MAKALAH KALKULUS PEUBAH BANYAK

TUGAS MATA KULIA KALKULUS PEUBAH

BANYAK

DI SUSUN OLEH :

JELA AKBAR

SMESTER/PRODY:

4.C/MATEMATIKA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

MUHAMMADIYAH PAGARALAM

TAHUN AJARAN 2015 – 2016

KATA PENGANTAR

Dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT,

atas nikmat dan karunia-Nya semata, akhirnya penulis dapat menyelesaikan

makalah yang berjudul “KALKULUS PEUBAH BANYAK.”

Dalam penyusunan makalah ini, penulis banyak menemui

kesulitan-kesulitan dan hambatan-hambatan baik pada saat mencari sumber

maupun pada saat penulisannya, namun berkat bimbingan dan dorongan dari

semua pihak akhirnya makalah ini dapat terwujud.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dan kejanggalan

hal itu disebabkan sangat terbatasnya kemampuan dan ilmu yang penulis miliki.

Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak yang

bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

Saya ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga

Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.

Pagar alam, Agustus 2016

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ...................................................................................

DAFTAR ISI ..................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN...............................................................................

A. Latar Belakang...............................................................................

B. Rumusan Masalah ..........................................................................

C. Tujuan Penulisan ...........................................................................

D. Manfaat Penulisan .........................................................................

BAB II PEMBAHASAN.................................................................................

A. Turunan....................................................................................................

B. Vektor .....................................................................................................

C. Sistem Kordinat ......................................................................................

D. Integral Lipat .........................................................................................

1. Lipat Dua ................................................................................

2. Lipat Tiga ...............................................................................

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada bab ini, kita menggeneralisasikan konsep Kalkulus Peubah

Banyak lebih lanjut lagi.Kita akan mempelajari materi-materi yang akan

di bahas materi yang di bahas ntara lain;

1. Fungsi Dengan Beberapa Variabel2. Turunan Parsial Orde Tinggi3. Integral Lipat Dua4. penerapan Turunan Parsial

B. Rumusan Masalah

1. Apa Yang Dimaksud Dengan Fungsi Dengan Beberapa Variabel2. Apa Yang Dimaksud Dengan Turunan Parsial Orde Tinggi3. Apa Yang Dimaksud Dengan Integral Lipat Dua4. Apa Yang Dimaksud Dengan Penarapan Turunan Parsial

C. Tujuan Penulisan

1. Untuk Mengetahui Pengetian Dari Dengan Fungsi Dengan Beberapa Variabel

2. Untuk Mengetahui Pengetian Dari Turunan Parsial Orde Tinggi3. Untuk Mengetahui Pengetian Dari Integral Lipat Dua4. Untuk Mengetahui Pengetian Dari Penarapan Turunan Parsial

D. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui dan

memahami pengertian dari;

1. Fungsi Dengan Beberapa Variabel2. Turunan Parsial Orde Tinggi3. Integral Lipat Dua4. penerapan Turunan Parsial

Dan mengetahui macam-macam sifat dari materi yang akan

disampaikan lebih lanjut lagi.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Turunan

Turunan Matematika adalahMisalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan :

Rumus Turunan dan contoh

Jika   dengan C dan n konstanta real, maka : 

Jika y = C dengan 

Jika y = f(x) + g(x) maka   

Jika y = f(x).g(x) maka 

 

Turunan Trigonometri

Rumus Turunan Trigonometri adalah :

Contoh Soal :

1. Tentukan turunan pertama dari y = sin 4x + cos 6x.

Pembahasan :

y' =

dy

=d (sin 4x + cos 6x)

dx dx

y' = 4 cos 4x − 6 sin 6x.

2. Tentukan turunan pertama dari y = 6 sin 2x − 4 cos x.

Pembahasan :

y' =

dy=

d (6 sin 2x − 4 cos x)

dx dx

y' = 12 cos 2x − (-4 sin x)

y' = 12 cos 2x + 4 sin x

3. Jika y = 3x4 + sin 2x + cos 3x, maka tentukan turunan pertamanya.

Pembahasan :

y' =

dy

=d (3x4 + sin 2x + cos 3x)

dx dx

y' = 12 x3 + 2 cos 2x − 3 sin 3x.

4. Jika f(x) = sin x cos 3x, maka tentukan f '(π⁄6).

Pembahasan :Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :⇒ u(x) = sin x, maka  u'(x) = cos x⇒ v(x) = cos 3x, maka v'(x) = -3 sin 3x.

Maka turunan pertamanya adalah :

f '(x) =

dy = u'(x).v(x) +

u(x).v'(x)dx

f '(x) = cos x (cos 3x) + sin x (-3 sin 3x)

f '(x) = cos x. cos 3x − 3 sin x. sin 3x

f '(π⁄6) = cos (π⁄6). cos 3(π⁄6) − 3 sin (π⁄6). sin 3(π⁄6)

f '(π⁄6) = {½√3 (0)} − {3 (½) (1)}

f '(π⁄6) = 0 − 3⁄2f '(π⁄6) = -3⁄2

5. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :

y =

1 + cos xsin x

Pembahasan :Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :⇒ u(x) = 1 + cos x, maka  u'(x) = -sin x⇒ v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x.

Maka turunan pertamanya adalah :

y' =

dy

=

u'(x).v(x) − u(x).v'(x)

dx v2(x)

y' =

-sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos x)sin2 x

y' =

-sin2 x − cos2 x − cos xsin2 x

y' =

-(sin2 x + cos2 x) − cos xsin2 x

y' =

-(1) − cos x1 − cos2 x

y' =

-(1 + cos x)(1 − cos x).(1 + cos x)

y' =

-11 − cos x

y' =

1cos x − 1

Turunan Kedua

Turunan kedua y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan   . Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.Contoh :

Sifat Sifat Turunan

Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.

Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku1. f(x) = u + v maka f '(x) = u' + v'2. f(x) = u - v maka f '(x) = u'-v'3. f(x) = c.u maka f '(x)=c.u'4. f(x) = u.v maka f'(x) = u'v + uv'

5.   maka 

Bukti :Sifat 1f(x) = u(x) + v(x)

    

   

   

  

          

f '(x) = u'(x) + v'(x) 

Sifat 2 :

 f(x) = u(x) - v(x)

  

     

     

     

            

f '(x) = u'(x) - v'(x)

Sifat 3 :f(x) = c.u(x) maka f '(x)=c.u'(x)

    

       

     

      f '(x)=c.u'(x)

Sifat 4 : f(x) = u(x).v(x) maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

    

       

   

  

   

 

     

        

        

 

Sifat 5

 

Karena

  maka

 

sehingga

 

 

 

 Jika pembilang dan penyebut dikalikan dengan v(x) maka diperoleh

 

Contoh Soal :

1. Jika f(x) = (2x – 1)2 (x + 2), maka f‘(x) = …

A. 4(2x – 1)(x + 3)

B. 2(2x – 1)(5x + 6)

C. (2x – 1)(6x + 5)

D. (2x – 1)(6x + 11)

E. (2x – 1)(6x + 7)

PEMBAHASAN :

INGAT : f(x) = u.vf'(x) = u’v + uv’

misal : u(x) = (2x – 1)2   u'(x) = 2(2x – 1)(2)v(x) = x + 2   v'(x) = 1

f'(x) = (4(2x – 1))(x + 2) + ((2x – 1)2)(1)= (8x – 4)(x + 2) + (2x – 1)2= 8x2 + 12x – 8 + 4x2 – 4x + 1= 12x2 + 8x – 7= (2x – 1)(6x + 7)

JAWABAN : E2. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = adalah f ‘(x), maka f‘(x) = …

A. 

B. 

C. 

D. 

E. PEMBAHASAN :

= 

= 

= 

= 

JAWABAN : A3. Diketahui f(x) =  , Jika f‘(x) adalah turunan pertama dari f(x), maka nilai f‘(2) = …

A. 0,1B. 1,6C. 2,5

D. 5,0E. 7,0

PEMBAHASAN :f(x) = 

= (4x2+9)1/2f'(x) = 1/2 (4x2+9)-1/2 (8x)

= 4x (4x2+9)-1/2

= 

f'(2) = 

= = 1.6

JAWABAN : B

4. Diketahui f(x) =  . Nilai f‘(4) = …A. 1/3B. 3/7

C. 3/5D. 1E. 4PEMBAHASAN :

f(x) = 

f'(x) = misal : u(x) = 2x + 4   u'(x) = 2

v(x) = 1 +     v'(x) = 1/2 x-1/2

f'(x) = 

f'(4) = 

= 

= 

= 

=   = 

Persamaan Garis Singgung Kurva

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari gradien garisnya                            m=(y2-y1)/(x2-x1)Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

jika saling sejajar maka m1=m2 jika saling tegak lurus maka m1.m2=-1 atau m1=-1/(m2)

Persamaan Garis Singgung KurvaJika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan

y-y1=m(x-x1)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Contoh soal :

1. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm2. Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah … cm.

A. 6B. 8C. 10D. 12E. 16

PEMBAHASAN :misal kita anggap tinggi kotak adalah t dan panjang sisi alas adalah s.Luas kotak tanpa tutup = Luas alas (persegi) + (4 x luas sisi)

432 = s2 + (4.s.t)432 = s2 + 4ts

Karena yang diminta dalam soal adalah panjang sisi persegi, maka kita buat persamaan dalam variable s.

432 – s2 = 4ts108/s – s/4 = t

Volume = v(x) = s2t= s2(108/s – s/4)= 108s – s3/4

Agar volume kotak maksimum maka :v'(x) = 0108 – 3s2/4 = 0108 = 3s2/4144 = s212 = sJAWABAN : D

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?

Jawab :f(x) = x³ – 3xf ‘(x) = 3x² – 3m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9

Jadi, persamaan garis singgungnya adalahy – y1 = m(x – x1)y – 3 = 9 (x – 2)y – 3 = 9x – 18y = 9x – 15

3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 – 7x2 + 20  di titik yang berabsis 2 ?

Jawab :x = 2y = x4 – 7x2 + 20 = y = 24 – 7.22 + 20 = 16 – 28 + 20 = 8m =y’ = 4x3 – 14 x = 4.23 – 14.2 = 32 – 28 = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalahy – y1 = m(x – x1)y – 8 = 4(x – 2)y – 8 = 4x – 8y = 4x

4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Jawab :Ordinat adalah nilai y, makay = 18x3 + 10 = 18x3 = 8x = 2

m = y’ = 3x2 = 3.22 = 12

Sehingga persamaan garis singgungnyay – y1 = m(x – x1)y – 18 = 12(x – 2)y – 8 = 12x – 24y = 12x – 16

5. Persamaan garis singgung pada kurva y = x4 – 5x2 + 10 di titik yang berordinat 6 adalah

Jawab :ordinat = 6x4 – 5x2 + 10 = 6x4 – 5x2 + 4 = 0(x2 – 1)(x2 – 4) = 0(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2

untuk x = -1m = 4x3 – 10x = -4 + 10 = 6y – y1 = m(x – x1)y – 6 = 6(x + 1)y – 6 = 6x + 6y = 6x + 12

Untuk x = 1m = 4x3 – 10x = 4 – 10 = -6y – y1 = m(x – x1)y –  6 = -6(x – 1)

y – 6 = -6x + 6y = -6x + 12

Untuk x = -2m = 4x3 – 10x = 4(-2)3 – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12y – y1 = m(x – x1)y – 6 = -12(x + 2)y – 6 = -12x – 24y = -12x – 18

Untuk x = 2m = 4x3 – 10x = 4.23 – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12y – y1 = m(x – x1)y – 6 = 12(x – 2)y – 6 = 12x – 24y = 12x – 18

Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x – 18 dan y = 12x – 18

6. Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x4 – 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah

Jawab :y = 3x4 – 20y’ = 12x3

Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalahy = 12x + 8maka gradien garis ini adalah m1 = 12Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m2) adalahm2 = m1 = 12gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehinggay’ = 1212x3 = 12x3 = 1x = 1maka y = 3x4 – 20 = 3 – 20 = – 17Persamaan garis singgungnya adalah

y – y1 = m(x – x1)y + 17 = 12(x – 1)y + 17 = 12x – 12y = 12x – 29

7. Garis yang menyinggung kurva y = 12  – x4  dan tegak lurus dengan x – 32y = 48 mempunyai persamaan ….

Jawab :y = 12  – x4

y’ = – 4x3

Sedangkanx – 32y = 4832y = x – 48

Garis ini memiliki gradien m1=1/32Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka

m1.m2 = -1(1/32)m2=-1m2= -32m2 ini adalah gradien garis singgung, sehingga sama dengan turunany’ = -32– 4x3 = -32x3 = 8x = 2y = 12  – x4 = 12-24 = -4maka persamaan garis singgungnyay – y1 = m(x – x1)y + 4 = -32(x – 2)y + 4 = -32x + 64y = -32x + 60

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Tentunya kalian masih ingat dengan topik sebelumnya tentang menentukan titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Pada topik ini, kalian akan belajar tentang penggunaan turunan dalam menentukan nilai maksimum dan nilai minimum.

Definisi 1 :

Jika diberikan fungsi f dengan daerah asal Df dan x = c merupakan anggota Df, maka berlaku hubungan sebagai berkut :

1. f(c) adalah nilai maksimum fungsi f pada Df jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di Df

2. f(c) adalah nilai minimum fungsi f pada Df jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di Df

3. f(c) adalah nilai ekstrim fungsi f pada Df jika f(c) adalah nilai maksimum atau minimum fungsi f di Df

Definisi 2 :

Jika diberikan fungsi f dengan daerah asal Df dan interval (a,b) merupakan himpunan bagian dari Df, maka berlaku hubungan sebagai berkut :

1. f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f pada interval (a,b) yang memuat c jika f(c)adalah nilai maksimum fungsi f pada (a,b)

2. f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f pada interval (a,b) yang memuat c jika f(c)adalah nilai minimum fungsi f pada (a,b)

3. f(c) adalah nilai ekstrim lokal fungsi f jika f(c) adalah nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal fungsi f[/important

Lalu, kapan terjadi nilai ekstrim lokal?

Kalian dapat menggunakan uji turunan pertama untuk menentukan nilai ekstrim lokal.

Jika fungsi f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat x = c, maka berlaku hubungan sebagai berikut :

1. Jika f'(x) > 0 untuk semua nilai x dalam selang (a,c) dan f'(x) < 0 untuk semua nilai x dalam selang (c,b), maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal f

2. Jika f'(x) < 0 untuk semua nilai x dalam selang (a,c) dan f'(x) > 0 untuk semua nilai x dalam selang (c,b), maka f(c) merupakan nilai minimum lokal f

3. Jika f'(x) pada selang (a,c) dan (c,b), maka f(c) bukan merupakan nilai ekstrim lokal f

Agar lebih jelas, mari perhatikan gambar di bawah ini.

Apakah kalian sudah paham? Mari kita cermati beberapa contoh berikut ini.

Contoh 1:

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 2x2 - x jika Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2} !

Penyelesaian :

Jika kita perhatikan, ternyata x = ¼ merupakan anggota Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2 }. Dengan demikian, untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f pada Df, kita perlu mengetahui nilai f untuk x = -1 , x = ¼, dan x = 2.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 2x2 – x dengan Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2 } berturut-turut adalah f(2) = 6 dan f( ¼ ) = - 1/8.

Contoh 2 :

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 3x2 - 2x + 1 jika Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 } !

Penyelesaian :

Oleh karena x = 1/3 bukan merupakan anggota Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 }, maka untuk menentukan nilai minimum dan nilai maksimum untuk fungsi f, kita cukup mengetahui nilai f untuk x = 1 dan x = 4.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 3x2 – 2x + 1 dengan Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 } berturut-turut adalah f(4) = 41 dan f(1) = 2.

Contoh 3 :

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = (x + 4)2 jika Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 } !

Penyelesaian :

Oleh karena x = -4 merupakan batas kiri dari Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 }, maka untuk menentukan nilai minimum dan nilai maksimum untuk fungsi f, kita cukup mengetahui nilai f untuk x = -4 dan x = 0.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum dari f(x) = (x + 4)2 dengan Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 } berturut-turut adalah f(0) = 16 dan f(-4) = 0.

B. Vektor

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Contoh

sebuah kapal bergerak dengan kecepatan sebesar 20 knot pada arah

30 derajat dari suatu pelabuhan. Dari pernyataan di atas dapat

dipahami bahwa kapal tersebut bergerak dengan kecepatan 20 knot

yang merupakan besaran, selain itu dijelaskan juga arah yang

ditempuh, yaitu 30 derajat dari pelabuhan.

Penggambaran vektor:

Untuk menyatakan suatu vektor dapat dilakukan pada bidang datar

atau bidang koordinat Cartesius XOY dengan menggambar ruas

garis dengan anak panah di salah satu ujungnya. Panjang ruas garis

mewakili besar (panjang) vektor dan anak panah mewakili arah

vektor. Vektor disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan huruf

yang digaris bawah.

Macam-macam vektor:

Vektor Satuan    : Vektor yang memiliki arah, meskipun hanya

bernilai satu.

Vektor Nol         : Vektor yang titik awal dan akhirnya sama.

Vektor Negatif   : Negatif sebagai penunjuk arahnya.

Vektor Posisi      : Vektor yang menempati posisi pada bidang

kartesius.

Vektor Ortogonal: Vektor basis pada dimensi tiga.

Vektor Basis       : Vektor yang menempati suatu kartesius.

Vektor Resultan : Vektor yang menjadi hasil dari semua vektor.

            

1. Fungsi Vektor Secara Matematika

Secara matematisnya, dijelaskan dungsi dari vektor itu ialah sebagai

berikut:

Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan suatu vektor A,

maka A dinamakan suatu fungsi  u yang dilambangkan dengan 

A(u). Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i + A2(u)j + A3(u)k

Konsep fungsi ini dapat dengan mudah diperluas. Jadi kita untuk setiap titik (x, y, z) dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A adalah fungsi dad (x, y, z) dan dinyatakan dengan A(x, y, z) = A1(x, y, z)i + A2(x, y, z)j + A3(x, y, z)k.

Kita kadang-kadang menyatakan bahwa sebuah fungsi vektor A(x,

y, z) mendefinisikan suatu medan vektor karena mengaitkan suatu

vektor dengan setiap titik di suatu daerah. Dengan cara yang sama

4(x, y, z) mendefinisikan suatu medan skalar karena mengaitkan

suatu skalar dengan setiap titik di suatu daerah.

Limit, kontinuitas dan turunan fungsi vektor mengikuti aturan yang

serupa untuk fungsi skalar yang bersangkutan. Pernyataan berikut

menunjukkan kesamaan yang ada.

1. Fungsi vektor A(u) dikatakan kontinu di u0 jika diberikan suatu

bilangan positif , kita dapat menentukan suatu bilangan positif .

Sehingga  <  bilamana < . Hal ini ekivalen dengan pernyataan  =

A(u0).

2. Turunan dari A(u) didefinisikan sebagai  dengan syarat limit ini

ada. Jika A(u)=A1(u)i+A2(u)j+A3(u)k ; maka,   .

Konsep yang sama akan berlaku untuk turunan lebih tinggi seperti

dst.

Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu

partikel dalam ruang. Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3)

dikaitkan dengan suatu vektor, maka ruang tersebut disebut medan

vektor. Contoh medan vektor, misalnya aliran fluida (gas, panas, air

dan sebagainya) dalam suatu ruangan.

Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor

disebut fungsi skalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak

dikaitkan dengan suatu vektor disebut medan skalar.

Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam

suatu ruang atau batang besi, pada suatu saat.

2. Fungsi Vektor Dalam Penerapan Sehari Hari

Dalam dunia manusia ini, memang tidak serta merta kita dapat

mlihat fungsi dari vektor tersebut. Namun, fungsi itu ada dan itulah

sebabnya mata pelajaran/mata kuliah ini tetap dipelajari. Fungsi-

fungsi tersebut antara lain yaitu:

1. Sarana transportasi darat, laut, maupun udara masing-masing

memiliki peluang yang sama untuk terjadinya kecelakaan. Apabila

kecelakaan teradi di tengah lautan lepas tentunya kapal yang

mengalami kerusakan hars dibawa ke pelabuhan terdekat untuk

segera diperbaiki. Untuk menarik kapal tersebut dibutuhkan dua

buah kapal dengan dilengkapi kawat baja. Agar kapal dapat sampai

ke pelabuhan yan dituju dan posisi kapal selama perjalanan tetap

stabil besar gaya yang dibutuhkan oleh masing-masing kapal

penarik dan sudut yang di bentuk oleh kawat baja harus

diperhitungkan dengan cermat.

2. Dalam Navigasi, vektor berpengaruh besar terhadap keberadaan

suatu lokasi ditinjau dari tempat yang bergerak (kendaraan atau

lainnya). Teknologi ini disebut Global Positioning System atau

GPS. Dimana sistem ini memberitahukan lokasi di permukaan bumi

walaupun tempatnya bergerak. Sehingga, suatu kendaraan dapat

tahu keberadaannya dan dimana lokasi tujuannya. Karena itu vektor

sangat berperan penting dalam Navigasi contohnya vector yang

digunakan untuk Sistem Navigasi Pesawat Terbang. Semua pesawat

terbang dilengkapi dengan sistem navigasi agar pesawat tidak

tersesat dalam melakukan penerbangan. Panel-panel instrument

navigasi pada kokpit pesawat memberikan berbagai informasi untuk

sistem navigasi mulai dari informasi tentang arah dan ketinggian

pesawat. Pengecekan terhadap instrument sistem navigasi harus

seteliti dan seketat mungkin. Sebagai contoh kejadian yang

menimpa pesawat Adam Air pada bulan pebruari 2006 sewaktu

menjalani penerbangan dari bandara Soekarno Hatta menuju

bandara Hasanudin di Makasar. Ketidaktelitian pihak otoritas

penerbangan yang mengijinkan pesawat Adam Air terbang dengan

sistem navigasi yang tidak berfungsi menyebabkan Pesawat Adam

Air berputar-putar di udara tanpa tahu arah selama tiga jam,

sebelum mendarat darurat di bandara El Tari Nusa Tenggara Timur.

Kesalahan akibat tidak berfungsinya system navigasi adalah

kesalahan yang fatal dalam dunia penerbangan. Sanksi yang

diberikan adalah dicabutnya ijin operasi bagi maskapai

penerbangan yang melanggar. Vektor menyatakan arah dan besar

suatu besaran. Jurusan tiga angka, Analisi ruang, Navigasi

penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk

keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan

vektoris yang sudah dikalibrasikan dengan alat ukur sehingga

menghasilkan keluaran manual atau digital. Keluaran itu dapat

dibaca pada pada alat ukur yang menera besar dan arah secara

bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya.

3.   Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan

gravis. Grafis adalah gambar yang tersusun dari koordinat-

koordinat. Dengan demikian sumber gambar yang muncul pada

layar monitor komputer terdiri atas titik-titik yang mempunyai nilai

koordinat. Layar Monitor berfungsi sebgai sumbu koordinat x dan

y. Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui

kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan

matematika tertentu. Contoh software yang menggunakan vektor

adalah CorelDRAW dan Adobe Illustrator. Dalam software

komputer seperti AutoCAD, Google SketchUp dll, terdapat

penghitungan vektor yang terkomputerisasi. Program tersebut

berfungsi sebagai penggambar rancangan bangunan 3D sebelum

membangun bangunan sebenarnya. Dalam progeam tersebut

terdapat tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan sumbu Tegak (3

dimensional).

4.   Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh

tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya

dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.

5.   Saat perahu menyebrangi sungai, makan kecepatan perahu yang

sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air.

6.   Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah

dari busurnya, sebenarnya arah gerak anak panah merupakan

penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua unjung busur tersebut.

7.   Metode vektor juga diaplikasikan terhadap seseorang yang

sedang bermain layang-layang. Sehingga arah layang-layang yang

sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali

layangan. Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan 

lebih jelas karena ada pengaruh vektor.

8.   Pada saat seorang anak bermain jungkat-jungkit, pada bidang

miring menggunakan gaya vektor, sehingga anal tersebut tidak

jatuh dari bidang miring itu.

9.   Seorang pilot pada pesawat terbang menggunakan komputer

navigasi.

3. Fungsi Vektor Secara Agamis

Lantas, bagaimana kaitannya dengan ilmu agama? Dimana

kaitannya Vektor dengan agama? Seperti yang kita tahu, vektor

selalu dimulai oleh sebuah titik yang disebut titik awal dan diakhiri

oleh sebuah titik lagi yaitu titik akhir. Oleh sebab itu, dikatakan

bahwa, kehidupan ini seperti sebuah vektor, dimulai dari sebuah

titik awal dan akan berakhir pada sebuah titik lagi, yaitu titik akhir.

Entah itu dua titik yang berbeda sehingga bisa kita katakan telah

terjadi perubahan dalam hidup tersebut, atau dua titik tersebut

adalah titik yang sama sehingga, dapat disimpulkan tidak ada

perubahan apapun dalam hidup tersebut. Hidup tersebut hanya

skedar menjalani apa yang telah terpampang didepan wajah tanpa

ada kemampuan atau kemauan untuk merubah hasil akhirnya.

Lalu, dari situ dapat kita tarik kesimpulan bahwa, vektor berfungsi

dalam hal ini. beberapa diantaranya yaitu:

1. Dengan mempelajari vektor, maka kita akan ditunjukan pada

kemuliaan Allah yang telah menciptakan alam semesta serta manusia

dengan begitu sempurnanya, menetapkan aturan-aturan yang begitu

sempurna serta dapat dijelaskan secara ilmiah. Dan semua itu tentunya

dapat kita lihat secara langsug maupun dengan mengkaji serta

mendalaminya.

2.   Allah SWT. melalui firman-firman-Nya serta bagaimana dijelaskan

dalam sunnah Rasul Nya, bahwa manusia sebagaimana vektor

diciptakan dengan adanya titik awal dan titik akhir yang tujuan hidup

manusia ini semata-mata adalah untuk beribadah kepada Allah.

3.   Sebagaimana sebuah vektor sebagai suatu titik yang nantinya

membentuk garis, maka tentunya hal ini harus kita renungi bahwa

manusia sudah sepatutnya untuk memiliki tujuan hidup yang jelas.

Adapun inti dari hidup manusia adalah memiliki satu tujuan yaitu untuk

mendapatkan Ridho Allah SWT.

4.   Dengan merenungi konsep limit serta turunan berarah, maka akan

makin menjadikan manusia untuk melakukan usaha mndekatkan diri

kepada Allah SWT . yakni diharapkan dengan merenungi serta

memahamivektor sebagi suatu besaran yang memiliki arah maka

manusia akan makin melakukan usaha-usaha untuk mendekatkan diri

kepada Allah SWT dengan memperbanyak amal-amal kenbaikan,

menghindari kemaksiatan, memperbanyak istighfar serta berdzikir

kepada Nya, kareana dengan bertambah banykanya seorang menyebut

asma Allah, niscaya dia akan selalu dalam pantauan Allah SWT.

C. Sistem Koordinat

1. . Membuat Denah Letak Benda

Untuk bisa menentukan suatu denah, kalian terlebih dahulu harus

memahami konsep skala dan perbandingan. Kemudian ketika membaca denah

kalian harus memperhatikan hal yang paling utama yaitu penunjuk arah.

Penunjuk arah pada denah biasanya digambarkan dengan bentuk panah

kemudian ada huruf U di bagian atasnya yang menunjukkan arah utara.

Biasanya juga diberi huruf S pada bagian bawah yang menunjukkan arah

selatan. Dengan demikian kalian dapat menentukan dua arah yang lainnya,

yaitu tangan kiri kita akan menunjukkan arah barat dan tangan kanan kita

akan menunjukkan arah timur.

Cara Membuat Denah Letak Benda atau Tempat

Untuk menggambar sebuah denah kita harus menentukan arah yang sesuai.

Pertama-tama tentukan arah utara karena biasanya arah utara yang

menentukan posisi suatu denah. Arah utara di gambarkan pada posisi atas.1[1]

Perhatikan denah berikut ini.

1

Keterangan dari denah di atas adalah :

1.      Kantor Pos 7. Pom Bensin

2.      Rumah Joni 8. Halte

3.      Terminal 9. Rumah Sakit

4.      Rumah Andi 10. Rumah Adel

5.      Pasar 11. Rumah Dani

6.      Taman 12. Rumah Yuli

Dari denah tersebut, kita dapat memperoleh informasi :

1.      Kantor Pos terletak disebelah barat rumah Joni.

2.      Sebelah timur Pom bensin terdapat taman dan halte.

3.      Rumah Adel dan rumah Dani terletak di selatan rumah sakit.

Latihan 1

Perhatikan denah di atas.

1.      Pasar terletak disebelah …… rumah Andi.

2.      Sebelah timur rumah Joni terdapat……

3.      Halte terletak disebelah….. rumah Yuli.

Jawaban:

1.      Pasar terletak disebelah barat rumah Andi.

2.      Sebelah timur rumah Joni terdapat terminal.

3.      Halte terletak disebelah utara rumah Yuli.

2. Mengenal Koordinat Posisi suatu Benda

Koordinat adalah bilangan yang dipakai untuk menunjukkan lokasi

suatu titik di garis permukaan atau ruang. Koordinat dapat memudahkan kita

dalam menemukan letak benda. 2[2]

a.       Menentukan Posisi Benda dari Denah

Letak Suatu benda atau objek dapat digambarkan dengan menggunakan denah.

Selain denah, dapat juga digambarkan dengan menggunakan system

koordinat. Pada system koordinat, letak suatu benda/objek dinyatakan dalam

bentuk baris dan kolom.3[3]

Perhatikan gambar berikut.

Koordinat posisi buah-buahan :

a.       Buah nanas terletak di (A, 2)

2

3

b.      Buah lecy terletak di (B, 4)

c.       Buah semangka terletak di (C, 1)

d.      Buah anggur terletak di (D, 3)

e.       Buah apel terletak di (E, 5)

f.       Buah pisang terletak di (G, 4)

g.      Buah strawberry terletak di (G, 2)

Latihan 2

Isilah titik-titik berikut ini sesuai gambar.

1.      Mobil terletak di (…. , ….)

2.      Kereta api terletak di (…. , ….)

3.      Rumah sakit terletak di (…. , ….)

4.      Masjid terletak di (…. , ….)

5.      ………. terletak di (4, C)

6.      ………. terletak di (7, D)

7.      ………. terletak di (3, D)

8.      ………. terletak di (5, E)

9.      ………. terletak di (6, B)

10.  ………. terletak di (8, A)

Jawaban:

1.      (1, A) 6. Rumah

2.      (1, C) 7. Pohon Kelapa

3.      (2, E) 8. Bus

4.      (3, B) 9. Kamera

5.      Becak 10. Bola

b.      Menentukan Letak Tempat atau Benda dari Peta

Letak atau lokasi dari suatu tempat terkadang juga bisa kita tentukan dengan

melihat peta. Posisi suatu tempat pada peta biasanya di tuliskan dengan

merujuk kepada garis bujur dan garis lintang.4[4]

Perhatikan contoh peta berikut ini :

Pada peta di atas, garis yang tegak lurus mewakili garis bujur, sementara garis

yang mendatar mewakili garis lintang. Sehingga letak tiap kota yang ada

dalam peta tersebut dapat dituliskan menjadi:

Kota Cilagon terletak di 105,50 BT dan 6,50 LS

Kota Jakarta terletak di 1070 BT dan 60 LS

Kota Bandung terletak di 1080 BT dan 70 LS

Kota Semarang terletak di 110,80 BT dan 6,20 LS

Kota Yogyakarta terletak di 1110 BT dan 80 LS

Kota Surabaya terletak di 112,90 BT dan 7,10 LS

Latihan 3

Perhatikan peta Kabupaten Ponorogo berikut ini.

4

Isilah titik-titik di bawah ini dengan tepat sesuai pada peta.

1.      Kecamatan Jetis terletak di (…. , ….)

2.      Kecamatan Jenangan terletak di (…. , ….)

3.      Kecamatan Siman terletak di (…. , ….)

4.      Kecamatan Sukorejo terletak di (…. , ….)

5.      Kecamatan Pudak terletak di (…. , ….)

6.      …………………. terletak di (D, 6)

7.      …………………terletak di (J, 8)

8.      …………………terletak di (C, 7)

9.      …………………terletak di (G, 5)

10.  ………………… terletak di (H, 7)

Jawaban:

1.      (F, 7) 6. Kecamatan Balong

2.      (H, 9) 7. Kecamatan Pulung

3.      (G, 8) 8. Kecamatan Jambon

4.      (E, 9) 9. Kecamatan Sambit

5.      (M, 9) 10. Kecamatan Mlarak

3. Menentukan Letak Titik dalam Sistem Koordinat

Cartesius

Sumbu diagram terdiri dari dua garis yang berpotongan tegak lurus.

Garis yang mendatar disebut sumbu x dan yang tegak disebut sumbu y. Titik

potong sumbu x dan y disebut titik asal. Titik ini dinyatakan sebagai titik nol.

Pada sumbu x dan sumbu y terletak titik yang berjarak sama. Titik-titik

tersebut disesuaikan dengan bilangan cacah.

Pada sumbu x, dari titik 0 ke kanan dan seterusnya merupakan

bilangan positif, sedangkan dari titik 0 ke kiri dan seterusnya merupakan

bilangan negative. Pada sumbu y, dari titik 0 ke atas merupakan bilangan

positif dan dari titik 0 ke bawah merupakan bilangan negatif.

Setiap titik pada bidang kartesius dihubungkan dengan jarak tertentu

ke sumbu x yang disebut absis titik itu, sedangkan jarak tertentu ke sumbu y

disebut ordinat titik itu. Absis dan ordinat mewakili pasangan bilangan

(pasangan berurut) yang disebut koordinat. Penulisan koordinat ditulis dalam

tanda kurung. Koordinat x selalu ditulis terlebih dahulu, diikuti tanda koma

dan kemudian koordinat y.

Garis tegak lurus pada bidang kartesius, membagi bidang menjadi

empat bagian, yang dinamakan kuadran, yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran

III, dan kuadran IV. Pada kuadran I, nilai x dan y positif, pada kuadran II nilai

x negatif dan nilai y positif, pada kuadran III nilai x negatif dan nilai y negatif,

dan pada kuadran IV nilai x positif dan nilai y negatif.5[5]

Letak titik pada bidang datar (koordinat) ditulis secara berpasangan

(x, y) dengan x adalah nilai yang terletak pada sumbu X dan y adalah nilai

yang terletak pada sumbu Y.6[6]

5

6

Dalam bidang koordinat di atas :

Titik A memiliki koordinat (3, 2), koordinat-x : 3, koordinat-y : 2

Titik B memiliki koordinat (-2, 4), koordinat-x : -2, koordinat-y : 4

Titik C memiliki koordinat (-3, -2), koordinat-x : -3, koordinat-y : -2

Titik D memiliki koordinat (5, -3), koordinat-x : 5, koordinat-y : -3

Latihan 4

a)      Tuliskan koordinat letak titik-titik di bawah ini.

Jawaban :Titik O(-3, 2)

Titik P (2, 4)

Titik Q(7, 1)

Titik R (3, -3)

Titik S (-5, -2)

Titik T (2, 1)

Titik U(-6, 4)

Titik V(-3, -4)

Titik W (5, -2)

Titik X(1, -4)

b)      Tentukan letak titik-titik di bawah ini.

Titik A(2, 2) Titik F (-4, 2)

Titik B (3, 0) Titik G(3, -2)

Titik C (-3, -2) Titik H(-1, -3)

Titik D(1, -3) Titik I (-7, 3)

Titik E (-2, 1) Titik J (5, -4)

Jawaban :

(Gambar 1 - Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang

ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru,

dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.)

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk

menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua

bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y

(ordinat) dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang

tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang

unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat

Gambar 1).

Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-

dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan

tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).

(Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah

yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan

lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.)

Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk

geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan

aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat

diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika

sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam

menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi

untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam

perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua

tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya

Discourse on the Method, ia memperkenalkan ide baru untuk

menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan,

dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu

dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain,

La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah

dikembangkannya.

Lihat koordinat untuk sistem-sistem koordinat lain seperti sistem

koordinat polar

4. Sistem koordinat dua dimensi

Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya

didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar

satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang

(bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal

diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan

sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut

ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu

lain bertegak lurus.)

Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi

label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan

setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam

grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem

koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan

nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y)

dan urutannya tidak dibalik-balik.

(Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah

yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada

arah panah tersebut.)

Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang

dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel

dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih

dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.

Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5).

Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy

terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada

Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut

konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang

kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat

Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai

positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y

bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif,

dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif

(lihat tabel dibawah ini).

Kuadran nilai x nilai y

I > 0 > 0

II < 0 > 0

III < 0 < 0

IV > 0 < 0

D. Integral Lipat

1. Integral Lipat Dua

Integral lanjutan yang akan kita bahas kali ini yaitu integral lipat

dua, sebuah integral lanjutan yang tak boleh kita lupakan. Untuk

menambah kecintaan kepada matematika tentunya kita harus memahami

berbagai konsep matematika termasuk integral yang pada kesempatan kali

ini dibahas integral lipat dua.

Integral lipat dua ini biasanya digunakan untuk menghitung luas.

Perhatikan penjelasan dibawah ini.

Integral untuk fungsi satu variabel kita membentuk suatu partisi dari

interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk ,  k = 1, 2, 3,

4, ….n.

Dengan cara yang sama, kita definisikan untuk dua variabel. Misalkan

terdapat fungsi z=f(x,y) untuk daerah tertutup R dibidang xoy. Selanjutnya

daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing memiliki

luas A1, A2, A3,…,An. Dalam setiap sub daerah pilihlah suatu titik Pk(xk,

yk)  dan bentuklah

Jika jumlah sub daerah makin besar hingga menuju tak hingga maka

integral lipat dari daerah R didefinisikan

Untuk menghitung integral lipat dua kita dapat menggunakan integral

berulang yang ditulis dalam bentuk

Baik kita menggunakan cara a atau cara b jika integralnya memberikan

hasil maka hasilnya akan sama.

Integral Lipat Dua Dengan Batas Persegi Panjang

Bentuk umum

Integral Lipat Dua Dengan Batas Bukan Persegi Panjang

Bentuk Umum

Aplikasi Integral Lipat Dua

Integral lipat dua dengan bentuk umum ∫∫f(x,y) dA biasanya digunakan

untuk menghitung luas. Luas dari suatu bidang dapat dipandang dengan

sustu integral lipat dua jika f(x,y)=1 sehingga integral lipat dua menjadi

contoh soal :

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y

Jawab :

2. Integral Lipat Tiga

Integral lipat tiga merupakan perluasan konsep yang

berasal dari integral tunggal dan ganda yang meluas secara alami

ke integral lipat tiga. Pengembangan perhitungan pengintegralan

lipat tiga∭ f (x,y, z)dv dan suatu fiingsi 3 variabel bebas

R

Terhadap daerah tertentu R,bervolume v, dimana füngsi bernilai

tunggal dan kontinu, merupakan suatu pengembangan dari

integral tunggal dan lipa dua

Jika f(x,y,z) I maka integral menjadi ∭ f (x,y,z)dv = ∭dv

R R

dapat diartikan pengukuran volume daerah R.

dalam koordinat tegak lurus integral berganda menjadi

∭ f (x,y,z)dv = R

∫a

b

∫y1

y2

∫z1( x)

z2( x)

∫z1( x, y)

z2 (x , y )

f ( x , y , z )dzdydx

Dalam koordiat bola integral berganda menjadi

∭ f (r , θ , z )dv=¿

R

∫a

b

∫r 1(θ)

r2( θ)

∫z1(r ,θ )

z2(r ,θ )

f (r ,θ , z ) rdzdrd θ

Dalam koordinat Bola integral berganda menjadi

∭ f (ρ , θ ,∅ ¿)dv=∭ f (ρ ,¿∅ ,θ)dv¿¿

R R

∭lim ityangcoco k

❑

f ¿¿)ρ2 sin∅ dρd∅ dθ

6.1 Integral lipat 3 dalam koordinat kertesis

Z dv

dv = dz dy dx

dz = dy dx dz

dx = dx dz dy

dx

X dy

Gmabar 6.1.1

∭ f (x , y , z ) dv=¿¿ R

∫a

b

∫y1 (x)

y2 (x)

∫z1(x , y)

z2(x , y)

f ( x , y , z )dzdydx

Contoh 6.1.1

Hitung ∭dx dy dz

Penyelesaian :

∭dx dy dz=∬ ( x+c1 ) dy dz

= ∫¿¿)y+c1)dz

= ∫¿¿y+c2)dz

=xyz+c1yz+c2z+c3

Contoh 6.1.2

Hitung volume dad R yang dibatasi oleh silinder z = 4— bidang- bidang

x0, y 6, z 0 dan y= 0

penyelesaian

z V = ∭dv

R

4

y = ∫0

2

∫0

6

∫0

4−x2

dz dy dx

2 6 = ∫0

2

∫0

6

z ∫0

4− x2

dydx

x = ∫0

2

∫0

6

( 4−x2 ) dydx

V = ∫0

2

( 4−x2 ) y ¿60

dx ¿

V = 6 ∫0

2

( 4−x2 ) dx=6¿¿)¿20

V = 6 ⌊(8−83 )−0 ⌋=6 16

3=32 sv

dv

Contoh 6.1.3

Hitung volume dan R yang dibatasi oleh dua silinder z = 4

— x2 dan z2 = 4 — x dan bidang-bidang x = 0, y 0, z 0 dan y = 6

Penyelesaian:

z V = ∭dv

4 R

dv = ∫0

2

∫0

6

∫√4−x2

4−x2

dz dy dx

= ∫0

2

∫0

6

¿¿¿ )]dydx

2 0 y

6

x

Gambar 6.1.c

V = ∫0

2

¿¿ )y ]60dx

= ∫0

2

¿¿ )dx

Miasal : x= 2sin θ untuk x = 2 sin θ=2

dx = 2 cosθ dθ sinθ=1

untuk x = 0 maka 2sin θ=0

sin θ=0

θ=0

V=6 ∫0

2

( 4−x2 ) dx - 6 ∫0

2

√4−x2 dx

= 6 [( 4x-13

x3]20 - 6 ∫0

π2

2 cosθ 2cosθ dθ )

= 6 [( 8- 83¿−0¿−24∫

0

π2

cos2θdθ

= 32-24 ∫0

π2

1+cos2 θ2

dθ

= 32- 12 [ θ+ 12

sin 2 θ¿π20

¿

= 32-12 [ (π0+0¿−0¿

= (32-6 π ¿ sv

Jadi volume dari R yang dibatasi oleh silinder z = 4 – x2

z2=4−x2 dibidang−bidang x=0 , y=6 , y=0adalah (326 π ) sv.

6.2. Interval Lipat Tiga Dalam Koordinat Silinder

Intergral lipat dari 3 variabel bebas terhadap daerah tertutup R

Berbentuk ∭ f (r ,θ . z ) dv=¿¿

R

∫a

b

∫r 1(r ,θ )

r 2(r ,θ )

f (r .θ , z )rdzdrd θ

z2 r ∆ r

v = ( r ∆ θ ¿ ∆ r ∆ z

z1 ∆ z dv = r dv dθ dz

= r dv dr θ

r Sudat θdihitung

θ2 mulai dari sb x positif

∆ θ

θ1

ambar 6.2.a

Contoh 6.2.1

Dengan menggunakan koordinat silinder hitunglah volume dari

daerah R terletak di dalam r2= 16 di atas z = 0 dan dibawah

2z =y !

Penyelesaian :

Z Daerah R adalah 2x volume yang terlipat

2z = y

Y V = 2∫0

π2

∫0

4

∫0

12

rdzdrd θ

0 4 Karena y =r sin θ maka ;

X

Gambar 6.2.b

V = 2 ∫0

π2

∫0

4 12 r

∫0

sinθ

rdzdrdθ=2∫0

π2

∫0

4

rz ∫0

12 r sin θ

drdθ

= 2 ∫0

12 π

∫0

412

r2sin θ d dθ=∫0

12 π

13

r3sin θ ¿ 40¿ dθ

= 643 ∫

0

π2

sin θ dθ = 643 [- cosθ ¿

π20

¿

= 643 [0-(-1)] =

643 satuan volume

6.3 Interval Tiga Dalam Koordinat Bola Lipat

Dalam koordinat bola,integral lipat tiga dari fungsi

tiga variable bebas berbentuk:

∭ f ( ρ ,∅ ,θ ) dv=∫α

β

∫∅1

∅(θ)2

∫ρ1(∅ .θ)

ρ2(∅ ,θ)

f (ρ¿¿¿¿ ,∅ , θ)ρ2 sin∅ dpd ∅ ¿¿¿¿dθ

R

θ1 θ2

ρ2 ∆∅

ρ1 ∆∅

θ2

∆ θ

θ1

Gambar 6.3.a

dv= ( ρ ∆∅ ¿ ( ρSin∅ ∆ θ ) (∆ ρ )=ρ2 Sin ∅ d ρd∅ d θ

Contoh 6.3.

Tentukan volume bola ρ=2 acos∅yang ada dalam

Kerucut ∅=π4 !

Penyelesaian : V = 4 ∭dv

V = 4

∫0

π2

∫0

π4

∫0

2a cos∅

sin∅ dρd∅ dθ=43

∫0

π2

∫0

π4

ρ3 ¿2acos∅0

sin∅ d∅ dθ

= 43 ∫

0

π2

∫0

π4

8 a3cos3∅ sin∅ d ∅ dθ

∅

ρ = 323

a3∫0

π2

∫0

π4

cos3∅ d¿¿¿¿

= - 323 a3∫

0

π2

14

cos4∅ ¿π40

dθ

θ

= - 323 a3∫

0

π2

14 ( 1

4−1)dθ

Gambar 6.3.b

¿−323

a3∫0

π2

14

(- 316

¿dθ=2 a3∫0

π2

dθθ 2 a2 [ θ ]π20

2a2[ π2−0]=a3 π sv

DAFTAR PUSTAKA

http://kumpulan-tugasperkuliahan.blogspot.com/2016/08/tugas-matematika-3-

sistem-koordinat.html

http://rismawidyan.blogspot.com/2016/08/sistem-koordinat.html

http://www.rumusmatematikadasar.com/2016/08/cara-menentukan-dan-

membuat-denah-letak-benda-atau-tempat.html

http://geodik.com/menentukan-letak-suatu-objek/

http://sellyhendriati07.blogspot.co.id/2016/08/v-behaviorurldefaultvmlo_22.html

https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat_Kartesius

http://rumus-matematika.com/memahami-dengan-mudah-integral-lipat-dua/