matematika lanjut 1 - gunadarma

Matematika Lanjut 1

Onggo Wiryawan

Setiap matriks persegi atau bujur sangkar

memiliki nilai determinan

Nilai determinan skalar

Matriks Singular= Matriks yang determinannya

bernilai 0

Determinan & Invers - Onggo Wr 2

Misalkan A suatu matriks bujursangkar

Determinan dari A dinotasikan

det(A)

|A|

Untuk matriks ordo 2×2

Misal 𝐴 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

Maka

det A = 𝐴 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

= 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12


Contoh

Misal 𝐴 =2 −5−3 9

Maka

det A = 𝐴 =2 −5−3 8

= 2 ⋅ 8 − −3 ⋅ −5 = 1


Untuk matriks ordo 3×3 (Metode Sarrus)


122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Contoh

det(A) = |A| =

= [(-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0)] – (-3

·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)

= 2 +12+0+6-0-2

= 18


102

311

322

A

Definisi 1: Minor

Misal An×n MINOR unsur aij adalah determinan

yang berasal dari determinan orde ke-n tadi

dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Dinotasikan dengan Mij

Contoh Minor dari elemen a11


333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3332

2322

11aa

aaM

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

444342

343332

242322

11

aaa

aaa

aaa

M

Minor-minor dari Matrik A3×3


Definisi 2: Kofaktor

Misal An×n KOFAKTOR dari baris ke-i dan kolom ke-

j dituliskan dengan

Dinotasikan dengan cij

Contoh

Kofaktor dari elemen a23


2323

32

23 )1( MMc

Determinan dari suatu matriks sama dengan

jumlah perkalian elemen-elemen dari

sembarang baris atau kolom dengan

kofaktor-kofaktornya


Contoh:

Determinan Matriks A dengan metode

ekspansi kofaktor baris pertama

|A|


333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

131312121111

131312121111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

Contoh:


ekspansi kofaktor baris kedua

|A|


333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3231

1211

23

3331

1311

22

3332

1312

21

232322222121

232322222121

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

Contoh:


ekspansi kofaktor kolom pertama

|A|


333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

2322

1312

31

3332

1312

21

3332

2322

11

313121211111

313121211111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

Teorema

Misalkan A adalah matriks bujursangkar

Jika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka

det(A) = 0

det(A) = det (AT)

Teorema

Jika A adalah matriks segitiga nn (segitiga atas,

segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah

perkalian entri-entri pada diagonal utamanya

det(A) = a11a22...ann


Teorema

Misalkan A adalah matriks bujursangkar

Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian suatu

baris atau kolom dengan skalar k ≠ 0 maka

det(B) = k det(A)

Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua

baris atau kolom dari A maka

det(B) = –det(A)

Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris

ditambahkan dengan kelipatan baris lain atau suatu kolom

ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A, maka

det(B) = det(A)


Contoh


11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

ka ka ka a a a

a a a k a a a

a a a a a a

11 12 13 11 12 13

31 32 33 21 22 23

21 22 23 31 32 33

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

11 31 12 32 13 33 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a ka a ka a ka a a a

a a a a a a

a a a a a a

Teorema

Misal E adalah matriks elementer ordo n n,

Jika E dihasilkan dari suatu baris In dikali k,

maka det(E) = k

Jika E dihasilkan dari pertukaran dua baris

pada In, maka det(E) = 1

Jika E dihasilkan dari suatu baris ditambah

kelipatan baris lain di In, maka det(E) = 1


Contoh


1 0 0

0 1 0 2

0 0 2

1 0 0

0 0 1 1

0 1 0

1 2 0

0 1 0 1

0 0 1

Teorema

Jika A adalah matriks bujursangkar

dimana terdapat dua baris atau dua

kolom yang saling berkelipatan, maka

det(A) = 0


Contoh


1 3 0

2 4 1

5 2 2

A

1 3 0

2 4 1

5 2 2

2 12B B

1 3 0

0 2 1

5 2 2

3 15B B

1 3 0

0 2 1

0 13 2

12

1 3 0

2 0 1

0 13 2

3 2

13B B

17( 2)(1)(1) 17

2

= 12

172

1 3 0

2 0 1

0 0

Contoh


1 0 0 3

2 7 0 6

0 6 3 0

7 3 1 5

A

1 0 0 3

2 7 0 6

0 6 3 0

7 3 1 5

4 13C C

1 0 0 0

2 7 0 0(1)(7)(3)( 26) 546

0 6 3 0

7 3 1 26

Teorema

Jika A dan B adalah matriks bujursangkar dengan ukuran sama, maka

det(AB) = det(A).det(B)

Teorema

Jika A invertible, maka


1 1det( )

det( )A

A

Definisi

Jika Ann, Cij kofaktor dari aij, maka

disebut matriks kofaktor dari A.

Transposenya disebut matriks Adjoin dari A,

ditulis Adj(A).


11 12 1

21 22

1 2

n

n n nn

C C C

C C

C C C

Contoh

Kofaktor dari A

C11 = 12, C21= 4, C31 = 12,

C12 = 6, C22 = 2, C32 = 10,

C13 = 16, C23 = 16, C33 = 16

Maka matriks kofaktor dari A adalah


3 2 1

1 6 3

2 4 0

A

12 6 16

4 2 16

12 10 16

12 4 12

Adj( ) 6 2 -10

-16 16 16

A

Teorema

Jika A adalah matriks invertible, maka

Teorema (Aturan Cramer)

Jika Ax = b adalah spl dengan n peubah, det(A) ≠

0 maka spl mempunyai solusi tunggal

dimana Ai adalah matriks A dengan kolom ke-i

diganti dengan b


1 1Adj( )

det( )A A

A

det( )

det( )

ii

Ax

A

Contoh

Tentukan solusi dari spl

2𝑥1 − 3𝑥2 = 6

4𝑥1 + 𝑥2 = 25

Jawab

𝐴𝒙 = 𝒃

2 −34 1

𝑥1𝑥2

=625


Matriks Kofaktor dari A adalah = 1 −43 2

Adjoin A adalah KofaktorT = 1 3−4 2

Determinan A = 𝐴 =2 −34 1

= 2 −

−12 = 14


Definisi

Misal An×n, maka A-1 disebut invers matriks

dari A jika

𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼

untuk I = matriks identitas ordo n×n.

Teorema

Misal matriks A dan B invertibel (punya

invers).

𝐴𝐵 −1 = 𝐵−1𝐴−1


Teorema

Misal matriks A invertibel

𝑑𝑒𝑡 𝐴−1 =1

𝑑𝑒𝑡(𝐴)


Rahmi Rusin, Determinan.

UB Informatika, Matriks.


matematika lanjut 1 - gunadarma

Documents