MATEMATIKA EKONOMIProgram Studi :Program Studi : S1 ManajemenS1 AkuntansiS1 Akuntansi

Dosen Pengampu:

Djayadi Nugroho, S.Kom, M.Kom

Website: nugroho.stiemj.ac.id

PERSYARATAN KULIAHPERSYARATAN KULIAH

• Kehadiran minimal 80 %Kehadiran minimal 80 %• Tugas terstruktur• Tugas mandiri• Tugas mandiri• Ujian tengah semesterUji khi t• Ujian akhir semester

• Di kelas nada dering HP dinonaktifkan• Wajib pakai sepatu• Tidak memakai kaos

Buku ReferensiBuku Referensi• Dumairy, “Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi”, 

Edisi ke‐2, Penerbit BPFE, Yogyakarta• Chiang, Alpha C., “Dasar‐dasar Matematika Ekonomi”, Edisi

ke‐4, Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta• Kalangi, Josep Bintang, “Matematika Ekonomi dan Bisnis”,  

Buku 1, Penerbit Salemba Empat, Jakarta• Soeprapto, “Matematika (Kalkulus)”Soeprapto,  Matematika (Kalkulus)• Assauri, Sofyan, ”Pengantar Matematika Ekonomi”• H.Johannes & Budiono Sri Handoko, “Pengantar

Matematika untuk Ekonomi” LP3S JakartaMatematika untuk Ekonomi , LP3S, Jakarta• Weber, Jean E., “Matemathical Analysis: Business and 

Economic Applications”, 4th edition, McGraw‐Hill, New York

SATUAN ACARA PERKULIAHANSATUAN ACARA PERKULIAHANTatapMuka

Pokok Bahasan Materi ReferensiMuka

I  ‐ II Pendahuluan 1. Sifat‐sifat matematika Ekonomi2. Model ekonomi3. Himpunan4 Bilangan Pangkat akar dan logaritma

• Dumairy (Bab 1 & 3)• Chiang (Bab 1& 2)• Kalangi (Bab 1 & 2)

4. Bilangan Pangkat, akar dan logaritma

III Limit & KesinambunganFungsi

1. Pengertian limit2. Kaidah‐kaidah limit3. Kesinambungan4. Penerapan Ekonomi

• Dumairy (Bab 8)• Chiang (Bab 6)• Kalangi (Bab 13)

e e apa o o

IV ‐ V Deferensial FungsiSederhana & Deferensial FungsiMajemuk

1. Derivatif2. Kaidah‐kaidah deferensial3. Deferensial parsial & derivatif parsial4. Nilai Ekstrim (max & min)

• Dumairy (Bab 9 )• Chiang (Bab 6)• Kalangi (Bab 13)

VI ‐ VII Aplikasi DeferensialDalam Ekonomi

1. Elastisitas permintaan2. Elastisitas penawaran3. Elastisitas produksi4. Biaya marjinal

• Dumairy (Bab 10 )• Chiang (Bab 7)• Kalangi (Bab 15)

5. Penerimaan marjinal

VIII U T S U T S

SATUAN ACARA PERKULIAHANSATUAN ACARA PERKULIAHANTatapMuka

Pokok Bahasan Materi ReferensiMuka

IX Fungsi Dan Penggambaran Grafik

1. Pengertian & unsur‐unsur Fungsi2. Jenis‐jenis Fungsi3. Penggambaran fungsi Linear & non linear

• Dumairy (Bab 5 )• Kalangi (Bab 3)

X ‐ XI Fungsi Linear 1. Pembentukan persamaan2. Hubungan dua garis lurus3. Mencari akar fungsi

• Dumairy (Bab 6 )• Kalangi (Bab 4)

XII ‐ XIII Aplikasi Fungsi Linear D l Bi i (Mik )

1. Fungsi permintaan,penawaran danK i b

• Dumairy (Bab 6 )K l i (B b 6)Dalam Bisnis (Mikro) Keseimbangan pasar

2. Pengaruh pajak dan subsidi terhadapkeseimbangan pasar

3. Pengaruh keseimbangan dua komoditi4. Fungsi biaya, penerimaan, break even 

• Kalangi (Bab 6)

point (titik pulang pokok)

XIV ‐ XV Aplikasi Fungsi Linear Dalam Bisnis (Makro)

1. Fungsi konsumsi, tabungan dan multiplier

2. Pendapatan disposible

• Dumairy (Bab 6 )• Kalangi (Bab 6)

3. Fungsi pajak, investasi, impor4. Analisis Pendapatan Nasional

XVI U A S U A S

SIFAT SIFAT MATEMATIKASIFAT SIFAT MATEMATIKA EKONOMIEKONOMI

• Matematika Ekonomi bukan merupakan cabangtersendiri dari ilmu ekonomi, tidak seperti keuangannegara atau perdagangan internasional.

• Matematika ekonomi lebih merupakan pendekatanMatematika ekonomi lebih merupakan pendekatanuntuk analisis ekonomi.

• Para ahli ekonomi (Ekonom) menggunakan simbolsimbol matematis untuk menyatakan permasalahansimbol matematis untuk menyatakan permasalahandan juga menggunakan dalil dalil matematis yangterkenal untuk membantu didalam pembahasannya.M ik k i d di k d l i• Matematika ekonomi dapat digunakan dalam teoriekonomi makro atau mikro, keuangan negara, ekonomiperkotaan, dll

Perbedaan MendasarPerbedaan Mendasar

No Matematika Ekonomi Non Matematika Ekonomi.1 Asumsi dan Kesimpulan 

di k d l i b lAsumsi dan kesimpulan di k d l k kdinyatakan dalam simbol 

matematisdinyatakan dalam kata‐kata

2 Mengandung Persamaan‐ Mengandung kalimat‐kalimat2 Mengandung Persamaanpersamaan

Mengandung kalimat kalimat

3 Permasalahan diselesaikan  Permasalahan diselesaikan dg Dalil Matematis dengan Logika

Perbedaan MendasarPerbedaan Mendasar

No Matematika Ekonomi Ekonometrika.1 Penerapan Matematis pada 

k i i i d iPengukuran data ekonomi

aspek teoritis murni dari analisa ekonomi

2 Mengabaikan masalah Pengamatan Empiris (Analisa2 Mengabaikan masalah Statistik

Pengamatan Empiris (Analisa Empiris)

3 Bahan Teori (Analisa Teoritis) Penaksiran dg Metode Statistik

4 Penalaran Deduktif Pengujian Hipotesa

Hubungan Antara Matematikak k kEkonomi Dan Ekonometrika

• Teori harus diuji terhadap data empiris untukTeori harus diuji terhadap data empiris untukkebenarannya sebelum diterapkan.

• Sedangkan Statistik memerlukan Teori EkonomiSedangkan Statistik memerlukan Teori Ekonomiuntuk dapat menentukan arah penelitian yangpaling relevan dan bermanfaat.paling relevan dan bermanfaat.

• Jadi Matematika Ekonomi sebagai prasyaratuntuk mempelajarai Statistik dan Ekonometrikauntuk mempelajarai Statistik dan Ekonometrika

Sifat‐sifat Matematika EkonomiSifat sifat Matematika Ekonomi

• Bahasa yang dipergunakan ringkas dan tepatBahasa yang dipergunakan ringkas dan tepat• Kaya akan dalil ‐ dalil matematis sehinggamempermudah pemakaiannyamempermudah pemakaiannya

• Mendorong kita untuk menyatakan asumsi‐asumsi secara jelas sebagai prasyaratasumsi secara jelas sebagai prasyaratmempergunakan dalil matematis

• Memungkinkan kita untuk mempergunakan• Memungkinkan kita untuk mempergunakansebanyak n Variabel

MODEL EKONOMI

• Model Ekonomi = Penyederhanaan hubunganModel Ekonomi Penyederhanaan hubunganantara variabel ‐ variabel ekonomi

• Model Ekonomi dapat berbentuk modelModel Ekonomi dapat berbentuk modelmatematika dan Non Matematika

• Apabila berbentuk model matematika maka akan• Apabila berbentuk model matematika maka akanterdiri atas satu atau sekumpulan persamaan

• Persamaan terdiri atas sejumlah variabel• Persamaan terdiri atas sejumlah variabel,konstanta, koefisien dan atau parameter

Variabel, Konstanta, Koefisien, danParameter

• Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah‐Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubahubah dalam suatu masalah tertentu

• Misalnya : Harga (Price) = P, Jumlah yangy g ( ) , y gdiminta/ditawarkan (Quantity) = Q, Biaya (Cost) = C,Penerimaan (Revenue) = R, Investasi (Investment) = I,Tingkat Bunga (Interest Rate) = I, dan lain‐lain.

• Akan tetapi, jika telah dinyatakan bahwa P = 3 atau Ck l b l d h “ ”= 18, maka nilai variabel ini sudah “tertentu”, yaitu 3

untuk P dan 18 untuk C (dalam satuan yang dipilihsecara tepat)secara tepat)

• Variabel terdiri dari :Variabel terdiri dari :• Variabel Endogen = variabel yang nilaipenyelesaiannya diperoleh dari dalam modelpenyelesaiannya diperoleh dari dalam model

• Variabel Eksogen (variabel yang nilai nilainyadiperoleh dari luar model atau sudah ditentukandiperoleh dari luar model atau sudah ditentukanberdasarkan data yang ada.

• Konstanta adalah suatu bilangan nyata tunggal• Konstanta adalah suatu bilangan nyata tunggalyang nilainya tidak berubah‐ubah dalam suatumasalah tertentumasalah tertentu.

• Koefisien adalah angka pengali terhadapKoefisien adalah angka pengali terhadapvariabelnya, misal 5R; 4P atau 0.3C

• Parameter adalah suatu nilai tertentu dalam• Parameter adalah suatu nilai tertentu dalamsuatu masalah tertentu dan mungkin akanmenjadi nilai yang lain pada suatu masalahmenjadi nilai yang lain pada suatu masalahyang lainnya. (Biasanya dilambangkan denganhuruf awal abjad Yunani atau Arab) misalnyahuruf awal abjad Yunani atau Arab), misalnyaα, β atau a, b dan c.

Persamaan dan PertidaksamaanPersamaan dan Pertidaksamaan

• Persamaan adalah penyataan bahwa duaPersamaan adalah penyataan bahwa dualambang adalah sama. Disimbolkan dengantanda = (dibaca : “sama dengan”)tanda = (dibaca :  sama dengan )

• Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menyatakan bahwa dua lambang adalah tidakmenyatakan bahwa dua lambang adalah tidaksama. Disimbolkan dengan tanda < (baca“lebih Kecil”) atau > (baca “lebih besar)lebih Kecil ) atau > (baca lebih besar)

Persamaan dalam Matematika Ekonomi dan Bisnis terdiri dari 3(Tiga) Macam, yaitu:1. Persamaan Definisi (Identity, =) adalah suatu bentuk kesamaan

diantara dua pernyataan yang mempunyai arti yang samadiantara dua pernyataan yang mempunyai arti yang sama.Contoh : π = R – C (Total Laba adalah selisih antara totalpendapatan dan total biaya).

2. Persamaan Perilaku (behavioral equation) adalah suatupersamaan yg menunjukkan bahwa perubahan perilaku suatuvariabel sebagai akibat dari perubahan variabel lainnya yg adag p y yghubungannya. Contoh : C = 75 + 10Q , C = 110 + Q2

3. Persamaan Bersyarat (conditional equation) adalah suatupersamaan yang menggambarkan persyaratan untukpersamaan yang menggambarkan persyaratan untukpencapaian keseimbangan (equilibrium). Misalnya; Qd = Qs(jumlah yang diminta = jumlah yang ditawarkan) dan S = I( b dih k i i dih k )(tabungan yang diharapkan = investasi yang diharapkan)

Sistem Bilangan NyataSistem Bilangan Nyata

BilanganBilanganNyata

Bil. Rasional

Bil. Irrasional

Bil. Bulat Bil. Pecahan

Bil. Negatif Nol Bil. PositifNegatif

HIMPUNANHIMPUNAN

• Konsep Himpunan adalah suatu konsep yang• Konsep Himpunan adalah suatu konsep yangpaling mendasar bagi ilmu matematikamodern pada umumnya dan dibidang ilmumodern pada umumnya dan dibidang ilmuekonomi dan bisnis pada khususnya. Karenadalam hal pembentukan model kita harusdalam hal pembentukan model kita harusmenggunakan himpunan/sekelompok dataobservasi dari lapanganobservasi dari lapangan

Pengertian HimpunanPengertian Himpunan

• Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yangp p j y gdidefinisikan (diterangkan) dengan jelas.

• Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah bendaatau objeknya jelas mana yang merupakan anggota danatau objeknya jelas mana yang merupakan anggota danmana yang bukan anggota dari himpunan itu

• Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnyaA, B, C, D, …,Z dan objek‐objek dari himpunan itu ditulisdiantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengantanda komatanda koma

• Contoh : A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10• A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

SOAL :SOAL :1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan

k t d 15kurang atau sama dengan 152. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama

dengan ‐5 tetapi kurang dari 10Jawaban :1. B = { x | 3 < x ≤ 15}2 C = { x | ‐5 ≤ x < 10}2. C = { x | ‐5 ≤ x < 10}

Keanggotaan Suatu HimpunanKeanggotaan Suatu Himpunan

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6

Contoh soal :Andaikan kita memiliki data beberapa himpunan sebagaiberikut:• U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}• A = {0,1,2,3,4}• B {5 6 7 8 9}• B = {5,6,7,8,9}• C = {0,1,2,3,4}Kesimpulan yang bisa ditarik berkenaan data diatas adalah :Kesimpulan yang bisa ditarik berkenaan data diatas adalah :1. x ∈ U, dimana 0 ≤ x ≤ 92. y ∈ A, dimana 0 ≤ y ≤ 4

5. A ⊂ U B ⊂ U C ⊂ U6. A =  C A ≠ B B  ≠ C

3. z ∈ B, dimana 5 ≤ z ≤ 94. y ∈ C, dimana 0 ≤ y ≤ 4

Himpunan KosongHimpunan Kosong

• Himpunan Kosong adalah himpunan yangHimpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkandengan { } atau ∅ dengan { } atau ∅

• D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m}F { | bil i 7 d 11 }• F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

• Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)

Himpunan LepasHimpunan Lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepasp y g g g pjika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupunanggota yang sama

h { }Contoh: L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 },G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

C b k li h tik d k h t hi L• Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan Ldan G yang sama ?

• Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yangKarena tidak ada anggota himpunan L dan G yangsama maka himpunan L dan G adalah dua himpunanyang saling lepas.

Himpunan Tidak Saling LepasHimpunan Tidak Saling Lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakanDua himpunan yang tidak kosong dikatakantidak saling lepas (berpotongan) jika keduahimpunan itu mempunyai anggota yang sama.Contoh :P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }P { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepasHimpunan P dan himpunan Q tidak saling lepaskarena mempunyai anggota yang sama(persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8.(persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8.

Himpunan BagianHimpunan Bagian

A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiapp g p p panggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan Bdilambangkan dengan A ⊂ B.C t hContoh:• S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }• A = { 0 1 2 3 4 5 6 7 } ; B = { 1 2 3 4 } ; C = { 6 7 8 9 }A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari

himpunan A ?b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari

himpunan A ?

• Karena setiap anggota himpunan B jugaKarena setiap anggota himpunan B jugamerupakan anggota himpunan A makahimpunan B merupakan himpunan bagian darihimpunan B merupakan himpunan bagian darihimpunan A, jadi B ⊂ A

• Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9• Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9tidak terdapat di dalam himpunan A makahimpunan C bukan himpunan bagian darihimpunan C bukan himpunan bagian darihimpunan A, jadi C ⊄ A

Rumus Banyaknya Himpunan BagianRumus Banyaknya Himpunan Bagian

Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) makab k hi b i d i A d l h b k 2n(A)banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A) .Contoh : Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin darihimpunan berikut :1 A { a b c }1. A = { a, b, c }2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }J bJawab :1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A

adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 82 n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B

adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 323. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C

adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

Himpunan SamaHimpunan Sama

Dua himpunan dikatakan sama apabila setiapDua himpunan dikatakan sama apabila setiapanggota kedua himpunan itu sama bentuk danjumlahnyajumlahnya.Contoh :A { i }• A = { a, i, u, e, o } ;

• B = { u, a, i, o, e }Kedua himpunan A dan B anggota‐anggotanyasama yaitu a,i,u,e, dan o maka himpunan A = By , , , , p

Himpunan EkuivalenHimpunan Ekuivalen

Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlahua pu a d ata a u a e apab a ju aanggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanyaada yang tidak sama.Contoh :• P = { a, i, u, e, o }• Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }Kedua himpunan P dan Q anggota‐anggotanya tidaksama tetapi jumlah anggotanya sama makahimpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)Irisan Dua Himpunan (Interseksi)

Irisan himpunan A dan B ditulis A ∩ B adalahIrisan himpunan A dan B ditulis A ∩ B adalahhimpunan semua objek yang menjadi anggotahimpunan A sekaligus menjadi anggotahimpunan B.Contoh :• Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }.Tentukan P ∩ Q

Jawab :• P ∩ Q = { d, e }P ∩ Q { d, e }

Gabungan Dua Himpunan ( Union)

Gabungan himpunan A dan B ditulis A ∪ BGabungan himpunan A dan B ditulis A ∪ Badalah himpunan semua objek yang menjadianggota himpunan A atau menjadi anggotahimpunan B.Contoh :• Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }.Tentukan P ∪ Q

Jawab :• P ∪ Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }P ∪ Q { a, b, c, d, e, f, g, h }

Diagram VennDiagram VennLangkah‐langkah menggambar diagram venn• Daftarlah setiap anggota dari masing‐masing himpunan• Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama‐

samakk h d l k b d h h• Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah‐tengah

• Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupianggota bersama tadiLi k dib t t di dit d i d hi• Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama‐nama himpunan

• Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalamlingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu

• Buatlah segiempat yang memuat lingkaran lingkaran itu dimana• Buatlah segiempat yang memuat lingkaran‐lingkaran itu, dimanasegiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilahanggotanya apabila belum lengkap

Contoh :• Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }; 

A = { 1,2,3,4,5,6 }; B = { 2,4,6,8,10 }; C = { 3,6,9,12 }• Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di

atas !Jawab :Jawab :

Jawab:

Contoh :Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 oranggemar menari dan 10 orang gemar keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?Jawab :( ) lN(S) = 32 , Misalnya :

A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21B { i i} (B) 16B = {siswa gemar menari} n(B) = 16C = {siswa gemar melukis dan menari} n(C) = n(A∩B) = 10

Jawab :N(S) = 32, Misalnya :A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21B = {siswa gemar menari} n(B) = 16C = {siswa gemar melukis dan menari} n(C) = n(A∩B) = 10

• Diagram Venn

a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukisb Ada 6 siswa yang hanya gemar menarib. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari. c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

Contoh :• Diketahui :• S = { x | 10 < x ≤ 20, x ∈ B },• M = { x | x > 15, x ∈ S },• N = { x | x > 12, x ∈ S }• Gambarkanlah Diagram Ven‐nya !Jawab :

Jawab :• S = { x | 10 < x ≤ 20, x ∈ B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }• M = { x | x > 15, x ∈ S } = { 16,17,18,19,20}• N = { x | x > 12, x ∈ S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20}• M ∩ N = { 16,17,18,19,20 }Di V d l h bbDiagram Vennya adalah sbb:

Contoh :• Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang

suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?

Jawab : N(S) = 60 , Misalnya :{ k b k } ( )A = {siswa suka bakso} n(A) = 20

B = {siswa suka siomay} n(B) =46(A B)C { id k k k d } ((A B)C) 5(A ∩ B)C = {tidak suka keduanya} n((A ∩ B)C) = 5Maka A ∩ B = {suka keduanya} n(A ∩ B) = x

{siswa suka bakso saja} = 20 ‐ x{siswa suka siomay saja} = 46 ‐ xPerhatikan Diagram Venn berikut :

n(S) = (20 ‐ x) + x + (46 ‐ x) + 5 60 = 71 ‐ x  x = 71 ‐ 60 = 11a. siswa yang suka keduanya adalah x = 11 orangb. siswa suka bakso saja = 20 ‐ x = 20 ‐ 11 = 9 orangc. siswa suka siomay saja = 46 ‐ x = 46 ‐ 11 = 35 orang