kendali optimal pada model periklanan nerlove …
TRANSCRIPT
i
KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN
NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP
MAKSIMUM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Dewita Nur Fahma
NIM: 123114022
PROGRAM STUDI MATEMATIKA/JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
OPTIMAL CONTROL ON THE NERLOVE-ARROW
ADVERTISING MODEL WITH MAXIMUM PRINCIPLE
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement
to Obtain the Sarjana Sains Degree
in Mathematics
By:
Dewita Nur Fahma
Student Number: 123114022
MATHEMATICS STUDY PROGRAM/DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
“Pelangi tidak akan indah jika hanya ada satu warna”.
Karya ini saya persembahkan untuk:
Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya
sehingga skripsi ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya.
Bapak dan Ibu yang telah membesarkan, mendidik, mendoakan dan
memberikan dukungan saya dalam segala hal. Terima kasih atas perhatian,
kasih sayang dan dukungan yang telah diberikan, sehingga skripsi ini dapat
selesai.
Bapak Hartono yang dengan sabar membimbing dan membantu saya dalam
penulisan skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Teori kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk
mencari penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Teori kendali optimal dapat dit-
erapkan dalam bidang manajemen. Aplikasi kendali optimal pada bidang
manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi
dan penyimpanan, periklanan, dan lain-lain. Dalam tugas akhir ini akan dibahas
mengenai model periklanan, yaitu model periklanan Nerlove-Arrow. Tujuan dari
model periklanan Nerlove-Arrow adalah untuk mencari keadaan yang optimal,
yaitu nilai maksimal dari fungsi tujuan. Prinsip maksimum digunakan dalam tugas
akhir ini untuk memperoleh keadaan optimal. Konsep-konsep yang digunakan
dalam memperoleh keadaan optimal adalah persamaan Hamiltonian, dan fungsi ad-
join.
Kata kunci: Kendali optimal, Goodwill, Model Periklanan, Persamaan Hamilto-
nian, Fungsi Adjoin, Prinsip Maksimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
Optimal control theory is a branch of mathematics developed to find optimal
ways to control dynamical system. Optimal control theory can be applied in man-
agement area. Optimal control can be applied in finance, economics, production
and inventory, advertising, etc. This thesis will discuss Nerlove-Arrow advertising
model. The purpose of Nerlove-Arrow advertising model is to find the optimal way,
to maximize value of the objective function. Concepts which are used to find the
optimal ways is Hamiltonian equation and adjoint function.
Keyword: Optimal control, Goodwill, Advertising Model, Hamiltonian equation,
Adjoint Function, Maximum Principle.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah
memberikan rahmat, taufik, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di
Universitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena
dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan ataupun lembaga.
Untuk itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terima kasih
kepada:
1. Y.G. Hartono, Ph. D, selaku dosen pembimbing skripsi, Dosen Pembimbing
Akademik, dan sekaligus Ketua Program Studi Matematika yang telah
meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan
sehingga terselesaikannya skripsi ini.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas
Sains dan Teknologi.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.
Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.
selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak
pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv
HALAMAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................... vi
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii
ABSTRAK ....................................................................................................... viii
ABSTRACT ....................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ......................................................................................... x
DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah ........................................................................ 1
B. Rumusan Masalah ................................................................................. 1
C. Batasan Masalah ................................................................................... 2
D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 2
E. Metode Penulisan .................................................................................. 2
F. Manfaat Penulisan ................................................................................ 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 4
BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL .................................................... 5
A. TEORI KENDALI OPTIMAL .............................................................. 5
B. Contoh-Contoh Kendali Optimal ........................................................... 7
C. Notasi dan Konsep .............................................................................. 14
D. Pengantar Prinsip Maksimum ............................................................. 15
D.1. Model Matematika ..................................................................... 15
D.2. Kendala ...................................................................................... 16
D.3. Fungsi Tujuan ............................................................................ 17
D.4. Masalah Kendali Optimal ........................................................... 17
E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum ........................................... 18
E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman .......................................... 18
F. Derivasi Persamaan Adjoin ................................................................. 23
G. Prinsip Maksimum .............................................................................. 25
G.1. Contoh Prinsip Maksimum .......................................................... 26
H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran ......... 31
H.1. Contoh Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Cam-
puran .................................................................................................. 33
I. Nilai Sekarang (Current Value) ........................................................... 37
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
J. Titik Akhir Bebas (free-end-point) ...................................................... 40
K. Jangka Waktu Tak Berhingga (Infinite Horizon) dan Stasioneritas ...... 41
BAB III MODEL PERIKLANAN NERLOVE ARROW ................................... 44
A. Model Matematis ................................................................................ 44
B. Solusi Menggunakan Prinsip Maksimum ............................................ 47
BAB IV PENUTUP ........................................................................................... 52
A. Kesimpulan ......................................................................................... 52
B. Saran .................................................................................................. 53
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 54
LAMPIRAN ...................................................................................................... 55
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan
masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika
penulisan.
A. Latar Belakang
Pemasaran merupakan salah satu aspek penting untuk menentukan kesuksesan
keuangan suatu perusahaan. Pemasaran akan berdampak banyak dalam perkembangan
ekonomi suatu perusahaan. Pemasaran produk suatu perusahaan akan membuat
konsumen mengetahui keberadaan perusahaan dan produk yang dihasilkan. Apabila
keduanya semakin dikenal oleh konsumen, maka akan meningkatkan pendapatan suatu
perusahaan tersebut. Salah satu strategi pemasaran adalah periklanan.
Periklanan yang dilakukan dengan cara yang tepat akan membuat konsumen
tertarik dengan produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Oleh karena itu, ada
keyakinan yang timbul dari para ahli ekonomi bahwa biaya yang dikeluarkan untuk
periklanan merupakan investasi.
Masalah menentukan kebijakan periklanan dari waktu ke waktu merupakan aspek
penting dalam bidang pemasaran. Ada beberapa pendekatan yang berhubungan dengan
masalah ini. Di antaranya dengan menggunakan pemrograman matematis dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
pemrograman dinamis. Ada pendekatan lain yaitu dengan menggunakan
pendekatan teori kendali optimal. Dalam pendekatan ini, sistem dinamik dimodelkan
sebagai satu atau lebih persamaan diferensial yang kemudian dioptimalkan
menggunakan prinsip maksimum.
Diasumsikan bahwa perusahaan ingin memaksimalkan fungsi tujuan, yaitu nilai
sekarang dari keuntungan bersih suatu perusahaan dengan waktu yang terbatas maupun
tak terbatas. Jelas bahwa keuntungan bersih suatu perusahaan tergantung pada
penjualan dan periklanan. Peranan dari teori kendali optimal adalah untuk menemukan
kebijakan periklanan yang memaksimalkan fungsi tujuan perusahaan.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana memodelkan periklanan dengan model Nerlove-Arrow?
2. Bagaimana menyelesaikan model periklanan Nerlove-Arrow menggunakan
prinsip maksimum?
C. Batasan Masalah
Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:
1. Aplikasi kendali optimal pada bidang periklanan yang akan dibahas adalah
model Nerlove-Arrow.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
2. Model periklanan Nerlove-Arrow akan diselesaikan menggunakan prinsip
maksimum.
3. Model periklanan Nerlove-Arrow hanya akan dibahas pasa kasus linier.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengenalkan aplikasi kendali
optimal pada bidang model periklanan Nerlove-Arrow dan menyelesaikannya dengan
menggunakan prinsip maksimum.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah pembaca
dapat mengetahui aplikasi kendali optimal pada bidang periklanan serta bagaimana
cara penyelesaiannya dengan menggunakan prinsip maksimum. Selain itu pembaca
juga dapat memaksimalkan hasil pendapatan bersih suatu perusahaan.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi
pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang
berkaitan dengan model periklanan Nerlove-Arrow serta penyelesaiannya mengguna-
kan prinsip maksimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL
A. Teori Kendali Optimal
B. Contoh-Contoh Kendali Optimal
C. Prinsip Maksimum
BAB III MODEL NERLOVE-ARROW
A. Model Periklanan Nerlove-Arrow
B. Penyelesaian Model Nerlove-Arrow
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Penutup
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB II
PENGANTAR KENDALI OPTIMAL
A. Teori Kendali Optimal
Banyak aplikasi dari bidang manajemen yang menggunakan teori kendali optimal.
Kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk mencari
penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Aplikasi kendali optimal pada bidang
manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi dan
penyimpanan, periklanan, dan lain-lain.
Dimisalkan variabel 𝑥(𝑡) merupakan variabel kondisi (state variable) dari suatu
sistem pada waktu 𝑡 ∈ [0, 𝑇], dengan 𝑇 > 0 menunjukkan jangkauan waktu (time
horizon) pada suatu sistem. Sebagai contoh, 𝑥(𝑡) dapat menyatakan banyaknya
penyimpanan suatu barang pada waktu 𝑡, seberapa populer suatu produk (goodwill)
pada waktu t, ataupun besarnya sumber daya alam yang tidak dipakai pada waktu 𝑡.
Diasumsikan bahwa ada cara untuk mengendalikan suatu keadaaan pada sistem.
Misalkan 𝑢(𝑡) adalah variabel kendali dari suatu sistem pada waktu 𝑡. Sebagai contoh,
𝑢(𝑡) dapat menyatakan besarnya tingkat produksi pada waktu 𝑡, besarnya tingkat
periklanan pada waktu 𝑡, dan lain-lain.
Diberikan variabel kondisi 𝑥(𝑡), variabel kendali 𝑢(𝑡), dan persamaan sistem
dinamis sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
�̇�(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0, (2.1)
di mana �̇�(𝑡) adalah notasi untuk 𝑑𝑥(𝑡)/𝑑𝑡 yang menyatakan laju perubahan variabel
kondisi terhadap waktu 𝑡, 𝑓 adalah fungsi dari 𝑥, 𝑢, 𝑡, dan 𝑥0 adalah kondisi awal dari
variabel kondisi. Variabel kondisi dan kendali digunakan untuk memaksimalkan fungsi
tujuan yang berbentuk integral sebagai berikut:
𝐽 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑆[𝑥(𝑇), 𝑇]𝑇
0
. (2.2)
Pada persamaan (2.2), 𝐹 bisa menyatakan tentang besarnya keuntungan dikurangi
biaya periklanan, besarnya kegunaan dari konsumsi suatu barang, besarnya biaya
minimum pada proses penyimpanan dan produksi, dan lain-lain. 𝑆 pada persamaan
(2.2) menyatakan besarnya nilai sisa pada kondisi 𝑥(𝑇) waktu 𝑇. Variabel kendali
𝑢(𝑡) seringkali terbatas, yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑢(𝑡) ∈ 𝛺(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], (2.3)
dengan Ω(𝑡) adalah himpunan dari variabel kendali yang memungkinkan pada waktu
𝑡. Namun, ada beberapa kendala khusus yang mungkin diperlukan, yaitu:
Kendala ketaksamaan campuran
𝑔(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) ≥ 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇] (2.4)
dengan 𝑔 adalah fungsi dari 𝑢, 𝑡 dan juga 𝑥.
Kendala yang hanya melibatkan variabel kondisi:
ℎ(𝑥, 𝑡) ≥ 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇] (2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
dengan ℎ adalah fungsi dari 𝑥 dan 𝑡. Kendala (2.5) seringkali disebut dengan kendala
kondisi murni.
Kendala batas dari kondisi akhir 𝑥(𝑇):
𝑥(𝑇) ∈ 𝑋(𝑇), (2.6)
dengan 𝑋(𝑇) disebut batasan permintaan atau target dari variabel kondisi pada waktu
𝑇.
B. Contoh-Contoh Kedali Optimal
Berikut ini adalah contoh-contoh kendali optimal pada bidang produksi, periklaan,
dan ekonomi. Pada contoh-contoh berikut ini akan ditunjukkan variabel-variabel dan
fungsi yang digunakan pada masing-masing bidangnya.
Contoh 2.2 Model Periklanan
Model periklanan yang akan dibahas pada contoh ini adalah Model Periklanan
Nerlove-Arrow. Masalah yang harus diselesaikan adalah menentukan tingkat
pengiklanan suatu produk pada waktu 𝑡. Variabel kondisinya adalah goodwill, 𝐺(𝑡),
yaitu seberapa populer suatu produk pada waktu 𝑡. Diasumsikan bahwa ada koefisien
lupa (forgetting) 𝛿, yang menyatakan seberapa besar pelanggan mulai melupakan suatu
produk. Untuk mengatasi masalah tersebut, proses periklanan dilakukan pada tingkat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
tertentu dan diukur menggunakan variabel kendali 𝑢(𝑡). Maka diperoleh persamaan
kondisinya sebagai berikut:
�̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡),
dengan 𝐺(0) = 𝐺0 > 0 adalah kondisi awal dari goodwill suatu produk.
Berikut ini akan diberikan variabel-variabel yang digunakan dalam Model
Periklanan Nerlove-Arrow yang akan ditunjukkan pada tabel 1.2:
Variabel Kondisi 𝐺(𝑡) = Goodwill
Variabel Kendali 𝑢(𝑡) = Tingkat periklanan
Persamaan Kondisi �̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0
Fungsi Tujuan Memaksimumkan {𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡
∞
0
}
Kendala Kondisi -
Kendala Kendali 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑄
Kondisi Akhir -
Fungsi Eksogen 𝜋(𝐺(𝑡)) = Laba kotor
Parameter 𝛿 = Nilai konstan goodwill
𝜌 = Tingkat diskon
𝑄 = Batas atas tingkat periklanan
𝐺0 = Nilai awal goodwill
Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Fungsi tujuan 𝐽 memerlukan kajian khusus. Perlu diperhatikan bahwa fungsi J
akan diintegralkan dari waktu 𝑡 = 0 ke waktu 𝑡 → ∞; karena memiliki batas waktu
atas ∞ maka disebut dengan horizon tak hingga (infinite horizon problem). Karenanya,
integran dari fungsi tujuan tersebut memuat faktor diskonto 𝑒−𝜌𝑡, dengan 𝜌 > 0 adalah
tingkat diskon (konstan). Sisa integran di fungsi tujuan terdiri dari tingkat laba kotor
𝜋(𝐺(𝑡)). Tingkat goodwill 𝐺(𝑡) pada waktu t dikurangi biaya iklan yang diasumsikan
sebanding dengan 𝑢(𝑡) (faktor proporsionalitas = 1); dengan demikian 𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)
adalah tingkat laba bersih pada waktu t. Begitu juga [𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑒−𝜌𝑡 adalah nilai
sekarang dari tingkat keuntungan pada waktu t. Oleh karena itu, J dapat diartikan
keuntungan masa depan dan hasil yang ingin kita maksimalkan. Ada kendala kendali
0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑄 mana 𝑄 adalah batas atas tingkat periklanan. Namun, tidak ada kendala
kondisi, karena goodwill 𝐺(𝑡) tidak pernah bernilai negatif.∎
Agar lebih mudah dimengerti, berikut akan diberikan contoh pengaplikasian
kendali optimal pada kasus periklanan. Misalkan 𝜋(𝐺) = 2√𝐺, 𝛿 = 0.05, 𝜌 =
0.2, 𝑄 = 2, dan 𝐺0 = 16. Diberikan 𝑢(𝑡) = 0.8 untuk 𝑡 ≥ 0. Buktikan bahwa 𝐺(𝑡)
konstan untuk setiap 𝑡. Hitunglah nilai dari fungsi tujuan 𝐽.
Penyelesaian:
Seperti yang telah diketahui, persamaan kondisi dari model periklanan adalah
�̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0 . Kemudian masing-masing kondisi yang telah
diberikan dalam soal disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut, menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
�̇�(𝑡) = 0.8 − (0.05)𝐺(𝑡)
Karena diketahui kondisi awal 𝐺(0) = 16, maka informasi ini dapat dibawa ke
dalam persamaan �̇�(𝑡), sehingga diperoleh:
�̇�(0) = 0.8 − (0.05)𝐺(0)
�̇�(0) = 0.8 − (0.05)(16) = 0.8 − 0.8 = 0
Selanjutnya,
�̇�(𝑡) + (0.05)𝐺(𝑡) = 0.8 (1)
Untuk membuktikan bahwa 𝐺(𝑡) konstan, maka dicari faktor integral 𝜇(𝑡) yaitu
sebagai berikut:
𝜇(𝑡) = 𝑒∫𝑃(𝑡) 𝑑𝑡
= 𝑒∫ 0.05 𝑑𝑡
= 𝑒0.05𝑡
Kemudian faktor integral tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (1)
menjadi:
�̇�(𝑡)𝜇(𝑡) + (0.05)𝐺(𝑡)𝜇(𝑡) = 0.8𝜇(𝑡)
�̇�(𝑡)𝑒0.05𝑡 + (0.05)𝐺(𝑡)𝑒0.05𝑡 = 0.8𝑒0.05𝑡
𝑑
𝑑𝑡[𝑒0.05𝑡𝐺(𝑡)]𝑑𝑡 = 0.8𝑒0.05𝑡𝑑𝑡
∫𝑑
𝑑𝑡[𝑒0.05𝑡𝐺(𝑡)]𝑑𝑡 = ∫0.08𝑒0.05𝑡𝑑𝑡
𝑒0.05𝑡𝐺(𝑡) = 0.8 (1
0.05𝑒0.05𝑡) + 𝑐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
𝑒0.05𝑡𝐺(𝑡) = 16𝑒0.05𝑡 + 𝑐
𝐺(𝑡) =16𝑒0.05𝑡 + 𝑐
𝑒0.05𝑡
𝐺(𝑡) = 16 + 𝑐𝑒−0.05𝑡.
Karena 𝐺(0) = 16, maka:
𝐺(0) = 16 + 𝑐0
16 = 16 + 𝑐
𝑐 = 0
Jadi, terbukti 𝐺(𝑡) = 16 konstan untuk semua 𝑡.
Selanjutnya nilai dari fungsi tujuan 𝐽 dapat dihitung menggunakan informasi-
informasi yang sudah didapatkan di atas.
𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡∞
0
= ∫ 𝑒−0.2𝑡[2√𝐺 − 0.8]𝑑𝑡∞
0
= ∫ 𝑒−0.2𝑡[2√16 − 0.8]𝑑𝑡∞
0
= ∫ 𝑒−0.2𝑡[7.2]𝑑𝑡∞
0
= 7.2∫ 𝑒−0.2𝑡𝑑𝑡∞
0
= 7.2 [−1
0.2𝑒−0.2𝑡]
0
∞
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
= 7.2 [−1
0.2𝑒−∞ − (−
1
0.2𝑒0)]
= 7.2(0 + 5)
𝐽 = 36
Jadi, didapatkan 𝐽 = 36.
Gambar 2.1. Grafik Nerlove-Arrow Dari Contoh Di Atas
Permasalahan lain misalkan 𝐺 menyatakan banyaknya orang yang mengetahui
suatu produk. 𝐴 menyatakan populasi, maka 𝐴 − 𝐺 adalah banyaknya orang yang tidak
mengetahui suatu produk. Jika 𝑢(𝑡) menyatakan besarnya laju periklanan pada waktu
𝑡, diasumsikan bahwa 𝑢(𝐴 − 𝐺) menyatakan laju kenaikan dari 𝐺 karena proses
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
periklanan. Buatlah model baru dari persamaan kondisi berdasarkan informasi-
informasi tersebut!
Penyelesaian:
�̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡)[𝐴 − 𝐺] − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0
memaksimalkan
𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡.
∞
0
Berikut akan diberikan ilustrasi numerisnya. Misalkan 𝐴 = 10000, 𝐺(0) = 𝐺0 =
1000, 𝜋(𝐺) =1
2√𝐺, 𝛿 = 0.6, 𝜌 = 0.2, 𝐺(𝑡) = 2500, dan 𝑢(𝑡) = 0.5 untuk 𝑡 ≥ 0.
Maka,
�̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡)[𝐴 − 𝐺] − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0
= 0.5[10000 − 2500] − 0.6 ∗ 2500
= 3750 − 1500
= 2250.
Jadi, perubahan goodwill terhadap waktu 𝑡 sebesar 2250 orang. Dengan menggunakan
informasi-informasi di atas, dapat dihitung nilai dari fungsi tujuan 𝐽.
𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡.
∞
0
= ∫ 𝑒−0.2𝑡 [
1
2√2250 − 0.5] 𝑑𝑡
∞
0
= ∫ 𝑒−0.2𝑡[23.22]𝑑𝑡
∞
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
= 23.22∫ 𝑒−0.2𝑡𝑑𝑡
∞
0
= 23.22 [−1
0.2𝑒−0.2𝑡]
0
∞
= 23.22 [−1
0.2𝑒−∞ − (−
1
0.2𝑒0)]
= 23.22(0 + 5)
𝐽 = 116.1 ∎
C. Notasi dan Konsep
Berikut akan diberikan penjelasan mengenai konsep yang akan dipakai dalam
tugas akhir ini. Hal ini bertujuan agar pembaca dapat memahami dengan jelas ketika
membaca tugas akhir ini.
Misalkan 𝑦 menyatakan 𝑛-komponen vektor kolom dan 𝑧 menyatakan 𝑚-
komponen vektor baris, seperti berikut:
𝑦 = (
𝑦1⋮𝑦𝑛) = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)
𝑇dan 𝑧 = (𝑧1, 𝑧1, … , 𝑧𝑛),
dengan huruf 𝑇 di atas sebuah vektor atau matriks menyatakan transpose dari
suatu vektor atau matriks. Jika 𝑦 dan 𝑧 merupakan fungsi dari waktu 𝑡 dan merupakan
suatu skalar, maka turunan dari �̇� = 𝑑𝑦 𝑑𝑡⁄ dan �̇� = 𝑑𝑧 𝑑𝑡⁄ didefinisikan sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
�̇� =𝑑𝑦
𝑑𝑡= (�̇�1, �̇�2, … , �̇�𝑛)
𝑇dan �̇� =𝑑𝑧
𝑑𝑡=(�̇�1, �̇�2, … , �̇�𝑚),
di mana �̇�𝑖dan �̇�𝑗 masing-masing menyatakan turunan dari 𝑑𝑦𝑖 𝑑𝑡⁄ dan 𝑑𝑧𝑖 𝑑𝑡⁄ .
Ketika 𝑛 = 𝑚, perkalian dalam (inner product) dapat didefinisikan sebagai:
𝑧 ∙ 𝑦 = ∑ 𝑦𝑖𝑧𝑖 = 𝑦𝑇𝑧𝑛𝑖=1 . (2.7)
Lebih jelasnya, jika terdapat matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] berukuran 𝑚× 𝑘 dan matriks 𝐵 =
[𝑏𝑖𝑗] berukuran 𝑘 × 𝑛, perkalian matriks didefinisikan sebagai 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗] = 𝐴𝐵
berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan
𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑟𝑏𝑟𝑗𝑘𝑟=1 . (2.8)
sebagai komponen-komponennya.
Misalkan 𝐸𝑘 menyatakan 𝑘-dimensi ruang Euclides. Elemen-elemennya berupa
vektor-vektor dengan 𝑘-komponen, baik itu vektor baris ataupun vektor kolom.
Dengan begitu pada persamaan (2.7), 𝑦 ∈ 𝐸𝑛 merupakan vektor kolom, sedangkan 𝑧 ∈
𝐸𝑚 merupakan vektor baris.
D. Pengantar Prinsip Maksimum
D.1. Model Matematika
Dalam aplikasi kendali optimal, hal yang terpenting yaitu membuat model dari
suatu sistem. Model yang baik yaitu model yang jelas, sederhana, dan mudah dipahami.
Selain itu, model yang baik juga harus realistis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Diberikan nilai awal 𝑥0 dan variabel kendali 𝑢(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇]. Perubahan dari
sistem terhadap waktu 𝑡 akan didefinisikan menggunakan persamaan diferensial, yang
dikenal sebagai persamaan kondisi (state equation) sebagai berikut:
�̇�(𝑡) = 𝒇(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0 (2.8)
di mana vektor variabel kondisi, 𝒙(𝒕) ∈ 𝐸𝑛, vektor variabel kendali, 𝒖(𝒕) ∈ 𝐸𝑚,
dan 𝒇: 𝐸𝑛 × 𝐸𝑚 × 𝐸1 → 𝐸𝑛.
Fungsi 𝒇 diasumsikan terdiferensial secara kontinu. Selain itu, diasumsikan bahwa
𝒙 merupakan sebuah vektor kolom dan 𝒇 merupakan vektor kolom dengan elemen-
elemennya suatu fungsi. Lintasan 𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], disebut dengan trayektori kondisi
(state trajectory) dan 𝑢(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], disebut dengan trayektori kendali (control
trajectory) atau biasa disebut dengan kendali.
D.2. Kendala
Kendala-kendala yang akan dibahas dalam subbab ini adalah kendala yang tidak
menyerupai persamaan (2.4) dan (2.5). Namun, kendala seperti persamaan (2.3) akan
tetap digunakan. Selanjutnya akan didefinisikan kendali yang memungkinkan
(admissible control) sebagai trayektori kendali dari 𝑢(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], yaitu sebagai
berikut
𝑢(𝑡) ∈ 𝛺(𝑡) ⊂ 𝐸𝑚, 𝑡 ∈ [0, 𝑇]. (2.9)
Biasanya, himpunan 𝛺(𝑡) ditentukan oleh kondisi ekonomi dari variabel kendali
pada waktu 𝑡.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
D.3. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan adalah ukuran kuantitatif performa sistem dari waktu ke waktu.
Kendali optimal didefinisikan sebagai suatu kendali yang memaksimalkan fungsi
tujuannya. Dalam masalah bisnis atau ekonomi, fungsi tujuan memberikan nilai yang
optimal terhadap keuntungan, penjualan, atau kerugian. Secara matematis, fungsi
tujuan didefinisikan sebagai berikut
𝐽 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑆[𝑥(𝑇), 𝑇]𝑇
0
(2.10)
dengan fungsi 𝐹: 𝐸𝑛 × 𝐸𝑚 × 𝐸1 → 𝐸1 dan 𝑆: 𝐸𝑛 × 𝐸1 → 𝐸1 diasumsikan
terdiferensialkan secara kontinu. Dalam dunia bisnis, 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) bisa digunakan untuk
mendeskripsikan fungsi keuntungan, sedangkan 𝑆[𝑥, 𝑇] bisa digunakan untuk
mendeskripsikan nilai sisa (salvage value) dari 𝑥 pada waktu tujuan 𝑇.
D.4. Masalah Kendali Optimal
Dalam kendali optimal, masalah yang harus diselesaikan yaitu mencari kendali 𝑢∗
yang sesuai sehingga dapat memaksimalkan fungsi tujuan (2.10) terhadap persamaan
kondisi (2.9). Sekarang, masalah kendali optimal dapat dinyatakan kembali dengan
{
max𝑢(𝑡)∈𝛺(𝑡)
{𝐽 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑆[𝑥(𝑇), 𝑇]𝑇
0
}
terhadap
�̇�(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0
(2.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Kendali 𝑢∗ disebut kendali optimal dan 𝑥∗ disebut dengan trayektori optimal
dengan persamaan kondisi di mana 𝑢 = 𝑢∗. Nilai optimal dari fungsi tujuan
dinotasikan dengan 𝐽(𝑢∗) atau 𝐽∗.
Masalah kendali optimal (2.11) disebut dengan persamaan Bolza. Apabila 𝑆 ≡ 0
maka disebut dengan persamaan Lagrange. Apabila diketahui 𝐹 ≡ 0 maka disebut
dengan persamaan Mayer. Selain itu, akan disebut persamaan Mayer linier ketika 𝐹 ≡
0 dan 𝑆 linier, sehingga menjadi,
{
max𝑢(𝑡)∈𝛺(𝑡)
{𝐽 = 𝑐𝑥(𝑇)}
terhadap
�̇� = 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0
(2.12)
dengan 𝑐 = (𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛) adalah vektor baris dengan dimensi-n yang elemen-
elemennya adalah konstanta-konstanta yang diberikan.
E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum
Sebelum sampai ke dalam Prinsip Maksimum, berikut ini akan dijelaskan terlebih
dahulu Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman dan Derivasi Persamaan Adjoin.
E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman
Misalkan 𝑉(𝑥, 𝑡): 𝐸𝑛 × 𝐸1 → 𝐸1 adalah nilai maksimum dari fungsi tujuan dari
masalah kendali optimal dengan waktu awal 𝑡 pada kondisi 𝑥. Dengan begitu,
𝑉(𝑥, 𝑡) = max𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)
∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)𝑇
0
, (2.15)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
dengan 𝑠 ≥ 𝑡,
𝑑𝑥
𝑑𝑠= 𝑓(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠), 𝑥(𝑡) = 𝑥.
Diasumsikan nilai dari fungsi 𝑉(𝑥, 𝑡) ada untuk semua 𝑥 dan 𝑡 pada interval yang
relevan. Selanjutnya, digunakan optimisasi untuk menderivatifkan kondisi pada fungsi
𝑉(𝑥, 𝑡). Pertama, batas integral pada fungsi tujuan 𝐽 menjadi 𝑡 sampai 𝑡 + 𝛿𝑡; kedua,
nilai fungsi 𝑉(𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑡 + 𝛿𝑡) pada waktu 𝑡 + 𝛿𝑡. Kendali 𝑢(𝜏) harus dipilih agar
terdapat di dalam 𝛺(𝜏), 𝜏𝜖[𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡], dan memaksimalkan integralnya. Agar
mempermudah memahami maksud dari kalimat di atas, berikut ini akan diperlihatkan
langkah-langkah untuk mendapatkan bentuk 𝑉(𝑥, 𝑡) yang baru.
𝑉(𝑥, 𝑡)
= max𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)
{∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠𝑡+𝛿𝑡
𝑡
+∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)𝑇
𝑡+𝛿𝑡
}
= max
𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠𝑡+𝛿𝑡
𝑡
+ max𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)
∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)𝑇
𝑡+𝛿𝑡
sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut
𝑉(𝑥, 𝑡) = max𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)
∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠𝑡+𝛿𝑡
𝑡
+ 𝑉(𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡 + 𝛿𝑡) (2.16)
dengan 𝛿𝑡 adalah kenaikan atau penambahan waktu 𝑡 yang sangat kecil. Hal ini
digunakan untuk membandingkan persamaan (2.16) dengan persamaan (2.15).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Karena 𝐹 adalah fungsi kontinu, integral dari persamaan (2.16) dapat
diaproksimasikan 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡, sehingga dapat ditulis menjadi
𝑉(𝑥, 𝑡) = max𝑢(𝑡)∈𝛺(𝑡)
{𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡 + 𝑉[𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡 + 𝛿𝑡]} + 𝑜(𝛿𝑡) (2.17)
dengan 𝑜(𝛿𝑡) disebut “little-o” yang menunjukkan koleksi dari suku-suku di dalam 𝛿𝑡
dengan order tinggi. Fungsi 𝐹(𝛿𝑡): 𝐸𝑚 → 𝐸1 dikatakan order dari 𝑜(𝛿𝑡) jika
lim‖𝛿𝑡‖→0
𝐹(𝛿𝑡)
‖𝛿𝑡‖= 0. Diasumsikan bahwa fungsi 𝑉 merupakan fungsi yang bisa diturunkan
dan kontinu (continously differentiable). Maka kita bisa menderetkan Taylor fungsi 𝑉
terhadap 𝛿𝑡, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:
𝑉[𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡 + 𝛿𝑡] = 𝑉(𝑥, 𝑡) + [𝑉𝑥(𝑥, 𝑡)�̇� + 𝑉𝑡(𝑥, 𝑡)]𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡), (2.18)
dengan 𝑉𝑥 dan 𝑉𝑡 merupakan turunan parsial dari 𝑉(𝑥, 𝑡) terhadap 𝑥 dan 𝑡, serta �̇� yang
diperoleh dari
𝛿𝑥 = 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑥(𝑡)
𝛿𝑥
𝛿𝑡 =
𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑥(𝑡)
𝛿𝑡
lim𝛿𝑡→0
𝛿𝑥
𝛿𝑡 = lim
𝛿𝑡→0
𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑥(𝑡)
𝛿𝑡
= �̇�
kemudian mensubstitusikan �̇� pada persamaan (2.8) ke dalam persamaan (2.17),
sehingga didapatkan:
𝑉(𝑥, 𝑡) = max𝑢∈𝛺(𝑡)
{𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡 + 𝑉(𝑥, 𝑡) +
𝑉𝑥(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡 + 𝑉𝑡(𝑥, 𝑡)𝛿𝑡} + 𝑜(𝛿𝑡).
(2.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Dengan menghilangkan 𝑉(𝑥, 𝑡) pada kedua ruas dan diikuti membagi kedua ruas
dengan 𝛿𝑡 didapatkan
0 = max𝑢∈𝛺(𝑡)
{𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑥(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑡(𝑥, 𝑡)} +𝑜(𝛿𝑡)
𝛿𝑡. (2.20)
Misalkan 𝛿𝑡 → 0 maka persamaan di atas berubah menjadi
0 = max𝑢∈𝛺(𝑡)
{𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑥(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑡(𝑥, 𝑡)} (2.21)
dengan batas
𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑚𝑎𝑥𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)
∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)𝑇
𝑡
𝑉(𝑥, 𝑇) = 𝑚𝑎𝑥𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)
∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)𝑇
𝑇
𝑉(𝑥, 𝑇) = 𝑚𝑎𝑥𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)
0 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)
𝑉(𝑥, 𝑇) = 𝑆(𝑥, 𝑇). (2.22)
Perlu diingat bahwa vektor 𝑉𝑥(𝑥, 𝑡) dapat diinterpretasikan sebagai kontribusi
marginal dari variabel kondisi 𝑥 untuk memaksimalkan fungsi tujuannya. Disimbolkan
vektor marginal sepanjang lintasan 𝑥∗(𝑡) dengan vektor baris adjoin 𝜆(𝑡)𝜖𝐸𝑛 sebagai
berikut:
𝜆(𝑡) = 𝑉𝑥(𝑥∗(𝑡), 𝑡) ≔ 𝑉𝑥(𝑥, 𝑡)|𝑥=𝑥∗(𝑡). (2.23)
dengan 𝜆(𝑡) dapat diinterpretasikan sebagai perubahan kecil fungsi tujuannya sebesar
𝑥∗(𝑡) pada waktu 𝑡.
Selanjutnya akan diberikan bentuk fungsi Hamiltonian, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
𝐻[𝑥, 𝑢, 𝑉𝑥, 𝑡] = 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.24)
atau dapat disederhanakan menjadi,
𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] = 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡). (2.25)
Persamaan (2.21) dapat dituliskan kembali menjadi,
0 = max𝑢∈𝛺(𝑡)
[𝐻(𝑥, 𝑢, 𝑉𝑥, 𝑡) + 𝑉𝑡], (2.26)
yang disebut dengan persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman atau persamaan (HJB).
Hamiltonian memaksimalkan kondisi dari prinsip maksimum dapat dihitung dari
persamaan (2.26) dan (2.23) dengan memastikan bahwa, jika 𝑥∗(𝑡) dan 𝑢∗(𝑡)
merupakan nilai yang paling optimal dari variabel kondisi dan kendali serta 𝜆(𝑡) adalah
nilai dari variabel adjoin pada waktu 𝑡 yang bersesuaian, maka kendali optimal 𝑢∗(𝑡)
harus memenuhi persamaan (2.26) untuk semua 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡),
𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡(𝑥∗(𝑡), 𝑡)
≥ 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡(𝑥∗(𝑡), 𝑡)
(2.27)
Dengan menghilangkan 𝑉(𝑡) pada kedua ruas, maka didapatkan
𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] (2.28)
untuk semua 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡).
Untuk sampai pada prinsip maksimum, ada aspek yang lain yang digunakan untuk
menghitung prinsip maksimum, yaitu derivasi persamaan adjoin.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
F. Derivasi Persamaan Adjoin
Derivasi persamaan adjoin didapatkan dari persamaan HJB (2.26). Perlu diingat
kembali bahwa 𝑥∗, 𝑢∗ memaksimalkan ruas kanan pada persamaan (2.26) dan nilai
maksimumnya adalah nol. Karenanya, misalkan
𝑥(𝑡) = 𝑥∗(𝑡) + 𝛿𝑥(𝑡), (2.29)
dengan 𝛿𝑥(𝑡), ∥ 𝛿𝑥(𝑡) ∥< 휀 untuk 휀 kecil positif.
Persamaan (2.26) dapat dituliskan kembali sebagai
𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝑉𝑥(𝑥∗(𝑡), 𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡(𝑥
∗(𝑡), 𝑡)
≥ 𝐻[𝑥(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝑉𝑥(𝑥∗(𝑡), 𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡(𝑥(𝑡), 𝑡).
(2.30)
Agar lebih mudah dipahami, persamaan (2.26) menjelaskan bahwa ruas kanan
dari persamaan (2.30) sama dengan nol jika 𝑢∗(𝑡) juga merupakan kendali optimal
untuk 𝑥(𝑡). Pada umumnya, untuk 𝑥(𝑡) ≠ 𝑥∗(𝑡) maka ruas kanan tidak akan bernilai
nol. Ruas kanan dari persamaan (2.30) akan mencapai nilai maksimumnya (nol) saat
𝑥(𝑡) = 𝑥∗(𝑡). Dengan kata lain, apabila ingin mencari fungsi 𝑥(𝑡) yang paling
maksimum maka harus dihitung turunan pertama ruas kanan terhadap 𝑥,
𝐻𝑥[𝑥(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝑉𝑥(𝑥
∗(𝑡), 𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡𝑥(𝑥(𝑡), 𝑡) = 0. (2.31)
Diasumsikan bahwa 𝑉 merupakan fungsi yang bisa diturunkan dua kali secara
kontinu. Dengan menggunakan definisi Hamiltonian pada persamaan (2.24), identitas
(2.22), dan fakta bahwa 𝑉𝑥𝑥 = (𝑉𝑥𝑥)𝑇, didapatkan
𝐹𝑥 + 𝑉𝑥𝑓𝑥 + 𝑓𝑇𝑉𝑥𝑥 + 𝑉𝑡𝑥 = 𝐹𝑥 + 𝑉𝑥𝑓𝑥 + (𝑉𝑥𝑥𝑓)
𝑇 + 𝑉𝑡𝑥 = 0, (2.32)
dengan simbol ᵀ merupakan operasi transpose.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Persamaan (2.32) merupakan langkah terpenting dalam menentukan turunan atau
derivasi dari persamaaan adjoin. Untuk menentukan turunan dari persamaan adjoin,
dimulai dari menurunkan 𝑉𝑥(𝑥, 𝑡) terhadap 𝑡. Maka,
𝑑𝑉𝑥𝑑𝑡
= (𝑑𝑉𝑥1𝑑𝑡
,𝑑𝑉𝑥2𝑑𝑡
, … ,𝑑𝑉𝑥𝑛𝑑𝑡
)
= (𝑉𝑥1𝑥�̇� + 𝑉𝑥1𝑡, 𝑉𝑥2𝑥�̇� + 𝑉𝑥2𝑡, … , 𝑉𝑥𝑛𝑥�̇� + 𝑉𝑥𝑛𝑡)
= (∑ 𝑉𝑥1𝑥𝑖�̇�𝑖
𝑛
𝑖=1,∑ 𝑉𝑥2𝑥𝑖�̇�𝑖
𝑛
𝑖=1, … ,∑ 𝑉𝑥𝑛𝑥𝑖�̇�𝑖
𝑛
𝑖=1) + (𝑉𝑥)𝑡
= (𝑉𝑥𝑥�̇�)𝑇 + 𝑉𝑥𝑡
= (𝑉𝑥𝑥𝑓)𝑇 + 𝑉𝑡𝑥.
(2.33)
Karena ruas kanan persamaan (2.33) sama dengan dua langkah terakhir pada
persamaan (2.32), maka persamaan (2.33) menjadi
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑡= −𝐹𝑥 − 𝑉𝑥𝑓𝑥. (2.34)
Pada persamaan (2.23) telah didefinisikan 𝜆 = 𝑉𝑥, jadi persamaan (2.34) dapat
dituliskan kembali menjadi
�̇� = −𝐹𝑥 − 𝑉𝑥𝑓𝑥.
Apabila dilihat kembali, persamaan di atas merupakan hasil dari turunan parsial 𝐻
pada persamaan (2.25) tehadap 𝑥. Karenanya, bentuk dari persamaan adjoin adalah
sebagai berikut:
�̇� = −𝐻𝑥. (2.35)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Dari definisi 𝜆 pada persamaan (2.23) dan kondisi batas pada persamaan (2.22),
maka didapatkan kondisi batas akhir (terminal boundary condition),
𝜆(𝑇) = 𝑉𝑥(𝑇)
=𝜕𝑉(𝑥, 𝑇)
𝜕𝑥
=𝜕𝑆(𝑥, 𝑇)
𝜕𝑥
=𝜕𝑆(𝑥, 𝑇)
𝜕𝑥|𝑥=𝑥(𝑇) = 𝑆𝑥[𝑥(𝑇), 𝑇].
(2.36)
Dari definisi Hamiltonian pada persamaan (2.25), persamaan kondisi juga dapat
ditulis sebagai
�̇� = 𝑓 = 𝐻𝜆, (2.37)
Persamaan (2.25) dan (2.37) dapat dituliskan menjadi sebuah sistem sebagai berikut
{�̇� = 𝐻𝜆, 𝑥(0) = 𝑥0
�̇� = −𝐻𝑥, 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥[𝑥(𝑇), 𝑇], (2.38)
G. Prinsip Maksimum
Karena sebelumnya telah dijelaskan mengenai persamaan Hamiltonian dan
derivasi persamaan adjoin, maka prinsip maksimum sudah bisa dirumuskan. Berikut
ini adalah kondisi-kondisi yang harus dipenuhi agar 𝑢∗ merupakan suatu kendali
optimal:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
{
�̇�∗ = 𝑓(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑡), 𝑥∗(0) = 𝑥0,
�̇� = −𝐻𝑥[𝑥∗, 𝑢∗, 𝜆, 𝑡], 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥[𝑥(𝑇), 𝑇],
𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢, 𝜆(𝑡), 𝑡],
(2.39)
untuk semua 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇].
Hal ini menegaskan kembali bahwa kondisi 𝑥∗(𝑡) dan adjoin 𝜆(𝑡) pada
Hamiltonian di kedua ruasnya ikut memaksimalkan persamaan (2.39). Selanjutnya,
𝑢∗(𝑡) harus maksimum global dari Hamiltonian 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢, 𝜆(𝑡), 𝑡] dengan 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡).
Oleh karena itu, persamaan (2.39) disebut Prinsip Maksimum (maximum principle).
Terdapat dua cara untuk menyelesaikan sistem tersebut. Cara pertama dengan
menyelesaikan persamaan adjoin terlebih dahulu untuk mendapatkan kendali optimal
𝑢∗ kemudian didapatkan 𝑥∗. Cara kedua digunakan apabila Hamiltonian dapat
dimaksimalkan dengan fungsi kendali
𝑢∗(𝑡) = 𝑢[𝑥∗(𝑡), 𝑢, 𝜆(𝑡), 𝑡],
kemudian disubstitusikan pada fungsi kondisi dan fungsi adjoin untuk mendapatkan
dua nilai batas pada persamaan diferensial,
{�̇�∗ = 𝑓(𝑥∗, 𝑢(𝑥∗, 𝜆, 𝑡), 𝑡), 𝑥∗(0) = 𝑥0,
𝜆 = −𝐻𝑥(̇ 𝑥∗, 𝑢(𝑥∗, 𝜆, 𝑡), 𝑡), 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥[𝑥∗(𝑇), 𝑇].
Untuk lebih memahami cara menyelesaikan masalah kendali optimal
menggunakan prinsip maksimum, akan diberikan contoh-contoh sederhana sebagai
berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
G.1. Contoh Prinsip Maksimum
Diberikan masalah:
𝑚𝑎𝑥 {𝐽 = ∫ −𝑥𝑑𝑡1
0
}
terhadap kondisi
�̇� = 𝑢, 𝑥(0) = 1
dan kendali
𝑢 ∈ Ω = [−1,1]
Diketahui bahwa 𝑇 = 1, 𝐹 = −𝑥, 𝑆 = 0, dan 𝑓 = 𝑢. Karena 𝐹 = −𝑥, hal ini bisa
dianggap sebagai masalah meminimalkan luas daerah di bawah kurva 𝑥(𝑡), untuk 0 ≤
𝑡 ≤ 1.
Penyelesaian
Menurut informasi-informasi yang telah didapatkan di atas, dapat dibentuk persamaan
Hamiltonian sebagai berikut:
𝐻(𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡) = 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡)
𝐻 = −𝑥 + 𝜆𝑢.
Persamaan Hamiltonian tersebut linier dalam 𝑢. Fungsi yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan Hamiltonian di atas adalah
𝑢∗(𝑡) = 𝑏𝑎𝑛𝑔[−1,1; 𝜆(𝑡)].
Fungsi bang (bang function) digunakan pada masalah kendali optimal linier yang
didefinisikan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
𝑏𝑎𝑛𝑔[𝑏1, 𝑏2;𝑊] = {𝑏1
tidak terdefinisi
𝑏2
jika 𝑊 < 0,
jika 𝑊 = 0,
jika 𝑊 > 0.
Pada contoh ini,
𝑢∗ = {−1
tidak terdefinisi
1
jika 𝜆(𝑡) < 0,
jika 𝜆(𝑡) = 0,
jika 𝜆(𝑡) > 0.
Untuk mencari nilai 𝜆, digunakan persamaan adjoin sebagai berikut
�̇� = −𝐻𝑥
�̇� = −(−𝑥 + 𝜆𝑢)𝑥
�̇� = (𝑥 − 𝜆𝑢)𝑥
�̇� = 1
dan
𝜆(1) = 𝑆𝑥[𝑥(𝑇), 𝑇]
𝜆(1) = 0
Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mudah karena tidak memuat 𝑥 dan 𝑢.
�̇� = 1
𝑑𝜆
𝑑𝑡 = 1
𝑑𝜆 = 𝑑𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
𝜆(𝑡) = 𝑡 + 𝐶
Dengan menggunakan informasi 𝜆(1) = 0, didapatkan
𝜆(1) = 0
𝜆(1) = 1 + 𝐶
0 = 1 + 𝐶
𝐶 = −1
𝜆(𝑡) = 𝑡 − 1
Yang berarti bahwa 𝜆(𝑡) = 𝑡 − 1 ≤ 0 untuk semua 𝑡 ∈ [0,1] dan 𝑢∗(𝑡) = −1 dengan
mendefinisikan 𝑢 pada satu titik 𝑡 = 1, didapat kendali optimal 𝑢∗(𝑡) = −1 untuk 𝑡 ∈
[0,1]. Kemudian masukkan persamaan tersebut pada persamaan kondisi �̇� = 𝑢, 𝑥(0) =
1 didapatkan
�̇� = −1, 𝑥(0) = 1
Yang mana penyelesaiannya adalah sebagai berikut
�̇� = −1
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = −1
𝑑𝑥 = −𝑑𝑡
𝑥(𝑡) = −𝑡 + 𝐶
Karena 𝑥(0) = 1
𝑥(0) = 1
𝑥(0) = 0 + 𝐶
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
1 = 𝐶
𝐶 = 1
Maka penyelesaiannya adalah 𝑥(𝑡) = 1 − 𝑡 untuk 𝑡 ∈ [0,1]. Nilai dari fungsi
tujuannya adalah sebagai berikut
𝐽∗ = ∫ (1 − 𝑡)𝑑𝑡1
0
= (𝑡 −1
2𝑡2)]
0
1
𝐽∗ = −1
2.
Berikut adalah grafik yang akan menampilkan laju 𝑥(𝑡), 𝑢∗(𝑡), dan 𝜆(𝑡) terhadap
waktu 𝑡:
Gambar 2.2. Grafik Contoh H.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran
Dalam subbab sebelumnya telah dijelaskan mengenai prinsip maksimum namun
tanpa kendala ketidaksamaan campuran. Yang membedakannya, pada subbab ini
ditambahkan kendala pada variabel keaadaan dan variabel kendali. Khususnya, untuk
setiap 𝑡 ∈ [0, 𝑇], 𝑥(𝑡) dan 𝑢(𝑡) harus memenuhi
𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) ≥ 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇], (2.40)
dengan 𝑔: 𝐸𝑛 × 𝐸𝑚 × 𝐸1 → 𝐸𝑞 terdiferensial secara kontinu di semua titik dan harus
memuat 𝑢. Kendala (2.40) disebut dengan kendala ketaksamaan (inequality
constraint).
Kondisi akhir (terminal state) dibatasi oleh pertidaksamaan dan persamaan:
𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) ≥ 0 (2.41)
𝑏(𝑥(𝑇), 𝑇) = 0 (2.42)
dengan : 𝐸𝑛 × 𝐸1 → 𝐸𝐼𝑎 dan 𝑏: 𝐸𝑚 × 𝐸1 → 𝐸𝐼𝑏 terdiferensial secara kontinu di semua
titik. Kendali 𝑢 disebut kendali yang memungkinkan (admissible control) apabila 𝑢
kontinu sepotong-sepotong atau lebih lanjutnya 𝑢(𝑡) dan 𝑥(𝑡) harus memenuhi
kendala (2.40), (2.41), dan (2.42).
Dalam merumuskan prinsip maksimum, didefinisikan fungsi Hamiltonian
𝐻:𝐸𝑛 × 𝐸𝑚 × 𝐸𝑛 × 𝐸1 × 𝐸1 → 𝐸1 sebagai
𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] ∶= 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.43)
dengan 𝜆 ∈ 𝐸𝑛 (vektor baris). Didefinisikan pula fungsi Lagrangian 𝐿: 𝐸𝑛 × 𝐸𝑚 ×
𝐸𝑛 × 𝐸𝑞 × 𝐸1 → 𝐸1 sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
𝐿[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝜇, 𝑡] ∶= 𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] +𝜇𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.44)
dengan 𝜇 ∈ 𝐸𝑞 sebuah vektor baris, yang kompennya disebut dengan pengali Lagrang.
Pengali Lagrang ini memiliki sifat:
𝜇 ≥ 0, 𝜇𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 0. (2.45)
Vektor adjoin harus memenuhi
�̇� = −𝐿𝑥[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝜇, 𝑡] (2.46)
dengan batas
𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) +𝛼𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) +𝛽𝑏(𝑥(𝑇), 𝑇)
𝛼 ≥ 0, 𝛼𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) = 0
dengan 𝛼 ∈ 𝐸𝐼𝑎 dan 𝛽 ∈ 𝐸𝐼𝑏 adalah vektor konstan.
Informasi-informasi di atas dapat diringkas ke dalam tabel 2.3 sebagai berikut:
�̇�∗ = 𝑓(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑡), 𝑥∗(0) = 𝑥0,
Memenuhi kendala akhir
𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) ≥ 0 dan 𝑏(𝑥∗(𝑇), 𝑇) = 0,
�̇� = −𝐿𝑥[𝑥∗, 𝑢∗, 𝜆, 𝜇, 𝑡]
Dengan kondisi transversalitas
𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥(𝑥∗(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) + 𝛽𝑏(𝑥∗(𝑇), 𝑇),𝛼 ≥ 0, 𝛼𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) = 0
Syarat maksimum Hamiltonian
𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡]
Untuk setiap 𝑡 ∈ [0, 𝑇] semua 𝑢 memenuhi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
𝑔[𝑥∗(𝑡), 𝑢, 𝑡] ≥ 0,
Dan pengali Lagrange 𝜇(𝑡) sedemikian sehingga
𝜕𝐿
𝜕𝑢|𝑢=𝑢∗(𝑡) ∶= (
𝜕𝐻
𝜕𝑢+ 𝜇
𝜕𝑔
𝜕𝑢) |𝑢=𝑢∗(𝑡) = 0
Dan kondisi complementary slackness
𝜇(𝑡) ≥ 0, 𝜇(𝑡)𝑔(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑡) = 0 dipenuhi
Tabel 2.3. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran
H.1. Contoh Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran
Maks {𝐽 = ∫ 𝑢𝑑𝑡1
0}
terhadap
�̇� = 𝑢, 𝑥(0)
= 1,
(2.47)
𝑢 ≥ 0, 𝑥 − 𝑢
≥ 0.
(2.48)
Ingat bahwa kendala (3.11) dapat ditulis sebagai 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑥.
Penyelesaian
Dari soal di atas dapat dibentuk fungsi Hamiltonian sebagai berikut:
𝐻 = 𝐹 + 𝜆𝑓
𝐻 = 𝑢 + 𝜆𝑢
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
𝐻 = (1 + 𝜆)𝑢,
Karena 𝑢 linier, maka bentuk kendali optimalnya adalah
𝑢∗ = bang[0, 𝑥; 1 + 𝜆]. (2.49)
Ingat bahwa kendala (2.48) merupakan kasus khusus, sehingga untuk mendapatkan
persamaan adjoinya terlebih dahulu dibentuk Lagrangian sebagai berikut:
𝐿 = 𝐻 +𝜇𝑔
= 𝐻 + 𝜇(𝑔1 + 𝑔2)
= 𝐻 + 𝜇1𝑢 + 𝜇2(𝑥 − 𝑢)
= (1 + 𝜆)𝑢 + 𝜇1𝑢 + 𝜇2(𝑥 − 𝑢)
𝐿 = 𝜇2𝑥 + (1 + 𝜆 + 𝜇1 − 𝜇2)𝑢
Dari Lagrangian didapatkan persamaan adjoin
�̇� = −𝐿𝑥
= (𝜇2𝑥 + (1 + 𝜆 + 𝜇1 + 𝜇2)𝑢)𝑥
�̇� = 𝜇2, 𝜆(1) = 0. (2.50)
Adapun hal lain yang perlu diingat bahwa kendali optimal harus memenuhi 𝐿𝑢 sebagai
berikut
𝐿𝑢 = 1 + 𝜆 + 𝜇1 − 𝜇2 = 0, (2.51)
dan dari persamaan (2.45) 𝜇1 dan 𝜇2 harus memenuhi sifat
𝜇1 ≥ 0, 𝜇1𝑔 = 𝜇1𝑢 = 0, (2.52)
𝜇2 ≥ 0, 𝜇2 = 𝜇2(𝑥 − 𝑢) = 0. (2.53)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Dari persamaan (2.47) dan (2.48) didapatkan 𝑢∗ = 0 atau 𝑢∗ = 𝑥. Untuk 𝑢∗ = 𝑥
solusi persamaan (2.47) adalah
�̇� = 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝑥
∫𝑑𝑥
𝑥 = ∫𝑑𝑡
𝑙𝑛(𝑥) = 𝑡 + 𝐶
𝑥 = 𝑘𝑒𝑡
Diketahui kondisi awal 𝑥(0) = 1, dengan begitu
𝑥(0) = 𝑘𝑒0
1 = 𝑘
𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡
Karena 𝑥 = 𝑒𝑡 > 0 menyebabkan 𝑢∗ = 𝑥 > 0; dengan begitu dari persamaan (2.52)
dapat disimpulkan 𝜇1 = 0.
Dari persamaan (2.51) substitusikan 𝜇1 = 0
1 + 𝜆 + 𝜇1 − 𝜇2 = 0
1 + 𝜆 + 0 − 𝜇2 = 0
𝜇2 = 1 + 𝜆
Kemudian substitusikan 𝜇2 = 1 + 𝜆 ke dalam persamaan (2.50) dan
menyelesaikannya sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut
�̇� = −𝜇2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
�̇� = −(1 + 𝜆)
𝑑𝜆
𝑑𝑡 = −(1 + 𝜆)
∫𝑑𝜆
(1 + 𝜆) = ∫−𝑑𝑡
𝑙𝑛(1 + 𝜆) = −𝑡 + 𝐶
1 + 𝜆 = 𝑘𝑒−𝑡
Diketahui 𝜆(1) = 0,
𝜆(1) = 0
1 + 𝜆(1) = 𝑘𝑒−1
1 =𝑘
𝑒
𝑒 = 𝑘
1 + 𝜆(𝑡) = 𝑒𝑒−𝑡
1 + 𝜆(𝑡) = 𝑒1−𝑡. (2.54)
Karena ruas kanan dari persamaan (2.54) selalu positif, 𝑢∗ = 𝑥 memenuhi (2.49).
Perhatikan bahwa 𝜇2 = 1 + 𝜆 = 𝑒1−𝑡 ≥ 0 dan 𝑥 − 𝑢∗ = 0, jadi persamaan (2.53)
terpenuhi.
Berikut adalah grafik yang memperlihatkan laju 𝑥(𝑡) dan 𝑢∗ terhadap waktu 𝑡:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Gambar 2.3. Grafik Contoh I.1
I. Nilai Sekarang (Current-Value)
Dalam masalah ekonomi dan manajemen, satuan dari fungsi tujuan adalah uang.
Nilai uang di masa depan akan mengalami penurunan. Sebagai permisalannya yaitu
uang sebesar Rp 100.000,00 pada tahun 2016 masih dianggap banyak, namun belum
tentu demikian pada tahun 2020.
Diasumsikan suatu tingkat diskon konstan kontinu 𝜌 ≥ 0. Fungsi tujuan yang
disertai dengan tingkat diskon 𝜌 merupakan bentuk khusus dari persamaan (2.10).
Karenanya,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 𝜙(𝑥, 𝑢)𝑒−𝜌𝑡 dan 𝑆(𝑥, 𝑇) = 𝜎(𝑥)𝑒−𝜌𝑇.
Fungsi tujuannya menjadi
𝑚𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 {𝐽 = ∫ 𝜙(𝑥, 𝑢)𝑒−𝜌𝑡𝑑𝑡 + 𝜎[𝑥(𝑇)]𝑒−𝜌𝑇𝑇
0
} (2.54)
terhadap (2.8), (2.40), (2.41), dan (2.42).
Untuk masalah nilai sekarang, bentuk dari persamaan Hamiltonian standar adalah
𝐻𝑠 ∶= 𝑒−𝜌𝑡𝜙(𝑥, 𝑢) + 𝜆𝑠𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.55)
dan bentuk dari persamaan Lagrangian standar adalah
𝐿𝑠 ∶= 𝐻𝑠 + 𝜇𝑠𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.56)
dengan variabel adjoin standar 𝜆𝑠 dan pengali-pengali standar 𝛼𝑠 dan 𝛽𝑠 memenuhi
�̇�𝑠 = −𝐿𝑥𝑠 (2.57)
𝜆𝑠(𝑇) = 𝑆𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑠𝑎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛽
𝑠𝑏𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)
= 𝑒−𝜌𝑡𝜎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑠𝑎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)
+ 𝛽𝑠𝑏𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇),
(2.58)
𝛼𝑠 ≥ 0, 𝛼𝑠𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) = 0, (2.59)
dan 𝜇𝑠 memenuhi
𝜇𝑠 ≥ 0, 𝜇𝑠𝑔 = 0. (2.60)
Pangkat 𝑠 digunakan untuk membedakan fungsi nilai sekarang. Sekarang akan
didefinisikan Hamiltonian dari nilai sekarang:
𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] ≔ 𝜙(𝑥, 𝑢) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.61)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
dan Lagrangian dari nilai sekarang:
𝐿[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝜇, 𝑡] ∶= 𝐻 + 𝜇𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡). (2.62)
Sekarang didefinisikan
𝜆 ∶= 𝑒𝜌𝑡𝜆𝑠 dan 𝜇 ∶= 𝑒𝜌𝑡𝜇𝑠, (2.63)
Kemudian persamaan (2.55) dan (2.56) dapat ditulis kembali menjadi
𝐻 = 𝑒𝜌𝑡𝐻𝑠 dan 𝐿 = 𝑒𝜌𝑡𝐿𝑠 . (2.64)
Karena 𝑒𝜌𝑡 > 0, memaksimalkan 𝐻𝑠 teradap 𝑢 pada waktu 𝑡 ekivalen dengan
memaksimalkan nilai sekarang dari Hamiltonian 𝐻 terhadap 𝑢 pada waktu 𝑡.
Selanjutnya, persamaan (2.63) diturunkan teradap 𝑡 didapatkan
�̇� = 𝜌𝑒𝜌𝑡𝜆𝑠 + 𝑒𝜌𝑡�̇�𝑠. (2.65)
Untuk menyederanakan persamaan (2.65) digunakan persamaan (2.57), (2.63), dan
fakta bahwa 𝐿𝑥 = 𝑒𝜌𝑡𝐿𝑥
𝑠 yang diperoleh dari persamaan (2.64). Karenanya,
�̇� = 𝜌𝑒𝜌𝑡𝜆𝑠 + 𝑒𝜌𝑡�̇�𝑠
= 𝜌𝜆 + 𝑒𝜌𝑡(−𝐿𝑥𝑠 )
= 𝜌𝜆 + 𝑒𝜌𝑡(−𝐿𝑥𝑒−𝜌𝑡)
= 𝜌𝜆 − 𝐿𝑥,
𝜆(𝑇) = 𝜎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑠𝛼𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)
+ 𝛽𝑠𝛽𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇),
(2.66)
dengan kondisi akhir untuk 𝜆(𝑇) merupakan akibat langsung dari persamaan (2.58)
dengan menyubstitusikan definisi dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
𝛼 = 𝑒𝜌𝑡𝛼𝑠 dan 𝛽 = 𝑒𝜌𝑡𝛽𝑠. (2.67)
𝜆𝑠(𝑇) = 𝑒−𝜌𝑡𝜎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑠𝑎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛽
𝑠𝑏𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)
𝑒𝜌𝑡𝜆𝑠(𝑇) = 𝑒𝜌𝑡[𝑒−𝜌𝑡𝜎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝑒−𝜌𝑡𝛼𝑎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)
+ 𝑒−𝜌𝑡𝛽𝑏𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)]
𝜆(𝑇) = 𝜎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑠𝛼𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛽
𝑠𝛽𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇).
Kondisi complimentary slackness ditentukan oleh pengali nilai Lagrang sekarang 𝜇 dan
𝛼
𝜇𝑠 ≥ 0 𝜇𝑠𝑔 = 0
𝜇𝑒−𝜌𝑡 ≥ 0 𝜇𝑒−𝜌𝑡𝑔 = 0
𝜇 ≥ 0, 𝜇𝑔 = 0,
𝛼𝑠 ≥ 0 𝛼𝑠𝑎 = 0
𝛼𝑒−𝜌𝑡 ≥ 0 𝛼𝑒−𝜌𝑡𝑎 = 0
𝛼 ≥ 0, 𝛼𝑎 = 0.
Jadi, nilai sekarang pada persamaan (3.14) akan menjadi
𝐻[𝑥∗(𝑇∗), 𝑢∗(𝑇∗), 𝜆(𝑇∗), 𝑇∗] − 𝜌𝜎[𝑥∗(𝑇∗)] = 0 (2.68)
J. Titik Akhir Bebas (free-end point)
Dalam kasus ini, kondisi akhir 𝑥(𝑇) tidak dikenai kendala. Karenanya,
𝑥(𝑇) ∈ 𝑋.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Dari kondisi akhir pada tabel 2.3 maka memungkinkan untuk masalah free-end-
point sehingga 𝑌 = 𝑋,
𝜆(𝑇) = 𝜎𝑥[𝑥∗(𝑇)]. (2.69)
Ini juga termasuk kondisi 𝜆(𝑇) = 0 pada kasus khusus dari 𝜎(𝑥) ≡ 0.
K. Jangka Waktu Tak Berhingga (Infinite Horizon) dan Stasioneritas
Pada subbab ini akan dibahas apabila diberikan jangkauan waktu yang tak
berhingga (𝑇 → ∞) pada fungsi tujuan (2.54) yang disebut dengan masalah jangka
waktu tak beringga (infinite horizon). Ketika diberikan 𝑇 = ∞ pada fungsi tujuan
(2.10) atau (2.54) yang bisa memunculkan masalah jangka waktu tak berhingga yang
tidak stasioner. Beberapa masalah tersebut akan sulit untuk diselesaikan. Maka dari itu,
pada subbab ini hanya akan dibahas mengenai masalah jangka waktu tak berhingga
yang stasioner di mana tidak bergantung pada waktu 𝑡. Selanjutnya, diasumsikan
𝜎(𝑥) ≡ 0 untuk kasus jangka waktu tak berhingga.
Untuk kasus penting dalam free-end-point, limit dari kondisi transversalitas akan
dihitung dengan 𝑇 → ∞ pada persamaan nilai sekarang (present value):
lim𝑇→∞
𝜆𝑠(𝑇) = 0 ⇒ lim𝑇→∞
𝑒−𝜌𝑡𝜆(𝑇) = 0. (2.70)
Kasus penting yang lain adalah kendala satu sisi
lim𝑇→∞
𝑥(𝑇) ≥ 0.
Maka, kondisi transversalitasnya adalah sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
lim𝑇→∞
𝑒−𝜌𝑡𝜆(𝑇) ≥ 0 dan lim𝑇→∞
𝑒−𝜌𝑡𝜆(𝑇)𝑥∗(𝑇) = 0. (2.71)
Dalam masalah ekonomi, fungsi 𝜙, 𝑓, dan 𝑔 secara eksplisit tidak bergantung pada
waktu 𝑡. Kondisi seperti ini disebut dengan stasioneritas. Khususnya pada persamaan
(2.8), (2.40), dan (2.54), di mana 𝜙 tidak bergantung pada waktu 𝑡, dan tanpa kondisi
akhir 𝑥(𝑇), stasioneritas mengakibatkan
𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑢), (2.72)
𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 𝑔(𝑥, 𝑢).
Ini berarti bahwa persamaan kondisi, persamaan adjoin nilai sekarang, dan nilai
sekarang Hamiltonian pada (2.40) secara eksplisit tidak bergantung pada waktu 𝑡.
Sistem yang demikian disebut dengan autonomous.
Dalam kasus autonomous, fokusnya ada pada kesetimbangan di mana pergerakan
akan berhenti, yaitu nilai dari 𝑥 dan 𝜆 yang mana �̇� = 0 dan �̇� = 0. Gagasan yang
demikian disebut dengan long-run stationary equilibrium. Hal ini didefinisikan dengan
quadraple {�̅�, �̅�, �̅�, �̅�} yang memenuhi
𝑓(�̅�, �̅�) = 0,
(2.73)
𝜌�̅� = 𝐿𝑥[�̅�, 𝑢,̅ �̅�, �̅�],
�̅� ≥ 0, �̅�𝑔(�̅�, �̅�) = 0, dan
𝐻(�̅�, �̅�, �̅�) ≥ 𝐻(�̅�, 𝑢, �̅�)
untuk semua 𝑢 memenuhi
𝑔(�̅�, 𝑢) ≥ 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Lebih jelasnya, jika kondisi awal 𝑥0 = �̅� maka kendali optimalnya adalah 𝑢∗(𝑡) =
�̅� untuk semua 𝑡. Jika kendala yang melibatkan 𝑔 tidak dikenakan, �̅� dapat
dihhilangkan dari quadraple. Dalam hal ini, kesetimbangan didefinisikan dengan triple
{�̅�, 𝑢,̅ �̅�} yang memenuhi
𝑓(�̅�, �̅�) = 0, 𝜌�̅� = 𝐻𝑥[�̅�, 𝑢,̅ �̅�], dan 𝐻𝑢[�̅�, 𝑢,̅ �̅�] = 0. (2.74)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
BAB III
MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW
A. Model Matematis
Periklanan mempengaruhi penjualan pada waktu sekarang dan akan datang.
Nerlove dan Arrow memandang periklanan sebagai suatu penanaman modal dalam
mengembangkan suatu modal periklanan yang sering kali disebut dengan goodwill.
Atau dengan kata lain, goodwill adalah investasi periklanan. Goodwill dapat diciptakan
dengan menambah pelanggan baru atau dengan mengubah selera dan pilihan
konsumen, sehingga mengubah fungsi permintaan terhadap produk perusahaan.
Goodwill dapat menurun seiring berjalannya waktu karena beralih ke produk atau
brand lain sebagai akibat dari periklanan dengan terjadinya kompetisi dari perusahaan-
perusahaan dan adanya produk baru.
Misalkan 𝐺(𝑡) ≥ 0 adalah menyatakan persediaan goodwill pada waktu 𝑡.
Diandaikan bahwa persediaan goodwill menurun seiring berjalannya waktu dengan
laju proporsional 𝛿, sehingga:
�̇� = 𝑢 − 𝛿𝐺, 𝐺(0) = 𝐺0, (3.1)
dengan 𝑢 = 𝑢(𝑡) ≥ 0 merupakan usaha periklanan pada waktu 𝑡 yang diukur dalam
dollar per satuan waktu. Untuk merumuskan kendali optimal pada perusahaan,
diasumsikan bahwa tingkat penjualan 𝑆(𝑡) tergantung pada goodwill 𝐺(𝑡), harga 𝑝(𝑡),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
dan variabel lain 𝑍(𝑡). Variabel lain yang dimaksud seperti kebutuhan konsumen,
besarnya populasi, dan pendapatan konsumen. Maka diperoleh persamaan:
𝑆 = 𝑆(𝑝, 𝐺, 𝑍). (3.2)
Kemudian diasumsikan bahwa tingkat biaya total dari proses produksi adalah
𝑐(𝑆), maka akan diperoleh total pendapatan 𝑅 yaitu perkalian antara harga dengan
tingkat penjualan dikurangi dengan tingkat biaya total proses produksi. Didapatkan
persamaan sebagai berikut:
𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) = 𝑝𝑆(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑐(𝑆). (3.3)
Karena telah didapatkan rumusan pendapatan total, maka biaya periklanan dapat
dirumuskan sebagai 𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑢. Kemudian, diasumsikan bahwa perusahaan ingin
memaksimalkan pendapatan bersih dengan tingkat diskon 𝜌, sehingga didapatkan
persamaan:
max𝑢≥0,𝑝≥0
{𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑢]𝑑𝑡∞
0
}. (3.4)
Faktor eksponensial menjelaskan bahwa nilai mata uang yang menurun seiring
berjalannya waktu. Karena 𝑝 hanya muncul pada integran, 𝐽 dapat dimaksimalkan
dengan memaksimalkan 𝑅 terlebih dulu terhadap 𝑝 dengan G tetap. Kemudian
memaksimalkan hasilnya terhadap 𝑢. Maka diperoleh persamaan:
𝜕𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑧)
𝜕𝑝= 𝑆 + 𝑝
𝜕𝑆
𝜕𝑝− 𝑐𝑠
𝜕𝑆
𝜕𝑝= 0, (3.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
yang secara implisit memberikan harga optimal 𝑝∗ = 𝑝(𝐺(𝑡), 𝑍(𝑡)). Kemudian
didefinisikan elastisitas permintaan terhadap harga 𝑝, yaitu 𝜂 = −(𝑝
𝑆)(𝜕𝑆
𝜕𝑝). Elastisitas
permintaan adalah ukuran kepekaan perubahan jumlah permintaan barang terhadap
perubahan harga. Selanjutnya, persamaan (3.5) dapat ditulis menjadi:
𝑝∗ =𝜂𝑐′(𝑆)
𝜂−1, (3.6)
dengan kata lain, persamaan (3.6) tersebut menjelaskan bahwa pendapatan marjinal
(𝜂 − 1)𝑝/𝜂 harus sama dengan biaya marjinal 𝑐′(𝑆).
Untuk mendapatkan model kendali optimal yang diinginkan, selanjutnya akan
didefinisikan 𝜋(𝐺, 𝑍) = 𝑅(𝑝∗, 𝐺, 𝑍). Maka fungsi pada persamaan (3.4) dapat ditulis
sebagai:
max𝑢≥0
{𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺, 𝑍) − 𝑢]𝑑𝑡∞
0
}.
Untuk mempermudah, diasumsikan 𝑍 adalah suatu nilai konstan. Dengan
demikian, masalah kendali optimal yang baru saja dirumuskan dapat dinyatakan
kembali menjadi:
{
max𝑢≥0
𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺) − 𝑢]𝑑𝑡∞
0
dengan kendala
�̇� = 𝑢 − 𝛿𝐺, 𝐺(0) = 𝐺0
(3.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
B. Solusi Menggunakan Prinsip Maksimum
Pada subbab kali ini, akan dibahas mengenai penyelesaian model periklanan
Nerlove-Arow menggunakan prinsip maksimum. Dari persamaan (3.7) didapatkan
informasi 𝐹 = 𝜋(𝐺) − 𝑢 dan 𝑓 = 𝑢 − 𝛿𝐺 untuk membentuk persamaan Hamiltonian
𝐻 = 𝐹 + 𝜆𝑓
= (𝜋(𝐺) − 𝑢) + 𝜆(𝑢 − 𝛿𝐺)
= 𝜋(𝐺) − 𝑢 + 𝜆𝑢 − 𝜆𝛿𝐺. (3.8)
Setelah itu, dirumuskan persamaan adjoinnya sebagai berikut:
�̇� = 𝜌𝜆 − 𝐻𝐺
= 𝜌𝜆 − [𝜋(𝐺) − 𝑢 + 𝜆𝑢 − 𝜆𝛿𝐺]𝐺
= 𝜌𝜆 − [𝜕𝜋
𝜕𝐺− 𝜆𝛿]
= 𝜌𝜆 −𝜕𝜋
𝜕𝐺+ 𝜆𝛿
�̇� = 𝜆(𝜌 + 𝛿) −𝜕𝜋
𝜕𝐺 (3.9)
dengan syarat cukup
lim𝑡→+∞
𝑒−𝜌𝑡 𝜆(𝑡) = 0. (3.10)
Persamaan Hamiltonian (3.8) dapat diinterpretasikan sebagai tingkat keuntungan
dinamis:
i. (𝜋(𝐺) − 𝑢) merupakan tingkat laba bersih sekarang (current net profit
rate).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
ii. 𝜆�̇� = 𝜆(𝑢 − 𝛿) merupakan goodwill baru yang didapat setelah
periklanan ke 𝑢.
Kemudian, didefinisikan 𝛽 = (𝐺
𝑆) (
𝜕𝑆
𝜕𝐺) sebagai elastisitas permintaan dari
permintaan teradap goodwill. Dari 𝛽 bisa didapatkan (𝜕𝑆
𝜕𝐺) =
𝛽𝑆
𝐺. Ada tiga persamaan
yang perlu diingat kembali, yaitu:
i. Persamaan (3.3) yaitu 𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) = 𝑝𝑆(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑐(𝑆)
ii. Persamaan (3.5) yaitu 𝜕𝑅(𝑝,𝐺,𝑧)
𝜕𝑝= 𝑆 + 𝑝
𝜕𝑆
𝜕𝑝− 𝑐𝑠
𝜕𝑆
𝜕𝑝= 0
iii. Persamaaan (3.9) yaitu �̇� = 𝜆(𝜌 + 𝛿) −𝜕𝜋
𝜕𝐺.
Ketiga persamaan tersebut akan digunakan untuk memperolehh 𝐺 yang optimal
yaitu 𝐺∗. Pada awal telah didefinisikan 𝜋(𝐺, 𝑍) = 𝑅(𝑝∗, 𝐺, 𝑍). Maka,
𝜕𝜋
𝜕𝐺 =
𝜕𝑅
𝜕𝑝∙𝜕𝑝∗
𝜕𝐺+𝜕𝑅
𝜕𝐺
=𝜕𝑅
𝜕𝐺
= 𝑝
𝜕𝑆
𝜕𝐺− 𝑐′
𝜕𝑆
𝜕𝐺
Sedangkan dari definisi 𝛽 didapatkan 𝜕𝑆
𝜕𝐺=
𝑆𝛽
𝐺 dan dari 𝑝∗ didapatkan 𝑝 − 𝑐′ =
𝑝
𝜂. Maka
didapatkan
𝐺∗ =𝛽𝑝𝑆
𝜂[(𝜌 + 𝛿)𝜆 − �̇�]. (3.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
𝐺∗ merupakan kondisi optimal dari goodwill. Di mana besarnya hasil dari
penjualan akan berbanding lurus dengan elastisitas dari goodwill, berbanding terbalik
dengan elastisitas harga, dan berbanding terbalik dengan jumlah biaya peluang
marjinal (𝜌 + 𝛿)𝜆 ditambah dengan (−�̇�).
Untuk menghitung titik kesetimbangan stasioner {�̅�, �̅�, �̅�} digunakan persamaan
(3.74). Dari persamaan (3.8) didapatkan
𝜕𝐻
𝜕𝑢 = [𝜋(𝐺) − 𝑢 + 𝜆𝑢 − 𝜆𝛿𝐺]𝑢
= −1 + 𝜆
dengan 𝜕𝐻
𝜕𝑢= 0 maka didapatkan 𝜆 = �̅� = 1 dan �̇� = 0. Dengan mensubstitusikannya
ke dalam persamaan (3.11) didapatkan
�̅� = 𝐺𝑠 =𝛽𝑝𝑆
𝜂(𝜌 + 𝛿). (3.12)
Dalam persamaan periklanan Nerlove-Arrow, untuk mengetahui berapa besarnya
�̅�, dapat dicari menggunakan �̇� = 𝑢 − 𝛿𝐺. Hal ini dikarenakan kondisi optimal yang
diperoleh adalah stasioner yang mana tidak bergantung pada waktu 𝑡. Karenanya, 𝜕𝐺
𝜕𝑡=
�̇� = 0, sehingga 𝑢 = 𝑢∗ = 𝛿�̅�.
Berikut adalah ilustrasi mengenai �̅� yang mana goodwill akan secepat mungkin
menuju �̅�. Hal ini akan dibagi menjadi dua kasus, karena besar kecilnya goodwill yang
dilakukan oleh perusahaan akan mempengaruhi kecepatannya menuju �̅�.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Kasus I. Kasus pertama yaitu jika 𝐺0 < �̅�, goodwill yang turun akan menuju �̅�
secara cepat dengan menggunakan impuls pada saat 𝑡 = 0 dan kemudian melakukan
kendali 𝑢∗(𝑡) = �̅� = 𝛿�̅� untuk 𝑡 > 0.
Gambar 3.1: Kasus 1 𝐺0 < �̅�.
Kasus II. Kasus kedua yaitu jika 𝐺0 > �̅�, kendali yang diberikan akan sama
dengan nol sampai stok goodwill menurun menuju �̅�. Ketika sudah mencapai �̅� maka
ada kendali yang diberikan yaitu 𝑢∗(𝑡) = �̅� = 𝛿�̅�. Karena apabila tidak diberi kendali,
maka goodwill akan terus menurun. Kendali yang diberikan tersebut tetap dengan
tujuan untuk mempertahankan laju �̅� dari goodwill.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
BAB IV
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Pemasaran merupakan salah satu aspek penting untuk menentukan kesuksesan
keuangan suatu perusahaan. Pemasaran produk suatu perusahaan akan membuat
konsumen mengetahui keberadaan perusahaan dan produk yang dihasilkan. Apabila
keduanya semakin dikenal oleh konsumen, maka akan meningkatkan pendapatan suatu
perusahaan tersebut. Salah satu strategi pemasaran adalah periklanan. Periklanan yang
dilakukan dengan cara yang tepat akan membuat konsumen tertarik dengan produk
yang dihasilkan oleh suatu perusahaan.
Pada Model Periklanan Nerlove-Arrow, periklanan dapat digunakan sebagai
suatu investasi, yang disebut goodwill, di mana akan mempengaruhi keuntungan
perusahaan di masa sekarang dan di masa depan. Model Periklanan Nerlove-Arrow
bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan perusahaan dengan melakukan
periklanan. Goodwill akan menurun seiring berjalannya waktu karena beralih ke
produk atau brand lain sebagai akibat dari periklaan dengan terjadinya kompetisi dari
perusahaan-perusahaan dan adanya produk baru. Oleh karena itu diperlukan kendali
𝑢(𝑡) untuk mengendalikan pergerakan dari goodwill. Prinsip maksimum digunakan
untuk menemukan kendali terbaik dan digunakan dalam analisis model linier.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
B. SARAN
Dalam menuliskan tugas akhir ini, penulis berharap agar para pembaca dapat
melanjutkan penulisan Model Periklanan Nerlove-Arrow pada analisis nonlinier dan
memperbanyak contoh numeris agar lebih mudah dipahami. Selain itu, penulis
berharap agar para pembaca dapat menganalisis model periklanan lain seperti model
periklanan Vidale-Wolfe.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
DAFTAR PUSTAKA
Chiang, Alpha C. (1992). Dynamic Optimization. New York: McGraw-Hill.
Leonard, Daniel and Long, Ngo Van. (1992). Optimal Control Theory and Static
Optimization in Economics and Management, 2nd Ed. Amsterdam: Elsevier
Science B V.
Sethi, Suresh P. dan Gerald L.T. (2000). Optimal Control Theory. Applications to
Management Science and Economics. (2nd edition). New York: Springer.
Sethi, Suresh P. (1977). Optimal Advertising for the Nerlove-Arrow Model Under a
Budget Constraint. Operational Research Quarterly. 28(3): 683-693.
Sethi, Suresh P. (1977). Dynamic Optimal Control Models in Advertising: A Survey.
SIAM Review. 19(4):6885-725.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
55
LAMPIRAN
Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan
VariabelKondisi 𝐺(𝑡) = Goodwill
Variabel Kendali 𝑢(𝑡) = Tingkat periklanan
Persamaan Kondisi �̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0
Fungsi Tujuan Memaksimumkan {𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡
∞
0
}
Kendala Kondisi . . .
Kendala Kendali 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑄
Kondisi Akhir . . .
Fungsi Eksogen 𝜋(𝐺(𝑡)) = Laba kotor
Parameter 𝛿 = Nilai konstan goodwill
𝜌 = Tingkat diskon
𝑄 = Batas atas tingkat periklanan
𝐺0 = Nilai awal goodwill
Tabel 2.3. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran
�̇�∗ = 𝑓(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑡), 𝑥∗(0) = 𝑥0,
Memenuhi kendala akhir
𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) ≥ 0 dan 𝑏(𝑥∗(𝑇), 𝑇) = 0,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
56
�̇� = −𝐿𝑥[𝑥∗, 𝑢∗, 𝜆, 𝜇, 𝑡]
Dengan kondisi transversalitas
𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥(𝑥∗(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) + 𝛽𝑏(𝑥∗(𝑇), 𝑇),𝛼 ≥ 0, 𝛼𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) = 0
Syarat maksimum Hamiltonian
𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡]
Untuk setiap 𝑡 ∈ [0, 𝑇] semua 𝑢 memenuhi
𝑔[𝑥∗(𝑡), 𝑢, 𝑡] ≥ 0,
Dan pengali Lagrange 𝜇(𝑡) sedemikian sehingga
𝜕𝐿
𝜕𝑢|𝑢=𝑢∗(𝑡) ∶= (
𝜕𝐻
𝜕𝑢+ 𝜇
𝜕𝑔
𝜕𝑢) |𝑢=𝑢∗(𝑡) = 0
Dan kondisi complementary slackness
𝜇(𝑡) ≥ 0, 𝜇(𝑡)𝑔(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑡) = 0 dipenuhi
Langkah-langkah contoh 2.2
clc t=0:0.01:10; G=16; delta=0.05; rho=0.2; piG=2*sqrt(G); u=delta*G subplot(2,1,1) plot(t,G) xlabel('t') ylabel('G') subplot(2,1,2) plot(t,u) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int((exp(-rho*t))*(piG-u),0,inf); J
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Langkah-langkah contoh G.1
clc t=0:0.01:1; lamda_t=t-1; xt=1-t; u_star=-1; subplot(3,1,1) plot(t,xt) xlabel('t') ylabel('x') subplot(3,1,2) plot(t,lamda_t) xlabel('t') ylabel('lambda') subplot(3,1,3) plot(t,u_star) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int(t-1,0,1); J
Langkah-langkah contoh H.1
clc t=0:0.01:1; xt=exp(t); u_star=xt; subplot(2,1,1) plot(t,xt) xlabel('t') ylabel('x') subplot(2,2,1) plot(t,u_star) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int(exp(t),0,1); J
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI