by : GIRI ANGGA SETIA

INTERPOLASI

Untuk mengestimasi suatu nilai diantara beberapa titik data yang telah diketahui

nilainya digunakan suatu metode yang disebut metode interpolasi. Dan metode interpolasi

yang biasa banyak digunakan adalah metode interpolasi polinomial. Definisi dari suatu

persamaan polinomial merupakan persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah dari

variabel x berpangkat bilangan bulat. Bentuk umum dari persamaan polinomial order n

adalah :

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an x n ................................(1)

Di dalam operasi interpolasi ditentukan suatu persamaan polinomial oreder n yang melalui

n+1 titik data, yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai diantara titik data

tersebut.

Pada polinomial berderajat satu, maka diperoleh bentuk interpolasi linier yang telah

banyak diketahui atau dikenal. Kemudian akan dipelajari interpolasi linier polinomial dengan

derajat lebih besar dari satu, sehingga perkiraan fungsi tidak lagi linier.

(a). Order 1 menghubungkan 2 titik

(b). Order 2 menghubungkan 3 titik

(c). Order 3 menghubungkan 4 titik

Selain interpolasi polinomial, juga terdapat macam-macam interpolasi lainnya yaitu sebagai

berikut :

1. Interpolasi Linier

Definisi dari metode Interpolasi Linier merupakan metode yang paling sederhana yang

menghubungkan dua buah titik data dengan garis lurus.

F(x)

C .E

. A B D

X

Dari dua segitiga sebangun ABC dan ADE seperti tampak dalam gambar di atas, terdapat

hubungan sebagai berikut :

BCAB

=DEAD

f1(x) – f (x0) = f(x1) – f (x0)

x - x0 x1 - x0

f1 (x) = f(x0) + f(x1) – f (x0) ............... (2)

x1 - x0

Persamaan di atas merupakan rumus dari interpolasi linier bentuk order satu. Suku [f(x1)-

f(x0)] / (x1 - x0) adalah kemiringan garis yang menghubungkan dua titik data dan merupakan

perkiraan beda hingga dari turunan pertama. Semakin kecil interval antara titik data, hasil

perkiraan akan semakin baik.

Contoh saoal

Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595.

Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan

hasil yang diperoleh, diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314178.

Solusi !

Menggunakan persamaan rumus interpolasi linier di atas dari x0 = 1 sampai x1 = 6.

f1(2) = 0 + 1,7917595

6−1 (2-1) = 0,35835190

Besar kesalahan 0,69314718−0 ,35835190

0,69314718 x 100% = 48,3%

Dengan interval lebih kecil, x0 =1 dan x1 = 4

f1 (2) = 0 + 1, 3862944−0

4−1 ( 2- 1) = 0,46209813

Besar kesalahan adalah :

E1 = 0,69314718−0,46209813

0,69314718 x 100 % = 33,3%

f(x) lnx

nilai benar f1(x)

nilai perkiraan

x

2. Interpolasi Kuadrat

Persamaan polinomial order dua adalah :

f2(x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 ( x - x0) (x – x1) ..............(3)

Pada persamaan di atas tedapat hubungan dengan persamaan (1) sebelumnya, hal tersebut

ditunjukkan dengan mengalikan suku-suku dari persamaan (3) sehingga menjadi :

f2(x) = b0 + b1 x – b1 x0 + b2 x2 + b2 x0 x1 – b2x x0 – b2 x x1

atau

f2(x) = a0 + a1 x + a2 x2

dengan

a0 = b0 – b1 x0 + b2 x0 x1

a1 = b1 – b2 x0 – b2 x1

a2 = b2

Dari penjabaran tersebut tampak bahwa persamaan (3) sama dengan persamaan (1)

Berdasarkan titik dari suatu data, maka untuk menentukan koefisien-koefisien dari b0,

b1, b2 adalah sebagai berikut :

f(x0) = b0 + b1 (x – x0) + b2 ( x - x0) (x – x1)

b0 = f(x0) .................... (3.1)

f(x1) = b0 + b1 (x – x0) + b2 ( x - x0) (x – x1)

b1 = f (x 1)−f (x0)

x1−x0 ........................(3.2)

Jika persamaan 3.2 disubstitusi ke persamaan 3.3 maka didapat nilai b2 adalah :

f (x2) = f(x0) + f (x 1)−f (x0)

x1−x0 + b2 ( x - x0) (x – x1) , hasilnya :

b2 = f (x2) - f(x1) - f (x 1)−f (x0)

x1−x0 (x2 – x1)

atau

b2 = f (x 2)−f (x1)

x2−x1 - f (x 1)−f (x0)

x1−x0 ...........................(3.3)

x2 – x1

Contoh soal

Gunakan polinomial order 2 dengan data sebagai berikut :

x0 = 1f (x0) = 0

x1 = 4f (x1) = 1,3862944

x2 = 6f (x2) = 1,7917595

cari nilai dari ln 2 !!!

Solusi !

Dengan menggunakan persamaan (3.1) :

b0 = 0

Mencari koefisien b1 dengan persamaan (3.2) :

b1 = 1, 3862944−0

4−1 = 0,46209813

Mencari koefisien b2 dengan persamaan (3.3) :

b2 = 1,7917595−1 ,3862944

6−4 - 0,46209813 = -0,051873116

6 – 1

Nilai-nilai dari masing-masing koefisien disubstitusikan ke persamaan 3, dimisalkan x = 2

hasilnya adalah :

f2 (x) = 0,5658436

Besar kesalahan : Et = 0,69314718 – 0,56584436

0,69314718 x 100% = 18,4%

3. Interpolasi Polinomial Lagrange

Metode interpolasi polinomial lagrange memiliki kesamaan dengan polimomial

newton, hanya saja perbedaannya pada polinomial lagrange tidak menggunakan bentuk

pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial lagrange merupakan penurunan dari bentuk

persamaan newton. Bentuk polinomial lagrange order satu :

f1 (x) = f(x0) + (x – x0) f [x1, x0] ............................(4)

Jika menggunakan pembagian beda hingga, maka pada persamaan di atas menjadi :

f [x1, x0] = f (x 1) – f (x 0)

x1−x0

f [x1, x0] = f (x 1)

x1−x 0 -

f (x 0)x1−x 0

........................(4.1)

Mensubstitusi persamaan (4) dengan persamaan (4.1) maka hasilnya :

f1(x) = x – x1

x0−x1 f(x0) +

x – x 0x1−x 0

f(x1) ............................(4.2)

Maka persamaan 4.2 di atas dikenal sebagai persamaan polinomial lagrange order satu.

Untuk persamaan polinomial lagrange dua didapat :

f2(x) = x – x1

x0−x1

x – x2x0−x2

f(x0) + x – x 0

x1−x 0

x – x 2x1−x 2

f(x1) + x – x 0

x2−x 0

x – x 1x2−x 1

f(x2)

.........(4.3)

fn(x) = ∑i=0

n

Li ( x ) f (xi)

dengan

Sedangkan persamaan untuk interpolasi lagrange order 3 adalah :

F3(x) = x – x1

x0−x1

x – x2x0−x2

x – x3

x0−x3 f(x0) +

x – x 0x1−x 0

x – x 2

x1−x 2

x – x 3x1−x 3

f(x1) +

x – x 0x2−x 0

x – x 1x2−x 1

x – x 3x2−x 3

f(x2) + x – x 0

x3−x0 x – x 1

x3−x1 x – x 2

x3−x2 f(x3) ............................

(4.4)

Contoh soal :

Menghitung ln2 dengan menggunakan data pada contoh sebelumnya, gunakan interpolasi

Lagrange order satu dan dua.

Solusi !

x0 = 1f (x0) = 0

x1 = 4f (x1) = 1,3862944

x2 = 6f (x2) = 1,7917595

menyelesaikan order satu dengan persamaan (4.2), untuk x = 2 adalah :

f1(2) = 2 – 41−4

0 + 2 – 14−1

1,3862944 = 0,4620981

menyelesaikan order dua menggunakan persamaan (4.3), untuk x = 2 adalah :

f2(2) = 2 – 41−4

2 – 61−6

0 + 2 – 14−1

2 – 64−6

1,3862944 + 2 – 16−1

2 – 46−1

1,7917595

= 0,56584437

Li ( x )=∏j=0j≠i

n x−x i

x i−x j

Tampak jelas bahwa pada kedua hasil tersebut memeberikan hasil yang hampir sama dengan

hasil pada contoh soal sebelumnya.

4. Interpolasi Polinomial Newton

Pada persamaan polinomial newton, misal :

Diketahui : n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n)

Ditanya : fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut.

Maka rumus fn(x) adalah :

fn(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0) (x - x1) + ... + bn (x – x0) ...(x – xn-1) ...........(5)

Dengan menggunakan titk-titik data, persamaan di bawah ini digunakan untuk mengevaluasi

koefisien :

Untuk pembagian beda hingga, misal beda hingga pertama :

Pembagian beda hingga kedua :

Pembagian beda hingga ke n :

Untuk pembagian beda hingga yang lebih tinggi terdiri dari pembagian hingga yang lebih

rendah, sebagaimana terdapat pada rumus di bawah ini :

b0=f (x0 )b1=f [ x1 , x0 ]⋮

bn=f [ xn , xn−1 ,⋯x1 , x0 ]

f [ x i , x j ]=f (x i )−f (x j )

xi−x j

f [ x i , x j , xk ]=f [ x i , x j ]−f [ x j , xk ]

x i−xk

f [ xn , xn−1 ,. . ., x1 , x0 ]=f [ xn , xn−1 ,. .. , x1]−f [ xn−1 , xn−2 ,. .. , x0]

xn−x0

fn(x) = f(x0) + f [x1, x0] (x – x0) + f [x2, x1, x0] (x – x0) (x - x1) + ... + f [xn, xn-1, ..., x1, x0]

(x – x0) ...(x – xn-1)

Bentuk grafis dari pembagian beda hingga adalah sebagai berikut :

Contoh soal

Diketahui sebuah data :

x0 = 1f (x0) = 0

x1 = 4f (x1) = 1,3862944

x2 = 6f (x2) = 1,7917595

x3 = 5 f (x3) = 1,6094379

hitung ln2 dengan interpolasi polinomial order tiga.

Solusi !

Menghitung pembagian beda hingga pertama :

f [x1, x0] = 1,3862944 – 0

4−1 = 0,46209813

f [x2, x2] = 1,7917595 – 1,3862944

6−4 = 0,20273255

f [x1, x0] = 1,3862944 – 0

4−1 = 0,18232160

Menghitung pembagian beda hingga kedua :

f [x2, x1, x0] = 0,20273255 – 0,46209813

6−1 = -0,051873116

f [x3, x2, x1] = 0,18232160 – 0,20273255

5−4 = -0,020410950

Menghitung pembagian beda hingga ketiga :

f [x3, x2, x1, x0 ] = −0,020410950 – (−0,051873116)

5−1 = 0,0078655415

Koefisien b1, b2, b3 adalah hasil dari f [x1, x0], f [x2, x1, x0], f [x3, x2, x1, x0 ] dan bo = 0, maka

Nilai dari f3 (x) = 0 + 0,462 (x - 1) – 0,051873116 ( x – 1) (x – 4) + 0,0078655415 ( x – 1) (x

– 4) (x – 6)

Ketika x = 2 maka didapat :

f3(x) = 0,62876869

Besar kesalahan dengan order 3 adalah :

Et = 0,69314718 – 0,62876869

0,69314718 x 100% = 9,287%