12 0

5 11 7

7 7 7

=

17

1242

542

1142

16

16

16

16

0

Selanjutnya per rumus 4.5, x1, x2 dan x3 dapat dihitung X = A-1.K



x

x

x

1

2

3

=

17

1242

542

1142

16

16

16

16

0

3

5

2

=

1

2

1

x1 = 1, x2 = 2 dan x3 = - 1

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan tersebut adalah x1 = 1, x2 =

2 dan x3 = - 1.

(3) Metode Eleminasi Gauss - Jourdan

Menentukan penyelesaian simultan dari suatu sistem persamaan menurut metode ini, didasarkan atas pengolahan dasar baris (elementary row

operatioan) atau pengolahan dasar kolom (elementary Column operation) dari suatu matriks. Metode eleminasi Gauss pada dasarnya mengolah matriks

tersebut tidak dihentikan /berakhir pada matriks segitiga atas, namun dilanjutkan sampai pada matriks indentitas, maka proses pengolahan/penyederhanaan ini disebut eleminasi Gauss-Jourdan (Cullen, 1988; Bradley, 2013).

Proses penyederhanaan Gauss-Jourdan ini, secara skematis dapat dinyatakan sebagai berikut:

Sistemsemula

Sistemsetara

)hadum( Solusi

Matriksgandengan

baris

pengolahanMatriks

gandengan

Secara ringkas, proses penyederhanaan Gauss-Jourdan, dapat juga dinyatakan sebagai berikut:

(A, K) penyederhanaan (I, K

baru) (4.6)

(4.6)

Agar lebih jelas bagaimana metode ini diterapkan perhatikan contoh berikut.

Nata WIrawan 97


Contoh 4- 21


32

832

21

21

xx

xx

Penyelesaian

Disusun terlebih dahulu matriks gandengan (A, K), kemudian matriks A pada (A, K) dengan pengolahan dasar baris diubah menjadi matriks indentitas (matriks satuan). Vektor K dari (A, K) secara otomatis berubah menjadi vektor K (baru), dan K yang baru merupakan penyelesaian simultannya.

A

21

32

K

3

8

)21(

1H 321

412

3

)1(

21H 70

41

2

7

2

3

)72(

2H 210

412

3

)

23(

12H

I

10

01

)(

2

1

baruK

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan adalah x = 1 dan y = 2 (Hasil ini sama dengan hasil Contoh 4-11).

Contoh 4-22


2 4 16

3 2 10

3 3 16

x y z

x y z

x y z

Penyelesaian

(A, K) =

2 1 4

3 2 1

1 3 3

A

16

10

16

K

H1

12

( )

1 2 8

3 2 1 10

1 3 3 16

12

H

H

31

1

21

3

( )

( )

1 2 8

0 5 14

0 1 8

121252

H2

2( )

1 2 8

0 1 10 28

0 1 8

12

52

H

H

32

52

12

12

( )

( )

1 0 7 22

0 1 10 28

0 0 26 78

H3

126

( ) 1 0 7 22

0 1 10 28

0 0 1 3H

H

23

10

13

7

( )

( )1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

1

2

3

K baru( )

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan tersebut adalah x = 1, y = 2 dan z = 3



Contoh 4– 23


6x + 2y + 5z = 73

7x - 3y + z = - 1

4x + 8y - 9z = - 9

Penyelesaian

6 2 5

7 3 1

4 8 9

A

73

1

9

K

H1

16

( ) 1

7 3 1 1

4 8 9 9

26

56

736

H

H

31

4

21

7

( )

( )

1

0

0

26

56

736

326

296

5176

406

746

3466

H2

632

( )

1

0 1

0

26

56

736

2932

51732

406

746

3466

H

H

32

406

12

26

( )

( )

1 0

0 1

0 0

5196

65196

2932

51732

44124

396924

H3

24441

( )

1 0

0 1

0 0 1 9

5196

65196

2932

51732

H

H

23

2932

13

5196

( )

( )

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

2

8

9

K baru( )

Jadi, penyelesaian simultan sistem persamaan adalah x = 2, y = 8 dan z = 9

4.5.3 Persamaan Linear Homogen

Suatu sistem persamaan AX = K, dikatakan homogen apabila K = 0. Secara umum persamaan linear simultan (homogen) dapat dinyatakan sebagai berikut:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

(4.7)

atau,

dalam bentuk matriks dapat dinyatakan sebagai berikut:

Nata WIrawan 99


a a a

a a a

a a a

n

m m mn

11 12 1

21 22 2n

1 2

x

x

xn

1

2

=

0

0

0

(4.8)

atau

AX = 0 (4.9)

Dalam sistem persaman umum (AX = K) terdapat tiga kemungkinan solusi (penyelesaian) yaitu: (1) solusi tunggal, (2) banyak tak berhingga solusi, dan (3) tidak ada solusi. Sedangkan dalam sistem persamaan linear yang homogen (AX = 0) memiliki dua jenis solusi yaitu: (1) solusi trivial (solusi nol) dan solusi bukan trivial/nir-trivial. Solusi nir-trivial ini berupa banyak tak berhingga solusi.

Suatu sistem persamaan linear homogen yang memiliki solusi nir-trivial dapat dipastikan memiliki solusi trivial, namun tidak sebaliknya. Untuk mengetahui apakah suatu sistem pesamaan linear yang homogen memiliki solusi trivial atau nir-trivial, pedomannya sebagai berikut (Hadley, 1964; Ayres, F., 1974).

Bila r(A) = r(A, 0) ada solusi trivial atau nir – trivial.Selanjutnya,(1) Bila r(A) = n ada satu solusi dan solusi itu adalah trivial.(2) Bila r(A) = k < n ada solusi dan solusi itu adalah solusi nir-trivialSolusi trivial atau solusi nol adalah solusi yang memberikan nilai Xi = 0 (x1 = 0, x2 = 0 . . . , xn = 0).

Selain ketentuan di atas, ada juga cara lain untuk mengetahui apakah suatu sistem persamaan linear yang homogen memiliki solusi nir-trivial atau tidak. Aturannya sebagai berikut:(1) Bila m < n sistem persamaan memiliki pemecahan yang nir-trivial.(2) Bila m = n dan = 0 sistem persamaan memiliki pemecahan

yang nir - trivial.



Contoh 4-24

Periksalah, apakah sistem persamaan berikut ini mempunyai solusi nir-trtivial?

=+

=+

=++

0r4zy2x3

0r16z17y2x3

0r3zyx

Penyelesaian

Banyaknya persamaan, m = 3. Banyaknya variabel, n = 4. Oleh karena m < n , maka sistem persamaan memiliki solusi nir - trivial.

Contoh 4- 25

Periksalah, apakah sistem persamaan berikut ini mempunyai pemecahan nir-trivial?

0x4xx3

0x2x5x

0x3x2x

321

321

321

Penyelesaian

m = 3, n = 3 jadi m = n , akan tetapi = - 44 (coba periksa nilai ini).Oleh karena m = n, dan 0, maka sistem persamaan tidak memiliki

penyelesaian nir-trivial. Dengan kata lain sistem persamaan memiliki penyelesaian trivial saja.

Contoh 4- 26

Periksalah sistem persamaan di bawah ini, apakah memiliki solusi nir-trivial? Jika tidak, carilah solusinya.

x y z

x y z

x y z

0

3 2 4 0

2 0

Penyelesaian

Banyak persamaan, m = 3. Banyak variabel, n = 3. Jadi m = n. Determinan matriks = - 20 (coba periksa nilai ini). Oleh karena m = n dan 0, maka

sistem persamaan tidak memiliki solusi nir-trivial, melainkan hanya memilki solusi trivial/solusi nol saja. Solusi trivialnya dapat dihitung sebagai berikut:

A =

112

423

111

K =

0

0

0

(A, K) =

0112

0423

0111

1 1 1

3 2 1

2 1 1

0

0

0

A K

H

H

31

2

21

3

( )

( )

1 1 1 0

0 1 2 0

0 3 1 0

H2

1( )

Nata WIrawan 101


1 1 1 0

0 1 2 0

0 3 1 0

H

H

32

3

121

( )

( )

1 0 1 0

0 1 2 0

0 0 5 0

H3

15

( )

1 0 1 0

0 1 2 0

0 0 1 0

H

H

23

2

13

1

( )

( )

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0

0

0

A K baru( )

Jadi, solusi simultan sistem persamaan tersebut adalah x = 0, y = 0, dan z = 0.

Contoh 4-27

Periksalah, apakah sistem persamaan berikut memiliki solusi nir-trivial? Jika ya, carilah solusinya.

0z2y4x

0zy3x2

0zyx

Penyelesaian

Banyaknya persamaan, m = 3. Banyaknya variabel, n = 3. Jadi m = n. = 0 (Coba periksa nilai ini). Oleh kerena m

= n dan = 0, maka sistem persamaan memiliki solusi nir-trivial. Selanjutnya solusi nir-trivialnya dapat dicari sebagai berikut:

A =

1 1 1

2 3 1

1 4 2

K =

0

0

0

(A, K) =

1 1 1 0

2 3 1 0

1 4 2 0

1 1 1

2 3 1

1 4 2

0

0

0

A K

H

H

31

1

21

2

( )

( )

1 1 1 0

0 5 3 0

0 5 3 0

H2

15

( )

1 1 1 0

0 1 0

0 5 3 0

35

H

H

32

5

12

1

( )

( )

1 0 0

0 1 0

0 0 0 0

2535

Matriks padanan (setara) yang terakhir ini bukanlah matriks indentitas melainkan matriks segitiga, dari matriks segitiga tersebut diperoleh,

x y z

x y z

x y z

0 0 1

0 1 0 2)

0 0 0 0 3

25

35

. ( )

. . (

. . . ( )



Dari (1) diperoleh x = - 25

z , dari (2) diperoleh y = 35

z . Selanjutnya z diberi sembarang nilai, misalnya z = 5K, maka didapat,

x = - 25

z = - 25

(5K) = - 2K y = 35

z = 35

(5K) = 3K

Jadi, penyelesaian umum dari sistem persamaan di atas adalah x = - 2K, y = 3K dan z = 5K.

4.6 Aplikasi Persamaan Linear Simultan dalam Ekonomi dan Bisnis

Di bawah ini, diberikan beberapa contoh aplikasi sistem persamaan linear dalam ekonomi dan bisnis.

Contoh 4- 28

Tiga sekawan Si Wayan, Si Karto dan Si Akong berbelanja di sebuah toko swalayan membeli tiga jenis barang yaitu barang A, B dan C.Si wayan membeli 2 unit barang A, 1 unit barang B dan 4 unit barang C, untuk itu ia harus membayar $ 16.Si Karto membeli 3 unit barang A, 2 unit barang B dan 1 unit barang C, untuk itu ia harus membayar $ 10.Si Akong membeli 1 unit barang A, 3 unit barang B dan 3 unit barang C, untuk itu ia harus membayar $ 16.

Pertanyaan

(a) Susunlah sistem persamaan linear simultannya.(b) Susunlah persamaan matriknya.(c) Berapa harga per unit barang A, B dan C?(d) Seorang konsumen lain membeli 3 unit barang A, 2 unit barang B, dan 5

unit barang C, di toko itu juga. Berapa ia harus membayar?

Penyelesaian

Misalkan: harga per unit barang A = $ x1 harga per unit barang B = $ x2 harga per unit barang C = $ x3

(a) Sistem persamaan linearnya

2 4 16

3 2 10

3 3 16

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

(b) Persamaan matriksnya

A =

2 1 4

3 2 1

1 3 3

X =

3

2

1

x

x

x

K =

16

10

16

Nata WIrawan 103


AX = K

2 1 4

3 2 1

1 3 3 3

2

1

x

x

x

=

16

10

16

(c) Menghitung harga per unit masing-masing barang. Digunakan cara Cramer, sebagai berikut:

A =

2 1 4

3 2 1

1 3 3

K =

16

10

16

= A =

2 1 4 2 1

3 2 1 3 2

1 3 3 1 3

= 26 0

1 =

16 1 4 16 1

10 2 1 10 2

16 3 3 16 3

= 26

2 =

2 16 4 2 16

3 10 1 3 10

1 16 3 1 16

= 52

3 =

2 1 16 2 1

3 2 10 3 2

1 3 16 1 3

= 78

Per rumus (4.4) x1, x2 dan x3 dapat dihitung sebagai berikut:

x1 = 1 = 26

26 = 1

x2 = 2 = 56

26 = 2

x3 = 3 = 78

26 = 3

Jadi, harga per unit barang A = $ 1, harga per unit barang B = $ 2, dan

harga per unit barang C = $ 3.

(d) Konsumen tersebut harus membayar sebanyak = 3x1 + 2x2 + 5x3 = 3(1) + 2(2) + 5(3) = 7 + 15 = 22 Jadi, konsumen tersebut harus membayar $ 22.



Contoh 4-29

Syarat keseimbangan dua jenis barang yang berhubungan adalah:

4p1 + 2p2 = 5 3p1 - 4p2 = 1

p1 adalah harga per unit barang pertama dan p2 adalah harga per unit barang yang kedua. Tentukanlah harga keseimbangan kedua barang.

Penyelesaian

Digunakan cara Cramer

A = 4 2

3 4 K =

5

1

= 4 2

3 4 = - 22 0

1 = 5 2

1 4 = - 22 2 =

4 5

3 1 = -11

p1 = 1 = 22

22 = 1 p2 = 2 =

11

22 =

1

2

Jadi, harga keseimbangan kedua barang adalah p1 = 1, dan p2 = 1

2

Contoh 4-30

Syarat keseimbangan tiga jenis barang dinyatakan dalam sistem persamaan berikut :

2p1 + p2 + 2p3 = 9 10p1 - p2 + 3p3 = 20 p1 + p2 + p3 = 6

p1, p2, dan p3 adalah harga per unit masing-masing barang. Hitunglah harga keseimbangannya.

Penyelesaian


A =

2 1 2

10 1 3

1 1 1

K =

9

20

6

Nata WIrawan 105


= A = 111

3110

212

= 7 0 (Cara Sarrus)

1 =

9 1 2

20 1 3

6 1 1

= 14 p1 = 1 = 14

7 = 2

2 =

2 9 2

10 20 3

1 6 1

= 21 p2 = 2 = 21

7 = 3

3 =

2 1 9

10 1 20

1 1 6

= 7 p3 = 3 = 7

7 = 1

Jadi, harga keseimbangan 3 jenis barang adalah p1 = 2, p2 = 3, dan p3 = 1

Contoh 4- 31

Bila diketahui persamaan IS dan LM masing-masing sebagai berikut :

IS : 0,3y + 100 i = 252 LM : y - 200i = 176

Carilah tingkat keseimbangan dari pendapatan (y) dan suku bunga (i).

Penyelesaian


0,3y + 100 i = 252 y - 200i = 176

A = 2001

1003,0, dan K =

176

252

= A = 2001

1003,0 = - 160 0



1 = 200176

100252 = - 68.000

2 = 1761

2523,0 = -199,2

y = 1 = 160

000,68 = 425

i = 2 = 199 2

160

, = 1,245

Jadi, tingkat keseimbangan pendapatan dan suku bunga adalah pada y = 425, dan i = 1,245.

Soal-soal Latihan

4- 1 Carilah solusi/penyelesaian sistem persamaan linear di bawah ini dengan: (1) Cara Gauss-Jourdan, (2) Cara Cramer, dan (3) Cara invers

matriks.

(a)

6 2 5 73

7 3 1

4 8 9 9

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

(b)

3 2 6 24

2 4 3 23

5 3 4 33

x y z

x y z

x y z

4- 2 Selesaikanlah sistem persamaan linear di bawah ini dengan metode eleminasi Gauss–Jourdan.

(a)

=+++

=++

=+++

=+++

11r14z14y5x4

3r3z2y5x2

2r2z5y6x3

2r2z3y4x2

(b)

2r3z2y2x2

8rz2y6x3

1r4z3yx

5rz5yx2

4 - 3 Tentukanlah solusi dari sistem persamaan linear berikut,

(a)

0y8x7

0z6y5x4

0z3y2x 2x1 - x2 + 3x3 = 0 (b) 3x1 + 2x2 + x3 = 0 x1 - 4x2 + 5x3 = 0

4 - 4 Syarat keseimbangan untuk tiga pasar yang saling berhubungan dinyatakan oleh sistem persamaan berikut:

=++

=++

=++

1633

1023

1642

321

321

321

ppp

ppp

ppp

Nata WIrawan 107


p1 = tingkat harga barang dipasar pertama, p2 = tingkat harga barang dipasar kedua, dan p3 = tingkat harga barang dipasar ketiga.

Carilah tingkat keseimbangan harga untuk masing-masing pasar.

4- 5 Diketahui persamaan IS dan LM masing – masing

IS : 0,2y + 75i = 104,5 LM: 0,3y - 250i = 105

Carilah tingkat keseimbangan dari pendapatan (y) dan suku bungan (i).

4- 6 Syarat keseimbangan untuk dua pasar yang berkaitan (daging sapi dan daging ayam) ditunjukkan oleh,

2p1 + 3p2 - 8 = 0 p1 - 2p2 + 3 = 0 Carilah harga keseimbangan untuk masing-masing pasar (p1 = harga

per kg daging sapi, dan p2 = harga per kg daging ayam).

4- 7 Seorang pelanggan membeli tiga jenis barang pada sebuah agen barang yang dimaksud dalam tiga kali pengambilan.

Pengambilan pertama: ia membeli 3 unit barang A, 2 unit barang B dan 6 unit barang C, untuk itu ia harus membayar $ 24. Pengambilan kedua: ia membeli 2 unit barang A, 4 unit barang B, dan 3 unit barang C, untuk itu ia harus membayar $ 23. Pengambilan ketiga: ia membeli 5 unit barang A, 3 unit barang B, dan 4 unit barang C, untuk itu ia harus membayar $ 33. Bila dalam jangka waktu pengambilan barang-barang tersebut, harga per unit masing-masing barang dianggap tetap. Berdasarkan informasi tersebut,

(a) Susunlah sistem persamaan linear simultannya. (b) Susunlah persamaan matriksnya. (c) Hitunglah harga per unit masing-masing barang.

4- 8 Sebuah pabrik pupuk buatan memproduksi tiga (3) jenis pupuk yaitu pupuk A, B dan C. Banyaknya pupuk (ton) yang diproduksi dan biaya produksi (juta Rp) dalam 3 (tiga) bulan pertama, dapat disajikan sebagai berikut:

Waktu Jenis Pupuk(ton)

Biaya Produksi(Juta Rp.)

A B C

Bulan ke - 1 2 0 2 16

Bulan ke - 2 1 1 2 17

Bulan ke - 3 1 2 1 16

Pertanyaan(a) Susunlah persamaan linear simultannya.(b) Susunlah persamaan matriksnya.(c) Hitunglah biaya produksi per ton masing-masing pupuk.(d) Pada bulan ke-4 pabrik tersebut memproduksi 5 ton pupuk jenis A,



4 ton pupuk jenis B, dan 3 ton pupuk jenis C, berapa besar total biaya produksi pada bulan ke 4?

4- 9 Syarat keseimbangan untuk lima pasar yang saling berhubungan dinyatakan oleh sistem persamaan berikut:

130

32032223

44034245

3302324

3302342

trzyx

trzyx

trzyx

trzyx

trzyx

x = tingkat harga barang di pasar pertama, y = tingkat harga barang di pasar kedua, dan z = tingkat harga barang di pasar ketiga, r = tingkat harga barang di pasar keempat, dan t = tingkat harga barang di pasar ke lima. Carilah tingkat keseimbangan harga untuk masing - masing pasar.

(Petunjuk: Kerjakanlah dengan cara eleminasi Gauss-Jourdan)

4 - 10 Syarat keseimbangan untuk tiga barang substitusi diperlihatkan oleh,

0563

1342

92

321

321

321

ppp

ppp

ppp

Tentukanlah tingkat harga keseimbangannya. (p 1, p2 dan p3 masing - masing adalah harga per unit barang pertama, kedua dan ketiga).

4- 11 Syarat keseimbangan untuk empat barang substitusi diperlihatkan oleh,

=+++

=+++

=+++

=+++

24rz5y4x3

18r4z3y2x

16r2zy3x5

20r3z4yx2

Tentukanlah tingkat harga keseimbangannya. x, y, z dan r masing-masing adalah harga per unit barang pertama, kedua, ketiga dan keempat. (Petunjuk: Kerjakanlah dengan metode eleminasi Gauss-Jourdan).

4-12 Sebuah perusahaan manufaktur memproduksi tiga jenis barang yang berbeda (A, B dan C). Setiap barang diproses melalui tiga departemen yang berbeda (1, 2 dan 3). Data dalam tabel di bawah ini, menyatakan banyaknya unit barang yang diproses dan lamanya waktu yang dipergunakan per minggu pada masing-masing departemen.

Nata WIrawan 109


Departemen Jenis Barang (unit) Waktu yangdigunakan per minggu

(jam)A B C

1 2 1 3 130

2 5 3 2 170

3 1 3 2 130

Pertanyaan (a) Susunlah persamaan linear simultannya. (b) Susunlah persamaan matriksnya. (c) Tentukanlah waktu yang diperlukan untuk memproses per unit

masing-masing barang.

4-13 Diketahui: Y = C + I0 dan C = C0 + bY Bila I0 = 400, C0 = 500, MPC = b = 0,70.Tentukanlah tingkat

keseimbangan pendapatan dan konsumsinya. 4- 14 Tiga jenis barang yaitu barang A, B dan C masing-masing dapat

dihasilkan dengan menggunakan tiga faktor produksi yaitu: tanah, modal dan tenaga kerja. Untuk memproduksi satu unit barang A diperlukan tiga unit tanah, dua unit tenaga kerja dan 10 unit modal. Keseluruhan biaya yang dikeluarkan untuk itu (sewa tanah, bunga modal dan upah tenaga kerja) sebanyak $ 62,000. Untuk memproduksi satu unit barang B diperlukan satu unit tanah, tiga unit tenaga kerja, dan lima unit modal. Keseluruhan biaya (berupa sewa tanah, bunga modal dan upah tenaga kerja) sebanyak $ 36,000. Sementara untuk memproduksi satu unit barang C,diperlukan dua unit tanah, dua unit tenaga kerja dan tiga unit modal. Keseluruhan biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi barang C sebanyak $ 25,000.(a) Susunlah persamaan linear simultannya. (b) Susunalah persamaan matriknya.(c) Tentukanlah sewa per unit tanah, bunga per unit modal dan upah

per unit tenaga kerja.

4- 15 Syarat keseimbangan untuk dua pasar yang berkaitan (daging sapi dan daging ayam ditunjukkan oleh).

p1 + p2 – 5 = 0 3p1 + 2p2 – 12 = 0

Carilah harga keseimbangan untuk masing-masing pasar (p1 = harga per kg daging sapi dan p2 = harga per kg daging ayam).

4- 16 Seorang peternak hanya memelihara kelinci dan ayam. Ketika ditanya berapa banyak masing-masing ternak yang ia pelihara, ia malah menjawab seenaknya saja, ada 110 kepala dan 300 kaki. Berapa ekor ayam dan kelinci yang ia pelihara?


ANALISIS

INPUT - OUTPUT

5.1 PengantarDalam bab ini akan dibahas mengenai analisis input-output (I-O), yaitu

suatu model matematis untuk menelaah keterkaitan antar sektor dalam suatu perekonomian. Output (keluaran) dari sektor yang satu, di samping dipakai sebagai input untuk dirinya sendiri, juga dipakai input oleh sektor lainnya, dan sebagai barang konsumsi bagi pemakai akhir. Alat analisis ini, pertama kali dikembangkan oleh Wassily Leontief pada tahun 1930-an.Tujuan utama dari analisis input-output ini adalah untuk meramalkan (memprediksi) tingkat output yang harus disediakan (diproduksi) oleh masing-masing sektor untuk memenuhi tingkat permintaan akhir.

Untuk dapat memahami dengan baik analisis input-output ini, diperlukan pengetahuan yang memadai tentang operasi matriks, determinan, invers suatu matriks, dan persamaan linear simultan.

Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini peserta didik (mahasiswa) diharapkan mengenal dan dapat memahami mengenai dasar-dasar analisis input-output.

5.2 Tabel Input - OutputTabel input-output ini, memuat keterangan-keterangan tentang output suatu

sektor yang didistribusikan ke sektor-sektor lain sebagai input dan ke pemakai akhir sebagai barang konsumsi, di samping dipakai oleh dirinya sendiri sebagai input. Satuan datanya dapat dalam satuan nilai uang ataupun dalam satuan

Tabel input -output sering juga disebut tabel transaksi.

Nata WIrawan 111

5. ANALISIS INPUT - OUTPUT

Untuk lebih jelasnya di bawah ini diberikan contoh tabel input - output untuk suatu perekonomian tiga sektor.

Tabel 5.1 Transaksi Perekonomian Negara A Pada Tahun 2014 (Triliun Rupiah)

Output Input

Sektor PermintaanAkhir

TotalOutputPertanian Industri Jasa

Pertanian

Industri

Jasa

4

6

1

5

10

7

1

4

5

5

20

7

15

40

20

Nilai Tambah (Input Primer)

4 18 10 32

Total Input 15 40 20 75

Sumber : Data Hipotetis

Baris pertama: menunjukkan bahwa, dari seluruh output (keluaran) sektor pertanian senilai 15 triliun rupaih, 4 triliun rupiah digunakan oleh sektor pertanian sendiri sebagai input, 5 triliun rupiah digunakan oleh sektor Industri sebagai input, 1 triliun rupiah digunakan oleh sektor jasa, juga sebagai input. Sisanya sebesar 5 triliun dibeli oleh konsumen akhir sebagai barang konsumsi.

Baris kedua: menunjukkan bahwa, dari seluruh output (keluaran) sektor industri sebesar 40 triliun rupiah, 6 triliun rupiah digunakan oleh sektor pertanian sebagai input, 10 triliun rupiah digunakan sendiri oleh sektor industri sebagai input, 4 triliun rupiah digunakan oleh sektor jasa,juga sebagai input. Sisanya sebesar 20 triliun rupiah dibeli oleh konsumen akhir sebagai barang konsumsi. Baris ketiga dapat dibaca dengan cara yang sama, seperti membaca baris pertama dan kedua.

Baris keempat: menunjukkan nilai tambah yang dihasilkan oleh masing-masing sektor. Sektor pertanian menghasilkan nilai tambah 4 triliun rupiah, sektor Industri menghasilkan 18 triliun rupiah dan sektor jasa menghasilkan 10 triliun rupiah.

Kolom pertama: menunjukkan bahwa, dari 15 triliun rupiah seluruh input (total input) sektor pertanian, 4 triliun rupiah input dari sektor pertanian sendiri, 6 triliun rupiah berupa input dari sektor industri, 1 triliun rupiah merupakan input dari sektor jasa, dan sisanya sebesar 4 triliun rupiah merupakan nilai

tambah bagi sektor pertanian. Nilai tambah ini sering juga disebut input primer. Nilai tambah merupakan selisih dari nilai total output suatu sektor dengan nilai inputnya. Kolom lainnya dapat dibaca dengan cara yang sama seperti membaca kolom pertama.

Kolom yang terakhir: menunjukkan nilai total output masing-masing sektor, dan baris yang terakhir: menunjukkan nilai total input masing- masing sektor. Nilai total input masing-masing sektor harus sama dengan nilai total outputnya masing–masing.



5.3 Bentuk Umum Tabel Transaksi Input - Output Tabel transaksi atau input-output suatu perekonomian yang terdiri atas n

sektor, secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut:

Tabel 5.2 Bentuk Umum Tabel Transaksi Input - Output Perekonomian n Sektor

Output Input

Sektor Produksi Permintaan Total

1 2 3 . . . n Akhir Output

1 X11 X12 X13 . . . X1n F1 X12 X21 X22 X23 . . . X2n F2 X23 X31 X32 X33 . . . X3n F3 X3

. . .

n Xn1 Xn2 Xn3 . . . Xnn Fn Xn

Nilai

Tambah

V1 V2 V3 . . . Vn - -

Total Input X1 X2 X3 Xn X

Untuk masing-masing sektor (lihat baris dan kolom 1, 2 , 3... n) berlaku sistem persamaan berikut:

=+++++

=+++++

=+++++

=+++++

nnnnnnn

n

n

n

XFXXXX

XFXXXX

XFXXXX

XFXXXX

L

MMMMMM

K

K

K

321

333333231

222232221

111131211

(5.1)

ijelemen (Xij) dengan jumlah kolomnya (Xj), yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

aij =X

X

ij

j (5.2)

j = 1, 2, 3, . . . n i = 1, 2, 3,… n

Xij = output sektor i yang diperlukan sebagai input (bahan mentah) sektor J untuk menghasilkan Xj satuan sektor j.

aij = input sektor i yang diperlukan sebagai input untuk menghasilkan satu unit output disektor j.

Bila (5.2) dimasukkan ke dalam (5.1) diperoleh sistem persamaan berikut :

Nata WIrawan 113


=+++++

=+++++

=+++++

=+++++

nnnnn33n22n11n

33nn3333323131

22nn2323222121

11nn1313212111

XFX.aX.aX.aX.a

XFX.aX.aX.aX.a

XFX.aX.aX.aX.a

XFX.aX.aX.aX.a

L

M

L

L

L

(5.3)

Sistem persamaan (5.3), dalam notasi matriks dapat dinyatakan sebagai berikut:

X

n

3

2

1

X

X

X

X

=

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

n

n

n n n nn

A

11 12 13 1

21 22 23 2n

31 32 33 3

1 2 3

X

n

3

2

1

X

X

X

X

+

F

F

F

Fn

F

1

2

3

atau

X = AX + F X - AX = F (I - A) X = F

X = (I - A)-1 F (5.4)

(I - A)-1= matriks invers Leontief yaitu invers dari selisih matrik indentitas dan matriks input. I = matriks satuan atau matriks indentitas. A = matriks

dari kemajuan teknologi. F = permintaan akhir, dan (I - A) = matriks teknologi (matriks Leontief) dan harus tan-singular. Ketiga matriks I, A dan (I - A) merupakan matriks bujur sangkar berorde n.

Agar lebih jelas mengenai analisis input–output, di bawah ini diberikan beberapa contoh.

Contoh 5- 1

Hubungan input-output antar sektor dalam perekonomian sebuah negara, ditunjukkan oleh tabel transaksi berikut (triliun rupiah):

OutputInput



PertanianIndustriJ a s a

506040

302010

103050

609080

150200180

......

......



Berdasakan data dalam tabel,(a) Hitunglah nilai tambah masing-masing sektor.

(c) Prediksilah output total yang harus disediakan atau diproduksi oleh ma-sing-masing sektor bila ditargetkan/diharapkan permintaan akhir untuk sektor pertanian 100, sektor industri 120, dan sektor jasa 130.

-tunglah nilai tambah yang baru di masing-masing sektor.

(e) Susunlah tabel input-output yang baru.

Penyelesaian

(a) Untuk menghitung nilai tambah masing-masing sektor, tabel tersebut dilengkapi terlebih dahulu, sebagai berikut:

OutputInput



PertanianIndustriJasa

506040

302010

103050

609080

150200180

Nilai Tambah (Input Primer)

0 140 90 -

Total Input 150 200 180 530

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa, Nilai tambah di sektor pertanian = {150 – (50 + 60 + 40)} = 0.Nilai tambah di sektor industri = {200 – (30 + 20 + 10)} = 140 triliun rupiah.Nilai tambah di sektor jasa = {180 – (10 + 30 + 50)} = 90 triliun rupiah.

(Ketiga nilai ini yaitu 0, 140 dan 90 terdapat pada baris kedua dari bawah yaitu pada baris nilai tambah).

(5.2) sebagai berikut:

a11 =

1

11

X

X =50

150

= 0,33

a21 =

1

21

X

X =60

150

= 0,40

a31 =

1

31

X

X =40

150

= 0,27

a12 =

2

12

X

X =30

200

= 0,15

a22 =

2

22

X

X =20

200

= 0,10

a32 =

2

32

X

X =10

200

= 0,05

a13 =

3

13

X

X =10

180

= 0,06

a23 =

3

23

X

X =30

180

= 0,17

a33 =

3

33

X

X =50

180

= 0,28

Nata WIrawan 115


A =

0 33 015 0 06

0 40 010 017

0 27 0 05 0 28

, , ,

, , ,

, , ,

(c) Untuk dapat memprediksi output total yang harus disediakan/diproduksi oleh masing-masing sektor untuk memenuhi permintaan akhir, secara ber-tahap dicari terlebih dahulu,

Matriks (I - A)

(I - A) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

- 0 33 015 0 06

0 40 010 017

0 27 0 05 0 28

, , ,

, , ,

, , ,

=

0 67 015 0 06

0 40 0 90 017

0 27 0 05 0 72

, , ,

, , ,

, , ,

Invers (I - A) yaitu matriks (I - A)-1

Matriks (I - A) -1, akan dihitung dengan metode Ajoint, sebagai berikut:

I A =

0 67 015 0 06

0 40 0 90 017

0 27 0 05 0 72

, , ,

, , ,

, , ,

= 0,36 0 (Cara Sarrus)

Matriks kofaktor , Cij (I - A)

Dicari terlebih dahulu kofaktor masing-masing elemen sebagai berikut:

65,072,005,0

17,090,011

=+=C C21

015 0 06

0 05 0 72011

, ,

, ,,

26,005,027,0

90,040,0C

33,072,027,0

17,040,0C

13

12

=+=

==

07,005,027,0

15,067,0

47,072,027,0

06,067,0

23

22

==

=+=

C

C

C

C

C

31

32

33

015 0 06

0 90 0170 08

0 67 0 06

0 40 017013

0 67 015

0 40 0 900 54

= + =

= =

= + =

, ,

, ,,

, ,

, ,,

, ,

, ,,



C

C

C

31

32

33

015 0 06

0 90 0170 08

0 67 0 06

0 40 017013

0 67 015

0 40 0 900 54

, ,

, ,,

, ,

, ,,

, ,

, ,,

Cij (I - A) =

C C C

C C C

C C C

11 12 13

21 22 23

31 32 33

=

0 65 0 33 0 26

011 0 47 0 07

0 08 013 0 54

, , ,

, , ,

, , ,

Matriks Ajoinnya

Ajoin (I - A) = Cij (I - A)’ =

0 65 011 0 08

0 33 0 47 013

0 26 0 07 0 54

, , ,

, ,

, , ,

(I - A) -1 = Aj I A

I A

.( ) =

1

0 36,

0 65 011 0 08

0 33 0 47 013

0 26 0 07 0 54

, , ,

, , ,

, , ,

=

180 0 30 0 22

0 91 130 0 36

0 72 019 150

, , ,

, , ,

, , ,

Diketahui

F =

3

2

1

F

F

F

=

130

120

100

Selanjutnya per rumus (5.4) output total di masing-masing sektor dapat dihitung sebagai berikut:

X = (I - A)-1 F

Nata WIrawan 117


X

X

X

1

2

3

=

50,119,072,0

36,030,191,0

22,030,080,1

100

120

130

=

80,289

80,293

60,244

Jadi, prediksi output total yang disediakan di sektor pertanian senilai 244,60 triliun rupiah, di sektor industri senilai 293,80 triliun rupiah, dan di sektor jasa senilai 289,80 triliun rupiah.

S

vi = i

i

X

V, i = 1, 2, 3 … n (5.5)

pada masing-masing sektor dapat dihitung sebagai berikut:

1 =1

1

X

V =

0

150 = 0

2 = 2

2

X

V =

200

140 = 0,70

3 = 3

3

X

V =

90

180 = 0,50

Nilai tambah yang baru pada masing-masing sektor

Nilai tambah yang baru di masing-masing sektor dapat dihitung dengan rumus:

vi = i

i

X

V iV = ii X.v

Nilai tambah di sektor pertanian, V1 = v1. X1 = 0 x 244,60 = 0

Nilai tambah di sektor industri, V2 = v2. X2 = 0,70 x 293,80 = 205,66

Nilai tambah di sektor jasa, V3 = v3. X3 = 0,50 x 289,80 = 144,90



(e) Tabel input output yang baruCara menyusun tabel input-output yang baru. Masukkan terlebih dahulu output baru untuk masing-masing sektor

ke dalam tabel, yaitu 244,60 triliun rupiah di sektor pertanian; 293,80 triliun rupiah di sektor industri, dan 289,80 triliun rupiah di sektor jasa. Nilai total input di masing-masing sektor harus sama dengan nilai total outputnya.

Kemudian masukkan permintaan akhir yang baru untuk masing-masing sektor, yaitu 100 triliun rupiah di sektor pertanian, 120 triliun rupiah di sektor Industri dan 130 triliun rupiah di sektor jasa.

Hitung nilai output (Xij) masing-masing sektor dengan rumus Xij = aij.Xj (nilai aij Perhitungannya sebagai berikut:

Xij = aij.Xj X11 = a11. X1 = 0,33 (244,60) = 80,72X21 = a21. X1 = 0,40 (244,60) = 97,84X31 = a31. X1 = 0,27 (244,60) = 66,04

X12 = a12. X2 = 0,15 (293,80) = 44,07X22 = a22. X2 = 0,10 (293,80) = 29,38X32 = a32. X2 = 0,05 (293,80) = 14,69

X13 = a13. X3 = 0,06(289,80) = 17,39X23 = a23. X3 = 0,17(289,80) = 49,27X33 = a33. X3 = 0,28(289,80) = 81,14

Terakhir, masukkan nilai tambah masing-masing sektor, maka diperoleh tabel

input-output yang baru, seperti tabel berikut:

Tabel Input-Output Baru

Output Input


TotalOutput Pertanian Industri Jasa

Pertanian

Industri

J a s a

80,72

97,84

66,04

44,07

29,38

14,69

17,39

49,27

81,14

100

120

130

244,60

293,80

289,80

Nilai Tambah 0 205,66 144,90 - -

Total Input 224,60 293,80 289,80 828,2

Catatan: perbedaan yang terjadi antara jumlah nilai masing-masing sel pada suatu baris atau suatu kolom dengan nilai total masing-masing baris atau kolomnya, dikarenakan pembulatan bilangan (bilangan desimal) di dalam perhitungan.

Nata WIrawan 119


Contoh 5- 2

Hubungan input-output di antara sektor perekonomian suatu negara pada tahun t ditunjukkan oleh tabel transaksi berikut (satuan data dalam triliun rupiah)

OutputInput

Sektor PermintaanAkhirA B C

Sektor A

Sektor B

Sektor C

80

80

80

100

200

100

100

60

100

40

60

20

Sumber: Data hipotetis

Berdasarkan data yang terdapat dalam tabel,(a) Tentukanlah nilai tambah di masing-masing sektor.

(c) Perkirakanlah output total dimasing-masing sektor yang harus diproduksi/disediakan bila pada tahun t + 5 permintaan akhir di sektor A naik 80, di sektor B tetap dan di sektor C naik 100.

(d) Susunlah tabel input -output yang baru.(e) Tentukanlah besar nilai tambah yang baru (pada t + 5) di masing-masing

sektor.

Penyelesaian

(a) Menghitung nilai tambah di masing - masing sektor Tabel tersebut dilengkapi terlebih dahulu sebagai berikut:

OutputInput


TotalOutputA B C

Sektor ASektor BSektor C

808080

100200100

10060

100

406020

320400300

Nilai Tambah 80 0 40

Total Input 320 400 300 1020

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa nilai tambah masing-masing sek-tor adalah sebagai berikut:

Nilai tambah di sektor A = {320 – (80 + 80 + 80)} = 80 miliar rupiahNilai tambah di sektor B = {400 – (100 + 200 + 100)} = 0Nilai tambah di sektor C = {300 – (100 + 60 + 100)} = 40 miliar rupiah

A =

80320

100400

100300

80320

200400

60300

80320

100400

100300

=

0 25 0 25 0 33

0 25 0 50 0 20

0 25 0 25 0 33

, , ,

, , ,

, , ,



(c) Total output yang harus disediakan oleh masing-masing sektor,

(I - A) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-

0 25 0 25 0 33

0 25 0 50 0 20

0 25 0 25 0 33

, , ,

, , ,

, , ,=

0 75 0 25 0 33

0 25 0 50 0 20

0 25 0 25 0 67

, , ,

, , ,

, , ,

-1

I A =

67,025,025,0

20,050,025,0

33,025,075,0

= 0,10 0 (cara Sarrus)

Cij (I - A) =

C C C

C C C

C C C

11 12 13

21 22 23

31 32 33

C

C

C

11

21

31

0 50 0 20

0 25 0 670 29

0 25 0 33

0 25 0 670 25

0 25 0 33

0 50 0 200 22

, ,

, ,,

, ,

, ,,

, ,

, ,,

C

C

C

12

22

32

0 25 0 20

0 25 0 670 22

0 75 0 33

0 25 0 670 42

0 75 0 33

0 25 0 200 23

, ,

, ,,

, ,

, ,,

, ,

, ,,

C13

0 25 0 50

0 25 0 25019

, ,

, ,,

C23

0 75 0 250

0 25 0 250 25

, ,

, ,,

C33

0 75 0 25

0 25 0 500 31

, ,

, ,,


Nata WIrawan 121


Cij (I - A) =

0 29 0 22 019

0 25 0 42 0 25

0 22 0 23 0 31

, , ,

, , ,

, , ,

Matriks Ajoinnya

Ajoint (I - A) = Cij (I - A)’ =

0 29 0 25 0 22

0 22 0 42 0 23

019 0 25 0 31

, , ,

, , ,

, , ,

Matriks Inversnya

(I - A) -1 = AI

1 . Aj. (I - A)

= 1

010,

0 29 0 25 0 22

0 22 0 42 0 23

019 0 25 0 31

, , ,

, , ,

, , ,

= 2 90 2 50 2 20

2 20 4 20 2 30

190 2 50 310

, , ,

, , ,

, , ,

Diketahui

F =

3

2

1

F

F

F

=

40 80

60 0

20 100

=

120

60

120

Selanjutnya per rumus (5.4), X dihitung sebagai berikut:

X = (I - A)-1 F

X

X

X

1

2

3 =

2 90 2 50 2 20

2 20 4 20 2 30

190 2 50 310

, , ,

, , ,

, , ,

120

60

120 =

762

792

750

didapat X1 = 762, X2 = 792 dan X3 = 750

Jadi, prediksi output total yang harus disediakan/diproduksi oleh masing-masing sektor, untuk memenuhi permintaan akhir adalah sebagai berikut:

Sektor A = 762 triliun rupiah Sektor B = 792 triliun rupiah Sektor C = 750 triliun rupiah

(d) Tabel input-output yang baru (pada t + 5).

1 = XA = 762, X2 = XB = 792 dan X3 = XC = 750 ke dalam tabel



1 = FA = 120, F2 = FB = 60 dan F3 = FC = 120 ke dalam tabel

ij) masing-masing sektor dengan rumus Xij = aij.Xj (nilai aijPerhitungannya sebagai berikut:

Xij = aij.Xj

X11 = a11. X1 = 0,25 (762) = 190,5X21 = a21. X1 = 0,25 (762) = 190,5X31 = a31. X1 = 0,25 (762) = 190,5

X12 = a12. X2 = 0,25 (792) = 198X22 = a22. X2 = 0,50 (792) = 396X32 = a32. X2 = 0,25 (792) = 198

X13 = a13. X3 = 0,33(750) = 247,5X23 = a23. X3 = 0,20(750) = 150X33 = a33. X3 = 0,33(750) = 247,5

Selanjutnaya masing-masing nilai Xij ini, dimasukkan ke dalam selnya

pada butir (e)}, selanjutnya masukkan masing-masing nilai tambah ke dalam tabel, dan di dapat tabel input –output yang baru sebagai berikut:

Tabel Input –Output Baru (pada t + 5).

OutputInput


TotalOutput A B C

A

B

C

190,50

190,50

190,50

198

396

198

247,5

150

247,5

120

60

120

762

792

750

Nilai Tambah 190,50 0 105 - -

Total Input 762 792 750 2.304

Catatan: perbedaan yang terjadi antara jumlah nilai masing-masing sel pada suatu baris atau suatu kolom dengan nilai total masing-masing baris atau kolomnya, dikarenakan pembulatan bilangan (bilangan desimal) dalam perhitungan.

(e) Nilai tambah yang baru di masing-masing sektor

Dari tabel (butir d), nilai tambah di masing-masing sektor dapat dilihat langsung sebagai berikut:

Nilai tambah sektor A = 762 – (190,50 + 190,50 + 190,50) = Rp 190,5 triliun Nilai tambah sektor B = 792 – (198 + 396 + 198) = 0

Nilai tambah sektor C = 750 – (247,5 + 150 + 247,5) = Rp 105 triliun

Nata WIrawan 123


5.4 Perubahan Permintaan Akhir, PDB dan Kesempatan KerjaNilai Tambah. Seperti telah dikemukakan di atas, bahwa selisih antara

nilai output di suatu sektor dengan nilai inputnya disebut nilai tambah (Value

added). Jumlah nilai tambah yang tercipta di semua sektor perekonomian disebut Produk Domestik Bruto (PDB) atau Gross Domestic Brutto (GDB). Perubahan permintaan akhir menyebabkan perubahan output, lebih lanjut perubahan output mempengaruhi nilai tambah dan kesempatan kerja (tenaga kerja yang diserap).

Kaitan antara perubahan permintaan dengan perubahan output, perubahan output dengan perubahan nilai tambah dan perubahan kesempatan kerja yang tercipta, dapat dirumuskan sebagai berikut:

X = (I – A)- 1 F (5.6)

iV = ii X.v (5.7)

PDB =n

1iiV =

n

1iii Xv (5.8)

iv Vi adalah perubahan nilai tambah sektor yang ke – i.

vi = i

i

X

V, i = 1, 2, 3, ... n

iL = il iX (5.9)

L =n

1iiL =

n

i

ii Xl1

(5.10)

il iL adalah

i

ii

X

Ll , i = 1, 2, 3,…n (5.11)



Contoh 5– 3

Hubungan antar sektor perekonomian suatu negara yang terdiri atas sektor A dan B (perekonomian sederhana) pada tahun t dinyatakan dalam tabel transaksi berikut (satuan data dalam triliun rupiah),

output Input


TotalOutputA B

AB

150300

250125

20075

600500

Sumber : Data hipotetis

Jika pada tahun t + 3 diperkirakan permintaan akhir di sektor A dan B naik masing-masing sebesar 20 dan 10, perkirakanlah(a) Kenaikan Produk Domestik Bruto (PDB) perekonomian tersebut.(b) Kesempatan kerja yang tercipta (tambahan tenaga kerja yang diserap)

pada tahun t + 3, jika jumlah tenaga kerja saat ini di sektor A sebanyak 100 ribu orang dan di sektor B sebanyak 60 ribu orang.

Penyelesaian

(a) 10FF,20FF 2B1A ====

GDPV …?

Secara bertahap dicari terlebih dahulu,

A = 500125

600300

500250

600150

= 25,050,0

50,025,0

Matriks (I-A)

(I - A)= 10

01 -

25,050,0

50,025,0=

75,050,0

50,075,0

Determinan matriks (I-A)

AI = 75,050,0

05075,0 = 0,31 0

Matriks Kofaktor, Cij(I– A)

75,0C11 += = 0,75 50,0C12 = = 0,50

Nata WIrawan 125


50,0C21 = = 0,50 75,0C22 += = 0,75

=75,050,0

50,075,0)AI(Cij

Matriks Ajoin (I-A) = Transpose matriks kofaktor (I – A)

Aj.(I-A) = =75,050,0

50,075,0)AI(Cij

Matriks Invers (I-A)

(I – A)1

=AI

AI.AJ

(I – A) 1 = 31,0

1

75,050,0

50,075,0 =

42,261,1

61,142,2

Per rumus (5.6) kenaikkan permintaan di masing-masing sektor dapat dihitung sebagai berikut:

)F()AI(X 1

2

1

X

X

42,261,1

61,142,2

2

1

F

F

=10

20

42,261,1

61,142,2

X

X

2

1

1X = 2,42(20) + 1,61(10)= 64,5

2X = 1,61(20) + 2,42(10) = 56,4

Sebelum menghitung perubahan (kenaikkan) nilai tambah di masing-masing sektor, dihitung dulu nilai tambah masing-masing sektor (dengan melengkapi

sebagai berikut:

Output Input


TotalOutputA B

AB

150300

250125

20075

600500

Nilai Tambah 150 125

Total input 600 500 1100



i

ii

X

Vv

1

11

X

Vv =

600

150 = 0,25

2

22

X

Vv =

500

125= 0,25

Selanjutnya kenaikan nilai tambah di masing-masing sektor dapat dihitung per rumus 5.7 sebagai berikut:

Kenaikkan nilai tambah di sektor 1(sektor A ), 111 X.vV = 0,25(64,5) = 16,125

Kenaikkan nilai tambah di sektor 2 (sektor B), 222 X.vV = 0,25(56,4) = 14,1

Jadi, kenaikkan nilai tambahnya, V GDP = 1V + 2V = 16,125 + 14,1 = 30,225 triliun rupiah

(b) Kesempatan Kerja yang tercipta pada tahun t + 3

5,64XX 1A == , 4,56XX 2B ==

L …?

-tor 1 (sektor A) dan sektor 2 (sektor B), sebagai berikut:

1

11

X

Ll

=600

100 = 0,17

2

22

X

Ll

=500

60 = 0,12

Selanjutnya, per rumus (5.10) kenaikkan tenaga kerja yang dapat diserap di masing-masing sektor, dapat dihitung sebagai berikut:

Tambahan kesempatan kerja di sektor 1 (sektor A),

1L = 1l . 1X

Nata WIrawan 127


= 0,17 (64,5) = 10,965

Tambahan kesempatan kerja di sektor 2 (sektor B),

2L = 2l . 2X

= 0,12 (56,4) = 6,768

Tambahan kesempatan kerja secara keseluruhan,

L = 1L + 2L = 10,965 + 6,768 = 17,733

Jadi pada tahun t + 3, tambahan tenaga kerja dipekirakan 10.965 orang (10,965 ribuan orang) di sektor A dan 6.768 orang(6,768 ribuan orang) di sektor B, secara keseluruhan tambahan tenaga kerja sebanyak 17.733 orang

Soal-soal Latihan

5 - 1 Hubungan input-output antara sektor dalam perekonomian sebuah negara seperti ditunjukkan oleh tabel di bawah ini (data dalam ratus triliun rupiah).

Output Input

S e k t o r PermintaanAkhirPertanian Industri Jasa

PertanianIndustriJasa

546

588

486

644

Sumber: Data hipotetis

(a) Hitunglah total output setiap sektor.(b) Hitunglah nilai tambah setiap sektor.

(d) Bila permintaan akhir di sektor pertanian, industri dan jasa diperki-rakan naik menjadi 500, 400 dan 200 triliun rupiah, berapa output total yang seharusnya disediakan oleh masing-masing sektor, agar permintaan akhir terpenuhi.

(e) Hitunglah nilai tambah yang baru pada tiap sektor.(f) Susunlah tabel input-output yang baru.

5 - 2 Suatu perekonomian sederhana yang terdiri atas 2 sektor yaitu sektor A dan sektor B yang dinyatakan oleh tabel transaksi berikut ini (data dalam triliun rupiah).



OutputInput


TotalOutputA B

AB

150300

240400

210500

6001.200


(a) Tentukanlah nilai tambah untuk masing-masing sektor.

(c) Tentukanlah output total untuk sektor A dan B, bila permintaan akhir naik menjadi 300 untuk sektor A dan 600 untuk sektor B.

5 - 3 Pada tahun t hubungan antara input-output antar sektor perekonomian suatu negara ditunjukkan oleh tabel di bawah ini (satuan data dalam ratus triliun rupiah).

Output Input

S e k t o r PermintaanAkhir


PertanianIndustriJ a s a

534

4106

362

354

152416


(b) Bila diprediksi pada (t + 3) permintaan akhir di sektor pertanian meningkat sebesar 500 triliun rupiah, di sektor Industri miningkat sebesar 300 triliun rupiah, sedangkan di sektor sebesar 200 triliun rupiah. Prediksilah output total yang harus disediakan oleh masing-masing sektor, untuk memenuhi permintaan akhir tersebut.

(c) Bila pada saat ini (tahun t) jumlah tenaga kerja disektor pertanian 30 juta orang, di sektor industri 50 juta orang dan di sektor jasa 20 juta orang, perkirakanlah lapangan kerja yang tercipta pada tahun t + 3.

5 - 4 Tentukan tingkat output yang harus diproduksi masing-masing sektor

vektor permintaan akhir sebagai berikut:

(a) A =

1,03,02,0

5,05,04,0

3,02,01,0

dan F =

12

8

6

(b) A = 4,05,0

3,02,0 dan F =

10

8

5 - 5 Suatu perekonomian sederhana yang terdiri atas 2 sektor yaitu sektor A dan sektor B yang dinyatakan oleh tabel transaksi berikut ini (data dalam triliun rupiah).

Nata WIrawan 129


ProdusenPemakai Permintaan

AkhirA B

AB

150300

250200

100500


(a) Tentukanlah nilai tambah masing-masing sektor.

(c) Jika permintaan akhir di sektor A naik sebesar 50 dan disektor B tetap, tentukanlah tambahan produk domestik brutonya.

(d) Tentukanlah kesempatan kerja yang tercipta, jika tenaga kerja saat ini 2 juta orang di sektor A dan 5 juta orang disektor B.

5 - 6 Pada tahun t hubungan antara input-output antar sektor perekonomian suatu negara ditunjukkan oleh tabel di bawah ini (satuan data dalam ratus triliun rupiah).

ProdusenPemakai Permintaan

Akhir

Total

OutputPertanian Industri Jasa

Pertanian

Industri

J a s a

4

5

3

10

4

5

2

3

2

7

15

4

23

27

14


(b) Bila diprediksi pada (t + 2) permintaan akhir di sektor pertanian meningkat sebesar 300 triliun rupiah, di sektor Industri miningkat sebesar 500 triliun rupiah, sedangkan di sektor jasa tetap. Predik-silah output total yang harus disediakan oleh masing-masing sek-tor, untuk memenuhi permintaan akhir tersebut.

(c) Bila pada saat ini (tahun t) jumlah tenaga kerja disektor pertanian 60 juta orang, di sektor industri 40 juta orang dan di sektor jasa 25 juta orang, perkirakanlah lapangan kerja yang tercipta pada tahun t + 2.


PROGRAM LINEAR

DAN APLIKASINNYA


6.1 PengantarDalam bab ini akan dipelajari teknik optimisasi di bawah ikatan seperangkat

kendala pertidaksamaan yaitu program linear. Teknik optimisasi ini merupakan pengembangan lebih lanjut dari aljabar linear yang dikembangkan oleh seorang matematikawan Amerika Serikat, George B Dantzig pada tahun 1947. Pada awalnya teknik optimisasi ini digunakan oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat untuk menyusun strategi perang, seperti merencanakan dan memecahkan masalah- masalah logistik.

Pada perkembangan selanjutnya teknik optimisasi program linear ini banyak diterapkan dalam berbagai bidang ilmu, tidak terkecuali dalam ekonomi dan bisnis. Para manajer atau pengambil keputusan di dalam mengambil keputusan untuk menentukan suatu kebijakan, terutama yang berkaitan dengan pengalokasian sumber-sumber daya yang terbatas sehingga tercapai tujuan yang optimal, teknik optimasi ini sangat diperlukan.

Cakupan materi yang dibahas dalam bab ini adalah batasan program linear, model baku program linear, metode analisis program linear dan dual dari program linear.

Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini peserta didik (mahasiswa) diharapkan dapat memahami mengenai program linear ini, serta penerapannya dalam ekonomi dan bisnis.

Nata WIrawan 131

6. PROGRAM LINEAR DAN APLIKASINNYA DALAM EKONOMI-BISNIS

6.2 Batasan Program LinearProgram linear adalah salah satu teknik analisis model matematika,

untuk memecahan masalah dan memilih pemecahan yang memberikan hasil yang optimal. Penekanan di sini adalah pada alokasi optimal (yang terbaik) berkaitan dengan sumber daya yang terbatas. Alokasi optimal tersebut tidak lain adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi tujuan yang memenuhi seperangkat syarat ikatan (kendala) dalam bentuk pertidaksamaan yang linear.

Agar suatu masalah program linear dapat dirumuskan secara matematis, masalah program linear tersebut harus memenuhi tiga unsur penting, yaitu:(1) Masalah tersebut memiliki suatu fungsi tujuan.(2) Masalah tersebut terikat oleh seperangkat kendala fungsional, dan (3) Nilai variabelnya tidak boleh negatif.

6.3 Model Baku Program LinearModel baku dari program linear dapat dirumuskan sebagai berikut:

Optimumkan (maksimumkan atau menimumkan):

Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnx n (fungsi tujuan)

dengan syarat ikatan (kendala)

+++

+++

+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

L

MMM

L

L

2211

22222221

11212111

bila fungsi tujuan dimaksimumkan

dan syarat non negatifnya, Xj 0 atau,

+++

+++

+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

L

MMM

L

L

2211

22222221

11212111

bila fungsi tujuan diminimumkan

dan syarat non negatifnya, Xj 0. Secara ringkas model baku dari program linear dapat dinyatakan sebagai

berikut:

......

...

......

...



z = c xij j ij

n

1

(fungsi tujuan)

untuk j = 1, 2 ,3 , . . . , n

dengan syarat-ikatan (kendala)

a x bij j i

j

n

1

(bila fungsi tujuan dimaksimumkan)

Atau

n

1jijij bxa (bila fungsi tujuan diminimumkan)

untuk i = 1, 2, 3, . . . , m.

j 0 untuk j = 1, 2, 3 . . ., n CjXj = Variabel keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari).aij

ke – i.bi = Sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau konstanta dari kendala yang ke – i.Z = fungsi tujuan.

6.4 Metode Analisis Program LinearAda dua metode yang penting untuk analisis permasalahan program

6.4.1 Metode G

hanya pada perpotongan garis-garis kendala dengan memakai pendekatan dua dimensi. Untuk persoalan program linear dari tiga dimensi atau lebih, umumnya dipecahkan dengan metode simpleks.

gunakan untuk memecahkan persoalan atau permasalahan program linear, yaitu: (1) Merumuskan persoalan program linear ke dalam model matematis, baik

fungsi tujuannya, fungsi-fungsi kendalanya, dan syarat ikatan non-negatif.(2) Menggambarkan masing-masing fungsi kendala (pembatas) dalam satu

sistem koordinat kartesius (salib sumbu).(3) Menentukan pemecahan yang layak (feasible). Dari gambar pada langkah 2, didapat banyak titik-titik yang terletak pada

Nata WIrawan 133


tepi (ujung) daerah feasibel yang umumnya berbentuk poligon, yang dise-but pemecahan yang layak (feasibel). Salah satu dari pemecahan yang layak ini diharapkan merupakan pemecahan yang optimal.

(4) Menentukan nilai fungsi tujuan dan memilih nilai yang optimal. Dengan jalan mensubstitusikan pemecahan-pemecahan yang layak ke

dalam fungsi tujuan, didapat beberapa nilai fungsi tujuan. Selanjutnya di-pilih nilai yang terbesar bila tujuannya memaksimumkan dan yang terkecil bila tujuannya meminimumkan.

Agar lebih jelas mengenai persoalan program linear, simaklah beberapa contoh berikut.

Contoh 6-1

Tentukanlah harga maksimum dari: z = 4x + 5ydengan syarat:

2x + 6y 36 (kendala 1) 5x + 3y 30 (kendala 2) 8x + 2y 40 (kendala 3) x, y 0 (syarat non - negatif)

Penyelesaian

(1) Merumuskan model matematikanya. Untuk Contoh 6-1, model matematik untuk fungsi tujuan, fungsi kendala

dan syarat non-negatif tidak perlu dirumuskan lagi, karena sudah ditentu-kan.

Kendala pertidaksamaan terlebih dahulu dijadikan kendala persamaan.

2x + 6y 36 2x + 6y = 36 (k1) 5x + 3y = 30 (k2)

8x + 2y = 40 (k3)

Kendala 1 (k1) 2x + 6y = 36

titik potong dengan sumbu x, (18, 0)titik potong dengan sumbu y, (0, 6)

Kendala 2 (k2) 5x + 3y = 30

titik potong dengan sumbu x, (6, 0)titik potong dengan sumbu y, (0,10)

Kendala 3 (k3) 8x + 2y = 40

titik potong dengan sumbu x, (5, 0)titik potong dengan sumbu y, (0, 20)



Y (0,20)

k3

(0,10) k2

A ( 0,6 ) ( 3,5 )

B

daerah

C ( 30/ 7, 20 /7 ) k1

layak

( 6,0 )

0 D(5,0 ) ( 18,0 ) X

Gambar 6- 1

Titik potong antara garis k1 dan k2 (titik B)

Dengan menyelesaikan secara simultan persamaan k1 dengan persa-maan k2 didapat nilai x dan y sebagai berikut:

2x + 6y = 36 5x + 3y = 30 (kalikan 2) - 8x = - 24

x = 3

2x + 6y = 36 2(3) + 6y = 36 6y = 30 y = 5

Jadi, titik potong k1 dan k2 adalah (3, 5). Titik potong antara garis k2 dan k3 (titik C)

5x + 3y = 30 (kalikan 2)

8x + 2y = 40 - (kalikan 3) - 14x = - 60

x = 6014

307

5x + 3y = 30

5(307

) + 3y = 30

y = 4014

207

Jadi, titik potong k2 dan k3 adalah (307

, 207

)

Nata WIrawan 135


(3) Menentukan pemecahan yang layak (feasibel)Dari Gambar 6-1, dapat diketahui bahwa pemecahan yang layak adalah titik A( 0, 6), B(3, 5), C( 30

7, 20

7) dan D(5, 0). Salah satu dari titik ini,

diharapkan merupakan pemecahan yang optimal.(4) Menentukan nilai fungsi tujuan dan memilih nilai yang optimal

Pemecahan yang layak Nilai fungsi tujuan z = 4x + 5y

A (0, 6) z = 4(0) + 5(6) = 30

B (3, 5) z = 4(3) + 5(5) = 37 nilai terbesar

C ( 307

, 207

) z = 4( 307

) + 5( 207

) = 25,71

D (5, 0) z = 4(5) + 5(0) = 20

Jadi, nilai yang memaksimumkan fungsi tujuan z = 4x + 5y adalah x = 3 dan y = 5, dengan nilai maksimum 37. Titik B (3, 5) disebut titik optimal.

Contoh 6 - 2

Tentukanlah nilai minimum dari: z = 6x + 3ydengan syarat:

3x + y 15 (kendala 1 ) x + 5y 20 (kendala 2 ) 3x + 2y 24 (kendala 3 ) x,y 0 (syarat non - negatif)

Penyelesaian

(1) Merumuskan model matematikanya Untuk Contoh 6-2, model matematiknya tidak perlu dirumuskan lagi, kare-

na sudah ditentukan.


3x + y = 15 (k1 ) x + 5y = 20 (k2 ) 3x + 2y = 24 (k3 )

Kendala 1, (k1 ) 3x + y = 15

titik potong dengan sumbu x , (5, 0)titik potong dengan sumbu y, (0,15)

Kendala 2, (k2 ) x + 5y = 20

titik potong dengan sumbu x , (20, 0)titik potong dengan sumbu y, (0, 4)

Kendala 3, (k3 ) 3x + 2y = 24




Y A ( 0,15 )

k1

( 0,12 )

B (2,9 )

daerah layak

k3

( 0,4 ) C ( 80/13 , 36/13 )

k2

0 D( 5,0 ) ( 8,0 ) D ( 20,0 ) X

Gambar 6-2

Titik potong antara garis k1 dan k3 (titik B)Dengan menyelesaikan secara simultan persamaan k1, dengan persamaan k3, didapat nilai x dan y sebagai berikut:

3x + y = 15 3x + 2y = 24

- y = - 9 y = 9 3x + y = 15 3x + 9 = 15 3x = 6 x = 2

Jadi, titik potong antara k1 dan k3 adalah (2, 9).

Titik potong antara garis k2 dan k3 (titik C)

x + 5y = 20 (kalikan 3)

3x + 2y = 24 13y = 36

y = 3613

x + 5y = 20

x + 5( 3613

) = 20

x = 8013

Jadi, titik potong antara k2 dan k3 adalah ( 8013

, 3613

)

(3) Menentukan pemecahan yang layak (feasibel) Dari Gambar 6-2, dapat diketahui bahwa pemecahan yang layak adalah

titik- titik A (0, 15), B (2, 9), C( 8013

, 3613

), dan D(20, 0). Salah satu dari titik

ini, diharapkan merupakan pemecahan yang optimal.

Nata WIrawan 137


(4) Menentukan nilai fungsi tujuan dan memilih nilai yang optimal


A (0, 15) z = 6(0) + 3(15) = 45

B (2, 9)

C ( 8013

, 3613

) z = 6(8013

) + 3( 3613

) = 45,23

D (20, 0) z = 6(20) + 3(0) = 120

Jadi, nilai yang meminimumkan fungsi tujuan, z = 6x + 3y adalah x = 2 dan y = 9 dengan nilai minimum 39. Titik B (2, 9) disebut titik optimal.

Contoh 6 - 3

Sebuah pesawat udara mempunyai kapasitas tempat duduk tak lebih dari 48 orang. Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 40 kg dan kelas ekonomi 20 kg. Sementara pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tak lebih dari 1440 kg. Apabila untuk rute tertentu harga per tiket kelas utama dan kelas ekonomi masing-masing sebesar Rp 200.000,00 dan Rp 150.000,00. Tentukanlah banyaknya penumpang untuk kelas utama dan kelas ekonomi, agar hasil penjualan tiketnya maksimum.

Penyelesaian

(1) Merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala Misalkan, banyaknya penumpang kelas utama = x orang dan banyaknya

penumpang kelas ekonomi = y orang. Maksimumkan

z = 200.000x + 150.000y (Fungsi tujuan)

dengan syarat: x + y 48 (kendala 1 )

40x + 20y 1440 (kendala 2 x, y 0 (syarat non- negatif)


1)

2)

Kendala 1, (k1)

x + y = 48titik potong dengan sumbu x , (48, 0)titik potong dengan sumbu y, (0, 48)



Kendala 2, (k2) 40x + 20y = 1440


Y

(0,72 )

(0,48 ) A

k2

B ( 24,24 )

daerah k1

layak

C ( 48,0 )

0 (36,0) X

Gambar 6-3


x + y = 48

40x + 20y = 1440 (dikalikan 120

)

- x = - 24 x = 24 x + y = 48 24 + y = 48 y = 24 y = 24

Jadi, titik potong antara garis k1 dan k2 adalah (24, 24).

(3) Menentukan pemecahan yang layak (feasibel) Dari Gambar 6-3, dapat diketahui bahwa pemecahan yang layak adalah

titik-titik A (0, 48), B (24, 24), dan C (36, 0). Salah satu dari titik pemecahan yang layak ini diharapkan merupakan pemecahan yang optimal.


Pemecahan yang layak Nilai fungsi tujuan z = 200.000x+150.000 y

A ( 0, 48) 7.200.000

B (24, 24)

C (36, 0) 7.200.000

Jadi, agar penjualan tiket maksimum sebaiknya penumpang kelas utama 24 orang dan penumpang kelas ekonomi juga 24 orang.

Nata WIrawan 139


Contoh 6-4

Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis mainan (M1 dan M2), masing-masing mainan ini diselesaikan melalui 3 bagian yaitu bagian perakitan, bagian pengecatan dan bagian pembungkusan. Waktu yang diperlukan untuk memproduksi satu (1) unit M1 adalah 6 jam untuk merakit, 4 jam untuk mengecat dan 2 jam untuk membungkus. Waktu yang diperlukan untuk memproduksi satu (1) unit M2 adalah 3 jam untuk merakit, 5 jam mengecat dan 6 jam membungkus. Waktu yang tersedia pada masing-masing bagian tidak kurang dari 48 jam pada bagian perakitan, 40 jam pada bagian pengecatan dan 24 jam pada bagian pembungkusan. Biaya produksi per unit masing-masing mainan tersebut 20 untuk M1 dan 30 untuk M2. Berapa unit M1 dan M2 sebaiknya diproduksi agar biaya produksi totalnya minimum?

Penyelesaian

(1) Model matematikanyaMisalkan: M1 yang diproduksi = x unit M2 yang diproduksi = y unit

Minimumkan, z = 20x + 30y (Fungsi tujuan) Dengan syarat/kendala: 6x + 3y 48 (kendala 1) 4x + 5y 40 (kendala 2) 2x + 6y 24 (kendala 3) x, y 0 (syarat non-negatif)

Kendala pertidaksamaan dijadikan kendala persamaan

1)

2)

3)

Kendala 1, (k1) 6x + 3y = 48

titik potong dengan sumbu x , (8, 0)titik potong dengan sumbu y, (0,16)

Kendala 2, (k2) 4x + 5y = 40


Kendala 3, (k3) 2x + 6y = 24




Y A (0,16)

k1

(0,8) daerah layak

k2

(0,4) B (60/9 , 24/9)

k3 C (60/ 7, 8/ 7 )

0 ( 8,0 ) ( 10,0 ) ( 12,0 ) X

Gambar 6-4


6x + 3y = 48 (kalikan 5) 4x + 5y = 40 - (kalikan 3)

18x = 120

x =12018

609

6x + 3y = 48 2x + y = 16 y = 16 -2x

= 16 - 2(609

)

= 144 120

9 =

249

Jadi, titik potong k1 dan k2 adalah ( 609

, 249

)

Titik potong antara garis k2 dan k3 (titik C) 4x + 5y = 40

2x + 6y = 24 - (kalikan 2) - 7y = - 8

y = 87

4x + 5y = 40

4x + 5(78 ) = 40

x = 607

Jadi, titik potong antara garis k2 dan k3 adalah (7

60 ,

87 )

Nata WIrawan 141


(3) Pemecahan yang layak (feasibel) Dari Gambar 6.4 diketahui bahwa pemecahan yang layak adalah titik A

(0, 16), B (9

60 , 249

), C (7

60 , 87

) dan D (12, 0)



A (0, 16) 480

B ( 609

, 249

)213,33

C ( 607 , 8

7) nilai terkecil (minimum)

D (12, 0) 240

Jadi, agar biaya produksinya minimum, sebaiknya diproduksi 9 unit M1 (9

607

) dan 1 unit M2 (1

78 )

Contoh 6- 5

Sebuah toko hendak membeli dua jenis barang dengan harga per unit masing-masing Rp 30.000,00 dan Rp 40.000,00. Modal yang tersedia Rp 840.000,00. Daya tampung tokonya tak lebih dari 25 unit barang. Keuntungan yang diperoleh per unit dari barang jenis pertama adalah Rp 12.500,00 dan Rp 13.000,00 untuk jenis kedua. Bila ia menginginkan keuntungan yang maksimum(a) Berapa unit barang jenis pertama dan jenis kedua yang sebaiknya ia beli.(b) Berapa besar keuntungan maksimum yang ia peroleh

Penyelesaian

(1) Model matematikanya. Misalkan : barang jenis I yang dibeli = x unit barang jenis II yang dibeli = y unit

Maksimumkan, z = 12.500x + 13.000y (Fungsi tujuan) Dengan syarat: 30.000x + 40.000y 840.000 (kendala 1) x + y 25 (kendala 2) x, y 0 (syarat non-negatif)

30.000x + 40.000y 840.000 30.000x + 40.000y = 840.000 3x + 4y = 84 (k1)

x + y 25 x + y = 25 (k2)



Kendala 1, (k1) 3x + 4y = 84 titik potong dengan sumbu x, (28, 0)

titik potong dengan sumbu y, (0, 21)

Kendala 2, (k2) x + y = 25 titik potong dengan sumbu x, (25, 0)

titik potong dengan sumbu y, (0, 25)

Y

( 0,25 )

( 0,21) A k2

B ( 16, 9 )

daerah layak k1

c

0 ( 25, 0 ) ( 28, 0 ) X

Gambar 6- 5

Titik potong antara garis k1 dan k2 (titik B) 3x + 4y = 84 x + y = 25 (kalikan 3)

y = 9 x + y = 25 x = 25 - y x = 25 - 9 x = 16

Jadi, titik potong antara garis k1 dan k2 adalah (16, 9)

(3) Pemecahan yang layak (feasibel) Dari Gambar 6.5, dapat diketahui bahwa pemecahan yang layak adalah

titik A (0, 21), B (16, 9) dan C (25, 0)


Pemecahan yang layak Nilai fungsi tujuan z = 12.500x + 13.000y

A (0, 21) 273.000

B (16, 9)

C (25, 0) 312.500

Jadi, agar keuntungannya maksimum(a) Sebaiknya ia membeli 16 unit barang jenis pertama (x = 16) dan 9 unit

barang jenis kedua (y = 9)(b) Keuntungan maksimum yang diperoleh sebesar Rp 317.000,00

Nata WIrawan 143


6.4.2 Metode Simpleks

Untuk memecahkan masalah atau persoalan program linear yang terdiri dari tiga atau lebih variabel keputusan, biasanya dan akan lebih praktis dipak-ai metode simpleks. Dalam metode simpleks pengubahan kendala pertidak-samaan menjadi kendala persamaan, dilakukan dengan cara penambahan slack variabel“

dan pengurangan dengan “surplus variabel“ bagi kendala dengan tanda slack variabel maupun surplus variabel biasanya dilam-

bang-kan dengan Si (i = 1, 2, 3, . . ., m). m menyatakan banyaknya persa-maan pembentuk sistem persamaan kendala/pembatas.

Metode simpleks dikerjakan secara sistematis, bermula dari suatu penye-lesaian atau pemecahan dasar yang layak (feasible) ke pemecahan layak lainnya, sambil selalu menyempurnakan pemecahan dasar sebelumnya. Hal ini dilakukan berulang-ulang (interatif) sampai ditemukan suatu pemecahan dasar yang optimal

Adapun langkah-langkah pemecahan masalah program linear dengan metode simpleks (Dowling, 2009) adalah sebagai berikut:

(1) Menyusun tabel simpleks awal(2) Menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot

(i) Kolom Pivot adalah kolom yang mempunyai elemen dengan nilai negatif terbesar di dalam baris tujuannya. Variabel dari kolom pivot ini merupakan variabel masuk.

(ii) Baris Pivot adalah baris yang mempunyai rasio kelayakan non-negatif paling kecil dan bukan nol. Rasio kelayakan adalah hasil bagi elemen-elemen kolom konstanta dengan elemen-elemen kolom pivot yang bersesuaian. Variabel dari baris pivot ini akan merupakan variabel keluar.

(iii) Elemen Pivot

Elemen pivot adalah elemen yang terletak pada perpotongan antara baris pivot dengan kolom pivot.

(3) Pivoting

Pivoting adalah pengubahan nilai elemen pivot menjadi 1(satu) dan el-emen-elemen lain pada kolom pivot menjadi nol. Gunakan pengolahan dasar baris (elementary row operation) untuk mengubah nilai elemen pivot menjadi 1 (satu) dan untuk mengubah nilai elemen-elemen lain dalam ko-lom pivot menjadi 0 (nol).

(4) Hentikan proses bila elemen-elemen di dalam baris tujuan bernilai positif, atau nol. Kecuali untuk kolom z, selalu 1 (satu). Karena pemecahan yang layak optimal telah tercapai, dan bila tidak, pemecahan dimulai lagi dari langkah 2. Z adalah variabel yang nilainya dioptimalkan.

Agar lebih jelas proses pemecahan layak optimal dengan metode simpleks, untuk masalah maksimisasi perhatikanlah contoh berikut.



Contoh 6- 6

Maksimumkan, z = 30x + 36y

Dengan kendala, x + 2y 70 x + y 40 3x + y 90 x, y 0

Penyelesaian

(1) Menyusun tabel simpleks awal(i) Mengubah kendala pertidaksamaan menjadi kendala persamaan

dengan menambahkan “slack variabel” Oleh karena tanda pertidaksamaannya adalah , maka di ruas kiri tambahkan slack variabel sebagai berikut:

1 = 70 x + 2y + s1+ 0s2 + 0s3 = 70

2 = 40 x + y + 0s1+ s2 + 0s3 = 40

3 = 90 3x + y+ 0s1+ 0s2 + s3 = 90 (ii) Bentuk matriks dari persamaan - persamaan kendala,

1 2 1 0 0

1 1 0 1 0

3 1 0 0 1

x

y

s

s

s

1

2

3

=

70

40

90

(iii) Bentuk lain dari fungsi tujuan (setelah penambahan slack variabel).

z = 30x + 36y z = 30x + 36y + 0s1+ 0s2 + 0s3 - 30x - 36y - 0s1- 0s2 - 0s3 + z = 0

Maka tabel simpleks awalnya,

Tabel 6 .1

x y s 1 s2 s3 z Konstanta

Variabel saat ini s 1 1 2 1 0 0 0 70

s2 1 1 0 1 0 0 40

s3 3 1 0 0 1 0 90

Baris tujuan -30 -36 0 0 0 1 0

(2) Menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot.(i) Kolom pivot Lihat baris tujuan. Nilai negatif terbesar adalah -36, dan terletak pada

kolom ke - 2 atau kolom y. Maka kolom y atau kolom ke - 2 sebagai

Nata WIrawan 145


kolom pivot, dan variabel y merupakan variabel masuk. (ii) Baris Pivot

Lihat kolom konstanta dan kolom pivot (kolom ke-2) .

Rasio kelayakannya ; untuk baris s1, 702

35

untuk baris s2, 401

40

untuk baris s3, 901

90

Oleh karena rasio kelayakan untuk s1 = 35 paling kecil, maka baris s1 merupakan baris pivot, dan variabel s1 merupakan variabel keluar.

(iii) Elemen Pivot Elemen yang terletak pada perpotongan baris pivot dengan kolom

pivot adalah 2 (elemen dengan nilai 2). Jadi, 2 adalah elemen pivot.

Agar lebih jelas variabel masuk diberi tanda panah masuk, variabel keluar diberi tanda panah keluar dan elemen pivot diberi tanda lingkaran atau bulatan, seperti pada tabel berikut:

Tabel 6 .1a

Masuk

x y s 1 s2 s3 z Konstanta

Keluar s 1 1 2 1 0 0 0 70

s2 1 1 0 1 0 0 40

s3 3 1 0 0 1 0 90

Baris tujuan -30 -36 0 0 0 1 0

(3) Pivoting pertama kali(i) Nilai elemen pivot dijadikan satu, dengan cara baris pivot (baris ke-1)

dikalikan ½, memberikan hasil seperti dalam Tabel 6.1.b.

Tabel 6 .1b

x y s1 s2 s3 z Konstanta

s1 ½ 1 ½ 0 0 0 35

s2 1 1 0 1 0 0 40

s3 3 1 0 0 1 0 90

- 30 - 36 0 0 0 1 0

(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol. baris ke-2 dikurangi 1 kali baris ke-1, baris ke-3 dikurangi 1 kali baris ke-1, dan baris ke-4 ditambah 36 kali baris ke-1.



Pengolahan baris ini, memberikan hasil seperti dalam Tabel 6.1c.Tabel 6 .1c


y ½ 1 ½ 0 0 0 35

s2 ½ 0 -½ 1 0 0 5

s3 5/2 0 -½ 0 1 0 55

-12 0 18 0 0 1 1260

Oleh karena pada baris tujuan masih terdapat elemen bernilai negatif yaitu minus 12, ini berarti penyelesaian belum optimal. Oleh karena itu, pem-ecahan dimulai lagi dari langkah 2 (dipivot kembali).

(4) Kembali menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot.(i) Kolom Pivot Nilai negatif yang terbesar pada baris tujuan adalah minus 12.

Elemen (-12), terletak pada kolom ke-1 atau kolom x, maka kolom x merupakan kolom pivot. Variabel x merupakan variabel masuk.

(ii) Baris Pivot Perhatikan kolom konstanta dan kolom pivot (kolom x).

Rasio kelayakannya; untuk baris y, 3512

70

untuk baris s2, 512

10

untuk baris s3, 555 2

22/

Oleh karena rasio kelayakan untuk s2 = 10 paling kecil, maka baris s2 atau baris ke-2 merupakan baris pivot. Variabel s2 merupakan variabel keluar.

(iii) Elemen Pivot Elemen yang terletak pada perpotongan antara baris pivot dan kolom

pivot adalah ½. Jadi, elemen pivotnya adalah ½ . Untuk lebih jelasnya variabel masuk, variabel keluar dan elemen pivot dapat dilihat dalam Tabel 6.1.d.

Tabel 6 .1d

masuk


s1 ½ 1 ½ 0 0 0 35

keluar s2 ½ 0 -½ 1 0 0 5

s3 5/2 0 -½ 0 1 0 55

-12 0 18 0 0 1 1260

(5) Pivoting kedua kalinya(i) Selanjutnya, nilai elemen pivot dijadikan satu, dengan jalan baris pivot

Nata WIrawan 147


(baris ke-2) dikalikan 2, memberikan hasil seperti dalam Tabel 6.1.e.Tabel 6.1e


y ½ 1 ½ 0 0 0 35

x 1 0 - 1 2 0 0 10

s3 5/2 0 - ½ 0 1 0 55

- 12 0 18 0 0 1 1260

(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol, caranya sebagai

berikut: baris ke-1 dikurangi ½ kali baris ke-2, baris ke-3 dikurangi 5/2 kali baris ke-2, dan baris ke-4 ditambah 12 kali baris ke-2.

Tabel 6.1f


y 0 1 1 -1 0 0 30

x 1 0 -1 2 0 0 10

s3 0 0 2 -5 1 0 30

0 0 6 24 0 1 1380

(4) Oleh karena pada baris tujuan tidak terdapat lagi elemen yang bernilai negatif, berarti pemecahan layak yang optimal telah ditemukan/tercapai. Dengan pemecahan layak optimal, x = 10 dan y = 30, dan nilai maksi-mum bagi z (fungsi tujuan) adalah 1380.

Contoh 6 - 7

Maksimumkan, u = 30x + 24y + 60z

dengan kendala,

Penyelesaian

(1) Menyusun tabel simpleks awal(i) Mengubah kendala pertidaksamaan menjadi kendala persamaan

dengan penambahan slack variabel, sebagai berikut:

6x + 3y + 5z + s1 = 30 6x + 3y + 5z + s1 + 0s2 = 30 2x + 2y + 10z + s2 = 50 2x + 2y + 10z + 0s1 + s2 = 50



(ii) Bentuk matriks dari persamaan-persamaan kendala:

6 3 5 1 0

2 2 10 0 1

x

y

z

s

s

1

2

=

30

50

(iii) Bentuk lain dari fungsi tujuan (setelah penambahan slack variabel) u = 30x + 24y + 60z u = 30x + 24y + 60z + 0s1 + 0s2

- 30x - 24y - 60z - 0s1 - 0s2 + u = 0

Tabel simpleks awal,Tabel 6 .2

x y z s1 s2 u Konstanta

Variabel s1 6 3 5 1 0 0 30

saat ini s2 2 2 10 0 1 0 50

Baris Tujuan - 30 - 24 - 60 0 0 1 0

(2) Menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot.(i) Kolom Pivot

Lihat baris tujuan. Nilai negatif terbesar terletak pada kolom 3 atau kolom z. Maka kolom 3 atau kolom z merupakan kolom pivot. Variabel z merupakan variabel masuk.

(ii) Baris Pivot Lihat kolom konstanta dan kolom pivot.

Rasio kelayakannya ; untuk baris s1, 305

6

untuk baris s2, 5010

5

Oleh karena rasio kelayakan untuk s2 = 5 lebih kecil dari s1= 6, maka baris pivotnya adalah baris 2 atau baris s2. Variabel s2 merupakan variabel keluar.

(iii) Elemen Pivot Elemen yang terletak pada perpotongan antara baris pivot dengan

kolom pivot adalah 10. Jadi, elemen pivotnya 10. Variabel masuk, variabel keluar dan elemen pivot, seperti terlihat

pada Tabel 6.2a.Tabel 6.2a


s1 6 3 5 1 0 0 30

s2 2 2 10 0 1 0 50

Baris Tujuan - 30 - 24 - 60 0 0 1 0

Nata WIrawan 149


(3) Pivoting pertama kalinya(i) Nilai elemen pivot dijadikan satu, dengan jalan baris pivot (baris ke-

2) dikalikan 110

, memberikan hasil seperti dalam Tabel 6.2b.

Tabel 6 .2b


s1 6 3 5 1 0 0 30

s2 1/5 1/5 1 0 1/10 0 5

- 30 - 24 - 60 0 0 1 0

(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol. baris ke-1 dikurangi 5 kali baris ke-2, baris ke-3 ditambah 60 kali baris ke-2,

Didapat hasil seperti dalam Tabel 6.2.c.

Tabel 6 .2c


s1 5 2 0 1 -½ 0 5

z 1/5 1/5 1 0 1/10 0 5

- 18 - 12 0 0 6 1 300

Oleh karena, pada baris tujuan masih terdapat elemen bernilai negatif yaitu minus 18 dan minus 12, ini berarti penyelesaian belum optimal. Oleh karena itu, pemecahan dimulai lagi dari langkah 2 (dipivot kembali).

(4) Kembali menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot.(i) Kolom Pivot Kolom pivot adalah kolom ke-1 atau kolom x (oleh karena nilai negatif

terbesar pada baris tujuan terdapat pada kolom ke-1 atau kolom x). Variabel x merupakan variabel masuk.

(ii) Baris Pivot Baris pivot adalah baris 1 atau baris s1 (karena rasio kelayakan baris

1 atau baris s1, 5/5 = 1 lebih kecil dari rasio kelayakan baris ke-2 atau baris s2, 5/ 1

5 = 25). Variabel s1 merupakan variabel keluar.

(iii) Elemen Pivot Elemen pivot adalah 5 (Elemen yang terletak pada perpotongan

baris pivot dengan kolom pivot). Variabel masuk, variabel keluar dan elemen pivot, dapat dilihat pada

Tabel 6.2d



Tabel 6.2d


s1 5 2 0 1 -½ 0 5

z 1/5 1/5 1 0 1/10 0 5

- 18 - 12 0 0 6 1 300

(5) Pivoting kedua kalinya.(i) Nilai elemen pivot dijadikan satu, dengan jalan baris pivot (baris ke

-1) dikalikan 15

, memberikan hasil seperti dalam tabel berikut:

Tabel 6.2e


x 1 2/5 0 1/5 -1/10 0 1

z 1/5 1/5 1 0 1/10 0 5

-18 -12 0 0 6 1 300

(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol sebagai berikut: baris ke-2 dikurangi 1

5 kali baris 1,

baris ke-3 ditambah 18 kali baris 1,

Pengolahan baris ini memberikan hasil seperti dalam Tabel 6.2f.

Tabel 6.2f


x 1 25 0 1

5 - 110

0 1

z 0 325 1 - 1

25

325 0 24

5

0 -245

0 185

215 1 318

Oleh karena pada baris tujuan masih terdapat nilai negatif, yaitu minus245

( - 245

) , maka di pivot kembali.

(6) Menentukan kembali kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot.(i) Kolom pivot adalah kolom y. (oleh karena bilangan negatif terbesar

pada baris tujuan terdapat pada kolom y). Variabel y merupakan variabel masuk.

(ii) Baris pivot adalah baris ke-1 atau baris x (oleh karena rasio kelayakan baris ke-1 atau baris x, 1

2 5/ = 2

5 lebih kecil dari rasio

kelayakan baris ke-2 atau baris z, 24 53 25

//

= 40). Variabel x merupakan

variabel keluar.

Nata WIrawan 151


(iii) Elemen pivot adalah 25 .

Variabel masuk (dengan tanda panah masuk), variabel keluar (dengan anak panah keluar), elemen pivot (dengan tanda lingkaran) lihat pada Tabel 6.2g.

Tabel 6.2g


x 1 25

0 15

- 110 0 1

z 0 325 1 - 1

25325 0 24

5

0 - 245

0 185

215

1 318

(7) Pivoting ketiga kalinya(i) Nilai elemen pivot dijadikan satu, dengan jalan baris ke-1 dikalikan

5/2, memberikan hasil seperti dalam tabel berikut:

Tabel 6.2h


y 52 1 0

12 -

14

052

z 0325

11

25325 0 24

5

0 245 0 18

5215 1 318

(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol sebagai berikut: baris ke-2 dikurangi 3

25 kali baris ke- 1,

baris ke-3 ditambah 245

Tabel 6 .2i


y 52 1 0 1

2 -14

05

2

z - 310

0 1 - 110

320 0 9

2

12 0 0 6 3 1 330



(8) Oleh karena pada baris tujuan tidak terdapat lagi bilangan negatif (ele-men dengan nilai negatif), berarti pemecahan layak optimal telah dicapai. Dengan pemecahan optimal, x = 0, y = 5

2 dan z = 9

2. Dengan nilai fungsi

tujuan u, sebesar 330.

Masalah Minimisasi

Dalam mencari nilai maksimum dari suatu fungsi tujuan, umumnya ditambahkan “ “ ke dalam kendala pertidaksamaan guna men-jadikan kendala persamaan. Akan tetapi di dalam mencari nilai minimum suatu fungsi tujuan, umumnya ditambahkan “ yang disebut “variabel surplus“ ke dalam kendala pertidaksamaan guna mengubah

variabel surplus tersebut minus satu, (-1), maka tidak memberikan matriks

indentitas

demikian akan memberikan matriks indentitas

Variabel buatan adalah suatu variabel kosong (dummy variabel) yang ditambahkan dengan maksud khusus, yaitu untuk menghasilkan suatu penyelesaian dasar awal yang mungkin. Variabel buatan umumnya dilambangkan dengan Ai dan Ai Ai yang ditambahkan sebesar plus M, (+ M). M adalah suatu bilangan yang cukup besar yang tidak mungkin untuk meyakinkan bahwa variabel buatan (Ai) akan dikeluarkan atau muncul dari penyelesaian yang optimal.

Langkah-langkah pemecahan dari masalah minimisasi sejalan dengan maksimisasi, dengan perbedaan yang prinsipil yaitu di dalam menentukan kolom pivot dan pemecahan layak optimal.(1) Kolom pivot Pada masalah minimisasi, kolom pivot adalah kolom pada baris tujuan

dengan nilai positif terbesar, sedangkan pada masalah maksimisasi, ko-lom pivot adalah kolom pada baris tujuan dengan nilai negatif terbesar.

Pada masalah minimisasi, pemecahan layak optimal telah tercapai bila elemen-elemen pada baris tujuan bernilai negatif atau nol (selain untuk nilai variabel yang nilainya dioptimalkan) atau tidak ada nilai positif lagi pada baris tujuan. Sedangkan pada masalah maksimisasi, pemecahan layak optimal telah tercapai bila tidak ada nilai negatif lagi pada baris tu-juan atau elemen-elemen pada baris tujuan bernilai positif atau nol.

Untuk lebih jelasnya, mengenai masalah minimisasi, perhatikanlah beberapa contoh berikut.

Contoh 6 - 8

Minimumkan, z = 5x + 3y

dengan kendala, 2x + y 3 x + y 2 x, y 0

Nata WIrawan 153


Penyelesaian

(1) Menyusun tabel simpleks awal(i) Kendala pertidaksamaan dijadikan kendala persamaan dengan

pengurangan variabel surplus (penambahan minus slack variabel) dan penambahan variabel buatan, sebagai berikut:

2x + y 1 + A1 = 3 (1) x + y 2 + A2 = 2 (2)

Persamaan (1) dan (2) dapat juga dinyatakan sebagai berikut:

2x + y - s1 + A1 = 3 2x + y - s1 - 0s2 + A1 + 0A2 = 3 x + y - s2 + A2 = 2 x + y - 0s1 - s2 + 0A1 + A2 = 2

(ii) Bentuk matriks dari persamaan - persamaan kendala

2 1 1 0 1 0

1 1 0 1 0 1

x

Y

s

s

A

A

1

2

1

2

= 3

2

(iii) Bentuk fungsi tujuan setelah adanya variabel buatan

1 + 0s2 + MA1 + MA2 - 5x - 3y - 0s1 - 0s2 - MA1 - MA2 + z = 0

(iv) Menyusun tabel persiapan

x y s1 s2 A1 A2 z Konstanta

Variabel saat ini

A1 2 1 -1 0 1 0 0 3

A2 1 1 0 -1 0 1 0 2

Baris tujuan - 5 - 3 0 0 - M - M 1 0

(v) Tabel awal Elemen-elemen pada kolom A1 dan A2 pada baris tujuan dijadikan

nol dengan cara baris ke-3 ditambah M kali (baris ke -1 + baris ke-2), dan didapat tabel awal sebagai berikut:

Tabel 6.3

x y s1 s2 A1 A2 z KonstantaA1 2 1 -1 0 1 0 0 3A2 1 1 0 -1 0 1 0 2

3M - 5 2M - 3 - M - M 0 0 1 5M

(2) Menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot(i) Kolom pivot



Lihat baris tujuan. (3M - 5) merupakan nilai positif terbesar. Jadi kolom x atau kolom ke - 1, merupakan kolom pivot. Maka variabel x, merupakan variabel masuk.

(ii) Baris pivot. Lihat kolom konstanta dan kolom pivot (kolom x).

Rasio kelayakan : untuk A1, 32

= 1,5

untuk A2, 21

= 2

Oleh karena rasio kelayakan untuk A1 lebih kecil dari rasio kelayakan A2, maka baris ke- 1 atau baris A1 merupakan baris pivot. Maka variabel A1 merupakan variabel keluar.

(iii) Elemen pivot Elemen yang terletak pada perpotongan baris pivot dengan kolom

pivot adalah 2. Jadi, elemen pivotnya 2.

Variabel masuk, variabel keluar dan elemen pivot dapat dilihat pada Tabel 6.3a.

Tabel 6.3a


A1 2 1 -1 0 1 0 0 3

A2 1 1 0 -1 0 1 0 2

3M -5 2M-3 -M -M 0 0 1 5M

(3) Pivoting pertama kalinya(i) Nilai elemen pivot dijadikan satu, dengan cara baris pivot (baris ke-1)

dikalikan ½, dan memberikan hasil seperti Tabel 6.3b.

Tabel 6.3b


A1 1 ½ -½ 0 ½ 0 0 3/2

A2 1 1 0 -1 0 1 0 2

3M-5 2M-3 -M -M 0 0 1 5M

(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol, dengan cara baris

ke-2 dikurangi 1 kali baris ke-1, baris ke-3 dikurangi (3M - 5) kali baris ke-1, dan memberikan hasil seperti dalam tabel berikut:

Nata WIrawan 155


Tabel 6.3c


x 1 ½ -½ 0 ½ 0 0 3/2

A2 0 ½ ½ -1 -½ 1 0 1/2

0 M 12

M 52

- M 3M 52

0 1 M 152

Oleh karena pada baris tujuan masih terdapat nilai positif (selain nilai

z) yaitu: 21M

dan M 52

, maka pemecahan belum optimal, maka dipivot

kembali (pemecahan kembali dari langkah 2).

(4) Menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot (i) Kolom pivot Lihat baris tujuan. (

21M ) adalah nilai positif terbesar. Maka dari

itu kolom y atau kolom ke-2, merupakan kolom pivot. Variabel y merupakan variabel masuk.

(ii) Baris pivot. Lihat kolom konstanta dan kolom pivot (kolom y).

Rasio kelayakan : untuk x, 32

/ 12

= 3

untuk A2, 12

/ 12

= 1

Oleh karena rasio kelayakan untuk A2 lebih kecil maka baris A2 atau baris ke-2 merupakan baris pivot. Variabel A2 merupakan variabel keluar.

(iii) Elemen pivot Elemen yang terletak pada perpotongan baris pivot dengan kolom

pivot adalah ½. Jadi, elemen pivotnya ½.

Variabel masuk, variabel keluar dan elemen pivot dapat dilihat pada Tabel 6.3d.

Tabel 6.3d


x 1 ½ -½ 0 ½ 0 0 3/2

A2 0 ½ ½ -1 -½ 1 0 1/2

0 M 12

M 52

- M 3M 52

0 1 M 152

(5) Pivoting kedua kalinya(i) Nilai elemen pivot dijadikan satu, dengan cara baris pivot (baris ke-2)

dikalikan 2, dan memberikan hasil seperti tabel berikut:



Tabel 6.3e


x 1 ½ -½ 0 ½ 0 0 3/2

y 0 1 1 -2 -1 2 0 1

0 M 12

M 52

- M 3M 52

0 1 M 152

(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol, dengan cara baris ke-1 dikurangi ½ kali baris ke-2, baris ke-3 dikurangi ( M 1

2) kali

Tabel 6.3f


x 1 0 -1 1 1 -1 0 1

y 0 1 1 -2 -1 2 0 1

0 0 -2 - 1 -M+2 -M+1 1 8

(6) Oleh karena pada baris tujuan tidak terdapat lagi elemen yang bernilai positif (selain nilai dari z = 1), ini berarti pemecahan layak optimal telah dicapai. Dengan pemecahan optimal, x = 1 dan y = 1, dan nilai minimum bagi z (fungsi tujuan) adalah 8.

Contoh 6 - 9

Minimumkan, c = 20x + 30y + 16z

dengan kendala,

Penyelesaian

(1) Menyusun tabel simpleks awal(i) Kendala pertidaksamaan dijadikan kendala persamaan dengan

pengurangan variabel surplus (penambahan minus slack variabel) dan penambahan variabel buatan.

1 + A1 = 3

2,5x + 3y + z - s1 - 0s2 + A1 + 0 A2 = 3

2 + A2 = 4

x + 3y + 2z - 0s1 - s2 + 0A1 + A2 = 4

(ii) Bentuk matriks dari persamaan-persamaan kendala

Nata WIrawan 157


2 5 3 1 1 0 1 0

1 3 2 0 1 0 1

,

x

y

z

s

sA

A

1

2

1

2

=

3

4


1 +0s2 + MA1 + M A2 - 20x - 30y - 16z - 0s1 - 0s2 - MA1 -M A2 + c = 0


x y z s1 s2 A1 A2 c Konstanta

Variabelsaat ini

A1 2,5 3 1 -1 0 1 0 0 3

A2 1 3 2 0 -1 0 1 0 4

Baris tujuan

-20 -30 -16 0 0 - M - M 1 0

(v) Tabel awal Elemen-elemen pada kolom A1 dan A2 pada baris tujuan dijadikan

nol, dengan cara baris ke-3 ditambah M kali (baris ke-1 + baris ke-2), dan didapat hasil seperti dalam tabel awal berikut:

Tabel 6.4


A1 2,5 3 1 -1 0 1 0 0 3

A2 1 3 2 0 -1 0 1 0 4

2

40M7 6M-30 3M-16 -M -M 0 0 1 7M

(2) Menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot.Dengan cara yang sama seperti pada Contoh 6- 8, dapat diketahui

bahwa, (i) Kolom pivot adalah kolom y atau kolom ke-2. (Oleh karena nilai

positif terbesar pada baris tujuan terletak pada kolom y). Variabel y merupakan variabel masuk.

(ii) Baris pivot adalah baris A1 atau baris ke-1. (Oleh karena rasio kelayakan baris A1 lebih kecil dari rasio kelayakan baris A2 yaitu

32 5,

< 14 ). Maka variabel A1 merupakan variabel keluar.

(iii) Elemen pivot adalah 3. Elemen 3 merupakan elemen yang terletak pada perpotongan antara baris pivot (baris ke-1) dengan kolom pivot (kolom ke-2) dan diberikan tanda bulatan pada tabel 6.4.



Tabel 6.4a


A12,5 3 1 -1 0 1 0 0 3

A2 1 3 2 0 -1 0 1 0 4

2

40M7 6M-30 3M-16 -M -M 0 0 1 7M

(3) Pivoting kepertama kalinya(i) Elemen pivot dijadikan satu, dengan cara baris pivot (baris ke-1)

dikalikan 13

, dan memberikan hasil seperti dalam Tabel 6.4b.

Tabel 6.4b


y 65 1 3

13

1 031 0 0 1

A2 1 3 2 0 -1 0 1 0 4

2

40M7 6M-30 3M-16 -M -M 0 0 1 7M

(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol dengan cara baris ke-2 dikurangi 3 kali baris ke-1, baris ke-3 dikurangi (6M-30) kali baris ke-1 memberikan hasil seperti Tabel 6.4c.

Tabel 6.4c


y65 1

31

3

1 0

31 0 0 1

A2 23 0 1 1 -1 -1 1 0 1

2

10M3 + 0 M - 6 M-10 -M -2M + 10 0 1 M + 30

Baris tujuan, masih memuat nilai positif (selain nilai c) yaitu (M-6) dan (M -10), maka pemecahan belum optimal. Maka di pivot kembali (pemecahan kembali lagi dari langkah 2).

(4) Menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot.(i) Kolom pivot adalah kolom z. Karena nilai positif paling besar pada

baris tujuan terletak pada kolom z. Variabel z merupakan variabel masuk.

(ii) Baris pivot adalah baris A2. Karena nilai kelayakan baris A2 yaitu 11

lebih kecil dari nilai kelayakan baris y yaitu 113

= 3. Variabel A2

merupakan variabel keluar.

Nata WIrawan 159


(iii) Elemen pivot adalah 1. Variabel masuk, variabel ke luar dan elemen pivot lihat Tabel 6.4d.

Tabel 6.4d


y 65 1 3

131 0 3

1 0 0 1

A2 23 0 1 1 -1 -1 1 0 1

2

10M3 + 0 M - 6 M-10 -M -2M + 10 0 1 M + 30

(5) Pivoting kedua kalinya(i) Elemen pivot tidak perlu lagi dijadikan 1, karena sudah 1 (satu)(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol, dengan cara baris

ke-1 dikurangi 13

kali baris ke-2, baris ke-3 dikurangi (M - 6) kali

baris ke-2, dan memberikan hasil seperti Tabel 6.4e.

Tabel 6.4e


y34 1 0

32

31

32

32 1

32

z 23 0 1 1 -1 -1 1 0 1

2

10M3 + 0 M - 6 M-10 -M -2M + 10 0 1 36

(6) Oleh karena pada baris tujuan tidak terdapat lagi nilai positif (selain nilai c = 1), maka pemecahan layak optimal telah dicapai. Pemecahan layak optimalnya adalah x = 0, y =

32 dan z = 1.Nilai minimum bagi c (fungsi

tujuan) adalah 36.

Contoh 6- 10

Minimumkan, z = 2x + 10y

dengan kendala, 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y 0

Penyelesaian

(1) Menyusun tabel awal(i) Tanda pertidaksamaan kendala, diubah terlebih dahulu kedalam

bentuk baku untuk minimum. 2x + y 6 - 2x - y - 6



5x + 4y 20 5x + 4y 20 (tetap) Tambahan variabel surplus untuk mengubah kendala pertidaksamaan

menjadi kendala persamaan. - 2x - y - s1 1 = 6 5x + 4y - s2 2 = 20 Tambahan variabel buatan, sebagai berikut:

2x + y + s1 + A1 = 6 2x + y + s1 + 0s2 + A1 + 0A2 = 6 5x + 4y - s2+ A2 = 20 5x + 4y + 0s1 - s2 + 0A1 + A2 = 20

(ii) Bentuk matriks dari persamaan - persamaan kendala,

2 1 1 0 1 0

5 4 0 1 0 1

x

y

s

s

A

A

1

2

1

2

= 6

20


1 + 0s2 + MA1 + MA2 - 2x - 10y - 0s1 - 0s2 - MA1 - MA2 + z = 0



A1 2 1 1 0 1 0 0 6

A2 5 4 0 -1 0 1 0 20

-2 - 10 0 0 - M - M 1 0

(v) Tabel Awal Elemen-elemen pada kolom A1 dan A2 pada baris tujuan dijadikan nol

sebagai berikut: baris 3 ditambah M kali (baris 1 + baris 2), didapat hasil seperti dalam Tabel 6.5.

Tabel 6.5


A1 2 1 1 0 1 0 0 6

A2 5 4 0 -1 0 1 0 20

7M -2 5M -10 M - M 0 0 1 16M

(2) Menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot(i) Kolom pivot adalah kolom x. Variabel x merupakan variabel masuk.(ii) Baris pivot adalah baris A1. Variabel A1 merupakan variabel keluar.(iii) Elemen pivot adalah 2.

Nata WIrawan 161


Vaiabel masuk, variabel ke luar dan elemen pivot lihat Tabel 6.5a.Tabel 6.5 a


A12 1 1 0 1 0 0 6

A2 5 4 0 -1 0 1 0 20

7M -2 5M -10 M - M 0 0 1 16M

(3) Pivoting pertama kalinya(i) Elemen pivot dijadikan satu, dengan cara baris A1 (baris ke-1)

dikalikan ½. Didapat hasil seperti dalam Tabel 6.5b. Tabel 6.5b


x 1 1/2 1/2 0 1/2 0 0 3

A2 5 4 0 -1 0 1 0 20

7M -2 5M -10 M - M 0 0 1 26M

(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol. Dengan jalan, baris ke-2 dikurangi 5 kali baris ke-1, dan baris ke-3 dikurangi (7M -2) kali baris ke-1. Didapat hasil seperi dalam tabel sebagai berikut:

Tabel 6.5 c


x 1 ½ ½ 0 ½ 0 0 3

A2 0 32

52 -1 5

2 1 0 5

03M 18

2

5M 2

2-M

7M 2

20 1 5M + 6

Masih terdapat elemen yang bernilai positif pada baris tujuannya

yaitu 3M 182

, maka di pivot kembali.

(4) Menentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot(i) Kolom pivot adalah kolom y. Variabel y, merupakan variabel masuk.(ii) Baris pivot adalah baris A2 .Variabel A2, merupakan variabel keluar.(iii) Elemen pivot adalah

2

3.

Variabel masuk, variabel ke luar dan elemen pivot lihat Tabel 6.5d.Tabel 6.5d


x 121

21 0

21 0 0 3

A2 0 32

52 -1 5

2 1 0 5

03M 18

2

5M 2

2-M

7M 2

20 1 5M + 6



(5) Pivoting kedua kalinya(i) Elemen pivot dijadikan satu, dengan jalan baris ke-2 dikalikan

3

2,

didapat.

Tabel 6.5e


x 1 1/2 1/2 0 1/2 0 0 3

y 0 1 -5/3 -2/3 -5/3 2/3 0 10/3

03M 18

2

5M 2

2- M

7M 2

20 1

5M+6

(ii) Elemen lainnya pada kolom pivot dijadikan nol. Dengan jalan baris

ke-1 dikurangi ½ kali baris ke-2. Baris ke-3 dikurangi 2

18M3 kali baris

Tabel 6.5f


x 1 0 4/3 2/6 4/3 -2/6 0 4/3

y 0 1 -5/3 -2/3 -5/3 2/3 0 10/3

0 0 -14 - 6 -(M+14) -M+6 1 36

(6) Oleh karena pada baris tujuan (selain nilai z) tidak terdapat lagi elemen yang bernilai positif, maka pemecahan layak optimal telah tercapai den-gan pemecahan layak optimal adalah x =

3

4 dan y =3

10 . Nilai minimum bagi z (fungsi tujuan) adalah 36.

6.5 Dual dari Program LinearSuatu persoalan program linear sebenarnya merupakan persoalan

rangkap (dual). Apabila persoalan semula (primal) merupakan maksimisasi fungsi tujuan maka persoalan dualnya adalah minimisasi, sebaliknya, bila persoalan semula (primal) minimisasi suatu fungsi tujuan maka persoalan dualnya adalah maksimisasi. Aturan untuk merumuskan dual dari persoalan primal adalah sebagai berikut.

dual.

dual.(3) Tanda pertidaksamaan dalam kendala primal dan dual, saling berlawa-

nan.

Sedangkan kaitan antara pemecahan primal dengan pemecahan dual adalah sebagai berikut:(1) Nilai optimal fungsi tujuan primal dan nilai optimal fungsi tujuan dual adalah

sama.

Nata WIrawan 163


(2) Kriteria untuk variabel utama (keputusan) primal adalah pemecahan bagi variabel slack dari dual.

(3) Kriteria bagi variabel slack dari primal adalah pemecahan bagi variabel utama (keputusan) dual.

(4) Pemecahan untuk variabel-variabel utama (keputusan) primal merupa kan nilai negatif dari kriteria untuk variabel-variabel slack dari dual.

(5) Pemecahan untuk varaiabel-variabel slack primal merupakan nilai negatif dari kreteria untuk variabel-variabel utama dual.

Contoh 6- 11

Maksimumkan, = b1x1 + b2x2 + b3x3 (primal)

dengan kendala,

a11x1 + a12x2 + a13 x3 k1

a21x1 + a22x2 + a23 x3 k2

a31x1 + a32x2 + a33 x3 k3

x1, x2, x3 0

Dualnya diberikan oleh,

Minimumkan, c = k1y1 + k2y2 + k3y3 (dual)

dengan kendala, a11 y1 + a21 y2 + a31 y3 1 a12 y1 + a22 y2 + a32 y3 2 a13 y1 + a23 y2 + a33 y3 3 y1, y2, y3

Contoh 6- 12

Minimumkan, c = 20x1 + 30x2 + 16x3 (primal)

dengan kendala, 2,5x1 + 3x2 + x3 3 x1 + 3x2 + 2x3 4 x1, x2, x3 0

Dualnya diberikan oleh,Maksimumkan,

= 3y1 + 4y2 (dual) dengan kendala,

2,5y1 + y2 3y1 + 3y2 y1 + 2y2 y1, y2



Contoh 6- 13

Maksimumkan, = 30x1 + 36x2 (primal)

dengan kendala, x1 + 2x2 70 x1 + x2 40 3x1 + x2 90 x1, x2 0

Dualnya diberikan oleh,Minimumkan,

c = 70y1+ 40y2 + 90y3 (dual)dengan kendala.

y1 + y2 + 3y3 2y1 + y2 + y3 y1, y2, y3

Contoh 6- 14

Minimumkan, z = 4x1 + 8x2 (primal)

dengan kendala, 3x1 + 2x2 6 6x1 + x2 12 x1 + 9x2 8 x1, x2 0

Penyelesaian

Tanda pertidaksamaan diubah dahulu ke dalam bentuk baku untuk masalah minimisasi.

Minimumkan, z = 4x1 + 8x2

dengan kendala, - 3x1 - 2x2 - 6 6x1 + x2 12 x1 + 9x2 8 x1, x2 0

Dualnya diberikan oleh,Maksimumkan,

z = - 6y1 + 12y2 + 8y3 (dual)dengan kendala,

-3y1 + 6y2 + y3 4 - 2y1 + y2 + 9y3 8 y1, y2, y3 0

Dengan mengetahui primal-dual dari suatu persoalan program linear, maka dapat dipilih salah satu pemecahan dari persoalan program linear tersebut yang dianggap lebih mudah, apakah pemecahan melalui primal atau dualnya. Oleh karena nilai optimal dari suatu fungsi tujuan baik melalui pemecahan primal maupun melalui pemecahan dual akan memberikan hasil yang sama.

Nata WIrawan 165


Soal-soal latihan

6- 1

(a) Maksimumkan , z = 6x + 3y dengan kendala, 3x + 2y 6 x + 2y 4 x, y 0

(b) Maksimumkan, = 2x + 5y dengan kendala,

(c) Minimumkan, z = x + 2y dengan kendala,

3x + 20y 60 x + 4y 20 x, y 0

(d) Minimumkan, z = 6x = 3y dengan kendala, 3x + 2y 12 x + 2y 15

6- 2 Seorang pedagang membuat dua jenis jajan untuk dijual yaitu jajan A dan jajan B. Sepotong jajan A memerlukan 50 gram mentega dan 150 gram tepung. Sedangkan sepotong jajan B memerlukan 75 gram mentega dan 75 gram tepung. Bahan yang tersedia, tepung 2,25 kg dan mentega sebanyak 1,5 kg. Pedagang tersebut ingin membuat kedua jenis jajan tersebut sebanyak-banyaknya.

(a) Berapa potong jajan A dan jajan B yang dapat diperoleh? (b) Bila sepotong jajan A dijual dengan laba Rp 50,00 dan jajan B

dijual dengan laba Rp 30,00 hitunglah laba yang diperoleh.

6- 3 Selesaikanlah dengan metode simpleks persoalan program linear berikut:

(a) Maksimumkan,

= 20x + 14y + 40z

dengan kendala,

(b) Maksimumkan,

z = 30x1 + 24x2 + 60x3

dengan kendala,

6x1 + 3x2 + 5x3

2x1 + 2x2 + 10x3

x1, x2, x3

(c) Minimumkan,

c = 36x1 + 40x2 + 28x3

dengan kendala,

6x1 + 5x2 + 2x3 5

2x1 + 5x2 + 4x3

x1, x2, x3



6- 4 Sebuah perusahaan memproduksi tiga jenis produk (A1, A2 dan A3 ). Tiap jenis produk tersebut diproses melalui tiga jenis mesin (M1, M2 dan M3). Waktu pemerosesan untuk masing-masing produk adalah sebagai berikut: produk A1, 4 jam pada mesin pertama, 5 jam pada mesin kedua dan 6 jam pada mesin ketiga. Untuk produk A2, 5 jam pada mesin pertama, 7 jam pada mesin kedua dan 9 jam pada mesin ketiga. Untuk produk A3, 6 jam pada mesin pertama, 7 jam pada me-sin kedua dan 7 jam pada mesin ketiga. Bila kapasitas kerja masing- masing mesin adalah 80 jam untuk mesin pertama, 100 jam untuk me-sin kedua dan 120 jam untuk mesin ketiga. Laba per unit untuk produk A1 adalah Rp 5.000,00 untuk produk A2 adalah Rp 7.000,00,dan un-tuk produk A3 adalah Rp 8.000,00

Agar labanya maksimum tentukanlah kuantitas dari masing-masing produk yang seharusnya diproduksi.

6- 5 Seorang penjahit membuat dua model pakaian dengan bahan yang sama. Model A memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model B memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Sedangkan kain yang tersedia, 20 m kain polos dan 10 m kain bergaris. Keuntungan yang diperoleh per unit pakaian, bila pakaian-pakaian tersebut djual adalah Rp 5.000,00 untuk model A dan Rp 3000,00 untuk pakaian B. Berapa sebaiknya masing-masing model dibuat agar diperoleh keuntungan yang maksimum? Berapa besar keuntungan yang ia peroleh?

6- 6 Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang yaitu barang A dan B. Pembuatan setiap barang tersebut memerlukan pemrosesan oleh tiga mesin yang bebeda (M1, M2 dan M3). Setiap barang A memerlukan waktu 1 jam pada M1, 1jam pada mesin M2, dan 3 jam pada mesin M3. Setiap barang B memerlukan waktu 2 jam pada mesin M1, 1jam pada mesin M2 , dan 1 jam pada mesin M3. Setiap minggu mesin M1 dapat bekerja 70 jam, mesin M2 selama 40 jam, dan mesin M3 selama 60 jam. Keuntungan per unit barang A adalah $30 dan untuk barang B adalah $36. Dengan asumsi semua barang yang dihasilkan terjual habis, tentukanlah kuantitas masing–masing barang yang harus diproduksi agar keuntungan totalnya maksimum.

6- 7 Sebuah pabrik memproduksi tiga jenis barang yaitu barang A, B dan C. Pembuatan setiap barang tersebut memerlukan pemrosesan oleh dua mesin yang bebeda (M1 dan M2). Setiap barang A memerlukan waktu 3 jam pada mesin 1, dan 1 jam pada mesin 2. Setiap barang B memerlu-kan waktu 1 jam pada mesin 1, dan 5 jam pada mesin 2. Setiap barang C memerlukan 3 jam pada mesin 1, dan 2 jam pada mesin 2. Setiap minggu mesin 1 dapat bekerja 120 jam, dan mesin 2 selama 60 jam. Keuntungan per unit barang A adalah $15, untuk barang B adalah $20, dan untuk barang C adalah $24. Dengan menganggap semua barang yang dihasilkan terjual habis, tentukanlah kuantitas masing–masing barang yang harus diproduksi agar keuntungan totalnya maksimum.

Nata WIrawan 167


6- 8 Buatlah dualnya dari persoalan primal di bawah ini.

(a) Maksimumkan, z = 2x1 + x2 dengan kendala, 3x1 + 5x2 6x1 + 2x2 x1, x2

(b) Minimumkan, z = 60x1 + 48x2

dengan kendala, 4x1 + 2x2 2x1 + 4x2 x1, x2

(c) Minimumkan, z = 4x1 + 8x2 + 2x3

dengan kendala, 0,5x1 + 2x2 + 4x3 4 x1 + x2 - 2x3 6 x1, x2, x3 0

(d) Maksimumkan z = 10x1 + x2 + 2x3

dengan kendala, x1 + x2 - 2x3 4x1 + x2 + x3 x1, x2, x3

6- 9 Untuk soal primal berikut: (1) rumuskan dualnya, (2) dengan metoda

(a) Maksimumkan,

p = 15x1 + 20x2 + 24x3

dengan kendala, 3x1 + x2 + 3x3 x1 + 5x2 + 2x3 x1, x2, x3

(b) Minimumkan, c = 36y1 + 30y2 + 40y3 dengan kendala, 2y1 + 5y2 + 8y3 6y1 + 3y2 + 2y3 y1, y2, y3



6-10 Untuk soal primal berikut: (1) rumuskan dualnya, (2) dengan metoda simpleks cari nilai optimal dualnya tersebut.

(a) Minimumkan, z = x + 2y dengan kendala,

(b) Maksimumkan, = 2x + 5y dengan kendala,

Nata WIrawan 169

TURUNAN FUNGSI

MULTIVARIABEL DAN APLIKASINYA


7.1 PengantarDalam Bab 8 buku Matematika Ekonomi, telah dibahas turunan suatu

fungsi dengan satu variabel bebas (fungsi univariabel) dengan bentuk eksplisit y = f(x) atau dalam bentuk implisit f(x, y) = 0. Dalam bab ini akan dibahas turunan suatu fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel bebas, yang fungsinya disebut fungsi multivariabel. Di antara variabel-variabel bebas tersebut, variabel yang satu dapat mempengaruhi variabel bebas lainnya atau tidak. Fungsi dengan dua atau lebih variabel bebas ini, penerapannya banyak dijumpai dalam ekonomi dan bisnis.

Dalam bab ini akan dibahas mengenai turunan parsial, diferensial total, diferensial parsial, total derivatif, diferensial fungsi implisit dan penerapannya dalam ekonomi dan bisnis.

Tujuan dari bab ini. Setelah mempelajari bab ini peserta didik (mahasiswa) diharapkan dapat memahami dengan baik tentang turunan fungsi multivariabel dan menerapkannya dalam ekonomi-bisnis.

7. 2 Turunan ParsialPada dasarnya cara mendapatkan turunan parsial sama dengan turunan

biasa. Kalau turunan biasa berhubungan dengan suatu fungsi hanya dengan satu variabel bebas, sedangkan turunan parsial berhubungan dengan suatu fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel bebas. Suatu fungsi multivariabel dapat diturunkan terhadap salah satu variabel bebasnya dengan menganggap


7 TURUNAN FUNGSI MULTIVARIABEL DAN APLIKASINYA DALAM EKONOMI-BISNIS

(memperlakukan) semua variabel bebas lainnya sebagai konstanta.

Untuk menyatakan turunan parsial dipakai simbol , yang merupakan

variasi dari huruf yunani (baca: delta) seperti z

x(turunan parsial z terhadap

x), z

y (turunan parsial z terhadap y). Sedangkan untuk menyatakan turunan

biasa dipakai simbol d, seperti dy

dx (turunan y terhadap x), dz

dx (turunan z

terhadap y).

Contoh 7- 1

Untuk fungsi multivariabel z = f(x, y)

Turunan parsial pertama z berkenaan/terhadap x dapat ditulis

zx = ),( yxfx

fx

f

x

zx ===

Turunan parsial pertama z berkenaan /terhadap y dapat ditulis

zy = ),( yxfy

fy

f

y

zy ===

Turunan parsial kedua z berkenaan/terhadap x dapat ditulis

zxx =

2

2

2

2

z

x

f

xf

x

z

xxx ( )

Turunan parsial kedua z berkenaan / terhadap y dapat ditulis

zyy =2

2

2

2

z

y

f

yf

y

z

yyy ( )

Turunan parsial silang z terhadap x dan terhadap y atau turunan parsial kedua z mula - mula terhadap x kemudian terhadap y dapat ditulis.

zxy =

2 2z

x y

f

x yf

x

z

yxy

. .( )

Turunan parsial silang z terhadap y dan terhadap x atau turunan parsial kedua z mula - mula terhadap y kemudian terhadap x dapat ditulis.

zyx =2 2z

y x

f

y xf

y

z

xyx

. .( )

Turunan parsial yang lebih tinggi dapat diperoleh lagi bila turunan parsial sebelumnya memungkinkan untuk diturunkan kembali.

Contoh 7- 2

Tentukanlah turunan parsial (pertama) dari (a) z = f(x1, x2) = 3x1 + 2x2 (b) z = f(x, y) = 2x3 + xy + y2

Nata WIrawan 171


Penyelesaian

(a) z = 3x1 + 2x2

zx1 = 1x

z = 3

Turunan parsial pertama z terhadap x1 dengan x2 dianggap konstanta

zx2 =

2x

z = 2

Turunan parsial pertama y terhadap x2 dengan x1 dianggap konstanta

(b) z = 2x3 + xy + y2

zx = z

x = 6x + y

Turunan parsial pertama z terhadap x dengan y dianggap konstanta

zy = y

z = x + 2 y

Turunan parsial pertama z terhadap y dengan x dianggap konstanta

Contoh 7- 3

Tentukanlah turunan parsial (pertama) dari (a) z = (2x + y)4

(b) z = 2 2x y

x y

Penyelesaian

(a) z = (2x + y)4

zx = 4(2x+ y)3 (2) = 8(2x + y)3

zy = 4(2x+ y)3 (1) = 4(2x + y)3

(b) z = yx

yx2 2

zx = 2 1 2 22

2

2

2

( ) ( )

( ) ( )

x y x y

x y

y y

x y

zy = 2

22

2

2

)yx(

yx2y2xy2

)yx(

)yx2(1)yx(y2

+

+=

+

+

Contoh 7- 4

Diketahui fungsi z = x x x x12

1 2 235 2

Hitunglah

(a) zx1 = . . .? (d) zx x2 2 = . . .?

(b) zx2 = . . .? (e) zx x1 2 = . . . ?

(c) zx x1 1 = . . . ? (f) zx x2 1 = . . . ?



Penyelesaian

(a) zx1 = 2x1 + 5x2 (d) zx x2 2 = 12x2

(b) zx2 = 2x1 - 6 22x (e) zx x1 2 = 5

(c) zx x1 1 = 2 (f) zx x2 1 = 5

Contoh 7- 5

Tentukanlah turunan parsial pertama, kedua dan turunan parsial silangnya dari fungsi berikut di bawah ini.

(a) Z = ln(x2 + 3y2 )

(b Z = ex y. 2

Penyelesaian

(a) Z = ln(x2 + 3y2)

Zx = 2222 y3x

x2)x2(

)y3x(

1

Zxx = 2 3 2 2

3

6 2

3

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x y x x

x y

y x

x y

Zy = )y3x(

y6)y6(

)y3x(

12222

Zyy = 6 3 6 6

3

6 18

3

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x y y y

x y

x y

x y

Zxy = Zyx = ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 3 6 2

3

12

3

2 2

2 2 2 2 2 2

x y y x

x y

xy

x y

(b) Z = ex y. 2

Zx = ex y. 2

(y2) = y2 ex y. 2

Zy = ex y. 2

(x.2.y) = 2xy ex y. 2

Zxx = 0( ex y. 2

) + y2 ex y. 2

(y2) = y4 ex y. 2

Zyy = 2x( ex y. 2

) + 2xy ex y. 2

(2xy) = 2x ex y. 2

(1+ 2xy2)

Zxy = Zyx = 2y( ex y. 2

) + (2xy ex y. 2

) (y2) = 2y ex y. 2

(1+ xy2)

Nata WIrawan 173


Contoh 7- 6

Tentukanlah nilai Zx , Zxx dan Zxy pada x = 1 dan y = 2 dari fungsi Z = x2 + xy2 + 5.

Penyelesaian

Zx = 2x + y2

= 2(1) + (2)2 (pada x = 1 dan y = 2) = 6

Zxx = 2 = 2 (pada x = 1 dan y = 2) Zxy = 2y = 2(2) (pada x = 1 dan y = 2) = 4

Contoh 7- 7

Diketahui fungsi f(x, y) = 3x2 - 4xy + 5y2 . Tentukanlah fx dan fy pada (1, -1)

Penyelesaian

fx = 6x - 4y = 6(1) - 4(-1) (pada x = 1 dan y = -1) = 10

fy = - 4x + 10y = - 4(1) + 10(-1) (pada x = 1 dan y = -1) = - 4 - 10 = - 14

7. 3 Diferensial Total, Diferensial Parsial dan Total DerivatifDalam turunan parsial, suatu fungsi multivariabel diturunkan terhadap

salah satu variabel bebasnya dan variabel lainnya dianggap konstan, dengan kata lain hanya salah satu variabel bebasnya dianggap berubah sedangkan variabel bebas lainnya konstan.Tetapi dalam kenyataannya dapat saja terjadi, perubahan salah satu variabel bebasnya diikuti oleh perubahan variabel bebas lainnya. Dalam diferensial total, suatu fungsi multivariabel diturunkan terhadap semua variabel bebas yang dimilikinya.

Bila (1) U = f(x, y) maka diferensial totalnya adalah :

dU = U

xdx

U

y. .dy

atau



dU = Ux dx + Uy dy (7.1)

(2) U = f(x, y, z . . . n) maka diferensial totalnya adalah :

dU = dn.n

Udz.

z

Udy.

y

Udx.

x

U++++ L

atau

dU = Ux dx + Uy dy + Uz dz+ . . . + Un dn (7.2)

dU = pada (7.1) dan (7.2) disebut diferensial total, sementara

U

xdx

U

ydy

U

zdz dan

U

ndn, , , disebut diferensial parsial

Total Derivatif

Bila U = f(x, y) dengan x = g(t) dan y = h(t), maka total derivatifnya (turunan totalnya ) adalah :

dU

dt

U

x

dx

dt

U

y

dy

dt. .

atau

dt

dU U

dx

dtU

dy

dtx y. . (7.3)

dU

dt pada (7.3) disebut total derivatif U terhadap t. Dari (7.3) dapat

diketahui perubahan pada U sebagai akibat adanya perubahan pada t. Sedangkan t berpengaruh terhadap U melalui x dan y.

Contoh 7- 8

Carilah diferensial total dari (a) Z = x3 + 4xy + y2 (b) U = 5x2 + 2y3 + 3xy (c) Q = AL K

Penyelesaian

(a) Z = x3 + 4xy + y2

Zx = 3x2 + 4y

Zy = 4x + 2y

Nata WIrawan 175


maka, dZ = Ux.dx + Uy.dy dZ = (3x2 + 4y)dx + (4x + 2y) dy

(b) U = 5x2 + 2y3 + 3xy

Ux = 10x + 3y

Uy = 6y2 + 3x

maka,

dU = Ux.dx + Uy.dy

= (10x + 3y)dx + (6y2 + 3x)dy

(c) Q = AL K

QL = A L( -1) K

QK = A . L K( -1)

maka, dQ = Ql.dL + Qk.dK

= A L( -1) K dL + A . L K( -1) dK

Contoh 7- 9

Tentukanlah turunan total (total derivatif) dari Z = x2 + 3y2, pada x = 2t2 dan y = t2 + 1

Penyelesaian

Z = x2 + 3y2 dZ

dt = Zx

dx

dt + Zy

dy

dt

Z = x2 + 3y2 Z x

Z y

x

y

2

6

x = 2t2 dx

dt = 4t

y = t2 + 1 dy

dt = 2t

maka,

dZ

dt = Zx

dx

dt + Zy

dy

dt

= (2x)(4t) + (6y)(2t) = 8xt + 12yt = 8(2t2)t + 12(t2 + 1) t

= 16t3 + 12t3 + 12t

= 28t3 + 12t



Contoh 7-10

Tentukanlah turunan total (total derivatif) dariU = 5x2 + 3y2 + z3 pada x = 3t2, y = 2t + 1 dan z = 4t3 + 5

Penyelesaian

U = 5x2 + 3y2 + z3 dU

dt = . . . ?

dU

dt = Ux

dx

dt + Uy

dy

dt + Uz.

dz

dt

U = 5x2 + 3y2 + z3

U x

U y

U z

x

y

z

10

6

3 2

x = 3t2 dx

dt = 6t

y = 2t + 1 dy

dt = 2

z = 4t3 + 5 dz

dt =12t 2

maka,

dU

dt = Ux

dt

dx + Uy

dy

dt + Uz

dt

dz

= (10x)(6t) + (6y)(2) + (3z2 ) ( 12t2)

= 60xt + 12y + 36z2 t2

= 60(3t2)t + 12(2t + 1) + 36(4t3 + 5)2. t2

= 180t3 + 24t + 12 + 576t3 + 1440t5 + 900t2

= 576t8 + 1440t5 + 180t3 +900t2 + 24t + 12

Contoh 7- 11

Tentukanlah turunan total (total derivatif) dariU = 3x2 + 4y pada x = 4t2 dan y = 3t + 5

Penyelesaian

U = 3x2 + 4y dU

dt= …?

Ux = 6x dan Uy = 4

x = 4t2 dx

dt = 8t,

y = 3t + 5 dy

dt = 3

Nata WIrawan 177


maka,

dU

dt = Ux

dx

dt + Uy

dy

dt

= 6x(8t) + 4(3)

= 6 (4t2)(8t) + 12

= 192t2 + 12

7.4 Diferensiasi Fungsi ImplisitPada Subbab 8.6 buku Matematika Ekonomi, telah dipelajari mencari

turunan fungsi implisit. Pada seksi ini, akan dipelajari suatu cara lain, untuk mencari turunan fungsi implisit. Proses diferensial fungsi implisit dapat dilakukan dengan menggunakan turunan parsial, selanjutnya dirumuskan formula umum untuk mencari turunan parsial fungsi implisit dengan berbagai variabel, yang akan diuraikan berikut ini.

7.4.1 Fungsi Implisit f(x, y) = 0

Bila variabel x dan y merupakan fungsi satu sama lainnya dan dapat dinyatakan dalam bentuk implisit f(x, y) = 0, maka:

dy

dx = -

y

x

f

f (untuk fy 0) (7.4)

sedangkan dy

dx, merupakan kebalikan dari

dx

dy

7.4.2 Fungsi Implisit F (x, y, z)

Bila z menyatakan fungsi implisit dari x dan y oleh persamaan F(x, y, z) = 0, maka:

x

z = -

F

FX

Z

(untuk Fz 0)

y

z = -

F

F

y

Z

(untuk Fz 0) (7.5)

x

y = -

F

Fx

y

(untuk Fy 0)

Contoh 7- 12

Bila f(x, y) = x3 - 4 xy + 2y3 = 0

Carilah,

(a) dx

dy (b)

dx

dy



Penyelesaian

fx = 3x2 - 4y fy

= - 4x + 6y2

(a) dy

dx = -

y

x

f

f (b)

dy

dx = -

x

y

f

f

= - (2

2

64

43

yx

yx) = - (

yx

yx

43

642

2

)

= 2

2

64

43

yx

yx =

yx

yx

43

642

2

Contoh 7- 13

Bila x2 + 2xy +2y = 15, pada x = 2 dan y = 3

Carilah:

(a) dx

dy (b)

dy

dx

Penyelesaian

x2 + 2xy + 2y = 15 x2 + 2xy + 2y - 15 = 0

Misalkan : f(x, y) = x2 + 2xy + 2y - 15 = 0

maka,

fx = 2x + 2y fy

= 2x + 2

(a) dy

dx = -

y

x

f

f = -

2 2

2 2

x y

x

= - 2 2) 2 3

2 2) 2

( ( )

(= -

10

6= -

10

6 (pada x = 2 dan y = 3)

(b) dx

dy = -

x

y

f

f= -

2 2

2 2

x

x y

= - )3(2)2(2

2)2(2= -

6

10= -

6

10 (pada x = 2 dan y = 3)

Nata WIrawan 179


Contoh 7- 14

Bila F (x, y, z) = x2y3 + z2+ xyz = 0, carilah

(a) y

x (b)

x

y (c)

z

x

Penyelesaian

Fx = 2xy3 + yz Fy

= 3x2y2 + xz Fz = 2z + xy

(a) y

x = -

F

Fx

y

= -2

3

3

2 2

xy yz

x y xz

(b) x

y = -

F

F

y

x

= - +

+

yzxy2

xzyx3

3

22

(c) dz

dx = -

F

Fzx = -

2

2

3xy yz

z xy

7.5 Aplikasi Turunan Parsial dalam Ekonomi Dalam sub-bab ini akan dibahas mengenai biaya marginal, permintaan

marginal, elastisitas permintaan parsial, elastisitas permintaan silang, fungsi produksi dan produktivitas marginal, teorema Euler, fungsi produksi yang homogen dan Returns to Scale (skala tingkat hasil).

7.5.1 Biaya Marginal (Marginal Cost)

Bila biaya patungan (bersama) untuk memproduksi dua jenis barang dinyatakan oleh

C = f(q1, q2)C adalah biaya patungan, 1q dan 2q masing-masing menyatakan kuantitas barang pertama dan kedua. Maka turunan parsial dari C terhadap 1q dan 2q disebut biaya marginal,

1q

C =

1qC adalah biaya marginal berkenaan dengan 1q

2q

C =

2qC adalah biaya marginal berkenaan dengan 2q

Umumnya biaya marginal adalah positif.

Contoh 7-15

Fungsi biaya patungan untuk memproduksi dua jenis barang dinyatakan oleh:

C = 5 + 3 21q + 1q 2q + 4 2

2q

C = biaya patungan, 1q = kuantitas barang pertama dan 2q = kualitas barang kedua.



Tentukanlah:(a) Fungsi biaya marginal berkenaan dengan 1q .(b) Fungsi biaya marginal berkenaan dengan 2q .(c) Biaya marginal berkenaan dengan q1, pada q1 = 4 dan q2 = 5 dan berikan

interpretasi.(d) Biaya marginal berkenaan dengan q2, pada q1 = 10 dan q2 = 5, dan beri-

kan interpretasi.

Penyelesaian

C = 5 + 3 21q + 1q 2q + 4 2

2q

(a) Fungsi biaya marginal berkenaan dengan 1q

1qC = 6 q1 + q2

(b) Fungsi biaya marginal berkenaan dengan q2

2qC = q1 + 8 q2

(c) Biaya marginal berkenaan dengan q1, pada q1 = 4 dan q2 = 5

1qC = 6 q1+ q2

= 6 (4) + 5 (pada q1 = 4 dan q2 = 5) = 29

Interpretasi. 1qC = 29, artinya bila produksi barang pertama dinaikkan

satu unit (dari 4 unit menjadi 5 unit) sementara produksi barang ke dua dipertahankan (tetap) sebanyak 5 unit, maka biaya produksi akan bertam-bah (meningkat) sebesar 29.

(d) Biaya marginal berkenaan dengan 2q , pada q1 = 4 dan q2 = 5

2qC = q1 + 8q2

= 10 + 8(5) (pada q1 = 10 dan q2 = 5) = 50

Interpretasi. 2qC = 50, artinya bila produksi barang kedua dinaikkan satu

unit (dari 5 unit menjadi 6 unit) sementara produksi barang pertama diper-tahankan (tetap) sebanyak 10 unit, maka biaya produksi akan bertambah (meningkat) sebesar 50.

7.5.2 Permintaan Marginal (Marginal Demand)

Apabila fungsi permintaan dua jenis barang (komoditi) yang berhubungan dinyatakan sebagai,

1q = f( 1p , 2p ) dan 2q = g( 1p , 2p )

1q menyatakan kuantitas barang pertama dan 2q menyatakan kuantitas barang kedua yang diminta, 1p dan 2p masing-masing menyatakan harga per unit barang pertama dan barang kedua. Turunan parsial dari 1q dan 2q terhadap 1p dan 2p berturut - turut disebut fungsi permintaan marginal.

Nata WIrawan 181


Dari fungsi 1q = f( 1p , 2p ) dapat diturunkan

1

1

p

q = permintaan marginal barang pertama terhadap 1p

2

1

p

q = permintaan marginal barang pertama terhadap 2p

Dari fungsi 2q = g( 1p , 2p ) dapat diturunkan

2

2

p

q = permintaan marginal barang ke dua terhadap 2p

1

2

p

q = permintaan marginal barang kedua terhadap 1p

Sesuai dengan hukum permintaan, umumnya 1q akan bertambah bila 1p

turun dan 2q akan bertambah bila 2p turun, dengan demikian 1

1

p

q dan

2

2

p

q

negatif, untuk harga-harga 1p dan 2p yang mempunyai arti ekonomis (p1,

p2 0)

Untuk mengetahui sifat hubungan antara kedua jenis barang, dilihat dari

tanda 2

1

p

q dan

1

2

p

q (Drafer dan Klingman, 1967; Weber, 1982; Haeussler,

et al., 2011) sebagai berikut:

(1) Jika 2

1

p

q dan

1

2

p

q keduanya negatif untuk ( 21 p,p ) tertentu, maka sifat

hubungan kedua jenis barang dinamakan komplementer. Sebab penuru-nan harga salah satu barang mengakibatkan permintaan kedua jenis ba-rang akan naik. Misalnya hubungan antara kendaraan bermotor dengan bahan bakar. Dalam bidang bangunan misalnya hubunga antara semen dan pasir.

(2) Jika 2

1

p

q dan

1

2

p

q keduanya positif untuk ( 21 p,p ) tertentu, maka sifat

hubungan kedua jenis barang dinamakan kompetitif. Sebab penuru-nan harga salah satu barang mengakibatkan permintaan salah satu ba-rang akan naik dan permintaan barang lainnya turun. Misalnya hubungan antara daging sapi dan daging ayam, beras dan jagung.

(3) Jika 2

1

p

q dan

1

2

p

q, mempunyai tanda berlawanan untuk ( 21 p,p ) ter-

tentu, maka sifat hubungan kedua jenis barang tersebut, bukan komple-menter dan bukan juga kompetitif.



Contoh 7- 16

Fungsi permintaan dua jenis barang yang memiliki hubungan dinyatakan sebagai,

1q = 20 - 2 1p - 2p dan 2q = 9 - 3 1p - 5 2p

1q menyatakan kuantitas barang pertama, 2q menyatakan kuantitas barang

kedua, 1p menyatakan harga per unit barang pertama, 2p menyatakan harga per unit barang kedua.

Tentukanlah:(a) Keempat permintaan marginalnya dan berikan interpretasi.(b) Sifat hubungan antara kedua jenis barang tersebut.

Penyelesaian

(a) Dari 1q = 20 - 2 1p - 2p didapat,

1

1

p

q = - 2, artinya bila harga per unit barang pertama naik satu unit maka

kuantitasnya yang diminta turun 2 unit, bila harga per unit ba-rang kedua tetap.

2

1

p

q = -1, artinya bila harga per unit barang kedua naik satu unit maka

kuantitas barang petama yang diminta turun 1 unit, bila harga per unit barang pertama tetap.

Dari 2q = 9 - 3 1p - 5 2p , didapat

1

2

p

q = - 3, artinya bila harga per unit barang pertama naik satu unit maka

kuantitas barang kedua yang diminta turun 3 unit, bila harga per unit barang kedua tetap

2

2

p

q= - 5 artinya bila harga per unit barang kedua naik satu unit maka

kuantitasnya yang diminta turun 5 unit, bila harga per unit ba-rang pertama tetap

(b) Oleh karena 2

1

p

q = -1 < 0 dan

1

2

p

q = - 3 < 0, maka sifat hubungan

kedua barang adalah komplementer.

Contoh 7- 17

Fungsi permintaan dua jenis barang yaitu barang X dan Y yang berhubungan dinyatakan oleh

x = f(p, q) =15 - 2p + q dan y = g(p, q) = 16 + 3p - q

x dan y masing-masing menyatakan kuantitas barang X dan Y, p dan q masing-masing menyatakan harga per unit barang X dan Y.

Nata WIrawan 183


Tentukanlah(a) Keempat permintaan marginalnya.(b) Sifat hubungan kedua jenis barang.

Penyelesaian

(a) Keempat permintaan marginalnya.

Dari fungsi x = f(p, q) =15 - 2p + q didapat

x

p = - 2

x

q = 1

Dari fungsi dan y = g(p, q) = 16 + 3p - q didapat

y

q = - 1

y

p = 3

(b) Oleh karena x

q = 1 > 0 dan

y

p = 3 > 0, maka sifat hubungan kedua

barang tersebut (barang X dan Y) adalah kompetitif.

Contoh 7- 18

Fungsi permintaan dua jenis barang yang berhubungan dinyatakan oleh,

x =42p q

dan y = 2pq

16

x dan y masing–masing menyatakan kuantitas barang X dan Y, p adan q masing-masing menyatakan harga per unit barang X dan Y.

Tentukanlah(a) Keempat permintaan marginalnya.(b) Sifat hubungan kedua jenis barang tersebut.

Penyelesaian

(a) Keempat permintaan marginalnya

x =42p q

= 4p2

q1

y = 2pq

16 = 16p-1q-2

x

p = - 8.p-3 q

1 =

qp

83

y

p = - 16p-2q-2 =

22qp

16

x

q = - 4p -2 q -2 =

22qp

4

y

q = - 32p -1q -3 =

3pq

32

(b) Untuk p dan q yang positif (p dan q yang memiliki arti ekonomis) maka

harga x

q dan

y

p adalah negatif oleh karena

x

q < 0 dan

y

p < 0, maka

sifat hubungan antara kedua barang tersebut adalah komplemen ter.



7.5.3 Elastisitas Parsial

Dalam Bab 9 buku Matematika Ekonomi, telah dipelajari elastisitas dari fungsi univariabel y = f(x), antara lain elastisitas permintaan dan penawaran terhadap harga. Pada bagian ini akan dibahas elastisitas fungsi multivariabel, yang secara umum disebut elastisitas parsial. Ada tiga elastisitas penting yang akan dibahas dalam bagian ini yaitu: (1) elastisitas permintaan terhadap

harga, yaitu elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang akibat pengaruh perubahan harga barang itu sendiri, (2) elastisitas permintaan terhadap pendapatan, yaitu elastisitas yang mengukur perubahan permintaan suatu barang akibat pengaruh perubahan pendapatan konsumen, dan (3) elastisitas silang-permintaan, yaitu elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang akibat pengaruh perubahan harga barang yang lain.

Jika fungsi permintaan terhadap suatu barang dinyatakan dalam bentuk fungsi multivariabel,

1q = f(p1, p2, y)

1q menyatakan kuantitas barang pertama, 1p menyatakan harga per unit barang pertama, 2p menyatakan harga per unit barang yang kedua (barang yang lain), yaitu barang yang penggunaannya berhubungan dengan barang pertama, dan y menyatakan penghasilan atau pendapatan konsumen. Maka ketiga elastisitas yang berupa respon variabel terikat terhadap perubahan variabel bebasnya secara berurutan dapat dirumuskan sebagai berikut:

(Elastisitas permintaan terhadap harga)

1d=

1

1

1

1

q

p.

p

q (7.6)

(Elastisitas perminaan terhadap pendapatan)

y

= 1

1

q

y.

y

q (7.7)

1

2

2

1

q

p.

p

q12= (7.8)

Untuk dapat mengetahui sifat hubungan kedua jenis barang, dapat dilihat dari nilai elastisitas silangnya, dan pemintaan marginal terhadap harga barang yang ditinjau sebagai berikut.

Nata WIrawan 185


(1) Bila nilai dan 2

1

p

q negatif , maka sifat hubungan kedua barang

saling melengkapi/komplementer.

(2) Bila nilai dan 2

1

p

q positif, maka sifat hubungan kedua barang

kompetitif/substitutif.

(3) Bila 2

1

p

q = 0, maka kedua jenis barang tidak ada hubungan atau

bersifat independen.

Contoh 7- 19

Permintaan terhadap daging ayam ditunjukkan oleh fungsi berikut:

y2,0p3p52500q 211

1q = kuantitas daging ayam yang diminta, 1p = harga per unit daging ayam,

2p = harga per unit daging sapi, dan y = pendapatan/penghasilan konsumen. Pada y = 7000, 1p = 100 dan 2p = 200.

Hitunglah:(a) Elastisitas pendapatannya dan berikan interpretasi.(b) Ealastisitas silangnya, berikan interpretasi.(c) Tentukanlah sifat hubungan kedua jenis barang.

Penyelesaian

(a) Elastisitas pendapatan

Dihitung terlebih dahulu 1q pada y = 7000, 1p = 100 dan 2p = 200 sebagai berikut:

y2,0p3p52500q 211

1q = 2500 – 5(100) + 3(200) + 0,2(7000) = 2500 – 500 + 600 + 1400 = 4000

Selanjutnya dari fungsi permintaannya dicari turunan parsial q1 terhadap y, sebagai berikut.

y2,0p3p52500q 211

y

q1 = 0,2

Per rumus (7.6) elastisitas pendapatan dapat dihitung, dan didapat,

y = 1

1

q

y.

y

q



y = 0,2(4000

7000 )

= 0,35

Interpretasi: y = 0,35, memiliki arti bahwa bila pendapatan konsumen naik 1%, maka jumlah daging sapi yang diminta naik 0,35%, apabila harga daging ayam dan daging sapi tetap.

(b) Elastisitas silang

2p = 200, 1q = 4000

y2,0p3p52500q 211 2

1

p

q= 3

Selanjutnya elastisitas silangnya per rumus (7.7) dapat dihitung, dan di-

dapat,

1

2

2

1

q

p.

p

q12=

= 3(4000

200 ) = 1,5

Interpretasi:

= 1,5, memiliki arti bahwa bila harga per unit daging sapi naik 1%, maka kuantitas daging ayam yang diminta naik 1,5 %, apabila harga per unit daging ayam dan penghasilan konsumen tetap.

(c) Sifat hubungan kedua jenis barang

Oleh karena = 1,5 > 0, dan 2

1

p

q= 3 > 0, maka sifat hubungan daging

ayam dan daging sapi adalah komfetitif/substitutif.

7.5.4 Fungsi Produksi

Untuk memproduksi suatu barang diperlukan beberapa input atau faktor produksi seperti: tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, mesin-mesin dan yang lainnya. Jika z merupakan output yang dihasilkan dan xi (i = 1, 2, 3 . . . n) merupakan input-input yang digunakan, maka fungsi produksinya dinyatakan sebagai,

z = f(xi) = f(x1, x2, x3 . . . xn ) (7.9)

Bila sebagian dari inputnya merupakan input tetap dan sebagian lainnya merupakan input variabel (misalkan x1 = x dan x2 = y merupakan input variabel) maka fungsi produksinya berbentuk :

z = f(x, y)

Nata WIrawan 187


z menyatakan kuantitas output Z, x menyatakan kuantitas input X, dan y menyatakan kuantitas input Y.

Turunan parsial pertama z terhadap x disebut produkvitas marginal dari x (= Marginal Physical Productivity dari x dan disingkat MPPx), dan turunan parsial pertama z terhadap y disebut produkvitas marginal dari y (=Marginal Physical Productivity dari y dan disingkat MPPy).

z

x = zx = produktivitas marginal dari x =MPPx

z

y = zy = produktivitas marginal dari y = MPPy

Produktivitas marginal dari setiap masukan (input) menyatakan tingkat pertambahan dari output bila terjadi kenaikan input tertentu sedangkan input lainnya tetap (konstan). Produktivitas marginal biasanya positif untuk rentang (range) yang cukup besar, artinya bila input tertentu bertambah maka output juga bertambah, dengan input yang lainnya tetap (konstan). Tetapi, bila input tertentu terus bertambah, sementara input lainnya tetap, output biasanya bertambah pada tingkat yang semakin menurun sampai mencapai suatu titik tertentu. Di titik itu tidak ada lagi pertambahan output. Sifat fungsi produksi yang demikian itu disebut hukum menurunnya produkvitas marginal (The law

of eventully dimishing marginal productivity ).Untuk z = konstanta tertentu, fungsi produksi z = f(x, y) merupakan suatu

persamaan Isoquant, yaitu kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi penggunaan input X dan input Y yang menghasilkan output Z dalam jumlah yang sama banyak.

Contoh 7- 20

Diketahui fungsi produksi z = - 2x2 + 5xy - 3y2

Tentukanlah :(a) Produktivitas marginal dari x.(b) Produktivitas marginal dari y.

Penyelesaian

(a) zx = - 4x + 5y(b) zy = 5x - 6y

Contoh 7- 21

Diketahui fungsi produksi, z = 8 x34y

12

Tentukanlah:(a) MPPx (b) MPPy

Penyelesaian

(a) MPPx = zx = 6 x14 y

12

(b) MPPy = zy = 4x34 y

12



Contoh 7- 22

Diketahui fungsi produksi untuk barang Q, dengan input K dan L sebagai berikut: q = - 4k2 + 16kl – 2l2

q = kuantitas output Q, k = kuantitas input capital (K), dan l = kuantitas input tenaga kerja (L). Penggunaan faktor produksi/input L tetap sebanyak 2 unit, sedangkan input K berubah-ubah. Berapakah output yang dihasilkan pada saat MPPk = 0?

Penyelesaian

Untuk l = 2, maka q = - 4k2 + 16kl – 2l2

= - 4k2 + 16k(2) – 2(2)2

= - 4k2 + 32k – 8

MPPk = k

q = - 8k + 32

Pada saat MPPk = 0, maka

- 8k + 32 = 0 k = 4

q = - 4(4)2 + 16(4)(2) – 2(2)2

= 56

Jadi, output yang dihasilkan pada saat MPPk = 0 sebanyak 56 unit.

Elastisitas Produksi

Sebuah konsep penting berkaitan dengan fungsi produksi adalah elastisi-tas produksi. Elastisitas produksi adalah elastisitas yang mengukur derajat kepekaan perubahan output akibat pengaruh perubahan salah satu faktor produksinya atau inputnya. Untuk fungsi produksi q = f(x, y), maka elas-tisitas produksi input x dan elastisitas produksi input y, dapat dirumuskan sebagai berikut:

Elastisitas produksi input x Elastisitas produksi input y

x =q

x.

x

q y =q

y.

y

q

(7.10) (7.11)

Contoh 7- 23

Diketahui fungsi produksi untuk barang Q, dengan input K dan L sebagai berikut: q = - 4k2 + 16kl – 2l2

Nata WIrawan 189


q = kuantitas output Q, k = kuantitas input capital (K), dan l = kuantitas input tenaga kerja (L). Berapakah elastisitas produksi input K dan L, bila input K dan L yang digunakan masing-masing sebanyak 1 unit dan 2 unit?

Penyelesaian

Untuk k = 1 dan l = 2, maka q = - 4k2 + 16kl – 2l2

= - 4(1)2 + 16(1)(2) – 2(2)2 = 24

Elastisitas produksi input K

q = - 4k2 + 16kl – 2l2

k

q = - 8k + 16 l

Per rumus (7.10) atau (7.11), elastisitas produksi input K dihitung sebagai berikut:

k =q

k.

k

q

Jadi, k untuk k =1 dan l = 2 adalah

k =q

k.

k

q = (- 8k + 16 l)

q

k

= { }16(2) -8(1)+

24

1

= 1

Elastisitas produksi input L

q = - 4k2 + 16kl – 2l2

l

q = 16k - 4l

Per rumus (7.10) atau (7.11), elastisitas produksi input L dihitung sebagai berikut:

l =q

l.

l

q

Jadi, l untuk k =1 dan l = 2 adalah

l =q

l.

l

q= (16k - 4 l)

q

l

= { }4(2) 16(1) 24

2 =

3

2

7.5.5 Teorema Euler

Apabila fungsi z = f(x, y) mempunyai sifat f( x, y) = n.f(x, y), untuk tiap bilangan , maka z dikatakan fungsi homogen berderajat n. Bila n > 0 maka fungsi z disebut fungsi homogen positif, dan bila n = 1, maka fungsi z dikatakan homogen linear.

Apabila z = f(x, y) adalah homogen positif berderajat n dan turunan parsial pertama ada, maka dapat ditunjukkan bahwa,



)y,x(f.nz.yx.z

atau

)y,x(f.ny

z.y

x

z.x

yx

(7.12)

hubungan (7.12 ) ini disebut Teorema Euler

Contoh 7- 24

Diketahui fungsi produksi z = f(x,y) = 3x5 + 2x3 y2 + 6y5

Tentukanlah derajat kehomogenan fungsi tersebut dan buktikan juga untuk fungsi ini berlaku teori Euler.

Penyelesaian

z = f(x, y) = 3x5 + 2x3 y2 + 6y5

f( x, y) = 3( x)5 + 2( x)3 ( y)2 + 6( y)5

= 3( 5x5 ) + 2 3x3 2 + 6( 5y5 )

= 3 5x5 + 2 5x3y2 + 6 5y5

= 5 (3x5 + 2x3y2 + 6y5)

f( x, y) = 5 (3x5 + 2x3y2 + 6y5) f( x, y) = n f(x, y)

Jadi, derajat kehomogenan fungsi tersebut adalah 5, (n = 5)

Teori Euler menyatakan bahwa:

xzx + yzy = n.f(x, y)

Dari fungsi z = f(x, y) = 3x5 + 2x3 y2 + 6y5, didapat

zx = 15x4 + 6x2y2

zy = 4x3y + 30 y4

x.zx + y.zy = x(15x4 + 6x2y2) + y(4x3y + 30 y4)

= 15x5 + 6x3y2 + 4x3y2 + 30y5

= 15x5 + 10x3y2 + 30 y5

= 5(3x5 + 2x2y2 + 6y5)

= 5 f(x, y)

x.zx + y.zy = n f(x, y) terbukti

Nata WIrawan 191


Contoh 7-25

Tentukanlah derajat kehomogenan fungsi,

z = f(x, y) = xy

x y2 2

Penyelesaian

f( x, y)= ( )( )

( ) ( )

x y

x y2 2

= 2222

2

yx

xy

+ =

2

2 2 2

( )

( )

xy

x y

= xy

x y( )2 2 = o xy

x y( )

2 2

= o f(x,y)

f( x, y) = o xy

x y( )

2 2 f( x, y) = n f(x, y)

Jadi, derajat homogenitas fungsi tersebut adalah nol, (n = 0).

7.5.6 Fungsi Produksi Homogen

Dalam teori ekonomi, fungsi produksi sering dianggap homogen linear (homogen berderajat satu). Bila fungsi z = f(x, y) homogen linear, maka menurut teori Euler, untuk fungsi tersebut berlaku hubungan seperti rumus (7.12). Rumus (7.2) ditulis kembali,

xx

Sumbangantotal faktor x

. + yZ

y

Sumbangantotal faktor y

. = n.f(x, y)

Artinya produksi (output total) sama dengan jumlah perkalian masing-masing input dengan produktivitas marginalnya. Teori Euler memainkan peranan penting dalam teori produktivitas marginal tentang distribusi. Asumsi dasar dari teori produktivitas marginal tentang teori distribusi adalah setiap faktor produksi dibayar sepadan dengan produktivitas secara penuh. Teori Euler telah menunjukkan bahwa kondisi (syarat) seperti itu terpenuhi oleh fungsi produksi homogen linear (n = 1). Jadi, dalam analisis yang didasarkan pada teori produktivitas marginal tentang distribusi, maka fungsi produksi umumnya dianggap linear homogen.

Untuk fungsi produksi yang homogen yang berderajat n, setiap input memperoleh balas jasa sesuai dengan produktivitas marginalnya. Itu berarti bila n > 1, output total akan melebihi balas jasa. Bila n < 1, output total akan lebih kecil dari balas jasa. Bila n = 1, output total akan sama dengan balas jasa (Draper dan Klingman, 1967; Weber, 1982).

7.5.7 Skala Tingkat Hasil (Return to Scale)

Return to scale menggambarkan perubahan dalam output dengan



pertambahan proporsional dari input. Bila output bertambah (meningkat) dengan proporsi yang sama dengan proporsi penambahan pada input secara keseluruhan, maka disebut Constant return to scale (skala tingkat hasil yang tetap). Bila output bertambah dengan proporsi yang lebih besar dari proporsi penambahan seluruh inputnya, maka disebut Increasing return to

scale (skala tingkat hasil yang meningkat), dan bila output bertambah dengan proporsi yang lebih kecil dari proporsi penambahan seluruh inputnya disebut decreasing return to scale (skala tingkat hasil yang menurun).

Return to scale, secara mudah dapat ditentukan dalam fungsi produksi yang homogen berderajat n, sebagai berikut (Draper dan Klingman, 1967; Weber, 1982):

Bila n = 1, terjadi tingkat skala hasil yang konstanBila n > 1, terjadi tingkat skala hasil yang meningkatBila n < 1, terjadi tingkat skala hasil yang menurun

Contoh 7- 26

Tentukanlah derajat kehomogenan dan sifat “skala tingkat hasilnya” dari fungsi produksi berikut ini.

(a) z = 3x3 + 5xy2 + y3

(b) z = 14 20

x y

Penyelesaian

(a) z = f(x, y) = 3x3 + 5xy2 + y3

f( x, y) = 3( x)3 + 5( x)( y)2 + ( y)3

= 3 3x3 + 5 3xy2 + 3y3

= 3 (3x3 + 5xy2 + y3)

= 3 f(x, y)

f( x, y) = n f(x, y) n = 3

Jadi, derajat kehomogenan (homogenitas) fungsi tersebut adalah 3, oleh karena n = 3 > 1, maka sifatnya adalah increasing return to scale.

(b) z = f(x, y) = 14 20

x y

f( x, y) = 14 20

( ) ( )x y

= 1

(14 20

x y)

= 1 (14 20

x y)

= 1 f(x, y)

f( x, y) = n f(x, y) n = -1

Nata WIrawan 193


Jadi, derajat kehomogenan (homogenitas) fungsi tersebut adalah minus satu (-1), oleh karena n = -1< 1, maka sifatnya adalah decreasing return

to scale.

Contoh 7-27

Fungsi produksi Cobb-Douglas untuk perekonomian secara keseluruhan dinyatakan sebagai,

z = axb yc

z menyatakan produksi total, x menyatakan kuantitas tenaga kerja dan y menyatakan kuantitas modal (kapital), sementara a, b dan c adalah bilangan konstan. Biasanya diasumsikan b + c = 1. Periksalah apakah fungsi tersebut homogen dan bila ya, berderajat berapa fungsi tersebut. Tentukan pula “ skala return to scale “ nya.

Penyelesaian

z = f(x, y) = axb yc

f( x, y) = a( x)b ( y)c

= a bxb . cyc

= b c (axbyc)

= (b+c) (axb yc)

= 1 (axb yc)

f( x, y) = 1 (axb yc) f( x, y) = n f(x, y)

Oleh karena fungsi memenuhi aturan f( x, y) = n f(x, y), maka fungsi tersebut adalah fungsi homogen. Nilai n = 1, maka fungsi tersebut berder-ajat 1 dan sifatnya adalah “constant return to scale “.

7.5.8 Fungsi Utilitas

Seorang konsumen umumnya mengkonsumsi lebih dari satu jenis barang. Jika U merupakan kepuasan konsumen dan Xi (i = 1, 2, 3, . . . n) merupakan kuantitas beberapa (n) jenis barang yang dikonsumsi, maka fungsi utilitas dapat dinyatakan sebagai:

U = f(xi) = f(x1, x2, x3 . . . xn) (7.13)

Bila seorang konsumen hanya mengkonsumsi dua jenis barang yaitu barang X1 dan X2 (misalkan kuantitas X1, yaitu x1 = x dan kuantitas X2,yaitu x2 = y ) maka fungsi utilitasnya berbentuk:

u = f(x, y)

Turunan parsial pertama dari fungsi u ini terhadap x dan y masing-masing disebut ulitilitas marginal dari x dan utilitas marginal dari y.



x

u = ux = Utilitas marginal dari x

y

u= uy = Utilitas marginal dari y

Untuk u = bilangan konstan tertentu, fungsi utilitas u = f(x, y) merupakan suatu persamaan kurva indeferens (indeference curve), yaitu kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi konsumsi barang X dan Y yang memberikan tingkat kepuasan yang sama.

Contoh 7- 28

Fungsi kepuasan total seseorang dalam mengkonsumsi barang X dan Y diperlihatkan oleh:

u = 50x + 30y - 4xy - 6x2 - 2y2 + 4

u = kepuasan konsumen, x = kuantitas barang X dan y = kuantitas barang Y yang dikonsumsi

Tentukanlah(a) Utilitas marginal dari x dan dari y.(b) Besarnya utilitas marginal dari x dan besarnya utilitas marginal dari y, bila

konsumen mengkonsumsi 2 unit barang X dan 5 unit barang Y.

Penyelesaian

(a) ux = 50 - 4y - 12x uy

= 30 - 4x - 4y

(b) Bila x = 5 dan y = 2, maka ux = 50 - 4y - 12x = 50 - 4(5) - 12 (2) = 6

uy = 30 - 4x - 4y

= 30 - 4(2) - 4(5) = 2.

Nata WIrawan 195


Soal-soal Latihan

7 - 1 Carilah zx, zy, zxx, zyy, zxy dan zyx fungsi- fungsi di bawah ini :

(a) z = 2x2 + 3xy + 5y2 (d) z = x3 + 5xy - y2

(b) z = x2 + 2xy + y2 + 8 (e) z = 3x2 + x2y – 5y2

(c) z = ln(x2 + xy) (f) z = yx

x2

2

7 - 2 Carilah turunan parsial pertama dan turunan parsial kedua dari fungsi-fungsi di bawah ini:(a) f(x, y) = 3x2 - 2y2 - 4xy2

(b) f(x, y) = xy

(c) f(x, y, z) = 3z2 + 2xyz + 3xy2 + y4

(d) f(x, y, z ) = x2 – 3xy –3xz + 2y3

(e) f(x, y, z) = 5xyz – x2y + y2z

7- 3 Carilah dy

dx untuk fungsi implisit di bawah ini:

(a) x3 + y3 - 1 = 0

(b) x2y2 + xy - 10 = 0

(c) x2 + xy = a2

(d) f(x, y) = x3 - 5xy + 4y3 = 0

(e) x3 + 2x2y + 4y =15 , pada x = 1 dan y = -1

7- 4 Carilah x

z,

y

z,

x

y dari fungsi implisit di bawah ini:

(a) F(x, y, z) = x2 - 3xy + zy2 + 3z2 = 0 (b) F(x, y, z) = 3x2 + xyz –xy +2yz – 5z2 = 0 (c) F(x, y, z) = x2 - 3xy + 5z2 = 0 (d) F(x, y, z) = 5x3 + x2y – 6y2 = 0

7- 5 Carilah differensial total dari fungsi:(a) u = 2x2 - 3xy + 4y2 (d) z = 3x2 + 2xy + y2

(b) z = 5x3 + 3y2 (e) z = 5x2 + xy - 3y2

(c) u = x2 - 3xy + 5y2

7- 6 Carilah turunan total dari: (a) u = x2 + 5y2 dengan x = 2t dan y = t + 5 (b) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 2z3 dengan x = 3t, y = t + 1dan z = 2t + 3 (c) u = x3 + 3xy + 5y2 dengan x = t + 2, y = 2t pada x =1 dan y= 2 (d) u = x2 + y2 + z2 dengan x = 2t, y = t dan z = t2

(e) F(x, y, z) = 5x2 + y2 + 3z3 dengan x = 4t, y =2 t + 1dan z = t + 3



7- 7 Fungsi biaya patungan untuk memproduksi barang X dan Y adalah : c = 10 + 3x2 + xy + 7y2

c = biaya patungan, x = kuantitas barang X, y = kuantitas barang Y.(a) Tentukanlah biaya marginal terhadap x dan terhadap y.(b) Pada x = 2, dan y = 5, tentukanlah kedua biaya marginalnya, dan

berikan interpretasi.

7- 8 Tentukanlah produktivitas marginal z = terhadap x dan y dari fungsi produksi berikut: (a) z2 + 4x2 + 5y2 - 12xy = 0(b) 4z2 + 8x2 + 12y2 - 20xy = 0x = kuatitas input X, y = kuantitas input Y dan z = kuantitas output Z

7- 9 Fungsi permintaan dari dua jenis barang yaitu barang X dan Y yang memiliki hubungan dinyatakan oleh pasangan fungsi-fungsi berikut:(a) x = 15 - 2p + q dan y = 16 + p - q(b) x = 5 - 2p + q dan y = 8 - 2p - 3q(c) x = 30 - 3p - 2q dan y = 18 - p - q

x dan y masing-masing menyatakan kuantitas barang X dan barang Y. p dan q masing-masing menyatakan harga per unit barang X barang Y.Tentukanlah:(1) Keempat permintaan marginal bagi fungsi-fungsi permintaan di

atas dan berikan interpretasi.(2) Sifat hubungan antara barang X dan Y .

7- 10 Untuk masing-masing fungsi produksi di bawah ini, carilah produktivitas marginalnya yaitu MPPx dan MPPy (z menyatakan kuantitas output Z, x menyatakan kuntitas input X, y menyatakan kuantitas input Y)(a) z = 5xy - 2x - 2y2 pada x = 1 y = 1.(b) z = 4xy - x2 - 5y2 pada x = 1 y = 2(c) F(x, y, z) = 6z3 – z2 - 6x - 24y + x2 + 4y2 + 100 = 0

7- 11 Kepuasan seorang konsumen dalam mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas, u = x2y + 2xy. Bila konsumen tersebut mengkonsumsi barang X sebanyak 2 unit dan barang Y sebanyak 3 unit.

Tentukanlah:(a) Besarnya utilitas marginal dari x.(b) Besarnya utilitas marginal dari y.

7- 12 Tentukanlah elastisitas produksi input K dan L, bagi fungsi produksi

berikut: q = 3

4

4

1

lk , serta berikan interpretasi.

7-13 Fungsi permintaan terhadap sejenis barang ditentukan oleh persamaan qd = 700 - 2 dp + 0,1y

qd menyatakan kuantitas barang yang diminta, pd harga per unit barang dan y pendapatan konsumen. Pada qd = 75, dan y = 500.

Nata WIrawan 197


(a) Hitunglah elastisitas permintaannya dan berikan interpretasi.(b) Hitunglah elastisitas pendapatannya dan berikan interpretasi

7-14 Permintaan akan barang A ditunjukkan oleh fungsi permintaan berikut: qa= 4500 - 2 pa+ 2,5 pb + 0,2 y

qa = kuatitas barang A yang diminta, pa = harga per unit barang A, pb = harga per unit barang B dan y = pendapatan konsumen. Pada y = 2500, pa = 50 dan pb = 2500(a) Hitunglah elastisitas pendapatannya, dan berikan interpretasi.(b) Hitunglah elastisitas silangnya, dan berikan interpretasi.(c) Tentukan sifat hubungan barang A dan B (kompetitif/substitutif atau

komplementer).

7-15 Permintaan akan barang A ditunjukkan oleh fungsi permintaan berikut, qa = 8250 - 3 pa + 5 pb + 0,03 y

qa menyatakan kuatitas barang A yang diminta, pa menyatakan harga per unit barang A, pb menyatakan harga per unit barang B dan y menyatakan pendapatan konsumen. Pada y = 10.000, pa = 100 dan pb = 50(a) Hitunglah elastisitas pendapatannya, dan berikan interpretasi.(b) Hitunglah elastisitas silangnya, dan berikan interpretasi.(c) Tentukanlah sifat hubungan barang A dan B.

7- 16 Fungsi permintaan dari dua jenis barang yaitu barang X dan Y yang memiliki hubungan dinyatakan oleh pasangan fungsi-fungsi berikut:

(a) x = a pqe dan y = d qpe ( a > 0, d > 0)

(b) x = pq

4 dan y =

pq

16

(c) x = 10 - 3p + q dan y = 15 + p - 2q

x menyatakan kuantitas barang X, y menyatakan kuantitas barang Y, p menyatakan harga per unit barang X dan q menyatakan harga per unit barang Y.

Tentukanlah:(1) Keempat permintaan marginal bagi fungsi-fungsi permintaan di

atas, dan berikan interpretasi.(2) Sifat hubungan antara barang X dan Y.

7- 17 Periksalah apakah fungsi-fungsi produksi di bawah ini bersifat homogen? Bila, ya. Tentukanlah derajat homogenitas dan “return to

scale “ nya.

(a) f(x, y) = 22 yx

xy

(b) z = 25 y6 - x2 y4

(c) z = 25y6 – x2y4

(d) f(x, y) = 3x3 + 5xy2 + y3

(e) z = 2

3

yx

yx


OPTIMISASI FUNGSI

MULTIVARIABEL DAN APLIKASINYA


8.1 PengantarDalam dunia nyata kebanyakkan suatu variabel ekonomi tergantung dan

dipengaruhi oleh lebih dari satu variabel ekonomi lainnya. Misalnya, kuantitas barang yang diminta oleh pembeli/konsumen antara lain tergantung dari: harga barang itu sendiri, harga barang yang dapat menggantikannya, selera konsumen, penghasilan/pendapatan konsumen. Output suatu perusahaan antara lain, tergantung dari tenaga kerja dan modal/kapital. Konsumsi seseorang, antara lain, tergantung dari harga barang yang akan dikonsumsi dan penghasilan orang yang bersangkutan.

Dalam bab ini akan dibahas mengenai optimisasi (maksimisasi atau minimisasi) dari suatu fungsi multivariabel, khususnya fungsi dengan dua variabel bebas yaitu z = f(x, y), baik tanpa kendala maupun dengan kendala, berserta aplikasinya dalam ekonomi dan bisnis. Untuk dapat memahami dengan baik materi bab ini, diperlukan pengetahuan yang memadai tentang turunan parsial.

Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan dapat memahami optimisasi fungsi multivariabel dan mengaplikasinya dalam ekonomi-bisnis.

8.2 Optimisasi Fungsi Multivariabel Tanpa KendalaSuatu fungsi multivariabel z = f(x, y) akan memiliki titik kritis/titik ekstrem

relatif bila dipenuhi syarat- syarat sebagai berikut:

OO

MMM

DD

Nata WIrawan 199

8. OPTIMISASI FUNGSI MULTIVARIABEL DAN APLIKASINYA DALAM EKONOMI-BISNIS

(1) Syarat perluTurunan parsial pertama harus sama dengan nol secara simultan. Ini

menjamin bahwa pada satu titik tertentu fungsi tersebut tidak menaik atau menurun.

z

xzx 0

z

yzy 0 (8.1)

(2) Syarat yang mencukupi(i) Selisih hasil kali dari turunan-turunan parsial langsung kedua dengan

kuadrat parsial silangnya yang dievaluasi pada titik kritis, nilainya harus positif. Ini menjamin bahwa fungsi tersebut harus ada pada suatu optimum apabila dipandang dari segala arah, dan tidak hanya dalam hubungannya dengan sumbu-sumbu utama.

(ii) Turunan–turunan parsial kedua apabila dievaluasi pada titik kritis, harus positif untuk minimum, dan negatif untuk maksimum. Ini menjamin bahwa pada titik kritis, fungsi tersebut bergerak ke atas terhadap sumbu-sumbu utama dalam hal minimum, dan bergerak ke bawah terhadap sumbu-sumbu utama dalam hal maksimum.

Kedua syarat mencukupi tersebut, dapat dinyatakan dalam bentuk rumus,

0y.x

z

y

z

x

z2

2

2

2

2

2

(8.2)

= (zxx)(zyy) - (zxy)2 Memiliki ekstrem maksimum/minimum

dan bila

(i) 2

20

z

xzxx ,

2

20

z

yzyy , Ekstremnya maksimum

(ii) 2

20

z

xzxx ,

2

20

z

yzyy , Ekstremnya minimum

Selanjutnya bagaimana kalau nilai 0? Kalau nilai 0 berlaku aturan berikut.

0 fungsi memiliki titik pelana atau titik belok, dan bila(i) Tanda nilai zxx dan zyy adalah sama titik kritis tersebut adalah titik

belok.(ii) Tanda nilai zxx dan zyy berlawan titik kritis tersebut adalah titik

pelana (sadle point).0 Pengujian gagal, tidak ada keputusan, fungsi harus diselidiki

disekitar titik kritis.

Di bawah ini disajikan berturut-turut titik minimum (Gambar 8.1a), titik maksimum (Gambar 8.1b), dan titik sadel (Gambar 8.1c) suatu fungsi pada titik asal.



z

o x y

(a) minimum pada 0

z y

x o

(b) maksimum pada 0

z

0

x

y

(c) titik sadel pada 0

Gambar 8.1

Contoh 8-1

Diketahui : z = - 6x2 + 50x - 4xy + 30y - 2y2 + 4Pertanyaan:(a) Tentukanlah titik kritis dan nilai kritis fungsi.(b) Ujilah nilai kritis tersebut maksimum atau minimum.

Penyelesaian

(1) Syarat perlu/Syarat primer zx = 0 zx

= - 12x + 50 - 4y 0 = - 12 x + 50 - 4y (1) zy

= 0 zy = - 4x + 30 - 4y 0 = - 4x + 30 - 4y (2)

Dari (1) dan (2) didapat - 12 x + 50 - 4y = 0 - 4 x + 30 - 4y = 0 _

- 8x + 20 = 0 8x = 20

x = 52

Nata WIrawan 201


Bila x = 52

dimasukkan pada (1) atau (2) didapat nilai y sebagai berikut:

- 12x + 50 - 4y = 0 (1)

- 12( 52

) + 50 - 4y = 0

- 30 + 50 - 4y = 0 y = 5

Titik kritis adalah (x, y ) = ( 52

, 5 ).

Nilai kritis fungsi

Bila nilai x = 52

dan y = 5 dimasukkan ke dalam fungsi asal z = f(x, y)

didapat nilai kritis fungsi sebagai berikut:

(x, y) = ( 52

, 5 ) z = - 6x2 + 50x - 4xy + 30y - 2y2 + 4

= - 6 ( 52

)2 + 50 ( 52

) - 4( 52

)(5) + 30(5) - 2(5)2 + 4

= 141,5

(2) Syarat yang mencukupi/Syarat skunder zxx = - 12, zyy = - 4, dan zxy = - 4

= zxx . zyy - (zxy)2

= (-12) (- 4) - (- 4)2

= 32 > 0 memiliki titik kritis maksimum atau minimum

Oleh karena nilai = 32 > 0 , dan zxx = - 12 < 0 , zyy = - 4 < 0, maka titik kritis tersebut adalah maksimum.

Jadi,

(a) Titik kritis fungsi tersebut adalah (x, y) = ( 52

, 5) Nilai kritis fungsi z tersebut = 141,5.(b) Nilai kritis fungsi tersebut adalah maksimum.

Contoh 8-2

Tentukanlah nilai ekstrem dan jenisnya dari fungsi,z = x2 + xy + 2y2 + 5

Penyelesaian

(1) Syarat perlu zx = 0 zx = 2x + y 2x + y = 0 (1) zy = 0 zy = x + 4y x + 4 y = 0 (2)

Dari (1) dan (2) didapat 2x + y = 0 x + 4y = 0 _ (kalikan 2) 0 - 7y = 0 y = 0



Bila nilai y = 0 dimasukkan pada (1) atau pada (2) diperoleh nilai x sebagai berikut:

2x + y = 0 2x + 0 = 0 2x = 0 x = 0 Titik kritis adalah (x, y) = (0, 0 )

Nilai kritis/ekstrem fungsi

Bila nilai x = 0 dan y = 0 dimasukkan ke dalam fungsi asal z = f(x,y) diperoleh nilai fungsi z sebagai berikut:

(x, y) = (0, 0) z = x2 + xy + 2y2 + 5 = (0)2 + (0)(0) + (0)2 + 5 = 5

(2) Syarat yang mencukupi zxx = 2, zyy = 4 dan zxy = 1

= (zxx)(zyy) - (zxy )2

= (2)(4) - (1)2 = 7 > 0 ektremnya maksimum/minimum

Oleh karena nilai = 7 > 0, dan zxx = 2 > 0, zyy = 4 > 0, maka titik eks-tremnya adalah minimum.

Jadi, nilai ekstrem fungsi tersebut adalah 5 dan jenis ekstremnya adalah minimum.

Contoh 8- 3

Diketahui fungsi: z = 5x2 - 30x + 4xy - 3y2 + 7yPeriksalah apakah fungsi tersebut mempunyai titik maksimum, titik minimum, titik belok atau titik pelana?

Penyelesaian

(1) Syarat perlu zx = 0 zx = 10x - 30 + 4y 10x - 30 + 4 y = 0 (1) zy = 0 zy = 4x - 6y + 7 4x + 7 – 6y = 0 (2)

Dari (1) dan (2) didapat 10x - 30 + 4y = 0 (kalikan 3) 4x + 7 - 6y = 0 + (kalikan 2) 38x - 76 = 0 38x = 76 x = 2 Bila nilai x = 2 dimasukkan pada (1) atau pada (2) diperoleh nilai y

sebagai berikut: 10x - 30 + 4 y = 0 (1) 10 (2) - 30 + 4y = 0

Nata WIrawan 203


- 10 + 4y = 0 4y = 10

y = 104

y = 52

(2) Syarat yang mencukupi:

zxx = 10, zyy = - 6, dan zxy = 4

= (zxx) (zyy) - (zxy)2

= (10) (- 6) - (4)2

= - 76 < 0 Fungsi memiliki titik pelana/belok.

Oleh karena nilai = - 76 < 0 serta zxx = 10 dan zyy = - 6 berlawanan

tanda, yaitu Zxx bertanda positip dan nilai Zyy bertanda negatif, maka titik

kritisnya yaitu titik (x, y) = (2, 52

) adalah titik pelana.

Contoh 8- 4

Diketahui fungsi, z = 48y - 3x2 - 6xy - 2y2 + 72xPeriksalah apakah fungsi tersebut memiliki titik maksimum, titik minimum, titik belok atau titik pelana.

Penyelesaian

(1) Syarat perlu zx = 0 - 6x - 6 y + 72 = 0 (1) zy = 0 - 6x - 4 y + 48 = 0 _ (2) - 2y + 24 = 0 y = 12 Bila nilai y = 12 dimasukkan pada (1) atau pada (2) diperoleh nilai x se-

bagai berikut: - 6x - 6 y + 72 = 0 - 6x - 6 (12) + 72 = 0 6x = 0 x = 0

(2) Syarat yang mencukupi: zxx = - 6, zyy = - 4, zxy = - 6

= (zxx)(zyy) - (zxy )2 = (-6) (- 4) - ( - 6)2

= - 12 < 0



Oleh karena nilai = - 12 < 0 , serta tanda nilai zxx dan zyy adalah sama yaitu sama-sama negatif, maka titik (x, y) = (0, 12) adalah titik

belok.

Contoh 8- 5

Diketahui fungsi z = x3 + x2 - xy + y2 + 4. Periksalah apakah fungsi tersebut memiliki titik maksimum atau minimum? Bila ya, tentukan jenis ekstremnya.

Penyelesaian

(1) Syarat perlu zx = 0 3x2 + 2x - y = 0 (1) zy = 0 - x + 2y = 0 x = 2y (2) Dari (2) dan (1) didapat, 3x2 + 2x - y = 0

3(2y)2 + 2(2y) - y = 0

12y2 + 4y - y = 0

12y2 + 3y = 0

3y (4y + 1) = 0

3y = 0 y1 = 0

4y + 1 = 0 y2 = - 14

Selanjutnya bila nilai y1 = 0 dan nilai y2 = - 14

masing-masing dimasuk-kan ke dalam persamaan (1) atau (2) didapat nilai x sebagai berikut:

Pada y1 = 0 didapat, (x1, y1) = (0, 0).

Pada y2 = - 14

didapat,

x = 2y

= 2(- ) x = - 14 2

12

(x2, y2 ) = (- 12

, - 14

)

(2) Syarat yang mencukupi zxx = 6x + 2, zyy = 2, zxy = - 1

Untuk y 1 = 0 dan x1 = 0, diperoleh zxx = 6(0) + 2 = 2 > 0, zyy = 2 > 0 dan zxy = - 1

= (zxx)(zyy) - (zxy )2

= (2)( 2) - ( - 1)2 = 3 > 0

Oleh karena zxx = 2 > 0, zyy = 2 > 0 dan > 0 , maka fungsi z = f(x, y) memiliki titik ekstrem pada (x, y) = (0, 0) dan jenis ekstremnya adalah minimum. Dengan nilai ekstrem, z = f(0, 0) = (0)3 + (0)2- (0)(0) + (0)2 + 4 = 4

Nata WIrawan 205


Untuk x2 = - 12

dan y2 = - 14

, diperoleh

zxx = 6(- 12

) + 2 = -1, zyy = 2, dan zxy = - 1

= (-1) (2) - ( - 1)2 = - 3 < 0

Oleh karena nilai = - 3 < 0, serta tanda nilai zxx = -1 dan zyy = 2 berla-

wanan, maka titik (x, y) = ( - 12

, - 14

) adalah titik pelana (sadle point), jadi

bukan titik maksimum atau minimum.

Jadi, fungsi tersebut di samping memiliki ekstrem yang minimum pada

(0, 0), juga memiliki titik pelana pada (- 12

, - 14

)

8.3 Optimisasi Fungsi Multivariabel Dengan KendalaUntuk menentukan ekstrem maksimum atau minimum (optimisasi) fungsi

multivariabel dengan kendala (pembatas), di bawah ini akan dikemukakan dua metode yaitu metode “ Lagrange multiplier “ (pengganda Lagrange) dan syarat Kedua metode ini digunakan untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi yang merupakan gabungan antara fungsi asal (fungsi yang akan dimaksimumkan atau yang akan diminimumkan) dengan fungsi kendalanya. Kendalanya dapat saja berbentuk suatu persamaan atau pertidaksamaan.

Bila kendalanya berbentuk persamaan, optimisasi umumnya diselesaikan dengan metode pengganda Lagrange. Bila kendalanya berbentuk pertidaksamaan optimisasi umumnya diselesaikan dengan syarat Khun–

dapat juga digunakan untuk menentukan optimisasi suatu fungsi dengan kendala pertidaksamaan (lihat Sub Subbab 8.3.2).

8.3.1 Metode Lagrange Multiplier

Untuk mencari harga ekstrem suatu fungsi multivariabel berkendala dengan metode pengganda/pengali Lagrange, prosedurnya adalah sebagai berikut (Weber, 1982; Chiang dan Wainwright, 2005):

Misalkan: Fungsi obyektif : z = f(x, y) Fungsi kendala : g(x, y) = 0

Maka: Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = f(x, y) - .g(x, y) (8.3)

Agar fungsi F(x, y, ) memiliki titik ekstrem/kritis harus dipenuhi syarat:

1) Syarat perlu

Turunan parsial pertama dari fungsi F(x, y, ) masing-masing terhadap x, y dan disamakan dengan nol.



(1) 0==xF

x

F

(2) 0== yFy

F (8.4)

(3) 0),(0 === yxgFF

2) Syarat yang mencukupi = (F xx)(Fyy) - (Fxy)2 > 0 ektrem maksimum atau minimum

Selanjutnya bila,(i) F xx > 0, Fyy > 0 ekstrem minimum(ii) F xx < 0, Fyy < 0 ekstrem maksimum

Bila = F xx. Fyy - (Fxy)2 Pengujian gagal, fungsi harus diseli-diki disekitar titik ekstrem/kritis.

Penyelesaian simultan persamaan (1), (2) dan (3), akan didapat nilai x, y dan yang memenuhi ketiga persamaannya. ( = pengganda Lagrange). Nilai ekstrem fungsi akan didapat dengan memasukkan nilai x dan y ke dalam fungsi asal.

Berbeda dengan optimisasi suatu fungsi tanpa kendala, pada optimisasi suatu fungsi tanpa kendala, bila nilai < 0, maka titik kritis tersebut bukan titik maksimum atau minimum. Tetapi pada optimisasi suatu fungsi dengan kendala, bila nilai < 0, maka titik kritis tersebut merupakan titik maksimum atau minimum (perlu diselidiki lebih lanjut di sekitar titik kritis).

Untuk persamaan (8.3), jika fungsi kendala dinyatakan sebagai g(x, y) = k k - g (x, y) = 0, maka fungsi Lagrangenya berbentuk, F(x, y, ) = f(x, y) + k - g(x,y) . Yang berubah adalah tanda pengganda Lagrange ( ) dari negatif ke positif. Perubahan tanda dari pengganda Lagrange ini tidak mempengaruhi nilai variabel bebas (x dan y) yang dicari.

Contoh 8- 6

Diketahui fungsi : z = 6x2 + 3y2 dengan kendala : 2x + 3y = 22Tentukanlah nilai ekstrem dan jenis ekstrem fungsi tersebut.

Penyelesaian Fungsi obyektif (asal) : z = 6x2 + 3y2

Fungsi kendala : 2x + 3y = 22 2x + 3y - 22 = 0Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = 6x2 + 3y2 - (2x + 3y - 22)

Fungsi tersebut memiliki titik ekstrem dengan syarat:1) Syarat perlu Fx = 0 12x - 2 = 0 (1) Fy = 0 6y - 3 = 0 (2)

F = 0 2x + 3y - 22 = 0 (3)

Nata WIrawan 207


Dari (1) dan (2) didapat,12x - 2 = 0 (kalikan 3) 6y - 3 = 0 (kalikan 2)36x -12y = 0 3x - y = 0 y = 3x (4)

Dari (3) dan (4) didapat,2x + 3y - 22 = 02x + 3(3x) - 22 = 0 2x + 9x = 22 11x = 22 x = 2Bila x = 2 dimasukkan ke dalam (4) didapat nilai y sebagai berikut: y = 3x (4) = 3(2) = 6

(2) Syarat yang mencukupi:Fxx = 12, Fyy = 6 dan Fxy = 0

= (F xx)(Fyy) - (Fxy)2

= (12) (6) - (0)2 = 72 > 0

Oleh karena nilai = 72 > 0, dan Fxx > 0, Fyy > 0, maka fungsi tersebut memiliki titik ekstrem dan jenis ekstremnya adalah minimum.

Dengan memasukkan x = 2 dan y = 6 ke dalam fungsi asal z = f(x, y) didapat nilai ekstremnya.z = f(x, y) = 6x2 + 3y2

z = f(2, 6) = 6(2)2 + 3(6)2

= 24 + 108 = 132

Jadi, nilai ekstrem fungsi tersebut adalah z = 132, dan ekstremnya mini-mum.

Catatan : Bila dihitung nilai - nya , masukkan nilai x = 2 dan y = 6, kedalam persamaan (1) atau (2) didapat : 12x - 2 = 0 12(2) - 2 = 0 = 12.

Contoh 8- 7

Diketahui fungsi z = - 2x2 + 4xy - 4y2 + 64x + 32y - 14Kendala: x + y = 50Tentukanlah nilai ekstrem fungsi dan jenis ekstremnya.



Penyelesaian Fungsi obyektif (asal) : z = - 2x2 + 4xy - 4y2 + 64x + 32y - 14Fungsi kendala : x + y = 50 x + y - 50 = 0Fungsi Lagrange : F( x, y, ) = - 2x2 + 4xy - 4y2 + 64x + 32y - 14

- (x + y - 50)

Fungsi tersebut memiliki titik ekstrem dengan syarat:(1) Syarat perlu Fx = 0 - 4x + 4y + 64 - = 0 (1) Fy = 0 4x - 8y + 32 - = 0 (2) F = 0 x + y - 50 = 0 (3)

Dari (1) dan (2) didapat, - 4x + 4y + 64 - = 0 4x - 8y + 32 - = 0 -8x + 12y + 32 = 0 (4)

Dari (3) dan (4) didapat, x + y - 50 = 0 (kalikan 8) - 8x + 12y + 32 = 0 + 20y - 368 = 0 y = 18,4 Bila nilai y = 18,4 dimasukkan ke dalam (3) didapat nilai x sebagai

berikut: x + y - 50 = 0 x + 18,4 - 50 = 0 x = 31,6

(2) Syarat yang mencukupi: Fxx = - 4 , Fyy = - 8 dan Fxy = 4


= (- 4) (- 8) - (4)2

= 32 - 16 = 16 > 0

Oleh karena nilai = 16 > 0, dan Fxx < 0 , Fyy < 0, maka titik ekstrem-nya adalah maksimum.

Dengan memasukkan x = 31,6 dan y = 18,4 kedalam fungsi obyektif asal z = f(x, y) akan diperoleh nilai ekstrem fungsi itu sebagai berikut:

z = f(x, y) = - 2x2 + 4xy - 4y2 + 64x + 32y - 14

z = (31,6, 18,4) = - 2(31,6)2 + 4(31,6) (18,4) - 4(18,4)2 + 64 (31,6)

+ 32(18,4) - 14 = 1571,6

Jadi, nilai ekstrem fungsi adalah z = 1571,6 dan jenis ekstremnya adalah maksimum.

Nata WIrawan 209


Contoh 8- 8

Diketahui fungsi z = x2 - xy + y2 dengan kendala x + y = 18Tentukanlah nilai ekstrem fungsi tersebut dan jenis ekstremnya.

Penyelesaian

Fungsi obyektif : z = x2 - xy + y2 Fungsi kendala : x + y = 18 x + y - 18 = 0Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = x2 - xy + y2 - (x + y - 18)

Fungsi tersebut memiliki ekstrem dengan syarat : (1) Syarat perlu Fx = 0 2 x - y - = 0 (1) Fy = 0 - x + 2y - = 0 (2) F = 0 x + y - 18 = 0 (3)

Dari (1) dan (2) didapat, 2x - y - = 0 - x + 2y - = 0 _ 3x - 3y = 0 x = y (4) Dari (3) dan (4) didapat, nilai x sebagai berikut: x + y - 18 = 0 x + x - 18 = 0 2x = 18 x = 9 Menurut (4), x = y, maka y = 9

(2) Syarat yang mencukupi: Fxx = 2 , Fyy = 2 dan Fxy = - 1


= (2)( 2) - (-1)2

= 3 > 0

Oleh karena nilai = 3 > 0 , dan Fxx > 0 dan Fyy > 0, maka titik ekst-remnya adalah minimum.

Dengan memasukkan nilai x = 9 dan y = 9 ke dalam fungsi obyektif/ asal z = f(x, y) akan diperoleh nilai ekstrem fungsi itu sebagai berikut:

z = f(x, y)= x2 - xy + y2 z = f( 9, 9) =(9)2 - (9)(9) + (9)2

= 81

Jadi, nilai ekstrem fungsi adalah z = 81 dan jenis ekstremnya minimum.



Pada Sub subbab 8.3.1 telah diuraikan, dalam menentukan nilai optimal suatu fungsi multivariabel dengan kendala, kalau fungsi kendalanya berbentuk pertidaksamaan, secara umum diselesaikan dengan syarat Kuhn - Tucker. Kalau fungsi kendalanya berbentuk persamaan, secara umum diselesaikan dengan metode Lagrange. Dimuka juga telah diuraikan bahwa metode

juga digunakan untuk menentukan harga ekstrem suatu fungsi multivariabel dengan kendala pertidaksamaan, dengan cara sebagai berikut: untuk memperoleh ekstrem (maksimum atau minimum) dengan metode pengganda Lagrange, anggap bahwa kendala pertidaksamaan berlaku sebagai kendala persamaan. Selanjutnya dengan ketentuan sebagai berikut: bila 0, maksimum atau minimum ini memenuhi kendala pertidaksamaan. Bila 0, maksimum atau minimum ditentukan tanpa memperhatikan kendala

(maksudnya harga ekstrem langsung dapat dicari dari fungsi asal) akan tetapi memenuhi kendala pertidaksamaan tersebut. Ini berarti, bila 0, ekstrem fungsi tanpa kendala sama dengan ekstrem fungsi dengan kendala.

Umumnya, syarat-syarat yang diperlukan untuk suatu maksimum atau minimum dengan kendala pertidaksamaan dikenal dengan syarat Kuhn - Tucker. Untuk fungsi dua variabel bebas dengan satu kendala pertidaksamaan, syarat Kuhn - Tucker dinyatakan sebagai berikut:

Maksimum Lokal/Relatif

Suatu titik (x, y) merupakan maksimum lokal/relatif bagi f(x, y) dengan kendala g(x, y) 0, hanya jika ada yang tidak negatif, sehingga dan (x, y) memenuhi syarat - syarat berikut:

(1) f x y

x

g x y

x

( , ) ( , )0 atau 0. =xx gf

(2) f x y

y

g x y

y

( , ) ( , )0 atau 0. =yy gf (8.5)

(3) .g(x, y) = 0

(4) g(x, y) 0

Minimum Lokal/Relatif

Suatu titik (x, y) merupakan minimum lokal/relatif bagi f(x, y) dengan kendala g(x, y) 0 , hanya jika ada yang tidak negatif, sehingga dan (x, y) memenuhi syarat - syarat berikut:

(1) f x y

x

g x y

x

( , ) ( , )0 atau 0. =xx gf

(2) f x y

y

g x y

y

( , ) ( , )0 atau 0. =yy gf (8.6)

(3) .g(x, y) = 0

(4) g(x, y) 0

Nata WIrawan 211


Contoh 8- 9

Carilah titik minimum dari z = f(x, y) = 5x2 - xy + 6y2 dengan kendala x + 2y

Penyelesaian

Cara 1. Dengan syarat Kuhn - Tucker.

0. =xx gf 10x - y - = 0 (1)

0. =yy gf - x + 12y - 2 = 0 (2)

.g(x, y) = (x + 2y - 24) = 0 (3)

Dari (3) didapat:(x + 2y - 24) = 0 = 0, dan x + 2y - 24 = 0 x = 24 - 2y

Apabila = 0 dimasukkan ke dalam (1) dan (2) dan menyelesaikan kedua persamaan di atas secara simultan didapat x dan y sebagai berikut:

10 0

12 2 0

x y

x y

0012

)12(0010

=+

=

yx

kalikanyx

119x = 0

x = 0

= 0 dan x = 0 dimasukkan ke dalam (1) atau (2) didapat y sebagai berikut: 10x - y - = 0 10(0) - y - 0 = 0 y = 0 Jadi, bila = 0, maka x = 0 dan y = 0 , nilai - nilai ini dapat memenuhi

persamaan (1) dan (2) tetapi tidak dapat (gagal) memenuhi syarat ke -(4) yaitu x + 2y - 24 0, sebab 0 + 2(0) - 24 24, atau 0 + 2(0) - 24 < 0.

Selanjutnya apabila x = 24 - 2y dimasukkan ke dalam (1) dan (2) dan menyelesaikan kedua persamaan di atas secara simultan didapat,

10 0

12 2 0

x y

x y

10(24 2 0

24 2 12 2 0

y y

y y

)

( )

240 20 0

24 2 12 2 0

y y

y y

240 21 0

24 14 2 0

y

y (kalikan 2)

504 - 56y = 0 56y = 0 y = 9

Selanjutnya bila y = 9 dimasukkan ke dalam x = 24 - 2y diperoleh x = 6. Bila nilaii x = 6,dan y = 9 dimasukkan kedalam (1) atau (2) didapat sebagai berikut:



10x - y - = 0 10(6) - 9 - = 0 60 - 9 - = 0 51 - = 0 = 51

Bila = 51 maka x = 6 dan y = 9, harga-harga inilah yang dapat memenuhi empat persyaratan di atas.

Jadi, titik minimum dari fungsi z tersebut adalah (x, y) = (6, 9). Dengan nilai minimum fungsi,

z = f(x, y) = 5x2 - xy + 6y2

= f( 6,9) = 5(6)2 - (6,9) - 6(9)2

= 612

Cara 2: Dengan cara pengganda Lagrange (kendala pertidaksamaan dianggap berlaku juga untuk kendala persamaan).

Fungsi obyektif : z = 5x2 - xy + 6y2

Kendala : x + 2y 24 x + 2y = 24 x + 2y - 24 = 0Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = 5x2 - xy + 6y2 - (x + 2y - 24)

Fungsi tersebut memiliki titik ekstrim dengan syarat sebagai berikut :(1) Syarat perlu Fx = 0 10x - y - = 0 (1) Fy = 0 - x + 12y - 2 = 0 (2) F = 0 x + 2y - 24 = 0 (3)

Dari (1) dan (2) didapat , 10x - y - = 0 (kalikan 2) - x + 12y - 2 = 0 21x - 14y = 0 3x - 2 y = 0 (4)

Dari (3) dan (4) didapat, x + 2y - 24 = 0 3x - 2y = 0 4x - 24 = 0 x = 6 Bila nilai x = 6 dimasukan ke dalam (3) didapat nilai y sebagai berikut: x + 2y - 24 = 0 6 + 2y - 24 = 0 2y - 18 = 0 y = 9

Bila nilai x = 6 dan y = 9 dimasukkan ke dalam (1) atau (2) didapat nilai sebagai berikut:

Nata WIrawan 213


10x - y - = 0 10(6) - 9 - = 0 60 - 9 - = 0 51 - = 0 = 51

(2) Syarat yang mencukupi: Fxx = 10, Fyy = 12, Fxy = - 1


= (10) (12) - (-1)2

= 119 > 0

Oleh karena > 0, Fxx > 0 dan Fyy> 0 maka fungsi tersebut mencapai titik minimum pada x = 6 dan y = 9. Oleh karena = 51 > 0, maka titik minimum fungsi, yaitu (x, y) = (6, 9) memenuhi atau berlaku bagi kendala persamaan maupun kendala pertidaksamaan.Jadi, titik minimum dari z = 5x2 - xy + 6y2

(x, y) = (6, 9).

Dengan nilai minimum,z = f(x, y) = 5x2 - xy + 6y2

z = f(6, 9) = 5(6)2 - (6)(9) + 6(9)2

= 612

Contoh 8-10

Carilah nilai maksimum dari z = f(x, y) = 12xy - 3y2 - x2 dengan kendala

Penyelesaian

Cara 1 : Dengan syarat Kuhn – Tucker.

0. =xx gf

-2x + 12y - = 0 (1)

0. =yy gf 12x - 6y - = 0 (2)

.g(x, y) = 0 (x + y - 16) = 0 (3)

g(x, y) = 0

Dari (3) didapat,

(x + y - 16) = 0 = 0 dan x + y - 16 = 0 x = 16 - y Apabila = 0 dimasukkan ke dalam (1) dan (2) dan menyelesaikan

kedua persamaan secara simultan didapat nilai x dan y sebagai berikut:



10 0

12 2 0

x y

x y

=

+ =

2 12 0 0

12 6 0 0

x y

x y (kalikan 6)

6 y = 0 y = 0

x = 0 dan y = 0 dimasukkan ke dalam (1) atau (2) didapat x sebagai berikut:

-2x + 12y - = 0 -2x +12(0) - 0 = 0 2x = 0 x = 0

Jadi, bila = 0, maka x = 0 dan y = 0, nilai-nilai ini dapat memenuhi persamaan (1) dan (2) dan dapat juga memenuhi syarat ke-(4) yaitu x + y 16 sebab 0 + 0 < 16. Dengan demikian untuk = 0, titik maksimum fungsi tersebut pada titik (x, y) = (0, 0), dengan nilai maksimum,

f(x, y) = 12xy - 3y2 - x2

f(0, 0) = 12(0)(6) - 3(0)2 - (0)2 = 0

Apabila x = 16 - y dimasukkan ke dalam (1) dan (2) dan menyelesaikan kedua persamaan secara simultan didapat,

2 12 0

12 6 0

x y

x y

2 16 12 0

12 16 6 0

( )

( )

y y

y y

32 2 12 0

192 12 6 0

y y

y y

14 32 0

18 192 0

32 224

y

y

y

y = 7

x = 16 - y = 16 - 7

= 9

Bila nilai x = 9,dan y = 7 dimasukkan ke dalam (1) didapat sebagai berikut:

-2x +12y - = 0 -2(9) + 12(7) - = 0 -18+ 84 - = 0 66 - = 0 = 66

Bila = 66 maka x = 9 dan y = 7, harga-harga ini juga dapat memenuhi keempat persyaratan di atas. Jadi, titik (x, y) = (9, 7) juga merupakan titik maksimum (lokal), dengan nilai maksimum,f(x, y) = f(9, 7)f(9, 7) = 12(9)(7) - 3(7)2 - (9)2

= 528

Nata WIrawan 215


Oleh karena nilai ekstrem yang dihitung adalah ekstrem maksimum dan nilai f(9, 7) = 528 lebih besar dari f(0, 0) = 0, maka titik ekstrem yang dipilih adalah (x, y) = (9, 7) dengan nilai ekstrem , f(9, 7) = 528.

Cara 2: Dengan cara pengganda Lagrange. (Kendala pertidaksamaan dianggap berlaku juga untuk kendala persamaan).

Fungsi asal : z = f(x, y) = 12xy - 3y2 - x2

Fungsi kendala : x + y 16 x + y = 16 x + y - 16 = 0Fungsi Lagrange: F(x, y, ) = 12xy - 3y2 - x2 - (x + y - 16)

Fungsi tersebut memiliki titik kritis/ekstrem dengan syarat:

(1) Syarat perlu Fx = 0 -2x + 12y - = 0 (1) Fy = 0 12 x - 6y - = 0 (2) F = 0 x + y - 16 = 0 (3)

Dari (1) dan (2) didapat,

-2x + 12y - = 0 12 x - 6y - = 0 _ -14x + 18y = 0 (4)

Dari (3) dan (4) didapat, -14x + 18y = 0 x + y - 16 = 0 32y - 224 = 0 32y = 224 y = 7

Bila y = 7 dimasukkan kedalam (3) diperoleh nilai x sebagai berikut: x + y - 16 = 0 x + 7 - 16 = 0 x = 9

Selanjutnya nilai x = 9 dan y = 7 dimasukkan kedalam (1) atau (2) di-dapat sebagai berikut: -2x + 12y - = 0 -2(9) + 12(7) - = 0 -18 + 84 - = 0 66 - = 0 = 66

(2) Syarat yang mencukupi: Fxx = -2, Fyy = - 6, Fxy = 12

= (Fxx)(Fyy) - (Fxy)2

= (-2) ( -6) - (12)2 = -132 < 0



Oleh karena nilai = -132 < 0 dan nilai Fxx < 0, Fyy < 0, maka perlu diperiksa disekitar titik kritis, sebagai berikut:

Nilai ekstrim fungsi, z = f(x, y) = 12xy - 3y2 - x2

z = f(9, 7) = 12(9)(7) - 3(7)2 - (9)2 = 528

Selanjutnya kita ambil sembarang nilai x sekitar 9, yaitu x = 8 < 9 < x = 10.Bila x = 8, diperoleh y = 16 - 8 = 8 (x, y) = (8, 8)Bila x = 10, diperoleh y = 16 - 10 = 6 (x, y) = (10, 6)

Nilai (x, y) = (8, 8) dan (x, y) = (10, 6) masing-masing dimasukkan ke dalam z = f(x, y) dan bandingkan dengan nilai f(9, 7) sebagai berikut:

f(x, y) = 12xy - 3y2 - x2

(1) f(8, 8) = 12(8)(8) - 3(8)2 - (8)2 = 512 < 528(2) f(9, 7) = 528 (nilai ekstrem)

(3) f(10, 6) = 12(10)(6) - 3(6)2 - (10)2 = 512 < 528

Kita tahu bahwa nilai f(8, 8) = 512 < f(9,7) = 528 < f(10, 6) = 512

Jadi, titik ekstrem tersebut maksimum pada (x, y) = (9, 7) dengan nilai maksimum adalah 528.

Oleh karena = 66 > 0, maka titik ekstrem fungsi dan nilai ekstrem tersebut berlaku (memenuhi) baik untuk kendala persamaan maupun kendala per-tidaksamaan.

8.4 Aplikasi Optimisasi Fungsi Multivariabel Dalam Ekonomi Di bawah ini akan dipelajari aplikasi optimisasi fungsi multivariabel dalam

ekonomi dan bisnis tanpa kendala maupun dengan kendala.

8.4.1 Produksi Bersama (Joint Product)

Bila seorang produsen menghasilkan dua jenis barang yang berbeda,

maksimumnya dapat dipecahkan melalui pendekatan optimisasi fungsi multivariabel.

Misalkan, seorang produsen memproduksi barang jenis 1 dan jenis 2, dengan permintaan masing-masing sebagai berikut:

Permintaan barang jenis 1 : q1 = f(p1)Permintaan barang jenis 2 : q2 = f(p2)

Sehingga total penerimaan untuk masing-masing barang adalah:

Nata WIrawan 217


Total peneimaan barang jenis 1 : R1 = p1q1

Total penerimaan barang jenis 2 : R2 = p2q2

Total penerimaan dari kedua jenis barang : R = R1 + R2

(p1 dan p2 adalah harga per unit barang jenis 1 dan 2, q1 dan q2 adalah kuantitas barang jenis 1 dan 2).

Sementara biaya bersama (joint cost) atau biaya total yang dikeluarkan untuk memproduksi kedua jenis barang adalah

C = g(q1, q2)

P = R – C = (p1q1 + p2q2) - g(q1, q2)

Pertanyaan selanjutnya adalah pada tingkat output berapa unit dan dengan harga berapa per unit masing-masing barang harus dijual, agar laba yang diperoleh maksimum? Pertanyaan itu akan terjawab melalui teknik-teknik optimisasi fungsi multivariabel, seperti yang telah dipelajari.

Agar laba tersebut maksimum, maka ada dua syarat yang harus dipenuhi adalah:

1) Syarat perlu

1qP = 0

2qP = 0

2) Syarat yang mencukupi

= (1qq1

P )(22qqP ) – (

21qqP )2 > 0,

Dan 1qq1

P < 0, 22qqP < 0.

Contoh 8- 11

Sebuah perusahaan yang memproduksi dua jenis produk menghadapi fungsi permitaan akan produknya yang ditunjukkan oleh fungsi permintaan berikut.

q1 = - p1 + 26 dan q2 = - 14

p2 + 10

Sementara biaya patungan yang dikeluarkan ditunjukkan oleh fungsi,

C = q12 + 2 q1q2 + q2

2

p1 dan p1 adalah harga per unit barang 1 dan barang 2, sedangkan q1 dan q2 masing-masing adalah kuantitas barang 1 dan kuantitas barang 2.



Tentukanlah :

(a) Kuantitas barang 1 dan kuantitas barang 2 yang harus diproduksi, agar

(b) Besarnya keuntungan maksimumnya.

Penyelesaian

Penerimaan total untuk kedua barangq1 = - p1 + 26 p1 = 26 – q1 (Transposisi rumus)

q2 = - 14

p2 + 10 p2= 40 – 4q2 (Transposisi rumus)

Penerimaan total untuk barang 1 R1 = p1q1 = (26 – q1)(q1) = 26q1 – q1

2

Penerimaan total untuk barang 2 R2 = p2 q2 = (40 – 4q2) (q2) = 40q2 – 4q2

2

Penerimaan total untuk kedua barang R = R1 + R2 = 26q1 – q1 2 + 40q2 – 4q2

2

= 26q1 – q1 2 + 40q2 – 4q2

2

P = R - C = (26q1 – q1 2

+ 40q2 – 4q22) - (q1

2 + 2 q1q2 + q22)

= -2q1 2 + 26q1 - 2q1q2 + 40q2 - 5 q22

(1) Syarat perlu

1qP = 0 - 4q1 + 26 - 2q2 = 0 (1)

2qP = 0 - 2q1 + 40 – 10q2 = 0 (2)

- 4 q1 + 26 - 2 q2 = 0 - 2 q1+ 40 - 10 q2 = 0 (kalikan 2 ) ––––––––––––––––––– –

- 54 + 18 q2 = 0

18 q2 = 54

q2 = 3

Nata WIrawan 219


q2 = 3 dimasukkan ke (1) atau (2) didapat nilai q1, - 2 q1 + 40 - 10 q2 = 0 - 2 q1 + 40 - 10(3) = 0 -2 q1 + 10 = 0 2 q1 = 10 q1 = 5

1 = 5 dan q2 = 3

(2) Syarat yang mencukupi

11qqP = - 4 < 0,

22qqP = - 10 < 0 dan 21qqP = - 2

= (11qqP ) (

22qqP ) - (21qqP )2

= (- 4) (- 10) - (- 2)2

= 40 - 4 = 36 > 0

Oleh karena = 36 > 0, 11qqP = - 4 < 0 dan

22qqPtersebut maksimum pada q1 = 5 dan q2 = 3.

Masukkan nilai q1 = 5 dan q2

P = - 2q1 2 + 26q1 - 2q1q2 + 40q2 - 5 q2 2

P(maks) = 2(5)2 + 26 (5) - 2(5)(3) + 40 (3) - 5(3)3

= 125

Jadi,

maksimum adalah q1 = 5 dan q2 = 3.

8.4.2 Diskriminasi Harga

dapat saja menjual barangnya dengan harga jual yang berbeda pada pasar yang berbeda. Bila si monopolis menerapkan diskriminasi harga untuk dua

pasar dan biaya total produksinya.Misalkan, si monopolis menghadapi dua pasar yaitu pasar 1 dan pasar 2,

dengan permintaan masing-masing,

1q = f( 1p ) dan 2q = f( 2p ),

maka total penerimaan untuk dua pasar adalah

R = R1 + R2 = 1p 1q + 2p 2q .



Jika biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi barang tersebut adalah

C = f(q), dan q = 1q + 2q ,

P = R – C = 1p .f( 1p ) + 2p . f( 2p ) - f( q ).

Selanjutnya dengan teknik optimisasi fungsi multivariabel, kuantitas dan

dihitung. Agar lebih jelas perhatikan Contoh 8.12.

Contoh 8-12

Seorang produsen mempunyai kemungkinan untuk melakukan diskriminasi harga, antara pasar 1 dan pasar 2 untuk suatu produk dengan pemintaan masing-masing pasar sebagai berikut:

9p05,0q

16p2,0q

22

11

+=

+=

Biaya total yang dikeluarkan untuk memproduksi barang tersebut adalah

C = 50 + 20q.

Bila 1q dan 2q adalah kuantitas barang yang diminta di pasar 1 dan 2. 1p dan

2p adalah harga per unit barang di pasar 1 dan 2. q adalah kuantitas barang yang diminta di kedua pasar (q = 1q + 2q ). Berapa harga jual di masing-masing

laba maksimumnya.(a) Bila produsen melakukan diskriminasi harga di antara pasar.(b) Bila produsen tidak melakukan diskriminasi harga di antara pasar.(c) Bandingkan laba yang diperoleh dengan diskriminasi dan tanpa diskrimi-

nasi harga.

Penyelesaian

(a) Dengan diskriminasi harga di antara pasar, berarti p1 p2

q1 = - 0,2p1 + 16 p1 = - 5q1 + 80 (1) q2 = -0,05p2 + 9 p2 = - 20q2 + 180 (2)

Total penerimaan di pasar 1 dan pasar 2

R1 = p1q1 = (- 5q1 + 80)q1 = - 5 21q + 80q1

R2 = p2q2 = (-20q2 + 180)q2 = -20 22q + 180q2

R = R1 + R2 = (- 5 21q + 80q1) + (-20 2

2q + 180q2)

= - 5 21q + 80q1 - 20 2

2q + 180q2 (3)

Nata WIrawan 221


Total biaya yang dikeluarkan

C = 50 + 20q = 50 + 20 (q1 + q2) = 50 + 20q1 + 20q2 (4)

Propit/Laba

P = R – C

=(- 5 21q + 80q1 - 20 2

2q + 180q2) – (50 + 20q1 + 20q2)

= - 5 21q + 60q1 - 20 2

2q + 160q2 – 50 (5)

Laba tersebut akan maksimum, bila dipenuhi syarat,(1) Syarat perlu

1qP = 0

1qP = -10q1 + 60 = 0 -10q1 + 60 = 0 q1= 6

2qP = 0

2qP = - 40q2 + 160 = 0 - 40q2 + 160 = 0 q2 = 4

(2) Syarat mencukupi

1qq1

P = -10, 22qqP = -10 dan

21qqP = 0

= (1qq1

P )(22qqP ) – (

21qqP )2 = (- 10)(- 40) – 0 = 400 > 0

Oleh karena > 0 dan 1qq1

P = -10< 0, 22qqP = -10 < 0, maka laba tersebut

maksimum pada q1 = 6 dan q2 = 4.

Harga jual per unit di pasar 1 dan 2 dicari sebagai berikut.

+=

+=

180q20p

80q5p

22

11

100180)4(20p

5080)6(5p

2

1

=+=

=+=

Laba maksimumnya

Masukkan q1 = 6 dan q2 = 4, ke fungsi laba (5) akan diperoleh,PMaks = - 5(6)2 + 60(6) – 20(4)2 + 160(4) – 50 = 450.

(b) Tanpa diskriminsi harga, artinya p1 = p2

p1 = - 5q1 + 80 dan p2 = - 20q2 + 180.

Oleh karena p1 = p2, maka - 5q1 + 80 = - 20q2 + 180

- 5q1 + 20q2 – 100 = 0 (6)

Optimasikan fungsi laba (5) dengan (6) sebagai kendala, dengan metode Lagrange sebagai berikut:

Fungsi asal : P = - 5 21q + 60q1 - 20 2

2q + 160q2 – 50 Kendala : - 5q1 + 20q2 – 100 = 0 Fungsi Lagrange : F(q1, q2, ) = - 5 2

1q + 60q1 - 20 22q + 160q2 – 50

- (- 5q1 + 20q2 – 100)



Fungsi tersebut akan mencapai ekstrem, bila dipenuhi syarat-syarat:(1) Syarat perlu:

1qF = 0

1qF = - 10q1 + 60 + 5 =0 - 10q1 + 60 + 5 = 0 (7)

2qF = 0

2qF = - 40q2 + 160 - 20 = 0 - 40q2 + 160 - 20 = 0 (8)

F = 0 F = 5q1 - 20q2 + 100 = 0 - 5q1 + 20q2 – 100 = 0 (9) Dari (7) dan (8) didapat: - 10 q1 + 60 + 5 = 0 (kalikan 4) - 40 q2 + 160 - 20 = 0 –––––––––––––––––––––––– +

- 40q1 –40q2 + 400 = 0 (10)

Dari (9) dan (10) didapat, - 5q1 + 20q2 - 100 = 0 (kalikan 2) - 40 q1- 40q2 + 400 = 0

–––––––––––––––––––––––– +

- 50q1 + 200 = 0 q1 = 4

Substitusikan q1= 4 ke (9) didapat q2 = 6

(2) Syarat yang mencukupi:

11qqF = -10,

22qqF = - 40, dan 21qqF = 0

= (11qqF )(

22qqF ) – (22qqF )2

= (-10)(-40) – 0 = 400 > 0

Oleh karena 11qqF = -10 < 0,

22qqF = - 40 < 0 dan = 400 > 0, maka laba

tersebut maksimum pada q1 = 4 dan q2 = 6. Dengan harga jual per unit

sebagai berikut: substitusikan q1 = 4 ke (1) atau q2 = 6 ke (2) didapat:

p1 = - 5q1 + 80 p1 = - 5(4) + 80 = 60p2 = - 20q2 +180 p2 = - 20(6) + 180 = 60 Laba maksimumnya Substitusikan q1 = 4 dan q2 = 6 ke fungsi asal (5), didapat laba maksimum,P(maks) = - 5(4)2 + 60(4) – 20(6)2+ 160(6) – 50 = 350

(c) Laba yang diperoleh produsen bila melakukan diskriminsi harga senilai 450. Bila tidak melakukan diskriminasi harga labanya senilai 350. Jadi per-bedaan laba yang diperoleh bila produsen melakukan diskriminasi dan tanpa diskriminasi harga sebesar 450 – 350 = 100.

Nata WIrawan 223


8.4.3 Keseimbangan Produksi

Ditinjau dari teori produksi, fungsi anggaran menunjukkan batas maksimum kemampuan produsen untuk membeli/menggunakan dua macam input atau lebih berkenaan dengan harga masing-masing input dan dana (jumlah uang) yang dimilikinya. isocost. Bentuk umum dari fungsi anggaran adalah:

M = x px + y py (8.7)

x dan y masing-masing adalah kuantitas input X dan input Y. Sementara px dan py masing-masing adalah harga per unit input X dan input Y. M adalah dana/anggaran produsen.

Keseimbangan produksi adalah suatu keadaan penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimal, yaitu suatu tingkat keadaan produksi dengan kombinasi biaya terendah (Least cost combination).Bila seorang produsen memiliki :

Fungsi produksi : p = f(k, l)

k + l.pl

k dan l masing-masing adalah kuantitas input K dan input L. Sementara pk dan pl masing-masing adalah harga per unit input K dan input L. Maka kombinasi penggunaan input yang optimal dapat dicari dengan memaksimumkan fungsi produksi (fungsi asal), p = f(k, l) terhadap fungsi isocost M = k.pk + l.pl.

Untuk menentukan kuantitas input L dan input K yang harus digunakan dapat dipecahkan dengan metode Pengganda Lagrange .

Secara geometris, keseimbangan produksi akan terjadi pada titik persinggungan antara kurva isocost dengan kurva isoquant, yang secara tak langsung menunjukkan bahwa slope kedua kurva pada titik tersebut adalah sama (Gambar 8.1)

K

MPk

K’ A l3

l2 l1 0 L’ M / PL L

Gambar 8. 1



Titik A merupakan titik persinggungan antara kurva isocost dengan isoquant l2 yaitu titik yang menyatakan posisi keseimbangan produksi, dengan menggunakan input K sebesar OK’ dan L sebesar OL’. Karena di titik A slope kedua kurva tersebut sama besar, maka pada titik A berlaku persamaan,

l

l

k

k

p

MP

p

MP=

(8.8)

MPk = Produktivitas marginal dari input KMPl = Produktivitas marginal dari input Lpk = harga per unit input Kpl = harga per unit input l

Persamaan (8.8) menunjukkan bahwa keseimbangan produksi akan tercapai bila hasil bagi produktivitas marginal masing-masing input terhadap harga per unitnya sama besar.

Contoh 8-13

Fungsi produksi seorang produsen diperkirakan mengikuti bentuk, q = - l2 + 22l + 2 kl - 5k2

q = kuantitas output Q , k = kuantitas input K dan l = kuantitas input L. Bila harga per unit input masing-masing adalah $ 1 untuk K dan $ 2 untuk L. Sementara anggaran (dana) yang disediakan sebesar $ 24. Berapa unit input K dan input L yang sebaiknya ia beli, agar produksinya maksimum?

Penyelesaian

Cara 1 : Pendekatan Keseimbangan Produksi, per rumus (8.8)

Funggsi anggaran : 1x k + 2 x l = 24 k + 2l = 24 (1) MPk = 2l – 10k pk = 1MPl = - 2l + 22 + 2k pl = 2 Per rumus (8.8) dapat dihitung k dan l sebagai berikut:

l

l

k

k

p

MP

p

MP=

2

2222

1

102 klkl ++=

2l – 10k = - l + 11 + k 3l – 11k = 11 (2)


Nata WIrawan 225


2l + k = 24 (kalikan 3) 3l – 11k = 11 ( - ) (kalikan 2) 25k = 50 k = 2 Substitusikan k = 2 ke (1) di dapat, 2 + 2k = 24 k = 11

Jadi, agar produksinya maksimum seharusnya produsen membeli input K sebanyak 11 unit dan input L sebanyak 2 unit.

Cara 2 : Pendekatan pengganda LagrangeFungsi asal : P = - l2 + 22l + 2 kl - 5k2 Fungsi kendala : k + 2l = 24 k + 2l - 24 = 0Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = - l2 + 22l + 2kl - 5k2 - (k+ 2l - 24)

Fungsi tersebut memiliki titik kritis/ekstrem, bila dipenuhi syarat :(1) Syarat perlu Fl = 0 - 2l + 22 + 2k - 2 = 0 (1) Fk = 0 2l - 10 k - = 0 (2) F = 0 k + 2l - 24 = 0 (3)

Dari (1) dan (2) didapat, - 2l + 22 + 2k - 2 = 0 2l - 10 k - = 0 (kalikan 2) - 6l + 22 + 22k = 0 (4)

Dari (3) dan (4) didapat, k + 2l - 24 = 0 (kalikan 3) 22k - 6l + 22 = 0 25k - 50 = 0 25k = 50 k = 2

Dari (3) untuk k = 2 didapat l sebagai berikut : k + 2l - 24 = 0 2 + 2l - 24 = 0 2l = 22 l = 11

Fungsi tersebut memiliki ekstrem pada k = 2 dan l = 11

(2) Syarat yang mencukupi Fll

= - 2, Fkk = - 10 dan Fkl

= 2

= (Fll) (Fkk) - (Fkl)2 = (-2) (-10) - (2)2 = 16 > 0



Oleh karena = 16 > 0, serta Fll = - 2 < 0 dan Fkk

= - 10 < 0 maka titik ekstrem nya maksimum.

Jadi, agar produksinya maksimum produsen membeli input K sebanyak 2 unit dan input L sebanyak 11 unit.

Contoh 8-14

Fungsi produksi seorang produsen berbentuk P = 6k2/3 l1/3

P adalah kuantitas output Q, k dan l masing-masing adalah kuantitas input K dan L. Produsen memiliki dana/anggaran sebesar $ 144 untuk membeli input K dan input L. Harga per unit masing-masing input adalah $ 4 untuk K dan $ 3 untuk L. Berapa unit input K dan input L harus dibeli (digunakan) agar produksinya maksimum?

Penyelesaian

Pendekatan Keseimbangan Produksi, per rumus (8.8)

Funggsi Anggaran : 4 x k + 3 x l = 144 4k + 3l = 144 (1)

MPk = 31

31

l.k.4 pk = 4

MPl = 223

23. .k l pl = 3

Per rumus (8.8), nilai k dan l dihitung sebagai berikut:

k

k

l

l

P

MP

P

MP=

2

3

4

4

23

23

13

13. . . . .k l k l

2

3

l.k

l.k

31

31

32

32

k. l-1 = 3

2

k = 3

2l (2)

Substitusikan (2) ke (1) didapat nilai l sebagai berikut: 4k + 3l - 144 = 0

4( 32

l ) + 3l - 144 = 0 6l + 3l = 144 9l = 144 l = 16

Nata WIrawan 227


Subsitusikan l = 16 ke (2) atau ke (1) didapat nilai k sebagai berikut,

k = 32

l

k = 32

(16)

k = 24

Jadi agar produksinya maksimum, maka input K dan L yang digunakan adalah K sebanyak 24 unit dan L sebanyak 16 unit.

Cara 2 : Pendekatan Pengganda Langrange

Fungsi asal : P = 6k2/3 l1/3

Fungsi kendala : 4k + 3l = 144 4k + 3l - 144 = 0Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = 6k2/3

l1/3 - (4k + 3l - 144)

Fungsi tersebut memiliki titik kritis/ekstrem, dengan syarat:1) Syarat perlu

Fk = 0 23

.6k -1/3 l1/3 - 4 = 0

4k -1/3 l1/3 - 4 = 0 (1)

FL = 0 13

6k 2/3 l-2/3 - 3 = 0

2k 2/3 l-2/3 - 3 = 0 (2)

F = 0 4k + 3l - 144 = 0 (3)


4k -1/3 l1/3 - 4 = 0 (kalikan 3)

2k 2/3 l-2/3 - 3 = 0 (kalikan 4) ––––––––––––––––– –

12k-1/3 l1/3 - 8k2/3 l -2/3 = 0

12k-1/3 l1/3 = 8k2/3 l -2/3

12

8

23

23

13

13

k l

k l

.

.

2

31k l.

2

3

k

l

k = 2

3l (4)




4k + 3l - 144 = 0

4( 32

l ) + 3l - 144 = 0

6l + 3l = 144 9l = 144 l = 16

Dari (4) diketahui k = 32

l , maka k = 32

(16) = 24

Maka fungsi tersebut memiliki titik kritis/ekstrem pada k = 24 dan l = 16 2) Syarat yang mencukupi

Fkk = 4

3

4

313k l. =

34

31

k3

l4

= - 0,048 (untuk k = 24 dan l = 16)

Fll = 4

3

23

53k l. =

35

32

l3

k4

= - 0,109 (untuk k = 24 dan l = 16)

Fkl = 4 1

3

13

23. .k l =

32

31

l.k3

4

= 0,0072 (untuk k = 24 dan l = 16)

= (Fkk) (Fll) - (Fkl)2

= (-0,048) (-0,109) - ( 0,0072 )2

= 0,0052 - 0,000051 = 0,0051 > 0

Oleh karena = 0,0051 < 0, Fkk = - 0,048 < 0 dan Fll

= - 0,109 < 0 maka titik ekstremnya adalah maksimum.

Jadi agar produksinya maksimum, maka input K dan L yang digunakan adalah K sebanyak 24 unit dan L sebanyak 16 unit.

8.4. 3 Keseimbangan Konsumsi

Ditinjau dari teori konsumen fungsi anggaran menunjukkan batas maksimum kemampuan seorang konsumen untuk membeli dua macam barang atau lebih berkenaan dengan jumlah pendapatannya dan harga

butget line.Bentuk umum dari persamaan fungsi anggarannya, adalah:

M = x px + y py (8.9)

Nata WIrawan 229


M menyatakan pendapatan konsumen, x dan y masing-masing adalah kuantitas barang X dan barang Y. px dan py masing-masing adalah harga per unit barang X dan barang Y.

Keseimbangan konsumsi

Keseimbangan konsumsi adalah suatu keadaan, penggunaan kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan kepuasan optimal. Bila seorang konsumen memiliki,

Fungsi utilitas : u = f(x, y)

Fungsi anggaran : x . px + y. py = M

(Budget line)

Maka tingkat kombinasi yang memberikan kepuasan optimal dapat dicari dengan memaksimumkan fungsi utilitas/kepuasan u = f(x, y) terhadap fungsi anggaran (budget line), x.px + y.py = M.

Secara geometris, keseimbangan konsumsi akan terjadi pada titik persinggungan kurva indeferens dengan kurva anggaran konsumen/budget

line yaitu titik A. (lihat Gambar 8.2). Di titik A yang slope kedua kurva adalah sama.

y

M/Py B D

y ’ A lC3 lC2 lC1

C

0 x’ M / PX x

Gambar 8. 2

Titik A = titik persinggungan antara kurva budget line dengan kurva indeferens IC2 , yang menunjukkan keadaan keseimbangan konsumsi barang y sebesar 0y’ dan barang x sebesar 0x’. Karena di titik A slope kedua kurva tersebut sama besar, maka pada titik A berlaku persamaan.

y

y

x

x

p

MU

p

MU=

(8.10)

MUx = Utilitas marginal dari barang XMUy = Utilitas marginal dari barang Ypx = harga per unit barang Xpy = harga per unit barang Y



Persamaan (8.10) menunjukkan bahwa keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila hasil bagi utilitas marginal masing-masing barang terhadap harganya adalah sama.

Contoh 8-15

Fungsi utilitas (kepuasan) dari seorang konsumen dalam mengkonsumsi barang X dan barang Y dinyatakan oleh,

U = 4x + 17y - x2 - xy - 3y2

Harga per unit barang X adalah $1 dan harga per unit barang Y adalah $2, sedangkan dana yang dimiliki oleh konsumen sebesar $7. Berapa unit seharusnya barang X dan barang Y yang ia konsumsi agar kepuasannya maksimum. U menyatakan kepuasan/utilitas, x menyatakan kuantitas barang X dan y menyatakan kuantitas barang Y.

Penyelesaian

Cara 1 : Pendekatan keseimbangan konsumsi, per rumus (8.10)

Fungsi Anngaran : x + 2y = 7 (1)

MUx = 4 – 2x – y px = 1MUy = 17- x – 6y py = 2

Per rumus (8.10) didapat

y

y

x

x

p

MU

p

MU=

2

617

1

24 yxyx=

8 – 4x – 2y = 17- x – 6y- 3x + 4y = 9 (2)

Dari (1) dan (2) didapat

x + 2y = 7 (kalikan 3) - 3x + 4y = 9 + 0 + 10y = 30 y = 3

Masukkan y = 3 ke (1) didapatx + 2y = 7

x + 2(3) = 7 x = 1

Nata WIrawan 231


Jadi agar kepuasan konsumen maksimum ia harus mengkonsumsi barang X sebanyak 1 unit dan barang Y sebanyak 3 uint.

Cara 2 : Pendekatan Pengganda Langrange

Fungsi asal : U = 4x + 17y - x2 - xy - 3y2

Fungsi kendala : x + 2y = 7 x + 2y - 7 = 0Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = 4x + 17y - x2 - xy - 3y2 - (x + 2y - 7)

Fungsi tersebut memiliki titik ekstrem, dengan syarat:1) Syarat perlu Fx = 0 4 - 2x - y - = 0 (1) Fy = 0 17 - x - 6y - 2 = 0 (2) F = 0 x + 2y - 7 = 0 (3)


4 - 2x - y - = 0 (kalikan 2) 17 - x - 6y - 2 = 0 - 9 - 3x + 4y = 0 (4) Dari (3) dan (4) didapat,

x + 2y - 7 = 0 (kalikan 2) - 3x + 4y - 9 = 0 5x - 5 = 0 5x = 5 x = 1

Dari (3) untuk x = 1 didapat y sebagai berikut :

x + 2y - 7 = 0 1+ 2y - 7 = 0 2y = 6 y = 3

Fungsi tersebut memiliki ekstrem pada x = 1 dan y = 3

2) Syarat yang mencukupi Fxx

= - 2, Fyy = - 6, dan Fxy

= - 1

= (Fxx) (Fyy) - (Fxy)2

= (-2) (- 6) - (1)2 = 11 > 0

Oleh karena, = 11 > 0 , Fxx = - 2 < 0 dan Fyy

= - 6 < 0 maka eks-trem tersebut maksimum.

Jadi, agar diperoleh kepuasan yang maksimum seharusnya konsumen tersebut mengkonsumsi barang X sebanyak 1 unit dan barang Y sebanyak 3 unit.



Contoh 8-16

Fungsi utilitas (kepuasan) seseorang dinyatakan sebagai U = x0,8 y0,2 Dengan pendapatan sebesar $75, orang tersebut ingin mendistribusikan pendapatannya untuk membeli x unit barang X dengan harga $5 per unit dan y unit barang Y dengan harga $3 per unit.Berapakah kuantitas masing-masing barang yang dibeli agar kepuasannya maksimum?

Penyelesaian

Cara 1 : Pendekatan keseimbangan konsumsi, per rumus (8.10).

Fungsi anggaran : 5x + 3y = 75 (1)

MUx = 0,8 x -0,2 y0,2 px = 5

MUy = 0,2 x 0,8 y -0,8 py = 3

Per rumus (8.10) nilai x dan y dapat dihitung sebagai berikut:

y

y

x

x

p

MU

p

MU=

3

yx.2,0

5

yx.8,0 8,08,02,02,0

2,4 x -0,2 y0,2 = x0,8 y -0,8

2,4 = 2,02,0

8,08,0

y.x

yx

2,4 = (x0,8. y -0,8) (x0,2 .y -0,2)

= x . y -1

2,4 = xy

x y2 4, (2)


5x + 3y = 755(2,4y) + 3y = 7512y + 3y = 7515y = 75y = 5

Dari (2) diketahui bahwa, x = 2,4y, maka

x = 2,4 (5)x = 12

Nata WIrawan 233


Jadi, agar diperoleh kepuasan maksimum seharusnya konsumen tersebut membeli 12 unit barang X dan 5 unit barang Y.

Cara 2 : Pendekatan pengganda Lagrange

Fungsi asal : U = x0,8 y 0,2

Fungsi kendala : 5x + 3y = 75 5x + 3y - 75 = 0Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = x0,8 y 0,2 - (5x + 3y - 75)

Fungsi tersebut memiliki titik ekstrem, dengan syarat :

(1) Syarat perlu Fx = 0 0,8 x- 0,2 y 0,2 - 5 = 0 (1) Fy = 0 0,2 x0,8 y - 0,8 - 3 = 0 (2) F = 0 5x + 3y - 75 = 0 (3)

Dari (1) dan (2) didapat

0yxyx4,2

03yx2,0

05yx8,0

8,08,02,02,0

8,08.0

2,02,0 (Kalikan 3)

(Kalikan 5)

2,4 x - 0,2 y 0,2 = x 0,8 y - 0,8

2,4 = 2,02,0

8,08,0

yx

yx

2,4 = x . y -1

2,4 = x

y

x = 2,4y (4)


5x + 3y - 75 = 0 5(2,4y) + 3y - 75 = 0 12y + 3y = 75 15y = 75 y = 5 Dari (4) untuk y = 5, diperoleh nilai x x = 2,4y x = 2,4 (5) = 12

(2) Syarat yang mencukupi Fxx

= - 0 ,16x -1,2 y 0,2

= 2,1

2,0

x

y.16,0



= 016 5

12)

0,2

12

, .( )

( , (untuk x = 12 dan y = 5)

= - 0,011 < 0

Fyy = - 0,36x 0,8 y - 1,8 =

0 36 0,8

18

, .,

x

y

= 0 36 12)

5

0,8

18

, .(,

(untuk x = 12 dan y = 5)

= - 0,066 < 0

Fxy = 0,16x - 0,2 y -0,8 =

8,02,0 y.x

16,0

= 016

12) 50,2 0,8

,

( .( ) (pada x = 12 dan y = 5)

= 0,026

= (Fxx)(Fyy) - (Fxy)2

= (-0,011)(- 0,066) - ( 0,026)2 = 0,000726 - 0,000676 = 0,00005 > 0

Oleh karena, > 0, Fxx < 0 dan Fyy < 0 maka titik ekstrem tersebut mak-simum pada x = 12 dan y = 5.

Jadi, agar diperoleh kepuasan yang maksimum sebaiknya konsumen tersebut membeli barang X sebanyak 12 unit dan barang Y sebanyak 5 unit.

8.4.5 Aplikasi Lainnya dalam Ekonomi-Bisnis

Di bawah ini diberikan beberapa contoh penerapan teknik optimisasi fungsi multivariabel lainnya, seperti meminumkan biaya, pemaksimumkan hasil penjualan dan pemaksimumkan laba.

Contoh 8- 17

Biaya produksi C, dinyatakan sebagai fungsi dari x dan y

C = 6x2 + 3y2

x dan y menyatakan kuantitas barang X dan barang Y. Agar biaya produksinya minimum, berapa unit barang X dan Y masing - masing harus diproduksi?(a) Bila total barang X dan Y yang diproduksi 18 unit (x + y = 18).(b) Bila total barang X dan Y diproduksi minimum 18 unit (x + y 18).

Nata WIrawan 235


Penyelesaian

(a) Bila x + y = 18 x = …? y = …? Agar C(min).

Fungsi asal : C = 6x2 + 3y2

Fungsi kendala : x + y = 18 x + y - 18 = 0 Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = 6x2 + 3y2 - (x + y - 18)

Fungsi tersebut memiliki titik ekstrem bila dipenuhi syarat:

(1) Syarat perlu: Fx = 0 12x - = 0 (1) Fy = 0 6y - = 0 (2) F = 0 x + y - 18 = 0 (3) Dari (1) dan (2) didapat 12x - = 0 6y - = 0 12x - 6y = 0 12x = 6y

x = 12

y (4) Dari (3) dan (4) didapat x + y - 18 = 0

12

y + y - 18 = 0

32

y = 18 y = 12

Dari (4) diketahui x = 12

y maka x = 12

(12) = 6

Jadi, fungsi tersebut mencapai titik ekstrem pada x = 6 dan y = 12.


= 12, Fyy = 6, Fxy

= 0

= (Fxx) (Fyy ) - (Fxy)2

= (12) (6) - ( 0)2 = 72 > 0 Oleh karena = 72 > 0, serta Fxx

= 12 > 0, Fyy = 6 > 0 maka titik

ekstremnya minimum.

Jadi, agar biaya produksinya minimum, maka barang X dan Y yang harus diproduksi yang memenuhi kendala x + y = 18 unit adalah x = 6 unit dan y = 12 unit.



(b) Dengan cara pengganda Lagrange (dengan menganggap kendala perti-daksamaan berlaku juga untuk kendala persamaan)

Dari perhitungan (a) didapat x = 6 dan y = 12, selanjutnya dari (1) di atas didapat sebagai berikut:

12x - = 0 (1) 12(6) - = 0 = 72 Oleh karena = 72 > 0, maka nilai x = 6 dan y = 12 yang memenu-

hi ekstrem fungsi dengan kendala persamaan, memenuhi juga ekstrem fungsi dengan kendala pertidaksamaan.

Jadi, banyaknya barang X dan barang Y yang harus diproduksi agar biaya produksinya minimum dan juga memenuhi kendala x + y 18 unit ada-lah x = 6 unit dan y = 12 unit. (Coba anda periksa dengan syarat Kuhn - Tucker).

Contoh 8-18

Fungsi penjualan S, dinyatakan sebagai fungsi dari dua jenis promosi yaitu promosi melalui TV dan radio.

S = f(x, y) = 240

25 3

150

10

x

x

y

y

Laba bersih, p =1

10 s - x - y

Bila anggaran untuk promosi adalah 15. x menyatakan anggaran untuk promosi melalui TV, y menyatakan anggaran untuk promosi melalui radio. S

pembiayaan anggaran promosi tersebut, agar diperoleh laba bersih yang maksimum.

Penyelesaian

Fungsi asal/Fungsi Laba : P = 1

10s - x - y

= 1

10

240

25 3

150

10

x

x

y

y - x - y

= 24

25 3

15

10

x

x

y

yx y

Fungsi kendala : x + y = 15 x + y - 15 = 0

Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = ++

++

)15()10

15

325

24( yxyx

y

y

x

x

Nata WIrawan 237


Fungsi laba memiliki titik kritis/ekstrem bila dipenuhi syarat:(1) Syarat perlu

x = 0

Fx =

( )( ) ( )( )

( )

24 25 3 3 24

25 3 2

x x

x - 1 - =

600

25 31

2( )x

0 = 600 (25 + 3x)-2 - 1 -

600

25 31

2( )x (1)

y = 0

Fy = ( )( ) ( )( )

( )

15 10 1 15

101

2

y y

y =

150

101

2( )y

0 = 150 (10 + y)-2 - 1 -

+=+

1)y10(

1502

(2)

= 0 x + y - 15 = 0 y = 15 - x (3)


600

25 3 2( )x =

150

10 2( )y

4

25 3 2( )x =

1

10 2( )y

2

25 3

2

2( )x =

1

10 2( )y

)325(

2

x+ =

)10(

1

y+ (diambil akarnya)

20 + 2y = 25 + 3x (4)

Dari (3) dan (4) didapat, 20 + 2y = 25 + 3x 20 + 2(15 - x) = 25 + 3x 20 + 30 - 2x = 25 + 3x 25 = 5x = 5Dari (3) diketahui bahwa, y = 15 - x y = 15 - 5 = 10Jadi, fungsi tersebut memiliki titik ekstrem pada x = 5 dan y = 10.




Fxx = (600) ( )( ) ( )2 25 3 33x

=3600

25 3 3( )x = -160

9 (pada x = 5)

Fyy = ( )( ) ( )150 2)(10 13y

= 300

10 3( )y =

80

3 (pada y = 10)

Fxy = 0

= 9

160

3

800

27

1280002( )

Oleh karena = 27

12800 > 0, serta Fxx

= - 9

160 < 0 dan Fyy

= 3

80< 0,

maka titik ekstremnya maksimum.

Jadi, untuk memperoleh laba bersih yang maksimum alokasi anggaran promosi melalui TV adalah 5 (x = 5) dan melalui radio adalah 10 (x = 10).

Contoh 8-19

Biaya reparasi dinyatakan sebagai fungsi dari inspeksi X dan Y. C = 4x2 + 2y2 + 5xy - 20x + 30

Agar biaya reparasi minimum, berapa kali masing-masing inspeksi perlu dilakukan, agar jumlah inspeksi 10 kali. C = biaya reparasi, x menyatakan frekuensi inpeksi X dan y menyatakan frekuensi inspeksi Y.

Penyelesaian

Fungsi asal : C = 4x2 + 2y2 + 5xy - 20x + 30Fungsi kendala : x + y = 10 x + y - 10 = 0Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = 4x2 + 2y2 + 5xy - 20x + 30 - (x + y - 10)

Fungsi tersebut memiliki titik kritis/ekstrem bila dipenuhi syarat:

(1) Syarat perlu, Fx

= 0 8x + 5y - 20 - = 0 (1) Fy

= 0 4y + 5x - = 0 (2) F = 0 x + y - 10 = 0 (3)

Dari (1) dan (2) didapat 8x + 5y - 20 - = 0 5x+ 4y - = 0 3x + y - 20 = 0 y = 20 - 3x (4)

Nata WIrawan 239


Dari (3) dan (4) dapat , x + y - 10 = 0 x + (20 - 3x) - 10 = 0 - 2x = -10 x = 5 Dari (4) diketahui y = 20 - 3x, maka y = 20 - 3(5) y = 5

Fungsi tersebut memiliki ekstrem pada x = 5 dan y = 5


= 8, Fyy = 4 dan Fxy

= 5

= (Fxx )(Fyy) - (Fxy)2

= (8)(4) - ( 5)2 = 7 > 0 Oleh karena = 7 > 0 , Fxx

= 8 > 0 dan Fyy = 4 > 0 maka titik ekst-

remnya minimum.

Jadi, agar biaya reparasinya minimum maka inspeksi X dan inspeksi Y yang perlu dilakukan adalah inpeksi X sebanyak 5 kali dan inspeksi Y sebanyak 5 kali.

8.5 Arti Penting Pengganda LagrangeNilai dari (pengganda Lagrange) menunjukkan efek marginal terhadap

nilai optimal fungsi obyektif asalnya atau dengan kata lain, nilai menunjukkan perubahan nilai optimal fungsi obyektif akibat perubahan satu unit kendala. Nilai yang positif memiliki arti bahwa setiap kenaikkan/penurunan satu unit konstanta fungsi kendala akan mengakibatkan nilai optimal fungsi asal naik/

turun sebesar suatu nilai yang mendekati nilai (Budnick, 1993; Hoffmann dan Bradley, 2010; Hoi, et al., 2011).

Untuk lebih jelasnya dengan arti penting pengganda Lagrange, perhatikan Contoh 8-20.

Contoh 8-20

Dalam Contoh 8-6 didapat x = 2 dan y = 6, = 12 dan z minimum = 132. Kalau sekarang kendalanya dinaikkan 1 unit yaitu dari 2x + 3y = 22 menjadi 2x + 3y = 23. Berapa nilai z minimum sekarang? Menurut arti dari pengganda Lagrange nilai z minimum akan naik sekitar (mendekati) nilai = 12.

Pembuktiannya sebagai berikut, lihat kembali Contoh 8-6 Fungsi asal : z = 6x2 + 3y2 Fungsi kendala : 2x + 3y = 23 2x + 3y - 23 = 0Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = 6x2 + 3y2 - (2x + 3y - 23)




(1) Syarat perlu Fx = 0 12x - 2 = 0 (1) Fy = 0 6y - 3 = 0 (2) F = 0 2x + 3y - 23 = 0 (3)

Dari (1) dan (2) didapat, 12x - 2 = 0 (kalikan 3) 6y - 3 = 0 _ (kalikan 2)

36x - 12y = 0 3x - y = 0 y = 3x (4)

Dari (3) dan (4) didapat, 2x + 3y - 23 = 0 2x + 3(3x) - 23 = 0 11x = 23

x =2311

y = 3x = 3(2311

) = 6911

Nilai z minimum (sekarang)? z = 6x2 + 3y2

= 6 (2311

)2 + 3 (6911

)2 = 144,27

Nilai z minimum (sekarang) = 144,27. Nilai z minimum (semula) = 132. Ini berarti nilai z minimum naik sebesar 144,27 - 132 = 12,27. Nilai ini (12,27) mendekati nilai = 12.

Jadi, nilai z minimum naik sebesar 12,27 (12,27 mendekati nilai = 12), akibat konstanta kendala naik 1 unit yaitu dari 22 unit menjadi 23 unit.

22 menjadi 2x + 3y = 21? Menurut pengganda Lagrange, nilai z minimum akan turun sekitar (mendekati) nilai = 12.

Pembuktiannya sebagai berikut, (lihat kembali Contoh 8-6)

Fungsi asal : z = 6x2 + 3y2 Fungsi kendala : 2x + 3y = 21 2x + 3y - 21 = 0Fungsi Lagrange : F(x, y, ) = 6x2 + 3y2 - (2x + 3y - 21)


(1) Syarat perlu Fx = 0 12x - 2 = 0 (1) Fy = 0 6y - 3 = 0 (2) F = 0 2x + 3y - 21 = 0 (3)

Nata WIrawan 241


Dari (1) dan (2) didapat, 12x - 2 = 0 (kalikan 3) 6x - 3 = 0 (kalikan 2)

36 - 12x = 0 3x - y = 0 y = 3x (4)

Dari (3) dan (4) didapat, 2x + y - 21 = 0 2x + 3(3x) - 21 = 0 11x = 21

x = 2111

y = 3x = 3(2111

) = 6311

Nilai z minimum sekarang? z = 6x2 + 3y2

= 6 (2111

)2 + 3 (6311

)2

= 120,26

Nilai z minimum (sekarang) = 120,26. Nilai z minimum (semula) = 132. Ini berarti nilai z minimum turun sebesar 132 - 120,26 = 11,74. Nilai ini (11,74) mendekati nilai = 12.

Jadi, nilai z minimum turun sebesar 11,74 (11,74 mendekati nilai = 12), akibat konstanta kendala turun 1 unit yaitu dari 22 unit menjadi 21 unit.



Soal-soal Latihan

8 - 1 Tentukanlah nilai ekstrem dan jenis ekstrem dari fungsi di bawah ini :(a) u = x2 + y2 + 2x + 4y + 6

(b) z = 3x2 + 2y2 - xy - 4x - 7y + 12

(c) z = - 2x2 - 5y2 + 26x + 40y - 2xy

(d) c = 2x2 - 2xy + y2 + 5x - 3y

(e) f(x, y) = x2 - y

2 - 2x + 4y + 6

(f) z = 2xy + 4x dengan kendala 20x + 40y = 1000

(g) z = x2 + y2 - xy dengan kendala x + y = 18

(h) z = xy dengan kendala x + 2y = 10

(I) q = k0,3 l0,5 dengan kendala 6k + 2l = 384

(j) u = x0,6 y0,25 dengan kendala 8x + 5y = 680

(k) f(x, y) = - 2y2 - 4y2

(i) f(x, y) = 16x + 12y - 2x2 - 3y2

(m) f(x, y) = 4x2 + 5y2 - 64 dengan kendala x + 2y 18

8- 2 Biaya produksi C, dinyatakan sebagai fungsi x dan y,

C = f(x, y) = 4x2 + 5y2 - 6y.

Agar biaya produksinya minimum, berapa unit barang X dan barang Y yang harus dihasilkan agar memenuhi quota. x dan y menyatakan kuantitas barang X dan barang Y. (a) Tanpa kendala(b) Bila x + 2y = 18(c) Bila x + 2y 18

8- 3 Fungsi permintaan dan fungsi biaya patungan dua jenis barang adalah,

x = - 15

p + 8 dan y = - 13

q + 10 serta C = x2 + 2xy + 3y2

p dan q masing-masing adalah harga per unit barang X dan barang Y, sementara x dan y menyatakan kuantitas barang X dan barang Y. C = biaya patungan. Agar diperoleh laba yang maksimum tentukanlah:(a) Kuantitas dan harga per unit barang X.(b) Kuantitas dan harga per unit barang Y.(c) Keuntungan maksimumnya.

8- 4 Fungsi utilitas (kepuasan) seorang konsumen dalam mengkonsumsi barang X dan Y dinyatakan oleh: u = xy - 3y2.

Harga per unit barang X adalah 10 dan Y = 15, sementara penghasilan konsumen pada periode tersebut adalah 180. Berapa unit seharusnya

Nata WIrawan 243


konsumen tersebut membeli barang X dan barang Y, agar kepuasannya maksimum? x dan y masing-masing adalah kuntitas barang X dan Y.

8- 5 Suatu pabrik menghasilkan dua jenis mesin yaitu mesin X dan Y. Biaya patungan dinyatakan oleh fungsi C = x2 + 2y2 - xy.

Agar biaya patungannya minimum berapa unit mesin dari setiap jenis harus dihasilkan, sementara quota yang harus dipenuhi adalah 8 unit. c adalah biaya patungan, x dan y masing-masing adalah kuantitas mesin X dan Y.

merupakan fungsi dari biaya iklan tahunan melalui TV dan surat kabar. Fungsi labanya

P = f(x, y) = yxy

y

x

x22

10

40

5

80

++

+

surat kabar. Anggaran/dana untuk biaya iklan yang tersedia 25.000..

(a) Tentukanlah alokasi dana yang ada untuk biaya iklan melalui TV dan biaya iklan melalui surta kabar.

(c) Hitunglah

8- 7 Fungsi biaya suatu perusahaan untuk memproduksi dua jenis barang yaitu barang X dan Y dinyatakan sebagai berikut,

C = f(x, y) = 5x2 + 2xy + 3y2 + 800 yang terikat pada quota produksi x + y = 39. c adalah biaya produksi, x

menyatakan kuantitas barang X dan y menyatakan kuantitas barang Y. Tentukanlah:

(a) Kuantitas x dan y yang harus diproduksi agar biaya produksinya minimum.

(b) Tentukan biaya produksi minimumnya.(c) Perkiraan tambahan biaya dan biaya produksi minimumnya jika

quota produksi dinaikkan menjadi 40.(d) Perkiraan penurunan biaya dan biaya produksi minimumnya jika

quota produksi diturunkan menjadi 38.

8- 8 Fungsi produksi seorang produsen adalah q = f(k, l) = k0,4 l 0,5

q = kuantitas output Q, k = kuantitas input K dan l = kuantitas input L. Bila harga per unit K dan L masing-masing 3 dan 4, sementara anggaran yang disediakan 108. (a) Tentukanlah kuantitas input L dan K yang harus dibeli, agar produk-

sinya maksimum.(b) Tentukanlah produksi maksimumnya.(c) Jika anggarannya ditambah satu unit yaitu menjadi 109, tentukan-

lah produksi maksimumnya.



8- 9 Kepuasan seorang konsumen dicerminkan oleh fungsi U = x0,6 y0,25

Dengan pendapatan sebesar 680, konsumen tersebut ingin mem-belanjakan seluruh pendapatannya untuk membeli dua jenis barang yaitu barang X dan barang Y. Bila harga per unit barang X dan barang Y masing-masing 8 dan 5. Tentukanlah kuantitas barang X dan barang Y, yang dapat dibeli agar kepuasan konsumen maksimum.

8-10 Fungsi produksi sejenis barang, q = h(x, y) = 10 - 12x2 - y2 + xy + 5y. Harga per unit input X dan Y masing-masing adalah sama yaitu 3.

Sementara harga per unit output Q adalah 6. Tentukanlah keuntungan maksimumnya. q menyatakan kuantitas output Q, x menyatakan kuantitas input X, dan y menyatakan kuantitas input Y.

8-11 Sebuah perusahaan yang menghasilkan dua jenis barang yaitu barang 1 dan barang 2, dengan fungsi permintaan terhadap masing-masing barang sebagai berikut:

q1 = -3

1 p1 + 12 dan q2 = -5

1 p2 + 8

Biaya patungan yang dikeluarkan untuk menghasilkan kedua jenis barang tersebut: C = q1

2 + 2q1q2 + 3q22. Tentukanlah kuantitas dan

diperoleh perusahaan tersebut. C menyatakan biaya patungan, q1 dan q2 adalah kuantitas barang 1 dan barang 2. p1 dan p2 adalah harga per unit barang 1 dan barang 2.

8-12 Sebuah perusahaan monopolistik yang memproduksi sejenis produk dijual di dua pasar yang berbeda (pasar 1 dan pasar 2) dengan permintaan masing- masing pasar sebagai berikut:

q1 = - 0,2p1 + 24 dan q2 = - 0,05p2 + 10

Biaya produksinya adalah, C = 35 + 40q, dengan q = q1 + q2

haga jual per unit barang untuk pasar 1 dan pasar 2. (a) Jika perusahaan melakukan diskriminasi harga di antara pasar.(b) Jika perusahaan tidak melakukan diskriminasi harga di antara pasar.(c) Bandingkan laba yang diperoleh perusahaan pada butir (a) dan (b).

8-13 Sebuah pabrik meubel memproduksi sejenis meubel dengan kualitas yang berbeda, kualitas 1 dan kualitas 2. Dengan permintaan masing-masing sebagai berikut:

q1 = - 0,5p1 + 90 q2 = 0,25p2 + 10

Biaya produksi produk tersebut: C = 25 + 20q1 + 20q2yang didapat perusahaan tersebut maksimum, berapa unit masing-

Nata WIrawan 245


masing produk harus dihasilkan, dan dengan harga berapa ma sing-masing produk dijual? Berapa nilai laba maksimumnya.

8- 14 Suatu perusahaan manufaktur memperkirakan bahwa penjualan tahunan merupakan fungsi dari pengeluaran biaya iklan di TV dan radio. Hubungan ini dinyatakan oleh fungsi berikut:

S = f(x, y) = 40.000x + 60.000y – 5x2 – 10y2 – 10xy

S menyatakan penjualan (dalam unit), x adalah biaya iklan di TV (dalam juta rupiah), y adalah biaya iklan di surat kabar (dalam juta rupiah). (a) Tentukan biaya iklan di TV dan biaya iklan di surat kabar agar pen-

jualannya maksimum.(b) Berapa unit penjualan maksimumnya?

8-15 Sebuah perusahaan yang memproduksi dua jenis barang yaitu barang X dan Y. Biaya produksinya ditunjukkan oleh fungsi berikut:

C = f(x, y) = 5x2 + 2xy + 3y2 + 750

Perusahaan juga terikat kuota produksi x + y = 24 C adalah biaya, x dan y masing - masing adalah kuantitas barang X

dan Y.(a) Tentukanlah kuantitas X dan Y yang meminimalkan biaya produksinya.(b) Tentukan biaya produksi minimalnya.(c) Perkirakan pengaruh pengurangan satu unit kuota produksi terha-

dap biaya produksinya.

8-16 Sebuah perusahaan monopolistik yang memproduksi sejenis barang yang dijual di pasar luar negeri dan dalam negeri. Fungsi permintaan masing-masing pasar terhadap barang tersebut ditunjukkan oleh fungsi berikut:

Pasar dalam negeri, q1 = - 0,1p1 + 21 Pasar luar negeri, q2 = - 0,4p2 + 50

Biaya total produksinya adalah c = 2000 + 10q, dengan q = q1 + q2. Tentukanlah harga jual per unit barang yang harus ditetapkan dan

perusahaan maksimum.(a) Jika perusahaan melakukan diskriminasi harga di antara pasar.(b) Jika perusahaan tidak melakukan diskriminasi harga di antara pasar.(c) Tentukan juga laba maksimumnya.

8-17 Sebuah perusahaan menjual dua jenis barang. Fungsi permintaan masing –masing untuk kedua jenis barang tersebut adalah:



q1 = -p1 – p2 + 110 q2 = -3p2 + p1 + 90

q1 dan q2 adalah kuantitas barang 1 dan 2, p1 dan p2 adalah harga per unit barang 1 dan 2.(a) Tentukanlah kuantitas dan harga per unit masing-masing produk

yang memaksimumkan total penjualannya.(b) Tentukan pula total penjualan maksimumnya.

8-18 Produksi seorang produsen mengikuti fungsi Cobb-Douglas

q = f(k, l) = 12 k0,5 l 0,5

q = kuantitas output Q, k = kuantitas input K dan l = kuantitas input L. Bila harga per unit K dan L masing-masing 50 dan 25, sementara kuota produksi 240. (a) Tentukanlah kuantitas input L dan K yang harus dibeli (digunakan),

agar produksinya maksimum.(b) Tentukanlah produksi maksimumnya.(c) Jika kuota produksi dingkatkan menjadi 241, tentukanlah produksi

maksimumnya.(d) Jika kuota produksi diturunkan menjadi 239, tentukanlah produksi

maksimumnya.

Nata WIrawan 247

DETERMINAN JACOBIAN,

HESSIAN DAN APLIKASINYA


9.1 PengantarDalam bab ini akan dipelajari determinan khusus yaitu determinan

Jacobian dan determinan Hessian. Determinan Jacobian digunakan untuk menguji ketergantungan fungsional antara persamaan dalam suatu sistem persamaan. Sementara determinan Hessian digunakan untuk menguji apakah suatu fungsi multivariabel (bentuk kuadrat) dengan tiga variabel bebas atau lebih, memiliki titik kritis/ektrem maksimum atau minimum.

Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang determinan Jacobian dan Hessian, serta dapat menerapkannya dalam ekonomi dan bisnis.

9.2 Determinan JacobianDeterminan Jacobian adalah suatu determinan yang elemen-elemennya

merupakan turunan tingkat pertama dari masing-masing fungsi penyusun suatu sistem persamaan. Determinan Jacobian digunakan untuk menguji ketergantungan fungsional (functional dependence) baik yang linear maupun tan-linear dari suatu sistem persamaan. Sistem persamaan ini dibentuk oleh fungsi-fungsi multivariabel.

Untuk sistem persamaan berikut:

DD

HH

DD


9. DETERMINAN JACOBIAN, HESSIAN DAN APLIKASINYA DALAM EKONOMI-BISNIS

)x,x(fy

)x,x(fy

212

211 (9.1)

J =

2

2

1

2

2

1

1

1

x

y

x

yx

y

x

y

(9.2)

Untuk sistem persamaan berikut,

)xx,x(fy

)x,x,x(fy

)x,x,x(fy

3,213

3212

3211

(9.3)

J =

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

x

y

x

y

x

yx

y

x

y

x

yx

y

x

y

x

y

Jika J = 0, maka persamaan-persamaan dalam sistem persamaan tersebut tergantung (tidak bebas) secara fungsional, dan jika J 0, maka persamaan-persamaan dalam sistem persamaan tersebut tidak tergantung (bebas) secara fungsional.

Contoh 9-1

Diketahui sistem persamaan

+++=

++=

12y9yx24x16z

9y3x4z

2242

21

Ujilah apakah terdapat ketergantungan fungsional dalam sistem persamaan?

Penyelesaian

x

z1 8x y

z1 3

x

z2 64x3 + 48xy y

z2 24x2 + 18y

Nata WIrawan 249


J =

y

z

x

zy

z

x

z

22

11

=

x18x24xy48x64

3x823++

= (8x)( 24x2 + 18y) – (3)( 64x3 + 48xy) = 192x3 + 144xy – 192x3 – 144xy = 0

Oleh karena J = 0, maka persamaan-persamaan dalam sistem persamaan tersebut tergantung secara fungsional.

Contoh 9-2

Ujilah apakah terdapat ketergantungan fungsional antara persamaan dalam sistem persamaan berikut,

++=

=

222

1

yxy8x16z

yx4z

Penyelesaian

x

z1 4 y

z1 - 1

x

z2 32x + 8y y

z2 8x + 2y

J =

y

z

x

zy

z

x

z

22

11

=

y2x8y8x32

14

++

= (4)(8x + 2y) – (-1)(32x + 8y) = 64x + 16y 0

Oleh karena J 0, maka persamaan-persamaan dalam sistem persamaan tersebut tidak tergantung secara fungsional.

9.3 Determinan Hessian dan Aplikasinya dalam EkonomiDeterminan Hessian adalah suatu determinan yang elemen-elemennya

merupakan turunan parsial tingkat kedua dari suatu fungsi multivariabel yang akan dioptimalkan, dengan turunan parsial langsung tingkat kedua sebagai elemen-elemen diagonal utama, dan parsial silang tingkat kedua diluar ele-men-eleman diagonal utama. Determinan Hessian digunakan untuk menguji



apakah suatu fungsi multivariabel (bentuk kuadrat) dengan tiga variabel be-bas atau lebih, memiliki titik kritis/ekstrem maksimum atau minimum.

Dalam Subbab 8.2, telah dipelajari teknik optimisasi fungsi multivaribel dengan dua variabel bebas, z =f(x, y), tanpa kendala. Fungsi z = f(x, y) akan mencapai titik ekstrem maksimum atau minimum, bila dipenuhi dua syarat yaitu: (1) syarat perlu, bila zx = 0, dan zy= 0, dan (2) syarat yang mencukupi, bila >0, serta zxx, zyy < 0 untuk ekstrem maksimum, dan > 0, serta zxx, zyy > 0 untuk ekstrem minimum.

Suatu pengujian syarat kedua yaitu syarat yang mencukupi, setelah syarat pertama atau syarat perlu dipenuhi, dapat dilakukan dengan determinan Hessian.

9.3.1 Determinan Hessian (Orde) Kedua

Untuk fungsi multivariabel z =f(x, y)

H =yyyx

xyxx

zz

zz

Dengan minor utama pertama ( 1H = zxx

Dengan minor utama kedua (second principal minor), 2H = H =yyyx

xyxx

zz

zz

2H > 0 dan 1Hsyarat yang mencukupi bagi suatu minimum. Jadi ekstrem fungsi tersebut adalah ekstrem minimum.

2H > 0 dan 1Hsyarat yang mencukupi bagi suatu maksimum. Jadi ekstrem fungsi terse-but adalah ekstrem maksimum.

Contoh 9-3

Diketahui fungsi, z = - 6x2 + 50x - 4xy + 30y –2y2 + 10Tentukanlah nilai ekstrem dan jenis ekstremnya (jika ada).

Penyelesaian

z = - 6x2 + 50x - 4xy + 30y –2y2 + 10

Fungsi tersebut memiliki titik ekstrem bila dipenuhi syarat,

(1) Syarat perlu zx = 0 zx = - 12x + 50 – 4y = 0 - 12x + 50 – 4y = 0 (1) zy = 0 zy = - 4x + 30 – 4y = 0 - 4x + 30 – 4y = 0 (2)

Dari (1) dan (2) didapat x = 25 dan y = 5

Nata WIrawan 251


(2) Syarat yang mencukupi zxx = -12, zyy = - 4 dan zxy = zyx = - 4

H =

yyyx

xyxx

zz

zz =

44

412

Dengan,

1H = zxx = -12< 0

2H = H = 44

412 = (-12)(-4) – (-4)(-4) = 48-16 = 32>0

Oleh karena 2H = 32 > 0 dan 1H = -12 < 0, maka fungsi tersebut mencapai maksimum pada x =

25 dan y = 5.

Berapa nilai maksimum fungsi? Substitusikan x = 25 dan y = 5 ke dalam fungsi

asal didapat nilai maksimum fungsi sebagai berikut:

z(maks) = - 6(25 )2 + 50(

25 ) – 4(

25 )(5) + 30(5) –2(5)2 + 10 = 147,5

9.3.2 Determinan Hessian (Orde) Ketiga

Untuk fungsi multivariabel y = f(x1, x2, x2sebagai,

H =

333231

232221

131211

fff

fff

fff

11xx11 ff , 21xx12 ff ,

13xx31 ff …, dan seterusnya

Dengan,Minor utama pertama, 1H = 11f

Minor utama kedua , 2221

1211

2ff

ffH =

Minor utama ketiga, 3H = H =

333231

232221

131211

fff

fff

fff

2H > 0, dan 1H < 0, 3H -tif, merupakan syarat yang cukup untuk ekstrem maksimum. Jadi, fungsi tersebut memiliki ekstrem maksimum.

2H > 0, dan 1H > 0, 3Hmerupakan syarat yang cukup untuk ekstrem minimum. Jadi, fungsi terse-but memiliki ekstrem minimum.



Contoh 9- 4

Tentukanlah jenis ekstrem dan nilai ekstrem (bila ada) dari fungsi berikut:

P = f(x, y, z) = 160x –2x2 + 120y – 4y2 + 130z – 5z2 – 25

Penyelesaian

Fungsi P = f(x, y, z) memiliki ekstrem bila dipenuhi syarat:

(1) Syarat perlu fx = 0 fx = 160 – 4x 160 – 4x = 0 x = 40 fy = 0 fy = 120 – 8y 120 – 8y = 0 y = 15 fz = 0 fz = 130–10z 130–10z = 0 z = 13

P mencapai ekstrem pada x = 40, y = 15 dan z = 13

(2) Syarat yang mencukupi: fxx = -4, fxy = 0, fxz = 0 fyx = 0, fyy = -8, fyz = 0 fzx = 0, fzy = 0, fzz = - 10

H =

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

fff

fff

fff

=

1000

080

004

Selanjutnya cari minor utama pertama, kedua dan ketiga sebagai berikut:

1H = fxx = -4 < 0

2H =

yyyx

xyxx

ff

ff

=80

04 = (-4)(- 8) – (0)(0) = 32 > 0

3H = H =

1000

080

004

= (-4)(-8)(-10) = -320 <0

Oleh karena 2H > 0, dan 1H < 0 dan 3H < 0, maka titik ekstremnya adalah maksimum, dan fungsi tersebut maksimum pada x = 40, y = 15 dan z = 13.

Berapa nilai maksimumnya? Dengan mensubstitusikan x = 40, y = 15 dan z = 13 ke dalam fungsi asal, didapat nilai ekstrem/maksimum fungsi sebagai berikut: P = f(x, y, z) = 160x –2x2 + 120y – 4y2 + 130z – 5z2 – 25PMaks = 160(40) –2(40)2 + 120(15) – 4(15)2 + 130(13) – 5(13)2 – 25 = 4920

Nata WIrawan 253


Contoh 9- 5

Sebuah perusahaan yang memproduksi tiga jenis produk, menghadapi permintaan untuk masing-masing produknya sebagai berikut:

q1 = - 0,2 p1 + 28 q2 = - 0,5p2 + 80 q3 = - 0,25p3 + 25

q1, q2, dan q3 adalah kuantitas produk 1, 2 dan 3. Sedangkan p1, p2, dan p3 adalah harga per unit masing-masing produk. Biaya total yang dikeluarkan untuk memproduksi ketiga jenis produk adalah C =20q + 70, dengan q = q1 + q2 + q3.

(a) Berapa unit masing-masing produk harus diproduksi?(b) Berapa harga jual per unit untuk masing-masing produk?(c) Berapa nilai laba maksimumnya?

Penyelesaian

q1 = - 0,2 p1 + 28 p1 = - 5 q1 + 140 (Transposisi rumus) q2 = - 0,5 p2 + 80 p2 = - 2 q2 + 160 (Transposisi rumus) q3 = - 0,25 p3 + 25 p3 = - 4 q3 + 100 (Transposisi rumus)

Total penerimaan dari ketiga produk

R1 = p1q1 = (- 5q1 + 140)q1 = - 5q12 + 140q1

R2 = p2q2 = (- 2q2 + 160)q2 = - 2q22 + 160q2

R3 = p3q3 = (- 4q3 + 100)q3 = - 4q32 + 100q3

R = R1 + R2 + R3

= - 5q12 + 140 q1 – 2q2

2 + 160q2 - 4q32 + 100q3

Total biaya yang dikeluarkan C = 20q + 70 = 20 (q1 + q2 + q3) + 70 = 20 q1 + 20 q2 + 20 q3+ 70

P = R – C = - 5q1

2 + 140q1 – 2q22 + 160q2 – 4q3

2 + 100q3 – (20q1 + 20q2 + 20q3 + 70)

= - 5q12 + 120q1 - 2q2

2 + 140q2 – 4q32 + 80q3 – 70

(1) Syarat perlu

1qP = 0

1qP = - 10q1 + 120 = 0 - 10q1 + 120 = 0 q1 = 12

2qP = 0

2qP = - 4q2 + 140 = 0 - 4q2 + 140 = 0 q2 = 35

3qP = 0

3qP = - 8q3 + 80 = 0 - 8q3 + 80 = 0 q3 = 10



P mencapai ekstrem pada q1 = 12, q2 = 35 dan q3 = 10


11qqP = - 10 ,

21qqP = 0, 31qqP = 0

12qqP = 0,

22qqP = - 4, 32qqP = 0

13qqP = 0,

23qqP = 0, 33qqP = - 8

H =

800

040

0010

1H = -10 < 0

2H =40

010 = (-10)(-4) = 40 >0

3H = H =

800

040

0010

= -320 < 0

Oleh karena 2H > 0, dan 1H < 0, 3H < 0, maka ekstrem tersebut adalah maksimum. Selanjutnya dengan memasukkan q1 = 12, q2 = 35 dan q3 = 10 ke dalam fungsi laba, maka didapat laba yang maksimum sebagai berikut:

P = - 5q12 + 120q1 - 2q2

2 + 140q2 – 4q32 + 80q3 – 70

P(max) = - 5 (12)2 + 120(12) – 2(35)2 + 140(35) – 4(10)2 + 80(10) – 70 = - 720 + 1440 – 2450 + 4900 – 400 + 800 - 70 = 3500

Dengan memasukkan q1 = 12, q2 = 35 dan q3 = 10 ke masing-masing fungsi permintaan, maka didapat harga per unit masing-masing produk sebagai berikut:

p1 = - 5q1 + 140 p1 = - 5(12) + 140 p1 = 80

p2 = - 2q2 + 160 p2 = - 2(35) + 160 p2 = 90

p3 = - 4q3 + 100 p3 = - 4(10) + 100 p3 = 60

Jadi, agar laba yang didapat perusahaan maksimum, (a) Jumlah masing-masing produk yang harus diproduksi yaitu produk 1 se-

banyak 12 unit, produk 2 sebanyak 35 unit dan produk 3 sebanyak 10 unit.(b) Harga jual per unit masing-masing produk adalah p1 = 80, p2 = 90 dan p3

= 60.

Nata WIrawan 255


Soal-soal Latihan

9- 1 Ujilah apakah terdapat ketergantungan fungsional antara persamaan dalam sistem persamaan berikut,

(a) z1 = 3x – 4y z2 = 9x2 – 24xy + 16y2

(b) z1 = 2x – 4y z2 = 4x2 – 8xy + 16y2

(c) z1 = -10x + x3 + 10 z2 = - 4x2 + 2x3 + 4 z3 = x1 + 2x2 – 8x3

9- 2 Optimalkanlah fungsi-fungsi di bawah ini, dengan determinan Hessian sebagai syarat tingkat kedua,

(a) P = - 5x2 + 10x + xy – 2y2 + xy + 2yz – 4z2

(b) F(x, y, z) = x2 - 2xy + 2y2 + 2yz + 4z2 – 2z

9- 3 Sebuah perusahaan yang memproduksi tiga jenis produk, menghadapi permintaan untuk masing-masing produknya sebagai berikut:

q1 = - 0,2 p1 + 30q2 = - 0,5p2 + 80q3 = - 0,25p3 + 35

q1, q2, dan q3 adalah kuantitas produk 1, 2, dan 3. Sementara p1, p2

dan p3 adalah harga per unit masing-masing produk. Biaya total yang dikeluarkan untuk memproduksi ketiga jenis produk adalah

C = 20q + 50, dengan q = q1 + q2 + q3.

(a) Berapa unit masing-masing produk harus diproduksi? (b) Berapa harga jual per unit untuk masing-masing produk? (c) Berapa nilai laba maksimumnya?

9- 4 Sebuah perusahaan manufaktur menghasilkan tiga jenis produk. Fungsi biaya patungannya,

C = 10x2 + 30y2 + 20z2 - 900x– 1000z + 800.000

x, y, dan z adalah kuantitas masing–masing produk yang diproduksi, C = biaya patungan (dalam juta rupiah). Tentukanlah

(a) Kuantitas tiap produk yang meminimalkan biaya patungannya. (b) Nilai biaya patungan minimalnya?



9- 5 Sebuah perusahaan makanan olahan dalam kaleng memproduksi sejenis produk yang dibedakan atas kualitas 1, 2, dan 3, menghadapi permintaan untuk masing-masing produk sebagai berikut:

produk kualitas 1 : q1 = - 5 p1 + 150 produk kualitas 2 : q2 = - 10p2 + 150 produk kualitas 3 : q3 = - 4p3 + 40

q1, q2, dan q3 adalah kuantitas produk kualitas 1, 2 dan 3. Sementara p1, p2,dan p3 adalah harga per unit masing-masing produk. Biaya total yang dikeluarkan untuk memproduksi ketiga produk adalah

C = 20q + 100, dengan q = q1 + q2 + q3.

(a) Berapa unit masing-masing produk harus diproduksi?(b) Berapa harga jual per unit untuk masing-masing produk?(c) Berapa nilai laba maksimumnya?

Nata WIrawan 257

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

DAN APLIKASINYA


10.1 PengantarDalam bab ini akan dibahas persamaan diferensial yaitu suatu persamaan

yang melibatkan satu atau lebih turunan dari suatu fungsi dan aplikasinya dalam ekonomi. Dalam banyak masalah hubungan antara variabel, kebanyakkan dapat dinyatakan dalam bentuk tingkat perubahan (rate of change). Laju (tingkat perubahan) setiap variabel itu, dapat dinyatakan sebagai fungsi laju perubahan variabel yang lain. Sebagai contoh: laju (tingkat perubahan) harga yang bergerak mendekati nilai keseimbangannya tergantung dari besarnya perbedaan antara kuantitas yang ditawarkan dan kuantitas yang diminta.

Laju perubahan dapat dinyatakan dalam dua bentuk matematika, tergantung pada apakah waktu dianggap kontinu atau deskrit, terhadap variabel yang mengalami perubahan tersebut. Jika perubahan itu dianggap terjadi secara kontinu atau seketika, maka laju (tingkat perubahan) itu dinyatakan sebagai turunan (derivatif), dan persamaan yang mencakupnya adalah persamaan diferensial. Apabila perubahan tersebut dianggap terjadi secara tak kontinu (deskrit) pada suatu titik waktu tertentu, atau sebagai rata-rata perubahan selama jangka waktu tertentu, maka laju (tingkat perubahan) itu dinyatakan sebagai perbedaan (diferensi) dalam nilai variabel pada berbagai titik waktu dan persamaan yang mencakupnya adalah persamaan diferensi.

-maan diferensial, solusi dari persamaan diferensial, persamaan diferensial orde pertama dan derajat pertama dan aplikasi persamaan diferensial dalam ekonomi-bisnis dan pada model ekonomi.

Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini mahasiswa diharapkan dapat

PP

DD

DD


10. PERSAMAAN DIFFERENSIAL DAN APLIKASINYA DALAM EKONOMI-BISNIS

memahami mengenai persamaan diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi.Untuk dapat memahami mengenai persamaan diferensial diperlukan

pengetahuan yang memadai tentang turunan suatu fungsi univariabel dan multivariabel.

10.2 Definisi dan KlasifikasiPersamaan differensial (differensial equations) adalah sebuah persamaan

yang melibatkan satu atau lebih turunan dari suatu fungsi. Berdasarkan bentuknya persamaan differensial di bedakan atas persamaan differensial biasa dan persamaan differensial parsial. Persamaan differensial biasa adalah persamaan differensial yang melibatkan satu atau lebih turunan dari suatu fungsi dengan satu variabel bebas. Sedangkan persamaan differensial parsial adalah persamaan differensial, yang melibatkan satu atau lebih turunan parsial dari suatu fungsi multivariabel (fungsi yang memiliki dua atau lebih variabel bebas).

Pangkat

Orde (jenjang) dari suatu persamaan differensial adalah orde dari turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan differensial tersebut. Dengan kata lain, orde dari persamaan differtensial ditunjukkan oleh turunan tertinggi dari suatu fungsi yang terdapat dalam persamaan differensial itu.

Pangkat (tingkat) dari suatu persamaan differensial adalah pangkat tertinggidari turunan tertinggi dari suatu fungsi yang terdapat dalam persamaan differensial itu.

Persamaan differensial ini secara umum menyatakan laju perubahan yang terjadi secara kontinu sepanjang waktu. Untuk lebih jelasnya mengenai bentuk orde dan pangkat dari suatu persamaan differensial di bawah ini disajikan beberapa contoh.

Contoh 10- 1

(1) dy

dx = 5x + 4

adalah persamaan differensial biasa, orde pertama, pangkat pertama

(2) (dy

dx)3 - 4x5 = 0

adalah persamaan differensial biasa, orde pertama, pangkat ke tiga

(3) d y

dx

dy

dx

2

2

3( ) + xy = 0

adalah persamaan differensial biasa, orde kedua, pangkat pertama

(4) (d y

dx

d y

dx

dy

dxn

3

3

2

2

4 0) ( )adalah persamaan differensial biasa, orde ketiga, pangkat ke - n

(5) ( 0xy)dx

yd()

dx

dy 22

5=++

adalah persamaan differensial biasa, orde kedua, pangkat kedua

Nata WIrawan 259


(6) 2

2

2

20

z

x

z

yy

adalah persamaan differensial parsial, orde kedua, pangkat pertama

(7)

2

2

2

2

3 0z

x

z

yxy

z

x( )

adalah persamaan differensial parsial, orde kedua, pangkat ketiga

(8) x dy - y dx = 0

(dy

dx =

y

x )

adalah persamaan differensial biasa, orde pertama, pangkat pertama.

10.3 Penyelesaian dari Persamaan DifferensialPenyelesaian atau solusi dari suatu persamaan differensial adalah suatu

fungsi yang tidak memuat turunan-turunan lagi yang memenuhi persamaan differensial tersebut. Penyelesaian tersebut dapat dinyatakan sebagai fungsi eksplisit atau implisit.

Penyelesaian umum.

Penyelesaian umum (solusi umum) dari suatu persamaan differensial adalah suatu fungsi tanpa turunan yang masih memuat sembarang konstanta (tetapan) integral yang memenuhi persamaan differensial tersebut, dan banyaknya tetapan integral tersebut sama dengan orde persamaan differensial itu.

Penyelesaian khusus.

Penyelesaian khusus (penyelesaian partikulir) dari persamaan differensial adalah penyelesaian umum setelah memasukkan atau memberikan nilai tertentu pada sembarang tetapan penyelesaian umum.

Contoh 10- 2

Untuk persamaan differensial (PD) berikut:

dy

dxx2 3

Carilah : (a) Penyelesaian umumnya (b) Penyelesaian khususnya, apa bila x = 0, maka y = 2.

Penyelesaian

(a) Penyelesaian umum,

dy

dxx2 3

dy = (x2 +3) dx

dy x dx( )2 3 (kedua ruas diintegrasikan)



y + C1 = 13

x3 + 3x + C2

y = 13

x3 + 3x + C2 - C1

y = 13

x3 + 3x + C (C = C2 - C1 suatu tetapan yang

mencakup tetapan C2 - C1 pada

persamaan sebelumnya).

(b) Penyelesaian Khusus Penyelesaian khusus (apabila x = 0 maka y = 2 ) Untuk mendapatkan penyelesaian khususnya nilai C dari penyelesaian

umum dicari terlebih dahulu dengan mensubstitusikan nilai x = 0 dan y = 2 ke dalam persamaan tersebut.

y = 13

x3 + 3x + C

2 = ½ (0)3 + 3(0) + C C = 2

nilai C = 2 ini kemudian dimasukkan kembali ke dalam penyelesaian umumnya, didapat penyelesaian khususnya sebagai berikut:

y = 13

x3 + 3x + 2

Contoh 10- 3

Untuk persamaan differensial (PD) berikut:

y2dy = (x + 3x2)dx

Carilah(a) Penyelesaian umumnya(b) Penyelesaian khususnya pada x = 0, maka y = 2.(a) Penyelesaian umum

y2dy = (x + 3x2) dx

y dy x x dx2 23( ) (kedua ruas diintegrasikan)

13

y3 + C1 =½ x2 + 13

x3 + C2

13

y3 = ½ x2 + 13

x3 + (C2 - C1) (kedua ruas kalikan 3)

y3 = 32

x2 + x3 + 3(C2 - C1)

y3 = 32

x2 + x3 + C [ ]3( 2 1C C C=)

y = (32

x2 + x3 + C) 1/3

y = 32

2 33 x x C

Nata WIrawan 261


(b) Penyelesaian khusus Nilai C dicari terlebih dahulu sebagai berikut: masukkan x = 0 dan y = 2

ke dalam penyelesaian umum.

y = 32

2 33 x x C

2 = 0 03 C

C = 23 = 8

masukkan kembali nilai C = 8, ke dalam penyelesaian umum, didapat pe-nyelesaian khususnya,

y = 32

2 33 8x x

Contoh 10- 4

Carilah penyelesaian umum daripersamaan diffferensial (PD) berikut:

(1 + x2 ) dy

dx + xy = 0

Penyelesaian

Penyelesaian umumnya.

(1 + x2 ) dy

dx + xy = 0

(1 + x2 ) dy

dx = - xy

(1 + x2 ) dy = (- xy)dx

y

1 dy = ( )

x

x1 2dx

1

1 2 0y

x

xdy dx( )

ln y + C1 = -½ ln(1 + x2)+ C2

ln y + ½ ln(1 + x2) = C2 - C1

ln y + ln (1 + x2)½ = C

ln y(1 + x2)½ = C

y (1 + x2)½ = e C

y (1 + x2)½ = C

y = C (1 + x2) - ½

Catatan

x

xdx

12

= …?

Misalakan : (1 + x2) = z.

dz

dxx2 dx

x

dz=

2

Maka,

x

x

xz

dzx

dx1 22 =

2

1 dz

z

= ½ 1z

dz

= ½ ln z + C2

= ½ ln(1 + x2)+ C2



Contoh 10- 5

Tunjukkan bahwa y = xex adalah jawaban dari:

d y

dx

dy

dxy

2

22 0

Penyelesaian

y = xex (1)

dy

dxe x ex x. (1.1)

d y

dxe e x ex x x

2

2( . )

= 2 e x ex x. (1.2)

d y

dx

dy

dxy

2

22 0 (2)

Selanjutnya dengan memasukkan (1), (1.1) dan (1.2) ke dalam (2), dan periksalah apakah hasilnya nol, sebagai berikut:

d y

dx

dy

dxy

2

22 . . . ?

= (2 xx exe . ) - 2(

xx exe . ) + x.ex

= 2 xx exe . - 2

xx exe .2 + x.ex

= 0

d y

dx

dy

dxy

2

22 0 (hasil ini cocok)

Jadi, y = xex merupakan jawaban dari:

d y

dx

dy

dxy

2

22 0

Contoh 10- 6

Tunjukkan bahwa y = C1e2x + C2e-x adalah jawaban dari:

d y

dx

dy

dxy

2

22

Penyelesaian

y = C1e2x + C2e-x (1)

xx eCeCdx

dy=

2

2

12 (1.1)

Nata WIrawan 263


d y

dxC e C ex x

2

2 12

24 (1.2)

d y

dx

dy

dxy

2

22 (2)

Selanjutnya masukkan (1.1) , (1,2) ke dalam (2) apakah hasilnya 2y?

d y

dx

dy

dx

2

2 = . . . ?

= ( )4 12

2C e C ex x - ( 2C12

2e C ex x )

= 2C 2C12

2e ex x

= 2 12

2( )C e C ex x

dari (1) diketahui bahwa y = C e ex x1

222C ,

maka,

d y

dx

dy

dxy

2

22 (hasil ini cocok)

Selanjutnya pada bab ini akan dipelajari hanya persamaan differensial biasa orde pertama dan derajat pertama dan aplikasinya dalam ekonomi dan bisnis.

10.4 Persamaan Differensial (Biasa) Orde Pertama dan Derajat Pertama.

Persamaan differensial (PD) orde pertama dan derajat pertama dapat dituliskan dalam bentuk umum.

dy

dxF x y( , ) (10.1)

PD bentuk (10.1) memiliki metode penyelesaian umum sebagai berikut:(1) Bila F(x, y) adalah sebuah tetapan atau sebuah fungsi dari f(x), maka PD

tersebut diselesaikan dengan metode integrasi biasa,seperti Contoh 10-1 dan Contoh 10-2 sebelumnya.

(2) Bila F(x, y) adalah sebuah fungsi dari x dan y (fungsi dua variabel), maka bentuk PD (10.1) dapat dinyatakan sebagai bentuk alternatif (10.2) berikut ini.

M(x, y) + N(x, y) = 0 (10.2)

maka, metode penyelesaiannya dapat dipilih menurut bentuk lain yang



mungkin, dari bentuk (10.2). Bentuk lain dari (10.2) adalah:(i) PD yang variabelnya dapat dipisahkan.(ii) PD yang homogen.(iii) PD eksak.(iv) PD linear.(v) PD linear dalam fungsi y atau fungsi x.

10.4.1 PD yang Variabelnya Dapat Dipisahkan

Bila M hanya fungsi dari x dan N hanya fungsi dari y maka bentuk (10.2) menjadi,

M(x)dx + N (y)dy = 0 (10.3)

Penyelesaian umum bentuk (10.3) diperoleh dengan metode integrasi biasa.

Contoh 10- 7

Carilah penyelesaian umum PD - PD berikut,

(a) dy

dxxy2 (b) (1 + x).y dx + (1 - y)x dy = 0

(c) (1 - y) dy

dxx2

Penyelesaian

(a) dy

dxxy2

dy

yx dx

2 (pemisahan variabel)

y -2 dy = x dx

y dy x dx2 (kedua ruas diintegrasikan)

- y -1 + C1 = ½ x2 + C2

- y -1 = ½ x2 + C2 - C1

1 2 2

2

22 1

y

x C C

1

2

2

yx C

(misalkan 2C2 - 2C1= C)

- y = 22x C

(dibalik)

Nata WIrawan 265


y = 2

2x C (solusi umum)

(b) (1 + x)y dx + (1 - y) x dy = 0

(1 + x) y dx = - (1 - y) x dy

( ) ( )1 1x

xdx

y

ydy (pemisahan variabel)

( )( )1 1

0x

xdx

y

ydy

( 1 1x

dx+ ) + ( dy)1y1 = 0

( ) ( )1 11 1 0x y

dx dy (kedua ruas diintegrasikan)

( ) ( )1 1x y

dx dx dy dy C

ln x + C1 + x + C2 + ln y + C3 - y + C4 = C5

ln x + ln y + x - y = C5 - C1 - C2 -C3 - C4

ln x + ln y + x - y = C (misalkan C5 - C1 - C2 - C3 - C4 = C)

ln(x + y) + (x - y) = C (solusi umum)

(c) (1 - y) dy

dxx2

(1 - y) dy = (x2) dx (pemisahan variabel)

( ) ( )1 2y dy x dx (kedua ruas diintegrasikan)

dy y dy x dx( )2

y + C1 - ½ y2 + C2 = 13

x3 + C3

y - ½ y2 - 13

x3 = C3 - C2 - C1 (misalkan C3 - C2 - C1 = C)

y - ½ y2 - 13 x3 = C (solusi umum)

Pada pembahasan-pembahasan selanjutnya, tetapan hasil integrasi dari masing-masing suku suatu PD akan dicakup atau diwakili oleh tetapan C saja. Misalkan seperti: (2C1- 2C2 ), C5 -C1 - C2 - C3 - C4 dan C3 - C2 - C1 di atas akan dicakup atau diwakili oleh tetapan C saja.



10.4.2 PD yang HomogenSebuah persamaan differensial (PD) dengan bentuk umum,

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (10.4)

dikatakan homogen jika M(x, y) dan N(x, y) masing-masing merupakan fungsi homogen yang berderajat sama. Seperti telah dipelajari dalam Bab 7, teorema Euler menyatakan bahwa suatu fungsi f(x , y) dikatakan homogen berderajat n bila dipenuhi,

f x y f x yn( , ) . ( , )

adalah tetapan sembarang.

Metode penyelesaian PD yang homogen

Tiga langkah penyelesaian PD homogen sebagai berikut:(1) Ubahlah PD yang homogen menjadi PD dengan variabel terpisah dengan

substitusi, y = vx dan dy = v dx + x. dv atau x = vy dan dx = x dy + y dv ke dalam (10.4), akan diperoleh PD dengan variabel yang dapat dipisah-kan sebagai berikut:

M x dx N v)dv

atau

N v)dv N y dy

( ) (

( ( )

0

0 (10.5)

(2) Integrasikan PD dengan variabel terpisah melalui integrasi biasa untuk

mendapatkan penyelesaian umum yang masih memuat variabel v.(3) Substitusikan v = x

y atau v = yx untuk mendapatkan penyelesaian

umum yang memuat variabel x dan y.

Contoh 10- 8

Untuk PD - PD homogen di bawah ini.

(a) (y2 - xy)dx + x2 dy = 0, carilah solusi umumnya

(b) (2xy)dy - (y2 - x

2)dx = 0, carilah solusi umum dan solusi khusus bila x = 1 maka y = 3.

Penyelesaian

(a) (y2 - xy) dx + x2 dy = 0 (1)

Substitusikan y = vx dan dy = vdx + xdv ke (1) didapat,

Nata WIrawan 267


{(vx)2 – x(vx)}dx + x2(vdx + xdv)= 0

(v2 x2 - x2v) dx + x2 (v dx + x dv) = 0

v2 x2 dx - x2 v dx+ x2 vdx + x3 dv = 0

v2 x2 dx + x3 dv = 0

v2 x2 dx = - x3 dv

x

xdx

vdv

2

3 2

1

1 1

2xdx

vdv

1 1

2xdx

vdv = 0

1x

dx + v-2 dv = 0 (PD dengan variabel terpisah)

1 2 0x

dx v dv (kedua ruas diintegrasikan)

ln x - 1v = C

ln x - xy = C (substitusikan v =

y

x)

- xy = C - ln x

xy = ln x - C

y = x

x Cln (solusi umum)

(b) (2xy)dy - (y2 - x

2)dx = 0 (1)

(1) Solusi umum

Substitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv ke (1), didapat

2x (vx) (v dx + x dv) - (v2 x2 + x2) dx = 0

2v2 x2 dx + 2 vx3 dv - v2 x2 dx - x2 dx = 0

v2 x2 dx - x2 dx + 2(vx3) dv = 0

x2 (v2 - 1)dx + (2 vx3) dv = 0

x2 (v2 - 1)dx = - 2 vx3 dv

x

xdx

v

vdv

2

3 2

2

1( )



dvv

vdxx )1(

212

+ = 0 (PD dengan variabel terpisah)

=+ 01

21

2dv

v

vdxx

(kedua ruas diintegrasikan)

ln x + ln (v2 - 1) = C

ln x (v2 - 1) = C

x (v2 - 1) = eC

x y

xeC

2

21 (substitusikan v =

y

x)

x y x

xC

2 2

2

y x

xC

2 2

y2 - x2 = Cx

y2 = Cx + x2

y = Cx x2

y = (Cx + x2 )½ (solusi umum)

(2) Solusi khusus

Apabila x = 1 , maka y = 3

y = (Cx + x2 )½

3 = (C.1 + 12 )½

(3)2 = C + 1

9 = C + 1

C = 8

y = (8x + x2)1/2 (solusi khusus)

10.4.3 Persamaan Differensial EksakBila diketahui suatu fungsi dua variabel F(x, y), total differensialnya adalah:

dF (x, y) = dyy

Fdx

x

F+ (10.6)

Bila persamaan (10.6) ditetapkan dengan nol, hasil persamaannya.

Nata WIrawan 269


0dyy

Fdx

x

F=+ (10.7)

Persamaan (10.7) disebut dengan persamaan differensial eksak, karena ruas kirinya tetap merupakan differensial dari F(x, y).Persamaan differensial eksak (10.7) memiliki penyelesaian umum F(x, y) = C

adalah eksak jika dan hanya jika terdapat fungsi F(x, y), sedemikian rupa sehingga

M (x,y) = M x y

x

( , ) dan N(x, y) =

N x y

y

( , )

atau Persamaan (10.2) merupakan persamaan differensial eksak jika dan

hanya jika

M x y

x

( , ) =

N x y

y

( , ).

Empat (4) langkah prosedur penyelesaian persamaan differensial eksak.

(1) Integrasikanlah M(x, y)dx ke x (terhadap x) dan menggantikan tetapan in-tegrasi biasa dengan sebuah fungsi f(y) dari y.

F(x, y) = M(x, y) dx + G(x, y) + C

= M(x, y) dx + G(x, y) + f(y)

(2) Diferensiasikanlah F(x, y) = G(x, y) + f(y) yang diperoleh dari langkah (1) ke y (terhadap y) dan bandingkanlah dengan N(x, y) dari persamaan dif-

ferensial yang akan diselesaikan untuk mendapatkan nilai f y

y

( ).

G

y

f y

y

( ) =

N

y

f y

y

( ) =

N

y -

G

y

(3) Integrasikanlah f y

y

( ) ke y untuk mendapatkan f(y)



)y(fdyy

)y(f=

(4) Penyelesaian dari langkah (1) dan (3) adalah,

f(x, y) = G(x, y) + f(y) + C = 0

Catatan: Penyelesaian itu dapat juga diperoleh dengan mengintegrasikan terlebih dahulu ke y (terhadap y)

Contoh 10- 9

Selesaikanlah persamaan differensial berikut: (x2 - x + y2)dx - (y.ey - 2xy)dy = 0

Penyelesian

Diperiksa terlebih dahulu apakah PD tersebut eksak atau tidak. Dalam PD di atas

M(x, y) = x2 - x + y2 N(x, y) = - (yey - 2xy )

M

y = 2y

N

x = 2y

Oleh karena M

y =

N

x = 2y, maka PD tersebut adalah eksak. Untuk mencari

penyelesaiannya, ikuti langkah-langkah seperti yang telah ditetapkan (Sub subbab 10.4.3)

F

x = (x2 - x + y2 )

Integrasikan ke x, dan mengganti C dengan f(y)

F(x, y) = (x2 x y dx2 )

= x x xy C3 2

3 22

= x x xy f y3 2

3 22 ( ) (1)

Diferensiasikan F(x, y) pada (1) ke- y.

F x y

y

( , ) = 2xy + f ‘(y) (1.1)

Hasil pada (1.1) ini disamakan dengan N(x, y)

Nata WIrawan 271


2xy + f ‘(y) = - (yey - 2xy) = - yey + 2xy (2)

Didapat f ’(y) = - yey

Integrasikan f ‘(y) ke y, didapat f (y)

f(y) = f ' (y) dy

= yye dy

= - (y - 1) ey (3) Dengan memasukkan (3) ke (1) didapat penyelesaian umum PD tersebut,

F(x, y) = x x xy f y3 2

3 22 ( )

x x xy3 2

3 22 - (y - 1) ey = C (4)

Contoh 10-10

Selesaikanlah persamaan differensial (x + 2y)dy + (y + 3x2)dx = 0

dan carilah penyelesaian khususnya jika y = 1, maka x = 2.

Penyelesaian

Diperiksa terlebih dahulu PD tersebut apakah eksak atau tidak. Dalam PD tersebut di atas.

M(x, y) = (y + 3x2) N(x, y) = (x + 2y)

M x y

y

( , ) = 1

x

)y,x(N = 1

Oleh karena M x y

y

( , ) =

x

)y,x(N = 1, maka PD tersebut adalah eksak.

Untuk mencari penyelesaiannya, lakukan langkah-langkah seperti yang telah ditetapkan pada Sub subbab 10.4.3

F

x = (y + 3x2)

Integrasikan ke x, dan menggantikan C dengan f(y)

F(x, y) = dx)x3y( 2

= (yx + x3) + C

= yx + x3 + f(y) (1)



Diferensiasikan F(x, y) ke- y

F x y

y

( , ) = x + f ‘(y) (1.1)


x + f ‘(y) = x + 2y

Didapat f ‘(y) = 2y Integrasikan f ‘(y) ke y , didapat f(y)

f(y) = f ' (y)dy

= )y2( dy

= y 2 (3)

Dengan memasukkan (3) ke (1) didapat penyelesaian umum PD tersebut,

F(x, y) = yx + x3 + f(y) = yx + x3 + y2 = C yx + x3 + y2 = C (solusi umum)

Penyelesaian khusus

Bila y = 1 maka x = 2Bila y = 1 dan x = 2 dimasukkan ke dalam penyelesaian umum yaitu didapat nilai C = sebagai berikut:

yx + x3 + y2 = C 1(2) + (2)3 + (1)2 = C 2 + 8 + 1 = C C = 11

Jadi, penyelesaian kususnya adalah: yx + x3 + y2 = 11 yx + x3 + y2 - 11 = 0

Contoh 10 - 11

Selesaikanlah PD berikut

(6yx + 8y2) dy + (3y2 + 4x) dx = 0

dan carilah penyelesaian khusus jika x = 0, maka y = 2

Nata WIrawan 273


Penyelesaian

Diperiksa terlebih dahulu apakah PD tersebut eksak atau tidak.Di sini,

M(x, y) = (3y2 +4x) N(x, y) = (6xy + 8y2)

M x y

y

( , ) = 6y

N x y

x

( , ) = 6y

Oleh karena, M x y

y

( , ) =

N x y

x

( , ) = 6y, maka PD tersebut adalah eksak.

F x y

x

( , ) = (3y2 + 4x)

Integrasikan ke x, dan menggantikan C dengan f(y)

F(x, y) = M(xy)dx = + dxx)4(3y2

= 3y2x + 2x2 + C = 3y2x + 2x2 + f(y) (1)

Diferensiasikan F(x, y) ke y

y

)y,x(F = 6yx + f ‘(y) (1.1)


6yx + f ‘(y) = 6xy + 8y2 (2)

Didapat f ‘(y ) = 8y2

Integrasikan f ‘(y) ke y didapat f(y),

f(y) = 83

y3 (3) dengan memasukkan (3) ke (1) didapat penyelesaian umum PD tersebut,

F(x, y) = 3y2 x + 2x2 + f(y)

= 3y2 x + 2x2 + 83

y3 = C

3y2 x + 2x2 + 83

y3 = C (4)

Penyelesaian khusus

Bila, x = 0 maka y = 2Bila x = 0 dan y = 2 dimasukkan ke dalam persamaan (4) didapat nilai C sebagai berikut:



3y2 x + 2x2 + 83

y3 = C

3(2)2 (0) + 2(0)2 +83

(2)3 = C

C = 643

Jadi, penyelesaian kususnya adalah:

F(x, y) = 3y2 x + 2x2 + 83

y3 = C

3y2 x + 2x2 + 83

y3 = 643

atau

3y2 x + 2x2 + 83

y3 - 643

= 0

Integration Factor)

Tidak semua PD merupakan PD eksak. Akan tetapi, beberapa PD yang bukan eksak dapat dibuat eksak dengan mengalikan tiap suku persamaan tersebut dengan faktor umum tertentu yang disebut faktor pengintegralan.

Bila suatu faktor pengintegralan dari suatu PD dapat dicari, maka selalu mungkin PD tersebut dibuat eksak, dan kemudian menerapkan keempat langkah prosedur penyelesaian yang telah ditetapkan bagi PD yang eksak.

Mencari faktor pengintegralan suatu PD bukanlah pekerjaan mudah, tapi ada dua kaidah yang akan membantu dalam pencarian faktor pengintegralan untuk suatu PD bukan eksak, bila faktor seperti itu ada. Kaidah yang dimaksud adalah:

(1) Bila 1

N

M x y

y

N x y

x

( , ) ( , ) = f(x) semata fungsi x, maka f x

e

( ) dx adalah

faktor pengintegralan.

(2) Bila 1

M

N x y

x

M x y

y

( , ) ( , ) = g(y) semata fungsi y, maka g y

e

( ) dy ada-

lah faktor pengintegralan.

Contoh 10- 12

Carilah penyelesaian umum dari:

(x2 + y2 + x)dx + xydy = 0

Penyelesaian

Di sini, M(x, y) = (x2 + y2 + x) N(x, y) = xy

M

y = 2y

N

x = y

Nata WIrawan 275


Oleh karena M

y

N

x , maka PD tersebut tidaklah eksak.

Mencari faktor pengintegralan sebagai berikut:

1

N

M

y

N

x =

12

xyy y( ) =

2 1y y

xy x,

1

x = f(x) dan f x

e

( ) dx

= 1x

e

dx = eln x = x adalah faktor pengintegralan.

Dengan mengalikan kedua suku dari PD dengan faktor pengintegralan tersebut didapat,

x(x2 + y2 + x) dx + x(x y)dy = 0

(x3 + xy2 + x2)dx + x2 y dy = 0 dan

M

y = 2xy

N

x = 2xy

Oleh karena M

y =

N

x = 2xy, maka PD semula menjadi eksak

Selanjutnya penyelesaiannya sebagai berikut.

(x3 + xy2 + x2) dx + x2 ydy = 0 (eksak)

F

x = x3 + xy2 + x2

Integralkan ke x, dan menggantikan C dengan f(y) didapat.

F(x, y) = ( )x xy x3 2 2 dx

= Cxyxx 33122

214

41

= 14

4 12

2 2 13

3x x y x f y( ) (1)


yxy

)y,x(F 2 f ‘(y) (1.1)

Hasil (1.1) ini disamakan dengan N(x, y),

x2y + f ‘ (y) = x2y (2)

Didapat, f ‘(y) = 0



Integrasikan ke y, didapat

f(y) = C1 (3)

Dengan memasukkan (3) ke (1) didapat penyelesaian umum PD tersebut.

F(x, y) = 14

4 12

2 2 13

31x x y x C C

14

4 12

2 2 13

3x x y x C

10.4.4 Persamaan Differensial Linear Orde PertamaPersamaan differensial linear orde pertama dalam bentuk umum dapat

dinyatakan sebagai,

dy

dxy P x Q x( ) ( ) (10.8)

Apabila persamaan ini dikalikan dengan faktor pengintegralan dx)x(P

edidapat,

dx)x(Pe +

dx)x(Pe)x(Py

dx

dy =Q x e

P x dx( )

( )

Bila diintegrasikan ke x, didapat,

dx)x(P

ye = e Q x dx CP x dx( )

( ) + (C = tetapan sembarang)

oleh karena,

d ye

dx

P x dx( )

( )

= edy

dxy e

P x dx P x P x dx( ) ( ) ( )

maka persamaan,

dy

dxy P x Q x. ( ) ( )

memiliki penyelesaian sebagai berikut,

y = e e Q x dx CP x dx P x dx( ) ( )

( ) (10.9)

, persamaan

dx

dyx P y Q y. ( ) ( ) (10.10)

Nata WIrawan 277


dengan faktor pengintegralan dy)y(Pe , memiliki penyelesaian

x = e e Q y dy CP y dy P y dy( ) ( )

( ) (10.11)

Contoh 10- 13

Selesaikanlah

dy

dx + 2xy = 4x

Penyelesaian

dy

dx + 2xy = 4x

dy

dx + y P(x) = Q(x)

Di sini, P(x) = 2x Q(x) = 4x

faktor pengintegralan adalah eP(x dx)

P x dx( ) = ( )2 2x dx x

eP(x dx)

= ex2

maka,

y = +Cdx)x4e(e22 xx

= e e Cx x2 2

2

= 2 + C e x2

Catatan

dx)x4e(2x

= . . . ?

misalkan : u = x2

du

dxx dx

du

x= =2

2

dx)x4e(2x

=dx

dux4e

u

= due2u

= 2 dueu

= 2eu + C

= 2 e Cx2

+



Contoh 10- 14

Selesaikanlah,

x dy

dx = y + x3 + 3x2 - 2x

Penyelesaian

dy

dx =

y

x + x2 + 3x - 2

dy

dx -

y

x = x2 + 3x - 2

dx

dy + y P(x) = Q(x)

Di sini,

P(x) = - x

1

Q(x) = x2 + 3x - 2

faktor pengintegralan adalah eP x dx( )

P x dx dx xx

( ) ln1

e eP x dx x

x

( ) ln 1

Maka, y = e e Q x dx CP x dx P x dx( ) ( )

( )

= eln x e x x Cxln( 2 3 2)

= x [ ]1 2 3 2)xx x dx C( + + +

= x [ ]( )x dx Cx

+ + +3 2

= [ ]x x x x C1

2

23 2+ + +ln

= ½ x3 + 3x2 + 2x ln x + Cx

Contoh 10-15

Carilah penyelesaian dari: dy + 2y dx = e-x dx

Penyelesaian

dy + 2y dx = e-x dx

Kedua ruas dibagi dx

dy

dxy e

dy

dxyP x Q xx2 ( ) ( )

Nata WIrawan 279


dalam hal ini P(x) = 2 Q(x) = e - x

Faktor pengintegralan eP(x dx)

P x dx x( ) 2dx 2

eP(x dx)

= e2x

Maka,

y = e e Q x dx CP x dx P x dx( ) ( )

. ( )

= [ ]e e e dx Cx x x +2 2

.

= [ ]e e Cx x +2

= e Cex x2

Contoh 10- 16

Carilah penyelesaian dari

dy

dx xy x ex2 2

Penyelesaian

x2exyx

2

dx

dy=

dy

dx + y P(x) = Q(x)

dalam hal ini,

P(x) = x

2

Q(x) = x ex2

Faktor pengitegralan adalah eP(x dx)

P x dxx

dxx

dx x( ) ln2

21

2

= ln x -2 = ln 12

x

Maka, y = + Cdx)x(Qeedx)x(Pdx)x(P

= e xln 2

[ ]e x e dx Cx xln. +

22



= x2 [ ]1 22x

xx e dx C) +

= x2 [ ]+Cdxex

= x2 [ ]e Cx +

= x2 ex + Cx2

10.4.5 Persamaan Differensial Linear dalam Fungsi y atau dalam

Fungsi x

Persamaan differensial dalam fungsi y yang berderajat pertama dalam

f(y) dan dy

d f(y) dengan bentuk umum sebagai berikut (Weber, 1982).

dx

d f(y) + f(y) P(x) = Q(x) (10.12)

memiliki penyelesaian

f(y) = +Cdx)x(Q.eedx)x(Pdx)x(P

(10.13)

Dengan cara yang sama, persamaan differensial dalam fungsi x, yang

berderajat pertama dalam f(x) dan dy

d f(x) dengan bentuk umumnya sebagai

berikut:

d

dyf(x) + f(x) P(y) = Q(y) (10.14)

memiliki penyelesaian,

f(x) = e e Q y dy CP y dy P y dy( ) ( )

. ( ) (10.15)

Contoh 10- 17

Selesaikanlah persamaan,

ydx + x(1 - x2y4)dy = 0

Penyelesaian

PD tersebut diubah dalam bentuk dy

d f(x) + f(x) P(y) = Q(y) sebagai berikut:

ydx + x(1 - x2y4 )dy = 0

Nata WIrawan 281


ydx

dy + x(1 - x2y4) = 0 (kedua suku dibagi dengan dy)

ydx

dy + x - x2y4 = 0

dx

dy +

xy x - x2y3 = 0 (ketiga suku dibagi dengan y)

dx

dy +

xy x = x2y3

x -3 dx

dy + x

y

2 = y3 (ketiga suku dibagi dengan x3)

- 2x -3 dx

dy + x-2 (

2y

) = -2y3 (ketiga suku dikalikan - 2)

didapat

d

dy (x -2) + x-2 ( -

2y ) = - 2y3

d

dy f(x) + f(x) P(y) = Q(y)

dalam hal ini f(x) = x -2

P(y) = -2y

Q(y) = -2y3

Faktor pengintegralan adalah dy)y(P

e

P y dy dy yy

( ) ln ,2 2 dan

2ylnyln2dy)y(Pyeee

2

Jadi,

f(x) = e e Q y dy CP y dy P y dy( ) ( )

. ( )

x -2 = [ ]e y y dy Cy +( ) .( )2 2 32

= y2 [ ]+2 ( )y dy C

= y2 [ ]+2 12

2( )y C

= y2 [ ]+y C2 )

x -2 = - y4 + Cy2

1 = - x2y4 + Cx2 y2 (kedua suku dibagi dengan x -2)

- x2y4 + Cx2 y2 = 1 (penyelesaian umum/solusi umum)



Contoh 10- 18

Selesaikanlah persamaan

dy

dx + 2y = y2 e –x

dan carilah penyelesaian khususnya jika y = 3 bilamana x = 0

Penyelesaian

PD tersebut diubah dalam bentuk d

dx f(y) + f(y) P(x) = Q(x) sebagai berikut:

dy

dx = + 2y = y2 e -x

y -2 dy

dx+ 2y -1 = e -x (kedua ruas dibagi dengan y2)

-y -2 dy

dx - 2y -1 = - e -x (kedua ruas dikalikan minus 1)

d

dx (y -1 ) - 2 (y -1 ) = - e -x

d

dx f(y) + f(y) P(x) = Q(x)

dalam hal ini,

f(y) = y -1 = 1y

P(x) = -2 Q(x) = - e –x

Faktor pengitegralan adalah eP x dx( )

P x dx x( ) ,2dx 2

e eP x dx x( ) 2

Jadi, penyelesaian umumnya

f(y) = e e Q x dx CP x dx P x dx( ) ( )

. ( )

1y = [ ]e e e dx Cx x x +( ) ( . )2 2

= e x2

eC

x3

3

1y = +

x2x

Ce3

e

3 = y e -x + 3C y e2x (kedua ruas dikalikan 3y)

3ex = y + 3C y e3x (kedua ruas dikalikan ex) 3ex = y + C y e3x (nyatakan 3C hanya dengan C saja) y + C y e3x = 3ex (Penyelesaian umum)

Nata WIrawan 283


Bila x = 0 dan y = 3 dimasukkan ke dalam penyelesaian umum di atas didapat nilai C sebagai berikut;

3e0 = y + C y e3( 0 )

3(1) = 3 + C (3) (1) C = 0

Jadi, penyelesaian khususnya adalah 3 = y e -x + 3C y e2x

3ex = y + 0 y e3x (substitusikan C = 0) y = e3x (penyelesaian khusus)

10.5 Aplikasi Persamaan Differensial dalam Ekonomi-BisnisPada subab ini diberikan beberapa contoh aplikasi persamaan differensial

dalam ekonomi dan bisnis.

Contoh 10- 19

Hubungan antara laba bersih (P) dan pengeluaran untuk biaya iklan (x) sedemikian rupa sehingga tingkat kenaikan laba netto ketika biaya periklanan meningkat adalah proporsional terhadap suatu konstanta, a, dikurangi laba bersih, yang dapat dinyatakan oleh persamaan PD berikut,

dp

dx = k(a - P)

Carilah hubungan di antara laba bersih dan biaya iklan jika P = Po , bila x = 0

Penyelesaian

dp

dx = k(a - P)

dp

a p)( = kdx

dp

a p)( = kdx

- ln (a - p) = kx + C

ln (a - P) = - kx + C

a -p = C.e -kx

p = a - Ce –kx (1)

Bila P = Po dan x = 0 dimasukkan ke (1) didapat Po

= a - C e- k.0

Po = a - C

C = a - Po

Jadi, hubungan antara laba bersih dan biaya iklan jika P = Po dan apabila x = 0 adalah P = a - (a - po) e - k x



a

P = a - ( a - po ) e

- k x

Po

Biaya iklan ( x )

(Gambar 10.1)

Contoh 10- 20

Perubahan dalam harga (y), dengan perubahan dalam kuantitas yang diminta (x), dari suatu komoditi tertentu dinyatakan oleh:

dy

dx

xy x

x

2 24

162

Carilah hubungan antara harga dan kuantitas yang diminta jika harga adalah 7,5 dan jika kuantitas yang diminta adalah 4.

Penyelesaian

dy

dx

xy x

x

2 24

162

(x2 + 16) dy + (2xy + 24x)dx = 0

M(x,y) = (2xy + 24x) M

y = 2x

N(x, y) = (x2 + 16) N

x = 2x

Jadi PD tersebut adalah eksak, selanjutnya,

F

x = 2xy + 24x

Integrasikan ke x, dan menggantikan C dengan f(y).

F(x, y) = + dx)x24xy2(

= x2y + 12x2 + C

= x2y + 12x2 + f(y) (1)

Nata WIrawan 285



y

F = x2 + f ‘(y) (1.1)

Hasil pada (1.1) disamakan dengan N(x, y) x2 + f ‘(y) = x2 + 16 (2)

didapat, f ‘(y) = 16 f(y) = 16y (3)

Maka, F(x, y) = x2 y + 12x2 + 16y = C (4)

Substitusikan y = 7,5 dan x = 4 ke (4) diperoleh nilai C sebagai berikut:

x2 y + 12x2 + 16y = C 42 (7,5) + 12(42) + 16(7,5) = C C = 432

Jadi, F(x, y) = x2y + 12x2 + 16y = C x2y + 12x2 + 16y = 432 x2y + 12x2 + 16y - 432 = 0

y

( 0,27 )

0 ( 0, 6 ) x

(Gambar 10.3)

Contoh 10- 21

Hubungan antara memproduksi satu unit barang (M) dan banyaknya jenis barang yang diproduksi (N), adalah sedemikian sehingga tingkat kenaikkan biaya produksi karena kenaikkan banyaknya jenis barang sama dengan rasio biaya produksi per unit barang ditambah banyaknya jenis barang terhadap banyaknya jenis barang, yang dapat dinyatakan sebagai,

N

NM

dN

dM +=

Carilah hubungan antara biaya produksi per unit barang dan banyaknya jenis barang yang diproduksi, jika M = Mo apabila N = 1



Penyelesaian

dM

dN

M N

N

N dM = (M + N) dN (1)

Substitusikan M = vN dan dM = vdN + N.dv ke (1), didapat

vNdN + N2 dv = vN dN + N dN

dv = dN

N

v = ln N + C (2)

Substitusikan v = M

N ke (2) , didapat

M

N = ln N + C

M = N ln N + NC, (3)

Substitusikan M = Mo dan N = 1 ke (3) didapat

Mo = N ln 1+ 1C Mo = N (0) + C C = Mo

Substitusikan C = Mo kembali ke (3) didapat

M = N ln N + NMo = N (ln N + Mo ) M = N ( Mo + ln N)

M

M = N (Mo + ln .N)

. (1, Mo)

N

Gambar 10.2

10.6 Aplikasi Persamaan Differensial dalam Model EkonomiAda dua model ekonomi yaitu model statis dan dinamis. Model statis

berkenaan dengan situasi ekuilibrium yaitu situasi yang apabila telah dicapai akan dipertahankan (tak mengalami perubahan). Sedangkan model dinamis berkenaan dengan situasi yang berubah menurut waktu. Di dalam model

Nata WIrawan 287


dinamis, waktu masuk secara eksplisit sebagai suatu variabel yang berdiri sendiri atau secara implisit dalam bentuk variabel dalam kesenjangan (lagged

variable). Model yang dibahas dalam subab ini adalah model ekonomi yang dinamis dan amat sederhana yang dinyatakan dalam persamaan differensial.

Variabel-variabel dalam model ekonomi umumnya dibagi atas dua kelompok yaitu variabel endogen dan variabel eksogen. Variabel endogen ialah variabel yang nilainya ditentukan didalam model melalui hubungan variabel yang tercermin di dalam persamaan tertentu, sedangkan variabel eksogen adalah variabel yang diasumsikan ditentukan dan diketahui sebelumnya dan dapat dianggap sebagai sebuah tetapan dalam model itu.

Penyelesaian beberapa model ekonomi yang diilustrasikan di dalam subab ini adalah model makro Domar, model utang Domar dan model pendapatan- konsumsi-investasi.

10.6.1 Model Makro Dari Domar

Model makro yang amat sederhana ini dikemukakan oleh E.D Domar.

S(t) = y(t) (Tabungan merupakan proporsi yang tetap dari pendapatan)

I(t) = dy

dt (Investasi berbanding lurus terhadap laju perubahan

pendapat sepanjang waktu)

S(t) = I(t) (Tabungan = Investasi) Y(0) = Yo

(syarat awal) > 0 , > 0

Dari hubungan-hubungan yang dinyatakan oleh keempat persamaan di atas, dapatlah diperoleh fungsi-fungsi khusus yang mencerminkan variasi di dalam variabel.

Oleh karena, S(t) = I(t)

y(t) = dy

dt

dt

dyy =

dy

dt - y = 0 (persamaan differensial untuk pemecahan)

Pisahkan variabel

1

ydy = dt

ln y = t + C



y = C e( / )t

Jika Y = y0 pada t = 0 , maka Yo = C dan penyelesaian khususnya adalah

Y = Yo e( / )t

Penyelesaian khusus ini menunjukkan bahwa pendapatan (y), merupakan fungsi dari waktu (t).Oleh karena > 0, > 0, fungsi tersebut memiliki angka arah positif yang menaik, dan laju kenaikan tergantung dari pada .

Penyelesaian untuk variabel lainnya dari model itu, yaitu I dan S diperoleh

I = S = y = yo e( / )t

10.6.2 Model Hutang Domar

Untuk menyatakan hubungan antara pendapatan Nasional dan hutang nasional, Domar memakai seperangkat model di bawah ini.

dD

dtY t( )

(1) Laju hutang nasional adalah merupakan proporsi yang tetap dari pendapatan nasional

dy

dt

(2) Pendapatan nasional meningkat padasuatu kelajuan yang tetap sepanjang waktu

Y(0) = Yo D(0) = Do

(3) Syarat awal (4) Syarat awal

> 0 , > 0,

Integrasikan persamaan (2) yang sebelumnya diubah terlebih dahulu sebagai berikut:

dy

dt

dy = dt

dy = dt

y = t + C

Oleh karena Y = Yo bila t = 0, maka C = Y o dan y = t + Yo (5)

Substitusikan (5) ke (1) didapat.

dD

dtY t( )

= ( )t Yo

= t Yo

dD = ( t Yo ) dt

Nata WIrawan 289


Kedua ruas diintegrasikan,

dD = ( )t Y dto

D = 12

2t Y t Co

Oleh karena, D = Do bila t = 0, maka C = Do dan D = 12

2t Y t Do o

Penyelesaian model tersebut menjadi:

D(t) = 12

2t Y t Do o

Y(t) = t Yo

Domar tertarik pada perbandingan hutang nasional terhadap pendapatan nasional.

D t

Y t

t Y t D

t Y

o o

o

( )

( )

12

2

atau

D t

Y t

D

t Y

Y t

t Y

t

t Yo

o

o

o o

( )

( )

12

2

Bila t ~ , maka

(1) D

t Yo

o

0

(2) Y t

t Y

Yo

o

o (sebuah tetapan)

(3) 12

2t

t Yo

Jadi, bila t , maka D t

Y t

( )

( ) , yang berarti perbandingan hutang

nasional terhadap pendapatan nasional meningkat sepanjang waktu tanpa batas.

10.6.3 Model Pendapatan Konsumsi - Investasi

Perhatikan suatu bentuk persamaan dari model pendapatan konsumsi - investasi, konsumsi dan investasi sekarang (yang sedang berjalan) merupakan fungsi linear dari pendapatan, dan pendapatan berubah pada suatu tingkat yang berbanding lurus dengan kelebihan permintaan, yaitu terhadap konsumsi ditambah investasi dikurangi pendapatan.

C t Y t( ) ( ) (1)

I t Y t( ) ( ) (2)



dy

dt = ( )C I Y (3)

Y Y Yo e( )0 (4)

0 < < 1 0 < < 1 0 < < 1

C , I dan Y merupakan penyimpangan-penyimpangan dari konsumsi, investasi dan pendapatan masing-masing dari nilai-nilai kesetimbangan mereka Ce, Ie dan Ye

Substitusikan (1) dan (2) ke dalam (3)

dY

dtY Y Y( )

dY

dtY( )1

dY

Ydt( )1

ln ( )Y t C1

Y Ce t( )1

Oleh karena Y Y Yo e bila t = 0, maka C Y Yo e dan

Y Y Y eo et( ) ( )1

Jadi, Y = Y Y Y ee o et( ) ( )1

Dan, jika et)1( YYdan0e,1 apabila t

Nata WIrawan 291


Soal-soal Latihan

10 - 1 Carilah penyelesaian umum dari PD - PD di bawah ini;

(a) x dy - 3ydx = x2dx

(b) ydx

dy + 2x - 3y = 0

(c) dy

dx = -

y

x

(d) dy

dx + 2y - x = 0

(e) dy

dx - xy =

x

y

(f) y(x - y)dx = 3x dy

(g) dy

dx = -

( )

( )

x y

x y

(h) 9ydy

dx + 4x = 0

(i) x dy

dx = 3y - 4x

(y) dy

dx +

2

xy = x2 ex

(k) dy

dx - y = e2x

10 - 2 Perubahan di dalam laba bersih (P), ketika biaya Advertensi (x) berubah mengikuti persamaan,

dP

dx = k - a(P + x), dengan a dan k konstanta

Carilah P sebagai suatu fungsi x kalau P = Po ketika x = 0



10 - 3 Biaya memproduksi dan memasarkan sejenis barang (C) berhubungan dengan banyaknya barang (x) mengikuti persamaan.

dC

dx + aC = b + kx

a, b dan c adalah konstanta. Carilah C sebagai fungsi x kalau C = Co ketika x = 0.

Nata WIrawan 293

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H dan Chriss Rorres. Elementary Linear Algebra: Application Version. Ed. Ke-11. New York : John Wiley & Sons, 2013.

Ayres, F., Theory and Problems of Matrices. Ed. SI Metric, New York : Mc Graw - Hill, 1974.

Black, J., dan Bradley. Essential Mathematics for Economists. Ed. ke- 2. New York : John Wiley & Sons, 1993.

Braddley, T. Essential Mathematics for Economic and Business. Ed. ke- 4, New York : John Wiley & Sons, 2013.

Budnick, S. Frank . Applied Social Sciences. Ed. ke - 4, Singapore : Mc Graw - Hill, 1993.

Chiang, C. Alpha dan Kevin Wainwright. Fundamental Methods of

Mathematical Economics. Ed. ke - 4, New York : Mc Graw - Hill, 2005. Cullen, G. Charles. Linear Algebra with Application. Scott, Foresman and

Company, 1988. Dowling, Edward T. Introduction to Mathematical for Economists. Ed. ke-2.

Singapore : McGraw -Hill, 1992. ________,Mathematical Methods for Business and Economics. Ed. ke-1.

Singapore : MC Grwa-Hill, 2009Draper, J. E., dan J. S. Klingman.

Economics Applications. New York : Harper & Row, Publishers, 1967.Hadley, G. Linear Algebra. Ed. Revisi. Massachusetts : Addison - Wesley

Publishing Co, 1964. Haeussler, et al.

and the Life s and the Social Sciences. Ed. Ke-13. London: Pearson Education, Inc., 2011.

Hoi, Michel., et al. Mathematics for Economics. Edisi ke-3. Massachusetts : The MIT Press, 2011.

Hoffmann dan Bradley. Social and Life Sciences. Ed. ke-7. New York : Mc Graw - Hill, 2010.

Jacoues, Ian. 2006. Mathematics for Economics and Business. Ed. ke – 5. Harlow : Prentice Hall, 2006.

Khattar, Dinesh. The Pearson Guide to Complete Mathematics for The AIEEE. Ed. Ke-3. Pearson Education India, 2010.

Leontief W.W. Input-Otput Economics. Ed. Ke-2. New York : Oxford University Press, 1986.

Miller, R. E., dan Peter D Blair. Input-Output Analysis: Foundations and

Extensions. Cambridge : Cambridge University Press, 2009.Nicholson, Walter. Intermediate Microecomics, and Its Application. Ed. ke-9,

New York : Harcourt, Inc., 2000.O’ Sullivan, Sheffrin dan Perez. Economics :

Tools. Ed. Internasional. Boston : Pearson Education, Inc., 2012.


DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Edwin J. dan Varberg, Dale. Calculus With Analytic Geometry. Ed ke - 4, New York : Prentice - Hall, 1984.

Raa, Ten. T. The Economocis of Input-Output Analysis . Cambridge: Cambridge Universitry Press, 2006.

Mathematical Methods in Economics and Social Choice. New York : Sprinnger, 2004.

Tan, Soo T. . Ed. Ke-5. Belmont : Brooks/Cole, 2010.

Taylor, R., dan Simon Hawkins. Mathematics for Economics and Business. New York : Mc Graw-Hill, 2008.

Weber, J. E. .

Ed. ke - 4 . New York : Harper & Row Publishers, 1982.

Nata WIrawan 295

ABJAD YUNANI

Huruf Kecil Huruf Besar Nama

Alpha

Beta

Gamma

Delta

Epsilon

Zeta

Eta

Theta

Iota

Kappa

Lambda

Mu

Nu

Xi

Omicron

Pi

Rho

Sigma

Tau

Upsilon

Phi

Chi

Psi

Omega


p

matematika lanjutan ed-2-print

Documents