Penyelesaian Relasi Rekursif Lewat

Persamaan Karakteristik

Matematika Diskrit

oleh . . . . . Kelompok

1 . . . . .• Agus Hendri P 2D (114070130)• Dede Rukmana 2C (114070009)• Intan Rahmasari 2D (114070082)

• Isna Silvia 2D (114070131)

• Nur Komala sari 2D (114070132)

• Sandi Hermana 2C (114070081)

Penyelesaian Relasi Rekursif Lewat Persamaan Karakteristik

Jenis-jenis Relasi RekursifPenyelesaian Relasi Rekursif Homogen Linier dg Koef.Konstan Penyelesaian Relasi Rekursif Linier dg Koef.Konstan (Penyelesaian Total)Latihan

Daftar Pustaka

Relasi Rekurensi Linier dengan Derajat k

Relasi Rekurensi Linier dengan

Koefisien Konstan

Jika 𝑐0ሺ𝑛ሻ,𝑐1ሺ𝑛ሻ , ... , 𝑐𝑘ሺ𝑛ሻ semuanya konstanta, maka relasi rekurensi

disebut relasi rekurensi linier dengan koefisien konstan.

Jadi relasi rekurensi linier dengan koefisien konstan berbentuk :

𝑐0𝑎𝑛 + 𝑐1𝑎𝑛−1 + ⋯+ 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘 = 𝑓(𝑛)

Relasi Rekurensi Homogen Linier dengan Koefisien Konstan

𝑐0𝑎𝑛 + 𝑐1𝑎𝑛−1 + ⋯+ 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘 = 𝑓(𝑛)

Apabila dalam persamaan tersebut, 𝑓(𝑛) = 0, maka disebut relasi rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan.

Misalkan n dan k adalah bilangan-bilangan bulat tidak negatif dengan 𝑛 ≥ 𝑘.

Relasi rekurensi linier derajat k adalah relasi berbentuk: 𝑐0ሺ𝑛ሻ𝑎𝑛 + 𝑐1(𝑛)𝑎𝑛−1 + ⋯+ 𝑐𝑘(𝑛)𝑎𝑛−𝑘 = 0 dengan 𝑐0ሺ𝑛ሻ dan 𝑐𝑘 ≠ 0 .

Jenis-jenis

Relasi Rekursif

a. 𝑎𝑛 − 7𝑎𝑛−1 + 10 𝑎𝑛−2 = 0

b. 𝑏𝑘 = 𝑏𝑘−1 + 𝑏𝑘−2 + 𝑏𝑘−3

c. 𝑐𝑘 = 2𝑐𝑘−2 d. 𝑑𝑘 = 𝑑2𝑘−1 + 𝑑𝑘−2 e. 𝑒𝑘 = 𝑒𝑘−1.𝑒𝑘−2

f. 𝑓𝑘 − 2 𝑓𝑘−1 + 1 = 0

ContohTentukan apakah persamaan di bawah ini merupakan relasi rekurensi linier, linier dengan koefisien konstan atau homogen linier dengan koefisien konstan. Jika demikian tentukan derajatnya!

Jenis-jenis Relasi Rekursif

Penyelesaian:

a. Relasi rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan derajat 2. b. Relasi (b) dapat dinyatakan dengan 𝑏𝑘 − 𝑏𝑘−1 − 𝑏𝑘−2 − 𝑏𝑘−3 = 0 yang merupakan relasi rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan derajat 3.

c. Relasi rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan derajat 2.

d. Bukan relasi rekurensi linier karena memuat suku kuadratis 𝑑2𝑘−1 . e. Bukan relasi rekurensi linier karena memuat pergandaan suku (𝑒𝑘−1.𝑒𝑘−2) f. Relasi rekurensi linier dengan koefisien konstan derajat 1 (𝑓(𝑛) = −1) g. Relasi rekurensi linier dengan derajat 2 (koefisien tidak konstan)

Contoh Menentukan Relasi Rekurensi Linier, Linier Dengan Koefisien Konstan Atau Homogen Linier

Dengan Koefisien Konstan. Jika Demikian Tentukan Derajatnya

Jenis-jenis Relasi Rekursif

Penyelesaian Rekurensi Homogen Linier dengan Koefisien Konstan

Misal diberikan suatu relasi rekurensi homogen linier

dengan koefisien konstan : 𝑎𝑛 + 𝑐1𝑎𝑛−1 + ⋯+ 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘 = 0 dengan 𝑐𝑘 ≠ 0 dan 𝑛 ≥ 𝑘

Persamaan karakteristik yang sesuai dengan relasi rekurensi di atas : 𝑡𝑘 + 𝑐1𝑡𝑘−1 + ⋯+ 𝑐𝑘 = 0 Misal 𝛼1,𝛼2,…,𝛼𝑘 adalah akar-akar persamaan karakteristik,

ada 2 kemungkinan penyelesaian berdasarkan akar-akarnya yaitu :

1. Penyelesaian jika semua akar berbeda.

2. Penyelesaian jika terdapat akar yang kembar.

1. Semua akar berbeda.

Jika semua akar persamaan karakteristik berbeda, maka penyelesaian relasi

rekurensi: 𝑎𝑛 = 𝑐1𝛼1𝑛 + 𝑐2𝛼2𝑛 + ⋯+ 𝑐𝑘𝛼𝑘𝑛

Dengan 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑘 adalah konstanta yang nilainya ditentukan berdasarkan

kondisi awal.

Pen

yele

saia

n m

enur

ut

Akar

-ak

ar P

ersa

maa

n Ka

rakt

eris

tik

2. Ada akar yang kembar.

Persamaan karakteristik memiliki p buah akar yang sama.

Jadi, akar-akarnya yaitu : 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑝,𝛼𝑝+1,…,𝛼𝑘

Sehingga, penyelesaian relasi rekurensi yaitu : 𝑎𝑛 = ൫𝑐1 + 𝑐2𝑛+ ⋯+ 𝑐𝑝𝑛𝑝−1൯𝛼1𝑛 + 𝑐𝑝−1 + 𝛼𝑝+1𝑛 + ⋯+ 𝑐𝑘𝛼𝑘𝑛

Dengan 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑘 adalah konstanta-konstanta yang nilainya ditentukan

berdasarkan kondisi awal.

Akar-akar Persamaan Karakteristik

Penyelesaian Rekurensi Homogen Linier dengan Koefisien Konstan

a) Carilah penyelesaian homogen dari relasi berikut. 𝒂𝒏 = 𝟑𝒂𝒏−𝟏 + 𝟒𝒂𝒏−𝟐 untuk 𝒏≥ 𝟐 dengan kondisi awal 𝒂𝟎 = 𝟏 dan 𝒂𝟏 = 𝟑

Penyelesaian: Relasi rekurensi homogen linear :

𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1 + 4𝑎𝑛−2 Pers.karakteristik yang sesuai 𝑡2 − 3𝑡− 4 = 0

ሺ𝑡− 4ሻሺ𝑡+ 1ሻ= 0 Akar-akar dari pers.karakteristik

𝑎1 = 4 dan 𝑎2 = −1 Karena semua akar-akar karakteristik berbeda, maka penyelesainnya yaitu : 𝑎𝑛 = 𝑐14𝑛 + 𝑐2(−1)𝑛

Untuk menentukan 𝑐1 dan 𝑐2 digunakan kondisi awal : 𝑎0 = 1 1 = 𝑐1(4)0 + 𝑐2(−1)0 1 = 𝑐1 + 𝑐2

𝑎1 = 3 3 = 𝑐1(4)1 + 𝑐2(−1)1 3 = 4 𝑐1 − 𝑐2 diperoleh sist.pers. linier : 𝑐1 + 𝑐2 = 1 4 𝑐1 − 𝑐2 = 3 yang memiliki penyelesaian 𝑐1 = 45 dan 4 𝑐1 − 𝑐2 = 15

Jadi, penyelesaian homogen: 𝑎𝑛 = 45 (4)𝑛 + 15(−1)𝑛

Contoh Penyelesaian

Homogen

Penyelesaian Rekurensi Homogen Linier dengan Koefisien Konstan

b) Carilah penyelesaian homogen dari relasi berikut. 𝒂𝒏 − 𝟑𝒂𝒏−𝟏 + 𝟑𝒂𝒏−𝟐 − 𝒂𝒏−𝟑 = 𝟎 untuk 𝒏≥ 𝟑 dengan 𝒂𝟎 = 𝟏 ; 𝒂𝟏 = 𝟐 dan 𝒂𝟐 = 𝟒

Contoh Penyelesaian

Homogen

𝑎0 = 4 4 = 𝑐1 + 𝑐2(2) + 𝑐3(2)2 4 = 𝑐1 + 2𝑐2 + 4𝑐3 didapatkan sistem persamaan linier : 𝑐1 = 1 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 = 2 𝑐1 + 2𝑐2 + 4𝑐3 = 4 Yang memiliki penyelesaian 𝑐1 = 1 ; 𝑐2 = 12 ; 𝑐3 = 12 Penyelesaian homogennya adalah 𝑎𝑛 = 1+ 12𝑛+ 12𝑛2

Penyelesaian: Relasi rekurensi homogen linear : 𝑎𝑛 − 3𝑎𝑛−1 + 3𝑎𝑛−2 − 𝑎𝑛−3 = 0 Pers.karakteristik yg sesuai : 3𝑡 − 3𝑡2 + 3𝑡− 1 = 0 (𝑡− 1)3 = 0 Pers.karakteristik memiliki 3 akar kembar :

𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = 1 sehingga penyelesaiannya : 𝑎𝑛 = ሺ𝑐1 + 𝑐2𝑛+ 𝑐3𝑛2ሻ.1𝑛 = 𝑐1 + 𝑐2𝑛+ 𝑐3𝑛2

Untuk menentukan koefisien-koefisien 𝑐1, 𝑐2 dan 𝑐3

digunakan kondisi awalnya : 𝑎0 = 1 1 = 𝑐1 + 𝑐2(0) + 𝑐3(0)2 1 = 𝑐1 𝑎1 = 2 2 = 𝑐1 + 𝑐2(1) + 𝑐3(1)2 2 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3

Penyelesaian Rekurensi Homogen Linier dengan Koefisien Konstan

Carilah penyelesaian

homogen dari relasi berikut. 𝒂𝒏 − 𝟕𝒂𝒏−𝟏 + 𝟏𝟔𝒂𝒏−𝟐 − 𝟏𝟐𝒂𝒏−𝟑 = 𝟎

untuk 𝒏≥ 𝟑

dengan 𝒂𝟎 = 𝟏 ; 𝒂𝟏 = 𝟒 dan 𝒂𝟐 = 𝟖

Contoh Penyelesaian

Homogen

c Relasi rekurensi homogen linear : 𝑎𝑛 − 7𝑎𝑛−1 + 16𝑎𝑛−2 − 12𝑎𝑛−3 = 0

Pers.karakteristik yg sesuai : 𝑡3 − 7𝑡2 − 16𝑡− 12 = 0

ሺ𝑡− 2ሻ2ሺ𝑡− 3ሻ= 0

Pers. karakteristik memiliki

2 akar kembar 𝑎1 = 𝑎2 = 2 dan 𝑎3 = 3 sehingga penyelesaiannya

adalah 𝑎𝑛 = ൫𝑐1 + 𝑐2ሺ𝑛ሻ൯2𝑛 + 𝑐33𝑛

Menggunakan kondisi awalnya, nilai 𝑐1, 𝑐2 dan 𝑐3 bisa ditentukan : 𝑎0 = 1 1 = ൫𝑐1 + 𝑐2ሺ0ሻ൯20 + 𝑐330 1 = 𝑐1 + 𝑐3 𝑎1 = 4 4 = ൫𝑐1 + 𝑐2ሺ1ሻ൯21 + 𝑐331 4 = ሺ𝑐1 + 𝑐2ሻ2+ 3𝑐3 4 = 2𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3

𝑎2 = 8, sehingga 8 = ൫𝑐1 + 𝑐2ሺ2ሻ൯22 + 𝑐332 8 = ሺ𝑐1 + 2𝑐2ሻ4+ 9𝑐3 8 = 4𝑐1 + 8𝑐2 + 9𝑐3

Didapatkan sistem

persamaan linier : 𝑐1 + 𝑐3 = 1 2𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3 = 4 4𝑐1 + 8𝑐2 + 9𝑐3 = 8

Yang memiliki penyelesaian

𝑐1 = 5, 𝑐2 = 3 dan 𝑐3 = −4

Jadi, penyelesaian homogen 𝑎𝑛 = ሺ5+ 3𝑛ሻ2𝑛 − 4(3𝑛)

Misalkan 𝑎𝑛 + 𝑐1𝑎𝑛−1 + ⋯+ 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘 = 𝑓(𝑛) adalah

relasi rekurensi linier dengan koefisien konstan.

Misalkan juga 𝑐ሺ𝑡ሻ= 𝑡𝑘 + 𝑐1𝑡𝑘−1 + ⋯+ 𝑐𝑘 adalah

persamaan karakteristik yang sesuai.

Untuk beberapa jenis fungsi 𝑓ሺ𝑛ሻ, pola perkiraan

penyelesaian khusus yang sesuai dapat dilihat dalam tabel sbb:

(𝑃,𝑃0 ,𝑃1 ,…,𝑃𝑠 adalah koefisien yang harus dicari)

Penyelesaian Total = Penyelesaian Homogen + Penyelesaian Khusus

Penyelesaian Total

𝒇ሺ𝒏ሻ (𝑫,𝒂:konstan)

Sifat Persamaan Karakteristik C(t) Bentuk Penyelesaian Khusus

𝐷 𝑎𝑛 𝑎 bukan akar persamaan karakteristik 𝑐(𝑡) (𝑐(1) ≠ 0) 𝑃 𝑎𝑛

𝐷 𝑎𝑛 𝑎 adalah akar persamaan karakteristik 𝑐(𝑡) kelipatan 𝑚

𝑃 𝑛𝑚𝑎𝑛

𝐷 𝑛𝑠𝑎𝑛 𝑎 bukan akar persamaan karakteristik 𝑐(𝑡) (𝑐(1) ≠ 0) ሺ𝑃0 + 𝑃1𝑛+ ⋯+ 𝑃𝑠𝑛𝑠ሻ 𝑎𝑛

𝐷 𝑛𝑠𝑎𝑛 𝑎 adalah akar persamaan karakteristik 𝑐(𝑡) kelipatan 𝑚

ሺ𝑃0 + 𝑃1𝑛+ ⋯+ 𝑃𝑠𝑛𝑠ሻ 𝑛𝑚𝑎𝑛

𝐷 𝑛𝑠 1 bukan akar persamaan karakteristik 𝑐(𝑡) (𝑐(1) ≠ 0) 𝑃0 + 𝑃1𝑛+ ⋯+ 𝑃𝑠𝑛𝑠

𝐷 𝑛𝑠 1 adalah akar persamaan karakteristik 𝑐(𝑡) kelipatan 𝑚

ሺ𝑃0 + 𝑃1𝑛+ ⋯+ 𝑃𝑠𝑛𝑠ሻ 𝑛𝑚

Tabel 1. Pola Perkiraan Penyelesaian Khusus Yang Sesuai

Penyelesaian Total

Penyelesaian:

Relasi rekurensi homogen: 𝑎𝑛 − 7𝑎𝑛−1 + 10 𝑎𝑛−2 = 0 Pers.karakteristik yang sesuai 𝑡2 − 7𝑡+ 10 = 0 ሺ𝑡− 2ሻሺ𝑡− 5ሻ= 0

Sehingga akar-akar karakteristiknya 𝛼1 = 2, 𝛼2 = 5.

Karena akar karakteristik berbeda, maka

penyelesaian homogen 𝑎𝑛 = 𝑐12𝑛 + 𝑐55𝑛 Karena 𝑓ሺ𝑛ሻ= 4𝑛 dan 4 bukan akar karakteristik,

maka untuk mencari penyelesaian khusus

menggunakan bentuk 𝑎𝑛𝑘 = 𝑃 .(4)𝑛

Penyelesaian khusus ini disubstitusikan ke relasi rekurensi awal.

Didapat: 𝑃.4𝑛 − 7 ሺ𝑃 .4𝑛−1ሻ+ 10ሺ𝑃 4𝑛−2ሻ= 4𝑛 𝑃.4𝑛−2(42 − 7.4+ 10) = 4𝑛 𝑃 = −8

Penyelesaian khusus 𝑎𝑛𝑘 = −8 (4)𝑛

a) Carilah penyelesaian total relasi rekursif berikut 𝑎𝑛 − 7𝑎𝑛−1 + 10𝑎𝑛−2 = 4𝑛 untuk 𝑛 ≥ 2 dengan 𝑎0 = 8 dan 𝑎1 = 36.

Contoh Penyelesaian Total

Penyelesaian total = penyelesaian homogen + penyelesaian khusus = 𝑐12𝑛 + 𝑐55𝑛 − 8 (4)𝑛 Untuk mencari harga 𝑐1 dan 𝑐2, digunakan kondisi awal yang diberikan: 𝑎0 = 8 8 = 𝑐1(2)0 + 𝑐2(5)0 − 8 (4)0 8 = 𝑐1 + 𝑐2 − 8 16 = 𝑐1 + 𝑐2

𝑎1 = 36 36 = 𝑐1(2)1 + 𝑐2(5)1 − 8 (4)1 36 = 2𝑐1 + 5𝑐2 − 32 68 = 2𝑐1 + 5𝑐2

Didapat sistem persamaan linier 𝑐1 + 𝑐2 = 16 dan 2𝑐1 + 5𝑐2 = 68

Yang bila diselesaikan menghasilkan 𝑐1 = 4 dan 𝑐2 = 12

Jadi penyelesaian totalnya adalah 𝑎𝑛 = 4(2)𝑛 + 12(5)𝑛 − 8 (4)𝑛

Penyelesaian Total

b) Carilah penyelesaian total relasi rekursif berikut 𝒂𝒏 − 𝟒𝒂𝒏−𝟏 + 𝟒𝒂𝒏−𝟐 = 𝟐𝒏 untuk 𝒏≥ 𝟐. Penyelesaian: Relasi rekurensi homogen : 𝑎𝑛 − 4𝑎𝑛 + 4𝑎𝑛−2 = 0 Persamaan karakteristik : 𝑡2 − 4𝑡+ 4 = (t− 2)2 = 0

Akar akar karakteristik 𝑎1 = 𝑎2 = 2 Karena akar-akarnya sama, maka

penyelesaian homogen : 𝑎𝑛 = (𝑎1 + 𝑎2)2𝑛 𝑓ሺ𝑛ሻ= 2𝑛 dan 2 merupakan akar karakteristik kelipatan 𝑚 = 2

(ada 2 buah 𝑎 yang sama) Untuk itu bentuk penyelesaian khusus adalah 𝑎𝑛𝑘 = P nm𝑎𝑛 = P n22𝑛 Dengan mensubtitusikan 𝑎𝑛𝑘 ke dalam relasi rekurensi mula-mula, akan didapatkan persamaan: 𝑃𝑛22𝑛 − 4 {𝑝ሺn− 1ሻ22𝑛−1 + 4 {𝑝ሺn− 2ሻ22𝑛−2 = 2𝑛 𝑃2𝑛−2{𝑛222 − 4ሺ𝑛− 1ሻ22+ 4ሺ𝑛− 1ሻ2 = 2𝑛 𝑃{4𝑛2 − 8ሺ𝑛2 − 2𝑛+ 1ሻ+ 4ሺ𝑛2 − 4𝑛 + 4ሻ} = 2𝑛 𝑃ሺ8ሻ= 4 𝑃= 12

maka 𝑎𝑛𝑘 = 12 𝑛22𝑛

penyelesaiaan total = P.homogen + P.khusus = (𝑐1 + 𝑐2𝑛)2𝑛 + 12𝑛22𝑛

Contoh Penyelesaian

Total

1) Tentukan derajat dan 𝑓ሺ𝑛ሻ dari relasi rekurensi berikut. a) 𝑡𝑛 − 7𝑡𝑛−1 + 12𝑡𝑛−2 = 0 b) 𝑏𝑛−3 − 3𝑏𝑛 = 𝑛+ 3 c) 2𝑎𝑛 + 2𝑎𝑛−1 = 3𝑛

2) Manakah yang merupakan relasi rekurensi linier atau relasi rekurensi homogen linier? Sebutkan pula apakah konstan atau tidak, dan beri penjelasan. a) ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1 = ℎ𝑘−2 + ℎ𝑘−3

b) 𝑐𝑘 = 3𝑐𝑘−2

c) 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘−13 − 𝑎𝑘−2

d) jn − 7jn−1 + 12jn−2 = 1

3) Tentukan penyelesaian homogen dari relasi rekursif 𝑎𝑛 − 6𝑎𝑛−1 − 9𝑏𝑛−2 = 0 dengan kondisi awal 𝑎0 = 1 dan 𝑎1 = 6.

4) Tentukan penyelesaian dari relasi rekursif 𝑏𝑛 + 𝑏𝑛−1 = 6𝑏𝑛−2 dengan kondisi awal 𝑏0 = 0 dan 𝑏1 = 1.

Carilah penyelesaian total relasi rekursif berikut untuk no.5 dan 6

5) 𝑎𝑟 − 5𝑎𝑟−1 + 6𝑎𝑟−2 = 1

6) 𝑎𝑟 − 5𝑎𝑟−1 + 6𝑎𝑟−2 = 4𝑛

LATIHAN

Munir, Rinaldi. Rekursi dan Relasi Rekurens Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit. http://informatika.stie.itb.ac.id. Diakses pada 17 November 2015.

Pardede,D.L.C.Relasi Rekurensi Linier Berkoefisien Konstan. http://pardede.staff.gunadarma.ac.id. Diakses pada 17 November 2015.

Siang, Jong Jek. 2009. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: ANDI.

Daftar Pustaka

Terima Kasih

Kelompok 1Prodi

Pend.MatematikaFKIP UNSWAGATI

Semoga Bermanfaat

Penyelesaian Relasi Rekursif Lewat Persamaan Karakteristik

JAWABAN LATIHAN1. a) 𝑡𝑛 − 7𝑡𝑛−1 + 12𝑡𝑛−2 = 0 derajat 2 dan 𝑓ሺ𝑛ሻ= 0

b) 𝑏𝑛−3 − 3𝑏𝑛 = 𝑛+ 3 derajat 3 dan 𝑓ሺ𝑛ሻ= 𝑛+ 3

c) 2𝑎𝑛 + 2𝑎𝑛−1 = 3𝑛 derajat 1 dan 𝑓ሺ𝑛ሻ= 3𝑛

2. a) ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1 = ℎ𝑘−2 + ℎ𝑘−3 relasi rekurensi homogen linier dengan

koefisien konstan karena 𝑓(𝑛) = 0 dan semua 𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐2 ,𝑐3 merupakan konstanta

b) 𝑐𝑘 = 3𝑐𝑘−2 relasi rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan

karena f(n)=0 dan semua 𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐2 merupakan konsatanta

c) 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘−13 − 𝑎𝑘−2 bukan relasi rekurensi linier karena

terdapat suku 𝑎𝑘−13 yang merupakan suku berpangkat 3

d) jn − 7jn−1 + 12jn−2 = 1 relasi rekurensi linier dengan koefisien konstan

karena 𝑓(𝑛) ≠ 0 dan semua 𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐2 merupakan konsatanta

JAWABAN

3. Penyelesaian:

• Relasi rekurensi homogen : an – 6an–1 – 9an–2 = 0

dengan a0 = 1 dan a1 = 6

• Persamaan karakteristik: r2 – 6r + 9 = 0.

(r – 3)(r – 3 ) = 0

Akar-akarnya: r1 = r2 = 3

• Karena akar-akarnya berbeda, maka

penyelesaian homogen :

an = 1rn0 + 2nrn

0

an = 13n + 2n3n

• Menentukan nilai c1, c2 menggunakan kondisi awal

a0 = 1 a0 = 1 = 130 + 2 030 = 1

a1 = 6 a1 = 6 = 131 + 2131 = 31 + 32

Diperoleh dua persamaan: 1 = 1 dan 31 + 32 = 6,

sehingga 1 = 1 dan 2 = 1

• Jadi, solusi homogen : an = 3n + n3n JAWABAN

4. Penyelesaian :• Relasi rekurensi : bn + bn-1 = 6 bn-2 dengan b0 = 0 , b1 = 1 , merupakan relasi rekurensi

homogen linear karena f(n) = 0, maka digunakan penyelesaian homogen.Persamaan relasi rekurensi homogen linear : bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0

• Persamaan karakteristik yang sesuai : 2 + - 6 = 0 atau ( + 3) ( - 2) = 0hingga diperoleh akar-akar karakteristik 1 = -3 dan 2 = 2.

• Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn

(h) = A1 1n + A2 2

n bn

(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.

• Dengan kondisi batas b0 = 0 dan b1 = 1 , maka b0

(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 0 = A1 + A2 .b1

(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 1 = -3 A1 + 2 A2 .bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5

• Sehingga jawab solusi homogen : bn(h) = (-3)n + . 2n

JAWABAN

5. Penyelesaian:

Relasi rekurensi homogen : 𝑎𝑟 − 5𝑎𝑟−1 + 6𝑎𝑟−2 = 0

Pers.karakteristik : 𝑡2 − 5𝑡+ 6 = 0

ሺ𝑡− 3ሻሺ𝑡− 2ሻ= 0

Akar-akar karakteristiknya 𝑎1 = 3, 𝑎2 = 2

Karena akar-akarnya berbeda, maka

penyelesaian homogen 𝑎𝑛 = 𝑐1𝛼1𝑛 + 𝑐2𝛼2𝑛 𝑎𝑛 = 𝑐1(3)𝑛 + 𝑐2(2)𝑛

Karena f(n)=1, a=1 bukan akar persamaan

dan tidak sama dengan nol, maka

digunakan persamaan khusus 𝑃.𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑘 = 𝑃.𝑎𝑛 = 𝑃.1𝑛

Subtitusi persamaan khusus ke relasi mula-mula 𝑃.1𝑛 − 5ሺ𝑃.1𝑛−1ሻ+ 6ሺ𝑃.1𝑛−2ሻ= 1 𝑃.1𝑛−2 −ሺ12 − 5.11 + 6ሻ= 1𝑛 2.𝑃.1𝑛−2 = 1𝑛 2.𝑃.1𝑛−2.1−𝑛+2 = 1𝑛.1−𝑛+2 2.𝑃.1 = 12 2.𝑃= 1

𝑃= 12

𝑎𝑛𝑘 = 12.(1)𝑛

Sehingga penyelesaian khusus = 12 .(1)𝑛

Jadi, penyelesaian total = p. homogen + p.khusus

= 𝑐1(3)𝑛 + 𝑐2(2)𝑛𝑎𝑛𝑘 + 12 .(1)𝑛

JAWABAN

6. Penyelesaian:

Relasi rekurensi homogen : 𝑎𝑟 − 5𝑎𝑟−1 + 6𝑎𝑟−2 = 0

Pers.karakteristik : 𝑡2 − 5𝑡+ 6 = 0

ሺ𝑡− 3ሻሺ𝑡− 2ሻ= 0

Akar-akar karakteristiknya 𝑎1 = 3, 𝑎2 = 2

Karena akar-akarnya berbeda, maka

penyelesaian homogen 𝑎𝑛 = 𝑐1𝛼1𝑛 + 𝑐2𝛼2𝑛 𝑎𝑛 = 𝑐1(3)𝑛 + 𝑐2(2)𝑛

Karena f(n)= 4𝑛, 𝑎 = 4𝑛 bukan akar persamaan

dan tidak sama dengan nol, maka

digunakan persamaan khusus 𝑃.𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑘 = 𝑃.𝑎𝑛 = 𝑃.4𝑛

Subtitusi persamaan khusus ke relasi mula-mula 𝑃.4𝑛 − 5ሺ𝑃.4𝑛−1ሻ+ 6ሺ𝑃.4𝑛−2ሻ= 4𝑛 𝑃.4𝑛−2ሺ42 − 5.4+ 6ሻ= 4𝑛 2𝑃= 42 𝑃= 8 𝑎𝑛𝑘 = 8.(4)𝑛

Sehingga penyelesaian khusus = 8.(4)𝑛

Jadi, penyelesaian total = p. homogen + p.khusus

= 𝑐1(3)𝑛 + 𝑐2(2)𝑛𝑎𝑛𝑘 + 8.(4)𝑛

JAWABAN