INTEGRAL CONTOUR

Tujuan Perkuliahan:

Mahasiswa dapat memahami konsep integral contour dan menyelesaikan masalah dalam

integral Contour.

Definisi:

Diberikan fungsi z = z(t) untuk 푎 ≤ 푡 ≤ 푏, Mewakili sebuah lintasan C yang

diperpanjang dari sebuah titik z1 = z (a) ke titik z2 = z (b), misal fungsi f(z) kontinu pada

C, maka f(z(t)) kontinu pada interval 푎 ≤ 푡 ≤ 푏, kita mendefinisikan integral contour

dari f sepanjang C sebagai berikut:

푓(푧)푑푧 = 푓 푧(푡) 푧′(푡)푑푡푏

푎 Ā

Jika lintasan C dimaksudkan lintasan berarah dari titik awal 훼 ke titik akhir 훽, maka jika

lintasan tersebut berarah dari 훽 ke 훼 akan dinyatakan dengan –C.

Dengan demikian, kita mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. C tetap, f dipandang sebagai variabel.

a. Jika f kontinu dan C terbatas, maka ∫ 푓(푧)푑푧 푎푑푎퐶

b. Jika f dan g kontinu pada C, maka∫ (푓+ 푔)(푧)푑푧 = ∫ 푓(푧)푑푧+ ∫ 푔(푧)푑푧퐶퐶퐶

c. Jika k휖퐶 dan f kontinu pada C maka∫ 푘푓(푧)푑푧 = 푘 ∫ 푓(푧)푑푧퐶퐶

2. Fungsi f tetap, C dipandang sebagai variabel

a. ∫ 푓(푧)푑푧 = −∫ 푓(푧)푑푧퐶−퐶

b. ∫ 푓(푧)푑푧 = ∫ 푓(푧)푑푧+ ∫ 푓(푧)푑푧퐶2퐶1퐶1+퐶2 dengan C=C1+ C2, yakni rangkaian

dari C1dan C2 dengan titik awal C berimpit dengan titik awal C1, titik akhir C

berimpit dengan titik akhir C2 dan titik akhir C1 berimpit dengan titik awal

C2.

3. Jika fungsi f kontinu pada C , C terbatas, untuk suatu M >0 berlaku

∫ 푓(푧)푑푧퐶 ≤ 푀. |퐶|

Bukti

Jika C kurva mulus, maka panjang kurva C adalah

|퐶| =∫ (푑푥푑푡)2 + (푑푦푑푡)

2 푑푡훽훼

= ∫ (푑푥) + (푑푦)

= ∫ |푑푧|……….(1)

Sedangkan menurut definisi diperoleh

∫ 푓(푧)푑푧퐶 = lim‖Δ‖→0 ∑ 푓(퐶푖)Δ푍푖푛푖=1 …….(2)

Dan

|∑ 푓(퐶푖)Δ푍푖푛푖=1 | ≤ ∑ |푓(퐶푖)Δ푍푖|푛

푖=1

≤ ∑ |푓(퐶푖)||Δ푍푖|

≤ 푀∑ |Δ푍푖|…….(3)

Dari (1),(2),(3) diperoleh

∫ 푓(푧)푑푧퐶 = lim‖Δ‖→0 ∑ 푓(퐶푖)Δ푍푖푛푖=1

≤ lim‖Δ‖→ 푀∑ Δ푍푖

≤ lim‖Δ‖→ 푀∑ |Δ푍푖|

≤ 푀lim‖Δ‖→ ∑ |Δ푍푖|

≤ 푀∫ |푑푧| = 푀|퐶|

TEOREMA EKSISTENSI INTEGRAL KOMPLEKS

Teorema Eksistensi Integral Kompleks

Jika f(x) = u(x,y) + v(x,y) kontinu pada setiap titik di suatu kurva mulus C, maka

integral f sepanjang C ada dan

푓(푥)푑푧 = 푢푑푥− 푣푑푦+ 푖( 푢푑푦+ 푣푑푥)퐶퐶퐶퐶퐶

Bukti :

Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), Ci = (σi,ωi) dan Δzi = Δxi + iΔyi maka

∫ 푓(푧)푑푧 = lim∥Δ∥→0 ∑ 푓(푐푖)Δzi푛푖=1퐶

= lim∥Δ∥→ ∑ [푢(σi,ωi) + iv(σi,ωi)]( Δxi + iΔyi)

= lim∥Δ∥→ ∑ [푢(σi,ωi) Δxi - v(σi,ωi) Δyi] + ilim∥Δ∥→0 ∑ [푢(푛푖=1 σi,ωi) Δyi + v(σi,ωi)

Δxi]

= lim∥Δ∥→ ∑ 푢(σi,ωi) Δxi - lim∥Δ∥→0 ∑ v(σi, ωi) Δyi푛푖=1 + ilim∥Δ∥→0 ∑ 푢(푛

푖=1 σi,ωi) Δyi

+ lim∥Δ∥→0 ∑ 푢(푛푖=1 σi,ωi) Δxi

= ∫ 푢푑푥 − ∫ 푣푑푦+ 푖(∫ 푢푑푦+ ∫ 푣푑푥)퐶퐶퐶퐶

CONTOH-CONTOH SOAL

1. Hitunglah ∫

2푦+ 푥2 푑푥+ (3푥− 푦)푑푦 (2,4)

(0,3) sepanjang:

a. Parabola x = 2t, y = t2 + 3

b. Garis lurus dari (0,3) ke (2,3) dan kemudian dari (2,3) ke (2,4)

c. Garis lurus dari (0,3) ke (2,4)

Penyelesaian :

a. Titik (0,3) dan (2,4) pada parabola berkaitan dengan t = 0 dan t = 1. Maka

integral yang diberikan adalah

∫ {2(1푡=0 t2+3) + (2t)2} 2dt + {3(2t) – (t2+3)} 2t dt

= ∫ (24푡2 10 +12 – 2t3- 6t) dt = 33/2.

b. Sepanjang garis lurus dari (0,3) ke (2,3), y=3, dy=0 dan integral garisnya

∫ 6 + 푥2 푑푥+ (3푥 − 3)0 =2푥=0 ∫ 6 + 푥2 푑푥2

푥=0 = 443

Sepanjang garis lurus dari (2,3) ke (2,4), x=2, dx=0 dan integral garisnya

adalah ∫ (2푦+ 4)0 + (6−푦)푑푦 =4푦=3 ∫ (6− 푦)푑푦 = 4

푦=352

Maka nilai yang diinginkan = 443 + 5

2 = 1036

c. Suatu persamaan garis yang menghubungkan (0,3) dan (2,4) adalah 2y-x = 6.

Selesaikan untuk x, maka x = 2y – 6. Jadi integralnya

∫ {2푦4푦=3 + (2y - 6)2} 2dy + {3 (2y – 6 ) – y) dy =∫ (4

푦=3 8y2 – 39y +54) dy =

97/6

Hasil tersebut dapat juga diperoleh dengan menggunakan y = ½ (x+6)

2. Hitunglah ∫ 푧푐 dz, z = 0 ke z = 4+2i sepanjang kurva C yang diberikan:

a. Z = t2 + it

b. Garis dari z = 0 dan z = 2i kemudian garis dari z = 2i ke z = 4 + 2i

Penyelesaian :

a. Titik z = 0 dan z = 4+2i pada C berkaitan dengan t = 0 dan t = 2

∫ (푡2 + 푖푡)2푡=0 d(t2 + it) = ∫ (푡2

02 + it) (2t+i) dt = ∫ (2푡2

03 – it + t) dt = 10 – 8푖3

b. Integral garis yang diberikan

∫ (푥 − 푖푦)(푑푥+ 푖푑푦) = ∫ 푥푑푥+ 푦푑푦 + 푖 ∫ 푥푑푦 − 푦푑푥푐푐푐

Garis dari z = 0 ke z = 2i sama seperti garis dari (0,0) ke (0,2) sehingga x=0,

dx = 0 dan integral garisnya

∫ (0)(0) + 푦푑푦+ 푖∫ (0)(푑푦)2푦=0 − 푦(0) = ∫ 푦푑푦 = 22

푦=02푦=0

Garis dari z = 2i ke z = 4+2i sama dengan garis dari (0,2) ke (4,2) sehingga y

= 2, dy = 0 dan integral garisnya

푥푑푥+ 2.0 + 푖 푥. 0− 2푑푥 = 푥푑푥+ 푖 −2푑푥 = 8− 8푖4

0

4

0

4

푦=0

4

푦=0

3. Jika C lingkaran |푧|=1 dengan arah positif dan f(z) suatu cabang dari z-1+i = e(-

1+i)iө

(|푧| > 0, 0 < arg(푧) < 2휋) ℎ푖푡푢푛푔푙푎ℎ ∫ 푓(푧)푑푧퐶

Penyelesaian :

Untuk z pada C berlaku z = eiө dengan 0≤ 휃 ≤ 2휋

∫ 푓(푧)푑푧 = ∫ 푓(휋0퐶 eiө).i eiө d휃 = ∫ (2휋

0 e(-1+i)iө. i eiө d휃 =i∫ 푒−휃2휋0 d휃 = i(1-e-2π)

4. Dipunyai z = 2eiө ( -휋2 ≤ 휃 ≤ 휋2 )

2i

Y A B

X 0

C1

C2

Tentukan I = ∫ 푧푑푧퐶

Penyelesaian:

Jelas z = 2 cos 휃 + 2 sin 휃

Diperoleh x = 2cos 휃 dan y = 2sin 휃

Sehingga ׀z׀ = 푥2 + 푦2

= 4푐표푠2휃 + 4sin2휃

= 4(푐표푠2휃+ sin2휃)

= √4

= 2

Batas dari z = -2i ke z = 2i dapat di interpretasikan pada gambar berikut:

Karena 푒푖휃 = e-iө dan 푑eiθ

푑휃 = i eiө

Berdasarkan definisi 2 pada section 32 diperoleh

I = ∫ 2휋2−휋2

eiθ . 2ieiθdθ = 4i∫ dθ = 4i(π2

휋2−휋2

+ π2)

= 4πi

Tulis bahwa pada saat titik z pada lingkaran ׀z׀ = 2 maka z푧 = 4 atau 푧 = 4푧

sehingga hasil I= 4πi dapat ditulis ∫ 푑푧푧퐶 = 휋푖

5. Misalkan C1 dinotasikan sebagai garis OAB seperti terlihat pada gambar berikut:

dengan f(x) = y – x – i3x2 ( z = x + iy)

berdasarkan gambar tersebut diperoleh:

-2i

Y

X

푓(푧)푑푧 = 푓(푧)푑푧+ 푓(푧)푑푧퐴퐵0퐴퐶1

pada lintasan garis OA dapat dipresentasikan dengan parameter z = 0 +iy

(0≤ 푦 ≤ 1)

karena x = 0 nilai f dengan parameter y menurut persamaan f(z) = y,

(0≤ 푦 ≤ 1) akibatnya

∫ 푓(푧)푑푧 = ∫ 푦푖푑푦 = 푖 ∫ 푦푑푦 = 푖[12푦

2]01 = 푖 1

2− 0 = 12 … . (1)1

01

0푂퐴

Pada lintasan AB, z=x+i, (0≤ 푥 ≤ 1) diperoleh

∫ 푓(푧)푑푧 = ∫ 1− 푥 − 푖3푥2 . 1푑푥10퐴퐵

= ∫ (1 − 푥)푑푥 − 3푖 ∫ 푥 푑푥

= (푥 − 푥 ] − 3푖[ 푥 ]

= 1 − − 0 − 3푖( − 0)

= − 푖… . (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh

= ∫ 푓(푧) = ∫ 푓(푧)푑푧 +∫ 푓(푧)푑푧

= + − 푖

= −

=

Selanjutnya jika C2 dinotasikan dengan segmen OB pada garis y=x dengan

representasi parameter z = x+ix (0≤ 푥 ≤ 1) diperoleh:

∫ 푓(푧)푑푧퐶2 = ∫ −푖3푥2(1 + 푖)푑푥10

= ∫ (−3푥 푖 + 3푥 )푑푥

= ∫ 3푥 (1 − 푖)푑푥

= 3(1 − 푖). 푥 ]

= 1 − 푖

Untuk selanjutnya ∫푓(푧)푑푧 sepanjang 2 garis C1 dan C2 mempunyai

perbandingan nilai walaupun kedua garis merupakan titik awal dan titik akhir

yang sama. ∫푓(푧)푑푧 pada lintasan tertutup DABO atau C1-C2 adalah

∫ 푓(푧)푑푧 − ∫ 푓(푧)푑푧 =퐶2퐶11−푖

2 − (1− 푖)

= =

6. Hitunglah ∫ 푧푑푧퐶 dengan

C1 : y = 4x-x2 ; x:3 →0, y:3→4→ 0

C2 : y = 13푥;푥: 0 → 3,푦: 0 → 1

C3 : x =3; y: 1→ 3

C = C1 + C2 + C3

∫ 푧푑푧퐶 = ∫ 푧푑푧퐶1 +∫ 푧푑푧퐶2 + ∫ 푧푑푧퐶3

1. ∫ 푧푑푧퐶1 = ∫ (푥− 푖푦)(푑푥− 푖푑푦)푐1

= ∫ 푥푑푥 +∫ 푦푑푦 + 푖(∫ 푥푑푦 −∫ 푦푑푥)

= ∫ 푥푑푥 + ∫ 푦푑푦 + ∫ 푦푑푦 + 푖 (∫ 푥(4− 2푥)푑푥 − ∫ (4푥 − 푥 )푑푥)

= −4 − 4 + 푖(0 + 9)

= −9 + 9푖

2. ∫ 푧푑푧퐶2 = ∫ 푥푑푥 +∫ 푦푑푦 + 푖(∫ 푥푑푦 −∫ 푦푑푥)

= ∫ 푥푑푥 +∫ 푦푑푦 + 푖(∫ 푥푑푥 −∫ 푥푑푥)

= 4 + + 0

3. ∫ 푧푑푧퐶3 = ∫ 푥푑푥 +∫ 푦푑푦 + 푖(∫ 푥푑푦 −∫ 푦푑푥)

= ∫ 푥푑푥 +∫ 푦푑푦 + 푖(∫ 3푑푦 −∫ 푦. 0)

= 0 + 4 + 6푖

= 4 + 6푖

Jadi ∫ 푧푑푧퐶 = ∫ 푧푑푧퐶1 +∫ 푧푑푧퐶2 + ∫ 푧푑푧퐶3 = (−9 + 9푖) + 5 + (4 + 6푖) = 15푖

DAFTAR PUSTAKA

Churchill dan Brown. 1990. Complex Variables and Applications Fifth Edition.

Singapore: McGraw-Hill.Inc. Dedy dan Sumiati. 2001. Fungsi Variabel Kompleks. Jurusan Pendidikan Matematika

FMIPA UPI. Bandung. Soemanto, R. 1994. Fungsi Variabel Kompleks. Yogyakarta:

Spiegel, Murray R. dan Koko Martono. 1991. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-soal

Peubah Kompleks dengan Pengenalan Pemetaan Konformal dan Penerapannya.

Jakarta: Erlangga.