CHAPTER 1KINEMATIKA DENGAN ANALISA VEKTOR

(KINEMATICS WITH VECTOR ANALYSIS )

Pendahuluan

Masih ingat perbedaan antara jarak, perpindahan, kelajuan, kecepatan, percepatan, perlajuan?

Jarak (distance) : merupakan panjang lintasan.Perpindahan (displacement) : merupakan perubahan posisi (kedudukan) dihitung dari posisi awal benda tsb.Kecepatan (velocity) : merupakan perubahan posisi tiap satu satuan waktu. Atau perpindahan dibagi dengan selang waktu.Kelajuan (speed) : merupakan besarnya kecepatan. Atau jarak dibagi dengan selang waktu.Percepatan (acceleration) : merupakan perubahan kecepatan tiap satu satuan waktu. Atau kecepatan dibagi dengan selang waktu.Perlajuan (acceleration) : merupakan besarnya percepatan. Atau kecepatan dibagi dengan selang waktu.

PERPINDAHAN, KECEPATAN, PERCEPATAN = BESARAN VEKTOR.JARAK, KELAJUAN, PERLAJUAN = BESRAN SKALAR

Persamaan Gerak Lurus (Straight Motion Equation)

Kapankah benda dikatakan BERGERAK?

Suatu benda atau partikel dikatakan bergerak jika posisinya terhadap suatu titik acuan berubah (ada

perpindahan posisi). Jika posisinya selalu tetap benda tersebut dikatakan diam.

Konsep DIAM dan BERGERAK bersifat relatif. Artinya seseorang dapat mengatakan suatu benda

sedang bergerak dan orang lain mengatakan benda tersebut diam. Misalnya orang yang berada di

dalam bus akan mengatakan dirinya beserta busnya diam, tetapi orang yang diluar bus akan

mengatakan orang dan bus tersebut bergerak.

Gerakan benda/partikel dapat dilukiskan dalam persamaan matematika yang disebut persamaan

gerak.

Contoh persamaan gerak :

, merupakan persamaan gerak benda/partikel yang bergerak dalam sumbu x dengan

kecepatan tetap

, merupakan persamaan gerak benda/partikel yang jatuh bebas dalam medan

gravitasi

Persamaan gerak pada contoh di atas merupaka persaman gerak pada bidang 1 dimensi. Sedangkan pada

1

Vektor Satuan dalam Koordinat Kartesius

Dalam koordinat kartesius dikenal 3 macam vektor satuan. Ketiga vektor satuan ini masing-masing

tegak lurus dan arahnya masing-masing pada arah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. vektor satuan

dalam arah sumbu x, y, dan z diberi simbol .

Vektor Posisi dalam Koordinat Kartesius

Vektor posisi adalah suatu vektor yang menyatakan posisi dari sutu benda atau titik. Dalam bidang

2 D (sumbu x dan sumbu y) dilukiskan sebagai berikut.

Perhatikan gambar disamping. Partikel P berada pada titikkoordinat ( ). Posisi partikel P jika dituliskan dalam bentuk vektor pada sumbu koordinat x-y adalah . Sedangkan panjangnya vektor atau jarak P ke O adalah

Dalam bidang 3 D (sumbu x, y, z) dilukiskan sebagai berikut.Perhatikan gambar disamping. Partikel P berada pada titikkoordinat ( ). Posisi partikel P jika dituliskan dalam bentuk vektor pada sumbu koordinat x-y-z adalah . Sedangkan panjangnya vektor atau jarak P ke O adalah

Example 1 :Sebuah titik A berada pada titik koordinat (1, 6, 5). Tuliskan vektor posisi titik A dan berapa jarak titik A tersebut dari titik asal.Answer :Vektor posisi titik A, Sedangkan jarak titik A dari titik asal adalah , jadi jarak titik A dari titik asal adalah .

Example 2 :Sebuah benda bergerak dari titik P (1,4,2) ke titik Q (4,5,7). Tuliskan vektor posisi benda di titik P dan Q. dan hitung berapa jauh benda tsb bergerak?

2

x

y

z

i

j

k

x

y

ix ˆ

jy ˆ

P

r

0

x

y

z

i

j

k

zyxP ,,

r

0

Answer :Vektor posisi di titik P, , Vektor posisi di titik Q, ,

Perpindahan benda dari P ke Q adalah

, besarnya perpindahan atau jarak dari P ke Q adalah . Jadi

jarak yang ditempuh dari P ke Q adalah

Example 3 :Vektor posisi suatu benda diberikan oleh persamaan ; t dalam detik dan r dalam meter. Tentukan vektor perpindahan dan besarnya perpindahan atau jarak dari t = 2 detik sampai t = 3 detik.Answer :Pada saat t = 2 detik, vektor posisinya

Pada saat t = 3 detik, vektor posisinya

Vektor perpindahan dari t = 2 detik sampai t = 3 detik adalah

Sedangkan besarnya perpindahan atau jarak dari t = 2 detik sampai t = 3 detik adalah, jadi jarak yang ditempuh dalam selang waktu t = 2 detik sampai t = 3

detik. Adalah meter

Tugas 1

Kerjakan soal-soal berikut dengan benar di buku tugas!

1. Persamaan vektor posisi diberikan oleh ; t dalam detik dan r dalam

meter. Tentukan vektor perpindahan dan besarnya perpindahan atau jarak dari t = 2 detik

sampai t = 3 detik

2. Sebuah benda bergerak dari titik A (2,4,6) ke titik B (6,3,-2). Tuliskan vektor posisi benda di

titik A dan B. dan hitung berapa jauh benda tsb bergerak?

3. Suatu partikel bergerak dari titik P (1,0) ke titik Q (5,4) dalam bidang XY. Tuliskanlah vektor

perpindahan partikel tersebut dari P ke Q dan hitunglah jarak yang ditempuh partikel tersebut!

4. Sebuah titik P berada pada titik koordinat (2, -6, 3). Tuliskan vektor posisi titik P dan berapa

jarak titik P tersebut dari titik asal!

Kecepatan dalam Koordinat Kartesius

Anggap suatu benda/partikel bergerak dari A ke B. pada saat t1

benda berada di posisi A dan vektor posisinya

3

2r

A

B

1r

r

x

y

z

0

. pada saat t2 benda berada di posisi B dan

vektor posisinya . Perpindahan benda dari

A ke B adalah .

dengan .

Dikelas X telah dipelajari bahwa kecepatan rata-rata suatu benda (simbolnya ) adalah

perbandingan perubahan posisi benda terhadap perubahan waktu. Dengan menggunakan definisi ini

diperoleh. .

. ARAH KECEPATAN RATA-RATA = ARAH PERPINDAHAN

Example 4:

Seekor tupai memiliki koordinaat (2,3) meter pada waktu t1 = 0 detik dan koordinat (4,6) meter

pada waktu t2 = 4 detik. Untuk selang waktu ini tentukan komponen kecepatan rata-rata ( ), besar

dan arah kecepatan rata-ratanya?

Answer :

Besar kecepatan rata-rata meter

Arah kecepatan rata-ratanya ditentukan dengan aturan triginometri tangen,

Jadi arah kecepatan rata-ratanya adalah 56,3o terhadap sumbu x positif.

Kecepatan Sesaat

Adalah kcepatan pada saat tertentu atau kecepatan rata-rata untuk selang waktu yang mendekati

nol. Secara matematis dituliskan . Definisi tersebut dalam matematika/kalkulus

4

dinamakan TURUNAN (DIFFERENSIAL) PERTAMA FUNGSI POSISI TERHADAP WAKTU

dan ditulis , (baca : turunan pertama fungsi posisi terhadap waktu ). Karena

, maka .

CARA MENURUNKAN FUNGSI

Misalkan fungsi posisi suatu benda dituliskan , dinama a adalah konstanta dan t adalah

waktu. Maka kecepatan benda tersebut adalah . Caranya adalah. Misalnya

ada suatu fungsi posisi dinama a dan n adalah konstanta dan t adalah waktu. Maka

kecepatannya adalah

Example 5:

Posisi suatu benda yang bergerak lurus dinyatakan dengan persamaan dengan r dalam

meter dan t dalam detik. Tentukan : (a) kecepatan awal partikel, (b) kecepatan partikel saat t = 2

detik, dan (c) jarak terjauh (maksimum) yang dicapai partikel!

Answer :

Langkah pertama tentukan dulu persamaan umum kecepatannya.

(a) kecepatan awal berarti kecepatan ketika t = 0 detik, sehingga (b) kecepatan pada saat t = 2 detik adalah (c) jarak terjauh (maksimum) akan dicapai partikel jika turunan pertama fungsi posisi terhadap

waktu sama dengan nol atau . Karena tidak lain adalah , maka

, jadi jarak terjauh akan dicapai jika nilai t = 5/4detik.

Untuk mengetahui berapa meter jarak terjauh yang ditempuh partikel, masukkan nilai t = 5/4 ke

persamaan , sehingga menghasilkan .

Jadi jarak terjauh yang ditempuh adalah 50/16 meter.

Menentukan Fungsi Posisi dari Fungsi Kecepatan

5

Sebelumnya telah dipelajari bahwa fungsi kecepatan diperoleh dari menurunkan

(mendiffrerensialkan) fungsi posisi terhadap waktu. Sebaliknya jika diketahui fungsi kecepatan,

maka untuk mencari fungsi posisi menggunakan metode integral .

Example 6:

Kecepatan suatu benda yang bergerak lurus dinyatakan dengan persamaan dengan v

dalam m/s dan t dalam detik. Tentukan : (a)fungsi posisi partikel tsb, (b) posisi partikel saat t = 2

detik!

Answer :

Dengan menggunakan persamaan fungsi posisi partikel tersebut adalah :

Jadi fungsi posisi partikel tersebut adalah

Posisi partikel pada ssat t = 2 detik adalah

Jadi posisi partikel pada ssat t = 2 detik adalah 46/3 meter

Tugas 2

Kerjakan soal-soal berikut dengan benar di buku tugas!

1. mobil mainan yang sedang bergerak memiliki koordinaat (0,3) meter pada waktu t1 = 0 detik dan koordinat (2,3) meter pada waktu t2 = 6 detik. Untuk selang waktu ini tentukan komponen kecepatan rata-rata ( ), besar dan arah kecepatan rata-ratanya?

2. Posisi suatu benda dinyatakan dengan persamaan dengan r dalam meter dan t dalam detik. Tentukan : (a) kecepatan awal partikel, (b) kecepatan partikel saat t = 4 detik, dan (c) jarak terjauh (maksimum) yang dicapai partikel

6

2

1

2

1

2

1

2

1

12

12

t

tr

t

tr

t

tr

r

r

r

dtvrr

dtvrr

dtvdr

dt

drv

2

1

1

t

tr dtvrr

tatankons

Contoh Mengintegral Fungsi.Misalkan diketahui fungsi kecepatan suatu benda adalah , maka fungsi posisinya adalah

Cara Mengintegral Fungsi.Misalkan diketahui fungsi kecepatan suatu benda adalah , a dan b adalah suatu konstanta/tetapan maka fungsi posisinya adalah

3. Kecepatan suatu benda dinyatakan dengan persamaan dengan v dalam m/s dan t dalam detik. Tentukan : (a)fungsi posisi partikel tsb, (b) posisi partikel saat t = 2 detik!

4. Posisi sebuah benda yang bergerak sepanjang sumbu Y memenuhi persamaan . Tentukan (a) kapan besar kecepatan benda sama dengan nol, (b) posisi

partikel ketika kecepatannya sama dengan nol!5. Posisi benda yang bergerak memenuhi persamaan dengan r dalam meter dan t .

Tentukan : (a) posisi benda setelah 5 detik, (b) kecepatan benda setelah 5 detik?.

Percepatan Rata-rata

Adalah perbandingan perubahan kecepatan benda terhadap perubahan waktu. Dengan menggunakan

definisi ini diperoleh. .

Percepatan Sesaat

Adalah percepatan rata-rata untuk selang waktu yang mendekati nol. Secara matematis

dituliskan . Definisi tersebut dalam matematika/kalkulus dinamakan

TURUNAN (DIFFERENSIAL) PERTAMA FUNGSI KECEPATAN TERHADAP WAKTU

dan ditulis , (baca : turunan pertama fungsi kecepatan terhadap waktu ). Atau bisa juga

ditulis , (baca : turunan pertama fungsi posisi terhadap waktu ). Karena

, maka .

TEKNIK MENURUNKAN/MENDEFFERENSIALKAN SAMA DENGAN SEBELUMNYA

Menentukan Fungsi Kecepatan dari Fungsi Percepatan

Sebelumnya telah dipelajari bahwa fungsi kecepatan diperoleh dari menurunkan (mendiffrerensialkan) fungsi posisi terhadap waktu. Sebaliknya jika diketahui fungsi kecepatan,

maka untuk mencari fungsi posisi menggunakan metode integral .

7

2

1

2

1

2

11

12

12

2

1

t

t

t

t

t

t

v

v

dtavv

dtavv

dtadv

dt

dva

2

1

12

t

t

dtavv

tatankons

TEKNIK MENGINTEGRAL SAMA DENGAN SEBELUMNYA

Example 7:

Diketahui fungsi kecepatan suatu partikel sbb. , v dalam m/s dan t dalam detik. Tentukan

fungsi percepatan partikel tsb. dan percepatan partikel pada saat t = 2 detik.

Answer :

Fungsi percepatan diperoleh dengan menurunkan fungsi kecepatan.

Percepatan partikel pada saat t = 2 detik adalah.

KESIMPULAN PERSAMAAN GERAK LURUS

FUNGSI POSISI

FUNGSI KECEPATAN

FUNGSI PERCEPATAN

Persamaan Gerak Melingkar (Equation of Circular Motion)

Pada dasarnya persamaan yang ada pada gerak lurus hampir sama dengan persamaan yang ada pada gerak melingkar. Berikut tabel analogi/kesamaan antara gerak lurus dengan gerak melingkar.

BESARAN GERAK LURUS(Straight Motion)

GERAK MELINGKAR(Circular Motion)

Posisi Benda Posisi Posisi sudutKecepatan Benda Kecepatan Kecepatan Sudut Percepatan Benda Percepatan Percepatan Sudut

GLB (v = konstan) GMB ( = konstan)

GLBB ( = konstan) GMBB ( = konstan)

8

GERAK LINEAR/LURUS GERAK MELINGKAR(Straight Motion) (Circular Motion)

HUBUNGAN ANTARA GERAK LINEAR DENGAN GERAK MELINGKAR

(s = jarak, r = jari-jari lintasan)

KESIMPULAN GERAK LINEAR DAN GERAK MELINGKAR(CONCLUSION OF STRAIGHT MOTION AND CIRCULAR MOTION)

POSISI POSISI SUDUT

KECEPATAN KECEPATAN SUDUT

PERCEPATAN PERCEPATAN SUDUT Example 8:

Sebuah titik pada roda yang sedang berputar memenuhi persamaan . Tentukan posisi sudut titik tersebut pada saat t = 5 detik.Answer :Posisi sudut titik tersebut pada saat t = 5 detik adalah Example 9:

Posisi sudut suatu benda pada roda memenuhi persamaan . Tentukan (a) kecepatan sudut rata-rata dalam selang waktu t = 0 detik sampai t = 2 detik, (b) kecepatan sudut benda pada saat t = 2 detik.Answer :Sebelum menhitung kecepatan sudut rata-rata, terlebih dahulu cari dulu posisi sudut benda pada waktu t = 0 detik dan t = 2 detik.

9

TEKNIK MENURUNKAN (DIFFERENSIAL) DAN INTEGRAL PADA GERAK MELINGKAR SAMA DENGAN TEKNIK MENURUNKAN (DIFFRENSIAL) DAN INTEGRAL PADA GERAK LINEAR/LURUS

IN T E G R A L

T U R U N A N

Posisi sudut benda pada waktu t = 0 detik adalah

Posisi sudut benda pada waktu t = 2 detik adalah (a) kecepatan sudut rata-rata dalam selang waktu t = 0 detik sampai t = 2 detik adalah

(b) kecepatan sudut sesaat diperoleh dengan menurunkan fungsi posisi terhadap waktu

. Jadi kecepatan sudut pada saat t = 2 detik adalah 8

rad/s.

Tugas 3

Kerjakan soal-soal berikut dengan benar di buku tugas!

1. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 meter dan kecepatan airnya 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s, maka setelah sampai di seberang perahu telah menempuh lintasan sejauh

2. Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu x dengan persaman yang dinyatakan oleh . Tentukan : (a) kedudukan awal partikel, (b) kecepatan partikel, (c) kecepatan

partikel pada saat t = 2 sekon, (d) percepatan partikel pada saat t = 2 sekon3. Posisi sebuah benda yang bergerak memenuhi persamaan , dengan x dalam

meter dan t dalam sekon. Keepatan rata-rata benda tersebut dari t = 1 s hingga t = 5 s adalah4. Posisi suatu materi yang bergerak sepanjang garis horizontal dinyatakan dengan persamaan

, dengan x menyatakan jarak dalam satuan meter dan t dalam satuan sekon. Jarak maksimum yang dicapai materi tersebut adalah.

5. Fungsi kecepatan suatu partikel diberikan oleh persamaan. , v dalam m/s dan t dalam detik. Tentukan fungsi percepatan partikel tsb. dan percepatan partikel pada saat t = 2 detik!

6. Tentukan posisi suatu partikel pada saat t = 5 sekon jika diketahui percepatannya dalam fungsi waktu , dengan t dalam sekon dan a dalam m/s2.

7. Sebuah benda yang sedang bergerak melingkar memenuhi persamaan . Tentukan posisi sudut dan kecepatan sudut benda tersebut pada saat t = 5 detik

8. Posisi sudut suatu benda pada roda memenuhi persamaan . Tentukan (a) kecepatan sudut rata-rata dalam selang waktu t = 1 detik sampai t = 4 detik, (b) kecepatan sudut benda pada saat t = 4 detik

9. Posisi sudut suatu titik pada roda dapat dinyatakan sebagai rad. Tentukan : (a) posisi sudut awal, (b) kecepatan sudut awal, dan (c) kecepatan sudut pada saat t = 4 sekon.

10. Sebuah roda berputar terhadap porosnya dengan persamaan kecepatan sudut rad/s. Tentukan (a) pers. posisi sudut; (b) posisi sudut pada saat t = 3 s

11. Tentukan posisi partikel saat t = 3 detik jika diketahui fungsi percepatan ?12. Sebuah roda berputar terhadap suatu poros tetap dan kecepatan sudut partikel pada roda

dinyatakan sebagai rad/s. Jika posisi sudut awal radian, maka posisi sudut partikel pada saat t = 1,0 sekon adalah…

13. Sebuah partikel pada baling-baling kipas angin berputar dengan percepatan sudut rad/s2. Jika pada saat t = 0 s baling-baling tidak bergerak, posisi sudut pada saat t = 10s adalah

Gerak Parabola (Parabolic Motion)

10

Gerak parabola adalah salah satu contoh gerak dengan percepatan konstan dalam bidang dua

dimensi. Contoh gerakan ini adalah gerakan bola yang ditendang. Dalam menganalisa gerakan ini

kita akan mengabaikan hambatan/gesekan benda dengan udara.

Sebuah benda yang dilempar ke udara akan mengalami percepatan arah ke bawah sebesar = g (percepatan gravitasi bumi) dan percepatan dalah arah sumbu X sama dengan nol, Gambar di atas menunjukkan sebuah benda yang dilempar dengan kecepatan awal vo. lintasan yang

dilalui benda dari titik A,B,C, dan D. Jika benda mula-mula dilempar dengan arah membentuk sudut

terhadap sumbu X maka komponen kecepatan awalnya (kecepatan di titik A) adalah

Pada gerak parabola nilai kecepatan benda dalam arah sumbu X, di tiap titik nilainya sama (GLB),karena tidak ada percepatan dalam arah sumbu X, sehingga di A = di B = di C = di D, yaitu . Sedangkan kecepatan dalam arah sumbu Y di ttitik A, B, C, dan D nilainya berbeda (GLBB), karena ADA percepatan dalam arah sumbu Y(nilai ).Posisi benda dalam arah sumbu X (dihitung dari titik A) adalah

Kecepatan dan posisi benda dalam arah sumbu Y di tiap titik adalah

Kecepatan benda dalam arah sumbu Y di titik C = 0, karena benda berhenti beberapa saat

sebelum kembali ke bawah.

Kecepatan total benda di tiap titik dicari dengan persamaan

Dari pesamaan ygvvoy 2sin 222 atau hgvv

oy 2sin 222 , didapat ketinggian maksimum

yang yang dicapai oleh benda adalah

Dari persamaan dan , maka diperoleh R sbb

, sehingga harga Xh maks adalah

11

X

Y

oxv

oyv 0v

xv

xv

yv v

v

xv

yvA

B

C

Dmaxh

RmakshX

y

Waktu yang diperlukan benda dari titik A sampai ke titik C (hmaks) adalah sbb

Sedangkan waktu yang diperlukan benda dari mulai dilempar sampai kembali ke tanah/lantai di

titik D adalah

KEADAAN DI TITIK TERTINGGI (Titik c)

Energi Kinetiknya adalah :

Energi Potensialnya adalah :

(Satuan Energi Kinetik = Energi Potensial = Joule (J))

Example 10:

Sebuah benda dilempar dengan sudut elevasi 30o dan dengan kecepatan awal 20 m/s. hitunglah : (a) koordinat benda setelah 1 detik (x,y), (b) tinggi maksimum yang dicapai benda, (c) kapan dan dimana benda mencapai tanah kembaliAnswer :(a). t = 1 detik,

Jadi koordinat benda setelah 1 detik adalah (103 , 5)

(b). Tinggi maksimum yang dicapai benda adalah

(c) kapan benda mencapai tanah

dimana benda mencapai tanah

Example 11:Sebuah sasaran terletak pada koordinat (50,8) m. seorang melemparkan batu dengan sudut 37o ke arah sasaran tersebut dari pusat koordinat. Berapakah kecepatan awal yang harus diberikan agar batu itu tepat mengenai sasaran?Answer :

Dari soal diketahui data sbb:

12

X

Y

o37

50

8

oo

o

oxo

oo

ooy

oo

oox

vvt

tv

tvxx

vvv

vvv

25,6

8,0

50

8,0050

6,037sin

8,037cos

2

2

2

21

22

1

25,390655,29

25,390655,378

25,610

5.626,08

sin

o

o

ooo

o

v

v

vvv

tgtvy

smv

v

o

o

/78,2508,662

5,29

25,390652

Example 12:

Dari sebuah bukit yang memiliki ketinggian 100 m, sebuah bola ditendang secara horizontal. Ternyata bola tersebut jatuh ditanah pada jarak 80 m dari tempat pelemparan (lihat gambar). Waktu yang diperlukan bola tersebut untuk mencapaitanah adalah..... (g = 9,8 m/s2)Answer :

Waktu yang diperlukan oleh bola untuk jatuh ke tanah dari ketinggian 100 meter adalah

Tugas 4

Kerjakan soal-soal berikut dengan benar di buku tugas!

1. Sebuah pesawat terbang bergerak mendatar dengan kecepatan 200 m/s melepaskan bom dari ketinggian 500 m. Jika bom jatuh di B, dan g = 10m/s2, maka jarak AB adalah …

2. Sebutir peluru ditembakkan condong ke atas dengan kecepatan awal 100 m/s hingga mengenai sasaran di titik tertinggi yang jarak mendatarnya 250√3 m. Jika g = 10 m/s2, Besar sudut elevasinya adalah

3. Sebuah peluru ditembakkan dengan sudut elevasi 30dan dengan kecepatan 40 m/s. Jika gesekan dengan udara diabaikan, maka ketinggian maksimum peluru adalah……( g = 10 m/s2)

4. Sebuah mobil hendak menyeberangi sebuah parit yang lebarnya 4,0 meter. Perbedaan tinggi antara kedua sisi parit tersebut adalah 15 cm seperti yang ditunjukkan pada gambar. Jika percepatan garvitasi g = 10 m/s2, maka besar kelajuan minimum yang diperlukan oleh mobil tersebut agar penyeberangan mobil tepat dapat berlangsung adalah

5. Bola A dilempar dengan kecepatan awal 5 m/s dan sudut elevasi 30o. Bola B dilempar dengan sudut elevasi 45o. Jika tinggi maksimum kedua bola sama, maka kecepatan awal benda B adalah

6. Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 20 m/s dengan sudut elevasi 45o menuju sebuah gawang. Seorang kiper yang terletak pada jarak 60 m berlari menyambut bola. Berapa kecepatan kiper jika ia ingin menangkap bola tepat sesaat sebelum bola jatuh menyentuh tanah?

7. Sebuah benda dilempar dengan sudut elevasi 60o dengan kecepatan awal 10 m/s. tentukan besar kecepatan total benda pada saat detik!

13

m80

500 m

A B

052√3 m

V os/m 001 =

narasas

m4

mc51

v

8. Tentukan sudut elevasi sebuah peluru dimana tinggi maksimumnya sama dengan jarak mendatar terjauhnya !

9. Tentukan sudut elevasi sebuah peluru dimana tinggi maksimumnya sama dengan 1/2 jarak

mendatar terjauhnya !

10. Sebuah peluru bermassa 20 gram ditembakkan pada sudut elevasi 60o dengan kecepatan 40 m/s. Jika gesekan dengan udara diabaikan, maka energi kinetik peluru pada titik tertinggi adalah

11. Sebuah benda dilemparkan dengan sudut elevasi tertentu ke atas sehingga membentuk lintasan parabola. Agar pada lintasan tertinggi benda memiliki perbandingan energi kinetik : energi potensial sebesar 3 : 1, maka sudut elevasi pelemparan benda adalah.....

12. Dari tepi sebuah meja sebuah kelereng meluncur dengan kecepatan 14 m/s. Jika tinggi meja 1,2 meter tentukan (a) waktu yang diperlukan untuk jatuh ke lantai, (b) tempat kelereng jatuh diukur dari tepi meja?

13. Sebuah bola sepak yang ditendang menempuh lintasan parabola, dan menyentuh tanah pada tempat yang jauhnya 60 m dan arahnya membentuk sudut 30o terhadap horizontal. Jika g = 10 m/s2 , tentukan (a) kelajuan awal bola; (b) lama bola diudara.

14. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 100 m/s dan sudut elevasi 37o. Jika percepatan gravitasi 10 m/s2. Tentukan (a) lama peluru di udara; (b) jarak terjauh yang dicapai peluru (R) (sin 37o = 0,6 ; cos 37o = 0,8)

15. Sebuah benda dilemparkan dengan sudut elevasi 30o dan dengan kecepatan awal 20 m/s. hitunglah (a) tinggi maksimum yang dicapai benda; (b) dimana benda mencapai tanah kembali!

14