improper integral

3
IMPROPER INTEGRAL / INTEGRAL TAK WAJAR Integral tentu a b f ( x ) dx dikatakan suatu integral tak wajar, jika: i. Integran f(x) mempunyai satu atau lebih titik diskontinu pada axb atau ii. Paling sedikit satu dari batas integrasi adalah tak hingga Kasus i: a. Titik diskontinu pada x = b a b f ( x ) dx = lim ub a u f ( x ) dx , jika limitnya ada b. Titik diskontinu pada x = a a b f ( x ) dx = lim ua + u b f ( x ) dx , jika limitnya ada c. Titik diskontinu pada x = c, dimana a < c < b a b f ( x ) dx = lim uc a u f ( x ) dx + lim u' c + u' b f ( x ) dx , jika limitnya ada Contoh: 1. 0 3 1 9x 2 dx , integran f(x) = 1 9x 2 diskontinu di x=3, sehingga 0 3 1 9x 2 dx = lim u3 0 u 1 9x 2 dx = lim u3 arcsin(x/3) | 0 u = 1

Upload: didik-sudarsono

Post on 04-Jan-2016

22 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

IMPROPER INTEGRAL / INTEGRAL TAK WAJAR

Integral tentu ∫a

b

f ( x )dx dikatakan suatu integral tak wajar, jika:

i. Integran f(x) mempunyai satu atau lebih titik diskontinu pada a≤x≤b atau

ii. Paling sedikit satu dari batas integrasi adalah tak hingga

Kasus i:

a. Titik diskontinu pada x = b

∫a

b

f ( x )dx=

limu→b−

∫a

u

f (x )dx, jika limitnya ada

b. Titik diskontinu pada x = a

∫a

b

f ( x )dx=

limu→a+∫

u

b

f ( x )dx, jika limitnya ada

c. Titik diskontinu pada x = c, dimana a < c < b

∫a

b

f ( x )dx=

limu→c−

∫a

u

f ( x )dx+

limu'→c+

∫u'

b

f ( x )dx, jika limitnya ada

Contoh:

1.∫0

31

√9−x2dx

, integran f(x) =

1

√9−x2diskontinu di x=3, sehingga

∫0

31

√9−x2dx

=

limu→3−∫

0

u1

√9−x2dx

=

limu→3−

arcsin(x/3)|0u

=

=

limu→3−

arcsin(x/3)- arcsin(0) =arc sin (1) – arc sin(0) = π /2

1

2.∫0

11√ xdx

, f(x) =

1

√x diskontinu di x = 0, sehingga

∫0

11√ xdx

=

limu→0+∫

u

11√ xdx

=

limu→0+ 2√x|u1 =

limu→0+ 2√1 -2√0=2

3.∫0

31

√9−x2dx

, f(x) diskontinu di x = 0, dimana -1 < 0 < 8

∫0

31

√9−x2dx

=

limu→0−

∫−1

u1

x13

dx

+

limu→0+

∫u

81

x13

dx

=

limu→0−

32x

23|−1u

+

limu→0+

32x

23|u

8

= -3/2 + 12/2 = 9/2

Kasus ii:

a.∫a

f ( x )dx=

limu→∞

∫a

u

f ( x )dx, jika limitnya ada

b.∫−∞

b

f ( x )dx=

limu→−∞

∫u

b

f ( x )dx, jika limitnya ada

c.∫−∞

f ( x )dx=

limu→−∞

∫u

a

f ( x )dx +

limu→∞

∫a

u

f ( x )dx, jika kedua limitnya ada.

Contoh:

1.∫0

∞ 1

x2+4dx

=

limu→∞

∫0

u1

x2+4dx

=

limu→∞

12 arctan(x/2)|0

u

2

=

limu→∞1/2(arc tan(u/2) –arc tan(0))=1/2(π /2 - 0)= π /4

2.∫−∞

0

e2 xdx=

limu→−∞

∫u

0

e2 xdx=

limu→−∞

12e2 x|u

0

=1/2

3.∫−∞

∞ 1

ex+e−xdx

=∫−∞

∞ex

e2 x+1dx

=

limu→−∞

∫u

0ex

e2 x+1dx

+

limu→∞

∫0

uex

e2 x+1dx

=

limu→−∞ arctan (ex )|u

0+

limu→∞arctan (ex )|0

u=(π /2 -π /4 )+(π /4 -0)= π /2

Latihan: Hitunglah integral berikut!

1.∫1

∞e−√x

√ xdx

2. ∫0

π2

cos x√1−sin x

dx3. ∫0

1x+1

√ x2+2xdx

4.

∫0

31

( x−1 )23

dx

5. ∫0

11xdx

6. ∫−∞

∞ x

1+ x4dx

3