SEMESTER II

1

Selasa, 30 Oktober 2012FAKULTAS EKONOMIPROGRAM STUDI MANAJEMENUNIVERSITAS ISLAM LABUHANBATU

PERKULIAHAN-3

Matematika ekonomiHitung Diferensial

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUSSetelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat :

1. Limit

2. Diferensial

3. Kaidah-kaidah diferensial

2

Deskripsi Singkat• Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang limit

dan pengertian diferensial yang menyangkut fungsi yang mengandung hanya satu variabel bebas dalam persamaannya.

• Bagian akhir perkuliahan akan membahas tentang kaidah-kaidah diferensial

3

Bahan BacaanBuku Wajib• Dumariy, 2003, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi,

Penerbit BPFE, Yogyakarta.• Habieb dan aziz, 2008, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Penerbit

Ghalia Indonesia, Jakarta.

Buku Pelengkap• D. Sriyono, 2008, Matematika Ekonomi dan Keuangan, Penerbit

Andi, Yogyakarta.• Suprian Atmaja Saputra, 2002, Matematika Ekonomi 1, PT. Ghalia

Indonesia, Jakarta.

4

tugas

1. Selesaikan soal-soal limit berikut :

a.

b.

c.

2. Soal turunan fungsi :

d. Diketahui fungsi f(x) = 2x2 + 4• Tentukan arah dari garis singgung di titik x = 1,5• Tetapkan garis singgung tersebut• Gambarkan grafiknya

b. Hitunglah turunan pertama fungsi-fungsi berikut :• •

3. Hitunglah dy/dx dan d2y/d2x jika diketahui :• x2 – xy + y = 2• x3 – 3xy + y2 = 1

5

limit• L.artinya, jika x bertambah secara terus menerus mendekati a, maka

nilai fungsi (x) akan bertambah pula hingga mendekati L.

Contoh :

1.

2.

Ini merupakan bentuk-bentuk limit tak tentu. Untuk itu pembilang harus diuraikan terlebih dahulu.

3.

Oleh karena itu, harga limit fungsi tersebut tidak ada

4.

(y dianggap konstanta)

6

Limit pada harga yang tak terbatas (Infinite)• Tanda ∞ menunjukan tidak terbatas x -> ∞; artinya x mendekati nilai yang

tak terbatas.

Perhatikan :• ∞ bukan suatu bilangan dan ∞ - ∞ atau ∞/ ∞ tidak mempunyai arti,

hasilnya tidak tepat nol atau satu.

Contoh :

1.

2.

3.

7

Fungsi Kontinou• Suatu fungsi f(x) disebut kontinou pada x = a, jika :

1. f(a), artinya fungsi mempunyai harga untuk x = a,

2. Limit f(x) ada (terhingga),x --> a

3. Limit f(x) = f(a)x --> a

• Tegasnya, f(x) disebut kontinou di x = a, jika limit f(x) = f(a) ada. Jika f(x) kontinou pada setiap titik dari suatu interval, maka f(x) dikatakan kontinou pada interval itu. Jika satu atau lebih dari syarat-syarat kontinouitas diatas tidak dipenuhi, maka f(x) dikatakan diskontinou di x = a.

Contoh :• Tunjukan bahwa f(x) = 1/(x-2) diskontinou di x = 2

Jawaban :

1. f(2) = 1/(2-2) = 1/0 =∞

2.

8

Fungsi Hiperbolik• Suatu fungsi nonlinier yang variabel bebasnya merupakan penyebut.

Grafik dari fungsi ini berbentuk hiperbola.

Melukis Grafik Fungsi Hiperbolik

1. Titik potong dengan sumbu y, syaratnya x = 0 --> y = b/d maka pada titik potong P(0,b/d)

2.

3. Asimtut datar, syaratnya x = ∞, maka :

dengan demikian, asimtut datar berupa garis lurus y = a/c.

4. Asimtut tegak, syaratnya y = ∞, maka :

9

Contoh :

Jawaban :

1. Titik potong dengan sumbu y pada x= 0 -> y = 3 di P(0,3)

2. Titik potong dengan sumbu x pada y = 0 -> x = -3/2 -> Q(-3/2, 0)

3. Asimtut datar, syaratnya x = ∞, maka

4. Asimtut tegak, bila y =

syaratnya penyebut = 0 --> x + 1 = 0 --> x = -1

Maka persamaan garis asimtut tegak adalah x = -1

10

Sumbu y

Sumbu x

y = 2 Asimtut datar

Asi

mtu

t teg

ak P(0,3)

321

x =

-1

1,5 -1

0

+ ∞

- ∞

+ ∞

- ∞

Pengertian diferensial• Perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas

fungsi yang bersangkutan. Sebagaimana diketahui analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan perubahan, penentuan tingkat maksimum dan minimum.

Kuosien Diferensi dan Derivatif• Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar ∆ x (delta x), maka

bentuk persamaannya dituliskan :y = f(x)

y + ∆ y = f(x + ∆ x)

∆ y = f(x + ∆ x) – y

∆ y = f(x + ∆ x) – y

• Dimana ∆ x adalah tambahan x, dan ∆ y adalah tambahan y berkenaan dengan adanya tambahan x. Jadi ∆ y timbul karena adanya ∆ x. apabila ruas kiri dan kanan persamaan akhir diatas sama-sama dibagi ∆ x, maka diperoleh :

11

• Bentuk ∆ y/∆ x ini disebut dengan hasilbagi perbedaan (difference quation), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel x.

Contoh : Tentukan kuosien diferensi dari y = f(x) = 3x2 - xy = 3x2 - x

y + ∆ y = 3 (x + ∆ x)2 - (x + ∆ x)

y + ∆ y = 3 {x2 + 2x (∆ x) + (∆ x)2} – x – ∆ x

y + ∆ y = 3 x2 + 6 x (∆ x) + 3 (∆ x)2 – x - ∆ x

∆ y = 3 x2 + 6 x (∆ x) + 3 (∆ x)2 – x - ∆ x – y

∆ y = 3 x2 + 6 x (∆ x) + 3 (∆ x)2 – x - ∆ x – 3 x2 + x

∆ y = 6 x (∆ x) + 3 (∆ x)2 – ∆ x

∆ y = 6 x (∆ x) + 3 (∆ x)2 - ∆ x = 6 x + 3 ∆ x - 1

∆ x ∆ x

• Proses penurunan sebuah fungsi, disebut proses diferensiasi, pada dasarnya merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal pertambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol. Hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi tersebut dinamakan turunan (derivatif).

12

Contoh :• Dari persamaan y = 3 x2 – x, diperoleh kuosien diferensi ∆y/∆x = 6x + ∆x – 1

Jadi, turunan (derivatif) dari fungsi y = 3x2 – x adalah

• Cara menuliskan turunan dari sesuatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa macam notasi (lambang). Jika fungsi aslinya y = f(x), maka turunannya dapat dituliskan dengan notasi-notasi :

• Semua cara penulisan diatas sama arti dan maksudnya, yaitu melambangkan turunan dari y = f(x) terhadap x. dalam hal ∆ x sangat kecil,

• Dengan kata lain, turunan dari fungsi yang bersangkutan adalah kuosien diferensi sendiri. Sedangkan kuosien diferensi ∆y/ ∆x tak lain adalah lereng (slope) dari garis atau kurva y = f(x)

• Dari berbagai macam notasi turunan fungsi yang ditunjukan diatas, yang paling lazim digunakan bentuk dy/dx (“deye deeks”)

13

Kaidah-kaidah diferensial• Membentuk turunan sebuah fungsi dilakukan dengan cara menemukan question

diferensialnya, kemudian menentukan limit kuosien diferensi untuk pertambahan variabel bebas mendekati nol.

Langkah-Langkah :

1. Andaikan fungsi aslinya y = f(x)

2. Masukan tambahan x dan y untuk memperoleh : y + ∆ y = f(x + ∆x)

3. Memanipulasikan untuk memperoleh : ∆y = f(x + ∆x) – f(x)

4. Bagi kedua ruas dengan ∆ x sehingga diperoleh quation diferensialnya :

5. Tentukan limit untuk ∆x -> 0, sehingga diperoleh turunan fungsi :

Prosedur diatas jelas membosankan dan cenderung membuahkan hasil yang tak seharusnya, terutama untuk fungsi-fungsi tidak sederhana. Berikut ini disajikan sejumlah kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi tertentu. 14

Rumus Turunan Pertama

a. Pangkat,

Contoh :

y = x3 dy/dx = 3x2

b. Konstanta,

Contoh :

c. Penjumlahan (pengurangan),

Jika U = U(x)

V = V(x) y = U + V

Contoh :

d. Perkalian,

Contoh :

15

e. Pembagian,

Contoh :

Fungsi Komposit

Contoh :

Fungsi Invers

Contoh :

16

Fungsi Logaritma

a. Turunan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 10

Contoh :

b. Turunan fungsi logaritma dengan bilangan pokok e

Contoh :

c. Turunan fungsi logaritma dengan bilangan pokok sembarang

17

Fungsi Eksponen

a. Turunan fungsi eksponen dengan bilangan pokok e

y = ex y’ = ex

y = ef(x) y’ = f’(x). ef(x)

Contoh :

b. Turunan fungsi logaritma dengan bilangan pokok sembarang

y = ax y’ = ax 1n a

y = af(x) y’ = f’(x) af(x) 1n a

Contoh :

Fungsi Implisit• Jika hubungan fungsional ini berbentuk implisit f(x, y) = 0, untuk mencari

derivatifnya dapat dilakukan dengan dua cara: 1). Bentuk fungsi diubah, dahulu menjadi fungsi eksplisit (jika mungkin) baru dipecahkan dan 2). Tetap dalam bentuk implisit dengan pemecahan melalui diferensial implisit.

Contoh :

a. x2y – 10 = 0 (x2)(dy/dx) + (2x)(y) = 0

dy/dx = -2y/x 18

b. x3 + x2y2 + y - 6 = 0

3x2 + (2x)y2 + (x2)(2y dy/dx) + dy/dx + 0 = 0

dy/dx(2x2)y + 1) = (-3x2 – 2xy2)

dy = (-3x2 – 2xy2) dx 2x2y + 1

c. 2x2 + 3xy + y2 = 16

4x – 3(1)y – 3x(dy/dx) + dy/dx = 0

dy = 4x – 3y dx 3x – 2y

Turunan Tingkat Tinggi

1. y = f(x) y’ = f’(x) = df(x)/dx turunan ke-1

2. y” = f’’(x) = d2f(x)/dx2 turunan ke-2

3. y”’ = f’’’(x) = d3f(x)/dx3 turunan ke-3

4. yn = dny/dxn = dnf(x)/dxn turunan ke-n

Contoh :

y = x2 y’ = 3x2 y’’ = 6x

y’’’ = 6 y’’’’ = 0

19

Koefisien arah Garis Singgung (slope) suatu kurva• Koefisien arah garis singgung suatu kurva di suatu titik adalah semua dengan

turunan pertama fungsi itu di titik tersebut. Jika y = f(x) suatu lengkungan, maka koefisien arah garis singgung pada y = f(x) dititik x = x1 adalah :

Dengan persamaan garis singgungnya

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan y = x3 dititik P(2, 8)

Jawaban :

y = x3 y’ = 3x2 m = f’(2) = 3(2)2 = 12

Maka persamaan garis singgungnya :

y – 8 = 12(x – 2)

y = 12x - 16

20

y – y1 = m(x – x1)

Menentukan Nilai Ekstrim dengan Turunan Pertama dan Kedua

y = f(x)

Syarat ekstrim : f’(x) = 0 x = a, maka :

a. Jika f’’(a) < 0 f(a) adalah suatu nilai maksimum dari f(x)

b. Jika f’’(a) > 0 f(a) adalah suatu nilai minimum dari f(x)

c. Jika f’’(a) = 0, maka titik pada x =a dan f(a) menjadi titik belok

Contoh : Hitung harga ekstrim dari : y = 2x3 + 3x2 – 72x

Jawaban :

Syarat ekstrim : y’ = 0 6x2 + 6x – 72 = 0,

diperoleh harga x1 = -4 dan x2 = 3

y’’ = 12x + 6

Untuk x1 = -4 y’’ = 12(-4) + 6 = -42 < 0 terdapat maksimum

Harga maksimumnya : ymax = 2(-4)3 + 3(-4)2 – 72(-4) = 208,

titik maksimumnya di (-4, 208)

Untuk x2 = 3 y’’ = 12(3) + 6 = -42 < 0 terdapat minimum

Harga minimumnya : ymin = 2(3)3 + 3(3)2 – 72(3) = -135,

titik minimumnya di (3, -135)

21

Titik Belok• Titik belok adalah suatu titik dimana suatu fungsi berubah bentuknya dari terbuka

keatas menjadi terbuka kebawah. Suatu titik belok suatu fungsi pada x = a bisa terjadi : f’’(a) = 0

• Contoh : Carilah titik belok : y = -x3 + 3x2 – 2x – 2

Jawaban :

Syarat ekstrim : y’ = 0 6x2 + 6x – 72 = 0,

a. y’ = -x3 + 3x2 – 2x – 2 y’’ = -6x + 6x

b. Syarat titik belok y’’ = 0 -6x + 6 = 0; x = 1

y = -(1)3 + 3(1)2 + 2(1) – 2 = 2, jadi titik beloknya di (1, 2)

c. Mencari titik ekstrim :

Syaratnya : y’ = 0 -3x2 + 6x + 2 = 0,

x1 = 2,291 dan x2 = -0,291

ternyata pada x1 = 2,291 y’’ < 0 ada nilai max

ternyata pada x2 = -0,291 y’’ > 0 ada nilai min.

22

Gambar Grafik

0 Sb X

Sb Y

Titik Belok

0 Sb X

Sb Y

Minimum

0 Sb X

Sb Y

y = x3

Maksimum

24

Terima kasih, Semoga Bermanfaat