Download - Interpolasi
by : GIRI ANGGA SETIA
INTERPOLASI
Untuk mengestimasi suatu nilai diantara beberapa titik data yang telah diketahui
nilainya digunakan suatu metode yang disebut metode interpolasi. Dan metode interpolasi
yang biasa banyak digunakan adalah metode interpolasi polinomial. Definisi dari suatu
persamaan polinomial merupakan persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah dari
variabel x berpangkat bilangan bulat. Bentuk umum dari persamaan polinomial order n
adalah :
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an x n ................................(1)
Di dalam operasi interpolasi ditentukan suatu persamaan polinomial oreder n yang melalui
n+1 titik data, yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai diantara titik data
tersebut.
Pada polinomial berderajat satu, maka diperoleh bentuk interpolasi linier yang telah
banyak diketahui atau dikenal. Kemudian akan dipelajari interpolasi linier polinomial dengan
derajat lebih besar dari satu, sehingga perkiraan fungsi tidak lagi linier.
(a). Order 1 menghubungkan 2 titik
(b). Order 2 menghubungkan 3 titik
(c). Order 3 menghubungkan 4 titik
Selain interpolasi polinomial, juga terdapat macam-macam interpolasi lainnya yaitu sebagai
berikut :
1. Interpolasi Linier
Definisi dari metode Interpolasi Linier merupakan metode yang paling sederhana yang
menghubungkan dua buah titik data dengan garis lurus.
F(x)
C .E
. A B D
X
Dari dua segitiga sebangun ABC dan ADE seperti tampak dalam gambar di atas, terdapat
hubungan sebagai berikut :
BCAB
=DEAD
f1(x) – f (x0) = f(x1) – f (x0)
x - x0 x1 - x0
f1 (x) = f(x0) + f(x1) – f (x0) ............... (2)
x1 - x0
Persamaan di atas merupakan rumus dari interpolasi linier bentuk order satu. Suku [f(x1)-
f(x0)] / (x1 - x0) adalah kemiringan garis yang menghubungkan dua titik data dan merupakan
perkiraan beda hingga dari turunan pertama. Semakin kecil interval antara titik data, hasil
perkiraan akan semakin baik.
Contoh saoal
Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595.
Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan
hasil yang diperoleh, diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314178.
Solusi !
Menggunakan persamaan rumus interpolasi linier di atas dari x0 = 1 sampai x1 = 6.
f1(2) = 0 + 1,7917595
6−1 (2-1) = 0,35835190
Besar kesalahan 0,69314718−0 ,35835190
0,69314718 x 100% = 48,3%
Dengan interval lebih kecil, x0 =1 dan x1 = 4
f1 (2) = 0 + 1, 3862944−0
4−1 ( 2- 1) = 0,46209813
Besar kesalahan adalah :
E1 = 0,69314718−0,46209813
0,69314718 x 100 % = 33,3%
f(x) lnx
nilai benar f1(x)
nilai perkiraan
x
2. Interpolasi Kuadrat
Persamaan polinomial order dua adalah :
f2(x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 ( x - x0) (x – x1) ..............(3)
Pada persamaan di atas tedapat hubungan dengan persamaan (1) sebelumnya, hal tersebut
ditunjukkan dengan mengalikan suku-suku dari persamaan (3) sehingga menjadi :
f2(x) = b0 + b1 x – b1 x0 + b2 x2 + b2 x0 x1 – b2x x0 – b2 x x1
atau
f2(x) = a0 + a1 x + a2 x2
dengan
a0 = b0 – b1 x0 + b2 x0 x1
a1 = b1 – b2 x0 – b2 x1
a2 = b2
Dari penjabaran tersebut tampak bahwa persamaan (3) sama dengan persamaan (1)
Berdasarkan titik dari suatu data, maka untuk menentukan koefisien-koefisien dari b0,
b1, b2 adalah sebagai berikut :
f(x0) = b0 + b1 (x – x0) + b2 ( x - x0) (x – x1)
b0 = f(x0) .................... (3.1)
f(x1) = b0 + b1 (x – x0) + b2 ( x - x0) (x – x1)
b1 = f (x 1)−f (x0)
x1−x0 ........................(3.2)
Jika persamaan 3.2 disubstitusi ke persamaan 3.3 maka didapat nilai b2 adalah :
f (x2) = f(x0) + f (x 1)−f (x0)
x1−x0 + b2 ( x - x0) (x – x1) , hasilnya :
b2 = f (x2) - f(x1) - f (x 1)−f (x0)
x1−x0 (x2 – x1)
atau
b2 = f (x 2)−f (x1)
x2−x1 - f (x 1)−f (x0)
x1−x0 ...........................(3.3)
x2 – x1
Contoh soal
Gunakan polinomial order 2 dengan data sebagai berikut :
x0 = 1f (x0) = 0
x1 = 4f (x1) = 1,3862944
x2 = 6f (x2) = 1,7917595
cari nilai dari ln 2 !!!
Solusi !
Dengan menggunakan persamaan (3.1) :
b0 = 0
Mencari koefisien b1 dengan persamaan (3.2) :
b1 = 1, 3862944−0
4−1 = 0,46209813
Mencari koefisien b2 dengan persamaan (3.3) :
b2 = 1,7917595−1 ,3862944
6−4 - 0,46209813 = -0,051873116
6 – 1
Nilai-nilai dari masing-masing koefisien disubstitusikan ke persamaan 3, dimisalkan x = 2
hasilnya adalah :
f2 (x) = 0,5658436
Besar kesalahan : Et = 0,69314718 – 0,56584436
0,69314718 x 100% = 18,4%
3. Interpolasi Polinomial Lagrange
Metode interpolasi polinomial lagrange memiliki kesamaan dengan polimomial
newton, hanya saja perbedaannya pada polinomial lagrange tidak menggunakan bentuk
pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial lagrange merupakan penurunan dari bentuk
persamaan newton. Bentuk polinomial lagrange order satu :
f1 (x) = f(x0) + (x – x0) f [x1, x0] ............................(4)
Jika menggunakan pembagian beda hingga, maka pada persamaan di atas menjadi :
f [x1, x0] = f (x 1) – f (x 0)
x1−x0
f [x1, x0] = f (x 1)
x1−x 0 -
f (x 0)x1−x 0
........................(4.1)
Mensubstitusi persamaan (4) dengan persamaan (4.1) maka hasilnya :
f1(x) = x – x1
x0−x1 f(x0) +
x – x 0x1−x 0
f(x1) ............................(4.2)
Maka persamaan 4.2 di atas dikenal sebagai persamaan polinomial lagrange order satu.
Untuk persamaan polinomial lagrange dua didapat :
f2(x) = x – x1
x0−x1
x – x2x0−x2
f(x0) + x – x 0
x1−x 0
x – x 2x1−x 2
f(x1) + x – x 0
x2−x 0
x – x 1x2−x 1
f(x2)
.........(4.3)
fn(x) = ∑i=0
n
Li ( x ) f (xi)
dengan
Sedangkan persamaan untuk interpolasi lagrange order 3 adalah :
F3(x) = x – x1
x0−x1
x – x2x0−x2
x – x3
x0−x3 f(x0) +
x – x 0x1−x 0
x – x 2
x1−x 2
x – x 3x1−x 3
f(x1) +
x – x 0x2−x 0
x – x 1x2−x 1
x – x 3x2−x 3
f(x2) + x – x 0
x3−x0 x – x 1
x3−x1 x – x 2
x3−x2 f(x3) ............................
(4.4)
Contoh soal :
Menghitung ln2 dengan menggunakan data pada contoh sebelumnya, gunakan interpolasi
Lagrange order satu dan dua.
Solusi !
x0 = 1f (x0) = 0
x1 = 4f (x1) = 1,3862944
x2 = 6f (x2) = 1,7917595
menyelesaikan order satu dengan persamaan (4.2), untuk x = 2 adalah :
f1(2) = 2 – 41−4
0 + 2 – 14−1
1,3862944 = 0,4620981
menyelesaikan order dua menggunakan persamaan (4.3), untuk x = 2 adalah :
f2(2) = 2 – 41−4
2 – 61−6
0 + 2 – 14−1
2 – 64−6
1,3862944 + 2 – 16−1
2 – 46−1
1,7917595
= 0,56584437
Li ( x )=∏j=0j≠i
n x−x i
x i−x j
Tampak jelas bahwa pada kedua hasil tersebut memeberikan hasil yang hampir sama dengan
hasil pada contoh soal sebelumnya.
4. Interpolasi Polinomial Newton
Pada persamaan polinomial newton, misal :
Diketahui : n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n)
Ditanya : fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut.
Maka rumus fn(x) adalah :
fn(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0) (x - x1) + ... + bn (x – x0) ...(x – xn-1) ...........(5)
Dengan menggunakan titk-titik data, persamaan di bawah ini digunakan untuk mengevaluasi
koefisien :
Untuk pembagian beda hingga, misal beda hingga pertama :
Pembagian beda hingga kedua :
Pembagian beda hingga ke n :
Untuk pembagian beda hingga yang lebih tinggi terdiri dari pembagian hingga yang lebih
rendah, sebagaimana terdapat pada rumus di bawah ini :
b0=f (x0 )b1=f [ x1 , x0 ]⋮
bn=f [ xn , xn−1 ,⋯x1 , x0 ]
f [ x i , x j ]=f (x i )−f (x j )
xi−x j
f [ x i , x j , xk ]=f [ x i , x j ]−f [ x j , xk ]
x i−xk
f [ xn , xn−1 ,. . ., x1 , x0 ]=f [ xn , xn−1 ,. .. , x1]−f [ xn−1 , xn−2 ,. .. , x0]
xn−x0
fn(x) = f(x0) + f [x1, x0] (x – x0) + f [x2, x1, x0] (x – x0) (x - x1) + ... + f [xn, xn-1, ..., x1, x0]
(x – x0) ...(x – xn-1)
Bentuk grafis dari pembagian beda hingga adalah sebagai berikut :
Contoh soal
Diketahui sebuah data :
x0 = 1f (x0) = 0
x1 = 4f (x1) = 1,3862944
x2 = 6f (x2) = 1,7917595
x3 = 5 f (x3) = 1,6094379
hitung ln2 dengan interpolasi polinomial order tiga.
Solusi !
Menghitung pembagian beda hingga pertama :
f [x1, x0] = 1,3862944 – 0
4−1 = 0,46209813
f [x2, x2] = 1,7917595 – 1,3862944
6−4 = 0,20273255
f [x1, x0] = 1,3862944 – 0
4−1 = 0,18232160
Menghitung pembagian beda hingga kedua :
f [x2, x1, x0] = 0,20273255 – 0,46209813
6−1 = -0,051873116
f [x3, x2, x1] = 0,18232160 – 0,20273255
5−4 = -0,020410950
Menghitung pembagian beda hingga ketiga :
f [x3, x2, x1, x0 ] = −0,020410950 – (−0,051873116)
5−1 = 0,0078655415
Koefisien b1, b2, b3 adalah hasil dari f [x1, x0], f [x2, x1, x0], f [x3, x2, x1, x0 ] dan bo = 0, maka
Nilai dari f3 (x) = 0 + 0,462 (x - 1) – 0,051873116 ( x – 1) (x – 4) + 0,0078655415 ( x – 1) (x
– 4) (x – 6)
Ketika x = 2 maka didapat :
f3(x) = 0,62876869
Besar kesalahan dengan order 3 adalah :
Et = 0,69314718 – 0,62876869
0,69314718 x 100% = 9,287%