lks invers fungsi
TRANSCRIPT
B. INVERS FUNGSI
Ingat kembali sifat fungsi komposisi
[f o I](x) = [I o f](x) = f(x)
Jika f(x) adalah fungsi bijektif, maka f–1
(x)
dinamakan fungsi invers dari f(x)
[f–1
o f ](x) = [f o 1 f–1
](x) = I, untuk setiap x
anggota Df
Artinya, invers suatu fungsi f(x) adalah proses
membalik fungsi tersebut, sehingga daerah
asalnya menjadi daerah hasil dan daerah hasilnya
menjadi daerah asal
Contoh:
1) Tentukanlah invers dari fungsi f(x) = 3x – 5
Selesaian
Misal y = 3x – 5
y + 5 = 3x
x =
Jadi f–1
(x) =
2) Tentukanlah invers dari fungsi f(x) =
Misal y =
y (x – 1) = 2x – 3
yx – y = 2x – 3
yx – 2x = –3 + y
x(y – 2) = y – 3
x =
Jadi f–1
(x) =
3) Tentukanlah invers dari fungsi
f(x) = x2 – 6x + 5
Misal y = x2 – 6x + 5
y – 5 = x2 – 6x
agar ruas kanan mjd kuadrat sempurna
tambahkan
pada kedua ruas
y – 5 + 9 = x2 – 6x + 9
y + 4 = (x – 3)2
(x – 3)2 = y + 4
(x – 3) =
x = 3
Jadi f–1
(x) = 3
Soal
Tentukanlah invers dari fungsi
1) g(x) = x + 2) g(x) =
3) f(x) = x2 + 10x + 8
4) f(x) =
5) Jika f(x) = x2 – 7x + 12, tentukan f
–1(2)
6) Jika f(x) =
dan f
–1(a) = 2, tentukan nilai a
7) Menentukan rumus umum invers fungsi
pecahan liniear: f(x) =
8) Menentukan rumus umum invers fungsi
kuadrat: f(x) = ax2 + bx + c
C. HUBUNGAN KOMPOSISI FUNGSI DAN
INVERS FUNGSI
Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi bijektif, maka
berlaku:
(1) Jika (f o g)(x) = h(x) maka f(x) = (h o g–1
)(x)
(2) Jika (f o g)(x) = h(x) maka g(x) = (f –1
o h)(x)
(3) [f –1(x)]
–1 = f(x)
Bukti sifat (1) (f o g)(x) = h(x)
(f o g o g–1
)(x) = (h o g–1
) (x)
(f o I)(x) = (h o g–1
) (x)
f (x) = (h o g–1
) (x)
Dengan cara yang sama, buktikan sifat ke- (2)
Contoh:
1) Diket fungsi f(x) = 2x – 5 dan h(x) = 6x + 3.
Jika (f o g)(x) = h(x), maka tentukan g(x)
Selesaian
Misal y = 2x – 5 y + 5 = 2x
x =
f –1
(x) =
Jika (f o g)(x) = h(x)
maka g(x) = (f –1
o h)(x)
= f –1
(6x + 3)
=
=
= 3x + 8
Selanjutnya dari sifat komposisi di atas dapat
dihasilkan sifat baru yakni :
Jika (f o g)(x) = h(x)
(f –1
o f o g)(x) = f –1
(x) o h(x)
(I o g)(x) = f –1
(x) o h(x)
g(x) = f –1
(x) o h(x)
(g –1
o g)(x) = g –1
(x) o f –1
(x) o h(x)
I = g –1
(x) o f –1
(x) o h(x)
(I o h–1
)(x) = g–1
(x) o f –1
(x) o h(x) o h –1
(x)
h –1
(x) = g–1
(x) o f –1
(x) o I
h –1
(x) = g–1
(x) o f –1
(x)
Jadi (f o g)–1
(x) = g –1
(x) o f –1
(x)
Berlaku juga (g o f)–1
(x) = f –1
(x) o g –1
(x)
Contoh:
Diketahui g(x) = 3x + 2 dan f(x) = 2x – 5.
Tentukanlah (a) (f o g)-1
(x)
(b) g-1
(x) o f -1
(x)
Selesaian:
(a) (f o g)(x) = f [g(x)]
= f [3x +2]
= 2(3x +2) – 5
= 6x + 4 – 5
= 6x – 1
Misal y = 6x – 1
y + 1 = 6x
x =
Jadi (f o g)-1
(x) =
(b) g(x) = 3x + 2
Misal y = 3x + 2 3x = y – 2
x =
g-1
(x) =
f(x) = 2x – 5
Misal y = 2x – 5 2x = y + 5
x =
f -1
(x) =
g-1
(x) o f -1
(x) = (g-1
o f -1
)(x)
= g-1
[f -1
(x)]
=
=
=
=
Soal
1) Diketahui fungsi g(x) = 2x + 1 dan fungsi
h(x) = 4x2 – 2x + 3. Jika (f o g)(x) = h(x) maka
tentukan fungsi f(x)
2) Diketahui f(x) =
dan g(x) = 2x – 1.
Tentukanlah :
(a) (g o f)-1
(x) (b) f -1
(x) o g -1
(x)