LATIHAN SOAL-SOAL

TURUNAN DAN APLIKASINYA

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

tinapradja.math@gmail.com

1860)14()2(24)14(218)2('' Jadi

)1(24)1(18)(''

)1(24)1(12)1(6

6)1(4)1(122)1(3)(''

)1(4')1(

12'6 Misal

)1(6)1()1(6)1(1)('

)1(62)1(3')1(

1' Misal

Jawab

2pada )1()( dari kedua turunan Cari

32

2322

232222

222222

222

2

222322232

222232

32

f

xxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxxf

xxqxq

xpxp

xxxxxxxxf

xxxxvxv

uxu

xxxxf

SOAL 1

Jika f(x)=x3+3x245x6. Cari nilai f pada setiap

titik nol dari f yakni pada setiap titik C

dimana f (C) = 0

SOAL 2

f (x) =x3+3x245x 6 maka

f (x)=3x2+6x 45

3x2+6x45=0 x2+2x15=0

(x+5)(x3)=0 x=-5 x=3

f (x) = 6x + 6

f (-5)= -24 dan f (3) = 24

Jawab:

Andaikan g(t)=at2+bt+c dengan g(1)=5, g(1)=3

dan g(1)=- 4. Cari nilai-nilai a, b, dan c.

SOAL 3

g(1)=a+b+c=5(1)

g(t)=2at+b maka g(1)=2a+b = 3,,,,,..(2)

g(t)=2a maka g(1)=2a = -4 a= -2...(3)

Dari pers.(2) 2a+b=3 -4 + b = 3 b = 7

Dari pers.(1) a+b+c =5 -2+7+c=5 c = 0

Jadi a = -2 , b = 7, c = 0

Jawab:

det312401240)(

6saat 1212)6(4)6(

1saat 812)1(4)1(

1248122

dtcm

dtcm

2

ttttV

tV

tV

tdt

dsVttS

Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat

sehingga posisinya memenuhi S=2t2-12t+8, dengan

S diukur dalam cm dan t dalam detik. Tentukan

kecepatan benda bilamana t=1 dan t=6, kapan

kecepatannya 0, dan kapan positif ?

SOAL 4

31240124saat positipkecepatan ttt

16)4(24)4(15)4(2)4(

11)1(24)1(15)1(2)1(

4atau 1

0)4)(1(

045

0243060

241521252

1

23

23

2

2

23234

V

V

tt

tt

tt

ttadt

dva

tttdt

dsVtttS

Andaikan S=t45t3+12t2. Cari kecepatan dari

benda yang bergerak bila percepatannya nol.

SOAL 5

Jawab:

84)2(6)2('(2,2) titik di

46)('

olehdiberikan terhadap)( darisesaat perubahan Laju

143)(2

2

2

223

m

xdx

ydxm

xxm

xxdx

dyxmxxxy

Misalkan m(x) kemiringan garis singgung kurva

y=x32x2+x dititik (x,y). Cari laju perubahan dari

m(x) terhadap x dititik (2,2)

SOAL 6

Jawab:

2326 yxyxyx dx

dyCari dari persamaan

yxy

y

yxyyx

yyx

yyxyxyyx

yxyyyxyx

yxyxyxyxyxyx

y

x

x

y

dx

dy

dx

dy

dx

dy

dx

dy

dx

dy

23

6

23

6

6)23(

236

)2(626

2

2

2

3

2

2

2

22

3

22

3

2

22

2

2

23

2

2

2

2

2323

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

SOAL 7

Jawab:

32

3 )2(

3 dari Cari

xx

ydx

dy

3 53

2

3 53

2

3

5

3

2

3

5

32

23

5

3

3

2

3

3

2

3

)2(

46

)2(

46

)2(

46

)2)(23(2

)23()2)(3

2(3

)2(3

)2(

3

xx

x

xx

x

xx

x

xxx

xxxdx

dy

xx

xx

y

SOAL 8

Jawab:

dx

dyCari dengan diferensiasi implisit xyxy 103

yxx

yxy

dx

dy

yx

y

x

yx

xy

yx

xy

yx

dx

dy

yxdx

dyxy

dx

dy

dx

dyxyyx

xyyxxyxyxyxy

6

20

6

2

2

20

32

12

110

32

12

110

2

1103

2

1

1032

1

2

1

103103)(103

21

21

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

SOAL 9

Jawab:

SOAL 10

Cari turunan berikut

3

4

242

3

3

2

2

233

32

233

332332

33

33

33

33

)13((2

33)13(

2

1)13(

13

1 .4

99

)(3

3)( .3

4cos124sin33sin123cos8)(

4sin33cos4)( .2

)(

6

)(

)(3)(3

.1

2

3

21

tttD

tD

xxxx

dx

xdf

x

xxf

xxxxxxxdx

xdf

xxxxxf

by

by

by

byybyy

by

by

dy

d

by

by

dy

d

tt

Cari turunan berikut dengan diferensiasi

implisit

SOAL 11

3223

3232

32323223

23322332

3333

1592

3615

36151592

15159326

532

yxxyx

yyxyx

dx

dy

yyxyxyxxyxdx

dy

yxyxxyyxyx

yxxyyx

dx

dy

dx

dy

dx

dy

3333 532 yxxyyx

Jawab

SOAL 12

Diberikan fungsi xy=1. Cari turunan ketiga

dari fungsi tersebut di titik (1,1)

4

4)3(

3)2(21

66

2'1

xxy

xyxyxyxy

Jawab

SOAL 13

Tentukan persamaan garis singgung pada

kurva di titik (2,4)22 xxy

23

)2(34

:)4,2(dititik singgung garispersamaan

3)4,2(dititik

12'

xy

xy

m

xym

Jawab

SOAL 14

Sebuah kotak terbuka dibuat dengan memotong

kempat pojok selembar papan ukuran 24 cm kali 32

cm berupa bujursangkar dengan sisi x cm, dan

kemudian melipat sisi-sisi itu ke atas. Nyatakan

volume V(x) dalam bentuk x! Cari ukuran kotak

yang volumenya maksimum. Berapa volumenya?

x

24

x

x

24-2x

32-2x

x

24-2x

32-2x

33 134282

3

13428

3

13428

3

13428

2maks

3

13428

23

13428

1

3

13428

6

13856

6

83256

6

23045656

2,1

2

2

32

4112768V

saat tercapaiV

0356192

012224768)('V

0)('V optimumsyarat

4112768

)232)(224()(V

2

maks

x

xx

x

xx

xxx

x

xxx

xxxx

SOAL 15

Cari turunan berikut

1

1)1(1)1()('

1

1)( .4

)1(2

1 ]1[

2

1]1[

1

1 .3

3cos123sin44sin124cos6)(

3sin44cos3)( .2

)(

4

)(

)(2)(2

.1

21

21

2

3

21

21

21

3

2

2

222

2

222

2222

22

22

22

22

s

sssssH

s

ssH

xxxD

xD

tttttttdt

tdf

tttttf

as

sa

as

assass

as

as

ds

d

as

as

ds

d

xx

Cari turunan berikut dengan diferensiasi

implisit

SOAL 16

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)1(32

1)32(1

1)32(1)1(32

1)1(1)32(32

132

21

23

23

21

21

23

yxx

yxy

dx

dy

yxyyxx

yxyxyx

xyxxy

dx

dy

dx

dy

dx

dy

xyxxy 132Jawab

SOAL 17

Diketahui cari2 yx2

2

dx

yd

xxx

dx

ydy

xy

xxxyxy

xyyx

dx

dy

1''

12'

44)2(2

22

2

3

21

21

21

21

21

2

2

2

Jawab

SOAL 18

Tentukan persamaan garis singgung

pada kurva yang sejajar

dengan garis

43 2 xy

43 yx

Jawab

143)2(38

-3mdengan (2,8) melalui singgung garis pers.

8 maka 2 jika

236'43

sama gradiennya makasejajar garisnya Karena

34343

2

xyxy

yx

xxyxy

mxyyx

SOAL 19

2),(

V

a

bV

RTTVgP

Persamaan tetapan Van der Waals dari

gas adalah

2

2

;;V

P

T

P

V

P

0dan 02

2

V

P

V

P

1. Cari

2. Cari titik kritis untuk Volume (V),

Temperatur (T) dan tekanan (P)

melalui

)(

6

)(

2

82

)(

)(2

2

)(

),(

43

8

44

42

2

32

2

bV

R

T

P

V

a

bV

RT

V

aVaV

bV

bVRT

V

P

V

a

bV

RT

V

P

V

a

bV

RTTVgP

bVbVVbVV

bVVVV

a

bVV

a

V

a

bVV

a

V

a

bV

TTV

bVa

V

a

bV

RT

V

P

TV

bVaR

V

bVaRT

V

a

bV

RT

V

P

3332)(32

)(646

)(

4

06

)(

40

6

)(

)(22

06

)(

2

)(2

)(20

2

)(

34

43

4343

3

2

432

2

3

2

3

2

32

222

2

278

2

3

2

3

2

27927

4

)3(3

27

8

)3(

)3(2)(2

b

a

b

a

b

a

b

a

bb

R

V

a

bV

RTP

Rb

a

bR

bbaT

RV

bVaT

Rba

SOAL 20

Jawab

Garis Normal pada suatu kurva di suatu

titik yang diketahui adalah garis yang tegak

lurus pada garis singgung di titik itu. Carilah

persamaan garis normal pada kurva

di titik (1,2)322 xxy

Dua garis dikatakan saling tegak lurus jika

perkalian masing-masing gradiennya sama

dengan -1

normal garis1

singgung garis2

maka normal garis definisidengan sesuai

2)1(02

0 dengan (1,2) melalui garis

0)2,1(dititik

22'322

x

y

yxy

m

m

xmyxxy