kombinatorial adalah cabang matematika yang · •seorangmahasiswapolitekniktelkom ingin...
TRANSCRIPT
• Kombinatorial adalah cabang matematika yang
berguna untuk menghitung jumlah penyusunan
objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua
kemungkinan susunannya.
• Contoh : Sebuah password panjangnya 6 sampai 8
karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka.
Berapa banyak kemungkinan password yang dapat
dibuat?
- Abcdef - aaaade - a123fs - erhtgahn
- Yutresik - … - …..
• Misalkan,
Percobaan 1 : p hasil
Percobaan 2 : q hasil
maka, hasil Percobaan 1 atau percobaan 2:maka, hasil Percobaan 1 atau percobaan 2:
p + q hasil
• Seorang mahasiswa Politeknik Telkom ingin
membeli sebuah motor.
• Ia dihadapkan untuk memilih pada satu jenis
dari tiga merk motor, Honda 3 pilihan, Suzuki dari tiga merk motor, Honda 3 pilihan, Suzuki
2 pilihan, dan Yamaha 2 pilihan.
• Dengan demikian, mahasiswa tersebut
mempunyai mempunyai pilihan sebanyak
• 3 + 2 + 2 = 7 pilihan.
Misalkan,
Percobaan 1: p hasil
Percobaan 2: q hasil
maka,maka,
Percobaan 1 dan percobaan 2:
p ×××× q hasil
• Dosen dengan kode HNP, mengajar mahasiswa kelas
PCA-09-01, PCA-09-02, dan PCA-09-03.
• Misalkan, jumlah mahasiswa PCA-09-01 adalah 25
orang, jumlah mahasiswa PCA-09-02 adalah 27
orang, dan jumlah mahasiswa PCA-09-03 adalah 20 orang, dan jumlah mahasiswa PCA-09-03 adalah 20
orang.
• Jika HNP ingin memilih 3 mahasiswa dimana setiap
kelas dipilih masing-masing 1 orang. Banyaknya
susunan yang dapat dipilih oleh HNP?
• Penyelesaian:25 x 27 x 20 = 13.500 cara dalam
memilih susunan tiga murid tersebut.
• Misalkan ada n percobaan, masing-masing
denga pi hasil
1. Kaidah perkalian (rule of product)
p ×××× p ×××× … ×××× p hasilp1 ×××× p2 ×××× … ×××× pn hasil
2. Kaidah penjumlahan (rule of sum)
p1 + p2 + … + pn hasil
• Berapa banyak string biner yang dapat
dibentuk jika:
a. panjang string 5 bit
b. panjang string 8 bit (= 1 byte)b. panjang string 8 bit (= 1 byte)
Penyelesaian:
a. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32 buah
b. 28 = 256 buah
• Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang semuaangkanya berbeda
• Penyelesaian:
a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9)a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9)
b. posisi ribuan : 8 kemungkinan angka
c. posisi ratusan : 8 kemungkinan angka
d. posisi puluhan : 7 kemungkinan angka
Banyak bilangan ganjil seluruhnya
= (5)(8)(8)(7) = 2240 buah.
• Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itusendiri) yang boleh ada angka yang berulang.
Penyelesaian: a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9);a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9);
b. posisi ribuan : 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)
c. posisi ratusan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)
d. posisi puluhan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)
Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500
• Ketika dua proses dikerjakan dalam waktu
yang sama, kita tidak bisa menggunakan
prinsip penjumlahan untuk menghitung
jumlah cara untuk memilih salah satu dari duajumlah cara untuk memilih salah satu dari dua
proses tersebut.
• Untuk menghitung proses tersebut, kita harus
mengenal prinsip inklusi-eksklusi.
Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak
jumlah byte yang dimulai dengan ‘11’ atau
berakhir dengan ‘11’?
Penyelesaian:
MisalkanMisalkan
A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’,
B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’
A ∩ B = himpunan byte yang berawal dan
berakhir dengan ‘11’
A ∪ B = himpunan byte yang berawal dengan ‘11’ atau
berakhir dengan ‘11’
• |A| = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 26 = 64
• |B| = (2)(2)(2)(2)(2)(2) (1)(1) = 26 = 64,
• |A ∩ B| = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(1) = 24 = 16.
makamaka
A ∪ B = A + B – A ∩ B= 26 + 26 – 16
= 64 + 64 – 16
= 112.
1. Sebuah restoran menyediakan 10 jenis makanan
dan 8 jenis minuman. Jika setiap orang boleh
memesan 1 makanan dan 1 minuman, berapa
banyak makanan dan minuman yang dapat dipesan!
2. Jabatan presiden mahasiswa dapat diduduki oleh
mahasiswa politeknik angkatan 2007 atau 2008. Jika
jumlah mahasiswa politeknik telkom angkatan 2007
dan 2008 masing masing 400 dan 1100 mahasiswa,
berapa cara memilih presiden mahasiswa!
3. Sekelompok mahasiswa yang menyukai
Batagor Riri terdiri dari 12 pria dan 7 wanita.
Berapa jumlah cara memilih satu orang pria
dan satu orang wanita yang menyukai Batagordan satu orang wanita yang menyukai Batagor
tersebut?
4. Sekelompok mahasiswa yang menyukai
Batagor Riri terdiri dari 12 pria dan 7 wanita.
Berapa jumlah cara memilih satu orang yang
menyukai Batagor tersebut?
5. Pelat nomor memuat 2 huruf (boleh
sama)diikuti 3 angka dengan digit pertama
tidak sama dengan 0(boleh ada angka yang
sama). Ada berapa pelat nomor berbeda?sama). Ada berapa pelat nomor berbeda?
6. Pelat nomor memuat 2 huruf berbeda diikuti
3 angka berbeda. Ada berapa pelat nomor
berbeda?
7. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur
bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar
seseorang dapat bepergian dengan bus dari A
ke C melewati B?ke C melewati B?
8. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur
bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar
seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari
A ke C melewati B
9. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur
bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar
seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari
A ke C melewati B dan tidak ingin melewatiA ke C melewati B dan tidak ingin melewati
satu jalur lebih dari sekali?
10. Perpustakan Politeknik Telkom memiliki 6
buah buku Sistem Informasi, 10 buku
Algoritma dan Pemrograman, serta 15 buku
Sistem Komputer. Berapa jumlah caraSistem Komputer. Berapa jumlah cara
memilih:
a. 3 buah buku, masing-masing dari jenis yang
berbeda
b. Sebuah buku
11. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang
terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan
banyaknya bilangan yang kurang dari 400!
12. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dibentuk bilangan yang
terdiri atas 4 angka yang berlainan. Tentukan
banyaknya bilangan yang lebih dari 2000!
• Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari
pengaturan objek-objek.
• Permutasi merupakan susunan yang mungkin dibuat
dengan memperhatikan urutan.
• Simbol : P(n, r)
• P(n, r))!(
!
rn
n
−=
• Misalkan S = {p, q, r}. Berapa cara yang
mungkin dalam penyusunan 2 huruf pada S
sehingga tidak ada urutan yang sama ?
• Penyelesaian:• Penyelesaian:
• Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata“HAPUS”?
• Penyelesaian:
P(5, 5) = 5! = 120 buah kata
• Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang• Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orangmahasiswa?
• Penyelesaian:
P(25, 25) = 25! = 15.511.210.043.330.985.984.000.000
• Diketahui enam buah bola yang berbeda warnanya
dan 3 buah kotak.
• Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola.
• Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat• Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat
dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak
tersebut?m b p h k j
BOLA
KOTAK
1 2 3
Cara 1:a. kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6
pilihan);
b. kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan);pilihan);
c. kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan).
• Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120
Cara 2:
P(6,3)=6!/(6-3)!=6!/3!=120
Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka
dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika:
(a) tidak boleh ada pengulangan angka, dan
(b) boleh ada pengulangan angka.
Penyelesaian:Penyelesaian:
(a) Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah
Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 60
(b) Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi.
Dengan kiadah perkalian: (5)(5)(5) = 53 = 125.
• Diketahui Kode buku di sebuah perpustakaan
panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf
berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang
berbeda pula.berbeda pula.
• Tentukan banyak kode yang dapat dibuat!
• Penyelesaian:
P(26, 4) × P(10,3) = 258.336.000
• Banyaknya permutasi dari n objek dari n1 yang
sama, n2 yang sama,……, nr yang sama adalah
!n
!!...!
!
21 rnnn
n
Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk
dari kata “DISKRIT”
Penyelesaian:
n = 7n = 7
n1 = 2 (huruf I yang sama, jumlahnya = 2)
Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata
“DISKRIT” = n!/n1! = 7!/2! = 2520 Kata
Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari
kata “MATEMATIKA”
Penyelesaian:
n = 10n = 10
n1 = 2 (huruf M)
n2 = 3 (huruf A)
n3 = 2 (huruf T)
Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata
“MATEMATIKA” = 10!/2!3!2! = 151.200 kata
1. Berapa banyak bilangan berdigit 3 yang bisadibentuk dari 6 angka 2,3,4,5,7,9 danpengulangan tidak diperbolehkan?
2. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi2. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursiyang disusun perbaris. Tiap baris terdiri dari6 kursi. Jika dua orang akan duduk, berapabanyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada suatu baris?
3. Tentukan banyaknya sandi yang dapat
dibentuk dari 5 huruf yang berbeda dan diikuti
pula dengan 2 angka yang berbeda pula!
4. Sebuah mobil mempunyai 4 tempat duduk. 4. Sebuah mobil mempunyai 4 tempat duduk.
Berapa banyak cara 3 orang didudukkan jika
diandaikan satu orang harus duduk di kursi
sopir?
• Bentuk khusus dari permutasi adalah
kombinasi.
• Jika pada permutasi urutan kemunculan
diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutandiperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan
kemunculan diabaikan.
• Simbol : C (n,r)
• C (n,r)!
!( )!
n
r n r=
−
• Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Komputer Angkatan2009, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilanberanggotakan 5 orang sedemikian sehingga:
1. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;
2. Mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;
3. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi3. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapiB tidak;
4. Mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapiA tidak;
5. Mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;
6. Setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama Aatau B termasuk di dalamnya.
1. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A selalu termasuk di dalamnya adalah:
C(9, 4) = 126
2. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang 2. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A tidaktermasuk di dalamnya adalah:
C(9, 5) = 126
3. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A termasuk di dalamnya, tetapi B tidak adalah:
C(8, 4) = 70
4. Banyak cara untuk membentuk perwakilanyang beranggotakan 5 orang sedemikiansehingga B termasuk di dalamnya, tetapi Atidak adalah:
C(8, 4) = 70
5. Banyak cara untuk membentuk perwakilanyang beranggotakan 5 orang sedemikiansehingga A dan B selalu termasuk didalamnya adalah:
C(8, 3) = 56
6. Jumlah cara membentuk perwakilan sedemikiansehingga setidaknya salah satu dari A atau Btermasuk di dalamnya adalah:
Jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk didalamnya, B tidak
++
jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk didalamnya, A tidak
+
jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan Btermasuk di dalamnya
=
70 + 70 + 56 = 196
1. Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang
undangan. Jika mereka saling berjabat
tangan, banyak jabat tangan yang terjadi
dalam pertemuan itu adalah ....dalam pertemuan itu adalah ....
2. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim
sepakbola yang terdiri atas 11 orang.
Tentukan banyak cara dalam pemilihan
tersebut.
3. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7
titik tanpa ada tiga titik yang terletak
segaris adalah ....
4. Tentukan banyaknya cara memilih 5 orang4. Tentukan banyaknya cara memilih 5 orang
dari 15 orang siswa untuk menjadi pelaksana
upacara bendera Senin pagi!
5. Menentukan lima orang pemain cadangan
dari 16 orang anggota kesebelasan sepakbola.
6. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7orang mahasiswa jurusan Informatika. Berapabanyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4orang jika:
(a) tidak ada batasan jurusan(a) tidak ada batasan jurusan
(b) semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika
(c) semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika
(d) semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama
(e) 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili.
40
7. Berapa banyak cara membentuk sebuah
panitia yang beranggotakan 5 orang yang
dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita,
jika di dalam panitia tersebut paling sedikit
41
jika di dalam panitia tersebut paling sedikit
beranggotakan 2 orang wanita?
Jabarkan (3x - 2)3!
Penyelesaian:
Misalkan a = 3x dan b = -2,
(a + b)3 = C(3, 0) a3 + C(3, 1) a2b1 + C(3, 2) a1b2 + C(3, 3) b3
= 1 (3x)3 + 3 (3x)2 (-2) + 3 (3x) (-2)2 + 1 (-2)3
= 27 x3 – 54x2 + 36x – 8
Tentukan suku keempat dari penjabaran
perpangkatan (x - y)5.
Penyelesaian:
(x - y)5 = (x + (-y))5.(x - y)5 = (x + (-y))5.
Suku keempat adalah: C(5, 3) x5-3 (-y)3 =
-10x2y3.
1. (2x-3)3=…
2. (3x-2y)4 = …
3. Tentukan suku ke empat dari penjabaran
perpangkatan (x +y)5perpangkatan (x +y)5
4. Tentukan suku ke lima dari penjabaran
perpangkatan (2x +3y)6