konstrukcija na grafici

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 1

Voved

Elementarnite postapki za utvrduvawe na nekoi svojstva na funkciite, na

primer, monotonost , ili postoewe na ekstremi seu{te ne ni ovozmoùvaat da go

utvrdime tekot na dadena funkcija vo nejzinata oblast na opredelenost. Precizno

ispituvawe na tekot na diferencijabilnite funkcii se vr{i so pomo{ na prviot i

vtoriot izvod. So nivna pomo{ }e go ispituvame povedenieto na dadena funkcija, ne

samo vo nekoja to~ka od oblasta na opredelenost tuku i vo celata oblast na

opredelenost. Ovde pred sé, }e se zadrìme na ispituvawe na monotonost na

funkcijata i opredeluvawe na ekstreminite vrednosti.Prethodno }e gi dademe

osnovnite pravila za opredeluvawe na monotonost na funkcija i ekstremni vrednosti

na funkcija , potoa }e razgledame pove}e primeri, vo koi {to }e treba da go

konstruirame grafikot na dadenata funkcija preku op{ta {ema.

1. Rastewe i opa|awe na funkcija

Ovde }e najde vrska me|u prviot izvod i svojstvoto na rastewe i opa|awe na

dadena funkcija f(x), {to e opredelena vo nekoj interval (a,b). Teorema 1: Ako funkcijata f(x) na intervalot (a,b) e diferencijabilna i monotono

raste~ka (monotono opadnuva~ka) toga{:

f’(x) 1)0 (f’(x) 0) x (a,b)

Dokaz: Neka funkcijata f(x) e monotono raste~ka funkcija na intervalot (a,b) i

neka se x, x+h (a,b).(Crt.1)

O x x+h x

y

f(x)f(x+h)-f(x)

Crt.1

Toga{: f(x+h)-f(x)>0 koga h>0 i f(x+h)-f(x)<0 koga h<0. Spored toa, sekoga{:

0

h

)x(f)hx(f od kade {to sleduva: 0

0

)x('f

h

)x(f)hx(flimh

{to

treba{e da se dokaè.

Analogno se dokaùva ako funkcijata e monotono opa|a~ka.

Teorema 2 : (Obratna teorema) Neka funkcijata f(x) e diferencijabilna na

intervalot (a,b) . Toga{ funkcijata e monotono raste ako f’(x)> 0 , a monotono opa|a ako

f’(x)<0 .

Primer 1: Da se oredelat intervalite na monotonost na funkcijata f(x)=x2, x R.

Re{enie: a) Od ravenstvoto f'(x) >0 za h>0, t.e funkcijata monotono raste na

intervalot 0 b) Od ravenstvoto f'(x) <0 za h<0, t.e funkcijata monotono opa|a na intervalot 0 v) f'(x) =0 za h=0. Vo ovaa to~ka velime deka funkcijata stagnira. Taaa to~ka se vika

stacionarna to~ka (Crt. 2).

1) Znakot za ravenstvo moè da vaì samo za nekoi to~ki od intervalot (a,b)


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 2

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

2

4

Crt.2

Voop{to, to~kite od apcisnata oska vo koi {to f'(x) =0 se vikaat stacionarni

to~ki na funkcijata f(x).

Primer 2: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=sinx vo inervalot [0, )

Re{enie: Bidej}i f'(x)=cosx , imame ;

a) f'(x) >0 t.e cosx>0, za

20

,x b) f'(x) <0 t.e cosx<0, za

,x

2v) f'(x) =0 t.e cosx=0,

za

2

x .

Zaklu~uvame deka funkcijata sinx monotono raste na intervalot

20

, , monotono

opa|a na intervalot

,

2 , a stagnira vo to~kata

2

x . (Crt. 3).

x

y

-1

1

Crt.3

Primer 3: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=tgx vo inervalot

22

, .

Re{enie: Bidej}i

xcos

1(x)f'

2 f'(x) za

22

,x zaklu~uvame deka funkcijata

f(x)=tgx monotono raste na intervalot

22

, (Crt. 4).

x

y

-5

5

Crt.4

Primer 4: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=2x .


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 3

Re{enie: Bidej}i 0ln22(x)f' x za sekoj Rx zaklu~uvame deka funkcijata

f(x)=2x monotono raste na intervalot , (Crt. 5).

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

2

4

6

8

Crt.5

Primer 5: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=x3 .

Re{enie: Bidej}i 03(x)f' 2 x za sekoj {0}\Rx zaklu~uvame deka funkcijata

f(x)=x3 monotono raste na intervalot , (Crt. 6).

x

y

-5 0 5

-25

25

Crt.6

Koristej}i go geometriskoto tolkuvawe na prviot izvod, mo`eme da go dodademe

slednovo geometrisko tolkuvawe na pogore izlo`enite teoremi:

a) Ako f(x) monotono raste na intervalot (a,b) (f’(x) 0, ),( bax , toga{ tangentata

vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a ostar

agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.7a).

b) Ako f(x) monotono opa|a na intervalot (a,b) (f’(x) 0, ),( bax , toga{ tangentata

vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a tap

agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.7b).

O x

y

Crt.7

a)

O x

y b)


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 4

2. Ekstremni vrednosti na funkcija

Ovde }e gi primenime prviot i vtoriot izvod na daena funkcija za opredeluvawe

na nejzinite ekstremni vrednosti: maksimum i minimum. Od porano znaeme deka deka

funkcijata f(x) vo intervalot (a,b) ima maksimum (minimum) za ),(0 bax , ako postoi

broj takov {to za sekoj ),( 00 xxx i 0xx vaì neravenstvoto

))()((),()( 00 xfxfxfxf (Crt.8). Isto taka, znaeme deka to~kata so apcisa 0x vo koja

{to funkcijata ima maksimum (Crt.8/a) go odeluva intervalot na rastewe od

intervalot na opa|awe. Ako pak, funkcijata ima minimum vo to~kata so apcisa 0x

(Crt.8/b) toga{ taa go odeluva intervalot na opa|awe od intervalot na rastewe.

O x

ya)

0x0x 0x

O x

y

Crt.8

b)

0x0x 0x

Od prethodno kaànoto sleduva deka: Prviot izvod na funkcijata f(x) go menuva

znakot od pozitiven vo negativen koga funkcijata ima maksimum i od negativen vo

pozitiven koga funkcijata ima minimum, a samo vo to~kata so apcisa 0x toj e dnakov na

0 t.e. f’(x)=0.

Geometriski zna~i deka tangentata na krivata vo to~kata so apcisa 0x e paralena

so apcisnata oska .

Od prethodno kaànoto doa|ame do slednovo svojstvo:

Ako funkcijata f(x) ima ekstrem za to~kata Dxx 0 , toga{ f’(x)=0.

No, obratnoto tvrdewe nevaì, t.e funkcijata moè da ima prv izvod vo dadena

to~ka ednakov na 0, no vo taa to~ka funkcijata da nema ekstrem. Na primer, funkcijata

f(x)=x3 vo to~kata 0x =0 ima prv izvod ednakov na 0, t.e f’(0)=0, a sepak , za 0x =0, nema

ekstrem t.e. taa monotono raste za celata oblast na opredelenost.

Od prethodniov primer moè da se zaklu~i deka f’(x0)=0 e samo potreben uslov, no,

ne i dovolen uslov da dadena funkcija vo 0x ima ekstrem. .

Dovolnite uslovi za toa dali dadena funkcija f(x) ima ekstrem , vo dadena to~ka

0x za koja f’(x0)=0 i dali toj ekstrem e maksimum i minimum proizleguvaat od

definiciite za ekstremi i glasat:

a) Ako f ’(x)>0 za x < 0x i f ’(x)<0 za x > 0x , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata

0x raste, a desno od to~kata 0x opa|a, toga{ f(x0) e najgolema vrednost na f(x) vo

intervalot ),( 00 xx i po definicija pretstavuva maksimum na funkcijata.

b) Ako f ’(x)<0 za x < 0x i f ’(x)>0 za x > 0x , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata

0x opa|a, a desno od to~kata 0x raste, toga{ f(x0) e najmala vrednost na f(x) vo

intervalot ),( 00 xx i po definicija pretstavuva minimum na funkcijata.

v) Ako f ’(x)<0(f ’(x)>0 ) za sekoj ),( 00 xxx , t.e. f ’(x) ne go menuva

znakot za vrednostite na argumentot od okolinata na to~kata 0x , toga{ funkcijata

nema ekstremna vrednost vo to~kata x0 .

Zaklu~ok: Ako pri premin, od levo na desno na argumentot h niz to~kata x0, vo

koja f’(x)=0,


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 5

prviot izvod go menuva znakot od pozitiven vo negativen, toga{

funkcijata f(x) vo to~kata 0x ima maksimum.

prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven , toga{ funkcijata

f(x) vo to~kata 0x ima minimum.

prviot izvod ne go menuva znakot funkcijata f(x) nema ekstremni vrednosti.

Primer 6: Funkcijata f(x)=1+x2 ima prv izvod f’(x)=2x, koj {to e ednakov na nula vo

to~kata x0=0, t.e.f’(0)=0. Bidej}I f’(x)<0 za x<0 i f’(x)>0 za x>0 sleduva deka funkcijata

ima minimum vo to~kata x0=0 koj {to ednakov na 1, t.e. f(0)=1.(Crt.9)

Zabele{ka 1: Funkcijata f(x) vo to~kata Dx mo`e da ima ekstrem iako vo taa

to~ka prviot izvod ne postoi, a samo go menuva znakot .

Primer 7: Funkcijata

0x,x

0x,xx)x(f ima prv izvod

0x,1

0x,1)x('f koj {to go

menuva znakot od negativen vo pozitiven vo x0=0, pa spored toa vo to~kata ima

minimum, iako f’(0) ne postoi.(Crt.10)

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

Crt.10

Primer 8: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata

1x3x23

x)x(f 2

3

Re{enie: Prviot izvod na funkcijata e: 3x4x)x('f 2 . So re{avawe na

ravenkata 03x4x2 gi nao|ame to~kite h1=1 i h2=3. Spored toa )3x)(1x()x('f .

Go ispituvame znakot na f’(x) vo sekoja od to~kite h1=1 i h2=3 {to pretstavuvaat

stacionarni to~ki na funkcijata.

Imame: f’(x)>0 za x<1 i f’(x)>0 za x>1, a toa zna~i deka funkcijata za h=1 ima

maksimum {to e ednakov na

3

7)x(f . f’(x)<0 za 1<x<3 i za x>3, pa spored toa funkcijata

ima minim vo to~kata h=3 {to e ednakov na f(3)=1.(crt.11)


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 6

Crt.11

Utvrduvaweto na znakot na prviot izvod na funkcijata f(x) vo oklinata na

stacionarnata to~ka ne e sekoga{ lesno, a toa zna~i deka, ne e lesno i samoto

opredeluvawe na ekstremnite vrednosti so pomo{ na prviot izvod. Ponekoga{ toa se

olesnuva ako funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka.

Neka pretpostavime deka funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka x0

i vo nejzinata okolina ima prv i vtor izvod i pritoa neka f’(x)=0. Kako {to se utvduva,

vrz osnova na znakot na prviot izvod vo oklinata na to~kata x0. dali funkcijata raste

ili opa|a , taka vrz osnova na znakot na vtoriot izvod (f’’(x)) , mo`e da se utvrdi dali

funkcijata f’(x) raste ili opa|a vo oklinata na to~kata x0.

O~igledno, ako funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima maksimum, toga{ nejziniot prv

izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 opa|a preminuvaj}i od pozitivni vrednosti preku

nulata na negativni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0

prviot izvod (f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e negativen, t.e. f’’(x)<0.

Ako, pak, funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima minimum, toga{ neziniot prv izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 raste preminuvaj}i od negativni vrednosti preku nulata na

pozitivni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0 prviot izvod

(f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e pozitivenen, t.e. f’’(x)>0.

Vo praktikata, za utvrduvawe dali funkcijata f(x) ima ekstrem vo to~kata x0 i od

koj vid e toj ekstrem, se koristi slednovo pravilo:

Ako f’(x)=0 i f’’(x)<0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima maksimum, ako pak

f’(x)=0 i f’’(x>,0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima minimum.

Zabele{ka 2: Ova pravilo ne mo`e da se primeni ako vo to~kata x0 i vtoriot

izvod na funkcijata f(x) e nula, t.e. f’’(x0)=0. Toga{ utvduvaweto dali funkcijat f(x) vo

to~kata x0 ima ekstrem i od koj vid e toj ekstrem, se vr{i so utvduvawe na znakot na

prviot izvod na funkcijata.

Funkcijata f(x)=x4 ima prv izvod f’(x)=4x3, {to ednakov na nula vo to~kata x0=0. No vo taa

to~ka i vtoriot izvod f’’(x)=12x2 e ednakov na nula , pa zatoa gornoto pravilo ne dava

mo`nost da se utvrdi ekstrem vo to~kata x0=0 i od koj vid e toj ekstrem. So utvrduvawe

na znakot na prviot izvod vo taa to~ka (go menuva znakot od negativen vo poziteven)

zaklu~uvame deka funkcijata vo x0=0 ima minimum. (Crt.12)


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 7

x

y

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

0

1

2

3

4

5

Crt.12

Prakti~no, opredeluvaweto na ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x) se

sveduva na slednovo pravilo:

1. Se opredeluva prviot izvod f’(x).

2. Prviot izvod se izramnuva na nula i se re{ava ravenkata f’(x)=0, t.e. se

opredeluvaat stacionarnite to~ki.

3. Se opredeluva vtoriot izvod f’’(x) i se ispituva negoviot znak vo sekoja

stacionarna to~ka, posebno.

Primer 9: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata:

f(x)=2x3-9x2+12x. Re{enie:

1o: f’(x)=6x2-18x+12

2o f(‘x)=0 sleduva 6x2-18x+12=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1=1 i x2=2 3o f’’(x)=12x-18

Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(1)=-6<0 od

kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1=1 ednakov na f(1) =5,

f”(2)=6>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x2=2 ednakov na f(2)

=4.(Crt.13)

Crt.13

Primer 11: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x)=sinx ,

x[0,].

Re{enie:

1o: f’(x)=cosx

2o f(‘x)=0 sleduva cosx=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1=2

i x2=

2

3

3o f’’(x)=-sinx


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 8

Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(

2

)=-

sin2

=-1<0 od kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1=

2

ednakov na

f(2

) =1, f”(

2

3)=sin

2

3=-1>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata

x2=2

3 ednakov na f(

2

3) =-1.(Crt.14)

Crt.14

3. Asimtoti

Pri konstrukcijata na grafikot na funkcijata f(x) treba da se odredat i

asimtotite (ako funkcijata ima ) koi davaat mo`nost za poprecizno konstruirawe na

grafikot. Za taa cel }e definirame koja prava e asiptota (vertikalna, horizontalna i

kosa ), a vo ispituvaweto na tekot na funkcijata (vo dolunavedinite primeri) }e

poka`eme i kako tie se nao|aat.

1. Pravata x=a e vertikalna asimtota na funkcijata y=f(x) ako

)(lim xfax

2. Pravata x=b e horizontalna asimtota na funkcijata y=f(x) ako bxfx

)(lim

3.Pravata y=kx+n e kosa asimtota na funkcijata y=f(x) ako

x

xfk

x

)(lim

, ))((lim kxxfn

x

4. Op{ta {ema za ispituvawe na funkcii

Kako {to vidovme prethodno, prviot i vtoriot izvod na funkcijata, ni davaa

mo`nost za ispituvawe na monotonosta i ekstremnite vrednosti na funkcijata.

Koristej}i gi elementarnite postapki za ispituvawe na drugite svojstva na funkcijata

(parnost, periodi~nost i dr) i odreduvaweto na asimptotite na grafikot dobivame

celosna slika za tekot na funkcijata i mo`eme nego grafi~ki da go pretstavime.

Ispituvaweto na tekot na funkcijata }e go vr{ime po slednava op{ta {ema za

ispituvawe na funkcijata:

1) Se opredeluva oblasta na opredelenost;

2) Se nao|aat prese~nite to~ki na grafikot so koordinatnite oski;


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 9

3) Se ispituva parnosta ili neparnosta na funkcijata, ako taa e

opredelena na simetri~na oblast;

4) Se ispituva periodi~nosta na funkcijata, ako ima smisla za toad a se

zboruva za dadena funkcija;

5) Se nao|aat to~kite na prekin, ako postojat i se ispituva povedenieto na

funkcijata vo blizina na tie to~ki;

6) Se nao|aat asimtotite na grafikot na funkcijata (ako ima);

7) Se presmetuva prviot izvod na funkcijata i se opredeluvaat

stacionarnite to~ki;

8) Se ispituva znakot na prviot izvod i se opredeluvaat intervalite na

monotonost;

9) Se nao|aat ekstremnite vrednosti i se odreduva nivnata priroda.

Sega }e go ispitame tekot na pove}e funkcii, so redosled iskaàn vo op{tata

{ema i }e go konstruirame grafikot na dadenata funkcija.

Primer 12 : Da se ispita grafikot na funkcijata 34)( 2 xxxf i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast

na oredelenost e mnoèatvoto R. Taa nema to~ki na prekin. Prese~nite to~ki so

koordinatnite oski se A(0,3)(so y-oskata) i B(1,0) i C(3,0) ( presek so x-oskata koi se

dobivaat so re{avawe na ravenkata x2

4x 3 =0) .

Prviot f'(x)= 2 x 4 koj e ednakov na nula za x=2. o~igledno f'(x)<0 za x<0 i f'(x)>0 za

x>2, {to zna~i prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven i zatoa ima

minimum za x=2 f(2)=-1. Za sekoj ]2,(x funkcija monotono opa|a , a za sekoj

),2[ x . Koga )(xfx . (Crt. 15)

Crt.15


nejziniot grafik.


na oredelenost e mnoèatvoto R. Taa nema to~ki na prekin i nema asimtoti.

Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,1). Prviot f'(x)= f'(x)= 3 x2

3 ,a od f'(x)=

3 x 1( ) x 1( ) =0 sleduva deka stacionarnite to~ki se x1=-1 i x2=1 . Vtoriot izvod na

funkcijata e f''(x)= x6 . f(1)=1>0 sleduva deka funkcijata ima minimum ednalov na -1 , a f’’(-1) =-6<0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima maksimum ednakov na 3. Za sekoj

)1,1(x funkcija monotono opa|a , a za sekoj ),1()1,( x funkcijata raste. Koga

)(xfx ,a koga )(xfx . (Crt. 16)


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 10

Crt.16


nejziniot grafik.



Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,-2), a so h-oskata prese~nata to~ka e V(1,0). Prviot

f'(x)= 3 x2

1 >0 za sekoj realen broj {to zna~i deka funkcijata raste vo celata obast na

opredelenost i nema ekstremni vrednosti. Koga )(xfx ,a koga

)(xfx )(xfx . (Crt. 17)

Crt. 17


nejziniot grafik.



Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,2), a so h-oskata prese~ni to~ki se V( 2 2 ,0),

S( 2 2 ,0), D( 2 2 ,0), E ( 2 2 ,0). Prviot f'(x)= 8 x 4 x3

, a od

f'(x)= 4 x 2 x2

=0 sleduva deka stacionarnite to~ki se x1= 2 i x2=0, x3= 2 .

Vtoriot izvod na funkcijata e f''(x)= 8 12 x2

. f’’(0)=-8<0 sleduva deka funkcijata ima

maksimum ednalov na 2 , a f’’( 2 ) =16>0 i f’’( 2 ) =16<0 od kade {o sleduva deka

funkcijata ima minimum ednakov na -2., Za sekoj )2,0()2,( x funkcija

monotono opa|a , a za sekoj )0,2()0,2( x . Koga )(xfx . (Crt. 18)


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 11

Crt. 18

Primer 16 : Da se ispita grafikot na funkcijata

1

12)(

x

xxf i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}. Taa e prekinata vo

to~kata h=1 i pravata h=1 e vertikalna asimtota i grafikot na funkcijata }e se

pribli`uva do asimptotata na sledniov na~in: 1x

2x 1

x 1lim

1x

2 x 1

x 1l im

.

Od

x

2x 1

x 1lim

2

sleduva deka pravata u=2 e horizontalna asimtota. Prese~nita

to~ka so y-oskata e A(0,-1), a so h-oskata prese~ni to~ki se V(

2

1 ,0). Prviot f'(x)=

2

x 1( )

2 x 1( )

x 1( )2

<0 sleduva deka prviot izvod e negativen za sekoj h od definicionata

oblast , {to zna~i funkcijata nema ekstrem t.e. funkcijata monotono opa|a co celata

oblast na oredelenost. (Crt. 19)

Crt. 19


1)(

2

x

xxf i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredfelena za sekoj hR, bidej}i 012 x . Taa e

neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e

koordinatniot po~etok O(0,0). Od

x

x

x2

1

lim

0

sleduva deka pravata u=0 e


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 12

horizontalna asimtota. Funkcijata e neparna zatoa {to

)(11)(

)(22

xfx

x

x

xxf

, {to zna~i deka nejziniot grafik e simetri~en vo

odnos na koordinatniot po~etok. Prviot izvod e f'(x)=2222

2

)1(

)1)(1(

)1(

1

x

xx

x

x

. Od f’(x)=0

sleduva deka stacionarni to~ki se h1=-1 i h2=1 prviot izvod e negativen za sekoj

),1()1,( x {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a, a prviot izvod za sekoj

)1,1(x e pozitiven {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste. Od prethodno

ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=-1 ima minimum ednakov na

2

1 , a vo to~kata so apcisa h=1 ima maksimum ednakov na

2

1. Koga 0)( xfx .

(Crt. 20)

Crt. 20

Primer 18 : Da se ispita grafikot na funkcijata xxexf )( i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredfelena za sekoj hR, bidej}i 0xe . Taa e

neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e

koordinatniot po~etok O(0,0). Od 0lim

x

xxe

sleduva deka pravata u=0 e horizontalna

asimtota. Prviot izvod e f'(x)= xex )1( . Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarna to~ka se

h=1, prviot izvod e pozitiven negativen za sekoj )1,(x {to zna~i vo ovoj interval

funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj ),1( x e negativen {to zna~i vo ovoj

interval funkcijata opa|a. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata

so apcisa h=-1 ima minimum ednakov na e

e11 . Koga )(xfx ,a koga

)(xfx 0)( xfx . (Crt. 21)

Crt. 21


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 13

Primer 19: Da se ispita grafikot na funkcijata 4)( 23 xxxf i da se

nacrta nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR. Taa e neprekinata.

Prese~nita to~ka so y-oskata e A(0,4), a so h-oskata prese~ni to~ki se B(-1,0) i C(4,0).

Funkcijata nema asimtoti. Prviot izvod e f'(x)= xx 63 2 . Od f’(x)=0 sleduva deka

stacionarni to~ka se h1=0 i h2=2.. Vtoriot izvod na funkcijata e f’’(x)= 6x-6. f(0)=-

6<0 sleduva deka funkcijata ima maksimum ednalov na 4 , a f’’(2) =6>0 od kade {o

sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na 0. Za sekoj )2,0(x funkcija

monotono opa|a , a za sekoj ),2()0,( x funkcijata raste. Koga

)(xfx ,a koga )(xfx . (Crt. 22)

Crt. 22

Primer 20: Da se ispita grafikot na funkcijata 78)( 24 xxxf i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR. Taa e neprekinata.

Prese~nita to~ka so y-oskata e A(0,7), a so h-oskata prese~ni to~ki se B(-3,0) C(-1,0),

D(1,0). i E(3,0). Funkcijata nema asimtoti. Prviot izvod e f'(x)= xx 164 3 . Od f’(x)=0

sleduva deka stacionarni to~ka se h1=0 , h2=-2. i h3=2. Vtoriot izvod na funkcijata e

f’’(x)= 12x2-16. f(0)=-16<0 sleduva deka funkcijata ima maksimum ednalov na 7 , a f’’( 2)

=32>0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na -9. Za sekoj

)2,0()2,( x funkcija monotono opa|a , a za sekoj ),2()0,2( x funkcijata

raste. Koga )(xfx . (Crt. 23)

Crt. 23


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 14


1

1)(

2

xxf i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR, bidej}i 012 x . Taa e

neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e to~kata

A(0,1). Od 01

1lim

2

xx

sleduva deka pravata u=0 e horizontalna asimtota. Funkcijata

e parna zatoa {to )(1

1

1)(

1)(

22xf

xxxf

, {to zna~i deka nejziniot grafik e

simetri~en vo odnos na ordinatnata oska. Prviot izvod e f'(x)=22 )1(

2

x

x

. Od f’(x)=0

sleduva deka stacionarna to~ka e h1=0, prviot izvod e negativen za sekoj ),0( x {to

zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a, a prviot izvod za sekoj )0,(x e pozitiven

{to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste. Od prethodno ka`anoto sleduva deka

funkcijata vo to~kata so apcisa h=0 ima maksimum ednakov na 1.

Koga 0)( xfx . (Crt. 24)

Crt. 24


1

1)(

2

2

x

xxf i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR, bidej}i 012 x . Taa e

neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e to~kata

A(0,-1). Od 11

1lim

2

2

x

x

x

sleduva deka pravata u=1 e horizontalna asimtota. Funkcijata

e parna zatoa {to )(1

1

1)(

1)()(

2

2

2

2

xfx

x

x

xxf

, {to zna~i deka nejziniot grafik e

simetri~en vo odnos na ordinatnata oska. Prviot izvod e f'(x)=22 )1(

4

x

x

. Od f’(x)=0

sleduva deka stacionarna to~ka e h1=0, prviot izvod e pozitiven za sekoj

),0( x {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj

)0,(x e negativen {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a. Od prethodno

ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=0 ima minimum ednakov na -

1. Koga 1)( xfx . (Crt. 25)


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 15

Crt. 24


x

xxf

1

1)( i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}.Taa e prekinata vo

to~kata so apcisa h=1. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e

to~kata A(0,1). Od 11

1lim

x

x

x

sleduva deka pravata u=-1 e horizontalna asimtota.

Pravata h=1 e vertikalna asimtota. Koga )(1 xfx , a koga

)(1 xfx . Prviot izvod e f'(x)=2)1(

2

x . Prviot izvod e pozitiven za sekoj

realen broj {to zna~i deka funkcijata raste, a ottuka sleduva deka funkcijata nema

ekstremi. Koga 1)( xfx . (Crt. 25)

Crt. 25

Primer 24 : Da se ispita grafikot na funkcijata 21

)(x

xxf

i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{-1,1}.Taa e prekinata vo

to~kata so apcisa h=1 i h=-1 . Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so

koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od 01

lim2

x

x

x

sleduva deka

pravata u=0 e horizontalna asimtota. Pravite h=1 i h= -1 se vertikalni asimtoti. Koga

)(1 xfx , a koga )(1 xfx . Koga )(1 xfx , a koga

)(1 xfx . Prviot izvod e f'(x)=22

2

)1(

1

x

x

. Prviot izvod e pozitiven za sekoj

realen broj {to zna~i deka funkcijata raste, a ottuka sleduva deka funkcijata nema

ekstremi. Koga 0)( xfx . (Crt. 26)


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 16

Crt. 26

Primer 25 : Da se ispita grafikot na funkcijata 2

2

1)(

x

xxf

i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{-1,1}.Taa e prekinata vo

to~kata so apcisa h=1 i h=-1 . Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so

koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od 11

lim2

2

x

x

x

sleduva deka

pravata u=-1 e horizontalna asimtota. Pravite h=1 i h= -1 se vertikalni asimtoti.

Koga )(1 xfx , a koga )(1 xfx . Koga )(1 xfx , a koga

)(1 xfx . Prviot izvod e f'(x)=22 )1(

2

x

x

. Od f’(x)=0 sleduva deka

stacionarna to~ka e h1=0, prviot izvod e pozitiven za sekoj ),0( x {to zna~i vo

ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj )0,(x e negativen {to zna~i

vo ovoj interval funkcijata opa|a. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo

to~kata so apcisa h=0 ima minimum ednakov na 0. Koga 0)( xfx . (Crt. 27)

Crt. 27


1)(

2

x

xxf i da se nacrta

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}.Taa e prekinata vo

to~kata so apcisa h=1. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e

koordinatniot po~etok O(0,0).Funkcijata nema horizontalna asimtota. Pravata h=1 e

vertikalna asimtota. Koga )(1 xfx , a koga )(1 xfx . Za kosata

asimptota y=kx+n dobivame


_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 17

11

1

1limlim

)(lim

2

2

x

xx

x

x

xfk

xxx,

11

1

1lim

1lim])([lim

2

x

xx

xkxxfn

xxx {to zna~i deka y=x+1 e kosa asimtota.

Prviot izvod e f'(x)=2

2

)1(

2

x

xx

. Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarni to~ki se h1=0 i h2=2 .

Vtoriot izvod na funkcijata e f’’(x)= 3)1(

2

x. f(0)=-2<0 sleduva deka funkcijata ima

maksimum ednalov na 0 , a f’’(2) =2>0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum

ednakov na 4. Prviot izvod e pozitiven za sekoj ),2()0,( x {to zna~i vo ovoj

interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj )2,0(x e negativen {to zna~i vo

ovoj interval funkcijata opa|a. (Crt. 28)

Crt. 28

konstrukcija na grafici

Documents