MATEMATIKA DALAM PENGOLAHAN DATA SEISMIK

Disusun untuk memenuhi tugas terstruktur mata kuliah Pengolahan Data Seismik

Dosen Pengampu:

Sukir Maryanto, S.Si., M.Si., Ph.D.

Disusun oleh:

Windy Dwi Ariyanto 115090700111009

PROGRAM STUDI GEOFISIKA

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2014

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Pengolahan data seismik merupakan suatu tahapan untuk mengolah sinyal

seismik yang dihasilkan saat akuisisi data menjadi model penampang seismik yang dapat

diinterpretasikan. Sebagian besar tahapan dalam pengolahan data seismik merupakan

hasil pengembangan dari fungsi matematika. Walaupun dalam pengolahan data seismik

modern banyak menggunakan software, namun software-software yang digunakan

bekerja atas dasar prinsip matematika. Sehingga pengolah data seismik harus mengerti

bagaimana suatu software bekerja pada pengolahan data seismik serta prinsip-prinsip

matematika apa yang digunakan dalam pengolahan data seismik.

1.2.Rumusan Masalah

Bagaimana keterkaitan fungsi matematika dalam pengolahan data seismik?

Bagaimana penerapan fungsi matematika dalam pengolahan data seismik?

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Keterkaitan Fungsi Matematika dalam Pengolahan Data Seismik

Fungsi matematika erat kaitannya dengan pengolahan data seismik, hampir

keseluruhan pada proses pengolahan data seismik menggunakan prinsip-prinsip

matematika. Misalnya dari contoh berikut, data seismik secara alami merupakan sinyal

non stasioner yang mempunyai bermacam frekuensi dan dalam bentuk waktu.

Dekomposisi Waktu-Frekuensi (Time-Frequency Decomposition), yang merupakan

dekomposisi spektral sinyal seismik untuk mengetahui karakteristik waktu terhadap

frekuensi yang menunjukkan respon batuan bawah permukaan (subsurface rocks) dan

reservoir.

Kebutuhan akan resolusi tinggi dalam analisis sinyal non stasioner telah

mengakibatkan perkembangan berbagai sarana yang ampuh untuk menganilsa data sinyal

non stasioner. Metode transformasi berbasis wavelet merupakan sarana yang dapat

digunakan untuk menganilisis sinyal-sinyal non stasioner.

Gambar 1 merupakan penjalaran sinyal seismik yang akan dianalisa dengan

transformasi Fourier sehingga menghasilkan spektrum gelombang seismik. Dalam

pengolahan data seismik, penggunaan transformasi diperlukan untuk memudahkan dalam

menganalisa data pada domain lain, yaitu dari domain waktu menjadi domain frekuensi.

Gambar 1. Transformasi fourier untuk analisa penjalaran sinyal seismik.

Pembuatan peta waktu-frekuensi bukan merupakan proses yang unik, sehingga

terdapat berbagai metode untuk analisis waktu-frekuensi dari sinyal-sinyal non stasioner.

Analisi sinyal tidak stasioner seperti sinyal seismik dengan perangkat lunak berbasis

transformasi Fourier, seringkali tidak bisa memberikan informasi keadaaan bawah

permukaan yang sesungguhnya karena pada proses transformasi Fourier tidak dapat

mengamati pada waktu frekuensi tertentu.

Metode yang sering digunakan, Short Time Fourier Transform (STFT)

menghasilkan spektrum waktu-frekuensi dengan menggunakan Transformasi Fourier

pada window waktu yang dipilih. Pada STFT, resolusi waktu-frekuensi disesuaikan pada

seluruh ruang waktu-frekuensi dengan panjang window yang dipilih sebelumnya. Oleh

karena itu resolusi pada analisis data seismik menjadi tergantung pada pengguna panjang

gelombang tertentu atau bersifat subjektif.

Lebih dari dua dekade terakhir, transformasi wavelet diaplikasikan pada berbagai

ilmu pengetahuan dan teknik. Transformasi wavelet memberikan sebuah pendekatan

yang berbeda pada analisis waktu-frekuensi. Spektrum waktu-frekuensi yang dihasilkan,

direpresentasikan dalam bentuk peta waktu-skala yang disebut scalogram. Beberapa

peneliti menggunakan skala berbanding terbalik terhadap frekuensi tengah dari wavelet

dan merepresentasikan scalogram sebagai peta waktu-frekuensi. Kebutuhan akan resolusi

tinggi dalam signal non-stasioner telah mendorong berkembangnya sarana (tools) untuk

menganalisa data sinyal seismik non-stasioner. Transformasi fourier f(ω) signal f(t)

adalah inner product signal dengan fungsi dasar etiω

dapat dituliskan dalam bentuk

persamaan:

Sebuah sinyal seismik ketika ditransformasikan ke dalam domain frekuensi

menggunakan transformasi fourier, memberikan respon informasi semua frekuensi.

Analisa transformasi fourier adalah sebuah teknik dalam matematika yang menguraikan

sebuah sinyal dalam bentuk sinusoidal dengan frekuensi yang berbeda-beda dan merubah

domain waktu menjadi domain frekuensi. Kita dapat melibatkan ketergantungan waktu

dengan windowing signal (seperti mengambil segment pendek sinyal) dan kemudian

menampilkan fourier transform pada data yang di window untuk menentukan informasi

frekuensi lokal. Seperti sebuah pendekatan analisa time-frequency yang dikenal sebagai

Short-Time Fourier Transform dan peta time-frequency yang disebut spectrogram. STFT

merupakan hasil inner product sinyal f(t) dengan fungsi waktu geser window(t). secara

matematik dapat dituliskan pada persamaan:

Dimana fungsi window φ adalah dipusatkan pada waktu t = τ dan ϕ adalah

complex conjugate dari ϕ.

Ada 2 (dua) hal pokok dari jenis transformasi fourier waktu pendek (Short Time

Fourier transform=STFT) dan Transformasi Wavelet:

1. Transformasi fourier pada sinyal yang terjendela (windowed) tidak dilakukan,

akibatnya akan terlihat sebuah puncak amplitudo yang berkaitan dengan sinusoid.

2. Pada transformasi wavelet lebar window berubah-ubah selama melakukan perhitungan

untuk masing-masing komponen spektrum dan ini merupakan ciri khas dari

transformasi wavelet.

Gambar 2, 3, 4, dan 5 menunjukkan adanya perbedaan mendasar dari bentuk

transformasi sinyal yang dilakukan pada transformasi fourier dan transformasi wavelet.

Transformasi fourier dari sinyal sinusoidal ditransformasikan dalam bentuk sinyal sinus

atau cosinus, sedangkan pada transformasi wavelet t sinyal yang ditransformasikan

mengalami penskalaan, translasi dan dilatasi.

Gambar 2. Transformasi Fourier: Tool baru untuk analisa sinyal sinusoidal.

Gambar 3. Transformasi wavelet kontinu: Tool baru untuk analisa sinyal skala.

Gambar 4. Analisis Fourier: Tool baru untuk analisa sinyal dengan transformasi

Fourier.

Gambar 5. Analisa Wavelet: Tool baru untuk analisa sinyal dengan transformasi

Wavelet.

2.2. Aplikasi Fungsi Matematika dalam Pengolahan Data Seismik

2.2.1. Dalam Eksplorasi Minyak dan Gas

Salah satu aplikasi matematika dalam pengolahan data seismik pada

eksplorasi minyak dan gas adalah penggunaan transformasi fourier 2D pada proses

migrasi dalam domain frekuensi. Seperti yang telah diketahui, bentuk penampang

'unmigrated' sangat menyerupai bagian-bagian dari kipas yang terbuka. Sementara

itu, penampang seismik 'real' tidak menyerupai kipas, akan tetapi dapat diidentikan

menyerupai suatu set kipas difraksi yang tersebar dimana-mana. Kurva 'event-

event' difraksi tersebut dapat dianggap sebagai segmen-segmen garis lurus yang

kecil-kecil dan sangat banyak.

Salah satu aspek terpenting dari Transformasi Fourier 2D ialah dapat

mengorganisir 'event-event' yang tersebar dimana-mana dalam kawasan

kedalaman, menjadi kumpulan (gather) kipas yang baik. Jadi dengan

mengaplikasikan migrasi terhadap 'gather' kipas dalam kawasan frekuensi, maka

semua 'event dipping' yang tersebar-sebar dalam kawasan kedalaman tersebut dapat

diatasi dengan mudah.

Untuk semua penampang seismik yang mempunyai kemiringan sama, maka

frekuensi dalam arah x sama, sebelum dan setelah migrasi. Dalam kawasan

frekuensi terlihat bahwa komponen kx tidak berubah setelah migrasi. Oleh karena

itu, pemetaan tersebut merupakan pemetaan vertikal dalam bidang kx - kz.

Gambar 6. Pemetaan migrasi kawasan frekuensi (a) Sebuah garis dengan frekuensi Kz yang

konstan dan pemetaan migrasinya, (b) Grid kurva-kurva dari Kz yang konstan.

Pada gambar 6(a). terlihat bahwa garis horizontal memotong semua garis-

garis miring. Jika kita proyeksikan komponen-komponen frekuensi yang terdapat

pada garis-garis tersebut ke lingkaran, maka semua titik-titik pada garis tersebut

akan dimigrasi. Oleh karena itu, jika kita proyeksikan komponen-komponen

frekuensi yang terdapat pada sederetan garis-garis horizontal ke lingkaran-

lingkaran secara vertikal seperti yang terlihat pada gambar 6(b)., maka proses

migrasi dalam kawasan frekuensi sudah lengkap. Ekspresi matematika dari proses

tersebut dapat di tulis sebagai:

Fungsi F merupakan Transformasi Fourier 2D dari penampang yang asli,

sedangkan transformasi dari penampang hasil migrasi diberikan sebagai fungsi F.

Penampang yang telah dimigrasi dapat dihitung langsung dari penampang seismik

yang asli.

2.2.2. Dalam Volkano Seismologi

Dalam seismologi, sinyal seismik domain waktu akan sulit untuk

diinterpretasikan sehingga perlu diubah menjadi domain frekuensi. Pengubahan

sinyal seismik dari domain waktu ke domain frekuensi tersebut dilakukan dengan

transformasi fourier.

Transformasi Fourier merupakan metode untuk menentukan frekuensi

sinyal dengan mentrasnformasikan sinyal dari time- domain ke frekuensi-domain.

Transformasi Fourier dapat digunakan sebagai alat yang mengubah sinyal menjadi

jumlahan sinusoidal dengan beragam frekuensi. Transformasi Fourier

menggunakan basis sinus dan kosinus yang memiliki frekuensi berbeda. Hasil dari

Transformasi Fourier adalah distribusi densitas spektral yang mencirikan

amplitudo dan fase dari beragam frekuensi yang menyusun sinyal. Hal ini

merupakan salah satu kegunaan Transformasi Fourier, yaitu untuk mengetahui

kandungan frekuensi sinyal. Ampiltudo spektrum dan phase spektrum amplitudo

spektrum dipengaruh oleh fasa. Fasa sangat penting dalam gelombang seismik

karena menjadi variabel bebas pada seismometer.

Gambar 7. Tranformasi fourier pada Seismogram Amplitudo Spektrum pada body-

wave dan surface wave dari gempa (M=6).

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Dari makalah ini dapat disimpulkan bahwa, fungsi matematika erat

kaitannya dengan pengolahan data seismik, hampir keseluruhan pada proses

pengolahan data seismik menggunakan prinsip-prinsip matematika. Salah satu

aplikasi matematika dalam pengolahan data seismik pada eksplorasi minyak dan

gas adalah penggunaan transformasi fourier 2D pada proses migrasi dalam domain

frekuensi. Dalam seismologi, sinyal seismik domain waktu akan sulit untuk

diinterpretasikan sehingga perlu diubah menjadi domain frekuensi. Pengubahan

sinyal seismik dari domain waktu ke domain frekuensi tersebut dilakukan dengan

transformasi fourier.

DAFTAR PUSTAKA

Benioff,H. 1935. A Linear Strain Seismograph. Bull. Seismol. Soc. Am.

Upadhyay, SK. 2004. Seismic Reflection Processing. New Delhi: Springer