MAKALAH MATA KULIAH METODE NUMERIK

INTERPOLASI FRAKTAL

Disusun oleh :

1. Maria Arditira Yolandari (H1L011060)

2. Kuswidianti D. P. (H1L011061)

3. Eri Faisol (H1L011062)

4. Tito Hartawan (H1L011065)

5. Niken Hananti P. (H1L011069)

UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

PURWOKERTO

2013

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala Rahmat dan karuniaNya

sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini. Semoga makalah ini dapat

dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca. Harapan

penulis semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para

pembaca, sehingga penulis dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga ke

depannya dapat lebih baik.

Makalah ini pasti masih memiliki banyak kekurangan. Oleh karena itu penulis

harapkan kepada para pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat

membangun makalah ini.

Purwokerto, Maret 2013

Penulis,

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .....................................................................................i

DAFTAR ISI....................................................................................................ii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................1

A. Latar Belakang Masalah ...........................................................................1

B. Rumusan Masalah......................................................................................2

C. Maksud dan Tujuan...................................................................................2

BAB II PEMBAHASAN..................................................................................3

A. Pengertian Fraktal......................................................................................3

B. Konstruksi Ruang Fraktal..........................................................................4

C. Pemetaan Kontraktif dan Iterasi................................................................5

D. Sistem Fungsi Iterasi.................................................................................5

E. Interpolasi Fraktal......................................................................................6

BAB III PENUTUP..........................................................................................15

Kesimpulan.......................................................................................................15

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Pada masa lalu, matematika memberikan perhatian sangat besar pada himpunan

dan fungsi yang mulus yang dapat dipelajari dengan kalkulus klasik. Sedangkan

himpunan dan fungsi yang tidak mulus dan tidak teratur cenderung diabaikan dan

dijauhkan dari pembicaraan. Namun pada 2 dasawarsa terakhir ini anggapan tersebut

telah berubah. Perhatian orang mulai ditunjukkan pula kepada himpunan-himpunan

yang tidak mulus. Lebih jauh lagi, himpunan yang tidak teratur memberikan penyajian

yang lebih baik untuk fenomena alam dibandingkan dengan gambar-gambar dalam

geometri klasik (tradisional). Geometri fraktal memberikan kerangka umum untuk

mempelajari himpunan yang tidak teratur. Obyek-obyek alam, seperti gunung, pantai,

awan, dan pohon tidak dapat digambarkan baik secara tradisional, yaitu dengan

menggunakan Geometri Euclides. Akhirnya disadari bahwa Geometri Ecluides hanya

mampu mempresentasikan obyek-obyek buatan manusia, seperti garis, segitiga,

segiempat, lingkaran, dll. Sedangkan Geometri Fraktal dapat mempresentasikan

obyek-obyek yang muncul dalam alam dengan baik.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan masalah sebagai berikut :

1. Apakah fraktal itu?

2. Apakah dimensi fraktal itu?

3. Bagaimana cara menghitung dimensi fraktal?

4. Apakah interpolasi fraktal itu?

C. Maksud dan Tujuan

Maksud pembuatan makalah ini adalah untuk :

1. Memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik Program Studi Teknik Informatika

Universitas Negeri Jenderal Soedirman.

2. Mempelajari metode numerik khususnya Interpolasi Fraktal

Tujuan :

1. Menambah pengetahuan bagi penulis, khususnya bagi pembaca pada umumnya.

2. Menambah wawasan penulis dalam bidang matematika.

BAB II

PEMBAHASAN

A. PENGERTIAN FRAKTAL

Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-

bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian

yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya (Wikipedia).

Kata fraktal berasal dari kata laint fractus yang artinya patah atau putus untuk

menyatakan benda-benda yang sangat tidak teratur. Mandelbrot mengatakan bahwa

fraktal adalah himpunan yang mempunyai dimensi tak bulat atau dimensi Hausdorffnya

lebih besar daripada dimensi topologisnya. Dimensi topologis suatu himpunan selalu

bulat, bernilai 0 jika himpunan itu tak terhubung total (totally disconnected), dan bernilai

1 jika setiap titiknya mempunyai suatu persekitaran dengan perbatasan yang berdimensi

0, dst (Devaney, 1992:186). Falconer (1990:xx) lebih suka memberikan definisi fraktal

secara deskriptif, dan tidak memberikan definisi secara eksplisit. Falconer mendefinisikan

fraktal sebagai suatu himpunan dengan sifat-sifat sebagai berikut :

(i) mempunyai struktur halus (fine structure), yakni terinci pada skala yang

sembarang kecilnya,

(ii) terlalu tak teratur untuk dinyatakan dalam geometri tradisional,

(iii) sering mempunyai bentuk yang berkesebangunan diri (self similarity),

(iv) dimensi fraktal biasanya lebih besar daripada dimensi topologisnya, dan

(v) dalam banyak hal fraktal didefinisikan sangat sederhana, sering secara rekursif.

Diberikan bilangan asli N>1 dan data {(x i , F i)≔0 ,1 , 2 , …,N }. Interpolasi adalah suatu

proses menentukan suatu fungsi kontinu f yang grafiknya melewati data

{(x i , F i)≔0 ,1 , 2 , …,N }. Metode interpolasi paling sederhana adalah dengan menarik

garis lurus dari masing-masing data, tersebut ke titik yang berdekatan. Selain metode

sederhana diatas, kita mempunyai metode lain yaitu dengan membentuk polinomial

dengan derajat yang terendah sehingga polinomial tersebut merupakan grafik yang paling

sesuai dengan grafik data dalam selang [ X 0 , X N ]

B. KONSTRUKSI RUANG FRAKTAL

Diberikan ruang metrik (X,d). Ruang metrik (X,d) dikatakan lengkap jika setiap barisan

Cauchy dari titik-titik di dalam (X,a) konvergen ke suatu titik di dalam X. Diberikan

(X,d) ruang metrik lengkap. Didefinisikan H(X) sebagai koleksi semua subhimpunan

kompak tak kosong dari X, i.e.

H ( X )≔ { A : A X , A ≠∅ dan A kompak }.

Didefinisikan d (a , B)=Min {d (a ,b ) :b∈B } adalah jarak titik a ke himpunan B dan

d ( A , B )=Maks {Min {d ( a ,b ): bB }: a∈ A }=Maks{d (a ,B): a∈ A } adalah jarak himpunan

A ke himpunan B. Disini d(A,B) belum tentu sama dengan d(B,A).

Untuk semua A , B ,C∈H (X )berlaku :

(i) A ≠ B → d ( A ,B ) ≠ 0dan d ( B , A )≠ 0

(ii) A B→ d ( A , B )=0

(iii) A B→ d (C , B )≤ d (C , A )

(iv) d ( A∪B ,C )=d ( A , C ) vd ( B ,C ) denganv y=max {x , y }

Metrik Hausdroff h(A,B) dengan A dan B dalam H(X) didefinisikan sebagai :

h(A,B) = Maks{d(A,B), d(B,A)}.

Untuk A, B, C, D ∈H (X ) berlaku :

h ( A∪B ,C∪D )≤ H ( A ,C ) vh ( B , D ) .

Mudah dibuktikan bahwa fungsi h : H ( X ) x H ( X ) → R di atas merupakan metrik sehingga

(H ( X ) , h) adalah suatu metrik. Metrik h yang didefinisikan pada H(X) ini disebut metrik

Hausdroff. Dalam hal ini (H(X), h) disebut ruang faktral dan setiap anggotanya disebut

fraktal.

Teorema 1.1 (Barnsley, 1988:37)

Jika (X,d) ruang metrik lengkap, maka ruang fraktal (H(X), h) juga ruang metrik lengkap,

i.e. setiap barisan Cauchy { An} dalam H(X) terdapat A∈H ( X ) sehingga A limN →∞

An.

C. PEMETAAN KONTRAKTIF DAN ITERASI

Definisi 1.1 (Barnsley, 1988:80) Pemetaan f : ( X ,d )→ ( X , d ) , disebut pemetaan kontraktif

jika terdapat suatu konstanta s dengan 0 ≤ s≤ 1 sehingga

d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ sd ( x , y ) ,∀ x , y∈ X .

Konstanta s dinamakan faktor kontraktivitas.

Mudah dibuktikan bahwa jika f pemetaan kontraktif, maka f fungsi kontinu. Suatu titik

x f ∈ X disebut titik tetap dari transformasi f jika x f =f (x f ).

Definisi 1.2 (Devaney, 1992:17) Diberikan pemetaan f : ( X ,d )→(X ,d ). Untuk semua

bilangan bulat tak negatif n ≥ 0 , iterasi dari f, i.e. f n: X → X didefinisikan dengan

f 0 ( x )≔ x , f 1 ( x )≔ f ( x ) , f 2 (x )≔ f ° f ( x ) ,…, f n+1 ( x )≔ f ° f n (x )=f ( f n (x ) ) ,Untuk semua x∈ X .

Teorema 1.2 (Barnsley, 1988:76)

Jika(X,d) ruang metrik lengkap dan f pemetaan kontraktif dari X ke X dengan faktor

kontraktivitas s, maka f mempunyai tepat satu tetap x f ∈ X, barisan { f n ( x ):n=1,2 …}

konvergen ke x f . i.e.limn → ∞

f n ( x )=x f .

D. SISTEM FUNGSI ITERASI (Barnsley, 1988:82)

Sistem Fungsi Iterasi (SFI) didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri dari ruang

metrik lengkap (X,d) dan pemetaan-pemetaan kontraksi yang berhingga banyaknya, i.e.

wn: X → X dengan faktor kontraktivitas sn untuk n = 1, 2, ..., N. Dalam hal ini SFI diberi

notasi { X : wn ,w2 ,…, wN } dengan faktor kontraktivitas s=maks {sn=:1 , 2 ,3 ,…, N } seperti

tertuang dalam teorema berikut :

Teorema 1.3 (Barnsley, 1988:82)

Diberikan SFI { X : w1 , w2 , …, wN } dengan sn faktor kontraktifitas wn ,n=1 ,2 ,3 , …, N .

Jika transformasi W : H ( X ) → H ( X ) didefinisikan sebagai

W ( B )=¿n=1¿N wn (B ) , ∀B∈H (X ) ,

Maka W merupakan pemetaan konstraksi pada (H(X), h) dengan faktor kontraktivitas

s=maks {sn=:1 , 2 ,3 ,…, N }, i.e.

h (W ( B ) ,W (C ) ) ≤ sh , ∀B ,C∈H (X ).

SFI seperti itu disebut SFI hiperbolik. Akibatnya, dari Teorema 1.3 dan Teorema 1.2

(Teorema titik tetap), terdapat dengan tunggal titik tetap A∈H , i . e .

A=W ( A )=¿n=1¿N wn ( A )

dan A ditentukan secara iteratif oleh

A= limN → ∞

W n ( B ) ,∀ B∈H ( X ) .

Titik tetap A ini disebut atraktor (attractor) SFI tersebut.

E. INTERPOLASI FRAKTAL

Definisi 1.3 (Barnsley 1986:305).

Fungsi interpolasi suatu data { ( xi , Fi )∈R2: i=0 ,1 , …, N }, x0< x1<x2<. . .< xN,

didefinisikan sebagai suatu fungsi kontinu f : [ x0 , xN ]→ R sehingga f ( x i )=Fi untuk

i=0 , 1 , …, N .

Titik-titik ( x i , F i)∈R2 untuk i=0 , 1 , …, N , disebut titik-titik interpolasi dan dikatakan

bahwa fungsi f menginterpolasikan data tersebut.

Definisi 1.4 (Barnsley 1986:305).

Fungsi interpolasi suatu data { ( xi , Fi )∈R2: i=0 ,1 , …, N }, x0< x1<x2<. . .< xN,

didefinisikan sebagai suatu fungsi interpolasi f : [ x0 , xN ]→ R yang grafiknya merupakan

atraktor dari suatu SFI.

Dalam pembahasan interpolasi fraktal akan dikonstruksikan suatu SFI

{R2:wn , n=1 ,2, …, N } sehingga eksistensi atraktornya terjamin dan merupakan grafik

dari suatu fungsi kontinu f : [ x0 , xN ]→ R yang menginterpolasikan data

{ ( xi F i)∈ R2: i=0 ,1 , …, N }, dengan wn tranformasi affine yang berbentuk khusus, i.e.

(1.1) wn( xy )=( an

cn0dn

)(xy )+(en

f n)

yang dibatasi oleh

(1.2) wn( x0

F0)=( xn−1

Fn−1) dan wn( x N

FN)=( xn

Fn)untuk n = 1, 2, …, N.

Dari (1.1) dan (1.2) diperoleh :

(1.3) an x0+cn=xn−1

(1.4) an xN +en=xn

(1.5) cn x0+dn F0+f n=Fn−1

(1.6) cn xN+dn FN+ f n=Fn ,

Untuk n = 1, 2, …, N.

Kemudian dari (1.3) dan (1.4) diperoleh :

(1.7) an=( xn−xn−1)( xN−x0 )

,

(1.8) en=( xN xn−1−x0 xn )

( xN−x0 ),

Untuk n = 1, 2, …, N. Dan dari (1.5) dan (1.6) kita mendapatkan dua persamaan dengan 3

variabel yang belum diketahui, dengan mengambil dnsebagai variable bebas, yang disebut

factor penyala vertical dan diperoleh :

(1.9) cn=Fn−Fn−1

xN −x0

−dn

F N−F0

x N−x0,

(1.10) f n=X N Fn−1−x0 Fn

x N− x0

−dn

X N F0−x0 Fn

xN−x0,

Dari uraian di atas, dapat dipertanyakan berbagai macam hal, seperti kenapa kita

menggunakan transformasi affine dan mengapa kita mengambil dn sebagai parameter

bebas. Penggunaan transformasi affine tidak akan merubah bentuk dan struktur, pemilihan

transformasi affine di atas dan pengambil dnsebagai variabel bebas kedua pertanyaan tersebut

akan terjawab setelah membuktikan teorema-teorema di bawah ini

Teorema 1.3 Diberikan bilangan asli N > 1 dan SFI {R2:wn , n−1 ,2, …, N } yang telah

dikonstruksikan pada (4,1) dan (4,2), yang berkaitan dengan data {(xn,

Fn¿ :n=0 , 1 ,2 , …, N ¿ . Jika faktor penyekala vertikal dn memenuhi 0 ≤|dn|≤1 , untuk n =

1, 2, ..., N, maka terdapat suatu metrik d pada R2, yang equivalen dengan metrik Euclides,

sehingga SFInya hiperbolik terhadap metrik d. Khususnya terdapat dengan tunggal suatu

atraktor G, i.e. G subhimpunan kompak tak kosong dalam R2 yang memenuhi

G=¿n=1¿ N wn (G )

Bukti : didefiniskan suatu metrik d pada R2 :

d ((x1 , y1) ,(x2 , y2))=|x1−x2|+θ|y1− y2|,

untuk semua ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 )∈R2, dengan θ suatu bilangan positif yang akan ditentukan

kemudian. Mudah dibuktikan d merupakan metrik pada R2 yang equivalen dengan metrik

Euclides. Ambil n ∈ {1 , 2 ,3 ,…, N }dan an , cn, en , f n, yang telah ditentukan berdasarkan

pada persamaan (1.7), (1.8), (1.9), (1.10). Maka diperoleh :

d (wn(x1 , y1) ,wn(x2 , y2))

=d (( an x1+en , cn x1+dn y1+ f n ) , (an x2+en , cn x2+dn y2+f n ))

= |an x1+en – (an x2+en)|+θ|cn x1+dn y1+ f n−(cn x2+dn y2+ f n)|

= an|x1−x2|+θ|cn ( x1−x2 )|+|dn( y1− y2)|≤ ¿an|x1−x2|+θ|cn ( x1−x2 )|+θ|dn( y1− y2)|

=¿an|x1−x2|+θ|cn∨x1− x2|+θ|dn∨¿ y1− y2| = ¿

Karena N ≥ 2, diperoleh

|an|=|xn−xn−1||XN−X 0|

<1

Jika c1=c2=c3=…=cn=0, dipilih θ=1, sehingga didapat

d(wn(x1,y1),wn(x2,y2))

≤ ¿¿|(y1-y2)|

≤|an||x 1−x 2|+¿dn|(y1-y2)|

¿ sd (( x1 , y 1 ) , ( x 2, y 2 )),

Dengan s = Maks {¿an∨,¿dn| : n =1,2,......,N} <1, i.e {R2 :W n,n = 1,2,.....,N} SFI

hiperbolik terhadapat metrik d

Untuk yang lain di pilih

θ=Min {1−|an|:n=1,2 , ………N }

Max {2|cn|:n=1,2 , ……. N }

Maka di dapat

d(wn(x1,y1),wn(x2,y2))

≤ ¿¿||y1-y2|

≤ a|x1−x2|+θδ∨ y 1− y 2∨¿

≤ Maks {a , δ } d ¿

¿ sd (( x1 , y 1 ) , ( x 2, y 2 )),

Dengan

a=( 12+

Maks {|an|:n=1,2 ,…… …N }2 )<1

Nilai a diperoleh dari

¿an∨+θ∨cn|

=¿an|+Min{1−|an|: n=1,2 , ……… N

Max {2|cn|:n=1,2 ,……. N∨cn|

≤ ¿an∨+Min {1−|an|:n=1,2 ,… ……N }

2

¿¿an∨+1−Maks{1−|an|:n=1,2 ,……… N }

2

≤ Maks{¿an }∨+1−Maks {1−|an|:n=1,2, ……… N }

2

¿ 12+

Maks{|an|: n=1,2 ,……… N }2

Sehingga dapat di ambil

a=( 12+

Maks {|an|:n=1,2 ,…… …N }2

<1)δ=Maks ¿dn| : n =1,2,......,N}<1 dan s=Maks{a,δ }.

Jadi {R2 :W n,n = 1,2,.....,N} SFI hiperbolik terhadap metrik d. Menurut Teorema

3.1,terdapat dengan satu tunggal atraktor G∈H ¿),i.e. G subhimpunan kompak tak

kosong dalam R² yang memenuhi :

G=¿n=1¿ N W n(G).q.e.d

Teorema 1.4

Diberikan bilangan asli N>1 dan SFI {R2 :W n,n = 1,2,.....,N} yang telah dikonstruksikan

pada (1.1) dan (1.2) yang berkaitan dengan data {{Xn,Fn}}:n= 0,1,2....N}. Andaikan dn

faktor penyekala vertikal yang memenuhi 0 ≤∨dn|<1 untuk n=1,2,.....N.sehingga SFI

hiperbolik.Jika G atraktor dari SFI maka G merupakan grafik dari suatu fungsi kontinu

f 0 :¿]→R yang menginterpolasikan data{(Xn,Fn) : n=1,2,.....N} dapat ditulis :

G={¿(x)): x∈ ¿]}

dengan f0(xi)=Fi untuk i=0,1,2,....N

Bukti : Didefinisikan

C*¿] : = {f:¿] →R:f kontinu sehingga f(x0)=F0 dan f(XN=FN}.

Jika C*¿] dilengkapi dengan d: d(f,g) : = Maks{|f ( x )−g ( x )|: xϵ [ X0 , X n ] },untuk semua f, g

ϵ C*¿],

maka telah dikenal dengan baik (C*¿],d) ruang metrik lengkap. Diberikan an , cn , en , f n

seperti pada persamaaan (1.7),(1.8),(1.9),(1.10) dan didefinisikan suatu

operator(pemetaan)

T: C*¿]→ C*¿],

dengan (Tf)(x)=cn 1n−1(x)+dn f ¿(x))+f n,∇xϵ [Xn-1,Xn],dan 1n: ¿] →¿], dengan 1n(x)=

an X+ , en,n=1,2,.....N. Pertama akan ditunjukan T memetakan C*¿] ke dirinya sendiri,i.e

(Tf)∈C*¿] untuk semua f∈C*¿]. Perhatikan bahwa 1n mempunyai invers1n−1 : ¿]→¿], i.e.

1n−1=

x−en

an, an 0. Ambil sembarang f∈C*¿]. Dari kesamaan (1.3) dan (1.4), didapat ln

−1

(x0)=x0 dan ln−1(xN)=xN , sehingga diperoleh :

(Tf)(x0) = C1 I 1−1(xo)+d1 f ¿¿(x0)+f1

= C1(xo)+d1 f (xo)+f1

= C1xo+d1 Fo+f1

= Fo

(Tf)(xN) = CN I N−1(xN)+d N f ¿¿(xN)+fN

= CN(xN)+d N f (xN)+fN

= CNxN+d1 FN+f1

= FN

Dari definisinya, jelas Tf kontinu pada setiap interveal (Xn-1,Xn) untuk n=1,2,....N.

Tinggal ditunjukan Tf kontinu di titik x1,x2,.....,XN-1.Ambil sembarang n∈

{1,2,.......,N-1}. Dari (1.3) dan (1.4), dipunyai 1n+1−1 (Xn) = X0 dan 1n

−1(Xn) = XN dan

akibatnya dari (1.5) didapatkan limit kanan

limX→ xn

+¿¿¿(Tf)(x)

=Cn+1 I N−1(Xn)+d N f ¿¿(Xn)+fn

=Cn+1(x0)+dn+1 f (x0)+f n+1

=Cn+1x0+dn+1 F 0+f n+1

= Fn

Dan dari (1.6) diperoleh limit kiri

limX→ xn

−¿ ¿¿(Tf)(x)

=C❑ I N−1(Xn)+d N f ¿¿(Xn)+f n

=C❑(xN)+dn f (xN)+f n

=C❑xN+dn Fn+f n

= Fn

Sehingga berlaku

limX→ xn

−¿ ¿¿(Tf)(x)= lim

X→ xn+¿¿

¿(Tf)(x)=(Tf)(Xn),

i.e Tf kontinu di Xn.Jadi Tf ∈ C*¿],i.e. T memetakan C*¿] ke dirinya

sendiri.Selanjutnya ditunjukan T pemetaan kontraksi pada (C*¿],d).Ambil sembarang f.

G ∈C*¿].Jika n ∈ {1,2 ,… .. ,N }dan x∈ [X n−1 , Xn ,] maka

|(Tf)(x)-(Tg)(x)|

=¿Cn I N−1(Xn)+d N f ¿¿(x))+f n

(Cn I N−1(x)+d N g¿¿(x))+f n|

=¿dn f (1n−1(x ))-d N g¿(x))|

≤|dn|d(f.g).

Akibatnya d(Tf,Tg) ≤ δ d(f,g). Dengan δ=Maks{|dn|:n=1,2,....,N}<1, i.e.T pemetaan

kontraksi pada (C*¿]],d).Karena itu menurut Teorema 2.2.2(Teorema titik tetap).T

mempunyai tepat satu titik tetap katakan fo ϵ C*¿],i.e. fo memenuhi (Tfo)(x)=fo(x)

untuk semua x ϵ C*¿].

Dari definisi (Tfo) dan persamaan (4.6) diperoleh

f 0 ( Xn )=(Tf 0 )(Xn)

= Cn I N−1(Xn)+d N fo ¿(Xn))+f n

=Cn(xN)+dn fo(xN)+f n

=CnxN+dn Fn+f n

= Fn

Untuk n = 0,1,2....,N sehingga fo melalui semua titik {(Xn,Fn):n=0,1,2,....N}.Misalkan

G grafik fungsi fo,.i.e.

G = {(x,fo(x)): x ϵ *¿]}

Akhirnya ditunjukan G merupakan atraktor SFI {R2 :W n,n = 1,2,.....,N}.dari definisi T,

diperoleh

(Tfo)(anx+en)=cn x+dn fo ( x )+ fn , untuk x ϵ ¿],untuk n=1,2,.... N

Akan ditunjukan

G=¿n=1¿ N W n(G)

Dari (1.1) dan persamaan terakhir,diperoleh untuk setiap x ϵ ¿] untuk n = 1,2,.... N

berlaku :

Wn( xfo (x))=¿

=( an x+en

Tfo (an x+en)) = ( an x+en

fo (an x+en))

Ambil sembarang (u,v) ϵ ¿n=1¿ N W n(G) maka (u,v) ϵ W n(G) untuk suatu n

ϵ {1,2 ,…. , N } , .i . e .

(u,v) = Wn((x,fo(x)) untuk suatu (x,fo(x)) ϵ G.

Dari persamaan terakhir didapatkan :

(u,v)=Wn((x,fo(x))=an x+en , fo(an x+en)¿ ,i.e. (u,v) ϵ G dan karena (u,v) di ambil

sembarang di peroleh ¿n=1¿ N W n (G ) ∁G.

Sebaliknya ambil sembarang (x,fo(x)) ϵ G,maka terdapat r =1n−1 ( x )= x−en

an ϵ ¿],untuk

suatu n ϵ {1,2 ,… .. , N } sehingga berlaku :

Wn( rfo (r ))

= ¿

=¿

=( ¿ (r )Tfo (x))

=( xfo (x))

=(x,fo(x))

i.e. (x,fo(x))∈ Wn(G) dan karena (x,fo(x)) dipilih sembarang di dapat G ∁ ¿n=1¿ N W n

(G).Jadi G=¿n=1¿ N W n(G) menurut Teorema 4.3 terdapat dengan tunggal atraktor G

untuk SFI {R2 :W n,n = 1,2,.....,N},i.e. G ∈ H(R²),G subhimpunan kompak tak kosong

dalam R² sehingga G=¿n=1¿ N W n (G ) .Karena fo kontinu dan [Xo,Xn] kompak di

R,maka G=fo([Xo,Xn]) kompak tak kosong di R².Karena G tak kosong,maka dari

ketunggalan atraktor,disimpulkan G=G, i.e. G merupakan grafik dari fo

CONTOH

Parabola f(x)=2x-x² pada interval [0,2] adalah fungsi interpolasi untuk suatu data {(0,0),

(1,3),(2,0)}.Jika Gf adalah grafik fungsi f

Gr={(x,2x-x²): x ∈ [0,2]}

Maka dapat dibuktikan G merupakan atraktor dari SFI{R² : w1,w2},dengan

w1( xy ) = (0.5 0

0.5 0.25)( xy ) dan

w2( xy ) = ( 0.5 0

−0.5 0.25)( xy )+(1

1) dan

Pembuktian G atraktor dari SFI {R²:w1,w2} di atas dapat kita buktikan secara langsung

w1( xf (x )) =( 1 /2 x

2( 12

x )−(12

x)2)=( 1/2 x

f ( 12

x))w2( x

f (x ))=( 1+1/2 x

2(1+1

2 x )−(1+1

2 x)2) = ( 1+1 /2 x

f (1+12

X ))

Dari hasil diatas jelas terlihat untuk x ∈ [0,2], w1 akan membawa f(x) pada interval[0,1]

dan w2 akan membawa f(x) pada interval [1,2].Berarti G = w1(G) w2(G) dan karena G

∈ H (R²),berdasarkan teorema 1.3, berarti G merupakan atraktor dari SFI diatas.

Berdasarkan Definisi 1.4 ,f(x) fungsi interpolasi fraktal.

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Dalam makalah ini dipelajari Sistem Fungsi Iterasi (SFI) pada suatu ruang metrik

lengkap (X,d). Beberapa sifat penting SFI, khususnya Teorema Titik Tetap pada ruang

fraktal H(X) digunakan untuk membuktikan teorema eksistensi interpolasi fraktal suatu

data terdiri dari pasangan bilangan real {(x i,F i¿=0 ,1, 2 , …, N }. Bila diberikan bilangan

asli N>1 dan data {(x i,F i¿=0 ,1, 2 , …, N }, maka terjamin ada dengan tunggal fungsi

interpolasi fraktal f 0: [ x0 , xN ]R, yang grafiknya merupakan atraktor dari SFI {R2 : wn, n =

1,2, ..., N}. Fungsi interpolasi fraktal f 0 dapat diperoleh secara iteratif setelah

memasukkan data faktor penyekala vertikal |dn| < 1, n=1, 2, ..., N. Grafik fungsi

interpolasi f 0 pada umumnya tidak teratur dan tidak diketahui rumusnya secara eksplisit.

Nilai faktor penyekala dn turut menentukan kekasaran dan kehalusan grafik fungsi

interpolasi fraktal.

DAFTAR PUSTAKA

http://id.wikipedia.org/wiki/Fraktal

Widodo. SISTEM FUNGSI ITERASI DAN EKSISTENSI INTERPOLASI FRAKTAL. Jurnal Pendidikan Matematika dan Sains.