improper integral
TRANSCRIPT
IMPROPER INTEGRAL / INTEGRAL TAK WAJAR
Integral tentu ∫a
b
f ( x )dx dikatakan suatu integral tak wajar, jika:
i. Integran f(x) mempunyai satu atau lebih titik diskontinu pada a≤x≤b atau
ii. Paling sedikit satu dari batas integrasi adalah tak hingga
Kasus i:
a. Titik diskontinu pada x = b
∫a
b
f ( x )dx=
limu→b−
∫a
u
f (x )dx, jika limitnya ada
b. Titik diskontinu pada x = a
∫a
b
f ( x )dx=
limu→a+∫
u
b
f ( x )dx, jika limitnya ada
c. Titik diskontinu pada x = c, dimana a < c < b
∫a
b
f ( x )dx=
limu→c−
∫a
u
f ( x )dx+
limu'→c+
∫u'
b
f ( x )dx, jika limitnya ada
Contoh:
1.∫0
31
√9−x2dx
, integran f(x) =
1
√9−x2diskontinu di x=3, sehingga
∫0
31
√9−x2dx
=
limu→3−∫
0
u1
√9−x2dx
=
limu→3−
arcsin(x/3)|0u
=
=
limu→3−
arcsin(x/3)- arcsin(0) =arc sin (1) – arc sin(0) = π /2
1
2.∫0
11√ xdx
, f(x) =
1
√x diskontinu di x = 0, sehingga
∫0
11√ xdx
=
limu→0+∫
u
11√ xdx
=
limu→0+ 2√x|u1 =
limu→0+ 2√1 -2√0=2
3.∫0
31
√9−x2dx
, f(x) diskontinu di x = 0, dimana -1 < 0 < 8
∫0
31
√9−x2dx
=
limu→0−
∫−1
u1
x13
dx
+
limu→0+
∫u
81
x13
dx
=
limu→0−
32x
23|−1u
+
limu→0+
32x
23|u
8
= -3/2 + 12/2 = 9/2
Kasus ii:
a.∫a
∞
f ( x )dx=
limu→∞
∫a
u
f ( x )dx, jika limitnya ada
b.∫−∞
b
f ( x )dx=
limu→−∞
∫u
b
f ( x )dx, jika limitnya ada
c.∫−∞
∞
f ( x )dx=
limu→−∞
∫u
a
f ( x )dx +
limu→∞
∫a
u
f ( x )dx, jika kedua limitnya ada.
Contoh:
1.∫0
∞ 1
x2+4dx
=
limu→∞
∫0
u1
x2+4dx
=
limu→∞
12 arctan(x/2)|0
u
2
=
limu→∞1/2(arc tan(u/2) –arc tan(0))=1/2(π /2 - 0)= π /4
2.∫−∞
0
e2 xdx=
limu→−∞
∫u
0
e2 xdx=
limu→−∞
12e2 x|u
0
=1/2
3.∫−∞
∞ 1
ex+e−xdx
=∫−∞
∞ex
e2 x+1dx
=
limu→−∞
∫u
0ex
e2 x+1dx
+
limu→∞
∫0
uex
e2 x+1dx
=
limu→−∞ arctan (ex )|u
0+
limu→∞arctan (ex )|0
u=(π /2 -π /4 )+(π /4 -0)= π /2
Latihan: Hitunglah integral berikut!
1.∫1
∞e−√x
√ xdx
2. ∫0
π2
cos x√1−sin x
dx3. ∫0
1x+1
√ x2+2xdx
4.
∫0
31
( x−1 )23
dx
5. ∫0
11xdx
6. ∫−∞
∞ x
1+ x4dx
3