GELOMBANG MEKANIK

Gelombang mekanik (mechanical waves) merupakan gelombang yang

berasal di dalam pergeseran dari suatu bagian medium elastis dari kedudukan normalnya

( kecuali gelombang cahaya dan gelombang elektromagnetik). Karena sifat-sifat elastis

dari medium, maka gangguan tersebut ditransmisikan dari satu lapis ke lapis berikutnya.

Gangguan ini (gelombang) akan bergerak maju melalui medium tersebut, tetapi medium

itu sendiri tidak bergerak secara keseluruhan bersama-sama gerak gelombang tersebut,

semua bagian medium hanya berisolasi di dalam jalan yang terbatas.

Gelombang mekanis dicirikan oleh pengangkutan tenaga (energi) melalui

materi (medium), oleh gerak suatu gangguan di dalam materi tersebut tanpa suatu gerak

menggumpal yang bersangkutan dari materi itu sendiri. Untuk mentransmisikan

gelombang mekanis maka diperlukan suatu medium bahan.

Kita dapat membedakan bermacam-macam gelombang mekanis dengan

meninjau bagaimana gerak partikel materi dihubungkan kepada arah penjalaran

gelombang itu sendiri. Jika gerak partikel materi yang mengangkut gelombang tersebut

adalah tegak lurus kepada arah penjalaran gelombangnya maka gelombang itu disebut

gelombang transversal (transverse wave), sedangkan apabila gerak partikel yamg

nengangkut sebuah gelombang mekanis adalah bolak-balik sepanjang arah penjalaran

maka gelombang itu disebut gelombang longitudinal (longitudinal waves).

Beberapa gelombang bukanlah gelombang transversal murni maupun

gelombang longitdinal murni. Misalnya di dalam gelombang pada permukaan air, partikel

air bergerak ke atas dan ke bawah serta ke belakang dan ke depan yang membuat jejak

jalan eliptis sewaktu gelombang air bergerak.

1. Gelombang dimensi satu, dua dan tiga.

Gelombang juga dapat diklasifikasikan sebagai gelombang berdimensi satu,

gelombang berdimensi dua dan gelombang berdimensi tiga. Pengklasifikasiannya sesuai

dengan banyaknya dimensi yang digunakan gelombang tersebut untuk menjalarkan

tenaga atau energinya.

Semua gejala gelombang yang dibahas sejauh ini merupakan peristiwa fisis

yang memenuhi persamaan gelombang bebas satu dimensi:

Namun kecuali dalam medium berdimensi satu seperti tali dan kawat, gelombang yang

terjadi dalam ruangan bebas pada umumnya memenuhi persamaanyang berbentuk lebih

umum.

Dalam medium yang berdimensi dua,misalnya selaput elastisyang direntang,

persamaan yang berlaku adalah:

= ( x1,x2),gelombang ini lazim disebut gelombang permukaan. Kecepatan rambatnya

dalam kasus gelombang selaput elastis ditentukan oleh rumus:

= gaya tegangan permukaan per satuan panjang sepanjang sisi selaput

= rapat massa medium per satuan luas permukaan

= pergeseran kedudukan transversal terhadap kedudukan setimbang

Perluasan untuk gelombang dalam ruang tiga dimensi,memenuhi persamaan:

Solusi persamaan ini dalam ketiga sistem koordinat tersebut masing – masing

berupa gelombang datar dengan bentuk ungkapan umum:

Gelombang datar ditimbulkan loeh sumber terkolimasi, dan menjalar sepanjang satu arah

tertentu dengan muka gelombang yang berupa bidang datar tegak lurus pada arah rambat.

Gelombang ini secara efektif dapat dipandang sebagai gelombang satu dimensibila

berpolarisasi linear.

Gelombang permukaan atau riak di atas air yang disebabkan oleh batu kecil

yang dijatuhkan ke dalam kolam yang tenang adalah gelombang berdimensi dua.

Gelombang bunyi dan cahaya yang muncul secara radial dari sebuah sumber kecil adalah

gelombang berdimensi tiga.

2. Fungsi Gelombang

Kedudukan

setimbang

X x+dx

Untuk menyusun persamaan gerak tali ditinjau gaya yang bekerja pada suatu

elemen tali dalam kedudukan umum ( tak seimbang), seperti yang diperlihatkan pada

gambar. Menurut gambar ini gaya – gaya yang bekerja pada elemen tersebut dapat

diungkapkan sebagai berikut:

2 2T

dxx

1T1 x

Dengan T1 dan T2 menyatakan gaya tegangan yang bekerja pada kedua ujung elemen

tali. Karena elemen tali ini tidak bergerak dalam arah x, maka ax = 0, dan menurut

hukum Newton,maka akan menghasilkan persamaan:

Dengan To = gaya tegangan tali pada kedudukan seimbang

Kemudian dengan uraian deret Taylor di sekitar x :

Ini berarti:

2

2

txf

Atau:

Persamaan ini lazim dituliskan dalam bentuk ”baku” untuk gelombang satu

3. Persamaan diferensial gelombang

A. Bentuk umum solusi gelombang berjalan

Secara umum fungsi tersebut dituliskan dengan notasi:

Untuk membuktikan pernyataan di atas,tuliskan:

Maka:

Dan:

Berdasarkan persamaan diatas jelas f (x ,t) memenuhi:

Begitu pula dapat dibuktikan bahwa f ( x + vt ) memenuhi persamaan

gelombang yang sama. Jadi, solusi lengkap persamaan gelombang berbentuk umum:

Fungsi f dan g pada umumnya berbeda bentuk. Bentuk khusus fungsi

tersebut ditentukan oleh pola osilasi lokal yang ditimbulkan oleh sumber ekstansi

gelombang.

B. Gelombang Harmonis

Bentuk solusi paling sederhana bagi persamaan gelombang adalah gelombang

harmonis:

atau

Dengan dan k sebagai konstanta gelombang yang memenuhi hubungan = kv.

Fungsi dapat dihayati dari segi temporal dan spatial secara terpisah. Untuk segi

temporal kita tinjau pada titik x tertentu (x = 0 misalnya)dalam medium yang

bersangkutan. Maka jelas melukiskan osilasi lokal dengan frekuensi

temporal v atau frekuensi sudut adalah perioda T:

= frekuensi sudut temporal

= perioda temporal

Dipihak lain, pada t tertentu (t = 0 misalnya), berbentuk fungsi harmonis/sinusoidal

dalam ruang : ,dengan:

k= frekuensi ruang (spatial) atau bilangan gelombang (wave number)

= perioda ruang (spatial) atau panjang gelombang

Hasil uraian diatas dapat diranngkum dengan hubungan:

Dan bentuk ungkapan gelombang:

Dalam contoh gelombang sederhana ini terlihat kesetangkupan bentuk dan hubungan

matematis antara segi temporaldan segi spatial fungsi gelombang. Namun perlu diingat

perbedaan arti fisis antara bentuk temporal yang melukiskan pola eksitasi gelombang dan

bentuk spatial yang berkaitan dengan bentuk perambatan gelombangdalam medium

bersangkutan.

4. Besaran-besaran gelombang

Tata nama (terminologi) dari besaran-besaran gelombang dapat dimengerti

dengan mudah dengan memperhatikan gelombang tali pada gambar di atas. Sebelum tali

diganggu (sebelum tali dilalui gelombang) tali berposisi OO’. Pada waktu tali dilalui

gelombang , energi dibawa dan berpindah dari kiri ke kanan, dan garis OO’ disebut garis

(atau arah) rambatan gelombang. Partikel tali, misalnya yang posisinya di titik A

bergetar, berarti bergerak naik turun dari titik A ke titik B, dan kembali ke titik A.

Waktu yang diperlukan partikel untuk bergerak dari titik A ke titik B dan

kembali lagi ke titik A disebut periode (T).

Jumlah getaran yang yang terjadi dalam setiap detik disebut frekuensi (f).

Frekuensi sebuah gelombang secara alami ditentukan oleh frekuensi sumber.

Hubungan T dengan f diberikan oleh f:1/T. Kalau T dinyatakan dalam detik,

maka satuan f adalah hertz (Hz), dimana 1 Hz = 1 getaran/detik = 1 putaran/detik.

Periode dan frekuensi gelombang tidaklah berbeda dengan dengan periode dan frekuensi

getaran.

Setiap saat tali dapat tampak seperti yang ditunjukkan gambar diatas. Titik-

titik serupa titik A disebut gunung gelombang (atau puncak gelombang). Titik-titik

seperti titik D disebut lembah gelombang. Dengan berlalunya waktu, titik puncak (atau

titik lembah) gelombang bergerak dalam arah rambat dengan kecepatan v yang disebut

kecepatan rambat gelombang.

Untuk mentransmisikan gelombang mekanis maka diperlukan suatu medium

bahan. Sifat-sifat medium yang menentukan laju sebuah gelombang melalui medium

tersebut adalah inersia dan elastisitasnya. Semua medium bahan termasuk air memiliki

sifat-sifat ini dan dapat mentransmisikan gelombang mekanis. Elastisitasnyalah yang

menimbulkan gaya-gaya pemulih pada setiap bagian medium yang dipindahkan dari

kedudukan kesetimbangannya. Inersianyalah yang menentukan bagaimana bagian yang

dipindahkan dari medium itu akan menanggapi gaya pemulih tersebut.

Panjang gelombang adalah jarak antara dua titik puncak bertetangga (atau

jarak antara setiap dua titik yang bersesuaian yang bertetangga). Dalam waktu T puncak

yang bergerak dengan kecepatan v itu akan menempuh jarak l. Dengan mengingat rumus

s = vt, dapat ditulis l=vT karena f = 1/T maka rumus ini juga dapat ditulis l = v/f

Amplitudo gelombang adalah nilai maksimum simpangan suatu gelombang.

Pada gambar diatas amplitudo adalah jarak AC, (bukan jarak AB).

Mari kita meninjau sebuah tali yang panjang yang diregangkan dalam arah x

sepanjang mana sebuah gelombang transversal sedang berjalan. Pada suatu saat,

katakanlah t = 0, bentuk tali dapat dinyatakan oleh

Y= f(x) t = 0

Dimana y adalah pergeseran transversal dari tali pada kedudukan x. pada suatu waktu t

kemudian gelombang tersebut telah berjalan sejarak vt ke kanan, dimana v adalah

besarnya kecepatan gelombang yang dianggap konstan. Maka persamaan kurva pada t

adalah y = f(x-vt) t = t persamaan ini memberi bentuk gelombang yang sama

di sekitar titik x = vt. Untuk sebuah fase khas dari gelombang tersebut didapatkan dengan

mudah. Untuk sebuah fase khas dari gelombang yang berjalan ke kanan kita

mengharuskan bahwa

x-vt = konstan

maka diferensiasi terhadap waktu akan memberikan

dx/dt-v = 0 atau dx/xt = v

sehingga v merupakan sebuah kecepatan fase (phase velocity) gelombang teersebut.

Untuk sebuah gelombang yang berjalan ke kiri kita dapatkan –v, dengan cara yang sama,

sebagai kecepatan fasenya.

Marilah sekarang kita tinjau sebuah bentuk gelombang yang khas, misalkan

bahwa pada waktu t = o kita mempunyai sebuah deret gelombang sepanjang tali yang

diberikan oleh

y= A sin (2p/l).x

dengan bertambahnya waktu misalkan gelombang tersebut berjalan ke kanan dengan

sebuah fase V, maka persamaan gelombang tersebut pada waktu t adalah

y= A sin (2p/l)(x-vt)

Perhatikan bahwa persamaan tersebut mempunyai bentuk yang diharuskan untuk sebuah

gelombang berjalan. Dari persamaan l= vT, apabila dimasukkan ke dalam persamaan

diatas maka akan menghasilkan

y = A sin 2p(x/l-t/T)

untuk mereduksi persamaan tersebutke bentuk lain maka kita mendefinisikan dua

kuantitas, yakni bilangan gelombang (wave number) k dan frekuensi sudut (angular

frequency) w. Kuantitas-kuantitas tersebut diberikan oleh:

k = 2p/l dan w = 2p/T

dengan menggunakan kuantitas-kuantitas ini, maka persamaan sebuah gelombang sinus

yang berjalan ke kanan (arah x positif) adalah:

y = A sin (kx-wt)

untuk sebuah gelombang sinus yang berjalan ke kiri (arah x negatif), kita memperoleh

y = A sin (kx+wt)

dengan membandingkan kedua persamaan sebelumnya, kita melihat bahwa kecepatan

fase v dari gelombang tersebut adalah

v = l/T = w/k

5. Perambatan energi dan impedansi gelombang

A. Arus Energi

V

Q Q’

x (x,t) X

T

Untuk perumusan yang kongkret kembali kita tinjau gelombang sinusoida

yang merambat ke kanan pada tali akibat suatu gaya sinusoida yang bekerja pada ujung

kiri tali. Selanjutnya kita ambil suatu titik sembarang Q seperti dilukiskan dalam gambar

diatas. Bagi medium di sebelah kanan Q, masukan energi yang diterima berupa kerja

yang dilakukan oleh gaya tegangan tali di sebelah kirinya. Mengingat bahwa gerak titik Q

hanya berlangsung dalam arah vertikal, maka secara efektif gaya penggerak yang

bersangkutan diungkapkan oleh:

F = -T sin

= -(T cos ) tan

= -T tan

= -T (/x) (2.15)

Selanjutnya daya sesaat yang diberikan kepada tali sebelah kanan adalah:

P = F/t (2.16)

Substitusi persamaan sebelumnya untuk F dalam persamaan diatas menghasilkan

ungkapan arus energi:

P = -(T./x). /t (2.17)

Gelombang (x-vt) yang menerima daya dari sebelah kiri dan menjalarkannya ke arah

kanan akan memenuhi persamaan:

/x = -1/v /t (2.18)

dengan ini besarnya arus energi yang berangkutan diberikan oleh rumus:

P = T/v(/t)2 = T0v(/x)2 (2.19)

Rumus-rumus ini berlaku pula untuk gelombang (x+vt) yang arah rambatnya

berlawanan, sedangkan rumus 2.16 dan 2.19 akan memperoleh tanda berlawanan untuk

kasus ini. Dengan demikian, rumus 2.18 akan menghasilkan harga P negatif untuk

gelombang (x,t) sedangkan rumus 2.20 tetap memberikan harga (magnitude) yang

sama.

B. Kasus Khusus Gelombang Sinusoidal

Andaikan gelombang tali yang ditinjau memenuhi persamaan

(x,t)= 0 cos (kx-wt)

maka persamaan 2.19 akan memberikan ungkapan arus energi:

P= T0 vk2 02 sin2 (kx-wt) (2.20)

Maka selanjutnya kita akan mendapatkan hubungan

To = v2 = (w2/k2)

Dengan ini persamaan sebelumnya menjadi:

P = v[w0sin (kx-wt)]2 = vu2 (x,t)

Dengan u(x,t) = w0 0 sin (kx-wt) = kecepatan osilasi di titik x. Persamaan ini

menggambarkan perambatan energi ke kanan dengan kecepatan v. Harganya pada titik

tertentu berisolasi dengan waktu sedangkan hasil pengukuran besarnya arus energi

melalui bidang penampang tertentu lebih tepat diungkapkan sebagai harga rata-rata P

menurut rumus:

(P) = T0v(/x)2

= vw202 [sin2 (wt-kx)]

dengan defenisi harga rata-rata:

[sin2 (wt-kx)] = 1/T 0òT sin2(wt-kx) dt = ½

maka ungkapan (P) diatas menjadi

(P) = ½ vw202 = v (e)

ungkapan dalam tanda kurung di atas menyatakan harga rata-rata rapat energi kinetik

maksimumper satuan panjang tali dengan

vmaks = w0 = kecepatan osilasi maksimum

untuk osilator harmonis , rapat energi totalnya persatuan panjang sama dengan jumlah

rapat energi potensial dan energi kinetik atau salah satu harga maksimumnya:

e = ek + ep = ½ w202 [sin2 (kx-wt)] + ½ w20

2 [cos2 (kx-wt)]

= ½ w202

dan harga ini merupakan suatu konstanta, (e) = e. Maka secara eksplisit , (P) dapat

dituliskan dalam bentuk arus energi :

(P)= (e) v = ev

C. Impedansi gelombang

Sebagai tanggapan (respons) terhadap gangguan luar F, tali akan memperoleh

kecepatan gerak osilasi lokal. Untuk media resistif, respns ini bersifat linear. Oleh karena

itu, besarnya respons terhadap F tertentu bergantung pada konstanta karakteristik

medium, Z, menurut rumus:

/t=1/Z.F (2.21)

Untuk gelombang yang merambat ke kanan,

(/t)=1/Z(-T0./t); Z=T0(/x)//t (2.22a)

Hubungan ini mengingatkan kita kepada analogi dengan listrik. Dalam rangkaian

listrik, beda potensial V sebagai penggerak muatan listrik akan menimbulkan arus I pada

kawat dengan impedansi menurut rumus Ohm:

I=V/Z (2.22b)

Berdasarkan analogi yang erat ini, Z disebut impedansi gelombang. Harga Z

ditentukan oleh karakteristik gelombang dan medium yang bersangkutan. Jelas bahwa

untuk gaya gangguan tertentu, kecepatan osilasi yang ditimbulkan oleh gelombang

tersebut berbanding terbalik dengan Z. Khusus untuk gelombang tali (x-vt) Persamaan

2.22a memberikan hubungan:

Z=T0/V (2.23)

Dan dengan ini persamaan diatas menjadi:

P=Z(/t)2=1/Z(T0./x)2 (2.24)

Dapat ditunjukkan bahwa rumus 2.23 dan 2.24 berlaku pula untuk gelombang (x+vt).

Perhatikan bahwa rumus 2.24 memiliki bentuk serupa dengan rumus disipasi energi

ohmik dalam rangkaian listrik.

Selanjutnya dari persamaan 2.22b dan 2.23 dapat diperoleh ungkapan Z yang lain

untuk gelombang tali:

Z=ÖT0. (2.25)

Bentuk ini menarik untuk dibandingkan dengan persamaan 2.22b:

V= ÖT0/ (2.26)

akhirnya untuk melengkapi ketentuan impedansi berbagai jenis media dapat dibedakan:

medium resistif F= Z(/t); Z=R (2.27)

medium reaktif F=Z; Z=C-1 (2.28)

= Z(2/t2); Z=L-1 (2.29)

6. PEMANTULAN DAN TRANSMISI GELOMBANG

PERUMUSAN SOAL SYARAT BATAS

Menijau peristiwa yang terjadi pada perbatasan antara dua media gelombang yang

berbeda sifat, misalnya dua tali yang berbeda kerapatannya, mempunyai batas batas

dalam persamaan diferensial berupa syarat syarat kontinuitas

= kontiniutas slope gelombang sesaat

Membatasi diri pada gelombang harmonis, solusi untuk masing masing medium

berbentuk umum :

Penerapan syarat batas 1 menghasilkan persamaan

Atau

Dengan definisi

Koefisien pantul / refleksi

Koefisien transmisi

Penerapan syarat batas 2 memberikan hasil yang sama

Penerapan syarat batas 3 menghasilkan persamaan

Diperoleh

21

12

kk

kt

Pemantulan dapat menimbulkan pembalikan fase gelombang. Dengan mengambil contoh

gelombang tali yang memenuhi hubungan

Dapat dituangkan dalam bentuk

Tugas 2

1. Diketahui fungsi gelombang

(x,t)=0,02 sin { (0,5x – 10t)}m

x ,tentukan

a. Panjang gelombang dan vektor gelombang

b. Frekwensi dan frekwensi sudut

c. Perode

d. Kecepatan fase

Jawab :

(x,t) = A sin (kx-wt) =0,02sin { }

A=0,02m

K=

K= panjang gelombang

W= frekwensi

periode

w= frekwensi sudut

v= koefisien

arah perambatan pada sumbu x pada amplitudo 0,02m

2. sutu osilator mekanik dengan fungsi (t)=0,01 sin (20t)dihubungkan dengan

seutas tali, sehingga pada tali terjadi gelombang trasversal. Tegangan tali 10N,

rapat masa 20g/m tentukan:

a. cepat rambat gelombang pada tali

b. frekwensi. C. Panjang gelombang

c. Daya rata-rata yang diberikan oleh osilator

Jawab :

a.

b.

c.

d.daya rata-rata dari isolator

<p> =

=0,04 cos2 (20t)

<P> =

= 0,02

v =

=0,02

3. panjang gelombang : (x,t) = 0

merambat pada tali dengan dengan a satuan konstanta tentukan : a. Energi kinetik b.Energi potensial

c. MomentumJawab :

a. Ek =

= -2

a. p =mgh =mg

b. p=mv=

p=

4.Fungsi gelombang : tentukan : a. rapat energi rata-rata

b. Daya rata-rata c. hubungan jawaban a dengan b

bandingkan dengan pada listrikJawab :

a. Rapat energi rata-rata

=

b. daya rata-rata

p=

c. Hubungan a dengan bPada listrik rapat arus rapat arus j identik dengan rapat energi gelombang.

4. Pulsa denga amplitude 1cm, merambat pada dua tali yang disambung dengan intensitas masing-masing 50 gr/m dan 20gr/m kedua tali mempunyai tegangan yang sama (T) tentukan :

a. amplitudo pulsa pantulb. amplitudo pulsa transisic. reflektansi dan transmitasi pulsa pada tali tersebut

Jawab :a.

r =

m amplitudo gelombang pantul

b. Amplitudo gelombang transisi

t =

t = t . Ad = 0.01

r =

2

2

At = 0.01

Reflektansi R = r2 =

Transmitansi

DAFTAR PUSTAKA

Bueche, Frederick. 1994. Teori dan Soal-Soal Fisika. Jakarta : Erlangga.

Resnick, Halliday. 1988. Fisika Jilid 1. Jakarta : Erlangga.

Tjia, M.O. 1994. Gelombang. Bandung : Dabara Publisher.