CONTOH-CONTOH PENJUMLAHAN MOMENTUM SUDUT(Komplemen 10 A)

MAKALAH

Disusun untuk memenuhi memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Fisika Kuantum LanjutDosen Pengampu : Drs. Iyon Suyana, M.Si

Disusunoleh :AripSyaripudinNur(1202434)Erna Erviana(1203135)Muhammad Adrisa NS (1102918)Puspita Sari(1204441)

PROGRAM STUDI FISIKADEPARTEMEN PENDIDIKAN FISIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena berkat rahmat dan kasih sayang-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul Contoh Penjumlahan Momentum Sudut (Komplemen 10A) ini dengan tepat waktu. Makalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Fisika Kuantum Lanjut.Secara garis besar makalah ini berisi tentang penjumlahan momentum sudut dari dua buah partikel (dalam sistem kuantumtertentu). Pertama-tama akan dibahas terlebih dahulu bagaimanakonsep momentum sudutpadamekanikaklasikkemudianpentingnya momentum sudut di dalammekanikakuantumdan yang terakhirhasiloperasi momentum sudutterhadapvektor basis. Kemudian konsep dari penjumlahan momentum sudut dua buah partikel. Selanjutnya yang terakhir akan dibahas contoh penjumlahan dari momentum sudut tersebut.Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada :1. Orang tua tercinta, karena atas doa dan dukungan beliau penulis dapat menyelesaikan makalah ini.2. Bapak Drs. Iyon Suyana, M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Fisika Kuantum Lanjut, karena atas bimbingannya penulis dapat menyelesaikan makalah ini.3. Rekan-rekan Fisika C 2012 yang telah memotivasi penulis untuk menyelesaiakan makalah ini.Penulis pun sadar bahwa tentu saja masih banyak kekurangan dan kesalahan dalam makalah ini. Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran agar dapat memperbaiki makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat umumnya bagi pembaca dan khususnya bagi penulis sendiri.

Bandung, Maret 2015

Penulis

DAFTAR ISI

BAB I4PENDAHULUAN4Latar Belakang4Rumusan Masalah4Tujuan Penulisan4Manfaat Penulisan5BatasanMasalah51.6 Metode Penulisan5BAB II6ISI DAN PEMBAHASAN62.1 Momentum Sudut Total PadaMekanikaKlasik6Pentingnya Momentum Sudut Total Pada Mekanika Kuantum7Contoh Penjumlahan Momentum Sudut102.3.1 Penjumlahan untuk j1=1 dan j2=111BAB III17PENUTUP173.1 Simpulan17Saran17DAFTAR PUSTAKA18

BAB IPENDAHULUAN

Latar BelakangDalam sebuah sistem dari interaksi partikel-partikel, hanya momentum sudut total yang konstan terhadap gerak, itu artinya: gaya-gaya dalam sistem menginduksi momentum sudut dari satu partikel ke partikel lain. Karena hal tersebutlah mengapa penting untuk mempelajari sifat dari momentum sudut.Pada fisika kuantum, objek yang menjadi tinjauan adalah partikel, dimana interaksi internal partikel partikel di dalam system diselesaikan dengan menggunakan operator. Operator di dalam fisika kuantum didapatkan dari besaran besaran terukur pada mekanika klasik dimana dengan menggunakan persamaan eigen, besaran fisika tersebut diubah menjadi operator. Partikel yang terdapat di dalam bahan, misalnya electron dan proton memiliki kedudukan tersendiri di dalam atom bahan dimana kedudukan atom tersebut dinyatakan dalam bilangan kuantum. Salah satu bilangan kuantum dari partikel dalam atom adalah spin. Secara umum keadaan spin sistem terdiri dari dua partikel yang memiliki spin acak. Hal ini merupakan permasalahan lain mengenai momentum sudut pada mekanika kuantum.

Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan masalah sebagai berikut :A. Bagaimana konsep momentum sudutdalammekanikaklasik?B. Apapentingnya momentum sudutdalammekanikakuantum?C. Bagaimana penjumlahan momentum sudut dari dua partikel?

Tujuan PenulisanTujuan penulisan makalah ini adalah untuk memahami bagaimana penjumlahan momentum sudut dari dua buah partikelpada system kuantumtertentu.

Manfaat PenulisanManfaat yang diharapkan penulis dari makalah ini adalah untuk memahami bagaimana konsep yang digunakan dalam penjumlahan momentum sudut dari buah sistem partikel yang merupakan konsep dasar dalam fisika kuantum.

BatasanMasalahMasalah yang dibahasdalammakalahinihanyalahmengenaipenjumlahan momentum sudut.Namunsebelummembahashaltersebutdiperkenalkankembalimengenai momentum sudutpadamekanikaklasikdanpentingnya momentum sudut di dalammekanikakuantum.Adapunmengenaipenurunanmatematishinggadidapatkanbentukpersamaaneigendari momentum sudutseperti yang terdapatdalammakalahini, tidakpenulisbahaskarenasangatlahpanjangdanterlaluluas.1.6 Metode PenulisanMetode penulisan dari makalah ini adalah mengkaji materi mengenai penjumlahan momentum sudut dari berbagai sumber, terutama dari buku Fisika Kuantum karangan Cohen Tanoudji.

BAB IIISI DAN PEMBAHASAN

2.1 Momentum Sudut Total PadaMekanikaKlasikMisalnya terdapat sebuah sistem yang di dalamnya terdapat sejumlah N partikel. Total momentum L sistem ini sehubungan dengan titik O tetap adalah jumlah vektor dari momentum sudut individu partikel N sehubungan dengan titik ini O:

Dengan :

Turunan L terhadap waktu sama dengan moment yang sehubungan dengan O dari gaya luar. Konsekwensinya, ketika gaya eksternal nol (sistem terisolasi) atau semua mengarah/tertuju pada pusat yang sama, momentum sudut total dari sistem adalah konstan pergerakannya. Kasusinitidakmembicarakangaya-gaya internal setiap momentum sudut. jika bermacam partikel dalam sistem berinteraksi.Kita akan mengilustrasikan poin ini dengan sebuah contoh. Misalnya sebuahsistem terdiri dari dua partikel, (1) dan (2), tunduk pada pada medan gaya pusat yang sama (yang dapat dibuat dengan menciptakan/mengadakan partikel ketigayang diasumsikan memiliki berat yang cukup untuk tetap tidak bergerak pada asal). Jika kedua partikel mengerahkan tidak ada gaya satu sama lain, momentum anguler mereka L1 dan L2 sehubungan dengan mengerahkan tidak ada gaya O keduanya memiliki gerakan/kecepatan konstan. Satu-satunya gaya kemudian beraksi padapartikel (1), contohnya, diarahkan pada O; momennya sehubungan dengan pada titik ini adalah nol, seperti . Pada saat yang lain, jika partikel (1) juga tunduk pada sebuah gaya berdasatkan pada adanya partikel (2), momen sehubungan dengan O dari gaya ini pada umumnya tidaklah nol, dan konsekuensunya, L1 tidak lagi gerakan/kecepatan konstan. Bagaimanapun, jika interaksi antara dua partikel mengikuti prinsip aksi dan reaksi, momen gayanya diberikan oleh (2) dan (1); momentum sudut total L is conserved over time.Untuk itu, dalam sebuah sistem dari partkel-partikel interaksi, hanya momentum sudut total yang konstan gerak: gaya-gaya dalam sistem menginduksi transfer momentum sudut dari satu partikel ke partikel lain. Thus kita melihat mengapa ini berguna untuk mempelajari sifat dari momentum sudut total.

Pentingnya Momentum Sudut Total Pada Mekanika KuantumMari kita memperlakukan contoh quantum secara mekanik sebelumnya. Pada kasus dua partikel yang tidak berinteraksi, Hamiltonian dari sistem diberikan dengan sederhana, pada representasi :

Dengan

[1 dan 2 adalah masa untuk 2 partikel, V(r) adalah pusat potensial yang keduanya tunduk , dan 1 dan 2 menunjukkan operator Laplacian relatif terhadap masing-masing koordinat partikel (1) dan (2)]. Kita tahu dari bab VII (A-2-a) bahwa tiga komponen dari operator L1 berasosiasi dengan momentum sudut L1 dari partikel (1) komut dengan H1:[L1, H1] = 0(A-5)Juga, semua observable berhubungan dengan salah satu partiel komut dengan semua yang sesuai dengan aturan yang lain, pada khususnya:[L1, H1] = 0(A-6)Dari (A-5) dan (A-6), kita melihat bahwa tiga komponen dari L1 adalah konstanta gerak. Sebuah argumentasi yang serupa yang secara jelas sah untuk L2.Sekarang asumsikan dua partikel berinteraksi, dan hubungan energi potensial V(|r1 - r2|) bergantung hanya pada jarak diantara mereka |r1 r2|*:(A-7)Dalam hal ini, Hamiltonian sistem :H = H1 + H2 + V(|r1 - r2|)Dimana H1 dan H2 diberikan oleh (A-4). Berdasar pada (A-5 dan (A-6), komutator L1 dengan H reduksi menjadi :[L1, H] = [L1, V(|r1 - r2|)]Untuk komponen L1z, contohnya : (A-10)Persamaan (A-10) pada umumnya tidaklah no: 1 bukan lagi sebuah konstanta gerak. Disisi lain, jika kita mendefinisikan operator momentum sudut total L dengan sebuah persamaan yang mirip dengan (A-1):L = L1 + L2Kita memperoleh sebuah operator yang ketiga komponennya adalah konstanta gerak. Contohnya, kita menemukan : [Lz, H] = [L1z + L2z, H]Mengacu pada (A-10), komutator ini sama dengan : [Lz, H] = [L1z + L2z, H]

Tetapi, sejak V bergantung hanya pada |r1 r2|, diberikan oleh (A-7), kita memiliki:

Dan ekspresi analogi untuk (v adalah turunan dari V, fungsi satu variabel), substitusikan ke (A-13):

Kita tiba pada kesimpulan yang sama seperti pada mekanika klasik.Sampai sekarang secara implisit berasumsi bahwa partikel-partikel yang telah dipelajari tidak memiliki spin. Sekarang mari kita mencoba contoh penting lainnya:partikel tunggal dengan spin. Pertama, kita berasumsi bahwa partikel tunduk pada hanya pada potensial pusat V(r). Inilah Hamiltonian yang telah dipelajari pada S A bab VII. Kita tahu bahwa tiga komponen dari momentum sudut total L komut dengan Hamiltonian ini. Sebagai tambahan, sejak spin operator komut dengan orbital yang bisa diamati, tiga komponen dari spin S juga konstanta gerak. Tetapi kita akan lihat dalam bab XII bahwa koreksi relativistik memperkenalkan ke dalam Hamiltonian aspin-orbit coupling dalam bentuk:

Dimana dikenal sebagai fungsi variabel tunggal r (arti fisik pasangan ini akan dijelaskan pada Bab XII). Dimana keadaan ini diambil memperhitungkan, L dan S tidak lagi komut dengan total Hamiltonian. Sebagai contoh:

Dan, similarly:

However, jika kita set:J = L + S(A-19)Ketiga komponen dari J adalah konstanta gerak. Untuk melihat ini, kita bisa menambahkan persamaan (A-17) dan (A-18):

(sebuah bukti analog dapat diberikan untuk komponen lain dari J)/ operator J didefinisikan oleh (A-19) dikatakan menjadi momentum sudut total dari spin partikel.Pada dua kasus yang telah dijelaskan, kita memiliki dua parsial momentum sudut J1 dan J2, yang komut. Kita tahu sebuah basis dari keadaan ruang terdiri dari delapan vektor umum to J12, J1z, J22, J2z. However, J1 dan J2 bukan konstanta gerak, sedangkan komponen total sudut momentum :J = J1 + J2Komut dengan hamiltonian sistem.

Contoh Penjumlahan Momentum SudutMenurut (Lect15.pdf) secara klasik, momentum sudut adalah besaran vektor, dan momentum sudut total adalah J = J1 + J2. Nilai maksimum dan minimum J ditentukan sesuai dengan kasus di mana jika J1 dan J2 sejajar, maka besar nilai J adalah | J1 | + | J2 | atau jika antiparalel maka besar nilai J adalah || J1 | - | J2 ||. Dalam kasus kuantum, momentum sudut total diwakili oleh operator

Kita asumsikan bahwa dan merupakan angular momentum independen, yang berarti setiap momentum sudut memiliki hubungan yang saling komut., dlldi mana n merupakan bilangan bulat (n = 1, 2 ) dan i = x, y, z. Selain itu, setiap komponen saling komut dengan komponen :

Ini pun berlaku pada empat operator yang saling komut dan harus memiliki nilai eigenbasis yang sama. . Eigenbasis umum inidikenal sebagai dasar uncoupled dan dilambangkan {|j1,m1, j2,m2>}pada notasi Dirac, dan memiliki sifat sebagai berikut.

Sangat mudah untuk menetapkan bahwa perubahan total operator momentum sudut yang memenuhi komutasi. , Jika operator momentum sudut itu, memiliki nilai eigen , sementara operator momentum sudut keseluruhan yang sesuai dengan komponen z memiliki nilai eigen dengan m berada di antara j dan -j dalam bentuk bilangan bulat.Teorema Penjumlahan Momentum Sudut:

Nilai dari total momentum sudut j yang diijinkan, diberikan 2 momentum sudut yang bergantung pada bilangan kuantum j1 dan j2.

j = j1 + j2, j1 + j2 1, . . . , |j1 j2|

Dan untuk setiap nilai j, nilai m diambil dari besar (2j+1).

m = j, j 1, . . . ,j .

Terdapat dua metode yang digunakan untuk menghitung penjumlahan momentum anguler yaitu :2.3.1 Penjumlahan untuk j1=1 dan j2=1Berdasarkan kasusu dimana j1 = j2 = 1. Kasus ini berdasarkan contoh, untuk dua sistem pertikel dimana kedua momentum angulernya = 1. Jika masing masing dari kedua partikel berada dalam keadaan p, hal ini disebut sebagai konfigurasi p2.Ruang ( 1 , 1 ) yang kita perhatikan adalah ukuran 3 x 3 = 9. Kita asumsikan basis terdiri dari keadaan eigen dan diketahui : dengan m1, m2 = 1, 0, -1(1)Dan untuk menentukan basis dari vektor eigen , dimana J adalah momentum sudut total.Berdasarkan Bab X nilai nila yang mungkin pada bilangan kuantum J adalah :(2)Sub ruang (J=2)Ket dapat ditulis secara sederhana menjadi :Jika J_ dioperasikan terhadap persamaan diatas, kita mendapatkan vector :

Kita operasikan kembali J_ untuk menghitung . Setelah dioperasikan, kita akan mendapatkan :Kemudian :Dan akhirnya didapatkan :

Sub ruang (J=1)Sekarang kitaakanmelanjutkan keruang bagiantersebut ( J = 1 ). Vector harus memiliki kombinasi yang linier terhadap dua basis ket dan (hanya untuk M = 1): Dengan :

agar persamaan diatas orthogonal terhadap vector , diperlukan [cf, (4)] jika : + = 0jika dan real, dan menurut perjanjian, positif, berdasarkan kondisi ini sehingga :

Kegunaan dari J_ adalah memungkinkan kita untuk menyimpulkan dan , dengan menggunakna tehnik yang sama maka didapatkan :Sebagai catatan, persamaan (12) tidak memiliki vector walaupun persamaan tersebut memiliki hubungan dengan M = 0. Hal ini disebut sebagai hubungan koefisien Clebcsh Jordan sama dengan nol : = 0

Vektor Kita biarkan perhitungan dengan vektorterakhir dengan { } berasosiasi dengan J = M = 0. Vector ini memiliki kombinasi linier dengan tiga basis ket dengan M = 0 :Dengan

Persamaan (16) harus orthogonal terhadap dan ket , maka :

juga real, dan positif.Sehingga diperoleh :Bentuk sempurna untuk basis { } adalah untuk kasus j1 = j2 = 1

Penjumlahan Integral Momentum Sudut Orbital l dan Spin Berdasarkan penjumlahan momentum sudut ( j1 = l, koefisien integrasi ) dan spin ( j2 = l/2 ). Masalah ini ditemukan misalnya ketika kita ingin mempelajari momentum sudut total dari sebuah partikel spin seperti elektron.Ruang ( l , ) dengan dimensi 2 (2l + 1). Kita sudah mengetahui basis dari ruang ini adalah :{} dengan m= l, l-1,..., -l dan Dibentuk dari keadaan eigen dari besaran terukur L2, S2, Lzdan Sz, dimana L dan S adalah momentum orbital dan spin. Kita ingin membentuk vector eigen dari J2 dan Jzdimana J adalah momentum sudut total dari system :Pertama tama, jika l sama dengan nol, solusi dari persoalan ini adalah jelas. Hal ini dapat dengan mudah menunjukkan jika vector dengan vector eigen J2 dan Jz dengan harga eigen J = dan M = .. pada sisi yang lain, jika l tidak sama dengan nol, terdapat dua nilai yang mungkin untuk J :J = l + , l - Subruang (J = l + )(2l + 2) vector memutar ruang bagian ( J = l + ) dapat diperoleh dengan menggunakan metode pada Bab 10. Pertama, kita harus memiliki :| l + , = | l, ; Melalui J- kita mendapatkan | l + , :| l + , | l + , = | l, ; = = Kita operasikan J_ lagi. Sejalan dengan perhitungan di atas, diperoleh:| l + , Secara umum, vector | l, akan memiliki kombinasi linier hanya pada dua basis vector yang berasosiasi dengan M : dan (M adalah setengah bilangan bulat). Kita dapat menduga jika kombinasi linier terhadap salah satu bentuk :

dengan:M = l + , , , ..., -l + , Dengan alas an yang berulang, kita dapat menunjukkan jika persamaan diatas benar, operasikan J_ terhadap kedua sisi dari persamaan (28) sehingga didapatkan :| l + , | l,

Kita tentunya mendapatkan ungkapan seperti persamaan (29), dengan M diubah menjadi M .Subruang (J = l - )Sekarang kita coba menjelaskan persamaan untuk 2l pada vector | J, J = l . Salah satu yang berhubungan dengan nilai maksimum l dari M merupakan sebuah kombinasi liner yang dinormalisasi dari dan , dan harus orthogonal dengan Dengan memilih koefisien dari yang real dan positif, kita dengan mudah memperoleh :| l, Oprator J- memungkinkan kita untuk mengelompokkan secara berturut-turut semua vector yang diklasifikasi berdasarkan J = l . Karena hanya ada dua vektor basis dengan nilai yang diberikan dari M, dan karena | l, orthogonal terhadap | l, , sehingga diperkirakan menjadi | l, (33)untuk:M = , , ..., -l + , Berdasarkan argument yang dianalogikan terhadap sub ruang ( J = l+ ) , formula ini dapat juga dibuktikan secara berulang.

BAB IIIPENUTUP

3.1 SimpulanPenjumlahan momentum sudutdapatterdiridaripenjumlahanmomentusudut orbital dariduabuahpartikelataupunpenjumlahanantara momentum sudut orbital dan momentum sudut spin darisatubuahpartikel. Representasivektor basis dari operator momentum sudutdidapatkandengancaramengoperasikanlowering operator dari momentum sudut () denganvektor basis dari yang bernilaimaksimal, hinggadidapatkanvektor basis dengannilai M yang bersesuaian.

SaranSejalandengansimpulandiatas, penulismemberikan saran sebagaiberikut :A. Sebaiknyaselainlangsungmenggunakanhasiloperasidari operator momentum sudutterhadapvektor basis, dipahamijugapenurunanrumusdankonsep yang digunakanhinggadihasilkanpersamaan operator-operator tersebut.B. Apabilaakandilakukanpengkajianlebihlanjut, sebaiknyahasildaripenjulahan momentum sudutinidiberikancontohaplikatifnyasehinggadapatmemberikanpemahamandanwawasan yang lebihluasmengenaimanfaatdarimempelajaripenjumlahan momentum sudutini.

DAFTAR PUSTAKA

Tannoudji, Cohen. 1973. Quantum Physics. Zettili, Nouredine. 2009. Quantum Physics Concepts and Applications Second Edition. A John Wiley and Sons, Ltd : Jacksonville, USA.Griffiths, David. J . 2005. Introduction to Quantum Mechanics Second Edition. Prentice Hall : USAhttp://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0CCUQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww2.ph.ed.ac.uk%2F~ldeldebb%2Fdocs%2FQM%2Flect15.pdf&ei=6H3lVM_fMdG3uQSvgYGgDg&usg=AFQjCNHUbRPnhKVToJ1dWsipa4gDjjLwSg&sig2=14xp2p0gH-ODZ9ydE_CKcg&bvm=bv.85970519,d.c2E diakses pada tanggal 24 Februari 2015