kalkulus modul iii sistem koordinat ok
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik III - 1
3 SISTEM KOORDINAT
3.1 SISTEM KOORDINAT • Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu
titik. • Ada beberapa macam sistem koordinat: Sistem Koordinat Cartesius, Sistem
Koordinat Kutub, Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola. • Pada bagian ini hanya akan dibicarakan Sistem Koordinat Cartesius saja.
3.2 SISTEM KOORDINAT CARTESIUS
• Sistem koordinat cartesius terdiri dari 2 garis lurus, satu garis mendatar (horisontal) dan garis yang lain tegak (vertikal).
• Garis mendatar ini disebut sumbu-x, sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y.
• Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O.
• Biasanya, titik-titik disebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif.
• Titik-titik di sebelah atas O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan di sebelah bawah O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real negatif.
• Sumbu-sumbu koordinat membagi bidang menjadi 4 daerah, disebut kuadran, yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV.
Gambar 3.1 Empat Kuadran dalam Koordinat Cartesius
Kwadran I
0,0 >> yx
Kwadran II
0,0 >< yx
Kwadran III
0,0 << yx
Kwadran IV
0,0 <> yx
O
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik III - 2
• Letak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan
y)(x, . • Titik y)P(x, mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y
masing-masing adalah xy dan . • Apabila )0yatau(0x << maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah
bawah) titik asal O, dan • Apabila )0yatau(0x >> maka titik P terletak di sebelah kanan (atau
sebelah atas) titik asal O. • Sumbu x disebut absis, sedangkan sumbu y disebut ordinat.
Contoh 3.1 Koordinat titik A adalah (-1,4), titik B adalah (3,-1) dan titik P adalah (5,2).
• • • • • • • • • • • •
Gambar 3.2 Titik-titik A, B, dan P dalam koordinat Cartesius
3.3 RUMUS JARAK
• d(P,Q) = 212
212 )y-(y)x-(x +
•
•
•
•
•
• )2,5(P
• )4,1(−A
• )1,3( −B
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik III - 3
),( 11 yxP
),( 33 yxR
Gambar 3.3 Rumus Jarak dari P ke Q
Contoh 3.2 Cari jarak antara titik P(-2,3) dan titik Q(4,-1)
Penyelesaian: Jarak dari titik P ke titik Q adalah
d(P,Q) = 7,215216364)-(-1(-2))-(4 22 ≈=+=+
3.4 PERSAMAAN LINGKARAN
• Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).
• Persamaan lingkaran yang berjari-jari r dan berpusat di (h,k) mempunyai persamaan (x – h)2 + (y – h)2 = r2
O x
),( 22 yxQ
y
y
x
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik III - 4
Contoh 3.3
Persamaan lingkaran r = 3 dan berpusat di (6,4) adalah x – 6 )2 + (y – 4)2 = 9
• • • • • • • • • • • • • •
Gambar 3.4 Lingkaran dengan jari-jari tiga dan berpusat di titik (6,4)
3.5 GARIS LURUS
• Merupakan kurva yang paling sederhana.
• Kemiringan Garis = m = 12
12
xxyy
−−
)y,A(x 11
Gambar 3.5 Dua titik A dan B dihubungkan membentuk garis dengan kemitingan m
•
•
•
•
•
• (6,4) r =3
)y,B(x 22
y2-y1
y
x2-x1
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik III - 5
• • • • • • • • • • • • • • •
Gambar 3.6 Persamaan garis dengan kemiringan m yang berbeda-beda.
• Garis yang melalui titik (tetap) (x1, y1) dengan kemiringan m mempunyai persamaan:
y – y1 = m (x – x1) dimana m disebut kemiringan titik dari persamaan sebuah garis.
Contoh 3.4 Cari persamaan garis yang melalui titik (-4,2) dan (6,-1) Penyelesaian:
Kemiringan garis yang melewati titik (-4,2) dan (6,-1) adalah 103
4621-m −=
−−
= .
Dengan menggunakan titik (-4,2) sebagai titik tetap, kita dapatkan persamaan garisnya yaitu
y – 2 = 103
− (x+4)
•
•
•
•
•
),( 12A
•
21
2412m =
−−
=
•(4,2) 0
2611m =
−−
=
x
(6,1) •
• (4,4)
23
2414m =
−−
=
• (0,5)
2-2015m =
−−
= y
(‐2,3) •
21-
22-13m =−−
=
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik III - 6
• Persamaan Garis dalam bentuk: Ax + By + C = 0
Contoh 3.5 Ubahlah bentuk persamaan-persamaan garis berikut ke dalam bentuk persamaan Ax + By + C = 0
a. y – 2 = - 4 (x +2) b. y = 5x – 3 c. x = 5
Penyelesaian: Persamaan garis dalam bentuk: Ax + By + C = 0
a. 4x + y + 6 = 0 b. -5x + y + 3 = 0 c. x + 0y -5 = 0
• Persamaan linier umum Ax + Bx + C = 0 , A dan B keduanya tidak 0.
• Dua garis tak-tegak dikatakan sejajar jika dan hanya jika keduanya mempunyai kemiringan yang sama.
Persamaan garis pertama: y – y1 = m1 (x – x1) Persamaan garis kedua: y – y2 = m2 (x – x2)
Garis pertama dan kedua sejajar jika m1=m2 • Dua garis tak-tegak saling tegak lurus jika dan hanya jika kemiringan
keduanya saling berkebalikan negatif.
Persamaan garis pertama: y – y1 = m1 (x – x1) Persamaan garis kedua: y – y2 = m2 (x – x2)
Garis pertama dan kedua saling tegak lurus jika m1 . m2 = -1
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik III - 7
Latihan 3.1 A. Gambarkan titik-titik berikut pada bidang koordinat dan kemudian carilah
jarak titik-titik tersebut. 1. (2,-1) , (5,3) 2. (4,2),(2,4) 3. (-2,1), (7,13)
B. Carilah persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan berikut
1. Pusat (1,-2), jari-jari 6 2. Pusat (-3,4) jari-jari 8 3. Pusat (2,-1) melalui (5,3)
C. Cari kemiringan dari garis yang mengandung dua titik yang diberikan
1. (2,3) dan (4,8) 2. (-4,2) dan (8,2) 3. (-6,0) dan (0,6)
D. Tuliskan persamaan garis dari soal C ke dalam bentuk Ax + By + C = 0
E. Tulislkan persamaan garis melalui (3,-3) yang:
1. Sejajar garis y = 2x +5 2. Tegak lurus garis y = 2x + 5 3. Sejajar garis 2x + 3y = 6 4. Tegak lurus garis 2x + 3y =6 5. Sejajar garis x = 8 6. Tegak lurus garis x = 8