LATIHAN III

1. Gunakan definisi 2.1

Karena a | b, maka b = xa untuk suatu x Î Z

Karena a | c, maka c = ya untuk suatu y Î Z

b = xa dan c = ya, maka b + c = xa + ya = (x + y)a

Jadi: a | b + c

2. a. 79=9.8+7b. 203=15.13+7c. −110=(−16 ) .7+2d. −156=(−20 ) .8+4

3. Jika p ,q|z dan p>0, maka ada bilangan-bilangan r , s|Z masing-masing tunggal sehingga q=rp+s dengan 0≤ s<pUntuk membuktikan ketunggalan r dan s digunakan bukti tidak langsung.Misalkan r dan s masing-masing tidak tunggal, yaitu ada r1 ,r2 , s1 , s3|Zsedemikian hingga:

q=r1 p+s1, 0∈ s1 ,< pq=r2 p+s2, 0∈ s2 ,< p dengan r1 ≠ r2 dan s, s1 ≠ s2

Misalkan s1 > s2, maka dari :

r1 p+s1=r2 p+s2

diperoleh:

s1−s2=p ( r2−s1 )

berarti p|s1−s2

Karena 0∈ s1 ,< p dan0∈ s2 ,< p, maka −p<s1−s2< p , sehingga:

Jika 0<s1−s2<p , maka p|s1−s2 . tidak mungkin 0<s1−s2<p Jika– p<s1−s2<0 maka 0<s1−s2<p, sehingga p|s1−s2

Jadi : p|s1−s2 . Tidak mungkin – p<s1−s2<0 Jika s1−s2=0 , maka p|s1−s2

Dari 1, 2, dan 3 dapat ditentukan bahwa tidak mungkin0<s1−s2<p, dan tidak mungkin – p<s1−s2<0

Jika, s1−s2=0berarti s1=s2 dan s1−s2=p ( r2−r1 ), maka p (r2−r 1)=0

Karena p>0 dan p (r2−r 1)=0, maka r2−r1=0 atau r1=r2

4. t=a5a4a3a2a1a0=a5 .105+a4 .104+a3.103+a2 .102+a1 .10+a0

t dapat dinyatakan sebagai:

t=a0+a1 .10+a2 .102+a3 .103+a4 .4+a5 .105

¿a0+a1 (7+3 )+a2 (98+2 )+a3 (1001−1 )+a4 (10003−3 )+a5 (100002−2 )

t=(a0+3a1+2a2 )−(a3+3a4+2a5 )+7 (a1+14 a2+143a3+1429a4+14286a5 )

Karena 7|t dan 7|7 (a1+14 a2+143a3+1429a4+14286a5 ), maka sesuai teorema 2.9 , t|(a0+3a1+2a2)−(a3+3 a4+2a5 )

5. Nyatakan n3 – n = n (n2 – 1) = n(n + 1)(n – 1)

Selidiki apakah 3 | n3 – n jika n diganti dengan n = 3k, n = 3k + 1, dan n = 3k+2

6. 475   = 7.67 + 6                       475    = 5.95 + 0

67     = 7.9 + 4                         95      = 5.19 + 0

9       = 7.1 + 2                         19      = 5.3 + 4

1       = 7.0 + 1                         3        = 5.0 + 3

(475)10 = 1246)7                       (475)10 = (3400)5/