mat-ii-08-ruang hasil kali dalam.ppt

8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt

1/38

RUANG HASIL KALI DALAM

(RHD)

1Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM


2/38

Ruang Hasilkali Dalam (RHD)

Sub Pokok Bahasan

Definisi RHD

Himpunan Ortonormal

Proses Gramm Schmidt

Aplikasi RHD :

bermanfaat dalam beberapa metode optimasi,

seperti metode least squaredalam peminimuman

error dalam berbagai bidang rekayasa.



3/38

DEFINISI RHD

Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan

maka notasi < , > dinamakan Hasil Kali Dalam

jika memenuhi keempat aksiomasebagai berikut:

1. (Simetris)

2. (Aditivitas)3. untuk suatu kR,

(Sifat Homogenitas)

4. , untuk setiapdan

(Sifat Positifitas)

Vvu ,

vu , uv ,

wvu ,

wvwu ,,

vuk , vku , vuk ,

0

uu ,

0 uu , 0 uu



4/38

Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam,

maka norm (panjang) sebuah vektor

dinyatakan oleh :

yang didefinisikan oleh :

CONTOH :

Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn

)Misalkan maka

= (u11+ u22+ ..+unn)

0, 21

uuu

u

u

nnvuvuvuvu ..., 2211nRv,u

021

uu ,u



5/38

= 2(u1+v1)w1+ (u2+v2)w2+ 3(u3+v3)w3

= 2u1w1+2v1w1+u2w2+v2w2+3u3w3+3v3w3= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3

(bersifat aditivitas)

Untuk suatu kR,

= 2ku1v1+ ku2v2+ 3ku3v3

= k2u1v1+ ku2v2+ k.3u3v3

(bersifat homogenitas)

w,vu

wvwu ,,

vuk ,

vku , vuk ,



6/38

c fadvu ,

),,( cbau ),,( fedv

vu ,

CONTOH

Diketahui

dimana dan

Apakah merupakan hasil kali dalam?

uu , 0)0,2,0(u 0, uu

0u

vu ,

Jelas bahwa = ( a2

+ c2

)Misalkan diperoleh

Padahal ada

Aksioma terakhir tidak terpenuhi.Jadi

ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam.

Jawab :



7/38

HIMPUNAN ORTONORMAL

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam

dinamakan himpunanortogonal

jika semua pasangan vektor yang berbedadalam himpunan

tersebut adalah ortogonal(saling tegak lurus).

Himpunan ortonormal himpunan ortogonal yang setiap

vektornya memiliki panjang(normnya) satu.



8/38

HIMPUNAN ORTONORMAL


xsumbubasisvektor,

0

0

1

uatau)0,0,1(u 11

ysumbubasisvektor,

0

10

uatau)0,1,0(u 22

zsumbubasisvektor,

1

0

0

uatau)1,0,0(u 33

Contoh vektor basis berikut ini merupakan vektor saling ortonormal


9/38

HIMPUNAN ORTONORMAL


1001u 21

Contoh vektor basis berikut ini merupakan vektor saling ortonormal

1010u 22

1100u 23


10/38

HIMPUNAN ORTONORMAL


j3i4u

Tentukan vektor yang ortogonaldan ortonormalterhadap vektor

berikut ini :

Contoh

jbiav

Jawab

0b3a4vuvuv,u 2211

b4

3a0b3a4

ji

4

3v

Sehingga

43adiperoleh1bGunakan

Misalkan :Jika u dan v ortogonalharus dipenuhi :


11/38

HIMPUNAN ORTONORMAL


j3i4u

Tentukan vektor yang ortogogonaldan ortonormalterhadap vektor

berikut ini :

Contoh

jbiav

Jawab

0b5

3a

5

4vuvuv,u 2211

b4

3a0b3a4

Misalkan :Jika u dan v ortonormalharus dipenuhi :

j5

3i

5

4

5

j3i4

u

uub

j20

16i

20

12ji

4

3

5

4

4

5

j

i

43

14

3

j

i

43

v

vv

2

2b


12/38

Secara operasional

Misalkan, pada suatuRHD

Tdikatakan himpunan vektor ortogonal jika

untuk setiap i j

Sedang, T dikatakan himpunan vektor ortonormal

jika untuk setiap i berlaku

ncccT ,...,, 21

0 ji cc ,

1ic



13/38

CONTOH 5 :

1.

Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.

2.

Pada RHD Euclides, Bmerupakan himpunan ortonormal.

3.

Pada RHD Euclides, Cmerupakan himpunan ortonormal.

0

1-

0

1

,

A

1-

0

0

1

,

B

2

1

2

1

2

1

2

1

C



14/38

Misalkan

adalah basis ortonormal untuk RHD V

Jika adalah sembarang vektor pada V,maka

Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :

Karena S merupakan himpunan ortonormal dan

nvvvS ,...,, 21

u

nnvkvkvku ...2211

inni vvkvkvkvu ,..., 2211

inniiiii vvkvvkvvkvvk ,...,...,, 2211

ivv ii setiapuntuk1, jivv ji setiapuntuk0, dan



15/38

Sehingga, untuk setiap i berlaku

ii kvu ,

nn vvuvvuvvuu ,...,,

2211

nnvkvkvku ...

2211Kombinasi linear

Ditulis menjadi

CONTOH 6 :Tentukan kombinasi lineardari

2

1a

pada RHD Euclides berupa bidang yang

dibangun

21

21

u

212

1

vdan



16/38

Jawab :

vvauuaa ,,

vua

21

21

21

21

,2

1,

2

1

2

1

vua2

12

1

Perhatikan ..

u dan v mrp

Basis ortonormal

vkuka 21



17/38

Proses Gramm-Schmidt

ncccS ,, 21

nwwwB ,...,, 21

basis bagi suatu RHD V

basis ortonormal bagi V

1

1

11c

cw .

LANGKAH YANG DILAKUKAN



18/38

2. Langkah kedua

2c

1w 1p

1q

2w

2w2c

112

1

11221 ,

,1

wwcw

wwccproyp w

121 pcq

2122

11222

,,

,

wwcc

wwccw

Vektor satuan searah 1q



19/38

3. Langkah ketiga 3w3c

W

3c

1w 2w

2p

2q

3w

22311332 ,, wwcwwccproyp W 232 pcq

2231133

2231133

3,,

,,

wwcwwcc

wwcwwccw

Vektor satuan

Yang tegak lurus

Bidang W



20/38

CONTOH 7 :

Diketahui :

B merupakan basispada RHD Euclides di R3.

Transformasikan basis tersebut menjadi basis

Ortonormal

Jawab :

Langkah 1.

10

0

,11

0

,11

1

321 uuuB

1

11

uuv

3

1,1,1

3

13

1

3

1



21/38

Langkah 2

22

222

1

1

uproyu

uproyu

v

v

v

3

1,

3

1,

3

2

3

1,

3

1,

3

1

3

21,1,0

, 112222 1 vvuuuproyu v

3

6

91

91

94

22 1 uproyu v

6

16

16

2

2v

Sementara itu,

Karena itu,

sehingga :



22/38

Langkah 3

Sementara itu,

sehingga :

33

333

uproyu

uproyuv

W

W

2

1,

2

1,0

6

1,

6

1,

6

2

6

1

3

1,

3

1,

3

1

3

11,0,0

,, 223113333 vvuvvuuuproyu W

2

1

2

13

0

v



23/38

Jadi,

321,, vvv

merupakan basis ortonormaluntuk ruang vektor R3

dengan hasil kali dalam Euclides

2

12

1

6

16

1

6

2

3

13

1

3

1 0

,,=



24/38

CONTOH 8 :

1

1

0

,

1

0

1

1

11

u

Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruangdari RHD Euclides di R3

Tentukan proyeksi orthogonaldari vektor

pada bidangtersebut.



25/38

Jawab :

1

1

0

,

1

0

1

21 vv

Diketahui

Selain membangun subruang pada RHD

Karena

merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.

himpunan tsb juga saling bebas linear

(terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan).

21, vv

Langkah awal :

Basis tersebut basis ortonormal.



26/38

2

1

,0,2

1

2

1,0,1

101

1,0,1

222

1

11

v

vw

2

1

2

100

2

1,0,

2

11,1,0, 12

wvPerhatikan bahwa :



27/38

21,0,

21

2

1,0,

2

1

2

1, 112 wwv

21,1,

21

2

1,0,

2

11,1,0, 1122 wwvv

62

1

46

4

11

4

1

211

21,

22

2

1122

wwvv

Sehingga:

Akibatnya :


Akhi di l h


28/38

Akhirnya, diperoleh

6

1,

6

2,

6

1

62

1

21,1,

21

,

,

1122

11222

wwvv

wwvvw

6

162

6

1

,

2

102

1

Jadi Basis Orthonormalbagi bidang tsb

=


1


29/38

1

1

1

u

uoy WPr 2211 ,, wwuwwu

2

2

2

2

10

2

1

2

1,0,

2

11,1,1, 1

wu

Proyeksi OrthogonalVektor

pada bidang tersebut adalah

Perhatikan bahwa :



30/38

Sementara itu :

6

26

1

6

2

6

1

,

1

1

1

,

6

1

62

6

1

2

wu



31/38


3

13

2

31

1

0

1

3

43

2

3

2

Dengan demikian,

=



32/38

1

1

0

,

1

0

1

1

1

1

u

CONTOH 9 :

Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruang dari RHD Euclides

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.

21, vv

1v 2v

Jelas bahwa

merupakan basis bagi bidang tersebut, karenadan saling bebas linear

Jawab



33/38

Basis tersebut akan ditransformasikan

menjadi basis ortonormal.

2

1,0,

2

1

21,0,1

101

1,0,1

222

1

11 v

v

w



34/38

Perhatikan bahwa :

2

1

2100

2

1,0,

2

11,1,0, 12

wv

Sehingga:

2

1,0,

2

1

2

1,0,

2

1

2

1, 112 wwv

2

1,1,

2

1

2

1,0,

2

11,1,0, 1122 wwvv

akibatnya



35/38

u


Proyeksi OrthogonalVektor

pada bidang W adalah:

3

13

2

3

1

1

0

1

3

432

3

2

=


wwvv


36/38

6

1,

6

2,

6

1

62

12

1,1,

2

1

,

,

1122

11222

wwvv

wwvvw

6

162

6

1

,

2

10

2

1

Jadi Basis Orthonormalbagi bidang tersebut adalah :


Latihan Bab VI


37/38

Latihan Bab VI

vu ,

vu ,

vu ,

1. Periksa apakah operasi berikut merupakan

hasil kali dalam atau bukan

= u12v1+ u2v22 di R2

= u1v1+ 2u2v2u3v3 di R3

= u1v3+ u2v2+ u3v1 di R3

a.

b.

c.

2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1)

dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal

dalam ruang Euclides !



38/38

0

11

1

01

21

1

3. W merupakan subruang RHD euclides di 3

yang dibangun oleh vektor

dan

Tentukan proyeksi orthogonalvektorpada W

38Bab 8 RUANG HASIL KALI DALAM

mat-ii-08-ruang hasil kali dalam.ppt

Documents