makalah aljabar linear kelompok 6

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

Disusun Oleh:

1. Muhammad Bintang Faroby (1001125111)2. Muhammad Febrianto (1001125112)3. Muhammad Ferianto (1001125113)4. Nur Ainul Yaqin (1001125127)5. Rolan Frienrik Ferera (1001125160)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

JAKARTA

2011

A l j a b a r L i n e a r E l e m e n t e r

KATA PENGANTAR

� ي�م� ح� �الر� من� �ح الر% الل%ه� م� �ب�س

Assalamu’alaikum Wr.Wb

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata’ala, karena berkat

rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Aljabar Linear Elementer”.

Makalah ini merupakan rangkuman dari buku “Aljabar Linear Elementer” karya Howard

Anton. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer.

Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga

makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Makalah ini masih jauh dari

sempurna. Oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun

demi kesempurnaan makalah ini.

Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk

pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb

Jakarta, Desember 2011

Penyusun


http://www.beranda-jiwa.info/contoh-makalah/

http://www.beranda-jiwa.info/contoh-makalah/

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.....................................................................................DAFTAR ISI..................................................................................................

BAB I – PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG......................................................................................1.2 TUJUAN...........................................................................................................

1.3 METODE PENULISAN......................................................................

BAB II – SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

2.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR..................................................................................................................................................................................................2.2 ELIMINASI GAUSS.......................................................................................................................................................................................................................2.3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN............................................................................................................................................................................2.4 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS.........................................................................................................................................................................................2.5 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS........................................................................................................................................................................2.6 MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1...........................................................................................................................................2.7 HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAAN DAN

KETERBALIKAN...................................................................................................................................................................................................................

BAB III – DETERMINAN

3.1 FUNGSI DETERMINAN...............................................................................................................................................................................................................3.2 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS..................................................................................................................................................3.3 SIFAT-SIFAT FUNGSI DETERMINAN.......................................................................................................................................................................................3.4 EKSPANSI KOFAKTOR; ATURAN CRAMER...........................................................................................................................................................................

BAB IV – VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3

4.1 VEKTOR (GEOMETRIK)..............................................................................................................................................................................................................


4.2 NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR...........................................................................................................................................................................4.3 HASIL KALI TITIK; PROYEKSI..................................................................................................................................................................................................4.4 HASIL KALI SILANG...................................................................................................................................................................................................................

BAB V – RUANG-RUANG VEKTOR

5.1 RUANG – n EUCLIDIS..................................................................................................................................................................................................................5.2 RUANG VEKTOR UMUM............................................................................................................................................................................................................5.3 SUB-RUANG .................................................................................................................................................................................................................................5.4 KEBEBASAN LINEAR..................................................................................................................................................................................................................

BAB VI – PENUTUP....................................................................

DAFTAR PUSTAKA......................................................................................................


BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk.

1.2 TUJUAN

Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer, yang diberikan oleh dosen kami Ibu Musriana, S. Pd. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

1.3 METODE PENULISAN

Penulis menggunakan metode observasi dan kepusatakaan.

Cara yang digunakan dalam penulisan adalah Studi pustaka.


Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari sumber-sumber dari internet.

BAB II

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

2.1 SISTEM PERSAMAAN LINIER

a11x1+ a12 x2+ .. .+ a1n xn= b1

a21 x1+ a22 x2+ .. .+ a2n xn= b2

⋮ ⋮ ⋮am 1 x1+ am 2 x2+. . .+ amn xn= bm

SPL mempunyai m persamaan dan n variable.

Matris yang diperbesar (augmented matrix)


Definisi : Suatu sistem yang memiliki m persamaan dan n variabel.

( Bilangan yang tidak diketahui ).

[ a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am 1 am2 amn bm

]Contoh :

2 x1+3 x2=43 x1+4 x2=5

[2 3 43 4 5 ]

Solusi ( Pemecahan ) SPL, di bagi menjadi 2, yaitu :

1. Konsisten

Solusi Tunggal

Solusi Banyak

2. Tidak Konsisten

Contoh : Solusi Tunggal

g1=2 x−3 y=6g2=3x+ y=4

banyak persamaan=banyak variabelm=n

Contoh : Solusi Banyak

g1 = 2x - 3y = 6

g2 = 2x – 3y =6

m < n

Contoh : Tidak Konsisten

g1=2 x−3 y=6g2=2 x−3 y=8

0=−2

0 = Konstanta


2.2 ELIMINASI GAUSS

Pada bagian ini kita akan memberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistem-

sistem persamaan linear; prosedur tersebut didasarkan kepada gagasan untuk mereduksi matriks yang

diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat

dipecahkan dengan memeriksa sistem tersebut.

[1 0 00 1 00 0 1

123]

Matriks di atas adalah contoh matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris terreduksi

(reduced row-echelon form). Supaya berbentuk seperti ini, maka matriks tersebut harus mempunyai

sifat-sifat berikut.

1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut

adalah 1. (Kita namakan 1 utama).

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu

dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.

3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1

utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris

yang lebih tinggi.

4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Matriks yang memiliki sifat-sifar 1,2 dan 3 dapat dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-

echelon form).

Berikut ini adalah beberapa contoh matriks dalam bentuk seselon baris terreduksi.

[1 0 00 1 00 0 1

47

−1] [1 0 00 1 00 0 1 ] [000

0

1000

−2000

0100

1300] [0 0

0 0]

Matriks-matriks berikut adalah matriks dalam bentuk eselon baris.


[1 2 30 1 50 0 1

962] [1 1 0

0 1 00 0 0 ] [0 1 2

0 0 10 0 0

620

001 ]

Prosedur untuk meredusi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi dinamakan eliminasi

Gauss-Jordan, sedangkan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris dinamakan eliminasi

Gauss.

Contoh 1:

Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0

2x1 + 6x2 – 5x3 – 2x4 + 4x5 – 3x6 = –1

5x3 + 10x4 + 15x6 = 5

2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6

Maka matriks yang diperbesar dari sistem tersebut adalah

[1 3 −22 6 −502

06

50

0 2 0−2 4 −3108

04

1518

0−156

]Dengan menambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan keempat maka akan mendapatkan

[1 3 −20 0 −100

00

54

0 2 0−2 0 −3108

00

1518

0−156

]Dengan mengalikan dengan -1 dan kemudian menambahkan -5 kali baris kedua kepada baris ketiga

dan -4 kali baris kedua kepada baris keempat maka akan memberikan


Tidak sukar untuk memantau apabila matriks dalam bentuk eselon baris harus mempunyai nol di bawah setiap 1 utama. Bertentangan dengan hal ini, matriks dalam bentuk eselon baris terreduksi harus mempunyai nol di atas dan di bawah masing-masing 1 utama.

[1 3 −20 0 100

00

00

0 2 02 0 300

00

06

0102]

Dengan mempertukarkan baris ketiga dengan baris keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga

dari matriks yang dihasilkan dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon baris

[1 3 −20 0 100

00

00

0 2 02 0 300

00

10

01130]

Dengan menambahkan -3 kali baris ketiga pada baris kedua dan kemudian menambahkan 2 kali baris

kedua dari matriks yang dihasilkan pada baris pertama maka akan menghasilkan bentuk eselon baris

terreduksi

[1 3 −20 0 100

00

00

0 2 02 0 000

00

10

00130]

Sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian adalah

x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 = 0

x6 = 13

Dengan memecahkannya untuk peubah peubah utama, maka kita dapatkan

x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5

x3 = – 2x4

x6 = 13


Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka himpunan

pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus

x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 = 13

Terkadang lebih mudah memecahkan sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi

Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi ke dalam bentuk eselon baris tanpa

meneruskannya ke bentuk eselon baris terreduksi. Bila hal ini dilakukan, maka sistem persamaan-

persamaan yang bersesuaian dapat dipecahkan dengan sebuah cara yang dinamakan substitusi balik

(back-substitution). Kita akan melukiskan metode ini dengan menggunakan sistem persamaan-

persamaan pada contoh 1.

Dari perhitungan dalam contoh 1, bentuk eselon baris dari matriks yang diperbesar tersebut adalah

[1 3 −20 0 100

00

00

0 2 02 0 000

00

10

00130]

Untuk memecahkan sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian

x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 + 3x6 = 1

x6 = 13

maka kita memprosesnya sebagai berikut :

x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5

x3 = 1 – 2x4 – 3x6


Langkah 1.

Pecahkanlah persamaan-persamaan tersebut untuk peubah-peubah utama.

x6 = 13

Dengan mensubstitusikan x6 = 13

ke dalam persamaan kedua maka akan menghasilkan

x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5

x3 = – 2x4

x6 = 13

Dengan mensubstitusikan x3 = – 2x4 ke dalam persamaan pertama maka akan menghasilkan

x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5

x3 = – 2x4

x6 = 13

Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka himpunan

pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus

x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 = 13

Ini sesuai dengan pemecahan yang diperoleh pada contoh 1.

2.3 SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN


Langkah 2.

Mulailah dengan persamaan bawah dan bekerjalah ke arah atas, substitusikan secara keseluruhan masing-masing persamaan ke dalam semua persamaan yang di atasnya.

Langkah 3.

Tetapkanlah nilai-nilai sebarang pada setiap peubah tak utama.

Sebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika semua suku konstan sama

dengan nol; yakni sistem tersebut mempunyai bentuk

a11x1 + a12x2 + ……+ a1nxn = 0

a21x2 + a22x2 + ……+ a2nxn = 0

: : : :

am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn = 0

Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 = 0, x2 = 0,

….., xn = 0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan terebut, dinamakan pemecahan trivial (trivial

solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial

(nontrivial solution).

Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satu pemecahan atau

tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu di antara pemecahan ini adalah pemecahan

trivial, maka kita dapat membuat pernyataan berikut.

Untuk sistem persamaan-persamaan linier homogeny, maka persis salah satu di antara

pernyataan berikut benar.

1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.

2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial sebagai

tambahan terhadap pemecahan trivial tersebut.

Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan tak trivial ;

yakni, jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan tak diketahui dari banyaknya persamaan.

Untuk melihat mengapa hanya demikian, tinjaulah contoh berikut dari empat persamaan dengan lima

bilangan tak diketahui.

Contoh :

Pecahkanlah sistem persamaan-persamaan linier homogeny berikut dengan menggunakan

eliminasi Gauss-Jordan.

2X + 2X2 – X3 + X5 = 0

-X1 – X2 + 2X3 – X4 + X5 = 0

X1 + X2 – 2X3 - 5X5 = 0

X3 + X4 + X5 = 0


Matrix yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah

[ 2 2 −1−1 −1 2

0 1 0−3 1 0

1 1 −20 0 1

0 −1 01 1 0

]Dengan mereduksi matriks ii menjadi bentuk eselon baris tereduksi, maka kita dapatkan

[1 1 00 0 1

0 1 00 1 0

0 0 00 0 0

1 0 00 0 0

]Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

X1 + X2 + X5 = 0

X3 + X5 = 0

X4 = 0

Dengan memecahkannya untuk peubah-peubah utama maka akan menghasilkan

X1 = -X2 – X5

X3 = -X5

X4 = 0

Maka himpunan pemecahan akan di berikan oleh

X1 = -s – t, X2 = s, X3 = -t , X4 = 0, X5 = t

Perhatikan bahwa pemecahan trivial kita dapatkan bila s = t = 0.

2.4 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Matriks

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam

susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

A = ¿


Operasi Matriks

1. Penjumlahan :

Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A +

B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian

dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat di

tambahkan.

A =[a bc d ] , B =[ e f

g h ] A + B = [a b

c d ]+[ e fg h ] = [a+e b+ f

c+g d+h]Contoh : A = [1 3

4 5] , B = [3 41 3] , C = [1 3 4

2 3 13 4 5 ]

A + B = [4 75 8]

Sedangkan A + C dan B + C tidak di definisikan.

2. Perkalian dengan konstanta

Definisi : Jka A adalah suatu matriks dan c adalah scalar, maka hasil kali cA adalah matriks

yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c.

c [a bc d ] = [ca cb

cc cd ] Contoh : A = [1 3 4

2 3 13 4 5 ] , maka 2A = [2 6 8

4 6 26 8 10]

3. Perkalian, dengan syarat Am x n Bn x o = Cm x o

Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks

m x n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris I dan

kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-

entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian

tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.

A = [a bc d ], B = [ef ]

AB = [a bc d ][ef ]= [ae+bf

ce+df ]Contoh : A = [1 3

4 5] , B = [32]


AB = [ 922]

Transpose

Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka Transpos A dinyatakan oleh A t dan

didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertmanya adalah baris pertama dari A, kolom

keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A,

dan seterusnya.

A = [a b cd e fg h i ] At = [a d g

b e hc f i ]

Contoh : A = [2 6 84 6 26 8 10] At = [2 4 6

6 6 88 2 10]

2.5 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS

Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks,

namun terdapat beberapa pengecualian. Salah satu dari pengecualian yang terpenting terjadi dalam

perkalian matriks. Untuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyai ab = bayang sering

dinamakan hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-matriks, maka AB dan BA

tidak perlu sama.

Contoh 20

Tinjaulah matriks-matriks

Dengan mengalikannya maka akan memberikan

Jadi, AB ≠ BA


B=[1 23 0 ]A=[−1 0

2 3 ]

BA=[ 3 6−3 0 ]AB=[−1 −2

11 4 ]

Contoh 21

Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah

Kemudian

Sehingga

Sebaliknya


Teorema 2. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturan-aturan ilmu hitung matriks berikut akan shahih.

(a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penambahan)(b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penambahan)(c) A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)(d) A(B + C) = AB + AC (Hukum distributif)(e) (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif)(f) A(B - C) = AB – AC(g) (B - C)A = BA – CA(h) a(B + C) = aB+ aC(i) a(B - C) = aB – aC(j) (a + b)C = aC + bC(k) (a - b)C = aC – bC(l) (ab)C = a(bC)(m) a(BC) = (aB)C = B(aC)

A=[1 23 40 1 ] C=[1 0

2 3 ]B=[4 32 1 ]

=[1 23 40 1 ]AB=[1 2

3 40 1 ]

[4 32 1 ]

( AB)C=[ 8 520 132 1 ] =[18 15

46 394 3 ][1 0

2 3 ]

=[10 94 3 ][1 0

2 3 ]BC=[4 32 1 ]

Maka

Jadi, (AB)C = A(BC), seperti yang dijamin oleh Teorema 2(c).

Bukti. Jika AX = B adalah sistem persamaan linear, maka persis satu dari antara berikut akan benar:

(a) sistem tersebut tidak mempunyai pemecahan, (b) sistem tersebut mempunyai persis satu

pemecahan, atau (c) sistem tersebut mempunyai lebih dari satu pemecahan. Bukti tersebut akan

lengkap jika kita dapat memperlihatkan bahwa sistem tersebut mempunyai takhingga banyaknya

pemecahan dalam kasus (c).

Contoh 23

Tinjaulah matriks

Maka

Dan


Teorema 3. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian rupa sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dikabulkan, maka aturan-aturan ilmu hitung matriks yang berikut akan shahih.

(a) A + 0 = 0 + A = A(b) A – A = 0(c) 0 – A = -A(d) A0 = 0; 0A = 0

Teorema 4. Setiap sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan, persis satu pemecahan, atau tak terhingga banyaknya pemecahan.

Definisi. Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A.

=[18 1546 394 3 ]A( BC )=[1 2

3 40 1 ] [10 9

4 3 ]

A=[a11

a12

a13

a21

a22

a23]

=[a11

a12

a13

a21

a22

a23]=A[a1

1a1

2a1

3

a21

a22

a23]I 2 A=[1 0

0 1 ]

=[a11

a12

a13

a21

a22

a23]=A[1 0 0

0 1 00 0 1 ]AI 3=[a1

1a1

2a1

3

a21

a22

a23]

Contoh 24

Matriks

adalah invers dari

karena

dan

Bukti. Karena B adalah invers A, maka BA = I. Dengan mengalikan kedua ruas dari sebelah kanan

dengan C maka akan memberikan (BA)C = IC = I. Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B, sehingga B = C.

Contoh 26

Tinjaulah matriks 2x2

Jika ad – bc ≠ 0, maka


Teorema 5. Jika baik B maupun C adalah invers matriks A, maka B = C

Teorema 6. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka

(a) AB dapat dibalik

(b) (AB)−1

= B−1

A−1

A=[ 2 −5−1 3 ]B=[3 5

1 2 ]=[1 0

0 1 ]=I[3 51 2 ]AB=[ 2 −5

−1 3 ]

BA=[3 51 2 ] =[1 0

0 1 ]=I[ 2 −5−1 3 ]

A=[a bc d ]

=[ dad−bc

− bad−bc

−c

ad−bca

ad−bc]A−1= 1

ad−bc [ d −b−c a ]

Bukti. Jika kita dapat memperlihatkan bahwa (AB)(A−1

B−1

) = (B−1

A−1

)(AB)=I, maka kita telah

secara serempak membuktikan bahwa AB dapat dibalik dan bahwa (AB) −1

= B−1

A−1

. Tetapi (AB)(B

−1A

−1)

=

AIA−1

= AA−1

= I. Demikian juga (B−1

A−1

)(AB) = I.

Contoh 27


Dengan menerapkan rumus yang diberikan dalam contoh 25, kita dapatkan

Maka, (AB)-1 = B-1A -1 seperti yang dijamin oleh Teorema 6.

Teorema berikut, yang kita nyatakan tanpa bukti, menunjukkan bahwa hukum-hukum yang

sudah dikenal dari eksponen adalah shahih.


Sebuah hasil kali matriks yang dapat dibalik selalu dapat dibalik, dan invers hasil kali tersebut adalah hasil kali invers dalam urutan yang terbalik

Definisi. Jika A adalah sebuah matriks kuadrat, maka kita mendefinisikan pangkat-pangkat bilangan bulat tak negative A menjadi

A0 = 1 An = AA….A (n > 0)

Akan tetapi, jika A dapat dibalik, maka kita mendefinisikan pangkat bilangan bulat negative menjadi

A-1 = (A-1)n = A -1 A -1 ….. A -1

Factor n

Factor n

Teorema 7. Jika A adalah matriks kuadrat dan r serta s adalah bilangan bulat, maka

Ar As = Ar+s (Ar)s = Ars

AB=[7 69 8 ]B=[3 2

2 2 ]A=[1 21 3 ]

AB−1=[ 4 −3

−92

72 ]B−1=[ 1 −1

−132 ]A−1=[ 3 −2

−1 1 ]

Teorema selanjutnya menetapkan beberapa sifat tambahan yang berguna dari eksponen

matriks tersebut.

Bukti.

a. Karena AA-1 = A-1 A = I, maka A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A.

b. –

c. Jika k adalah sebarang scalar yang taksama dengan nol, maka hasil (l) dan (m) dari Teorema 2

akan memungkinkan kita untuk menuliskan

(kA)( 1

kA−1)

=

1k

( kA ) A−1=( 1k

k )AA−1=(1 ) I=I

Demikian juga ( 1

kA−1)

(kA) = I sehingga kA dapat dibalik dan (kA)-1 =

1k

A−1

.

Kita simpulkan bagian ini dengan sebuah Teorema yang menyenaraikan sifat-sifat utama dari

operasi transpose.


Teorema 8. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka:

a) A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = Ab) An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0,1,2,…..c) Untuk setiap skalar k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalik dan

(kA)-1 =

1k A-1

Teorema 9. Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka

a. (At)t = Ab. (A+B)t = At + Bt

c. (kA)t = kAt , dimana k adalah sebarang scalar.d. (AB)t = Bt At

Transpose sebuah hasil kali matriks sama dengan hasil kali transposnya dalam urutan kebalikannya.

2.6 MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1

Dibawah ini kita daftarkan matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya.

(i) [1 00 −3 ]

(ii) [1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

] (iii)

[1 0 30 1 00 0 1 ]

(iv) [1 0 00 1 00 0 1 ]

Operasi baris pada I yang menghasilkan E Operasi baris pada E yang menghasilkan I

Kalikanlah baris I dengan c ≠ 0. Kalikanlah baris I dengan 1c

Pertukarkan baris I dan baris j. Pertukarkan baris i dan baris j.

Tambahkan c kali baris I ke baris j. Tambahkan – c kali baris i ke baris j.

Operasi-operasi d ruas kanan dari tabel ini dinamakan operasi invers dari operasi-operasi yang

bersesuaian di ruas kiri.

Bukti. Jika E adalah matriks elementer, maka E dihasilkan dari peragaan operasi baris pada I.

Misalnya Eo adalah matriks yang dihasilkan bila invers operasi ini diterapkan pada I. Baris invers

akan saling meniadakan efek satu sama lain, maka diperoleh

EoE = I dan EEo = I

Jadi, matriks elementer Eo adalah invers dari E.


Ketika baris kedua I2 dengan -3

Pertukarkan baris kedua dan baris keempat dari I4

Tambahkan tiga kali baris ketiga dari I3 pada baris pertama

Kalikan baris pertama dari I3 dengan I

Teorema 10 : Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi

baris tertentu pada Im dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah

matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A.

Teorema 11 : Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks elementer.

A I = I A-1

Contoh :

A = [1 0 22 −1 34 1 8 ]

A-1 = . . . ?

Jawab :

A I = [1 0 22 −1 34 1 8

1 0 00 1 00 0 1]

= [1 0 20 −1 −10 1 0

1 0 0−2 1 0−4 0 1]

= [1 0 20 1 00 −1 −1

1 0 0−4 0 1−2 1 0]

= [1 0 20 1 00 1 1

1 0 0−4 0 12 −1 0 ]

= [1 0 20 1 00 0 1

1 0 0−4 0 16 −1 −1]

I A-1

2.7 HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAN DAN

KETERBALIKAN


Teorema 13 : Jika A adalah matriks n x n yang dapat dibalik,maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pecahan, yakni, X = A-1 B.

Baris ke 2 dikurang 2 kali baris pertama dan baris ke 3 dikurang 4 kali baris pertama untuk mendapatkan nol.

Baris ke 2 ditukar baris ke3.

Baris ke 3 dikalikan – baris ke 3, untuk mendapatkan 1 utama.

Baris ke 3 dikurangi baris ke 2 untuk mendapatkan nol.

AX = B → X = BA

→ I . B = B

A . A−1 . B⏟ = B

A . X = B

X = A-1 . B

X . A = B

X . . . ?

Jawab:

B . I = B

B . A−1⏟ . A = B

X . A = B

X = B . A-1


3

1 2

2 1

2

1 3

3 1

1

2 3

3 2

BAB III

DETERMINAN

3.1 FUNGSI DETERMINAN

Dalam bagian ini kita memulai pengkajian fungsi bernilai rill dari sebuah peubah matriks, yakni

fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan riil f (x) dengan sebuah matriks X . Sebelum kita

mampu mendefinisikan fungsi determinan, maka kita perlu menetapkan beberapa hasil yang

menyangkut permutasi.

Contoh :

Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat {1 , 2,3 }. Permutasi-

permutasi ini adalah

(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)

(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)

Salah satu metode yang mudah secara sistematis mendaftarkan permutasi-permutasi adalah

dengan menggunakan pohon permutasi (permutation tree).

Contoh :


Definisi : Permutasi bilangan-bilangan bulat {1 , 2, …, n }adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghasilkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut.

Untuk menyatakan permutasi umum dari himpunan {1 , 2, …, n }, maka kita akan menuliskan

( j1, j2 , …, jn ). Disini, j1 adalah bilangan bulat pertama dalam permutasian, j2 adalah bilangan bulat

kedua, dan seterusnya. Sebuah invers (inversion) dikatakan terjadi dalam permutasi ( j1, j2 , …, jn ) jika

sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil. Jumlah

invers seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai berikut:

1) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j1 dan yang membawa j1 dalam

mutasi tersebut.

2) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j2 dan yang membawa j2 dalam

mutasi tersebut.

Teruskanlah proses penghitungan ini untuk j3 , …, jn−1. Jumlah bilangan-bilangan ini akan

sama dengan jumlah invers seluruhnya dalam permutasi tersebut.

Contoh :

Tentukanlah banyaknya invers dalam permutasi-permutasi berikut

a) (3, 4, 1, 5, 2)

b) (4, 2, 5, 3, 1)

Jawab:

a) Banyaknya invers adalah 2 + 2 + 0 + 1 = 5

b) Banyaknya invers adalah 3 + 1 + 2 + 1 = 7

Contoh :

Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari {1 ,2,3 } sebagai genap atau ganjil.

Permutasi Banyaknya Invers Klasifikasi

(1, 2, 3) 0 Genap

(1, 3, 2) 1 Ganjil

(2, 1, 3) 1 Ganjil


Definisi : sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil.

(2, 3, 1) 2 Genap

(3, 1, 2) 2 Genap

(3, 2, 1) 3 Ganjil

Fungsi Determinan

Definisi : misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita

definiskan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlah det(A) kita

namakan determinan A.

Contoh 5

det [a11 a12

a21 a22] = a11 a22−a12 a21

det [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] = a11 a22a33+a12a23a31+a13a21a32

−a13a22 a31−a12a21 a33−a11 a23 a32

Caranya sebagai berikut :

[a11 a12

a21 a22] [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]a11

a21

a31

a12

a22

a32

Dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali

entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri.

Contoh 6

Hitunglah determinan-determinan dari :

A. = [3 14 −2]

B. = [ 1 2 3−4 5 67 −8 9]

Dengan menggunakan cara dari contoh 5 maka :

det(A) = (3)(-2) – (1)(4) = -10


dengan mnggunakan cara dari contoh 5 maka :

det(A) = (45) + (84) + (96) – (105) – (-48) – (-72) = 240

*Perhatian bahwa metode/cara yang digunakan pada contoh 5 dan 6 tidak berlaku determinan

matriks 4 x 4 atau untuk matriks yang lebih tinggi.

3.2 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS

Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua entri di bawah

diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita namakan segitiga bawah (lower

triangular), jika semua entri di atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan

segitiga atas maupun segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).

Contoh:

Sebuah matriks segitiga atas 4 × 4 yang umum mempunyai bentuk

[a11 a12 a13

0 a22 a23

00

00

a33

0

a14

a24

a34

a44]

Sebuah matriks segitiga bawah 4 × 4 yang umum mempunyai bentuk

[a11 0 0a21 a22 0a31

a41

a32

a42

a33

a43

000

a44]


Teorema 1 : jika A adalah sembarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det (A) = 0

Teorema 2 : jika A adalah matriks segitiga n × n, maka det (A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama; yakni det (A) = a11 a22… ann.

¼

ditukar

Contoh:

[1 −2 00 1 −10 0 7 ] = 1 . 1 . 7 = 7

Contoh :

A = [1 2 30 1 41 2 1 ] = - 2

A1 = [4 8 120 1 41 2 1 ] = 4 [1 2 3

0 1 41 2 1 ]

= 4 . (-2)

= -8

A2 = [0 1 41 2 31 2 1 ] = −¿ [1 2 3

0 1 41 2 1 ]

= - (-2)

= 2

A3 = [ 1 2 3−2 −3 21 2 1] = [1 2 3

0 1 41 2 1 ]

= -2


Teorema 3: Misalkan A adalah sembarang matriks n × n.

a) Jika A' adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka

det( A )' = k det(A).

b) Jika A' adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det( A' ) = - det(A).

c) Jika A' adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain,

maka det( A' ) = det(A).

Karena operasi perkalian maka kebalikannya dikali

Karena pertukaran antar baris maka dikali −¿.

Karena pertambahan antar baris maka tidak berpengaruh.

Contoh :

A = [1 3 −22 6 −431

91

14

4858]

Det (A) = [1 3 −20 0 031

91

14

4058]

Kita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena dari Teorema 1 kita peroleh bahwa det (A) =

0. Dari contoh ini seharusnya sudah jelas bahwa bila matriks kuadrat mempunyai dua baris yang

terdiri dari bilangan nol dengan menambahkan kelipatan yang sesuai dari salah satu baris ini pada

baris yang satu lagi. Jadi, jika matriks kuadrat mempunyai dua baris yang sebanding, maka

determinannya sama dengan nol.

Contoh :

[−1 4−2 8] Karena baris pertama dan kedua sebanding yaitu 1 : 2 maka det (A) = 0.

3.3 SIFAT-SIFAT FUNGSI DETEREMINAN

Pernyataan. Karena hasil ini, maka hampir tiap-tiap teorema mengenai determinan yang

mengandung perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila perkataan “kolom”

disubstitusikan untuk “baris”. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita hanya perlu mentranspos

(memindahkan) matriks yang di tinjau untuk mengubah pernyataan kolom tersebut pada pernyataan

baris, dan kemudian menerapkan hasil yang bersesuaian yang sudah kita ketahui untuk baris.

Contoh

Hitunglah determinan dari


Teorema 4. Juka A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (At).

A = [1 02 7

0 30 6

0 67 3

3 01 −5

]Determinan ini dapat di hitung seperti sebelumunya dengan menggunakan operasi baris

elementer untuk mereduksi A pada bentuk eelon baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh A pada bentuk

segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan -3 kali kolom pertama pada kolom keempat

untuk mendapatkan

Det (A) = det [1 02 7

0 00 0

0 67 3

3 01 −26

] =(1)(7)(3)(-26)= -546

Contoh ini menunjukkan bahwa selalu merupakan hal yang bijaksana untuk memperhatikan operasi

kolom yang tepat yang akan meringkaskan perhitungan tersebut.

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n x n dan k adalah sebarang skalar. Kita karang meninjau

hubungan yang mungkin di antara det(A), det(B), dan

det(kA), det(A + B), dan det(AB)

karena sebuah faktor bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tanda det, dan

karena setiap baris n baris dalam kA mempunyai factor bersama sebesr k, maka kita dapatkan

det(kA) = kn det(A)

Contoh

Dengan menghitung determinan, anda dapat memeriksa bahwa


Teorema 5. Misalkan A, A’, dan A” adalah matiks n x n yang hanya berbeda dalam garis tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A’. Maka

det(A”) = det (A) + det (A’)

Hasil yang serupa berlaku untuk kolom-kolom itu.

det [ 1 7 5

2 0 31+0 4+1 7+(−1) ]

=

det [1 7 52 0 31 4 7 ]

+

det [1 7 52 0 30 1 −1 ]

Contoh


A=[3 12 1 ] B=[−1 3

5 8 ]

AB=[2 173 14 ]

Kita peroleh det(A) det(B) = (1) (-23) = -23. Sebaliknya dengan perhitungan langsung maka det(AB)

= -23, sehingga det(AB) = det(A) det(B).

Contoh

Karena baris pertama dan baris ketiga dari

A=[1 2 31 0 12 4 6 ]

Sebanding, maka det(A) = 0, jadi A tidak dapat dibalik

3.4 EKSPANSI KOFAKTOR; ATURAN CRAMER

Pada bagian ini kita meninjau sebuah metode untuk mengitung determinan yang berguna untuk

perhitungan yang menggunakan tangan dan secara teoritis penting penggunaannya. Sebagai

konsekuensi dari kerja kita di sini, kita akan mendapatkan rumus untuk invers dari matriks yang dapat

dibalik dan juga akan mendapatkan rumus untuk pemecahan sistem-sistem persamaan linear tertentu

yang dinyatakan dalam determinan.


Teorema 6. Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka

det(AB) = det(A)det(B)

Teorema 7. Sebuah matriks A kuadrat dapat di balik jika dan hanya jika det(A)

0

Contoh :

Misalkan

A=[3 1 −42 5 61 4 8 ]

Minor entri a11 adalah

M 11|3 1 −42 5 61 4 8 |=|5 6

4 8|=16

Kofaktor a11 adalah

C11 = (-1)1 + 1 M11 = M11 = 16

Demikian juga, minor entri a32 adalah

M 32|3 1 −42 5 61 4 8 |=|3 −4

2 6 |=26

Kofaktor a32 adalah

C32 = (-1)3 + 2 M32 = M32 = – 26

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen aij hanya berbeda dalam tandanya, yakni, Cij = ± Mij.

Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakan kenyataan bahwa

penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke i dan kolom ke j dari

susunan

¿

Misalnya, C11 = M11, C21 = – M21, C12 = – M12, C22 = M22, dan seterusnya.

Tinjaulah matriks 3 x 3 umum


Definisi : Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. Bilangan (-1)i + jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.

A=[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]

det ( A )=¿ a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21a32 –a13a22a31 – a12 a21 a33 – a11 a23a32¿

dapat kita tuliskan kembali menjadi

det ( A )=¿ a11(a¿¿22 a33−a23a32)+a21(a13 a32−a12a33)+a31(a12 a23 – a13a22)¿¿

Karena pernyataan-pernyataan dalam kurung tidak lain adalah kofaktor-kofaktor C11, C21 dan C31,

maka kita peroleh

det ( A )=¿ a11 C11+a21C21+a31C31¿

Persamaan di atas memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri

pada kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kalinya. Metode

menghitung det(A) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.

Contoh :

Misalkan

A=[ 3 1 0−2 −4 35 4 −2]

Hitunglah det(A) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.

Pemecahan.

det ( A )=3|−4 34 −2|−(−2 )|1 0

4 −2|+5| 1 0−4 3|

¿3 (−4 )−(−2 ) (−2 )+5 (3 )=−1

det ( A )=¿ a11 C11+a12C12+a13C13¿

¿a11C11+a21C21+a31C31

¿a21C21+a22C22+a23C23


¿a12C12+a22 C22+a32 C31

¿a31C31+a32 C32+a33 C33

¿a13C13+a23C23+a33C33

Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri dan kofaktor berasal dari baris atau kolom

yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor det(A).

Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks 3 x 3 membentuk kasus khusus dari teorema

umum berikut, yang kita nyatakan tanpa memberikan buktinya.

Maka, ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j

det ( A )=¿ a1 j C1 j+a2 j C2 j+a3 j C3 j+…+anjCnj¿

dan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i

det ( A )=¿ ai 1C i1+ai 2C i 2+ai 3C i 3+…+a¿C¿¿

Jika matriks A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks

[C11 C12 ⋯C21 C22 ⋯⋮

Cn 1

⋮Cn 2

⋯

C1n

C2n

⋮Cnn

]Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan

adj(A).


Teorema 8.

Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n

Teorema 9.

Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka

A−1= 1det ( A )

adj(A )

B

A

u

BAB IV

VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3

4.1 VEKTOR (GEOMETRIK)

Vektor AB atau vektor u

A adalah titik awal (intial point)

B adalah titik terminal (terminal point)


Teorema 10 (Aturan Cramer)

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan takdiketahui sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yan unik. Pemecahan ini adalah

x1=det ( A1)det ( A)

, x2=det ( A2)det ( A)

,…,xn=det ( An)det (A )

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan mengganti entri-entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri dalam matriks

B=[b1

b2

⋮bn

]

D

C

B

A

uv

v

ww

v

u

-u

-w

v

w-w

v - w

Vektor Ekivalen

u ekivalen v

Apabila arah dan panjangnya sama.

Jadi u = v

Penjumlahan Vektor

v + w = w + v

Vektor Nol

0 + v = v + 0 = v

Vektor Negatif

v + (-v) = 0

Pengurangan Vektor

v – w = v + (-w)

Komponen vektor di Ruang-2

u = (u1, u2)

v = (v1, v2)


Ruang-2

Ruang-2

Komponen vektor di Ruang-3

u = (u1, u2, u3)

v = (v1, v2, v3)

Penjumlahan

u + v = (u1, u2) + (v1, v2)

= (u1 + v1, u2 + v2)

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) Ruang-3

Contoh:

Jika v = (1, -2) dan w = (7, 6) maka v + w = ?

Jawab:

v + w = (1, -2) + (7, 6)

= (1 + 7, -2 + 6)

= (8, 4)

Pengurangan

u – v = (u1, v1) – (u2, v2)

= (u1 – v1, u2 – v2)

u – v = (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3) Ruang-3

Contoh:

Jika u = (7, 6) dan v = (3, 2), maka u – v = ?


z

x

y

v

P (-2, 3, 4)

Teorema 1. Jika u, v, dan w adalah vector-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k serta l adalah scalar, maka hubungan berikut akan berlaku.u + v = v + u(u + v) + w = u +(v + w) u + 0 = 0 + u = uu + (-u) = 0

K(lu) = (kl)uK(u + v) = ku +kv (k+l)u = ku + lu1u = u

Jawab:

u – v = (7, 6) – (3, 2)

= (7 – 3, 6 – 2)

= (4, 4)

Gambar titik P (-2, 3, 4)

4.2 NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR


Z

x

P(V1, V2, V3)

y

0

R

Q

S

Panjang sebuah vector v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan ‖v‖. Jelaslah dari teorema

phytagoras bahwa norma vector v = (v1, v2) di ruang-2 adalah

‖v‖=√v12+v2

2

Misalkan v = (v1, v2, v3) adalah vector ruang-3. Dengan menggunakan gambar 3.16 dan dua penerapan

phytagoras, maka kita dapatkan

‖v‖=(¿ )2+( RP )2

=(OQ )2+(OS )2+( RP)2

=V 12+V 2

2+V 32

‖V‖=√V 1

2+V 22+V 3

2

Jika P1 (x1 , y1 , z1) dan

P2=(x2 , y 2 , z2) adalah dua titik di ruang-3, maka jarak d diantara kedua titik

tersebut adalah norma vector P1P2 , karena

p1 p2=( x2−x1 , y2− y1 , z2−z1)

Maka jelas bahwa

d=√( x2−x1)2+( y2− y1 )2+(z2−z1)2

4.3 HASIL KALI TITIK; PROYEKSI

Pada bagian ini kita perkenalkan semacam perkalian vektor di ruang-2 dan ruang-3. Sifat-sifat

ilmu hitung perkalian ini akan ditentukan dan beberapa penerapannya akan diberikan.


Gambar 3.16

u

v

θ

v

u θθ

u v

z

xx

y

u

v

P (u1, u2, u3)

Q (v1, v2, v3)θ

Misalnya u dan v adalah dua vektor taknol di ruang-2 dan ruang-3,dan anggaplah vektor-vektor

ini telah dilokasikan sehingga titik awalnya berimpit. Yang kita artikan dengan sudut di antara u

dan v, dengan sudut θ yang ditentukan oleh u dan v yang memenuhi 0 ≤ θ ≤ π

Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah dua vektor taknol. Jika, seperti pada gambar

dibawah, θ adalah sudut di antara u dan v, maka hukum cosinus menghasilkan

‖PQ‖2=‖u‖2+‖v‖2−2‖u‖‖v‖cosθ

Karena PQ = v – u, maka dapat kita tuliskan kembali sebagai

‖u‖‖v‖cosθ=12

(‖u‖2+‖v‖2−‖v−u‖2 )

atau

u • v=12

(‖u‖2+‖v‖2−‖v−u‖2 )

Dengan mensubstitusikan

‖u‖2=u12+u2

2+u32 ‖v‖2=v1

2+v22+v3

2

dan


Definisi : Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan θ adalah sudut di antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u • v didefinisikan oleh

u • v={‖u‖‖v‖cosθ0

jika u≠ 0 dan v≠ 0jika u=0 dan v=0

‖v−u‖2=(v1−u1)2+(v2−u2)

2+(v3−u3)2

Maka setelah menyederhanakannya akan kita dapatkan

u • v=u1 v1+u2 v2+u3 v3

Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah dua vektor di ruang-2, maka rumus yang bersesuaian adalah

u • v=u1 v1+u2 v2

Jika u dan v adalah vektor taknol, maka rumus di atas dapat kita tulis

cosθ= u • v‖u‖‖v‖

Teorema berikut ini memperlihatkan bagaimana hasil kali titik dapat digunakan untuk

mendapatkan informasi mengenai sudut diantara dua vektor; teorema ini juga menghasilkan hubungan

penting di antara norma dan hasil kali titik.

Vektor tegaklurus disebut juga vektor ortogonal. Pada teorema di atas, dua vektor taknol

adalah tegaklurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya adalah nol. Jika kita sepakat menganggap u

dan v agar tegaklurus maka salah satu atau kedua vektor ini haruslah 0, karenanya kita dapat

menyatakan tanpa kecuali bahwa baik vektor u maupun v akan ortogonal jika dan hanya jika u • v =

0.


Teorema 2

Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3.

a) v • v = ‖v‖2 ; yakni, ‖v‖ = (v • v )12

b) Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan θ adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka

θ lancipjika dan hanya jika u • v > 0θ tumpul jika dan hanya jika u • v < 0θ = π/2 jika dan hanya jika u • v = 0

Teorema 3

Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka

a) u • v = v • ub) u • (v + w) = u • v + u • wc) k(u • v) = (ku) • v = u • (kv)d) v • v > 0 jika v ≠ 0 dan v • v = 0 jika v = 0

w2

Q a

u

w1

w2

Q a

u

w1w1Q a

uw2

Jika u dan a ditempatkan sedemikian rupa maka titik awalnya akan menempati titik Q, kita

dapat menguraikan vektor u sebagai berikut.

Turunkanlah garis tegaklurus dari atas u ke garis yang melalui a, dan bentuklah vektor w1 dari

Q ke alas garis yang tegaklurus tersebut. Bentuk selanjutnya akan menjadi

w2 = u – w1

Sebagaimana ditunjukkan pada gambar di atas, vektor w1 sejajar dengan a, vektor w2 tegaklurus

dengan a, dan

w1 + w2 = w1 + (u – w1) = u

Vektor w1 tersebut kita namakan proyeksi ortogonal u pada a atau kadang-kadang kita

namakan komponen vektor u sepanjang a. Hal ini kita nyatakan dengan

proyau

Vektor w2 kita namakan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Karena w2 = u – w1

maka vektor ini dapat kita tulis sebagai

w2 = u – proyau

Bukti :


Teorema 4

Jika u dan a adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan jika a ≠ 0, maka

proyau=u• a

‖a‖2a (komponen vektor u sepanjang a)

u−proya u=u−u •a

‖a‖2a (komponen vektor u yang ortogonal terhadap a)

Misalkan w1 = proyau dan w2 = u – proyau. Karena w1 sejajar dengan a, maka kita harus

mengalikan skalar a, sehingga kita dapat menuliskan dalam bentuk w1 = ka. Jadi

u = w1 + w2 = ka + w2

Dengan mengambil hasil kali titik dari kedua sisi dengan a maupun dengan menggunakan

teorema 2 dan 3 akan menghasilkan

u •a=( k a+w2 )• a=k‖a‖2+w2• a

Namun w2• a=0 karena w2 tegaklurus kepada a, sehingga persamaan di atas menjadi

k=u •a

‖a‖2

Karena proyau = w1 = ka, kita dapatkan

proyau=u• a

‖a‖2a

Sebuah rumus untuk panjang komponen vektor u sepanjang a dapat kita peroleh dengan

menuliskan

‖proyau‖ = ‖u• a

‖a‖2 a‖= |u • a

‖a‖2|‖a‖ (karena u • a

‖a‖2 adalah sebuah skalar)

= |u• a|‖a‖2 ‖a‖ (karena ‖a‖2 > 0)

menghasilkan

‖proyau‖=|u • a|‖a‖

Jika θ menyatakan sudut antara u dan a, maka u •a=‖u‖‖a‖cosθ, sehingga dengan demikian

rumus di atas dapat juga kita tuliskan menjadi

‖proyau‖=‖u‖|cos θ|


Kemudian rumus untuk menghitung jarak antara titik dan garis adalah

D=|ax0+b y0+c|

√a2+b2

4.4 HASIL KALI SILANG

Definisi : jika u = (u1 , u2 , u3) dan v = (v¿¿1, v2 , v3)¿ adalah vector di ruang-3, maka hasil kai silang

u x v adalah vector yang didefinisikan oleh

u x v = (u2 v3−u3 v2, u3 v1−u1 v3 , u1 v2−u2 v1)

atau dalam notasi determinan

u x v = (|u2 u3

v2 v3|,−|u1 u3

u1 v3|,|u1 u2

v1 v2|)

Terdapat pola pada rumus di atas yang berguna untuk diingat. Jika di bentuk matriks 2 x 3.

[u1 u2 u3

v1 v2 v3]

Di mana entri baris pertama adalah komponen factor pertama u dan entri baris kedua adalah komponen factor v, maka determinan dalam komponen pertama u x v didapatkan dengan mencoret kolom pertama matriks tersebut, determinan dalam komponen kedua kita dapatkan dengan mencoret kolom kedua dari matriks tersebut, sedangkan determinan dalam komponen ketiga kita dapatkan dengan mencoret kolom ketiga dari matriks tersebut.

Contoh 1

Carilah u x v, di mana u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1)

Jawab

[1 2 −23 0 1 ]

u x v = (|2 −20 1 |,−|1 −2

3 1 |,|1 23 0|)

= (2, -7, 6)


Teorema 5. Jika u dan v adalah vector di ruang-3, maka :

a. u . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke u)b. v . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke v) c. ll u x v ll2 = ll u ll ll v ll2 – (u . v)2 (identitas lagrange)

Misalkan :

Tinjaulah vector-vektor : i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

Setiap vector v = (v1, v2, v3) di ruang ke-3 dapat di ungkapkan dengan i, j, dan k, karenanya kita dapat menuliskan

v = (v1, v2, v3) = v1(1, 0, 0) + v2(0, 1, 0) + v3(0, 0, 1) = v1i + v2j + v3k

dan dalam gambar berikut :

dan dari gambar ini di dapat :

i x j = (|0 01 0|,−|1 0

0 0|,|1 00 1|) = (0, 0, 1) = k

jika u dan v adalah vector-vektor taknol di ruang-3, maka norma u x v mempunyai tafsiran geometric yang berguna. Identitas Lagrange, yang diberikan dalam teorema 5, menyatakan bahwa :

ll u x v ll2 = ll u ll2 ll v ll2 – u . v

jika menyatakan sudut di antara u dan v, maka u . v = ll u ll ll v ll cos , sehingga dapat kita tuliskan kembali :

ll u x v ll2 = ll u ll2 ll v ll2 – ll u ll2 ll v ll2 cos2

= ll u ll2 ll v ll2 (1 – cos2 )

= ll u ll2 ll v ll2 sin

BAB V

RUANG – RUANG VECTOR


Teorema 6. Jika u, v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3 dan k adalah sebarang scalar, maka :

a. u x v = - (v x u)b. u x (v + w) = (u x v) + (u x w) c. (u + v) x w = (u x w) + v x w) d. k(u x v) = (ku) x v = u x (kv)e. u x 0 = 0 x uf. u x u = 0

k

j

i

(0, 0, 1)

(0, 1, 0)

(1, 0, 0)

x

y

z

5.1 RUANG-N EUCLIDIS

Definisi : jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-n-tupel)

adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1,a2,………,an). himpunan semua tupe-n-terorde dinamakan

ruang-n dan dinyatakan dengan Rn .

Bila n=2 atau 3, maka kita biasanya menggunakan istilah pasangan terorde dan tripel terorde

dan bukannya tupelo-2-terorde dan tupelo-3-terorde. Bila n=1, setiap tupel-n-terorde terdiri dari satu

bilangan riil, sehingga R1 dapat ditinjau sebagai himpunan bilangan riil. Kita biasanya menuliskan R

dan bukannya R1 untuk himpunan ini.

Definisi dua vector u = (u1,u2,…..,un) dan v = (v1,v2,….,vn)pada Rn dinamakan sama jika

U1 = v1, u2 = v2, …..,un = vn

Jumlah u + vdidefinisikan oleh

u + v = (u1 + v1, u2 + v2,….,un + vn)

dan jika k adalah sebarang scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (ku1, ku2,…..kun)

Teorema 1. Jika u = (u1,u2,…..,un) , v = (v1,v2,….,vn) dan w = (w1, w2,…..,wn) adalah vector-vektor

pada Rn dan k serta l adalah scalar, maka :

a) U + v = v + u

b) U + (v + w) = (u + v) + w

c) U + 0 = 0 + u = u

d) U + (-u) = 0, yakni u – u = 0

e) K (lu) = (kl) u

f) K(u + v) = ku + kv

g) (k + l)u = ku + lu

h) 1u = u

Definisi. Jika u = (u1,u2,…..,un) dan v = (v1,v2,….,vn) adalah sebarang vector pada Rn, maka

hasil kali dalam euclidis (Euclidean inner product) u . v kita definisikan dengan

u.v = u1 v1 + u 2v2 + ….. + un vn

Contoh

Hasil kali dalam euclidis dari vector-vektor itu adalah


u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0)

Sedangkan R4 adalah u.v = (-1)(5) + (3)(-4) + (7)(0) = 18

Teorema 2. Jika u, v, dan w adalah vector pada Rn dan k adalah sebarang scalar, maka :

a) u . v = v . u

b) (u + v) . w = u . w + v . w

c) (ku) . v = k(u + v

d) v . v ≥ 0. Selanjutnya, v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0

Contoh

Teorema 2 membolehkan kita melakukan perhitungan dengan hasil kali dalm euclidis yang

sangat merip dengan cara kita melakukan perhitungan hasil kali ilmu hitung biasa.

Misalnya,

(3u + 2v) . (4u + v) = (3u) . (4u + v) + (2v) . (4u + v)

= (3u) . (4u) + (3u) . v + (2v) . (4u) + (2v) . v

= 12(u . v) + 3(u . v) + 8(v . u) + 2(v . v)

= 12(u . u) + 11(u . v) 2(v . v)

Berdasarkan analogi dengan rumus-rumus yang sudah kita kenal baik R2maupun R3, kita definisikan

norma euclidis (atau panjang euclidis) vector u = (u1,u2,…..,un) pada Rn menurut

‖u‖=(u .u)1 /2=√u12+u2

2+… …..+un2

Demikian juga jarak euclidis diantara titik u = (u1,u2,…..,un) dan titik v = (v1,v2,….,vn) pada Rn

didefinisikan oleh

d (u , v )=‖u−v‖=√( u1−v1 )2+(u2−v2 )2+…+ (un−vn )2

Contoh 3

Jika u = (1, 3, -2, 7) dan v = (0, 7, 2, 2) maka,

‖u‖=√(1)2 +(3)2+(−2)2+(7 )2=√63=3√7

Dan d(u,v) = √(1−0)2+(3−7)2+(−2−2)2+(7−2)2=√58

Bagi vector pada notasi vertical, kita punyai rumus matriks


vtu = u . v

untuk hasil kali dalam euclidis. Misalnya jika

u=[−1357

]dan v=[ 5−470

]Maka,

u . v=v t u= [5 −4 7 0 ] [−1357

]=[ 18 ]=18

5.2 RUANG VEKTOR UMUM

Definisi. Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan, yakni

penambahan dan perkalian dengan scalar (bilangan riil). Penambahan tersebut kita pahami untuk

mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung

elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v; dengan perkalian scalar kita artikan aturan untuk

mengasosiasikannya baik untuk setiap scalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung

elemen ku, yang dinamakan perkalian scalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut

dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua scalar k dan l, maka kita namakan V

sebuah ruang vector (vector space) dan benda – benda pada V kita namakan vector :

1) jika u dan v adalah benda – benda pada V, maka u + v berada di V

2) u + v = v + u

3) u + (v + w) = (u + v) + w

4) ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V

5) untuk setiap u di V, ada sebuah benda – u di V yang kita namakan negative u sehingga u + (-

u ) = (-u)+u = 0

6) jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V

7) K(u + v) = ku + kv

8) (k + l)u = ku + lu

9) K (lu) = (kl) u

10) 1u = u


Teorema 3. Misalkan V adalah sebuah ruang vector, u sebuah vector pada V, dan k sebuah

skalar, maka:

a) 0u = 0

b) K0 = 0

c) (-1)u = -u

d) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

5.3 SUB-RUANG

Definisi : Subhimpunan W dari sebuah ruang vector V dinamakan subruang (subspace) V jika

W itu sendiri adalah ruang vector di bawah penambahan dan perkalian scalar yang didefinisikan pada

V.

Teorema 4

Jika w adalah himpunan dari satu atau lebih vector dari sebuah ruang vector V, maka w adalah

subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku.

a) Jika u dan v adalah vector-vektor pada , maka u + v terletak di w

b) Jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang vector pada w, maka ku berada di w.

Contoh

Perlihatkanlah bahwa himpunan W dari semua matriks 2x2 yang mempunyai bilangan nol pada

diagonal utamanya adalah subruang dari ruang vector M22 dari semua matriks 2x2 .

Pemecahan. Misalkan

A=[ 0 a12

a21 0 ]

Adalah sebarang dua matriks pada matriks pada W dan k adalah sebarang scalar. Maka

kA=[ 0 ka22

ka21 0 ]dan A+B=[ 0 a12b12

a21a21 0 ]Oleh karena kA dan A + B mempunyai bilangan nol diagonal utama, maka kA dan A + B terletak

pada W. jadi, W adalah subruang dari M22


Contoh

Tinjaulah vector-vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) di R3. Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah

kombinasi linear u dan v serta bahwa w’ = (4, -1, 8) bukanlah kombinasi linear u dan v.

Pemecahan. Supaya w merupakan kombinasi linear u dan v, harus ada scalar k 1 dan k2 hingga w = k1

u + k2 v ; yakni (4,-1, 8)=k1(1, 2, -1)+k2(6, 4, 2)

Atau (9, 2, 7)=(k1 + 6k2, 2k1 + 4k2, -k1 + 2k2)

Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian memberikan

k1 + 6k2 = 4

2k1 + 4k2 = -1

-k1 + 2k2 = 8

System persamaan – persamaan ini tidak konsisten. Sehingga tidak ada scalar-skalar seperti itu.

Sebagai konsekuensinya, maka w’ bukanlah kombinasi linear u dan v.

Definisi. Jika v1, v2,…,vr adalah vector – vector pada ruang vector V dan jika masing – masing

vector pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v1, v2,…,vr maka kita mengatakan bahwa

vetor – vector ini merentang V.

Contoh

Vector-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) merentang R3 karena setiap vector (a, b, c)

pada R3 dapat kita tuliskan sebagai

(a, b, c) = ai + bj + ck

Yang merupakan kombinasi linear I, j, dan k

Contoh

Tentukan apakah v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1), dan v3 = (2, 1, 3) merentang R3.

Pemecahan. Kita harus menentukan apakah sebarang vector b = (b1, b2, b3) pada R3 dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linear

b = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3

dari vector – vector v1, v2, v3. Dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen – komponen maka

akan memberikan


(b1, b2, b3) = k1 (1, 1, 2) + k2 (1, 0, 1) + k3 (2, 1, 3) atau

(b1, b2, b3) = (k1 + k2 + 2 k3, k1 + k3, 2k1 + k2 + 3k3

Dapat juga k1 + k2 + 2 k3 = b1

k1 + k3 = b2

2k1 + k2 + 3k3 = b3

Menurut bagian a dan bagian d dari teorema 15, maka system ini akan konsisten untuk semua nilai b 1,

b2, dan b3 jika dan hanya matriks koefisien – koefisien dapat dibalik.

A = [1 1 21 0 12 1 3]

Tetapi det (A) = 0, sehingga A tidak dapat dibalik, dan sebagai konsekuensinya, maka v1, v2, v3 tidak

merentang R3.

Teorema 5. Jika v1, v2,…,vr adalah vector-vektor pada ruang V, maka:

a) Himpunan W dari semua kombinasi linear v1, v2,…,vr adalah subruang V.

b) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2,…,vr dalam arti bahwa setiap

subruang lain dari V yang mengandung v1, v2,…,vr harus mengandung W.

5.4 KEBEBASAN LINIER

Definisi. Jika S = S= {v1 , v2 ,… , vr } adalah himpunan vector, maka persamaan vector

k1 v1 + k2 v2 + … + kr vr = 0

mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

K1 = 0, k2 = 0,….., kr = 0

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan himpunan bebas linier (linearly

independen). Jika ada pemecahan lain, maka S kita namakan himpunan tak-bebas linier (linier

dependent).

Contoh :


Himpunan vector-vektor S= {v1 , v2 , v3 }, dimana v1= (2, -1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, -1), dan v3 = (7, -1, 5,

8) adalah himpunan tak bebas linier, karena 3v1 + v2 – v3 = 0.

Contoh :

Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) pada R3. Ruas komponen persamaan

vector

K1 i + k2 j + k3 k = 0

K1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) = 0

Jadi , K1 = 0, k2 = 0 dan k3 = 0; sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas linier. Uraian serupa dapat

digunakan untuk memperlihatkan bahwa vector-vector e1 = (0, 0, 0, … , 1), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0),

… ,en = (0, 0, 0, …,0) membentuk himpunan bebas linier pada Rn.

Contoh interpretasi geometric dari ketakbebasan linier dalam R2


Teorema 6. Himpunan S dengan dua vector atau lebih adalah

(a) Takbebas linier jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vector S dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vector S lainnya.

(b) Bebas linier jika dan hanya jika tidk ada vector S yang dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linier dalam vector S lainnya.

Teorema 7.

(a) Jika sebuah himpunan mengandung vector nol, maka himpunan itu

takbebas linier

(b) Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vector takbebas linier jika

dan hanya jika salah satu dari vector itu adalah perkalian dari scalar lainnya

Gambar 4.6 (a) takbebas linier, (b) takbebas linier, (C) bebas linier

Teorema 8. Misalkan S= {v1 , v2 ,…,vr } adalah himpunan vector-vektor pada Rn jika r > n, maka S

takbebas linier.

BAB III


Z

y

x

Z

y

x

V1

V2

V1

V2

V1

V2

Z

y

x

(a) (b)

(C)

PENUTUP

Saran

Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu

sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika

itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.


DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard, Aljabar Linear Elementer, Jakarta: Erlangga, 1991.

Situs Internet:

www.google.com

www.wikipedia.com


makalah aljabar linear kelompok 6

Documents