energi laplace pada komplemen graf invers dari...

ENERGI LAPLACE PADA KOMPLEMEN GRAF INVERS DARI GRUP

DIHEDRAL

SKRIPSI

OLEH

DWIKI MARLINDA AGUSTINA

NIM. 13610071

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2018


DIHEDRAL

SKRIPSI

Diajukan Kepada

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Oleh

Dwiki Marlinda Agustina

NIM. 13610071

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2018


DIHEDRAL

SKRIPSI

Oleh


NIM. 13610071

Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji

Tanggal 4 Mei 2018

Pembimbing I,

Dr. Abdussakir, M.Pd

NIP. 19751006 200312 1 001

Pembimbing II,

Mohammad Jamhuri, M.Si

NIP. 19810502 200501 1 004

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Dr. Usman Pagalay, M.Si

NIP. 19650414 200312 1 001


DIHEDRAL

SKRIPSI

Oleh


NIM. 13610071

Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan

Dinyatakan Diterima sebagai Salah Satu Persyaratan

untuk Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Tanggal 30 Mei 2018

Penguji Utama : H. Wahyu H. Irawan, M.Pd .................................

Ketua Penguji : HairurRahman, M.Si .................................

Sekretaris Penguji : Dr. Abdussakir, M.Pd .................................

Anggota Penguji : Mohammad Jamhuri, M.Si .................................

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Dr. Usman Pagalay, M.Si

NIP. 19650414 200312 1 001

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Dwiki Marlinda Agustina

NIM : 13610071

Jurusan : Matematika

Fakultas : Sains dan Teknologi

JudulSkripsi : Energi Laplace pada Komplemen Graf Invers dari Grup

Dihedral

menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar

merupakan hasil karya sendiri, bukan merupakan pengambilan data, tulisan, atau

pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri,

kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar rujukan. Apabila di

kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya

bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.

Malang, 4 Mei 2018

Yang membuat pernyataan,


NIM. 13610071

MOTO

Demi malam apabila telah sunyi...

Tuhanmu tidak meninggalkanmu,

Tidak pula benci kepadamu...

(QS. Adh-Dhuhaa: 2-3)

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan untuk:

Ibunda Sumarsih dan ayahanda Podo Susilo yang senantiasa mendoakan, memberi

semangat, hingga sebagai tanda bakti, hormat, dan rasa terima kasih yang tiada

terhingga atas kasih sayang dan segala dukungan yang tiada mungkin penulis

balas hanya dengan selembar kertas yang bertuliskan kata cinta dan persembahan.

Semoga ini menjadi langkah awal untuk membuat Ibu dan Ayah bahagia.

Untuk kakak penulis Ika Susiloningsih dan adik-adik tersayang Moh. Fajar Eky

PratamadanLuthfia Ayu Ningdyah yang selalu mendoakan.

viii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Segala puji bagi Allah Swt atas rahmat, taufik serta hidayah-Nya sehingga

penulis mampu menyelesaikan skripsi ini sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar sarjana dalam bidang matematika di Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Shalawat

serta salam kepada Nabi Muhammad Saw yang telah membimbing umat manusia

menuju jalan yang terang.

Proses penyusunan skripsi ini, penulis mendapat banyak bimbingan dan

arahan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis memberikan ucapan terima kasih

kepada:

1. Prof. Dr. H. Abd. Haris, M.Ag, selaku rektor Universitas Islam Negeri

Maulana Malik Ibrahim Malang.

2. Dr. Sri Harini, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas

Islam Negeri Maulana Malik IbrahimMalang.

3. Dr. Usman Pagalay, M.Si, selaku ketua Jurusan Matematika, Fakultas Sains

dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

4. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku dosen pembimbing I yang telah memberikan

bimbingan, arahan, nasihat, motivasi,dan berbagai ilmunya kepada penulis.

5. Mohammad Jamhuri, M.Si, selaku dosen pembimbing II yang telah

memberikan bimbingan, arahan, dan berbagai ilmunya kepada penulis.

ix

6. Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang terutama seluruh

dosen, terima kasih atas ilmu dan bimbingannya.

7. Segenap keluarga terutama Ayah dan Ibu yang selalu memberikan doa,

semangat, serta motivasi kepada penulis sampai saat ini.

8. Seluruh teman-teman di Jurusan Matematika angkatan 2013 yang telah

banyak memberikan semangat, motivasi, dan arahan untuk mengerjakan

skripsi secara baik.

9. Seluruh pihak yang ikut membantu dalam menyelesaikan skripsi ini baik

moril maupun materil.

Penulis berharap agar skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembacamaupun

bagi penulis.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Malang, Mei 2018

Penulis

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGAJUAN

HALAMAN PERSETUJUAN

HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

HALAMAN MOTO

HALAMAN PERSEMBAHAN

KATA PENGANTAR ...................................................................................... viii

DAFTAR ISI ..................................................................................................... x

DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xiv

ABSTRAK ........................................................................................................ xv

ABSTRACT ...................................................................................................... xvi

xvii ................................................................................................................... ملخص

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ...................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ................................................................................ 4

1.3 Tujuan Penelitian .................................................................................. 4

1.4 Manfaat Penelitian ................................................................................ 4

1.5 Metode Penelitian ................................................................................. 5

1.6 Sistematika Penulisan ........................................................................... 6

BAB II KAJIAN PUSTAKA

2.1 Grup ..................................................................................................... 7

2.1.1 Definisi Operasi Biner ................................................................ 7

2.1.2 Definisi Grup .............................................................................. 8

2.2 Grup Dihedral ...................................................................................... 9

2.3 Graf ...................................................................................................... 10

2.3.1 Definisi Graf ............................................................................... 10

2.3.2 Derajat dan Matriks Derajat ....................................................... 11

2.3.3 Matriks Keterhubungan Titik ..................................................... 12

2.3.4 Matriks Laplace .......................................................................... 12

2.3.5 Graf Komplemen ......................................................................... 12

2.4 Energi Laplace ...................................................................................... 13

2.5 Graf Invers dan Komplemen Graf Invers ............................................ 14

xi

2.6 Kajian Al-Quran tentang Energi .......................................................... 15

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Energi Laplace pada Komplemen Graf Invers dari Grup Dihedral-6 .. 17

3.1.1 Invers dari Masing-masing Anggota .................................... 17

3.1.2 Graf Invers Grup Dihedral-6 ..................................................... 18

3.1.3 Graf Komplemen dari ( ) ................................................... 19

3.1.4 Matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ .................................................... 20

3.1.5 Energi Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ..................................................... 21

3.2 Energi Laplace pada Komplemen Graf Invers dari Grup Dihedral-8 . 22

3.2.1 Invers dari Masing-masing Anggota .................................... 22

3.2.2 Graf Invers Grup Dihedral-8 ..................................................... 23

3.2.3 Graf Komplemen dari ( ) .................................................... 24

3.2.4 Matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ..................................................... 25

3.2.5 Energi Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ..................................................... 27

3.3 Energi Laplace pada Komplemen Graf Invers dari Grup Dihedral-10 28

3.3.1 Invers dari Masing-masing Anggota .................................. 29

3.3.2 Graf Invers Grup Dihedral-10 ( ) .......................................... 29

3.3.3 Graf Komplemen dari ( ) .................................................. 30

3.3.4 Matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ................................................... 30

3.3.5 Energi Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ..................................................... 33






3.4.5 Energi Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ .................................................... 40




3.5.3 Graf Komplemen dari ( ) ................................................... 43







3.6.4 Matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ .................................................. 51


3.7 Konsep Energi dalam Al-Quran .......................................................... 66

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan ........................................................................................... 68

4.2 Saran ..................................................................................................... 68

xii

DAFTAR RUJUKAN ......................................................................................... 69

LAMPIRAN-LAMPIRAN

RIWAYAT HIDUP

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1. Tabel Cayley Grup Dihedral-6 ( ) .................................................. 17

Tabel 3.2. Tabel Cayley Grup Dihedral-8 ( ) ................................................. 22

Tabel 3.3. Tabel Cayley Grup Dihedral-10 ( ) .............................................. 28




Tabel 3.7. Polinomial Karakteristik, Nilai Eigen, dan Energi Laplace dari

( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

.............................................................................................................................. 55

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Suatu Graf dan Komplemennya ................................................... 13

Gambar 2.2. Graf Invers Grup Modulo Bilangan Bulat .................................... 15

Gambar 2.3. Komplemen Graf Invers Grup Modulo Bilangan Bulat ............... 16

Gambar 3.1. Graf Invers Grup Dihedral-6 ( ) .......................................... 19

Gambar 3.2. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-6 ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ...................... 20

Gambar 3.3. Graf Invers Grup Dihedral-8 ( ) .......................................... 25

Gambar 3.4. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-8 ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ...................... 26

Gambar 3.5. Graf Invers Grup Dihedral-10 ( ) ........................................ 30

Gambar 3.6. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-10 ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ................... 31


Gambar 3.8. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-12 ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ................... 37


Gambar 3.10. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-14 ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ .................. 43

Gambar 3.11. Graf Invers Grup Dihedral-16 ( ) ....................................... 49

Gambar 3.12. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-16 ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ .................. 50

Gambar 3.13. Graf Invers Grup Dihedral- ( ) ....................................... 58

Gambar 3.14. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral- ( ( ))̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ............... 58

xv

ABSTRAK

Agustina, Dwiki Marlinda. 2018. Energi Laplace pada Komplemen Graf Invers

dari Grup Dihedral. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan

Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

Pembimbing: (I) Dr. Abdussakir, M.Pd. (II) Mohammad Jamhuri, M.Si.

Kata kunci: Energi Laplace, Matriks Keterhubungan Titik, Matriks Derajat,

Matriks Laplace, Nilai Eigen, Graf Invers, Grup Dihedral

Perkembangan terbaru dari teori graf yang banyak dikaji adalah meneliti

graf yang dibangun dari grup. Pada penulisan skripsi ini dibahas mengenai energi

Laplace pada komplemen graf invers dari grup dihedral. Metode yang digunakan

dalam penulisan skripsi ini adalah kajian pustaka, dengan menggunakan rujukan

beberapa buku dan jurnal.

Graf dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, misalnya matriks

keterhubungan titik, matriks derajat, dan matriks Laplace. Matriks-matriks

tersebut dapat digunakan untuk mencari nilai Eigennya. Jumlah nilai mutlak dari

nilai Eigen pada suatu graf disebut energi ( ). Penelitian ini bertujuan untuk mencari pola energi Laplace pada

komplemen graf invers dari grup dihedral yang kemudian dijadikan teorema.

Hasil dari penelitian ini adalah:

Energi Laplace pada komplemen graf invers dari grup dihedral

a. untuk ganjil dan adalah

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

b. untuk genap dan ( ), adalah

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

c. untuk genap dan , adalah

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

dengan adalah ukuran komplemen graf invers dari grup dihedral.

Bagi penelitian selanjutnya, disarankan untuk melanjutkan penelitian

tentang energi Laplace yang dapat diperoleh dari grup lainnya.

xvi

ABSTRACT

Agustina, Dwiki Marlinda. 2018. Laplacian Energy of Complement Graph of

Inverse Graph of Dihedral Group. Thesis. Department of Mathematics,

Faculty of Science and Technology, Maulana Malik Ibrahim State Islamic

University Malang. Advisor: (I) Dr. Abdussakir, M.Pd. (II) Mohammad

Jamhuri, M.Si.

Keyword: Laplacian energy, adjacency vertex matrix, degree matrix, Laplacian

matrix, eigen value, invers graph, dihedral group

The recent development of the graph theory is researching graph which

formed from group. This thesis will examine the Laplacian energy of complement

of invers graph of dihedral group. The method used in this thesis is library

research using some references such as books and journals.

Graph can be shown in matrix form, for example adjacency vertex matrix,

degree matrix, and Laplacian matrix. These matrix can be used to find Eigen

values. The sum of the absolute values of the Eigen values of a graph are called

energy of and denoted by ( ). The purpose of this research is to find a formula of Laplacian energy of

complement of invers graph of dihedral group which will be used as a theorem.

The result from this research are:

Laplacian energy of complement of invers graph of dihedral group

a. for is odd and is:

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

b. for is even and ( ), is:

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

c. for is even and , is:

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

with is the edge of complement of invers graph of dihedral group.

For further research, it is suggested to continue the research about

Laplacian energy from another groups.

xvii

E

(G).

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

( ),

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

,

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Alam semesta memuat bentuk-bentuk serta konsep matematika. Allah

menciptakan alam semesta dan seluruh isinya dengan ukuran-ukuran yang akurat

dan seksama, dengan perhitungan-perhitungan yang definit, dan dengan rumus-

rumus serta persamaan yang seimbang dan rapi (Abdussakir, 2007).

Dalam al-Quran surat an-Naba’/78:29 disebutkan,

Artinya: “Dan segala sesuatu telah Kami catat dalam suatu kitab” (QS. an-

Naba’/78:29).

ayat di atas menjelaskan bahwa segala yang ada di alam semesta ini telah dicatat

atau dihitung. Para ilmuwan matematika atau fisika yang menemukan suatu rumus

atau persamaan kemudian mereka meneliti dan mengembangkannya. Karena

manusia dianugerahi akal oleh Allah supaya mereka berpikir tentang kebesaran-

Nya. Akal sebagai pembeda antara manusia dengan makhluk lain. Hal ini menjadi

bukti kompleks sempurnanya manusia. Maka akal adalah alat utama manusia

dalam menjawab segala urusan dan masalah yang dimilikinya.

Merujuk pada ayat Allah di atas, maka matematika merupakan ilmu yang

diturunkan Allah sebagai alat untuk manusia dalam memikirkan kesempurnaan

Allah. Salah satu cabang penting dalam matematika adalah teori graf yang banyak

diterapkan dalam konsep-konsep sains dan teknologi yang pada akhirnya

bermuara pada pengakuan manusia atas kebesaran Allah. Secara teori, graf

2

adalah pasangan ( ( ) ( )) dengan ( ) adalah himpunan tak kosong dan

berhingga dari objek-objek yang dinamakan titik, dan ( ) adalah himpunan

(mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di ( ) yang

dinamakan sisi. Order adalah banyaknya unsur di ( ) dari dan disimbolkan

dengan ( ), sedangkan ukuran adalah banyaknya unsur di ( ) dari dan

disimbolkan dengan ( ). Komplemen dari graf , ditulis ̅, adalah graf dengan

himpunan titik ( ) sedemikian sehingga dua titik akan terhubung langsung jika

dan hanya jika dua titik tersebut tidak terhubung langsung di (Abdussakir, dkk,

2009).

Matriks keterhubungan titik (atau matriks keterhubungan) dari graf

dilambangkan dengan ( ), yaitu matriks ( ) dengan unsur pada baris ke-

dan kolom ke- bernilai 1 jika titik terhubung langsung dengan titik serta

bernilai 0 jika tidak terhubung langsung dengan titik . Sehingga, matriks

keterhubungan titik dapat ditulis ( ) [ ] dengan

{

jika

jika

( )

( )

Matriks keterhubungan titik suatu graf adalah matriks simetri dengan unsur 0

dan 1 dan memuat nilai 0 pada diagonal utamanya. Hal ini karena graf tidak

memuat lup dan tidak memuat sisi paralel (Abdussakir, dkk, 2009).

Matriks derajat dari graf dilambangkan dengan ( ), merupakan

matriks diagonal dengan elemen baris ke- dan kolom ke- merupakan derajat dari

. Jadi, matriks derajat dari graf dapat ditulis ( )

[ ] . Matriks ( ) ( ) ( ) dikatakan matriks Laplace

3

(Biyikoglu, dkk, 2009). Matriks Laplace ( ) pada graf-( ) dapat juga

didefinisikan dengan elemen matriks sebagai berikut:

{

jika

jika

jika

dan

dan

terhubung langsung

tidak terhubung langsung

dengan adalah derajat vertex kepada . Untuk mencari nilai Eigen, dapat

diselesaikan untuk ( ( )) . Nilai Eigen diberikan

. Energi Laplace dapat dilambangkan ( )= |

|

(Meenakshi & Lavanya, 2014).

Perkembangan terbaru dari teori graf yang banyak dikaji oleh

matematikawan adalah meneliti graf yang dibangun dari grup. Misal ( ) adalah

grup berhingga dan subset dari dan suatu himpunan dari semua anggota

yang tidak invers ke dirinya sendiri. Graf invers ( ) yang dibangun dari

adalah graf yang himpunan titiknya adalah semua anggota di sedemikian

sehingga setiap titik yang berbeda dan adalah bertetangga di ( ) jika dan

hanya jika atau ada di (Alfuraidan & Zakariya, 2017).

Das dan Mojalal (2016) menuliskan hubungan antara energi dan energi

Laplace pada graf. Meenakshi dan Lavanya (2014) meneliti beberapa energi pada

beberapa jenis graf. Alfuraidan dan Zakariya (2017) menuliskan definisi, contoh

beserta sifat-sifat dari graf invers. Sifat-sifat yang ditulis berupa sifat derajat titik

dari graf invers, diameter dari graf invers, serta sifat Hamiltonian dari beberapa

graf invers.

Mengacu pada ketiga penelitian tersebut, peneliti tertarik untuk

mengembangkan dan menggabungkan graf invers dengan energi Laplace

sehingga diperoleh kajian tentang energi Laplace dari graf invers yang dibangun

4

dari grup berhingga. Grup dihedral merupakan salah satu grup berhingga yang

sering diminati dan diteliti oleh matematikawan sehingga dapat dibentuk suatu

graf invers dari grup dihedral. Agar graf yang dibangun terhubung, maka graf

yang digunakan adalah komplemen dari graf invers grup dihedral.

Berdasarkan uraian di atas, maka judul dari penelitian ini adalah “Energi

Laplace pada Komplemen Graf Invers dari Grup Dihedral”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam

penelitian ini yaitu bagaimana pola dari energi Laplace pada komplemen graf

invers dari grup dihedral?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan yang ingin dicapai dalam

penelitian ini yaitu untuk mengetahui pola dari energi Laplace pada komplemen

graf invers dari grup dihedral.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat yaitu informasi

mengenai energi Laplace pada komplemen graf invers dari grup dihedral.

5

1.5 Metode Penelitian

Penelitian yang dilakukan yaitu dengan pendekatan penelitian kualitatif.

Jenis penelitian yang digunakan berupa studi kepustakaan (library research).

Langkah-langkah dalam penelitian ini antara lain:

a. Menganalisis data dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menuliskan anggota dan membentuk Tabel Cayley dari grup dihedral

dan .

2. Mencari invers dari masing-masing anggota pada dan

.

3. Membentuk himpunan bagian dari dan yang

anggotanya merupakan semua anggota dari masing-masing grup dihedral

yang inversnya bukan dirinya sendiri.

4. Membangun dan menggambarkan graf invers dari grup dihedral

dan .

5. Menggambarkan komplemen graf invers yang dibangun dari grup dihedral

dan .

6. Menentukan matriks Laplace dari grup dihedral dan

.

7. Menentukan polinomial karakteristik dari matriks Laplace pada grup

dihedral dan .

8. Mencari nilai Eigen dari matriks Laplace pada grup dihedral

dan .

9. Mencari nilai energi Laplace pada komplemen graf invers yang dibangun

dari grup dihedral dan .

6

10. Merumuskan pola dari energi Laplace pada komplemen graf invers yang

dibangun dari grup dihedral.

1.6 Sistematika Penulisan

Dalam penelitian ini, sistematika penulisan yang digunakan penulis

terdiri atas empat bab, dan masing–masing bab terbagi dalam subbab dengan

sistematika penulisan sebagai berikut:

Bab I Pendahuluan

Berisi latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat

penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.

Bab II Kajian Pustaka

Berisi pustaka atau literatur pendukung objek permasalahan antara lain

tentang operasi biner, grup, grup dihedral, graf, matriks derajat, matriks

Adjacency (keterhubungan titik), matriks Laplace, graf komplemen, energi

Laplace, graf invers, dan kajian al-Quran tentang energi.

Bab III Pembahasan

Berisi tentang pembahasan mengenai pola dari energi Laplace pada

komplemen graf invers yang dibangun dari grup dihedral dan konsep energi

dalam al-Quran.

Bab IV Penutup

Berisi kesimpulan dan saran.

7

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 Grup

2.1.1 Definisi Operasi biner

Definisi 2.1

Misal adalah himpunan tak kosong. Suatu pemetaan dari ke ,

untuk setiap pasangan terurut ( ) dari anggota , sebuah elemen unik

dinotasikan dengan dari disebut sebagai operasi biner atau komposisi

biner pada (Raisinghania & Aggarwal, 1980).

Contoh 2.1

Diberikan adalah himpunan semua bilangan asli dan merupakan

operasi pada dengan ketentuan . Karena dan

, maka penjumlahan dari kedua bilangan asli akan menghasilkan bilangan

asli, ditulis . Jadi operasi adalah operasi biner pada .

Definisi 2.2

Misal adalah himpunan tak kosong. Suatu pemetaan dari ke ,

untuk setiap pasangan terurut ( ) dari anggota , sebuah elemen unik

dinotasikan dengan dari disebut sebagai operasi biner atau komposisi

biner pada (Raisinghania & Aggarwal, 1980).

Contoh 2.2

Diberikan adalah himpunan semua bilangan asli dan merupakan

operasi pada dengan ketentuan . Karena dan

8

, sehingga penjumlahan dari kedua bilangan asli akan menghasilkan

bilangan asli, ditulis . Jadi operasi merupakan operasi biner pada .

2.1.2 Definisi Grup

Definisi 2.3

Misalkan operasi biner terdefinisi pada unsur di himpunan . Maka

merupakan suatu grup dengan operasi jika memenuhi aksioma sebagai berikut:

1. tertutup pada operasi . Yaitu jika dan maka ,

2. Operasi bersifat asosiatif di . Untuk setiap , maka ( )

( ) ,

3. mempunyai elemen identitas terhadap operasi . Terdapat suatu di

sedemikian sehingga untuk setiap ,

4. memuat invers terhadap operasi . Untuk setiap , terdapat

sedemikian sehingga (Gilbert & Gilbert, 2009).

Contoh 2.3

Misalkan adalah himpunan bilangan bulat, maka ( ) adalah grup oleh sebab

itu berlaku:

a. Operasi penjumlahan ( ) pada adalah operasi biner yang terdefinisi di

karena operasi biner adalah pemetaan . Untuk setiap maka

. Sehingga tertutup terhadap operasi .

b. Untuk setiap maka ( ) ( ) . Sehingga operasi

bersifat asosiatif di .

c. Terdapat anggota identitas yaitu terhadap operasi di sedemikian

sehingga , untuk setiap .

9

d. Untuk terdapat ( ) sedemikian sehingga ( ) ( )

.

Berdasarkan a, b, c, dan d maka terbukti bahwa ( ) adalah grup.

Definisi 2.4

Misalkan adalah grup dengan operasi . Maka dikatakan grup

komutatif atau grup abelian jika operasi bersifat komutatif di . Yaitu

untuk setiap (Gilbert & Gilbert, 2009).

2.2 Grup Dihedral

Grup dihedral merupakan grup dari himpunan simetri-simetri dari segi-

beraturan dengan simbol , untuk setiap bilangan bulat positif dan .

Ada juga yang menuliskan dengan (Dummit & Foote, 1991).

Misalkan suatu grup yang didefinisikan oleh untuk yang

didapat dari simetri (simetri sebagai fungsi pada segi- , maka adalah fungsi

komposisi). Jika akibat permutasi titik berturut-turut , maka akibat dari

. Operasi biner pada dikatakan asosiatif karena fungsi komposisinya

asosiatif. Identitas dari merupakan identitas dari simetri (yang meninggalkan

semua titik tetap), disimbolkan dengan 1, dan invers dari merupakan

kebalikan semua putaran dari simetri (jadi jika adalah akibat permutasi pada

titik akibat dari ) (Dummit & Foote, 1991).

Beberapa catatan dan hitungan untuk menyederhanakan perhitungan dan

membantu meneliti selanjutnya, antara lain:

1. adalah unsur yang berbeda dan | | ,

2. | | ,

10

3. ,

4. dengan . Jadi

* +, yaitu setiap anggota dapat

dituliskan dengan untuk atau dan ,

5. ,

6. untuk semua (Dummit & Foote,1991).

Sebagai contoh merupakan grup dihedral yang memuat semua simetri

(rotasi dan refleksi) pada bangun segitiga sehingga * +.

2.3 Graf

2.3.1 Definisi Graf

Graf adalah pasangan ( ( ) ( )) dengan ( ) adalah himpunan tak

kosong dan berhingga dari objek-objek yang dinamakan titik, dan ( ) adalah

himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di

( ) yang dinamakan sisi. Order adalah jumlah unsur di ( ) dari dan

disimbolkan dengan ( ), sedangkan ukuran adalah jumlah unsur di ( ) dari

dan disimbolkan dengan ( ). Jika graf yang dibahas hanya graf , maka order

dan ukuran dari masing-masing dapat ditulis dan . Graf dengan order dan

ukuran dinamakan graf-( ) (Abdussakir, dkk, 2009).

Sisi ( ) dikatakan menghubungkan titik dan . Jika ( )

merupakan sisi di graf , maka dan disebut terhubung langsung (adjacent),

dan serta dan disebut terkait langsung (incident), dan titik dan disebut

ujung dari . Jika dua sisi berbeda dan terkait langsung pada titik yang sama

maka disebut terhubung langsung (adjacent) (Abdussakir, dkk, 2009).

11

2.3.2 Derajat dan Matriks Derajat

Derajat titik dari graf merupakan jumlah titik di yang terhubung

langsung dengan . Oleh karena itu, derajat titik merupakan banyaknya titik

pada lingkungan ( ). Derajat dari titik pada graf ditulis dengan atau

. Suatu titik dengan derajat dinamakan titik terasing dan titik degan derajat

dinamakan titik ujung atau daun. Derajat terbesar dari semua titik di disebut

derajat maksimum dari dan ditulis ( ). Derajat minimum dari ditulis ( ).

Oleh karena itu, jika merupakan titik dari graf dengan orde , maka

( ) ( ) (Chartrand, dkk, 2016).

Teorema 2.1

Jika adalah graf dengan ukuran , maka

∑

( )

Bukti:

Ketika menjumlahkan derajat titik pada graf , setiap sisi dari dihitung dua kali,

sekali untuk setiap dua titik yang incident.

Matriks derajat pada matriks dilambangkan dengan ( ), merupakan

matriks diagonal dengan elemen baris ke- dan kolom ke- merupakan derajat

dari . Sehingga, matriks derajat dari graf dapat ditulis

( ) [ ] (Biyikoglu, dkk, 2009).

12

2.3.3 Matriks Keterhubungan Titik

Matriks keterhubungan titik (atau matriks keterhubungan) dari graf

dilambangkan dengan ( ), yaitu matriks ( ) dengan unsur pada baris ke-

dan kolom ke- bernilai 1 jika titik terhubung langsung dengan titik serta

bernilai 0 jika tidak terhubung langsung dengan titik . Sehingga, matriks

keterhubungan titik dapat ditulis ( ) [ ] dengan

{

jika

jika

( )

( )

Matriks keterhubungan titik suatu graf adalah matriks simetri yang unsurnya 0

dan 1 dan memuat nilai 0 pada diagonal utamanya (Abdussakir, dkk, 2009).

2.3.4 Matriks Laplace

Misalkan ( ) adalah graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi

, dikonversi menjadi | | dan | | . Maka merupakan graf dengan

titik dan sisi. Matriks Laplace dari adalah matriks ( ) ( ) ( ).

( ) merupakan diagonal matriks dengan entrinya adalah derajat titik dari dan

( ) merupakan matriks keterhubungan titik pada graf (Biyikoglu, dkk, 2009).

2.3.5 Graf Komplemen

Komplemen ̅ dari graf merupakan graf dengan himpunan titik ( )

sedemikian sehingga dua titik adalah terhubung langsung di ̅ jika dan hanya jika

titik tersebut tidak terhubung langsung di . Jika graf berorde dan berukuran

, maka ̅ berorde memiliki ukuran ( ( ) ) (Chartrand, dkk, 2016).

13

Suatu graf dan komplemennya ditunjukkan pada Gambar 2.1 berikut:

Gambar 2.1 Suatu Graf dan Komplemennya

2.4 Energi Laplace

Energi ( ) pada graf adalah jumlah nilai mutlak dari nilai Eigen.

Misal adalah graf dengan titik dan sisi. Nilai Eigen pada

matriks keterhubungan titik graf disebut nilai Eigen pada . Maka energi pada

graf didefinisikan sebagai ( ) ∑ | ( )| (Zhou & Gutman, 2007).

Matriks Laplace ( ) pada graf-( ) dapat juga didefinisikan

dengan elemen matriks sebagai berikut:

{

jika

jika

jika

dan

dan

terhubung langsung

tidak terhubung langsung

dengan adalah derajat vertex kepada .

Untuk mencari nilai Eigen, dapat diselesaikan untuk ( ( ))

. Nilai Eigen diberikan . Energi Laplace dapat dilambangkan

( )= |

|. Batas-batas matriks Laplace:

1. Untuk graf dengan bilangan pada graf komponen (

)

.

Batas atas bertambah dengan mengurangi . Oleh sebab itu untuk graf

semacamnya ( )

√( )

.

14

2. Misal adalah graf terhubung dengan titik dan sisi dan derajat

maksimumnya . Maka ( ) (

) (Meenakshi & Lavanya, 2014).

2.5 Graf Invers dan Komplemen Graf Invers

Misalkan ( ) adalah grup berhingga dan * | +.

Didefinisikan graf invers yang terasosiasi dengan ( ) adalah graf yang

himpunan titiknya serupa dengan sedemikian sehingga dua titik yang berbeda

dan adalah terhubung langsung jika dan hanya jika atau .

Identitas adalah anggota trivial yang invers terhadap dirinya sendiri dalam grup

berhingga . Maka . Sehingga menyebabkan kardinalitas dari kurang dari

kardinalitas dari . Khususnya, jika tidak memuat anggota yang invers terhadap

dirinya sendiri selain identitas maka | | | | . Banyaknya anggota selalu

genap, maka | | | | jika banyaknya anggota ganjil. Untuk sebarang graf

invers | | (Alfuraidan & Zakariya, 2017).

Contoh 2.4

Diketahui grup ( ) dengan * +.

dan . Maka * +. Sehingga dapat dibentuk suatu

graf invers dari yakni ( ) pada Gambar 2.2 berikut:

Gambar 2.2 Graf Invers Grup Modulo Bilangan Bulat 3

𝐺𝑆( ) ∶

15

Graf komplemen dari graf ( ) disimbolkan dengan ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ merupakan

graf yang memuat himpunan titik ( ( )) sedemikian sehingga dua titik

adalah terhubung langsung di ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ jika dan hanya jika kedua titik tersebut tidak

terhubung langsung di ( ). Sehingga ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) * + dan ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

*( )+. Oleh karena itu, komplemen graf invers dari grup modulo bilangan bulat

3 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) ditunjukkan pada Gambar 2.3.

Gambar 2.3 Komplemen Graf Invers Grup Modulo Bilangan Bulat 3

2.6 Kajian Al-Quran tentang Energi

Sebagaimana firman Allah Swt Dalam al-Quran surat an-Naba’/78:29


Naba’/78:29).

Menurut tafsir Jalalayn, (Dan segala sesuatu) dari amal-amal perbuatan

(telah Kami hitung) telah Kami catat (dalam suatu kitab) yaitu dalam catatan-

catatan di Lohmahfuz supaya Kami memberikan balasan kepadanya, antara lain

karena kedustaan mereka terhadap al-Quran.

Menurut tafsir Ibnu Katsir, sesungguhnya Kami mengetahui amal

perbuatan semua hamba dan Kami telah mencatatnya atas mereka, maka Kami

16

akan membalas terhadap mereka; jika baik, maka balasannya baik dan jika buruk,

maka balasannya buruk. Firman Allah Swt:

Artinya: “Karena itu, rasakanlah. Dan Kami sekali-kali tidak akan menambah kepada

kalian selain dari azab” (QS. an-Naba’/78:30).

Yakni dikatakan kepada penduduk neraka, “Rasakanlah akibat dari perbuatanmu,

maka Kami tidak akan menambahkan kepada kalian selain azab yang beraneka

ragam”. Qatadah telah meriwayatkan dari Abu Ayyub Al-Azdi, dari Abdullah

ibnu Amr ibnul As yang mengatakan bahwa tiada suatu ayatpun yang lebih keras

bagi ahli neraka selain dari firman-Nya: Karena itu, rasakanlah.

17

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Energi Laplace pada Komplemen Graf Invers dari Grup Dihedral-6

Himpunan anggota dari grup dihedral-6 adalah * +.

Jika setiap anggota pada grup dihedral-6 dioperasikan dengan operasi “ ”, maka

dihasilkan Tabel Cayley pada Tabel 3.1 sebagai berikut:

Tabel 3.1. Tabel Cayley Grup Dihedral-6 ( )

3.1.1 Invers dari Masing-masing Anggota

Berdasarkan Tabel 3.1 dapat dicari invers dari masing-masing anggota

yaitu sebagai berikut:

sehingga

sehingga

sehingga ( )

sehingga

18

1

sehingga

sehingga ( )

Berdasarkan uraian invers dari masing-masing anggota , didapatkan

bahwa dan invers terhadap dirinya sendiri. Oleh karena itu, dapat

dibangun suatu himpunan bagian dari yang memuat anggota-anggota dari

yang tidak invers terhadap dirinya sendiri. Sehingga diperoleh * +.

3.1.2 Graf Invers Grup Dihedral-6

Himpunan titik pada graf invers ( ) adalah ( ( ))

* +. Dua titik yang berbeda dan pada ( ( )) akan

terhubung langsung jika dan hanya jika atau . Sehingga

diperoleh ( ( )) *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+. Oleh karena

itu, graf invers grup dihedral-6 ( ) ditunjukkan pada Gambar 3.1.

Gambar 3.1. Graf Invers Grup Dihedral-6 ( ( ))

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

19

3.1.3 Graf Komplemen dari ( )

Graf komplemen dari graf ( ) disimbolkan dengan ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ merupakan

graf yang memuat himpunan titik ( ( )) dan dua titik adalah terhubung

langsung di ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ jika dan hanya jika kedua titik tersebut tidak terhubung

langsung di ( ). Sehingga ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) * + dan

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )+. Oleh karena itu, komplemen graf invers dari grup dihedral-6

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) ditunjukkan pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-6 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

20

3.1.4 Matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

Berdasarkan Gambar 3.2, dapat dicari matriks-matriks pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

sebagai berikut:

Matriks keterhubungan titik pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

[

]

Matriks derajat pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

[

]

Matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

[

]

[

]

[

]

Berdasarkan matriks Laplace di atas, maka dapat dicari polinomial karakteristik

dan nilai Eigennya sebagai berikut:

( )

21

(

[

]

[

]

)

=0

(

[ ]

)

=0

Melalui eliminasi Gauss pada , diperoleh polinomial karakteristik dalam

yaitu:

( )

atau

( ) ( ) ( )( )

dan nilai Eigennya adalah:

dengan multiplisitas ( ) ( ) ( ) ( )

3.1.5 Energi Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

Setelah diketahui nilai Eigen dari matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, dapat

dihitung energi Laplace dari ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ sebagai berikut:

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) |

|

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

|

| |

| |

| |

|

| | | | | | | |

22

Jadi, dapat diketahui bahwa energi Laplace pada komplemen graf invers dari grup

dihedral-6 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) adalah


Himpunan anggota dari grup dihedral-8 adalah *

+. Jika setiap anggota pada grup dihedral-8 dioperasikan dengan operasi

“ ”, maka dihasilkan Tabel Cayley pada Tabel 3.2 sebagai berikut:





sehingga

23

sehingga

sehingga ( )

sehingga ( )

sehingga

sehingga

sehingga ( )

sehingga ( )


bahwa dan invers terhadap dirinya sendiri. Oleh karena itu,

dapat dibangun suatu himpunan bagian dari yang memuat anggota-anggota

dari yang tidak invers terhadap dirinya sendiri. Sehingga didapatkan

* +.


Himpunan titik pada graf invers ( ) adalah himpunan semua anggota

pada , sehingga ( ( )) * +. Dua titik yang

berbeda dan pada ( ( )) akan terhubung langsung jika dan hanya jika

atau . Sehingga berdasarkan Tabel 3.2 diperoleh,

, maka terhubung langsung dengan





24


,

maka terhubung langsung dengan

,

maka terhubung langsung dengan

Sehingga didapatkan ( ( )) *( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )+. Oleh karena itu, graf invers grup dihedral-8 ( )

ditunjukkan pada Gambar 3.3.



Graf komplemen dari graf ( ) disimbolkan dengan ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅. Dengan

cara yang sama dengan komplemen graf invers dari grup dihedral-6 maka

didapatkan ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) * + dan ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) *( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

𝑟

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

25

( ). Oleh karena itu, komplemen graf invers dari grup dihedral-8 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)


Gambar 3.4. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-8 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

3.2.4 Matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

Berdasarkan Gambar 3.4, dapat dicari matriks-matriks pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

sebagai berikut:

Matriks keterhubungan titik pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

[

]

Matriks derajat pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

[

]

𝑟

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

26

Matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

[

]

[

]

[ ]


dan nilai Eigen sebagai berikut:

( )

(

[ ]

[

]

)

27

(

[ ]

)


yaitu:

( )

atau

( ) ( ) ( ) ( )



3.2.5 Energi Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

Setelah diketahui nilai Eigen dari matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, dapat

dihitung energi Laplace dari ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ sebagai berikut:

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) |

|

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

|

| |

| |

| |

|

| | | | | | | |

28


dihedral-8 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) adalah .



+. Jika setiap anggota pada grup dihedral-10 dioperasikan dengan

operasi “ ”, maka dihasilkan Tabel Cayley pada Tabel 3.3.


29

3.3.1 Invers dari Masing-masing anggota



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )


bahwa , dan invers terhadap dirinya sendiri. Oleh karena itu,

dapat dibangun suatu himpunan bagian dari yang memuat anggota-anggota

dari yang tidak invers terhadap dirinya sendiri. Sehingga didapatkan

* +.


Himpunan titik pada graf invers ( ) adalah ( ( ))

* +. Dengan menggunakan cara yang sama dengan

3.1.2 maka graf invers grup dihedral-10 ( ) ditunjukkan pada Gambar 3.5.


𝑟

𝑟

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

30


Graf komplemen dari graf ( ) disimbolkan dengan ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ . Dengan

cara yang sama dengan komplemen graf invers dari grup dihedral-6 pada 3.1.3

maka diperoleh komplemen graf invers dari grup dihedral-10 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )


Gambar 3.6. Graf Komplemen dari Graf Invers Grup Dihedral-10 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

3.3.4 Matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

Berdasarkan Gambar 3.6, dapat dicari matriks-matriks pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

sebagai berikut:

Matriks keterhubungan titik pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

[

]

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

31

Matriks derajat pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

[

]

Matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

[

]

[

]

[ ]



( )

32

(

[ ]

[

]

)

(

[ ]

)


yaitu:

( )

atau

( ) ( ) ( ) ( )



33

3.3.5 Energi Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

Setelah diketahui nilai Eigen dari matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , dapat

dihitung energi Laplace dari ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ sebagai berikut:

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

|

| |

| |

| |

|

| | | | | | | |

Jadi, dapat diketahui bahwa energi Laplace pada komplemen graf invers dari

grup dihedral-10 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) adalah .



+. Jika setiap anggota pada grup dihedral-12

dioperasikan dengan operasi “ ”, maka dihasilkan Tabel Cayley pada Tabel 3.4.

34





( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .


bahwa , dan invers terhadap dirinya sendiri. Oleh

35

karena itu, dapat dibangun suatu himpunan bagian dari yang memuat

anggota-anggota dari yang tidak invers terhadap dirinya sendiri. Sehingga

didapatkan * +.


Graf invers yang dibentuk dari grup dihedral-12 disimbolkan ( ).

Himpunan titik pada graf invers ( ) adalah ( ( )) *

+. Dengan menggunakan cara yang sama dengan 3.1.2

maka graf invers grup dihedral-12 ( ) ditunjukkan pada Gambar 3.7.


𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

36




maka diperoleh komplemen graf invers dari grup dihedral-12 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )


Gambar 3.8. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-12 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

37



sebagai berikut:


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

[

]


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

[

]

38


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

=

[

]

[

]

[ ]



( )

39

(

[ ]

[

]

)

(

[ ]

)


yaitu:

( )

atau

( ) ( ) ( ) ( )( )

40


dengan multiplisitas ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


Setelah diketahui nilai eigen dari matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , dapat


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

( ) |

|

|

| |

| |

| |

| |

|

| | | | | | | | | |


dihedral-12( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) adalah



+. Jika setiap anggota pada grup dihedral-

14 dioperasikan dengan operasi “ ”, maka dihasilkan Tabel Cayley pada Tabel

3.5.

41





( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

42

( ) ( )


bahwa , dan invers terhadap dirinya sendiri. Oleh

karena itu, dapat dibangun suatu himpunan bagian dari yang memuat

anggota-anggota dari yang tidak invers terhadap dirinya sendiri. Sehingga

didapatkan * +.



Himpunan titik pada graf invers ( ) adalah

( ( )) * +. Dengan meng-

gunakan cara yang sama dengan 3.1.2 maka graf invers grup dihedral-14 ( )



𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

43




maka ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ditunjukkan pada Gambar 3.10.


𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

44



sebagai berikut:


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

[

]


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

[

]

45


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

=

[

]

[

]

[ ]

46



( )

(

[ ]

[

]

)

(

[ ]

)

47


yaitu:

( )

atau

( ) ( ) ( ) ( )




Setelah diketahui nilai Eigen dari matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , dapat


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

|

| |

| |

| |

|

| | | | | | | |


dihedral-14 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) adalah

48



+. Jika setiap anggota pada grup

dihedral-16 dioperasikan dengan operasi “ ”, maka dihasilkan Tabel Cayley pada

Tabel 3.6.

Tabel 3.6.Tabel Cayley Grup Dihedral-16 ( )

49


Berdasarkan Tabel 3.6, invers dari masing-masing anggota yaitu

sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Sehingga didapatkan bahwa , dan

invers terhadap dirinya sendiri. Oleh karena itu, dapat dibangun suatu himpunan

bagian dari yang memuat anggota-anggota dari yang tidak invers

terhadap dirinya sendiri. Sehingga didapatkan * +.



Dengan meng-gunakan cara yang sama dengan 3.1.2 maka graf invers grup

dihedral-16 ( ) ditunjukkan pada Gambar 3.11.


50




maka ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ditunjukkan pada Gambar 3.12.


𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟

51



sebagai berikut:

Matriks keterhubungan titik pada ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

[

]

Matriks derajat pada ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

[

]

52

Matriks Laplace pada ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

[

]

[

]

53

[ ]



( )

(

[ ]

[

]

)

54

(

[ ]

)


yaitu:

( )

atau

( ) ( ) ( ) ( )( )


dengan multiplisitas ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

55


Setelah diketahui nilai eigen dari matriks Laplace pada ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , dapat


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

( ) |

|

|

| |

| |

| |

| |

|

| | | | | | | | | |


dihedral-16 ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) adalah .

Berdasarkan pengamatan dari beberapa komplemen graf invers dari grup

dihedral , dan , maka diperoleh:

Tabel 3.7. Polinomial Karakteristik, Nilai Eigen, dan Energi Laplace dari ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

Polinomial

karakteristik

Nilai Eigen dan

multiplisitasnya

Energi Laplace

( ) ( )(

)

, ( )

, ( )

, ( )

, ( )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

( ) ( ) (

)

, ( )

, ( )

, ( )

, ( )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

56

( ) ( ) (

)

, ( )

, ( )

, ( )

, ( )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

( ) ( ) (

)( )

, ( )

, ( )

, ( )

, ( )

, ( )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

( ) ( ) (

)

, ( )

, ( )

, ( )

, ( )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

( ) ( ) (

)( )

, ( )

, ( )

, ( )

, ( )

, ( )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

ganjil,

( )

(

( ))

( )

, ( )

, ( )

,

( )

, ( )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

|

|

57

genap,

( )

( )

(

( )) ( (

))

( )

,

( )

,

( )

,

( )

,

( )

,

( )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

|

|

genap,

( )

( (

)) ( (

))

( )

,

( )

,

( )

,

( )

,

( )

,

( )

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

|

|

58

Teorema 1


dengan ganjil dan adalah ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|.

Bukti

Diketahui grup dihedral dengan ganjil dan ,

* + dan himpunan bagian dari

yang tidak invers terhadap dirinya sendiri adalah * +. Sesuai definisi

graf invers maka diperoleh gambar berikut:

Gambar 3.13. Graf Invers Grup Dihedral- ( )

Gambar 3.14. Komplemen Graf Invers Grup Dihedral- ( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

𝑟

𝑟

𝑟𝑛 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟𝑛

𝑟

𝑟

𝑟𝑛 𝑠

𝑠𝑟

𝑠𝑟

𝑠𝑟𝑛

59

Dari graf komplemen tersebut, diperoleh matriks keterhubungan titik dan matriks

derajat sebagai berikut:

( )

[

]

( )

[

]

Sehingga

[

]

Berdasarkan matriks Laplace tersebut maka dapat dicari nilai Eigennya dengan

cara:

( )

60

(

[

( )

( ) ( ) ]

)


yaitu:

( ) ( )( )

( ( ))

( )

diperoleh nilai Eigen

dan multiplisitas ( ) ( )

( )

( ) .

Sehingga diperoleh energi Laplace

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) |

|,

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

|

|

|

|

|

| |

|

|

|

|

|

|

| |

|

|

(

)

(

) (

)|

| ( )( ) ( )( ) ( )

|

|( )( ) ( )( )

|

|

|

61

|

|

|

|

Teorema 2


dengan genap dan ( ) adalah

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

Bukti

Diketahui grup dihedral dengan genap dan ( ),

* + dan himpunan bagian dari yang tidak

invers terhadap dirinya sendiri adalah { |

}. Sesuai

definisi graf invers maka diperoleh gambar seperti Gambar 3.13 dan Gambar 3.14.

Sehingga dari graf komplemen tersebut, diperoleh matriks keterhubungan titik dan

matriks derajat sebagai berikut:

( )

[

]

62

( )

[

]

Sehingga

[

]


cara:

( )

(

[

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ]

)


yaitu:

( ) ( )( )

( ( )) ( ( ))

( )

63



( ) ( )

( ) .


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

( ) |

|

|

|

|

| |

|

|

| |

|

|

|

|

| |

|

|

| |

|

|

(

) (

)

(

) (

)|

| ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

|

|( )( ) ( ) ( )( )

|

|

|

|

|

|

|

64

Teorema 3


dengan genap dan adalah

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

Bukti

Diketahui grup dihedral dengan genap dan ,

* + dan himpunan bagian dari yang tidak

invers terhadap dirinya sendiri adalah { |

}. Sesuai

definisi graf invers maka diperoleh gambar seperti Gambar 3.13 dan Gambar 3.14.

Sehingga dari graf komplemen tersebut, diperoleh matriks keterhubungan titik dan

matriks derajat sebagai berikut:

( )

[

]

( )

[

]

65

Sehingga

[

]


cara:

( )

(

[

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ]

)


yaitu:

( ) ( )( )

( ( )) ( ( ))

( )



( ) ( )

( ) .

66


( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) |

|,

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

( ) |

|

|

|

|

| |

|

|

| |

|

|

|

|

| |

|

|

| |

|

|

(

) (

)

(

) (

)|

| ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

|

|( )( ) ( ) ( )( )

|

|

|

|

|

|

|

3.7 Konsep Energi dalam Al-Quran

Al-Quran merupakan sumber dari segala ilmu pengetahuan yang ada di

dunia ini, termasuk ilmu matematika. Energi pada graf pada dasarnya merupakan

penjumlahan nilai mutlak dari semua nilai Eigen. Konsep perhitungan energi pada

graf terdapat pada al-Quran surat an-Naba’/78:29, yang berbunyi


Naba’/78:29).

67

Ayat tersebut menjelaskan bahwa segala sesuatu yang ada di alam semesta

telah dicatat atau dihitung. Manusia dianugerahi Allah sebuah akal sebagai bukti

bahwa manusia adalah makhluk sempurna. Akal sebagai pembeda antara manusia

dengan makhluk lainnya agar manusia dapat berpikir tentang kebesaran Allah,

dapat membedakan antara kebaikan dan kejelekan. Maka segala sesuatu yang

dikerjakan manusia dicatat atau dihitung dalam suatu kitab. Seperti firman Allah

dalam al-Quran surat al-Jatsiyah/45:29

Artinya: (Allah berfirman): “Inilah kitab (catatan) Kami yang menuturkan terhadapmu

dengan benar. Sesungguhnya Kami telah menyuruh mencatat apa yang telah kamu

kerjakan” (QS. al-Jatsiyah/45:29).

Menurut tafsir Quraish Shihab, dan dikatakan kepada mereka, “Inilah Kami yang

berisi catatan semua amal perbuatanmu dan yang telah kalian ambil dengan

tangan kalian, akan menuturkan kepada kalian dengan benar apa yang telah kalian

lakukan. Sesungguhnya Kami telah menyuruh malaikat mencatat, supaya Kami

dapat membuat perhitungan terhadap apa yang kalian lakukan”.

68

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan, maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai

berikut:


a. untuk ganjil dan adalah

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

b. untuk genap dan ( ), adalah

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

c. untuk genap dan , adalah

( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) |

|

4.2 Saran

Bagi penelitian selanjutnya, disarankan untuk melanjutkan penelitian

mengenai energi Laplace yang dapat diperoleh dari grup lainnya.

69

DAFTAR RUJUKAN

Abdussakir, Azizah, N.N. dan Nofandika, F.F.. 2009. Teori Graf. Malang: UIN

Malang Press.

Abdussakir. 2007. Ketika Kiai Mengajar Matematika. Malang: UIN Malang

Press.

Alfuraidan, M.R. & Zakariya, Y.F.. 2017. Invers Graphs Associated with Finite

Groups. Electronic Journal of Graph Theory and Aplications, 5(1): 142-

154.

Biyikoglu, T., Leytold, J., Standler, P.F.. 2007. Laplacian Eigenvectors of

Graphs. Berlin: Springer.

Chartrand, G., Lesniak, L., dan Zhang, P. 2016. Graphs and Digraphs Sixth

Edition. California: CRC Press.

Das, K.C. & Mojalal, S.A.. 2016. On Energy and Laplacian Energy of Graphs.

Electronic Journal of Linier Algebra, 31:167-186.

Dummit, D.S. & Foote, R.M. 1991. Abstract Algebra. New Jersey: Prentice Hall,

Inc.

Gilbert, L. & Gilbert, J.. 2009. Elements of Modern Algebra Seventh Edition.

Canada: Brooks/Cole.

Meenakshi, S. & Lavanya, S.. 2014. A Survey on Energy of Graphs. Annals of

Pure and Applied Mathematics, 8 (2): 183-191.

Raisinghania, M. & Aggarwal, R.. 1980. Modern Algebra. New Delhi: S. Chand

& Company Ltd.

Zhou, B. & Gutman, I. 2007. On Laplacian Energy of Graphs. Match

Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 57: 211-

220.

LAMPIRAN- LAMPIRAN

1. Perhitungan nilai eigen pada matriks Laplace dari komplemen graf invers dari

grup dihedral-

>

> >

>

>


grup dihedral-

> >

>

>

>


grup dihedral-

> >

>

>

>


grup dihedral-

>

> >

>

>


grup dihedral-

> > >

>

>


grup dihedral-

>

> >

>

RIWAYAT HIDUP

Dwiki Marlinda Agustina, lahir di Nganjuk pada tanggal 20

Agustus 1995, biasa dipanggil Dwiki, tinggal di Jalan A.Yani

Gg. Apel No.9 Dusun Bogo Desa Nglawak Kecamatan

Kertosono Kabupaten Nganjuk, puteri kedua dari bapak Podo

Susilo dan ibu Sumarsih.Pendidikan dasarnya ditempuh di

SDN Ngalawak II, lulus pada tahun 2007. Setelah itu melanjutkan ke SMPN 1

Kertosono dan lulus pada tahun 2010. Kemudian penulis melanjutkan pendidikan

ke MAN Tambakberas Jombang dan lulus pada tahun 2013. Selanjutnya, pada

tahun 2013 penulis menempuh kuliah di Universitas Islam Negeri Maulana Malik

Ibrahim Malang mengambil Jurusan Matematika.

Selama menjadi mahasiswa, aktif di organisasi ekstra kampus, aktif di

Komunitas Kemanusiaan, dan sedangbelajar di Kelompok Belajar Menulis

“Merajut Sastra”.

energi laplace pada komplemen graf invers dari...

Documents