kalkulus 2018 -...
TRANSCRIPT
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
KALKULUS 2018
Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si
FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si
PUTRI WILANDARI Z., S.TP., M.Si
DESKRIPSI SINGKAT MATA KULIAH
Mata Kuliah Kalkulus membahas tentang (1) Sistem bilangan,pertaksamaan serta koordinat kartesius, (2) fungsi dan limit, (3)turunan dan aplikasinya, (4) integral dan aplikasinyaserta (5)fungsi-fungsi transenden.
Turunan menjelaskan beberapa konsep mengenai kecepatansesaat dan gradient singgung, hubungannya dengan kekontinuan,aturan dasar turunan, turunan tingkat tinggi, penurunan implisit,laju yang berkaitan, diferensial dan aproksimasi, serta maksimum,minimum dan nilai rata suatu fungsi. Integral membahas beberapatopik mengenai integral tak tentu, persamaan diferensial,sederhana, notasi sigma dan luas, integral tentu dan teorema dasarkalkulus, serta aplikasi integral untuk memecahkan masalah yangberkaitan dengan luas pada bidang, volume benda pejal, momendan pusat massa.
Materi Ajar UTS/UAS
Pendahuluan & Sistem Bilangan1
Fungsi dan Limit 2
Turunan3
Turunan dan Aplikasinya4
Diferensial dan Aproksimasi5
Permasalahan Maksimum dan
Minimum dari Suatu Fungsi7
Maksimum dan Minimum6
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si
FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si
PENDAHULUAN & SISTEM BILANGAN
Himpunan
Kalkulus merupakan ilmu yang mempelajari tentang
perubahan dan pertumbuhan. Pendiferensialan dan
penintegralan adalah proses dasar dari kalkulus.
Himpunan : koleksi / kumpulan sesuatu.
Elemen Suatu Himpunang : a adalah elemen himpunan S
(a ∈ S), jika a bukan elemen himpunan S (a ∉ S),
himpunan kosong di notasikan ∅
Himpunan S terdiri dari a, t, j, k : S = {a, t, j, k}
Himpunan A anggota himpunan B : A ⊆ B
Himpunan A anggota himpunan murni B : A ⊂ B
Gabungan Himpunan A dan B : A ∪ B
Irisan Himpunan A dan B : A ∩ B
Latihan 1
1. A= {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 5, 6}, C = {2, 3, 5};pernyataan yang benar adalah :
a. 3 ∈ 𝐴
b. 1 ∈ 𝐶
c. 2 ∉ 𝐶
d. 3 ∉ 𝐵
e. 𝐵 ⊆ 𝐴
f. 𝐶 ⊆ 𝐴
g. 𝐶 ⊂ 𝐴
h. 4 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶
i. 6 ∈ 𝐵 ∪ 𝐶
j. 4 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶
k. 6 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶
l. 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝐶
m. 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴
n. 𝐴 ∪ 𝐶 = 𝐴
Latihan 1
2. Jika A = {a, c, d, e, g}, B = {b, c, d, f}, dan C = {d, e, g} .Tentukanlah
a. A ∪ 𝐶
b. 𝐴 ∩ 𝐶
c. 𝐵 ∩ 𝐶
d. 𝐵 ∪ 𝐶
e. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶
f. (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐴 ∪ 𝐶
g. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
Sistem Bilangan Nyata/Real
Bilangan real, dinotasikan dengan memainkan peranan
yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama
kali akan diberikan beberapa fakta dan terminologi dari
bilangan real. Secara geometri, bilangan real dapat
digambarkan sebagai garis bilangan, dinotasikan dengan
= (-,).
Sistem Bilangan Nyata/Real
Bilangan Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan
sebagai a/b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama
dengan 0. Batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari
selanga (-∞, ∞).
Bilangan Irasional : Bilangan riil yang tidak bisa dibagi
(hasil baginya tidak pernah berhenti). Bilangan irasional
tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai
bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan
irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang
paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan π,
2, dan bilangan e.
Interval
0
Bilangan PositifBilangan Negatif
a b
Makna:
(a,b) = {x| a < x < b} (Interval Terbuka)
[a,b] = {x| a ≤ x ≤ b} (Interval Tertutup)
(a,b] = {x| a < x ≤ b} (Interval Setengah Terbuka)
[a,b) = {x| a ≤ x < b} (Interval Setengah Terbuka)
(a,∞) = {x| a < x} (Interval Terbuka)
(a,-∞) = {x| x < a} (Interval Terbuka)
(b,∞) = {x| b < x} (Interval Terbuka)
(b,-∞) = {x| x < b} (Interval Terbuka)
[a,∞) = {x| a ≤ x} (Interval Tertutup)
(a,-∞] = {x| a > x } (Interval Terbuka)
(∞,-∞) = {x| -∞ < x < ∞} (Interval Terbuka)
Desimal
Bentuk desimal yang berhenti atau berulangmenyatakan bilangan rasional. Contoh : ½ =0,5 ; 1/3 =0.333…
Sistem bilangan real R dengan oprasi penjumlahan (+)dan perkalian (x) padanya memenuhi :
Sifat aljabar (komutatif, asosiatif, distributif, …)
Sifat urutan (hukum trikotomi, transitif, aditif) yangmelibatkan simbol <, >, =.
Sifat kelengkapan, yaitu bahwa R ‘merupakan’ garisyang “tak berlubang”
Garis Bilangan Real sebagai representasi R
Logika
Dalam berargumen, kita akan sering menggunakankalimat
“Jika … maka … ”
(dibaca : jika P maka Q
P Q
B B B
B S S
S B B
S S B
Kalkulasi dan Estimasi
( 430 + 10 +37.8)/2.75
Bilangan mana yang lebih besar?
22/7 atau 3,14?
Benar/ Salah kalimat berikut?
Jika x > 1, maka x2 > 1.
Jika x2 > 1, maka x > 1.
Untuk semua ,
Untuk semua ,
x 2 0x
20 0x x x
Pertidaksamaan
Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan intervalterletak pada pertidaksamaan aljabar. Himpunan jawabatau solusi dari pertidaksamaan aljabar merupakan salahsatu dari bentuk interval di atas. Adapun penjelasannyadiberikan berikut. Bentuk umum pertidaksamaan aljabar :
𝐴 𝑥
𝐵 𝑥<𝐶 𝑥
𝐷 𝑥
Solusi:
Menambahkan Bilangan yang samapada kedua ruas pertidaksamaan
Mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua ruas
Mengalikan bilangan negatif pada kedua ruas kemudiantanda pertidaksamaan harus dibalik
Pertidaksamaan
Contoh :
a. 1
𝑥< 3
b. x -1 < x + 3
c. 2x -7 < 4x - 2
d. -5 ≤ 2x +6 < 4
e. 𝑥2 − 𝑥 < 6
f. −𝑥
3< 2𝑥 + 1
g. 6
𝑥−1≥ 5
h. -1 < -2x +3 ≤ 2
i. 𝑥 + 1 <−1
𝑥−1
j. 𝑥−2
𝑥−1>
𝑥+3
𝑥+1
k. 𝑥2−4𝑥+3
𝑥+2> 0
l. x < x + 5
m. − 𝑥+3
3< 2𝑥 + 1
n. 6
𝑥−1≥ 5 +2
o. -1+x < -2x +3 ≤ 2
p. 3 + 𝑥 <−1
𝑥−1
Nilai Absolut, Akar Kwadrat, Kwadrat
Nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real xdidefinisikan sebagai jarak dari x terhadap 0, sehingganilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positif.
Nilai absolut x dinotasikan | 𝑥 |
a. −𝑥 = 𝑥
b. 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏
c. 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
d. 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏
e. 𝑎
𝑏=
𝑎
𝑏
Formula Akar Persamaan Kuadrat
Istilah ini umumnya disebut Quadratic Formula. Yang
merupakan solusi dari persamaan kuadrat ax2 +bx +c = 0
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐
2𝑎• d = (b2 – 4ac) merupakan diskriminan dari persamaan
kuadrat.
• Jika d > 0 maka akar persamaannya adalah dua bilangan
real
• Jika d = 0 maka akar persamaannya 1 bilangan real
• Jika d < 0 maka tidak ada solusi bilangan real
Sistim Koordinat
Pelopor: Pierre de Fermat (1629) & Ren´e Descartes (1637)
Misalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dua buah titik pada bidang, jaraknya
adalah d (P,Q) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2
Sistim Koordinat
Tunjukkan semua nilai x dengan batasan: -2 < x ≤ 3 dan semuanilai y dengan batasan: -3 ≤ y < 2 pada koordinat kartesius X-Y!
Tentukan jarak antara P ( –2 , 3 ) dan Q ( 4 , –1 )
Tentukan jarak antara P ( 2 , –3 ) dan Q ( 2 , 5 )
Garis Lurus
Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan Ckonstanta.
Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.
Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan(x2, y2) yang memenuhi persamaan tersebut.
Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2)dua titik pada garis tersebut.Kemiringan garis didefinisikan
sebagaim = (y2−y1)/(x2−x1)
Buktikan bahwa m = −A/B .
Garis Lurus
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan
(x2, y2) : 𝑦−𝑦1
𝑦2−𝑦
1
= 𝑥−𝑥
1
𝑥2−𝑥
1
Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui
titik (x1, y1) :
y – y1 = m (x – x1)
Misalkan garis l1 dan l2 dua buah garis dengan kemiringan m1
dan m2.
Jika kedua garis tersebut sejajar ⇐⇒ m1 = m2
Jika kedua garis tersebut saling tegak lurus ⇐⇒ m1.m2 = −1
Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknyasama terhadap titik tertentu (disebut pusat lingkaran).
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan jari-jari r adalah: x2 + y2 = r2 (gambar sebelah kiri).
Bila pusat lingkaran berada di titik (p, q) makapersamaannya menjadi (x − p)2 + (y − q)2 = r2.
Elips
Bentuk umum elips yang berpusat di (0, 0) :
Untuk elips yang berpusat di (p, q) persamaannya :(𝑥−𝑝)2
𝑎2+
(𝑦−𝑞)2
𝑏2=1
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
Hiperbola
Bentuk umum yang berpusat di (0, 0) :
𝑥2
𝑎2−
𝑦2
𝑏2= 1 atau
−𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
Soal
Tentukan persamaan lingkaran dan tentukan pusat
lingkarannya serta radiusnya.
x2 – 2x + y2 + 6y = –6
Tentukan persamaan dari lingkaran yang memiliki segmen
(2 , 4 ) ke (8 , 12 ) yang menjadi diameter.
TERIMA KASIH
To be Continue ........
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
FUNGSI DAN LIMIT
Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si
FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si
Fungsi
Misalkan A dan B dua buah himpunan. Fungsi dari A keB adalah aturan memasangkan (memadankan) setiapelemen di A dengan satu elemen di B.
Bila elemen-elemen dari A lebih banyak dari elemen-elemen B, dapatkah kita membuat fungsi dari A ke B?
Fungsi
Jika f adalah fungsi yang memetakan X ke Y, maka
ditulis: f : X Y atau f (x) dengan x anggota himpunan
X.
f (x) = x2 – 3x + 2 dan X = {x | x: –1 ≤ x < 3, x ∈ B}
f (x) = x2 – 4
f (3) = 32 – 4 = 5
f (a) = a2 – 4
f (a+h) = (a+h)2 – 4 a2 + 2ah + h2 –4
Untuk f (x) = x2 – 2x +3 tentukan :
a. f (3) b. f (2 + b) c. f (3 + b) – f(2)
d. [f (4 + b) – f(4)]/b
Pergeseran Grafik Fungsi
Diberikan grafik fungsi y = f(x) dan a > 0. Selanjutnyadibentuk fungsi g(x) = f(x − a), maka gambar grafik g(x)dapat diperoleh dengan menggeser grafik f(x) sejauh ake kanan
Operasi pada Fungsi
Misalkan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi real dengan daerah
definisi Df dan Dg.
(f + g)(x) = f(x) + g(x), Df+g = Df ∩ Dg
(f − g)(x) = f(x) − g(x), Df−g = Df ∩ Dg
(fg)(x) = f(x) g(x), Dfg = Df ∩ Dg
(f/g)(x) = f(x)/g(x), Df/g = Df ∩ Dg ∩ {x|g(x) = 0}
fn(x) = f(x) f(x) …. f(x) Dfn = Df
Contoh: Misalkan f(x) =4𝑥 + 1 dan g(x) = 9 − 𝑥2
Tentukan f + g, f − g, fg, f/g, dan f5 beserta daerahdefinisinya.
n suku
Fungsi Komposisi
Komposisi dari fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai :
(g o f) (x) = g(f(x))
syarat yang harus dipenuhi adalah Rf ∩ Dg≠ ∅
Contoh Diketahui fungsi f(x)= 1 − 𝑥 dan g(x)=𝑥
1 − 𝑥
Tentukan Domain dan range dari fungsi f(x) dan g(x)
Apakah g o f terdefinisi? Bila ya tentukan rumusnya?
Apakah f o g terdefinisi? Bila ya tentukan rumusnya?
Fungsi Trigonometri
r = 𝑥2 + 𝑦2
sin α =𝑦
𝑟 cosec α =
𝑟
𝑦
cos α =𝑥
𝑟 sec α =
𝑟
𝑥
tan α =𝑦
𝑥 cot α =
𝑥
𝑦
β
α
r
x
y
tan α =𝑦
𝑥 cot α =
𝑥
𝑦
tan α =sin αcos α
sin2α + cos2α =𝑦
𝑟
2+
𝑥
𝑟
2=𝑦2+𝑥2
𝑟2=
𝑟2
𝑟2= 1
Menyelesaikan Persamaan Sinus
Jika Sin x0 = sin 0 (x Є R ), maka :
x0 = + k.3600, atau
x0 = (1800-0) + k.3600
Jika Sin x0 = sin 0(x Є R ), maka :
x0 = 0+ k.2π, atau
x0 = (π-0) + k.2π, k Є B
Karena Sinus berharga positif hanya berada di kuadranI, kuadran II dan lebih dari kuadran IV
Kuadran II
Sin xo = sin (180o – αo)
Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlahdan selisih dua sudut
Sin ( ) sin cos cos sin
Maka :
Sin xo = sin 180o cos αo – cos 180o sin αo
Sin xo = (0) cos αo – (-1) sin α0
Sin xo = sin αo (Terbukti)
Maka :
xo = 180o – αo
Besar dari Kuadran IV
Sin xo = sin (αo + k. 360o)
Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlahdan selisih dua sudut :
Sin ( + ) sin cos + cos sin
Maka :
Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)
Jika k = 0
Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)
Sin xo = sin αo cos (0.360o) + cos αo sin (0.360o)
Sin xo = sin αo cos 0o + cos αo sin 0o
Sin xo = sin αo (1) + cos αo sin (0)
Sin xo = sin αo (Terbukti)
Besar dari Kuadran IV
Sin xo = sin (αo + k. 360o)
Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlahdan selisih dua sudut :
Sin ( + ) sin cos + cos sin
Maka :
Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)
Jika k = 1
Sin αo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)
Sin αo = sin αo cos (1.360o) + cos αo sin (1.360o)
Sin αo = sin αo cos 360o + cos αo sin 360o
Sin αo = sin αo (1) + cos αo sin (0)
Sin αo = sin αo (Terbukti)
Contoh soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian
sin x = sin 200 ; 0 ≤x ≤3600 adalah?...
Jawab :
sin x = sin 200 ; 0 ≤x ≤3600
x1 = αo + k.3600
x1 = 20o + k.3600
Untuk k=0 x1 = 200 + (0).3600
= 200
Untuk k=1 x1 = 200 + (1).3600
= 200 + 3600
= 3800 (Tidak memenuhi)
x2 = (180o–αo) + k.3600
x2 = (180o–20o) + k.3600
x2 = 160o + k.3600
Untuk k=0 x2 = 1600 + (0).3600
= 1600
Untuk k=1 x2 = 1600 + (1).3600
= 160o + 360o
= 5200 (Tidak Memenuhi)
Jadi Himpunan Penyelesaiaan {200,1600}
Contoh soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian
sin x = sin 1/3 π ; 0 ≤x ≤ 2π adalah?...
Jawab :
sin x = sin 1/3 π; 0 ≤x ≤ 2π
x1 = αo + k. 2π
x1 = 1/3 π + k. 2π
Untuk k=0 x1 = 1/3 π + (0). 2π
= 1/3 π
Untuk k=1 x1 = 1/3 π + (1). 2π
= 1/3 π + 2π
= 2 1/3 π (Tidak memenuhi)
x2 = (π – αo) + k. 2π , 0 ≤x ≤ 2π
x2 = (π – 1/3 π) + k. 2π
x2 = 2/3 π + k. 2π
Untuk k=0 x2 = 2/3 π + (0). 2π
= 2/3 π
Untuk k=1 x2 = 2/3 π + (1). 2π
= 2/3 π + 2π
= 2 2/3 π (Tidak memenuhi)
Jadi Himpunan Penyelesaiaan {2/3 π, 1/3 π }
Contoh soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian
sin x = 1/2 ; 0 ≤x ≤3600 adalah?...
Jawab :
sin x = ½ ; 0 ≤x ≤3600
sin x = 30o
x1 = αo + k.3600
x1 = 30o + k.3600,
Untuk k=0 x1 = 300 + (0).3600
= 300
Untuk k=1 x1 = 300 + (1).3600
= 300 + 3600
= 3900 (Tidak memenuhi)
x2 = (1800–αo) + k.3600
x2 = (1800–30o) + k.3600
x2 = 1500 + k.3600
Untuk k=0 x2 = 1500 + (0).3600
= 1500
Untuk k=1 x2 = 1500 + (1).3600
= 1500 + 3600
= 5200 (Tidak Memenuhi)
Jadi Himpunan Penyelesaiaan {300,1500}
Contoh soal 1
sin2α + cos2α = 1
sin (-x ) = - sin x ; cos ( -x ) = cos x; tan ( -x ) = - tan x
sin ( 𝜋/2 - x ) = cos x ; cos (𝜋/2 - x ) = sin x ; tan (𝜋/2 - x) = cot x
sin ( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x
cos ( x + y ) = cos x cos y – sin x sin y
tan (x+y) =tan 𝑥 +tan 𝑦
1−tan 𝑥.tan 𝑦
sin ( x - y ) = sin x cos y – sin y cos x
cos ( x - y ) = cos x cos y + sin x sin y
Fungsi
tan (x – y) =tan 𝑥 −tan 𝑦
1−tan 𝑥.tan 𝑦
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = 2 cos2x –1 = 1 – 2 sin2xos x
tan 2x =2tan 𝑥
1−tan2 𝑥
sin 2 x + cos2 x = 1
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
LIMIT
Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si
FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si
Konsep Limit
Definisi IntuitifMisalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
sedemikian hingga:
Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L
Bila xmendekati a tetapi xa, maka f(x)mendekati L
Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dgmembuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a
Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati aadalah L,
Lxfax
)(lim
Limit
Fungsi f(x) = (x2 – 1)/(x – 1) terdefinisi untuk xdisekitar 1 tetapi tidak di x = 1. Pertanyaannyasekarang adalah: berapa nilai f(x) untuk x di sekitar 1?
Persisnya: jika x mendekati 1, maka f(x) akanmendekati bilangan apa? (Catat di sini bahwaungkapan x mendekati 1 tidakmengharuskan x = 1.?
Untuk menjawab pertanyaan di atas, perhatikan tabelnilai f(x) pada halaman berikut. Tampak jelas bahwaf(x) mendekati 2 ketika x mendekati 1.
Catat bahwa f(x) = x + 1 untuk x ≈ 1. (Lambang x ≈ 1berarti x di sekitar 1.)
LIMIT
Misalkan I = (a, b) suatu interval buka di R dan c ∈ I.Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali mungkin dic, artinya f(x) terdefinisi disemua titik pada I\{c} dan dic boleh terdefinisi boleh juga tidak.
LIMIT
Misalkan akan dicari lim𝑥→∞
1
𝑥(dibaca limit satu per x
dengan x mendekati takhingga) maka diambillahbeberapa nilai x seperti berikut:
x 1 2 1000 1.000.000 … ∞
1/x 1 1/2 0.001 0,000.001 … 0
Limit
Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati adari arah kanan maka dikatakan bahwa limit fungsif(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan Ldan dinotasikan:
lim𝑥→𝑎 +
𝑓 𝑥 = 𝐿
Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati adari arah kiri maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x)untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan l dandinotasikan :
lim𝑥→𝑎 −
𝑓 𝑥 = 𝐿
GxgLxfaxax
)(limdan)(lim
GLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
Misal
(limit dari f , g ada dan berhingga)
maka
LGxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
0,)(lim
)(lim
)(
)(lim
Gbila
G
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
2.
3.
4.n
ax
n
axxfxf ))(lim())((lim
,n bilangan bulat positif
nn
ax
n
axLxfxf
)(lim)(lim
5. bila n genap L harus positif
1.
Sifat Limit
Contoh 1
Lim𝑥→−2
(𝑥2 + 5𝑥) = lim𝑥→−2
𝑥2 + lim𝑥→−2
5𝑥
= lim𝑥→−2
𝑥 lim𝑥→−2
𝑥 + lim𝑥→−2
5𝑥 = −2 −2 + 5 −2
= -6
Tentukan Lim𝑥→−2
(x4 + 3x – 2) = 8
Lim𝑥→2
3𝑥2 − 6= Lim𝑥→2
(3𝑥2 − 6)= 3 2 2 − 6 = 6
Tentukan Lim𝑥→−1
2𝑥2 + 2
Lim𝑥→2
𝑥2
𝑥2+1
Limit Indeterminate Form
Jika lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 0 dan lim𝑥→𝑐
𝑔 𝑥 = 0 , selanjutnya
dibagi menjadi lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥; maka ini dikatakan
indeterminate/ tidak tentu.
Jika lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿, L ≠ 0, dan lim𝑥→𝑐
𝑔 𝑥 = 0 , maka
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥juga tidak terdefinisi (tidak ada).
Contoh
lim𝑥→1
𝑥−1
𝑥2−1= lim𝑥→1
𝑥−1
(𝑥−1)(𝑥+1)= lim𝑥→1
1
𝑥+1=
1
2
lim𝑥→1
𝑥−1 2
𝑥2−1= lim𝑥→1
(𝑥−1)(𝑥−1)
(𝑥−1)(𝑥+1)= lim𝑥→1
(𝑥−1)
(𝑥+1)=
0
2= 0
lim𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1 2 = lim𝑥→1
(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−1)(𝑥−1)= lim𝑥→1
(𝑥+1)
(𝑥−1)=
2
0= undifined
mengingat konsep limit karena konsep turunandijelaskan lewat limit suatu fungsi
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “faksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan cadalah:
Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞
Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikandi c.
Pencarian turunan disebut diferensiasi
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
Garis Tangen
Misalkan diberikan suatu fungsi f(x), maka kemiringangaris tangen L di titik P(a, f(a)) pada kurva y=f(x) dapatdiaproksimasi dengan kemiringan garis secant antaratitik P dan titik Q(a+h, f(a+h)).
Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y=f(x)dan h menuju 0, maka diperoleh kemiringan garistangen kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)):
).0(,)()(
h
h
afhaf
x
ymPQ
h
afhafm
h
)()(lim
0
Limit Indeterminate pada fungsi
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Contoh tentukan limitnya untuk fungsi berikut:
𝑓 𝑥 = 7 − 2𝑥 ; limℎ→0
𝑓 4+ℎ −𝑓(4)
ℎ
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 ; limℎ→0
𝑓 1+ℎ −𝑓(1)
ℎ
𝑓 𝑥 = 𝑥 ; limℎ→0
𝑓 3+ℎ −𝑓(3)
ℎ
Penyelesaian
𝑓 𝑥 = 7 − 2𝑥
𝑓 4 + ℎ = 7 − 2 4 + ℎ = 7 − 8 − 2ℎ = −1 − 2ℎ
𝑓 4 = 7 − 2 4 = −1
limℎ→0
𝑓 4 + ℎ − 𝑓(4)
ℎ= lim
ℎ→0
(−1 − 2ℎ) − (−1)
ℎ
= limℎ→0
−2ℎ
ℎ= −2
Penyelesaian
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
𝑓 1 + ℎ = 1 + ℎ − 1 = ℎ
𝑓 1 = 1 − 1 = 0
limℎ→0
𝑓 1 + ℎ − 𝑓(1)
ℎ= lim
ℎ→0
ℎ − 0
ℎ= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
limℎ→0−
ℎ
ℎ= −1
limℎ→0+
ℎ
ℎ= 1
Lmitnya tidak ada karena ada dua batas
yang tidak sam
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑓 3 + ℎ = 3 + ℎ
𝑓 3 = 3
limℎ→0
𝑓 3 + ℎ − 𝑓(3)
ℎ= lim
ℎ→0
3 + ℎ − 3
ℎ
= limℎ→0
3 + ℎ − 3
ℎ×
3 + ℎ − 3
3 + ℎ − 3
= limℎ→0
3 + ℎ − 3
ℎ ( 3 + ℎ − 3)= lim
ℎ→0
1
2 3
Teorema Limit Trigonometri
cos(x) sin(x)/x 1/cos(x)
1)sin(
lim maka ,)cos(
1lim1)cos(lim
000
x
x
xx
xxx
Contoh
.01
sinlim Tunjukkan 2
0x
xx
0dan 11
sin1,0Untuk 2 xx
x
222 1sin x
xxx
Apit). Prinsipan (menggunak 01
sinlim maka
0limdan 0)lim( karena
2
0
2
0
2
0
xx
xx
x
xx
Bukti:
TERIMA KASIH
To be Continue ........
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
TURUNAN
Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si
FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si
Turunan Aljabar
Materi:
Pengertian Turunan Fungsi Aljabar
Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Turunan Berantai Fungsi Aljabar
Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar
Turunan Implisit
Turunan multivariabel
Turunan Aljabar
Tujuan Perkuliahan:
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswadiharapkan dapat menjelaskan konsep turunan,rumus-rumus, dan menghitung turunan fungsialjabar.
Pengertian Turunan
Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi di bilafungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut.
Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada suatuselang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di setiap titikpada selang tersebut.
Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), lajupertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal(ekonomi), dll
0xx
Konsep Limit
mengingat konsep limit karena konsep turunandijelaskan lewat limit suatu fungsi
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “faksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:
Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞
Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan dic.
Pencarian turunan disebut diferensiasi
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
Secara Grafis
pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut:
Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafiksuatu fungsi f. Titik lain pada gambar dinotasikan denganQ(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda antara absis Q dan P.Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah
mPQh
afhaf )()(
Secara Grafis
Secara Grafis
Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah intervalterbuka yang memuat a, maka kemiringan garis singgung mdari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a)) adalah:
Dengan catatan limitnya ada.
h
afhafm
h
)()(lim
0
Contoh
Diketahui fungsi f(x) = x2 dapatkan kemiringan garissinggung ke grafik f(x) pada titik P(a,a2)
Penyelesaian:Dengan menggunakan penjelasan di atas maka
Jadi turunan suatu fungsi
adalah kemiringan garis
singgung fungsi tersebut pada
titik tertentu.
Contoh
1. Jika f(x) = 13x – 6, Carilah f’(4)
Penyelesaian:
1313lim13
lim
]6)4(13[6)4(13lim
)4()4(lim)4('
00
00
hh
hh
h
h
h
h
h
fhff
Contoh
2. Jika f(x)= x3 + 7x, Carilah f’(c)
Penyelesaian
73 )733(lim
733lim
]7[)(7)(lim
)()(lim)('
222
0
322
0
33
0
0
chchc
h
hhchhc
h
cchchc
h
cfhcfcf
h
h
h
h
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)
Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta untuksembarang x, f’(x)= 0.
Bukti:
Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0
00limlim)()(
lim)(000
'
hhh h
kk
h
xfhxfxf
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)
Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
Bukti:
1limlim)()(
lim)(000
'
h
h
h
xhx
h
xfhxfxf
hhh
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)
Teorema III (Aturan Pangkat)
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif,maka f’(x) = nxn-1
Bukti:
h
hnxhhxnn
nxh
h
xhnxhhxnn
hnxx
h
xhx
h
xfhxfxf
nnnn
h
nnnnnn
h
nn
hh
1221
0
1221
0
00
'
...2
)1(
lim
...2
)1(
lim
)(lim
)()(lim)(
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)
Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali sukupertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekatinol. Jadi
Contoh:
f(x)=x2 maka f’(x) = 2x
1)(' nnxxf
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)
Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yangterdiferensialkan, maka (kf)’ (x). Bukti: Misalkan F(x) = k.f(x). Maka
Contoh:
F(x) =5x2 maka f’(x) =5(2x) =10x
)('.
)()(lim.
)()(lim
)(.)(.lim
)()(lim)(
00
00
xfk
h
xfhxfk
h
xfhxfk
h
xfkhxfk
h
xfhxfxF
hh
hh
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)
Teorema V (Aturan Jumlah)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,maka (f+g)’(x) =
f’ (x) + g’ (x). Bukti:
Contoh:
F(x)=x2+3x maka f’(x)=2x+3
)(')('
)()(lim
)()(lim
)()()()(lim
)()()()(lim)(
),()()(
00
0
0
xgxf
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxg
h
xfhxf
h
xgxfhxghxfxF
makaxgxfxFAndaikan
hh
h
h
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iv)
Teorema VI (Aturan Selisih)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x). Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’(x) = f’(x) – g’(x)
Contoh:
F(x) =3x2-x maka f’(x) = 6x – 1
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)
Teorema VII (Aturan Hasil Kali)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x). Bukti:
)(')()(')(
)()(lim).(lim
)()(lim).(lim
)()(
)()()(
)(lim
h
)()()()()()()()(lim
h
)()()()(lim
h
)()(lim)(
),().()(
0000
0
0
00
xfxgxgxf
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
xgxfxghxfxghxfhxghxf
xgxfhxghxfxFhxFxF
makaxgxfxFAndaikan
hhhh
h
h
hh
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)
Contoh :
F(x) = (x+2)(x-5)2
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,dengan g(x) = 0.
Maka
)(
)(')()(')()(
2
'
xg
xgxfxfxgx
g
f
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
)()(
1)(')()(')(
)()(
1)()()(
)()()(lim
)()(
1)()()()()()()()(lim
)()(
1)()()()(lim
)(
)(
)(
)(
lim)()(
lim)(
,)(
)()(
0
0
0
00
xgxgxgxfxfxg
hxgxgh
xghxgxf
h
xfhxfxg
hxgxgh
hxgxfxgxfxfxghxfxg
hxgxgh
hxgxfhxfxg
h
xg
xf
hxg
hxf
h
xFhxFxF
makaxg
xfxMisalkanF
h
h
h
hh
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
)(
)(')()(')()(
2
'
xg
xgxfxfxgx
g
f
Turunan Berantai Fungsi Aljabar
dw
dx
dx
du
Jika
dx
du
yJika
..du
dyy'
maka h(w), x g(x), u f(u), y
.du
dyy'
maka g(x) u dan (u)
Contoh:
y = (3x+1)10
Bedakan antara Turunan dan Diferensial !
Pada waktu anda menuliskan Dxy atau dy/dx = andamenuliskan lambang turunan
Jika dy = anda menyatakan lambang diferensial
Contoh:
Cari dy jika y = x3 - 3x+1
Jika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, makakita tahu bagaimana menghitung diferensial. Yaitu cukupmenghitung turunan lalu mengalikannya dengan dx
Dy = (3x2-3) dx
Hal ini karena dy = f’ (x) dx
Turunan Berantai Fungsi Aljabar
Contoh:
1). y = (x2+3x+5)9
x
xy
1
12).2
22
3
2).3
x
xxy
Turunan Tingkat Tinggi Aljabar
Turunan tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya sampaiturunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunanke n. Jika f’ adalah turunan suatu fungsi f, maka f’ juga merupakansuatu fungsi, f’ adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari f’ ada,turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis f’’. Dengan cara yangsama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama darif’’, jika turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis f’’’. Turunan ke-n darifungsi f, di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalahturunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f. Turunan ke n dinyatakandengan f(n). Berikut ini adalah tabel cara penulisan turunan sampaidengan turunan ke-n:
Turunan Tingkat Tinggi Aljabar
Contoh:Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini: 283)( 23 xxxxf
Turunan Trigonometri
Turunan dari:
Sin x = cos x
Cos x = -sin x
Tan x = sec2 x
Sec x = sec x tan x
Cot x = -csc2 x
Csc x = -csc x cot x
Turunan Trigonometri
Contoh:
32 )1sin()1 xy
) 2cossin)2 xy
)1(cos)3 23 xy
Turunan Fungsi Implisit
Andaikan kita menjumpai sebuah persamaan sebagaiberikut :
y 3 + 7y = x3
dan kita menginginkan untuk mencari turunannya, makahal seperti ini tentulah tidak dapat secara gamblang(eksplisit) terselesaikan , akan tetapi kita harusmenggunakan cara tertentu, misalnya aturan Rantaiuntuk dapat menyelesaikannya.
Turunan Fungsi Implisit lanjutan
Hal seperti di atas yang kita sebut sebagai Turunanfungsi Implisit.
Cara untuk mendapatkan turunan fungsi Implisit, yaitu :
Jika tidak terlalu sulit, atau jika mungkin, y dinyatakansebagai bentuk eksplisit dari x, lalu didiferensialkanterhadap x (sebagai perubah bebasnya)
Turunan Fungsi Implisit lanjutan
Contoh 1:
Tentukan turunan pertama dari
4x 2 y - 3y = x3 - 1
Fungsi Implisit tersebut diubah terlebih dahulu ke dalamfungsi eksplisit menjadi :
4x 2 y - 3y = x3 - 1
atau y( 4x 2 - 3 ) = x3 -1
Turunan Fungsi Implisit lanjutan
Atau:
Setelah berubah menjadi fungsi eksplisit, maka tinggal diturunkan sehingga menjadi
34
12
3
x
xy
) ) )
924x-16x
89x-4x
924x-16x
8x)-(8x-)9x-(12x
34
8.134.3 '
24
24
24
424
23
322
x
x
xxxxy
Soal-soal latihan (i)
Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:
52
25)()1
2
x
xxf
3)2)(1()()2 xxxf
)53 4)()3 xxxf
Soal-soal latihan (ii)
Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:
xxuuy 2 ,3)1 45
2 ),24( ,)2 xvvvuuy
2 t dt
dy berapakah
,93tx 2 )3 22
ketika
danxxyJika
Soal-soal latihan (iii)
Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:
243)()1 24 xxxxf
25)()2 zzg
2/3)2()()3 ttf
xxxf
4
2
1)()4
2
5.1 Menggambar grafik fungsiInformasi yang dibutuhkan:
A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu yB. Asimtot fungsi
Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati olehgrafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni(i) Asimtot Tegak
Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika(ii) Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika(iii) Asimtot Miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
dan
)(lim xfcx
bxfx
)(lim
ax
xf
x
)(lim baxxf
x
)(lim
x=a asimtot tegak
a
)(lim xfax
)(lim xfax
Dalam kasus
dan
x=a asimtot tegak
Dalam kasus
)(lim xfax
)(lim xfax
dan
a
Asimtot tegak
y= b
Garis y = b asimtot datar karena
Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hingga
Tapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh
Grafik fungsi(tidak dipotong lagi)
bxfx
)(lim
baxy
y=f(x)
Garis y = ax + b asimtot miring
Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.
Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar
dan asimtot miring
Contoh Tentukan semua asimtot dari
Jawab :
(i) Asimtot tegak : x = 2, karena
dan
(ii) Asimtot datar :
2
42lim
2
2 x
xx
x
Maka asimtot datar tidak ada
2
42)(
2
x
xxxf
2
42lim
2
2 x
xx
x
)(
)1(lim
2
42lim)(lim
2
2
212
4222
xx
xx
xxx x
x
x
xxxf
)(
)1(lim
2
2
21
42
xx
xx
x
MA1114 KALKUU I 113
xx
xx
x
xfa
xx
1.
2
42lim
)(lim
2
xx
xx
x 2
42lim
2
2
1)1(
)1(lim
)1(
)1(lim
2
42
22
42222
x
xx
xx
xx
x x
x
(iii) Asimtot miring
02
4lim
xx
2
)2(42lim
2
x
xxxx
x
xx
xx
x
2
42lim
2
axxfbx
)(lim
Asimtot miring y = x
2
242lim
22
x
xxxx
x
1
1)(
xxf
3
1)(
xxxf
1
2)(
2
2
x
xxxf
3
2)(
x
xxf
Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :
Soal Latihan
1
2)(
2
2
x
xxxf
1.
2.
3.
4.
5.
22
12)(
x
xxf
C. Kemonotonan Fungsi
Definisi 5.2 Fungsi f(x) dikatakan
monoton naik pada interval I jika untuk
) ) Ixxxfxfxx 212121 ,,
x1
f(x1)
x2
f(x2)
I
Fungsi f(x) monoton naik pada selang I
Fungsi f monoton turun pada selang I
f(x1)
f(x2)
x1 x2
monoton turun pada interval I jika untuk
) ) Ixxxfxfxx 212121 ,,
I
Teorema 5.1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika
Contoh Tentukan selang kemonotonan dari
Jawab :
f(x) monoton naik
f(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4).
Ixxf 0)('
Ixxf 0)('
2
42)(
2
x
xxxf
),4(dan)0,(pada
2
2
)2(
)42(1)2)(22()('
x
xxxxxf 2
22
)2(
42462
x
xxxx
22
2
)2(
)4(
)2(
4
x
xx
x
xx
0 2 4
++++++---------------------+++++++ f’(x)
x
00Tidak
ada
D. Ekstrim Fungsi
Definisi 5.3 Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,
f(c) disebut nilai global dari f pada I jika
f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang
buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada
selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juganilai ekstrim
imummin
maksimumIx
xfcf
xfcf
)()(
)()(
minimum
maksimum
)()(
)()(
xfcf
xfcf
Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim
fungsi disebut titik kritis.
Max
lokal
Min
lokal
Max
globalMin
global Max
lokal
Min
lokal
a b c d e f
Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]
Ada tiga jenis titik kritis :
Titik ujung selang I
Titik stasioner ( yaitu x = c dimana ) ,
secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c))
Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ), secarageometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c))
0)(' cf
)(' cf
Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
Jika 0)('
0)('
xf
xf),( cc
0)('
0)('
xf
xfpada dan pada
),( cc Maka f(c) merupakan nilai
minimum
maksimum lokal
c
Disebelah kiri c monoton naik
(f ’>0) dan disebelah kanan c
monoton turun (f’<0)
f(c) nilai maks lokal
c
f(c) nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun
(f ’<0) dan disebelah kanan c
monoton naik (f’>0)
f(c)
f(c)
Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan
nilai lokal f
Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari
Jawab:
0)(' cf0)(''
0)(''
cf
cf
minimum
maksimum
2
42)(
2
x
xxxf
2)0( f
6)4( f
2)2(
)4()('
x
xxxf
0 2 4
++++++---------------------+++++++
Dengan menggunakan uji turunan pertama :
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai
di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
f’(x)
x
0Tidak
ada0
Soal Latihan
630152)( 345 xxxxf
3
13)(
2
x
xxxf
2
12)(
2
x
xxxf
x
xxf
2)1()(
Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :
1.
2.
3.
4.
E. Kecekungan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik pada
interval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turun
pada interval I.
Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan
1. Jika , maka f cekung ke atas pada I.
2. Jika , maka f cekung ke bawah pada I.
)(' xf)(' xf
Ixxf ,0)("Ixxf ,0)("
Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah
x
y
x
y
2
42)(
2
x
xxxfTentukan selang kecekungan daricontoh
Jawab :
2
2
)2(
4)('
x
xxxf
4
22
)2(
)4)(2(2)2)(42()(''
x
xxxxxxf
4
2
)2(
))4(2)2)(42)((2(
x
xxxxx
3
22
)2(
82882
x
xxxx3)2(
8
x
Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah pada
selang )2,(
2
f”(x)
x
+++- - - - -
Tidak
ada
F. Titik belok
Definisi 5.4 Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebuttitik belok dari kurva f(x) jika :
terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah
kiri dari x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah
kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau
sebaliknya
x = b adalah absis titik belok, jika atau tidak
ada.
f b"( ) 0 )(" bf
c
f(c)
(c,f(c)) titik belok
c
f(c)
(c,f(c)) titik belok
Karena disebelah kiri c cekung
keatas dan disebelah kanan c
cekung kebawah
Karena disebelah kiri c cekung
kebawah dan disebelah kanan c
cekung keatas
c
f(c)
(c,f(c)) bukan titik belok
Karena disekitar c tidak
Terjadi perubahan kecekungan
c
Walaupun di sekitar c
Terjadi perubahan
Kecekungan tapi tidak ada
Titik belok karena f tidak
terdefinisi di c
12)(.1 3 xxf
4)(.2 xxf
Tentukan titik belok (jika ada) dari
26)(' xxf xxf 12)('',
●0
+++++++-------------
Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1)
merupakan titik belok
212)('' xxf
●0
++++++++++++++
Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan
kecekungan
f”(x)
x
0
f”(x)
x
0
2
42)(.3
2
x
xxxf
3)2(
8)(''
xxf
●2
+++++--------------
Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada
titik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2
f”(x)
x
Tidak
ada
Soal Latihan
630152)( 345 xxxxf
3
13)(
2
x
xxxf
2
12)(
2
x
xxxf
x
xxf
2)1()(
Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :
1.
2.
3.
4.
3/1)( xxf 5.
2
42)(
2
x
xxxfContoh: Diketahui
a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsib. Tentukan selang kecekungan dan titik belokc. Tentukan semua asimtotd. Gambarkan grafik f(x)
a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang ),4(,)0,( monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4).
2)0( f
6)4( f
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai
di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
b. Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah pada
selang )2,( , tidak ada titik belok
c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtot
datar
d. Grafik f(x)
2
y=x
0 2 4
++++++----------++++++ 'f
2--------------------- +++++++++++ ''f
-24
6
00Tidak
ada
Tidak
ada
x
x
21
2)(
x
xxf
xxxf
1)(
134
)( 234
xxx
xf
1)(
x
xxf
4)(
2
2
x
xxf
A. Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu
selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok,
dan asimtot
Soal Latihan
1.
2.
3.
4.
5.
)(' xfy
B. Misalkan f suatu fungsi kontinu dan f(-3)=f(0)=2, serta
nilai fungsi yg lain dibutuhkan, silakan didefinisikan sendiri.
Jika grafik seperti gambar berikut :
a. Tentukan selang kemonotonan fungsi f
b. Tentukan selang kecekungan fungsi f
c. Sketsa grafik fungsi f(x).
5.2 Menghitung limit fungsi dengan Aturan L’Hôpital
Bentuk tak tentu dalam limit :
1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
Andaikan lim f(x) = lim g(x) = 0. Jika
Maka
,.0,,
0
0
0
0
atau,,)('
)('lim L
xg
xf
lim( )
( )lim
' ( )
' ( )
f x
g x
f x
g x
20
2cos1lim
x
x
x
limcos
limsin
limcos
x x x
x
x
x
x
x
02
0 0
1 2 2 2
2
4 2
22
Contoh Hitung
Jawab
bentuk (0/0)
Ctt : aturan L’hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan
syaratnya dipenuhi
2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
Andaikan lim f(x) = lim g(x) = . Jika atau,,)('
)('lim L
xg
xf
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xfmaka
Contoh Hitung53
1lim
2
2
xx
xx
x
32
12lim
x
x
x
12
2lim
x
(bentuk
53
1lim
2
2
xx
xx
x
32
1lim
2
xx
x
x
)
Jawab
Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu limit dapat
dihitung dengan menggunakan dalil L’Hopital
Contoh Hitung32
1lim
2
xx
x
x
)22()32(
1lim
2
12
21
xxxx 1
32lim
2
x
xx
x
1
)22()32(lim
2
12
21
xxx
x 32
1lim
2
xx
x
x
Jawab
)(
Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan
menggunakan aturan L’Hopital, karena setelah
dilakukan aturan L’Hopital muncul lagi bentuk semula
Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb
2
322
1
1
)1(lim
xx
x
x x
x
2
32
1
1||
)1(lim
xx
x
x x
x
2
32
1
1
)1(lim
xx
x
x x
x
11
)1(lim
2
32
1
xx
x
x
32
1lim
2
xx
x
x)1(
)1(lim
2
322
1
xx
x
x x
x
3. Bentuk 0 .
Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk
atau
Contoh : Hitung
Jawab :
0
0
lim cscx
x x0
2
0cos
2lim
sinlimcsclim
0
2
0
2
0
x
x
x
xxx
xxx
4. Bentuk -
Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitung
lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan
bentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan
cara yang telah dikenal sebelumnya
Contoh : Hitung
Jawab :
)lim csc cotx
x x
0
)lim csc cot limsin
cos
sinlim
cos
sinlim
sin
cosx x x xx x
x
x
x
x
x
x
x
0 0 0 0
1 10
Soal Latihan
limx
x
x
2 1
2 5
lim cscx
x x0
2
limx
x x x
2
limsin
cosx
x
x 01
)lim cot cosx
x x
0
2 1 2
limx
x x x
2 23 3
Hitung limit berikut ( bila ada )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5.4 Teorema Nilai Rata-rataTeorema 5.8 Misalkan f kontinu pada [a,b] dan
diferensiabel pada (a,b), maka terdapat paling sedikit
satu
atau
5.5 Masalah maksimum minimum lainnyaTurunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah
sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan/
meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan
adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah.
Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan
nilai maksimum atau nilai minimum
ab
afbfcfbac
)()()('),(
).)((')()( abcfafbf
Contoh:
1. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 100 cm agar luasnya maksimum
jawabMisal panjang y, lebar x
y
x
Luas= L = x y, karena 2x + 2y = 100 y = 50 - x
Sehingga Luas = L(x) = x(50-x) ,50 2xx 500 xxxL 250)(' x = 25
02)25('' LKarena maka di x = 25 terjadi maks lokal.
Karena L(0) = 0, L(25) = 625, L(50) = 0 agar luas maks haruslah
x = 25 dan y = 25
MA1114 KALKULUS
I
145
2. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan caramemotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya.Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum.
x
x
x
x
45-2x
24-2x
Misal, panjang sisi potongan di pojok
persegi panjang x, sehingga
45-2x
24-2x
x
V(x) = (45-2x) (24-2x) x
,10801384)( 23 xxxxV 120 x
)9023(12)(' 2 xxxV
)5)(18(12 xx
Sehingga diperoleh titik stasioner
x = 18 dan x = 5
MA1114 KALKULUS
I
146
27624)('' xxV
Sehingga
0156)18('' V
0156)5('' V
di x =18 terjadi min lokal
di x = 5 terjadi maks lokal
Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilai
Volume jika x = 5 dan x = 0, x = 12 (batas Df)
V(0) = 0
V(12)= 0
V(5) =2450
Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak :
panjang 35 cm lebar 14 cm tinggi 5 cm
MA1114 KALKULUS I 147
Bisa saja masalah yang dihadapi harus dimodelkan
kedalam bentuk fungsi implisit, seperti contoh berikut
Contoh
Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol
yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan
vertikal roket pada saat jaraknya dari tempat peluncuran 5 km dan
dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam
Menara
kontrol
3 km
Misal ketinggian roket y dan jarak dari
menara z
yz Diketahui
5000dt
dzSaat z = 5000
MA1114 KALKULUS I 148
Dengan menggunakan dalil pythgoras diperoleh
22 9 zy
Pada saat z = 5 y = 4
Dengan menggunakan turunan fungsi implisit didapatkan
dt
dzz
dt
dyy 22
Jika data y = 4, z = 5, dan 5000dt
dzdisubstitusikan diperoleh
62505000.4
5
dt
dyKecepatan vertikal roket = km/jam
MA1114 KALKULUS
I
149
Soal Latihan
1. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 100 dan hasilkalinya minimum
2. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 1000 dan
kelilingnya minimum
2cm
3. Tentukan titik pada garis 6x + y = 9 yang terdekat ke titik (-3,1)
4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar
dengan alas pada sumbu x serta dua titik sudutnya di atas sumbu x
serta terletak pada parabola 28 xy
5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesar
sehingga dapat diletakkan dalam lingkaran berjari-jari r
MA1114 KALKULUS
I
150
6. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B
terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dari A. Pemerintah
Daerah setempat akan memasang kabel telepon dari kota A
ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dari A ke B untuk setiap
kilometer melewati jalan laut dua kali besarnya dibandingkan biaya
pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biayapemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin.
UTS Semester Pendek 2006/ 2007
Kalkulus I
Hari/ Tanggal: Rabu/ 25 Juli 2007
Waktu: 13 s/d 15
Bahan: sampai dengan Penerapan Turunan
Ruang: B 307
TERIMA KASIH
To be Continue ........
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
TURUNAN DAN APLIKASINYA
Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si
FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si
TERIMA KASIH
To be Continue ........
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
DIFERENSIAL DAN APROKSIMASI
Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si
FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si
TERIMA KASIH
To be Continue ........
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
MAKSIMUM DAN MINIMUM
Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si
FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si
TERIMA KASIH
To be Continue ........
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
PERMASALAHAN MAKSIMUM DAN
MINIMUM DARI SUATU FUNGSI
Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si
FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si
TERIMA KASIH
To be Continue ........
Integral Tak Tentu
Jika diketahui F(x) = x2, maka turunannya adalah F’(x) = 2x = f(x).Bila operasi dibalik yakni diketahui f(x) = 2x dapatkah ditemukanF(x) sebagai anti turunan dari f(x) sedemikian sehingga F’(x) = 2x =f(x)? Jawabannya adalah DAPAT. Caranya adalah sebagai berikut:
F(x) = x2 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2 + 1 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2 + 7 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2 - 10 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
………… dan seterusnya sehingga dapat ditulis
F(x) = x2 + C untuk sembarang konstanta C.
Ini benar sebab F’(x) = 2x = f(x)
Ternyata anti turunan F dari f jawabnya tidak hanya satu. Dapatdikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari f(x)=2x adalah F(x)= x2 + C berlaku untuk sembarang konstanta C.
Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f
yang dirumuskan oleh f(x) = xn adalah
Sebab turunannya F’(x) = x2 = f(x)
Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral(Leibniz)
1, 1
1)( 1
nCx
nxF n
dxxfxF )()(
Kemunculan C ini disebut konstanta integrasi
Dari definisi , maka f(x) disebut integran
Sedang F(x) adalah hasil integrasi.
Karena hasil penghitungan bertambah dengan konstanta
sembarang C maka disebut integral tak tentu
adalah rumus dasar
integral tak tentu
CxFxFd )()]([
dxxfxF )()(
CxFxf )()(
1, 1
1 1
nCxn
dxx nn
Teori I (Aturan Pangkat)
Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
Contoh:
Berapa anti turunan dari f(x) = x4/3
1, C1r
x dxx
1rr
n
Teori II (Aturan Trigonometri)
Cx cossec - x cot seccos
Cx sec x tansec
Cxcot - seccos
Cx tan sec
Cx sin cos
Cx cos- sin
2
2
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
Teori II (Aturan Trigonometri)
Cx cx cossecln- x cossec
Cx tanx secln x sec
Cx cossecln- Cx sinln x cot
Cx secln Cx cosln- x tan
otdx
dx
dx
dx
Teori III (Integral Tak Tentu - Linier)
Jika f dan g memiliki anti turunan (integral tak tentu) dan andaikank suatu konstanta, maka:
Cdxxgxf
Cdxxgxf
Cdxxkf
g(x)dxf(x)dx )]()([
g(x)dxf(x)dx )]()([
f(x)dxk )(
Contoh:
Tentukan besarnya nilai integral berikut!
)dx 4x3x .1 2
)duuu 123 .2 2/3
dttt
2
1 .3
Teori IV (Aturan Pangkat yang digeneralisir)
Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu bilanganrasional yang bukan -1, maka:
Cr
xgxg
rr
1
g(x)dx )(')(
1
Contoh:
Selesaikan integral berikut!
) )dx 34x3xx .1 330
4
dxxx cossin .2 10
) )dx 216x6xx .3 253
dxxx 2
22
32
.4
) dxxx 2 4 .510
2
Selesaikan integral berikut!
)dx xx .1 2
) dxx 1 .22
)dz
z
z
1 .3
22
) d cossin .4
dy 52y
3y .5
2
Latihan
Selesaikan integral berikut!
dxxx sin2 .1
) dxxx cos1 .2 2
)dt
t
t
4 .3
3
dx 4-2x .4 3
dx 82x
18x .5
3
2
Latihan
Integral Tentu
Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup[a, b]. Jika:
Ada, maka f adalah terintegrasikan pada [a, b]
Lebih lanjut disebut integral tentu
(atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh
i
n
iP
xixf
)(lim
10
b
a
dxxf )(
b
a
dxxf )( i
n
iP
xixf
)(lim
10
Selesaikan integral berikut!
Berdasarkan definisi
0)( a
a
dxxf
a
b
b
a
badxxfdxxf ,)()(
0
2
2
3 dxx
6
2
3
2
6
3 dxxdxx
Anggaplah f kontinu pada selang tertutup [a, b] dananggaplah x sebagai sebuah titik (peubah) pada (a, b).Maka:
Teorema 1
)()( xfdttfdx
dx
a
Jika f dan g terintegrasikan pada [a, b] dan jika f(x)≤g (x)untuk semua x dalam [a, b], maka:
Teorema 2 (Sifat Perbandingan)
b
b
b
a
dxxgdxxf )()(
Jika f terintegrasikan pada selang [a, b] dan m≤ f(x) ≤M untuk semua x dalam [a, b], maka:
Teorema 3 (Sifat Keterbatasan)
b
a
abMdxxfabm )()()(
Andaikan bahwa f dan g terintegrasikan pada [a, b] danbahwa k konstanta. Maka kf dan f+g terintegrasikan dan
Teorema 4 (Kelinieran Integral Tentu)
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
dxxgdxxfdxxgxf
dxxfkdxxkf
)()()()(
)()()()(
)()(
Contoh soal
2
0
)1( dxx
2
0
2 )1( dxx
1
2
2 )23( dxx
5
0
2 )1( dxxx
)
2
1
24 13 dxxx
2
2
2 )1)(1( dxxx x
tdt0
sin3
dxxx )cos(sin
2/
0
223 )cos()(sin
dxxxx
Selesaikan integral berikut!
dxx
4
x .1
5
5-
2
5
dxx
x
cos .2
/4
/9
2
2
dx sinxx cos .3
/2
0
2
)dt
2t
1 .4
3
1-
2
)dx xx .5
8
1
4/31/3
Latihan