Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan

dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan .

Bedasarkan manfaat-manfaatnya inilah konsep diferensial menjadi salah satu

alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi .

KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIANSI

Secara umum, membentuk turunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan

cara terlebih dahulu menemukan kuosien diferensinya , kemudian

menentukan limit kuosien diferensi tersebut untuk untuk pertambahan

veriabel bebas mendekati nol . Langkah-langkahnyasebagai berikut :

A. Andaikan funsi aslinya ialah y = f(x)

B. Masukan tambahan x dan tambahan y untuk memperoleh

y + ∆ y = f ( x + ∆ x )

C. Manipulasi untuk memperoleh

∆ y = f ( x + ∆x ) – f ( x)

D. Bagi kedua ruas dengan ∆x sehingga memperoleh kuosien

diferensinya

∆ y∆ x

=f ( x )+∆ x ¿−f (x ) ¿∆ x

E. Tentukan limitnya untuk ∆ x → 0 , sehingga diperoleh turunan

fungsinya

dydx

= lim∆ x→0

∆ y∆ x

= lim∆ x→0

f ( x+∆ x )−f (x )∆ x

Adapun sejumlah kaidah yang dapat di gunakan untuk menurunkan berbagai

bentuk fungsi tertentu yaitu :

1

1. Diferensiansi Untuk Fungsi dengan Satu Variable

Setiapa aturan berlaku untuk jenis fungsi yang masing-masing terdiri dari

satu veriabel bebas : y = k ( fungsi konstan ) , y = xn , dan y = cxn ( fungsi

pangkat ) . Semua ini mempunyai bentuk kurva yang halus dan grafik yang

kontinu sehingga dapat didiferensiansikan di mana pun .

1.1 Diferensiansi Fungsi Konstanta

Fungsi konstan y = x , atau f ( x ) = k , adalah sama dengan nol , yakni nol

untuk semua nilai x .

Maka jika diketahui :

y = f (x ) = k , dydx

=dkdx

=0atau f 1 (x )=0

Dan jika :

y = f ( x) = k ,ddxy= ddxf ( x )= d

dxk=0

simbol derivative telah dipisahkan menjadi dua bagian , d /dx pada satu pihak

dan y [ atau f ( x ) atau k ] pada pihak lainnya . Pada bagian pertama , d /dx

merupakan symbol operator yang memerintahkan kita untuk melakukan

operasi metematika tertetu . Seperti halnya symbol operator √ yang

memerintahkan kita untuk menggunakan akar kaudrat , symbol d /dx

menunjukan suatu perintah untuk mendiferensiansikan terhadap veriabel x .

Fungsi yang akan di operasikan ( didiferensiansikan ) ditunjukan dalam

bagian kedua adalah y = f ( x ) = k .

1.2 Diferensiansi Fungsi Pangkat

Fungsi pangkat ( power function ) y = f ( x ) = xn adalah nxn−1. Hal ini dapat

rumuskan sebagai

ddxxn=nxn−1atau f ' ( x )=f ' ( x )=nxn−1

Contoh pertama :

2

y = x3 adalah dydx

= ddxx3=3 x2

Contoh kedua :

y =x9 adalah ddx

x9 = 9 x8

Aturan ini valid untuk setiap pangkat dengan nilai rill dari x , yaitu

pangkatnya dapat berbentuk setiap bilangan rill . Adapun pembuktian untuk

kasus dimana n adalah beberapa bilangan bulat positif . Dalam kasus yang

sederhana , yakni n = 1 ,

fungsinya adalah f ( x ) = x maka rumusnya adalah

f ' ( x )= ddxx=1 (x0 )=1

1.2.1 Perumusan Umum Fungsi Pangkat

Jika konstanta penggali c muncul dalam fungsi pangkat , sehingga f ( x ) = cn

, rumusnya adalah

ddxc xn=c nxn−1atau f ' ( x )=cn xn−1

Hasil menunjukan bahwa , dalam mendiferensiansikan c xn dapat

mempertahan kan konstanta penggali c tetap utuh dan kemudian

mendiferensiasikan suku xn .

Contoh pertama :

diketahui y = 2x , diperoleh dy /dx = 2 x0 = 2

Contoh kedua :

3

diketahui f ( x ) = 4 x3 , diperoleh f ' ( x ) = 12 x2

2. Diferensiansi Fungsi dengan Dua atau Lebih Fungsi dari Variabel

yang Sama

Dalam diferensiansi fungsi dengan dua atau lebih fungsi dari varibel yang

sama , dan mempuyai dua fungsi yang dapat dideferensiansikan dari

variable x yang sama , contohnya f ( x ) dan g ( x ) akan mendiferensiansikan

suatu penjumlahan , pengurangan , hasil kali atau hasil bagi yang dibentuk

dari kedua fungsi tersebut .

2.1Diferensiansi Penjumlahan ( Pengurangan )

Penjumlahan (pengurangan) dari dua fungsi adalah penjumlahan

( pengurangan ) dari derivative dua fungsi :

ddx

[ f ( x )±g ( x ) ]= ddxf ( x )± d

dxg ( x )=f ' ( x )±g' (x )

Pembuktian ini sekali lagi melibatkan palikasi definisi derivative dan dalil dari

berbagai limit .

Contoh pertama :

Dari fungsi y = 14 x3, dan dapat memperoleh derivative dy /dx = 42 x2 .

Tetapi 14 x3 = 5 x3 + 9 x3, sehingga y dapat dianggap sebagai jumlah dari dua

fungsi f (x) = 5 x3 dan g (x) = 9 x3.Menurut aturan penjumlahan , kita dapatkan

dydx

= ddx

(5 x3+9x3 )= ddx5 x3+ d

dx9 x3=15 x2+27 x2=42x2

Contoh kedua :

Fungsi yang disebutkan dalam contoh satu , y = 14 x3dapat ditulis sebagai y

= 2 x3+ 13 x3- x3, menurut aturan penjumlahan ( pengurangan ) adalah

4

ddx

= ddx

(2x3+13 x3−x3 )=6 x2+39 x2−3x2=42x2

Aturan ini sangan penting dan praktis . Dengan menggunakan aturan ini ,

untuk mencari derivative dari setiap fungsi polinominal , karena ini dalah

penjumlahan fungsi pangkat .

2.2Diferensiansi Perkalian

Deveratif dari perkalian dua fungsi ( yang terdiferensiansi ) adalah sama

dengan fungsi yang pertama dikaliakan deveratif fungsi kedua ditambah

fungsi kedua dikalikan deveratif fungsi pertama :

ddx

[ f ( x )g ( x ) ]=f ( x ) ddxg ( x )+g ( x ) d

dxf ( x )

= f ( x )g ' ( x )+g ( x ) f '( x)

Tentu saja , mungkin untuk menyusunkembali usku-suku dan menyatakan

aturan sebagai

ddx

[ f ( x )g ( x ) ]=f ' (x ) g ( x )+ f ( x )g' (x)

Contoh pertama

Carilah deveratif dari y = (2x + 3)(3 x2) . Misalkan f (x) =2x + 3 dan g (x) = 3 x2

. Selanjutnya f ' (x) = 2 dan g' (x) =6x , dan menurut rumus diatas deviratif

yang diinginkan adalah

ddx

[ (2 x+3 ) (3x2 ) ]=(2x+3 ) (6 x )+(3 x2) (2 )=18x2+18 x

5

Hasil ini dapat diperiksa dengan terlebih dahulu mengalikan f(x)g(x) dan

kemudian mencari derivative dari hasil perkalian polinom . Dalam hal ini

perkalian polinominal adalah f(x)g(x) = (2x + 3)(3 x2) = 6 x3 + 9 x2 dan

diferensiasinya langsung menghasilkan derivetif yang sama , 18 x2 + 18x .

Hal yang utama diingat adalah bahwa derivative perkalian dua fungsi

bukanlah perkalian yang sederhana dari dua derivatif terpisah . Hal itu

merupakan jumlah tertimbang dari f ' (x) dan g' (x) serta bobot g(x) dan f(x) .

Karena hal ini berbeda dengan intuitif seseorang yang mengharapkan

adanya rumusan umum (generalization) .

2.3Diferensiansi Pembagian

Derivatif pembagian dua fungsi , f(x) / g(x) , adalah

ddxf (x )g (x)

=f ' ( x )g ( x )−f ( x )g ' (x)

g2(x )

Pada pembilang dari pernyatan diatas , kita temukan dua hasil perkalian

suku-suku yang masing-masing hanya melibatkan satu derivative dari dua

fungsi asli . Perhatikan bahwa f '(x) muncul dalam suku positif , dan g'(x)

dalam suku negative . Penyebutnya mengandung fungsi kuadrat g(x) yakni g2

(x) = [g(x)¿2 .

Contoh pertama :

dxdy ( 2 x−3x+1 )=2 ( x+1 )−(2x−3)(1)

¿¿

Contoh kedua :

6

ddx ( 5 xx2+1 )=

2 ( x+1 )−5x (2x )¿¿

3 Diferensiansi yang Melibatkan Fungsi-fungsi dari Variabel yang

Bebeda

Dalam diferensiansi ini akan membahas kasus-kasus dimana terdapat dua

atau lebih fungsi yang terdiferensiansi , yang masing-masing mempunyai

variable yang bebas yang berbeda .

3.1Diferensiansi Aturan Rantai

Jika kita mempunyai fungsi terdiferensiansi z = f (y) , dimana y pada

gilirannaya merupakan fungsi terdiferensiansi dari veriabel x yang lain ,

katakanlah y = g(x) , maka derivative z terhadap x sama dengan derivative z

terhadap y , dikalikan derivative y terhadap x . Secara simbolis hal itu

dinyatakan sebagai

dzdx

=dzdydydx

=f ' ( y )g' (x )

Aturan ini dikenal sebagai aturan aturan rantai (chain rule), secara intuitif

sangat menarik . Bedasarkan y = g(x) , kita dapat menyatakan fungsi z = f (y)

sebagai z = f [ g (x)] , dimana kemunculan symbol dua fungsi f dan g yang

bersamaan menunjukan bahwa ini adalah suatu composit function atau

fungsi komposit atau aturan fungsi dari suatu fungsi . Karena alasan inilah

aturan rantai juga disebut sebagian aturan fungsi komposit atau aturan fungsi

dari suatu fungsi .

Perluasan aturan rantai ini menjadi tiga fungsi . Jika kita mempunyai z = f (y) ,

y = g (x) , dan x = h (w) , maka

7

dzdw

= dzdydydxdxdw

= f ' ( y )g' ( x )h' (w)

Contoh pertama : Bila z = 3 y2, dimana y = 2x = 5 , maka

dzdx

=dzdydydx

=6 y (2 )=12 y=12(2x+5)

Contoh kedua : Bila z y – 3 , dimana y = x3

dzdx

=1 (3 x2 )=3 x2

Aturan ini sangat diperlukan bila ketika harus mendiferensiansikan suatu

fungsi seperti z = (x2+ f ' +2 ¿17. Tanpa aturan rantai d z /dx hanya

dapat diperoleh melalui pekerjaan yang memakan waktu lama dari pekerjaan

pangkat 17 . Akan tetapi , dengan aturan rantai kita dapat memperolehnya

melalui jalan pintas dengan menentukan variable intermediate yang baru ,

y = x2+ 3 x- 2 , sehingga kita dapat memperoleh dua fungsi penghubung

dalam suatu rangkaian :

z = y17dan y = x2+ 3x – 2

3.2 Diferensiansi Fungsi Invers

Jika fungsi y = f (x) menujukan suatu gambaran satu per satu , yakni jika

fungsinya sedemikian rupa dimana nilai x yang berbeda akan selalu

menghasilkan nilai y yang berbeda , maka fungsi f akan mempunyai fungsi

invers x = f 1(y) , (dibaca “ x adalah fungsi invers dari y “). Di sini fungsi

symbol f−1adalah symbol fungsi yang seperti symbol fungsi derivetif f ' ,

menunjukan fungsi yang berhubungan dengan fungsi f , bukan berarti

kebalikan dari fungsi f (x) .

8

Eksistensi fungsi invers dalam kasus ini terutama adalah bahwa nilai x

tertentu tidak hanya menghasilakan satu nilai y ( yakni , y = f (x)) . tetapi nilai

y tertentu akan menghasilkan satu nilai x. Untuk mendapatkan contoh non

numeris , kita dapat mengambil satu contoh penggambaran satu per satu

melalui penggambaran dari himpunan semua suami kehimpunan semua istri

dalam suatu masyarakat yang monogami .Setiap suami mempunyai satu istri

dan setiap istri mempunyai satu suami.

Jika x dan y mengacu secara khusus pada bilangan-bilangan , maka sifat

penggambaran satu per satu telihat unik pada golongan fungsi yang dikenal

sebagai fungsi monoton secara ketat . Bedasarkan fungsi x , jika secara

berturut-turut nilai variable bebas atau independen x yang semakin

membesar selalu akan menghasilakan berturut-turut nilai f (x) yang semaki

membesar , yaitu bila

x1 > x2 → f (x1) > f ( x2)

maka fungsi f dikatakan menjadi fungsi yang meningkatkan secara sempurna

. Bila berturut-turut kenaikan dalam x selalu menyebabkan penurunan

berturut-turut dalm f (x) , yaitu jika

x1 < x2 → f (x1) < f ( x2)

Maka fungsinya dikatakan menjadi fungsi yang menurun secara sempurna .

Dalam setiap kasus ini terdapat funsi invers .

Untuk fungsi-fungsi invers , aturan diferensinya jika y = f (x) dan x = g(y)

adalah fungsi-fungsi yang saling berbalika , maka

dxdy

= 1dy /dx

9

Ini berarti bahwa derivative dari fungsi invers adalah kebalikan dari derivative

fungsi asalnya . Jika demikian dx /dy harus empunyai tanda yang sama

dengan dy /dx .

Contoh pertama : x = 5 y + 0,5 y4

dxdy

=5+2 y3→ dydx

= 1d x /dy

=1/(5+2 y3)

Contoh kedua : x = In (2 y3 + y2)

dxdy

=6 y2+2 y

2 y3+ y2→dydx

= 1dx /dy

= 2 y3+ y2

6 y2+2 y=2 y

2+ y❑

6 y❑+2

3.3Diferensiansi Fungsi Logaritmik

Jika y = a log x , maka dydx

= 1x∈a

Contoh : y = 5log 2 , dydx

= 1x∈a =

12∈5

3.4Diferensiansi Fungsi Eksponensial

Jika y = ax , dimana a adalah konstanta , maka dydx

= ax In a

Contoh : y = 5x , dydx

=ax∈a=5x∈5

Dalam hal y = ex , maka dy/dx = ex juga , sebab In e = 1

3.5Diferensiansi Fungsi Kompleks

Jika y = uv , dimana u = g (x) dan v = h (x)

maka dydx

= vuv−1 . dudx

+ uv . In u . dvdx

10

Penentuan dy/dx dari y = uv ini dapat pula dilakukan dengan jalan

melogaritmakan fungsi atau persamaannya , kemudian mendifernsiansikan

masing-masing ruasnya . Perhatikan ;

y = uv

In y = v In u

1ydydx

=v 1ududx

+¿u dvdx

dydx

=(v 1u dudx +¿u dudx )uv

dydx

=vuv−1 . dudx

+uv .∈u . dvdx

Berbagai fungsi aljabar yang kompleks bias lebih mudah didiferensiansikan

dengan langkah-langkah seperti di atas .

Contoh pertama :

y = 4 xx 3

misalkan u = 4x →du/dx=4

v = x3→dv /dx=3x3

dydx

=vuv−1 . dudx

+uv .∈u . dvdxdydx

= (x3 )4 x x3−1 (4 )+4 x x

3

∈4 x (3x2)

= 16 xx3+2

+12x x3 +2

∈4 x

= 4 xx3+2

(4+3∈4 x )

11

12