KARYA ILMIAHPENERAPAN/ APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE

DALAM DUNIA TEKNIK ELEKTRO

Di Susun Oleh :

BIMA MUSTAQIM514 333 1002

Untuk Memenuhi Tugas Akhir Mata Kuliah Matematika III

PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS NEGERI MEDAN2015

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum wr. Wb.

Salam sejahtera buat kita semua.

Puji syukur Alhamdulillah kami ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas

selesainya penulisan karya ilmiah “Matematika III” yang membahas mengenai Aplikasi/

penerapan Transformasi Laplace dalam Dunia Teknik Elektro. Karya Ilmiah ini kami

buat berdasarkan buku-buku penunjang yang kami miliki dan dari situs-situs yang

berhubungan dengan mata kuliah ini serta dari berbagai sumber lainnya.

Kami juga berterima kasih kepada Bapak Dosen mata kuliah Matematika III Khusunya

yang tengah membimbing kami pada mata kuliah ini. Kami berharap Semoga Karya Ilmiah

singkat ini nantinya bermanfaat bagi kita semua terutama pada para pembacanya.

Demikianlah yang dapat kami sampaikan lebih dan kurang kami mohon maaf dan demi

perbaikan hasil Karya Ilmiah singkat ini, kami perlukan kritik beserta saran dari para

pembaca sekalian agar kelak mendapat masukan yang lebih baik untuk kedepannya, akhir

kata kami haturkan terima kasih

Salam Sejahtera buat kita semua.

Medan, Desember 2015

Penulis

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR....................................................................................................i

DAFTAR ISI..................................................................................................................ii

DAFTAR GAMBAR....................................................................................................iii

BAB I PENDAHULUAN.............................................................................................1

1.1. Latar Belakang Masalah...............................................................................1

1.2. Rumusan Masalah.........................................................................................1

1.3. Tujuan...........................................................................................................2

BAB II LANDASAN TEORI.......................................................................................3

2.1. Definisi Transformasi Laplace............................................................................3

2.2. Mengubah Persamaan Diferensial ke kawasan S................................................3

2.3. Transformasi Laplace Beberapa Fungsi Sederhana............................................5

1. Konstanta......................................................................................................5

2. Transformasi Laplace fungsi y(t) = t............................................................6

3. Transformasi Laplace fungsi y(t) = t2...........................................................6

4. Transformasi Laplace fungsi eksponensial, y(t) = eat...................................6

5. Fungsi Cosinus dan Sinus.............................................................................7

2.4. Beberapa karakteristik Transformasi Laplace.....................................................8

1. Linearitas......................................................................................................8

2. Pergeseran dalam S.......................................................................................9

3. Pergeseran dalam S dan inversnya................................................................9

4. Teorema Konvolusi.....................................................................................10

5. Integrasi......................................................................................................10

BAB III PENERAPAN...............................................................................................11

3.1. Penerapan Transformasi Laplace (Rangkaian Listrik)......................................11

3.2. Sumber Sinyal...................................................................................................11

3.3. Resistansi...........................................................................................................11

ii

3.3. Induktansi (L)....................................................................................................12

3.4. Kapasitansi (C)..................................................................................................12

BAB IV PENUTUP....................................................................................................18

4.1. Kesimpulan.......................................................................................................18

DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................19

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. 1. Penggunaan Transformasi Laplace dan Inversnya...................................1

iii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi y(t) yang berada dalam

kawasan waktu ke kawasan s. Solusi dari persamaan diferensial didapat dengan mengubah

persamaan diferensial (yang merupakan fungsi waktu) dari kawasan waktu ke kawasan s

dengan menggunakan transformasi laplace, sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah.

Gambar 1. 1. Penggunaan Transformasi Laplace dan Inversnya

Rumus Tranformasi Laplace, apabila digunakan secara langsung pada permasalahan.

maka akan seringkali dijumpai kesulitan dalam kalkulasinya, sehingga dianjurkan untuk

menggunakan bantuan tabel transformasi laplace. Penggunaan tabel transformasi laplace

menghindarkan dari rumitnya perhitungan transformasi.

Adapun Latar belakang penggunaan Transformasi Laplace adalah :

1. Solusi Persamaan Diferensial Biasa Linear Homogen melibatkan bentuk eksponensial

yang relatif cukup sulit untuk dikerjakan.

2. Transformasi Laplace dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial

menjadi bentuk persamaan aljabar,sehingga mengurangi kerumitan penggunaan

bentuk eksponensial menjadi bentuk ekspresi persamaan aljabar

3. Solusi persamaan dalam bentuk aljabar dapat ditulis sebagai penjumlahan tiaptiap

komponennya dengan tiap komponen merupakan Transformasi Laplace dari bentuk

eksponensial.

1.2. Rumusan Masalah

a. Bagaiamana dasar teori dari Transformasi Laplace tersebut ?

b. Bagaimana merubah persamaan diferensial ke kawasan s ?

c. Bagaimana Transformasi Laplace dalam bentuk sederhana ?

d. Apa saja karakteristik dari transformasi Laplace ?

e. Bagaimana penerapan transformasi Laplace dalam dunia teknik elektro ?

1

1.3. Tujuan

a. Menjelaskan dasar teori dari transformasi Laplace.

b. Memaparkan/ menjelaskan bagaimana cara merubah persamaan diferensial ke

kawasan s.

c. Menjelaskan transformasi Laplace dalam bentuk sederhana.

d. Menjelaskan karakteristik dari transformasi Laplapce. Dan

e. Menjelaskan bagaimana penerapan transformasi laplace dalam dunia teknik elektro.

2

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Definisi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari fungsi f(t) didefinisikan sebagai: Misalkan f(t) adalah suatu

fungsi pada [0, ]. Transformasi Laplace dari f adalah fungsu F yang di definisikan oleh

integral

Domain untuk fungsi F adalah semua nilai s dalam mana integral tersebut ada.

Transformasi Laplace dari f(t) biasanya ditulis dengan F(s) atau

2.2. Mengubah Persamaan Diferensial ke kawasan S

Untuk melakukan transformasi laplace terhadap persamaan diferensial, maka harus

diingat terlebih dahulu bahwa:

Bila Transformasi Laplace adalah: , maka Transformasi

Laplace dari turunan pertama adalah:

Jika u adalah e-st dan v adalah y, maka:

3

Jika diasumsikan bahwa pada grafik y(t) mengalami kenaikan cukup lambat dibanding

dengan grafik e-st, maka e-st untuk

Sehingga:

Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi :

Dari uraian di atas, maka Transformasi Laplace dari turunan pertama sebuah fungsi adalah:

Transformasi Laplace dari turunan kedua suatu fungsi juga dapat dicari dengan cara yang

sama:

Sedangkan Transformasi Laplace dari turunan ke-n suatu fungsi adalah:

Contoh:

4

Ubah persamaan diferensial berikut dari kawasan t ke kawasan s dengan

menggunakan metode Transformasi Laplace.

Jawab:

Langkah ke-1. Lakukan Transformasi Laplace

Gunakan secara langsung Transformasi Laplace untuk turunan kedua, maka didapatkan:

Susun kembali menjadi:

Langkah ke-2, Cari persamaan polinominal Y(s) dengan bantuan nilai awal

Yang perlu diingat adalah bentuk merupakan Transformasi Laplace dari

fungsi f(t).

5

2.3. Transformasi Laplace Beberapa Fungsi Sederhana

Berikut adalah Transformasi Laplace dari beberapa fungsi

1. Konstanta

Transformasi Laplace dari sebuah konstanta , adalah:

2. Transformasi Laplace fungsi y(t) = t

3. Transformasi Laplace fungsi y(t) = t 2

Dengan cara yang sama:

6

Sehingga

4. Transformasi Laplace fungsi eksponensial, y(t) = e at

5. Fungsi Cosinus dan Sinus

Sehingga

Dengan cara yang sama, Transformasi Laplace dari fungsi sinus adalah :

7

Ringkasan Transformasi Laplace beberapa fungsi tersebut dapat ditulis dalam tabel berikut.

Fungsi y(t) Transformasi Laplace Y(s)

2.4. Beberapa karakteristik Transformasi Laplace

Beberapa karakteristik Transformasi Laplace antara lain:

1. Linearitas

Jika f(t) dan g(t) adalah sebuah fungsi, dengan:

maka

8

2. Pergeseran dalam S

Jika

Maka

3. Pergeseran dalam S dan inversnya

Jika

Contoh:

Gunakan sifat pergeseran dalam bentuk s untuk mencari invers Transformasi Laplace dari:

Jawab:

Sehingga

9

4. Teorema Konvolusi

Jika Transformasi Laplace dari fungsi f(t) dan g(t) adalah F(s) dan G(s), dengan

Maka:

Yang disebut sebagai integral konvolusi. Jika invers Transformasi Laplace dari F(s) dan G(s)

adalah f(t) dan g(t), dengan :

maka

5. Integrasi

10

BAB III

PENERAPAN

3.1. Penerapan Transformasi Laplace (Rangkaian Listrik)

Dengan menggunakan transformasi laplace kita dapat mencari solusi suatu persamaan

rangkaian (yang sering berbentuk persamaan diferensial) dengan lebih mudah. Transformasi

akan mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar biasa di kawasan s yang

dengan mudah dicari solusinya. Dengan mentransformasi balik solusi dikawasan s tersebut,

kita akan memperoleh solusi dari persamaan diferensialnya.

3.2. Sumber Sinyal

11

3.3. Resistansi

12

3.3. Induktansi (L)

3.4. Kapasitansi (C)

Contoh:

Carilah Transformasi Laplace dari:

a.

b.

Penyelesaian:

a.

b.

13

14

Contoh :

Gunakan transformasi laplace untuk mencari solusi persamaan berikut.

,

Penyelesaian:

Transformasi laplace persamaan diferensial ini adalah

atau

Transformasi balik memberikan v(t) =

Transformasi laplace dapat kita manfaatkan untuk mencari solusi dari persamaan diferensial

dalam analisis transien. Langkah – langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Menentukan persamaan diferensial rangkaian di kawasan waktu.

2. Menstranformasikan persamaan diferensial yang diperoleh pada langkah 1 ke

kawasan s dan mencari solusinya.

3. Transformasi balik solusi yang diperoleh pada langkah 2 untuk memperoleh

tanggapan rangkaian

Contoh:

Saklar S pada rangkaian ini ditutup pada t = 0. Tentukan tegangan kapasitor untuk t > 0 jika

sesaat sebelum S ditutup tegangan kapasitor 2 V.

15

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menentukan persamaan rangkaian untuk t > 0. Aplikasi HTK

memberikan

atau

Pemecahan persamaan ini dapat diperoleh dengan mudah.

Langkah terakhir adalah mentransformasi persamaan ini ke kawasan s , menjadi

CONTOH:

Pada rangkaian gambar berikut ini, saklar S dipindahkan dari posisi 1 ke 2 pada t = 0.

Tentukan i(t) untuk t > 0, jika sesaat sebelum saklar dipindah tegangan kapasitor 4 V dan arus

kondoktor 2 A.

Penyelesaian:

16

Aplikasi HTK pada rangkaian ini setelah saklar ada di posisi 2 (t > 0) memberikan

atau

Transformasi laplace dari persamaan rangkaian ini menghasilkan

atau

Pemecahan persamaan ini adalah:

Transformasi balik dari I(s) memberikan:

17

18

Contoh:

Pada rangkaian di bawah ini, switch tertutup pada t=0, diasumsikan ada tegangan inisialisasi

pada capasitor dan vc (0-) = v0

Maka i(t) dapat dicari sebagai berikut:

Transformasi Laplace

Dimana

Dan

Sehingga transformasi Laplace menjadi

Untuk mendapatkan I(s), menjadi:

19

Dengan invers Transformasi Laplace, maka diperoleh:

Apabila vc (t) adalah output dan vs(t) adalah input, maka persamaan differensial akan

menjadi:

Sehingga Transformasi Laplace-nya menjadi:

Atau

Untuk mendapatkan Vc (s) maka persamaan menjadi:

Dengan invers Transformasi Laplace, maka:

Karena vc (0+) = v0 = vc (0+), sehingga vc (t) menjadi:

20

BAB IV

PENUTUP

4.1. Kesimpulan

Dengan menggunakan transformasi laplace kita dapat mencari solusi suatu persamaan

rangkaian (yang sering berbentuk persamaan diferensial) dengan lebih mudah. Transformasi

akan mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar biasa di kawasan s yang

dengan mudah dicari solusinya. Dengan mentransformasi balik solusi dikawasan s tersebut,

kita akan memperoleh solusi dari persamaan diferensialnya.

21

DAFTAR PUSTAKA

Hertanto,Budi: turunan, integral, persamaan diferensial dan transformasi laplace dalam

penerapannya di bidang teknik elektro.Diktat Perkuliahan Matematika Terapan

Diktat mata kuliah Matematika III, Marsangkap Silitonga

22