KONSEP DASAR KONSEP DASAR PROBABILITASPROBABILITAS

Pertemuan 4

1

Pengantar :Pengantar :Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-

hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang.

Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi.

Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.

2

Konsep dan definisi dasarKonsep dan definisi dasarEksperimen/percobaan probabilitas

adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh.

Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S).

Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel.

3

Contoh :Contoh :Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3

buah sikring satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik dan R untuk sikring yang rusak.

Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang sampel S adalah n(S) = 23 = 8.

Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.

4

Definisi probabilitasDefinisi probabilitasBila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh

n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :

5

n

m

Sn

AnAP

)(

)()(

Sifat-sifat probabilitas Sifat-sifat probabilitas kejadian A :kejadian A :

0 P(A) 1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1

P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi.

P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.

6

Contoh (1):Contoh (1):Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah

probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka?

Jawab :Misal M = Muka , B = BelakangRuang sampel untuk percobaan ini adalah S =

{MM, MB, BM, BB}Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka

adalah A = {MM, MB, BM}Jadi,Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu

Muka adalah

74

3

)(

)()(

Sn

AnAP

Contoh (2):Contoh (2):Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4

coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat.

Jawab :Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat(a). Probabilitas mendapatkan mint = (b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =

8

13

6

)(

)()(

Sn

MnMP

13

7

13

034

)(

)()()(

)(

)()(

Sn

TCnTnCn

Sn

TCnTCP

Probabilitas kejadian Probabilitas kejadian majemuk (1):majemuk (1):Bila A dan B kejadian sembarang pada

ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.

9

)()()()( BAPBPAPBAP

Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C adalah :

10

)()()(

)()()()()(

CBAPCBPCAP

BAPCPBPAPCBAP

Probabilitas kejadian Probabilitas kejadian majemuk (2):majemuk (2):

Contoh :Contoh :Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian

matematika adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut?

Jawab :Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan

B adalah kejadian lulus bahasa inggris, maka :Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah :P(M B) = P(M) + P(B) – P(M B)

= 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36

11

Dua kejadian saling lepas Dua kejadian saling lepas ((disjoint events atau disjoint events atau mutually exclusive):mutually exclusive):Bila A dan B dua kejadian saling

lepas, maka berlaku :

)()()( BPAPBAP

)()()()( CPBPAPCBAP

12

Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas, maka berlaku :

Contoh :Contoh :Berapakah probabilitas mendapatkan

total 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan?

Jawab :Bila A adalah kejadian diperoleh total 7,

maka A = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}

Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)}

Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah :P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

= 6/36 + 2/36 – 0= 8/36

13

Dua kejadian saling Dua kejadian saling komplementer:komplementer:Bila A dan A’ dua kejadian dalam S

yang saling komplementer, maka berlaku :

)(1)'( APAP

14

Contoh:Contoh: Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah

kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama.

Jawab : Misal A = kejadian munculnya muka dua

dadu yang sama= {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5),

(6,6)}maka P(A) = 6/36

Sehingga,Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’) adalah: P(A’) = 1 – P(A)

= 1 – 6/36= 30/36

15

Dua kejadian saling bebas Dua kejadian saling bebas (independent):(independent):Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak

saling mempengaruhi.Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S

dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A.

Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :

)(.)()( BPAPBAP

16

Contoh:Contoh: Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian

munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas?

Jawab : Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)} Misalkan, A = kejadian muncul muka dari uang logam 1 P(A) = 2/4 =

½

= {(m,m), (m,b)}

B = kejadian muncul muka dari uang logam 2 P(B) = 2/4 = ½

= {(m,m), (b,m)}

A B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2

= {(m,m)} P(A B) = ¼ Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A B) = P(A). P(B)

¼ = ½ . ½

¼ = ¼

Jadi, A dan B saling bebas.

17

Probabilitas bersyarat Probabilitas bersyarat (conditional probability):(conditional probability):Adalah probabilitas suatu kejadian

B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi.

Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca “probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi”

18

0)(,)(

)()(

APjika

AP

BAPABP

Contoh (1):Contoh (1): Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5

diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang kedua sekering itu rusak?

Jawab :

Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak

B = kejadian sekering kedua rusak

Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A B)

P(A B) = P(A). P(BA)

= 5/20 . 4/19

= 1/19

19

Contoh (2):Contoh (2): Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk

mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.

Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery?

Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk?

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria?

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?

20

Jawab:Jawab:

Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk.

Jadi, Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia

menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi

rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah

21

Responsen

J S Jumlah

R 20 40 60

W 30 10 40

Jumlah 50 50 100

67.060

40

10060

10040

)(

)()(

RP

RSPRSP

75.040

30

10040

10030

)(

)()(

WP

WJPWJP

40.050

20

10050

10020

)(

)()(

JP

JRPJRP

20.050

10

10050

10010

)(

)()(

SP

SWPSWP

Aturan Bayes :Aturan Bayes :Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga

kejadian saling lepas dalam ruang sampel S.

B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.

22

S

A1 A2 A3

B

probabilitas kejadian B adalah :probabilitas kejadian B adalah :

23

P(B) = P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3)

=

3

1

)().(i

ii APABP

disebut Hukum Probabilitas Total

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat AiB dirumuskan sebagai berikut :

24

n

iii

iiii

APABP

APABP

BP

ABPBAP

1

)().(

)().(

)(

)()(

disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).

Contoh:Contoh:Misalkan ada tiga kotak masing-masing

berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu..

Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah?

Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?

25

JawabJawabP(bola yang terambil berwarna

merah) =

P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =

26

)3().3()2().2()1().1()( MPPMPPMPPMP

5.06

3

6

120.

3

1

2

1.

3

1

2

2.

3

1

33.03

1

63

61

63

21.3

1

)(

)2().2()2(

MP

MPPMP