Kinematika5. Posisi sudut, Kecepatan sudut, danPercepatan sudutPokok Bahasan1. Posisi partikel pada suatu bidang2. Kecepatan partikel pada suatu bidang3. Percepatan partikel pada suatu bidang4. Gerak parabolaPosisi Partikel pada BidangMisalkan sebuah partikel bergerak lurussepanjang sumbu-X dengan titik O sebagaiacuan.Untuk menyatakan posisi partikel tersebut dititik A,B,C dan D, kita cukup menyatakannyasebagai xA = 2, xB = 5, xC= -3 dan xD = -41 2 3 4 5 0 -1 -2 -3 -4O A B C Dx -xxAxBxCxDUntuk menyatakan posisi sebuah partikel yangbergerak pada suatu bidang ( 2 demensi ), kita dapatmenggunakan vektor satuan.Vektor satuan adalah vektor yang besarnya samadengan satu dan arahnya sama dengan arahkomponen vektor.Pada bidang (2 demensi) dalam koordinat kartesiusterdapat 2 buah vektor satuan, yaitu i menyatakanvektor satuan ke arah smb-x, dan j yang menyatakanvektor satuan pada smb-yVektor PosisiVektor PosisiyxAryixiPosisi titik A dalam bidang xoy tersebut dapatdinyatakan dalam vektor posisi :r = xi + yji, merupakan vektor satuan pada sumbu x danj, merupakan vektor satuan pada sumbu yBesar vektor r adalah :2 2ixjy r + =oVektor posisi merupakan vektor yang menyatakan posisi suatu titik padasuatu bidang atau ruangKoordinat KartesiusKoordinat kartesius, umumnya menempatkankoordinat (0,0) sebagai pusat acuannya.Misalkan dalam koordinat kartesius titik Aberada pada koordinat (2,4), dan titik B padakoordinat (-2,3).Jika digambarkan titik (0,0) yang dijadikansebagai titik acuan, maka titik A dan B dapatdigambarkan sebagai berikut :GambarGrafik kartesius yangmenggambarkan koordinatA (2,4) dan B (-2,3)Koordinat PolarSelain menggunakan grafik kartesius, posisisuatu partikel dapat pula ditunjukkan denganmenggunakan grafik koordinat polar (r , ). Dimana r adalah jarak suatu titik ke pusatkoordinat, dan adalah sudut dari sumbu xpositif dalam koordinat kartesius menuju titikmateri dengan arah berlawanan arah jarumjam.Hubungan antara koordinat kartesius dankoordinat polar adalah :Misalnya, suatu titik berjarak 10 cm dari titikpusat koordinat dan membentuk sudut 37terhadap sumbu x positif, maka gambaranposisi titik tersebut dalam koordinat polaradalah seperti berikut ini.GambarGrafik polar yangmenunjukkankedudukan (10, 37)Kedudukan dalam koordinat polar dapatdiubah dalam koordinat kartesius. Besar nilai xdan y adalah :Kedudukan atau posisi suatu bendadinyatakan dalam vektor satuan. Adapunpersamaan umum vektor posisi dalam duadimensi adalah :r = x i + y jdi mana besar vektor satuani = 1dan besar vektor satuan j = 1Latihan1. Kedudukan suatu titik D ditunjukkan olehkoordinat kartesius (3,6). Nyatakankoordinat titik tersebut dalam koordinatpolar ! jawab2. Kedudukan titik Y ditunjukkan olehkoordinat polar (4, 45). Nyatakan koordinattersebut dalam koordinat kartesius ! jawab3. Suatu titik A mempunyai kedudukan yangditunjukkan koordinat kartesius (2,4).Tentukan vektor posisi titik tersebut ! jawab4. Titik H mempunyai kedudukan (4, 30).Tentukan vektor posisi titik tersebut ! jawabTugas IndividualBuatlah grafik perpindahan yang kamulakukan saat kamu berangkat dari rumahmenuju sekolah! Gunakan skesta dan acuanarah mata angin. Jika perlu, gunakan kertasmilimeter blok, agar lebih teliti!JawabanJawaban Soal 1JawabanJawaban Soal 2Jawaban soal No.3Jawaban soal No.4PerpindahanPengertian perpindahan perlu dibedakandengan jarak. Sebagai sebuah ilustrasi,seandainya ada seorang anak yang berjalanke timur sejauh10 m, kemudian kembali kearah barat 4 m, maka dikatakan bahwaperpindahan anak tersebut adalah 6 m, namunjarak yang ditempuhnya sebesar 14 m.Dengan demikian, coba simpulkan perbedaanperpindahan dan jarak itu!PerpindahanAdanya perbedaan pengertian perpindahandan jarak, akan berimplikasi terhadappengertian akan kecepatan (velocity) dankelajuan (speed). Perpindahan yang ditempuholeh suatu benda tiap satuan waktu akanmenunjukkan kecepatan, dan besarnya jarakyang ditempuh oleh suatu benda tiap satuanwaktu disebut dengan kelajuan.Suatu benda dikatakan melakukanperpindahan jika posisi dari benda tersebutmengalami perubahan terhadap titik acuanDalam sistem koordinat kartesius, misalkansuatu titik N, mula-mula saat t = 0 berada dititik (1,1) m, kemudian saat t = 4 s berada padatitik (4,5) m, maka besaran-besaran yangberkaitan dengan vektor perpindahan adalah : Komponen vektor perpindahan titik N padasumbu x adalah 3 Komponen vektor perpindahan titik N padasumbu y adalah 4 Besar vektor perpindahan titik N adalah :Arah perpindahan titik N adalah :maka = 53,1terhadap sumbu x positifdengan arah berlawanan arah jarum jam.Suatu vektor posisi dapat pula dinyatakandalam sebuah persamaan yang mengandungunsur t, seperti vektor posisi T = 5t i + 2 t2j .Sehingga misalkan ditanyakan vektor posisititik T saat t = 3 s adalah T = 5 (3) i + 2 (3)2j =15 i + 18 j.Latihan1. Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1)m, dan pada t = 4 s pada posisi (6,4) m. Tentukan :a. vektor perpindahannyab. komponen vektor perpindahan pada sumbu xc. komponen vektor perpindahan pada sumbu yd. besar perpindahannyae. arah perpindahannyajawab2. Titik I mempunyai vektor posisi r =t2i + 2 t j.Tentukan :a.Vektor posisi awal (saat t = 0 s)b.Vektor posisi saat t = 2 sc.Vektor posisi saat t = 4 sd.Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 se.Besar vektor perpindahannyajawabTugasTugasKelompokBuatlah kelompok minimal terdiri atas 3orang, maksimal 5 orang. kemudiandiskusikan tentang berbagai perpindahanyang telah kamu lakukan pada hari ini!Apakah dapat dikatakan bahwa kamu telahmelakukan perpindahan, jika kamu dari kelaspergi ke belakang, dan kemudian kembalilagi ke kelas?Jawaban Soal 1Jawaban Soal 2KecepatanBila suatu partikel mengalami perubahankedudukan dalam suatu selang waktu tertentumaka besar perubahan kedudukan dalamselang waktu tesebut disebut kecepatan.Sebagai misal, jika seorang anak pergi ke arahtimur sejauh 8 m dalam 4 sekon, makadikatakan kecepatan anak tersebut 2 m/s.Hal ini akan memiliki makna yang berbeda, jikadalam 4 sekon berikutnya, anak tersebutkembali ke arah barat 8 m, maka kedudukananak tersebut berada di titik semula, sehinggadapat dikatakan anak tersebut tidak melakukanperpindahan, sehingga kecepatannya nol.a. Kecepatan rata-ratakecepatan rata-rata dinyatakan sebagai hasilbagi perpindahan terhadap selang waktu dariperpindahan itu dan dirumuskan:ContohTitik materi D pada detik t = 1 s berada pada posisi(2,0) m dan pada t = 4 s berada pada posisi (8,8)m. Tentukan :a. vektor kecepatan rata-ratanya jawabb. komponen vektor kecepatan rata-rata padasumbu x jawabc. Komponen vektor kecepatan rata-rata padasumbu y jawabd. besar vektor kecepatan rata-ratajawabe. arah kecepatan rata-ratanya jawabJawabans m j ij itrv / )382 (38 6+ =+=AA=s m vy/38=c.s m v / 11 , 1138222=|.|

\|+ = d.0 113 , 53 ) 33 , 1 ( tan33 , 123 8tan= == = =uuxyvve.b. Kecepatan SesaatKecepatan sesaat didefinisikan sebagaikecepatan rata-rata untuk selang waktu t yang mendekati nol, yang bila dinyatakandalam persamaan limit dirumuskan :Pada gambar ditunjukkan,apabila selang waktu tsemakin diperkecil mendekatinol (t >0 ) dengan t1tetapdan t2 mendekati t1maka akan mendekati nol dankecepatan rata-rata akanmenjadi kecepatan sesaat.Kecepatan sesaat dapat dinyatakan sebagaiturunan pertama dari fungsi posisi terhadapwaktu.Secara matematis ditulis:Percepatan sesaat sebuah partikel yang bergerakpada bidang dapat dinyatakan sebagai berikut:Apabila selang waktu tmendekati nol, maka r akanmendekati nol ( P2 mendekatiP1 ) maka kecepatan rata-ratamenjadi kecepatan sesaat.Kecepatan sesaat untuk gerak partikel padabidang adalah turunan pertama dari fungsi rterhadap waktu t .Secara matematis dituliskan:Kecepatan sesaat dapat dinyatakan dalamkomponen vektor sebagai berikut:Besar kecepatan sesaatnya (Laju sesaat) :Nilai Kecepatannya menurut arah sumbu xdan sumbu y dapat dinyatakan :Sekilas tentang turunanSekilas tentang DefferensialDefferensial suatu fungsi juga dikenal dengan istilahturunan dari fungsi tersebut.Misal : persamaan fungsi x atau y terhadap tx = sin t dan y = cos tMaka turunan dari pers. tersebut adalaht tdtdydtdyt tdtdxdtdxsin ) (cos ) (cos ) (sin ) ('' = = == = =Misalkan persamaan fungsinya:nat x =Maka defferensial dari fungsi tersebut :1 ''.) ( ) (== =nnat n xatdtdxdtdxSekilas tentang IntegralIntegral merupakan kebalikan dari Defferensial.Secara Umum integral dapat dituliskan :1.11. ..++==n ntna dt t aat dt aatadt atatadt att dt tt dt tsin1. coscos1. sinsin . coscos . sin= == =Menentukan Posisi dari fungsikecepatanUntuk menentukan posisi partikel pada bidangyang fungsi kecepatannya diketahui dapatditentukan dari luas kurva dibawah grafik fungsikecepatanterhadap waktu dengan metodeintegral. Jika komponen kecepatan masing-masing vx dan vydengandtdxvx =dtdyvy = danmaka + == ==txtxtxxxxdt v x xdt v x xdt v dxdtdxv000000Maka posisi partikel dapat dicari dengan caraintegral sbb: + == ==tytytyyyydt v y ydt v y ydt v dydtdyv000000Sehingga vektor posisinya :j dt v y i dt v x rtytx 0000||.|

\|+ +||.|

\|+ = j y i x r + =Percepatan1. Percepatan Rata-rata1 21 2t tv vtvar=AA= Percepatan Rata-rata pada bidang:j a i a ary rx r + =2. Percepatan sesaat:tva atrtAA= = A A 0 0lim limPercepatan sesaat partikel pada bidang:jdtv didtv daj v i v vdtddtv dayxy x ) (+ =+ = = =j a i a ay x + =Karenadtdxvx =dtdyvy =dan maka2222dty ddtdydtdadtx ddtdxdtdayx=|.|

\|==|.|

\|=Untuk sistem koordinat kartesius yang saling tegaklurus, percepatan dapat ditentukan sbb:2 2y xa a a + =dengan besar sudut:||.|

\|==xyxyaaaa1tantanuuMenentukan kecepatan dariPercepatanUntuk menentukan kecepatan dari fungsi percepatandapat dilakukan dengan cara integral. Bila diketahuipercepatan :dtdva =makadt a dvdtdva . = = = =ttvvttdt a v vdt a dv00 0..0+ =ttdt a v v0.0Latihan SoalLatihan Soal1. Vektor posisi sebuah partikel pada suatu saatdinyatakan sebagaiTentukan kecepatan partikel pada saat s.. )2 sin 42 cos 3 ( m j t i t r + =4t= t2. Persamaan kecepatan sebuah partikeldengan danPersamaan posisi partikel tersebutadalah.s m j v i v vy x/ ) ( + =t vx4 =) 6 5 (2t vy+ =Soal 3Soal 4Soal 5