1. Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0

adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat

dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ),

berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah

dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan

asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan

bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah

pembagian.

Tabel sifat-sifat operasi bilangan bulat

Penambahan Perkalian

closure:a + b   adalah bilangan

bulata × b   adalah bilangan bulat

Asosiativitas: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c

Komutativitas: a + b  =  b + a a × b  =  b × a

Eksistensi unsur

identitas:a + 0  =  a a × 1  =  a

Eksistensi unsur

invers:a + (−a)  =  0

Distribusivitas: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)

Tidak ada pembagi

nol:

jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau

keduanya)

Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Dalam Pascal

Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam bahasa

pemrograman Pascal. Walaupun memiliki ukuran 2 byte (16 bit),karena integer

adalah type data signed maka hanya mampu di-assign nilai antara -215 hingga 215-1

yaitu -32768 sampai 32767. Ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda

positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada

bahasa pemrograman Visual Basic .NET dan Borland Delphi memiliki ukuran 4 byte

atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga

2,147,483,647.

2. Teorema Phytagoras

1.  menemukan teorema pythagoras

Pada segitiga siku-siku mempunyai sisi-sisi yang terdiri atas 2 sisi siku-

siku dan 1 sisi miring, seperti pada gambar di bawah ini!

perhatikan gambar dibawah ini

2.  tripel pythagoras

Cara mencari bilangan-bilangan yang merupakan tripel Pythagoras

adalah dengan menggunakan rumus Pythagoras a2 = b2 + c2 yang

ditentukan oleh dua bilangan misalkan x dan y, diperoleh hubungan

sebagai berikut :

a = x2 + y2

b = x2 – y2

c = 2 xy

3. menghitung perbandingan sisi segitiga siku-siku istimewa

1. Perbandingan Sisi-sisi Segitiga Siku-siku Istimewa Sudut 300

dan 60

3. Aljabar

Aljabar dapat dipilah menjadi kategori berikut:

Aljabar dasar , yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan

simbol sebagai "pengganti" untuk menandakan konstanta dan variabel, dan

mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang

melibatkan simbol-simbol tersebut.

Aljabar abstrak , yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki

struktur aljabar seperti kelompok matematika, cincin matematika dan

matematika bidang.

Aljabar linear , yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk

matriks).

Aljabar universal , yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur

aljabar.

Aljabar komputer , yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda

matematis.

Pengertian bentuk aljabar

Bentuk-Bentuk seperti 2a , -5b, x3, 3p + 2q disebut bentuk aljabar.Pada bentuk

aljabar 2a, 2 disebut koefisien, sedangkan a disebut variabel (peubah).

Bentuk-bentuk aljabar

Persamaan dan pertidaksamaan linear

Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan pangkat satu. Pada persamaan

linear ini berlaku hukum : nononononononoooonononon# Ruas kiri dan ruas kanan

dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Contoh : 1. r + 3 = 10

r + 3 - 3 = 10 - 3 (sama sama dikurangi dengan bilangan yang sama yaitu 3)

r = 7

2. 3p = 12

3p / 3 = 12/3 (sama-sama dibagi dengan bilangan yang sama yaitu 3)

p = 4

Pertidaksamaan Linear satu variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel berarti kalimat terbuka yang memiliki tanda

<,>, Pada persamaan linear berlaku hukum:

1. Ruas Kiri dan kanan dapat ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi bilangan yang

sama

2. jika variabel bertanda minus, harus diganti menjadi positif dengan mengali bilangan

negatif dan membalikan tanda

contoh : 1. 5v - 7 > 23

5v - 7 + 7 > 23 + 7

5v / 5 > 30 / 5

v > 6

2. -2a < 10

-2a / -2 > 10 / -2

a > -5

4. Variabel

Variabel adalah suatu besaran yang dapat diubah atau berubah

sehingga mempengaruhi peristiwa atau hasil penelitian. Dengan

menggunakan variabel, kita akan mmeperoleh lebih mudah

memahami permasalahan. Hal ini dikarenakan kita seolah-olah seudah

mendapatkan jawabannya. Biasanya bentuk soal yang menggunakan

teknik ini adalah soal counting (menghitung) atau menentuakan suatu

bilangan. Dalam penelitian sains, variable adalah bagian penting yang

tidak bisa dihilangkan. 

JENIS JENIS VARIABEL :

-     Variabel  Independen

Variable ini sering disebut sebagai Variabel Stimulus, Predictor,

Antecedent, Variabel Pengaruh, Variabel Perlakuan, Kausa, Treatment,

Risiko, atau Variable Bebas.

Dalam SEM (Structural Equation Modeling) atau Pemodelan Persamaan

Struktural, Variabel Independen disebut juga sebagai Variabel

Eksogen.

Variabel Bebas adalah variabel yang mempengaruhi atau yang

menjadi sebab perubahannya atau timbulnya variabel Dependen

(terikat).

Dinamakan sebagai Variabel Bebas karena bebas dalam

mempengaruhi variabel lain.

-     Variabel Dependen

Sering disebut sebagai Variabel Out Put, Kriteria, Konsekuen, Variabel

Efek, Variabel Terpengaruh, Variabel Terikat atau Variabel Tergantung.

Dalam SEM (Structural Equation Modeling) atau Pemodelan Persamaan

Struktural, Variabel Independen disebut juga sebagai Variabel Indogen.

Variabel Terikat merupakan Variabel yang dipengaruhi atau yang

menjadi akibat karena adanya variabel bebas.

Disebut Variabel Terikat karena variabel ini dipengaruhi oleh variabel

bebas/variabel independent.

 -     Variable Moderator

Variabel Moderator adalah variabel yang mempengaruhi (Memperkuat

dan Memperlemah) hubungan antara Variabel Bebas dan Variabel

Terikat.

Variabel Moderator disebut juga Variabel Independen Kedua.

-     Variabel Intervening

Variabel Intervening adalah Variabel yang secara teoritis

mempengaruhi hubungan antara Variabel Bebas dengan Variabel

Terikat, tetapi Tidak Dapat Diamati dan Diukur.

Variabel ini merupakan variabel Penyela/Antara yang terletak diantara

Variabel Bebas dan Variabel Terikat, sehingga Variabel Bebas tidak

secara langsung mempengaruhi berubahnya atau timbulnya Variabel

Terikat.

-     Variabel Kontrol

Variabel Kontrol adalah Variabel yang dikendalikan atau dibuat

konstan sehingga hubungan variabel bebas terhadap variabel terikat

tidak dipengaruhi oleh factor luar yang tidak diteliti.

Variabel Kontrol sering dipakai oleh peneliti dalam penelitian yang

bersifat membandingkan, melalui penelitian eksperimental.

5. Gradien

1.   Pengertian Gradien

Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan

suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan

komponen x.

m = à y = mx

2.   Perhitungan Gradien

a.  Menghitung Gradien pada Persamaan y = mx

Besar gradien garis yang persamaannya y = mx adalah besarnya

koefisien x, sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai gradien dalam

suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang

terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut

diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx

b.  Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c

Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y =

mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara

menentukan nilai konstanta di depan variabel x. Sehingga Garis

dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m.

c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c =

0

Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c

= 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu

persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian,

nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.

Atau untuk mencari nilai gradien garis dengan persamaan ax + by + c

= 0 dapat ditentukan dengan rumus m =

d.  Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik

Ingat kembali bahwa gradien suatu garis adalah perbandingan antara

komponen y dan komponen x ruas garis yang terletak pada garis

tersebut.

Sehingga besarnya nilai gradien garis yang melalui dua titik (x1 , y1)

dan (x2 , y2) adalah :

m = =

Catatan:

Selisih antara dua bilangan x1 dan x2 dinotasikan dengan

x = x2 – x1 ( dibaca: delta).