KELOMPOK 3Matematika 5F

MATERI : 4.4 MEMBANGUN DAN BEBAS LINIER

NAMA KELOMPOK1.ELIN EKAWATI.S 08411.1172.JOKO CAHYONO 08411.1633.PURWANTI 08411.2294.PUTRI ARUM 08411.2305.PRISTIAN 08411.225

HIMPUNAN PEMBANGUN ATAU PERENTANG

Jika V adalah ruang vektor atas medan K , S = {V1, V2, …Vr} С V dan k1, k2, …, kr adalah skalar, bentuk k1V1 + k2V2 + … + krVr disebut kombinasi linear dari S.

 

a. Sp(S) = { k1V1 + k2V2 + … + krVr| Vi є S, ki є K }, himpunan semua kombinasi linear dari S. Untuk S =Ø , didefinisikan Sp(S) = {0}.

b. Sp(S) adalah subruang dari V; S disebut himpunan pembangun dari Sp(S).

Jika v1, v2, … , vr adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang vektor V dan jika tiap-tiap vektor di dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1, v2, … , vr maka kita katakan bahwa vektor-vektor ini membangun/merentang V

Menentukan Kebebasan/Ketidakbebasan Linier

1. Misalkan V ruang vektor atas medan K dan S = {v1, v2, … |vr є V}.

2. S disebut bergantungan linear/ tak bebas linear (linearly dependent) jika persamaan k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0 menghasilkan nilai-nilai kr yang tidak semuanya 0. Jika dalam persamaan itu memberikan semua kr = 0, maka S disebut bebas linear (linearly independent).

3. Jika y = k1V1 + k2V2 + … + krVr, maka dikatakan y bergantungan linear pada S.

4. Jika S memuat vektor nol, maka S bergantungan linear. Jika S bergantungan linear dan S С T , maka T juga bergantungan linear.

5. Konvers dari (4): Jika S bebas linear, maka S tidak memuat vektor nol; jika S bebas linear dan T С S, maka T bebas linear.

6. Jika S1 diperoleh dari himpunan S dengan membuang vektor-vektor yang bergantungan pada S, maka Sp(S1) = Sp(S)

TeoremaSuatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor adalah:

1. Tidak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor pada S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S.

2. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S.

Bukti 1

Misalkan S = {v1, v2, ……,vr} adalah suatu himpunan dengan dua atau lebih vektor. Jika kita mengasumsikan bahwa S tidak bebas linier, maka terdapat skalar k1, k2, ……kr, yang tidak semuanya nol. Sehingga : k1V1 + k2V2 + … + krVr = 0.untuk lebih jelasnya, misal k1 ≠ 0. maka (2) dapat ditulis sebagai :

yang menyatakan v1 sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S.

Sebaliknya, jika kita mengasumsikan bahwa paling tidak satu vektor pada S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain. Untuk lebih spesifiknya, misal :

v1 = c2v2 + c3v3 +. . . . . crvr

Sehingga v1 – c2v2 – c3v3- . . . . . - crvr = 0

Maka S tidak bebas linier karena persamaan : k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0

Sehingga dipenuhi olehk1 = 1, k2 = -c2 . . . . .kr = -cr

Yang tidak semuanya nol. Bukti untuk kasus dimana beberapa vektor selain V1 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S.

TeoremaSuatu himpunan terhingga vektor-vektor

yang mengandung vektor nol adalah tidak bebas linier.

Suatu himpunan dengan tepat dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika tidak ada satu pun dari vektornya merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya.

BUKTI Untuk vektor v1, v2, …… vr sembarang, himpunan S = {v1, v2, ….. Vr, 0} tidak bebas linier karena persamaan0v1 + 0v2 + . . . . 0vr + 1(0) = 0menyatakan 0 sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pada S dengan koefisien-koefisien yang tidak semuanya nol.

Kebebasan Linier pada R² dan R³ Pada R² atau R³, suatu himpunan yang terdiri dari

dua vektor adlah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sma ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal .

a.tidak bebas linier b. tidak bebas linier c.bebas linier

Z

Y V2

V1

X

Z

V1

V2

X

Y

YV2

V1

X

Z

Teorema

1. Misalkan S = {v1, v2, . . . ,vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor pada Rⁿ. Jika r > n, maka S tidak bebas linier.

Bukti

Misalkan :

v1 = {v11, v12, . . . ., v1n}

v2 = {v21, v22, . . . ., v2n}

vr = {vr1, vr2, . . . ., vrn}

perhatikan persamaan ini,

k1V1 + k2V2 + … + krVr = 0

Jika kita menyatakan kedua ruas dari persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen , maka kita peroleh sistem persamaan,

V11k1,+V21k2+ . . . .+ Vr1kr = 0

V21k1+V22k2+ . . . .+Vr2kr = 0

V1nk1 + V2nk2 + . . . . + Vrnkr = 0

Ini merupakan sistem homogen yang terdiri dari n persamaan dengan r faktor yang tidak diketahui k1, k2, . . . , kr. Karena r > n, maka sesuai dengan teorema pertama, sistem tersebut memiliki solusi-solusi non trivial.

Contoh soal

1. Tunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2 = (2,3,0,-1) dan u3= (2,-1,2,1)Jawab:Bila v merupakan kombinasi linier dari u1, u2, dan u3, maka dapat ditentukan x, y dan z sehingga: v = xu1 + yu2 + zu3(3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1)(3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) + (2 z,-1z,2z,1z)(3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z)Diperoleh persamaan:X+2y+2z=3-2x+3y-z=92z=-43x-y+z=-2 Penyelesaian:x =1, y = 3 dan z = -2Jadi v = u1 + 3u2 – 2u3Jika sistem persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian maka v tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari u1, u2, dan u3 dan bebas linier. 

^-^

TERIMA KASIH