Refleksi / pencerminan merupakan salah satu unsur dasar dalam membangun geometri

transformasi. Suatu refleksi / pencerminan pada sebuah fungsi Ms yang didefinisikan untuk

setiap titik pada bidang V sebagai berikut:

i) Jika PS maka Ms(P) = P

ii) Jika PS maka Ms(P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP’

Refleksi / pencerminan memiliki beberapa sifat, diantaranya adalah :

1) Sebuah refleksi pada garis adalah suatu transformasi

2) Suatu refleksi pada garis mengawetkan jarak

3) Setiap refleksi pada garis adalah suatu ismetri

Salah satu contoh aplikasi dari refleksi / pencerminan ini adalah Ciptaan Tuhan yakni

pada struktur tubuh makhluk hidup yang sempurna. Jika kita lihat dengan seksama setiap

makhluk hidup kecuali tumbuhan memiliki sumbu simetri, yang apabila kita membelah atau

membagi tubuh makhluk hidup ini berdasarkan sumbu simetrinya maka kita akan mendapatkan

dua bagian yang sama dimana satu bagian merupakan hasil pencerminan dari bagian yang lain.

Satu contoh adalah tubuh manusia yang sempurna. Apabila kita menarik suatu garis pada

sumbu simetris di bagian tubuh manusia (penarikan secara simetris terhadap pusar), maka kita

akan melihat tubuh manusia bagian kanan akan simetris letaknya dengan tubuh bagian kiri.

Jika kita kaitkan dengan sifat refleksi dimana suatu refleksi pada garis mengawetkan

jarak maka kita akan melihat jarak antara mata sebelah kanan sama dengan jarak mata sebelah

kiri ke sumbu simetri yang berperan sebagai sumbu pencerminannya.

Contoh lainnya, terdapat pada kupu-kupu, yaitu sayap kupu-kupu yang simetris. Bila kita

pandang sayap kupu-kupu digambar, kita kihat kesimetrisan sempurna yang terdapat pada sayap-

sayap ini. Sayap-sayap yang seperti renda ini banyak dihiasi dengan pola, sorotan dan warna

yang masing-masing mbagaikan karya seni. Bila kita lihat sayap-sayap kupu-kupu, kita

menyaksikan bahwa pola dan warna pada kedua sisi sama persis. Kendati kita lihat seteliti

mungkin bahkan titik terkecil pun terdapat kedua sayap yang dengan demikian menunjukkan

kesimetrisan dan tatanan yang tidak tercacat.

Disamping itu, tak satu pun dari warna-warna di sayap-sayap tipis ini tercampur dengan

yang lain, masing-masing terpisah dengan tegas dari yang lain. Sebenarnya warna-warna ini

terbentuk melalui penumpukan sisik-sisik mungil yang menggugus satu sama lain. Tidakkah

merupakan keajaiban bagaimana sisik-sisik kecil yang mudah tersebar dengan sentuhan lembuh

tangan kita, bisa tertata di kedua sayap tanpa kekeliruan sedikitpun dipembagiannya sehingga

menghasilkan pola yang tepat sama.

Dapat dilihat dari gambar kupu-kupu diatas, bahwa kupu-kupu memiliki simetri bilateral.

Jika kita tarik suatu garis yang membagi kedua bagian tubuhnya sama besar maka akan diperoleh

bahwa tubuh bagian kiri kupu-kupu merupakan hasil pencerminan tubuh bagian kanan kupu-

kupu atau sebaliknya. Setiap pola warna sayap kiri kupu-kupu merupakan hasil pencerminan

pola warna sayap kanan kupu-kupu.

Pemindahan sebuah titik tunggal pun akan menghancurkan kesimetrisan sayap dan

merusak keindahannya. Namun demikian, kita tak pernah kecampuradukkan sayap kupu-kupu

dibumi ini. Sayap-sayap itu rapi dan anggun seolah-olah dibuat oleh seniman. Sesungguhnya

sayap-sayap tersebut adalah buatan Pencipta Yang Agung.Semua yang Allah ciptakan ada dalam

keselarasan yang sempurna dengan yang lainnya. Allah menggambarkan dalam Al Qur'an

keunikan dari rasa seni-Nya dalam penciptaan sebagai berikut:

"Dialah yang telah menciptakan tujuh langit berlapis-lapis. Kamu sekali-kali tidak melihat

cacat pada ciptaan Tuhan Yang Maha Pemurah. Maka lihatlah berulang-ulang, adakah

kamu lihat ada kekurangan? Kemudian pandanglah sekali lagi, niscaya penglihatanmu

akan kembali kepadamu tidak menemukan sesuatu cacat dan penglihatanmu itupun dalam

keadaan payah."

(Surat Al Mulk: 3-4)

Hubungan Konsep Refleksi dengan Struktur Tubuh Manusia dan Kupu-kupu

Definisi:

Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang

didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:

i) Jika PS maka Ms(P) = P

Aplikasi:

P = pusar manusia

s = garis / sumbu simetris manusia

Maka Ms(P) = P = pusar manusia

Karena pusar manusia terletak pada garis/sumbu simetris maka hasil refleksi pusar manusia

P adalah P’ yang terletak sama pada P.

ii) Jika PS maka Ms(P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP’

Aplikasi:

P = sayap kanan kupu-kupu maka Ms(P) = P’ yaitu sayap kiri kupu-kupu.

Pada tubuh hewan dan manusia memiliki sumbu simetri dan sumbu simetri itulah yang

kita misalkan sebagai sumbu refkelsi atau sumbu pencerminan (garis s).

Untuk membuktikan apakah pencerminan pada struktur tubuh hewan dan manusia itu

suatu transformasi, sebagai berikut:

1. Daerah asal M adalah seluruh bidang V

Aplikasi:

Anggota bagian kanan tubuh kupu-kupu merupakan daerah asal pencerminan.

2. Ms adalah padanan yang surjektif. Sebab ambil x’V, jika x’S maka x = x’ sebab Ms(x)

= x = x’

Aplikasi:

Misalkan: x’ = pusar manusia, dimana x’ terdapat pada garis s (sumbu simetri tubuh

manusia) maka x = x’ yaitu pusar itu juga sebab hasil refleksi pusar manusia adalah pusar

manusia tersebut, Ms(x) = x = x’.

3. Ms adalah injektif. Jika AB maka Ms(A) Ms(B), dengan AS dan BS.

Aplikasi:

A : mata kanan kupu-kupu maka Ms(A) = A’= mata kiri kupu-kupu

B : antenna kanan kupu-kupu maka Ms(B) = B’ = antenna kiri kupu-kupu

Jadi A B maka B

Teorema 3.1:

Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi

Jadi refleksi struktur tubuh kupu-kupu dan manusia terhadap sumbu simetri / sumbu

pencerminannya merupakan suatu tranformasi.

Suatu pencerminan pada garis mengawetkan jarak

Misal:

A = bahu kanan manusia

B = ujung jari tengah tangan kanan manusia

A’ = Ms(A) = bahu kiri manusia

B’ = ujung jari tengah tangan kiri manusia

Jadi jarak antara AB = A’B’ yaitu jarak antara bahu dan ujung jari tengah tangan kanan manusia

sama dengan jarak antara bahu dan ujung jari tengah tangan kiri manusia.

Definisi: Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ =

PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).

3. REFLEKSI (PENCERMINAN)

3.1. PENDAHULUAN

Pada pertemuan sebelumnya telah dipelajari materi garis dan lingkaran yang membahas tentang garis dan persamaan garis, jarak, perpotongan garis dan lingkaran serta materi isometri yang membahas tentang translasi (pergeseran) dan rotasi (perputaran). Sedangkan untuk pertemuan kali ini materi yang akan dibahas yaitu tentang refleksi (pencerminan).

Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan megetahui pengertian dan sifat dari pencerminan itu. Pencerminan adalah isometri apabila memenuhi pengertian atau syarat dari isometri itu sendiri seperti yang telah dibahas pada minggu lalu mengenai isometri.

Pada pencerminan banyak persamaan transformasinya. Persamaan tersebut berbeda-beda tergantung akan direfleksikan terhadap apa, misalnya yang akan dibahas ini adalah pencerminan terhadap sumbu x. Selain itu akan dibahas juga tentang glide reflections (proses pencerminan) dan teorema pencerminan.

Dengan demikian, setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan mampu:

- Mengetahui pengertian dari pencerminan.

- Mengetahui sifat-sifat dan persamaan dari pencerminan.

- Mengetahui pencerminan adalah isometri.

- Mengetahui yang dimaksud dengan glide reflections.

- Mengetahui teorema pencerminan.

- Mengerjakan soal-soal yang berhubungan dengan pencerminan.

3.2. PENGERTIAN REFLEKSI

Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan itu. Refleksi suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu. Garis tertentu itu dinamakan sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri. Jika suatu bangun geometri dicerminkan terhadap garis tertentu, maka bangun bayangan kongruen dengan bangun semula.

3.3. SIFAT-SIFAT REFLEKSI

Tiga sifat utama refleksi adalah:

- Jarak titik ke cermin sama dengan jarak titik bayangannya ke cermin.

- Suatu bangun yang direfleksikan akan kongruen dengan bayangannya.

- Sudut-sudut yang dihasilkan oleh cermin dengan garis penghubung setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.

....................................................................................................................................................

3.4. REFLECTIONS (Pencerminan)

Seperti yang telah dijelaskan pada pendahuluan, bahwa pencerminan yang akan dibahas adalah pencerminan di sumbu x, yang mencerminkan titik P(x,y) menjadi P(x,-y). Kita dapat mencerminkan bidang dari setiap garis dan kita dapat melakukan ini dengan menggabungkan refleksi di sumbu x dengan translasi dan rotasi. Sebagai contoh, refleksi di garis y = 1 (yang sejajar dengan sumbu x) adalah hasil dari setelah tiga isometri.

..................................................................................................................................

3.5. GLIDE REFLECTIONS (Peluncuran / Proses Pencerminan)

Proses pencerminan adalah hasil dari sebuah pencerminan diikuti dengan translasi dalam arah garis refleksi. Sebagai contoh, jika kita merefleksikan pada sumbu x, dari (x,y)menjadi (x,-

y) dan mengikuti dengan translasi dengan panjang 1 dalam arah x, maka(x,y)  akan menjadi (x + 1, -y).

Peluncuran refleksi dengan panjang translasi nol akan berbeda dari tiga jenis isometri sebelumnya.

Bukan sebuah translasi, karena translasi memetakan dari setiap garis dalam arah translasi ke dirinya sendiri, sedangkan peta dari peluncuran refleksi hanya satu garis ke dalam dirinya (yaitu garis refleksi).

Bukan sebuah rotasi, karena sebuah rotasi memiliki titik tetap sedangkan peluncuran refleksi tidak memiliki titik tetap.

Bukan sebuah refleksi, karena refleksi juga memiliki titik tetap (semua titik pada garis refleksi).

Latihan Soal

1. Diketahui titik A(3,5) dan B(-4,2) , periksa apakah jika direfleksikan terhadap sumbu xmerupakan isometri?

2. Garis y = ½ direfleksikan terhadap sumbu x, tunjukkan bahwa itu menghasilkan isometri dari

titik (x,y) menjadi (x,y+1) sehingga memiliki translasi . (latihan 3.6.2. dalam buku John Stillwell halaman 61)

3. Dari latihan nomor 2, untuk menunjukkan kombinasi dari refleksi dalam garis yang sejajar, jarak d/2 terpisah, adalah sebuah translasi melalui jarak d dalam arah tegak lurus terhadap garis refleksi. Tunjukkan hal tersebut melalui gambar. (latihan 3.6.3. dalam buku John Stillwell halaman 61)

4. Tunjukkan melalui gambar yang cocok bahwa kombinasi dari refleksi di garis yang bertemu

di sudut adalah rotasi melalui sudut .

(latihan 3.6.4. dalam buku John Stillwell halaman 61)

..........................................................................................................................................

3.6. THE THREE REFLECTIONS THEOREM (Tiga Teorema Refleksi)

Pada materi sebelumnya yang berjarak sama dari dua titik A dan titik B membentuk garis, yang menunjukkan bahwa isometri tersebut sangat sederhana. Sebuah

isometri f dari ditentukan oleh gambar f(A), f(B), f(C) dari tiga titik A, B, C yang tidak segaris.

Tiga buktinya yaitu:

Titik P di ditentukan oleh jarak dari A, B, C. Karena jika Q adalah titik lain dengan jarak yang sama dari A, B, C pada P, maka A, B, C terletak pada garis yang berjarak sama dari P dan Q, bertentangan dengan asumsi bahwa A, B, C tidak berada dalam garis.

Isometri f  mempertahankan jarak (dari definisi isometri), sehingga f(P) terletak pada jarak yang sama dari masing-masing f(A), f(B), f(C), P dari A, B, C.

Hanya ada satu titik memberi jarak tertentu dari f(A), f(B), f(C) karena tiga titik tersebut tidak dalam satu garis, ketiga titik tersebut membentuk segitiga kongruen dengan segitiga ABC, karena f mempertahankan jarak (isometri).

Bukti diberikan lebih jelas pada contoh yang ditunjukkan gambar berikut:

Diketahui titik A(2,1), B(5,3) dan C(3,4). Gambarkan masing-masing titik tersebut terhadap sumbu x dan sumbu y.

Latihan Soal

Diberikan tiga titik A, B, C dan titik f(A), f(B), f(C) yang diberikan oleh isometri f, itu kemungkinan untuk menemukan tiga refleksi yang bergabung dari f dengan mengikuti langkah-langkahnya. Namun , jika hanya ingin mengetahui jenis isometri f apakah translasi, rotasi atau peluncuran refleksi, maka jawabannya sangat sederhana. Untuk menemukan hal tersebut, kita dapat mengambil tiga titik awal yaitu A(0,1), B(0,0), dan C(1,0). Itu akan dapat membantu untuk membuat sketsa tiga titik f(A), f(B), f(C), seperti pada latihan berikut.

Misalkan f(A) = (1,4;2),  f(B) = (1,4;1),  f(C) = (2,4;1). Apakah f adalah translasi, atau rotasi? Bagaimana bisa mengetahui bahwa f bukanlah suatu peluncuran refleksi? (latihan 3.7.1. dalam buku John Stillwell halaman 63)