ii. teori penunjanq
TRANSCRIPT
II. TEORI PENUNJANQ
1. PENDAHULUAN
Bab ini akan menjelaskan mengenai dasar-dasar teori yang berhubungan dengan analisis sinyal. Teori-teori dasar yang berbubungan dengan analisis sinyal tersebut antara lain adalah deret Fourier, transformasi Fourier,
konvolusi dan korelasi, transformasi Fourier diskrit, dan penggunaan transformasi Fourier cepat ( Fast Fourier
Transform - FFT ) yang digunakan sebagai alat bantu dalam menyelesaikan transformasi Fourier diskrit. Juga dalam bab ini akan dijelaskan teori-teori dasar mengenai Analog to Digital Converter ( A/D Converter ) yang merupakan bagian yang sangat penting dalam tugas akhir
ini untuk pengubahan sinyal analog menjadi sinyal digital yang kemudian dlproses dengan sederetan perhitungan dengan metode FFT untuk menghasilkan spektrum sinyal yang dikehendaki.
2. DEFINISI ANALISIS TRANSFORMASI
Analisis transformasi sering digunakan untuk
mempermudah penyelesaian suatu masalah. Apakah. arti sebenarnya kata 'transformasi' ? Secara umum transforma- si dapat diartikan sebagal perub^an, dan biasanya per-
ubahan yang dimaksudkan adalah perubahan bentuk. Penger- lian ini peniing, sebab dal am bab-bab berikutnya akan sering digunakan kata 'transformasi', seperti transfoma- si Fourier, transformasi Fourier diskril, transformasl
Fourier cepat dan lain-lain.Mengapa transformasi sering digunakan ? Sebagai
contoh misalnya dinginkan menghitung Y = X/Z, maka untuk
mendapatkan harga Y harus dilakukan pembagian yang ber-
ulang kali, dan ini kurarig menguntungkan dipandang dari
segi waktu, Cara lain untuk menyelesaikan persamaan ini adalaili dengan menggunakan sistem transformasi, yaitu
dengan menggunakan label logaritma untuk mentransforma- sikan operasi pembagian menjadi pengurangan, kemudian dengan menggunakan tabel anti logaritma dapat ditentukan harga Y = ( log"^ Y ). Dapat dilihat bahwa dengan menggunakan transformasi kompleksitas dan waktu menjadi berkurang.
Secara umum transformasi dapat digunakan untukmembantu menyederhanakan suatu permasal aJian. Tekniktransformasi yang digunakan dalam tugas akhir ini adalahTransformasi Fourier yang' mengubali suatu fungsi darldomain waktu menjadi frekuensi. Perbandingan analisisdiagram antara cara konvensional dan cara transformasift
dapat dilihat pada gambar 2-i!
CO M VtNTIONALanalysis
n iio ia t M siAiiMCrnv< x n
y
V
rnAtiSfORMA ftA LYS IS
t iiAriof oiiM
loglYI f loglxI.KolZl
V■COMPLEXA N A LY S IS 1 S IM P L If ltO
A N A LY S IS
LO N G -HAN O O lV IS IO N 1 t a b l e l o o < - l ip AKO s u b t r a c t io n
Vo a / ^ n i CiA
1
^ 1
i n v e r s e
T R A M S F O A Mr H U U L c lA
o o l u t i o n < ........ 11 A N T I - L O C A n i T H M
T A O L C L O O < - U P
GAMBAR 2-1PERBANDINGAN ANALISIS DIAGRAH ANTARA CARA KONVENSIONAL DAN TRANSFORMASI
E.0 Brighan, 'TTie fast Fom er Transfora', Bijlnood Cliffs, Prentice Hall Ine.,hal ?.
3. DERET FOURIER
Secara teoritis deret Fourier dapat dituruxikan
sebagai keadaan khusus dari integral Fourier, walaupun
dalam penggunaannya deret Fourier lebih banyak dlgunaKan
dari integral Fourier maupun Transformasi Fourier. Ba-
gian ini akan menjelaskan cara menyatakan sinyal dengan deret Fourier, kemudian mengubah. pernyataan sinyal analog menjadi sinyal digital.
3.1. Slfat-sifat Deret Fourier
Ekspansi deret Fourier untuK suatu fungsi y(t) yang periodik dengan periode To dapat dinyatakan sebagai berikut :
00 00
y(t) = ao + E a i cos nwgt + E b^ sin nWot ..... (2-1)n=l n = 1
dimana u>q adalah frekuensi angular dasar. FreKuensi angular ini sama dengan 2tt kali frekuensi dasar. Sedangkan frekuensi nwg dan nf^ adalah harmonisa. Koefisien a^ , a^ . dan bjj dapat diselesaikan dengan
menggunakan si fat ortogonalitas ;
cos nw t cos mu) t = o o- To/2 m = n- 0 m ^ n
Tor To/2 m : n
sin nu) t sin mw t -o oTo
...... ( 2-2 )- 0 m ^ n
COS nu) t sin mw t = 0 -antuK semua m dan no oTo
Gabungan dari persamaan (2-1) dan (2-2) menghaslIkan :
n Toy(t) cos nw t dt ,......... (2-3)o
To
n Toy(t) stn nw t dt ............... (2-4)o
To
Dal am bentuR kompleks dapat dinyatakan sebagai berikut ;
00y(t) : E Cn eJ^wot
-CO(2-5)
dimana
( an - J bn ) n = 0 , il, 12 .... (2-6 )
atau
To/2
n Toy(t) e-J2itfot n = 0,11,12 .. (2-7)
-To/2
Persamaan (2-5) adalah bentvik kompleks dari y(t).
3.2. Teorema Dirichlet dan Syarat Dirictilet
Ada beberapa syarat yang harus dipenuhi untuk dapat menguraikan suatu fungsi ke dalam bent\ik deret Fourier. Syarat-syarat itu dinamakan syarat Dirichlet, yang anta-
ra lain adalah ;- f(x) harus bernilai tunggal (single value)- jumlah maksimum dan minimum dan jumlah
diskontinuitas dari f(x) harus terbatas '
- bila f(x) menjadi tidak berhingga di suatu titik
diskontinuitas, maka f(x) dx harus ada dan
berhingga. To
Dalam penggunaannya, variabel x bisa diganti dengan variabel t (waktu).
Pertanyaan yang seringkali muncul adalah berapa harga suatu deret Fourier untuk suatu fungsi di titik
diskontinu. Dengan menggunakan teorema Dirichlet dapat
dilihat bahwa deret Fourier dari suatu fungsi yang meme-
nuhi syarat Dirichlet akan mengumpul (konvergen) ke ;
i
auntuk semua harga x^ (2-S)
dimana ;f(xi^) : limit dari harga f(x) untuk xixj, bila didekati
dari kanan, jadi fCxi"* ) : lim f(xi + € ) dengan € > 0f(Xi~) : limit dari harga f(x) untuk xsxj, bila didekati
dari kiri, jadi f(xi“) : lim f(xi - € ) dengan € > 0Gambar 2-2 di bawah ini menunjukkan suatu fungsi yang menunjukkan pengertian limit kiri dan limit kanap, dl mana fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas pada x^x^. Untuk titik yang kontinyu maka fCx"*") : f(x“).
GAHBAR 2-2
FUNQSI f(x) DENQAN DISKONTINUITAS
PADA X : Xi
3• 3. Keadaan khusxis Integral Fourier
Seperti telah dibicarakan pada bab II. 3 di depan,
dikatakan baliwa deret Fourier sebenarnya mertipakan keadaan khusiis dari integral Fcurier. Persamaan (2-i) menunjukkan bahwa deret Fourier sebenarnya terdiri dari penjumlalian sekumpulan deret gelornbang sinusoida. Dengan menggunakan teorema Konvolusi yang akan dibicarakan kemudian, dapat diperoleh hubungan antara keduanya. Gambar 2-3 menunjukkan suatu gelombang segitiga yang periodik yang diperoleh dari konvolusi satu gelombang segitiga dengan suatu deretan impulse yang mempunyai periode yang sama. Secara matematis suatu fungsi y(t)
yang mervipakan konvol\isi dari fungsi h(t) dan x(t) dapat dinyatakan dengan •.
y(t) : h(t) d x(t) ..................... (2-9)Transformasi Fourier dari y(t) dapat dinyatakan dengan ;
GAHBAR 2-32)
TRANSFORMASI FOURIER DARI GELOMBANG SEGITIGA DENGAN METODE KONVOLUSI
Y(f) = H(f) X(f)
1-----------00 n = H(f) --- E e ( f ----- )
To -CD To,
i CD n n-- --- E H(— ) a(f - ----) ....... (2-10)
To -0 0 To To
Dapat dilihat bahwa dari persamaan 2-10 dan gambar 2-3 f
bahwa transformasi Fourier dari suatu ftingsi periodik
adalaJh, sekumpulan sinusoida dengan amplitudo H(n/To).
Dari deret Fourier; pada persamaan 2-7 terliliat baliwa batas integrasi terJadi dari - To/2 sampai + To/2, dan karena :
To Toh(t) = y(t) ----- < t < ..... ......... (2-11)
2 . 2maka y(t) dapat digantikan h(t), sehingga persamaannya•menjadi :
To/2y(t) e-J2itnfot
icn To
-To/21 ■ 1 ' n
= --- H(nfo) = ---r H(--- ) ...... (2-12)To To To
Terlihat bahwa koefisien yang dihitung dengan integral Fourier dan dengan deret Fourier adaleQi sama untuk fungsi periodik. Juga dapat dilihat bahwa koefisien untuk ekspansi deret Fourier dari fungsi y(t) adalah sama dengan transformasi Fourier yang dihitung unt\ik n/To, kecviali adanya faktor 1/To ( 1 ihat gambar 2-3 c dan f ).
4. TRANSFORHASI FOURIER
Transformasi Fourier adalali suatu transformasi yang
mendef inisikan suatu fungsi dari harga - 00 ke + 00 . ,
sehingga harus diketahui fungsi lain yang juga mendefi-
nisikan variabel-variabel yang sama dari - 00 ke + 00 .
Gambar 2-4 tnenjelaskan suatu fungsi, dimana
transformasi Pouriernya adalah dua gelombang yang saling
dijumlahkan. Dari gambar jelas terlihat batxwa transfor
masi Fourier menguraikan suatu fungsi gelombang Ke
masing-masing komponen penyusunnya.
4. i. Dasar Analisis Transformasi Fourier
Secara matematis, transformasi Fourier dapat dinya- takan sebagai berikut :
+ C0
S(f) t s(t) dt ............ (2-13). -CO
dimana :
s(t) : gelombang yang akan diuraikan.S(f) = transformasi Fourier dari s(t)
j = 4- -1.
Dapat dilihat suatu contoti yang dijelaskan pada gambar 2-5 baliwa suatu gelombang persegi dapat diuraikan menja- di sekumpulan gelombang sinus yang ditentukan oleh laasil transformasi Fourier.
QAHBAR 2-43) INTERPRETASI TRANSFORHASI FOURIER
■Ill
III
SMI
1/7ins l/IO
i/j
I nil I 'io 0 1 IA 4•wo .1/6
» , ( l l • C M ( J i r t g i l . 1/3 c o t I6»1 I) - I *
1t/7 1/7
•1/6 .1/6
i j l i l • CO* I J H g O . t /3 c o t (6 ( r t g l l Sjl'l1/7
WIO__L
1/7
1/10 J__
•I/O .1/4
t^ lil • coi (?'rt^i| • 1/3 cot lO irtjIl
Ibl
Sjll)
l/Jl/lO
I____
\n
1^4 I ' -1/1- l / C -1/6
I/IO1T T— I -1/14
QAHBAR 2-5^)
TRANSFORHASI FOURIER DARI GELOMBANG PERSEGI
Biasanya suatu fungsi yang periodik dinyatakan
dal am beniuk deret Fourier, sedangkan untuk fungsi yang
tidak periodik dinyatakan dal am transformasi Fourier
yang kontinyu dal am range frekuensi. Contoh untvik suatu
gelombang persegi yang tidak periodik serta liasil
transformasinya dapat dilihat pada gambar 2-6.
GAHBAR 2-65>TRANSFORMASI FOURIER DARI QELOHBANQ
PERSEGI YANG TIDAK PERIODIK
Jelaslah bahwa transformasi Fourier mentransforma- sikan suatu fungsi dari daerah. ( domain ) waktu ke daerah. frekuensi, dan hasil transformasinya mengandung informasi yang sama seperti fungsi asal.Persamaan matematis dari transformasi Fourier
5 ) Ibid. h»l 1.
H(f) = h(t) e-J2TTft dt ............ (2-14)-C O
sebenarnya merupakan suatu integral Fourier yang dide.fi-
nisikan dari sinyal waktu kontinyu. H(f) dikatakan
iransformasi Fourier dari h(t) jika integral Fourier ini mempunyai harga untuk setlap parameter f.
Jika dinyatakan dal am bentuk kompleks, maka
transformasi Fourier dapat dinyatakan sebagai berikut :
H(f) -- R(f) + j 1(f) |H(f)l eJ0(f) ..... (2-15)
dimana ;
R(f) i bagian real dari H(f)1(f) = bagian imajiner dari H(f)0(f) r arc tg [I(f)/R(f)l
|H(f) I = [R2(f) + 12(f)
Sebaliknya jika ingin didapatkan kembali fungsi asal tid), dengan mehggunakan transformasi Fourier balik ( Inverse Fourier Transform ) dapat diperoleh fungsi asal tersebut. Inverse Fourier Transform dapat didefinisikan sebagai berikut :
+00
h(t) = H(f) eJ2iTft df ............. (2-16)-00
Persamaan (2-16) adalali kebalikan dari transformasi Fourier ( = Inverse Fourier Transform ). Fungsi h(t) dan
H(f) yang mempunyai hubungan seperti yang ditunjukkan
oleh persamaan (2-14) dan (2-16) di atas dinamakan pasangan transfortnasi Fourier, atau aering dinyaiakandengan
h(t) <=> H(f) ( 2 - 1 7 )
4. 2. Bentuk-bentuK lain Transformasi Fourier
Perkembangan transformasi Fourier yang demiklan,
cepat menyebabkan tidak adanya definisi yang umutn dari
integral Fourier maupun kebalikannya (inverse).t
Transformasi Fourier dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain sebagai berikut :
+ 00
W : 2 l T f
b(t) = a.
I h(t) e-Jwt dt
-0 0
♦ooH(f) eJwt dw
(2-16)
( 2 - 1 9 )
(2-2 0)-0 0
dimana koefisien a^ dan ag tergantung pada pemakal,misalnya a{ = 1 dan a^ = l/2ii, atau a^ = a 2 s l/f2n,atau a^ ; 1/2tt dan ag = 1.
Agar pasangan transformasi Fourier memenuJii syaratpersamaan ( 2-18 ) dan ( 2-20 ) maka :
at . 32 = l/2rt ........................\ (2-21)
Perbedaan harga-harga tersebut berhubungan denganhubungan antara transformasi Fourier dan transformasi
Laplace,- dalam mendefinisikan hMbungan energi total
dal am daerati waktu dengan energi total dalam daerah
frekuensi radian (w). Sebagai contoh dalam teorema Par-
seval's dinyatSLkan sebagai berlkut ;
+ 00 , +00 . .lH(u» j2 dw . . ■.... (E-E2)
-CO -CO
Penyamaan energi dalam domain waktxi dengan energi dalam
domain frekuensi radian menghasilkan aj s i/fSn.
Terlihat baliwa transformasi Laplace yang secara umium dinyatakan sebagai : •
+ 00
h2(t) dt = 2na^2
h(t) e'®^ dt-0 0
+00
h(t) dt (2-23)-CD
dapat disamakan dengan transformasi Fourier bila bagian real diset dengan harga.nol. Hal ini menyebabkan suatu kondisi yang bertentangan dengan hipotesa terdsiliulu, karena dari persamaan ( 2-16 ) dan ( 2-23 ) akan menghasilkan a 2 =l dan ai = l/2TT.
Untuk mengatasi hal ini maka sal ah satu cara yang dapat digunakan adalah dengan menyatakan pasangan
transformasi Fourier sebagai berikut ;+ 00
H(f) = h(t) e-J2Tift dt (2-24)-c»
+CD
h(t) = H(f) eJ2Tift df (2-£5)-0 0
Dengan definisi ini maKa teorema Parseval menjadl *.
+00 +00 -
h2(t) dt : df ................. (2-26)
- 0 0 - 0 0
sehingga persamaan (2-24) konsislen dengan transformasi Laplace.
4. 3. Sifat-stfat Transformasi Fourier
Ada beberapa sifat yang perlu diketahui dalam menggunaKan transformasi Fourier. Beberapa sifat itu antara lain;1. Linieritas
Jika x(t) dan y(t) mempunyai transformasi ' Fourier X(f) dan Y(f) maka x(t) + y(t) mempunyai transformasi Fourier X(f) + Y(fJ. .
x(t) + y(t) < = > X(f) + Y(f) ........ (2-27)sebagai contoh :
x(t) = K <:> X(f) = K a(t)
y(t) r A cos(2TTfot) <--> Y(f) = A/2 [a(f-fo) + d(f+fo)l Dengan menggunakan teori linieritas :
x(t) + y(t) : K + A cos(2Tifot) maka transformasi Fourier dari x(t) + y(t) menjadi ;
X(f) + Y(f) = K a(f) + A/2 [d(f-fo) + d(f+fo)]Sifat linieritas dapat di1ihat pada gambar 2-7.
•;a>
Y (l|
1 A/7 A/7
•'o 1. '
A / ?
X ( l | • Y ( l )
A/2
GAHBAR 2-7®) SIFAT LINIERITAS
S. Simetrisitas
Jika h(t) dan H(f) adalah pasangan transformasi Fourier tnaka ;
H(t) <--> h(-f) . ..............;........ (2-28)Sebagai contoh ;
maka dengan teorema simetrisitas ;
2 A To sin(2TiTof)
E A To sin(2nTof)a 11 To f
<=> h(-f) = h(f) = A f <T2 Tt To f
Gambar (2-6) menunjukkan hyibungan simetrisitas.
(a)
(b)
GAMBAR 2-8a) TRANSFORMASI FOURIER DARI GELOMBANG PERSEGIb) TRANSFORMASI FOURIER DARI A sin (at)/at
3. Penskalaan waktu (time scaling)
Jika H(f) adalah transfortnasi Fourier dari
maka transformasi Fourier dari h(kt) dimana k adalah
konstanta yang tidak sama dengan nol adalah :
1h(kt) <:> ----— H(f/k) .............. (3-29)
IK
Sifat dari penskalaan waktu ditunjukkan pada gambar 2-9
4. Penskalaan Frekuensi
Jika h(t) mempunyai transformasi Fourier H(f), maka
transformasi Fourier balik dariH(kf) untuk k konstanta real adalah ;
1h(t/k) <=> H(kf) .............. (2-30)
1^1
Sifat dari penskalaan frekuensi ditunjukkan pada gambar 2 - 10.
5. Pergeseran WaktuJika h(t) digeser sepanjang to, maka transformasi
Fourier dari pergeseran waktu adalah ;h(t-to) < = > H(f) e-J2Tifto ........... (2-31)
Sebagai contoh ditunjukkan pada gambar 2-11. Pada gambar tersebut ditunjukkan bahwa pergeseran waktu akan mengha- silkan perubahan sxidut ©(f), tetapi tidak mengubah magnitude dari transformasi Fourier, Hal ini disebabkan karena ;
H ( f ) e-J2iTfto = H(f) [cos (2iifto)-J sin(2nfto)) sehingga
|H(f) e-j2TTfto I - H2(f) [ cos2(2Ttft ) + sin2(ETift )] ______ 0 0H2(f) (2-32)
GAHBAR 2-g7)
GAMBAR 2-10®)
niu
A
ltd
•1 1
A
V ?
m n
A
nA?
1 ( 0
fA 1
R | i |A
1 - A1
1'
B U I M M
- A - A 1 *
GAHBAR 2-1l9)
6. Pergeseran FreKuensi
Jika H(f) digeser sebesar fo, maka hasil transfor- masi baliknya h(t) dikalikan derigan eJ2nfot_
h(t)eJ2nfot <.-> H(f-fo) ........ (2-33)
Pada gambar 2-12 ditunjukkan efek dari pergeseran
frekuensi, dimana fungsi H(f) real. Hasil dari
pergeseran ditentukan oleh perkalian fungsi h(t) dengan cosinus dimana frekuensinya sama dengan besarnya perge
seran fo-
GAHBAR 2-12^0)SIPAT PERGESERAN FREKUENSI
Ibid, hal 39.
5. k o 'n v o l u s i d a m k o r e l a s i
Untuk menjelaskan transformasi Fourier, sering.
digunakan konvolusi dan korelasi, terutama unt\;k
menghubungkan suatu fungsi analog ke fungsi digital.
Bagian bab ini akan menjelaskan konvolusi dan korelasi.
5.1. Integral Konvolusi
Suatu fungsi y(t) dikatakan konvolusi dari fungsi x(t) dan h(t) jika ;
+00
y(t) : K<o) h(t-a) da = x(t) n h(t) ...... (8-34)»
-0 0
persamaan di atas dapat dituliskan. ke dal am bentuk lain, yaitu ;
+ 00
y(t) = h(a) x(t-o) da = h(t) « x(t) ...... (3-35)-00
K : konvolusiTerlihat bahwa diperlukan fungsi h(t-a) dan x(a), di mana x(a) dan h.(a) masing-masihg adalah x(t) dan h(t) dengan mengubah t menjadi' ■ o. Fungsi h(-a) adalah bayangan dari h(a) terhadap sumbu y, dan h(t-o) adalali fungsi h(-o) yang digeser sejauh t. Dengan demikian maka persamaan (2-34) dapat dibitung dengan mengalikan x(o) dan h(t-o), kemudian diintegralkan dari -oo ke +oo. Qambar
Ill
lb)
Id
QAMBAR 2-13^^) PROSEDUR MENDAPATKAN tl(t-a)
GAHBAR 2-14^2)
CARA MENDAPATKAN KONVOLUSI SECARA GRAFIK
]M_d, hal 52. ' 2 ) loc, cil,
• t i l
I b l
rov.oiNC
O i S f ’ l . A C t M t M T c >
m u l t i p l i c a t i o n
I N T t C R A T l O K C >
GAMBAR 2-15^3)
PROSEDUR HENDAPATKAN KONVOLUSI DENGAN : HELIPAT, MENGGESER, MENGALIKAN, MEKGINTEGRALKAN
2-13 dan gambar 2-14 menunjxikkan operas! integral konvo- lusi.
Untuk mendapatkan integral konvolusi dengan metode
grafik secara umum adalah sebagai berikut :
- Dilipat (folding), cari bayangan h(a) terhadap sum-
bti asal y.
- Digeser (displacement), geser h(-o) sejauh t.
- Dikalikan (multiplication), yaitu dengan mengalikan
fungsi h(t-o) dengan x(o).- Diintegralkan (integration), luas dari perkalian
h(t-o) dengan x(a) adalah hasil konvolusi.Gambar 2-15 menunjukkan contoh prosedur konvolusi.Dari gambar 2-15 f maka didapatkan hasil konvolusi;
+ 00
y(t) = x(a) h(t-a)] da-CD
+ 00
1 da - I - ............ (2-36)-00
untuk menentukan batas integral fungsi, ambil batas bawaJn dari harga terbesar dari dua titik batas bawah, sedangkan batas atas diambil harga terkecilnya. Untuk fungsi di atas batas bawahnya 0 dan batas atasnya adalaii t.
5.2. Konvol\isi Fungsi Impulse<
Integral konvolusi yang paling sederhana adalah
jika salah satu -fungsinya merupaKan fvingsi impulse.
Untuk menjelaskan hal^ ini misalkan h(t) adalali fungsi
impulse seperti yang terlihat pada gambar 2-16, sedangkan x(t) adalali gelombang persegi tunggal. Haka integral konvolusinya adalah seperti yang ditunjukkan
pada gambar 2-15 c, dan persamaan matematisnya dapat
dituliskan sebagai berikut ;
+ 00
y(t) -- [d (t-o)+d(t+o) 1 x(t-a) da
-CD
: X(t-T) 4- X(t+T) . . / ................... (2-37)
Penggunaan konvolusi yang paling penting adalah dal am
hubungannya dengan tranformasi Fourier, yang dapat dije-
laskan sebagai berikut : bilah(t) danx(t) mempunyai transformasi Fourier H(f) dan X(f) maka h(t) * x(t) mempunyai transformasi Fourier setiingga dapatdikatakan bahwa pasangan transformasi Fouriernya adalah
h(t) » x(t) < = > , H(f) X(f) ............. ( 2-38)
Hubungan ini akan banyak digunakan pada pencuplikan gelombang (sample). Sebagai contoh seperti yang ditunjukkan pada gambar 2-17.
5.3. Frekuensi Konvolusi
Integral konvolusi juga berlaku dari domain frekuensi ke domain waktu, yaitu jika hasil kali b d )
U )
• III
(b)
■H -T T JTId
( C )
GAMBARKONVOLUSI FUNGSI IMPULSE
III
GAMBAR 2-1715)CARA HENDAPATKAN KONVOLUSI FUNQSI IMPULSE
dengan x(t) aKan mempvinyat transformAsl Fourier H(f) *
X(f). Pasangan transformasi Fouriernya adalali ;
h(t) x(t) <:> H(f) » X(f) .............. (2-39)
Qambar 2-18 menunjuKKan freKuensi konvolusi dari suatu
fungsi cosinus dengan fungsi gelombang persegi.
5. 4. Integral Korelasi
Integral korelasi adalah. integral lain yang ada
hubungannya dengan konvolusi. Persamaan matematis
integral korelasi dapat dituliskan sebagai berikut :
+ CD
z (t) = -0 0
x(o) h(t + o) do .................. (2-40)
Prosedur untuk mendapatkan integral korelasi liampir sama seperti untuk mendapatkan integral konvolusi. Pada gam- bar 2-19 ditunjukkan 1 angkali-1 angkah. untuk mendapatkan integral korelasi.
6. TRANSFORHASI FOURIER DISKRIT
Suatu sinyal merupakan kumpulan dari berbagai informasi. Secara matematis suatu sinyal dapat merupakan fungsi dari satu atau lebih variabel yang bebas (independent). Variabel bebas ini bisa merupakan variabel yang kontinyu maupun diskrit. Sinyal kontinyu didefinisikan . sebagai fungsi yang kontinyu untuk setiap
•lllhtll
l<l
Mill
_ ,X C O tW O l.U T IO N \ v ,^ • I ----------------------- • /A A
i 2
Id (dl
GAHBAR 2-1616)CARA MENDAPATKAN KONVOLUSI FREKUENSI
OtSPLACCMCNT
U\
hUl
1
• r
(b|
m u l t ip l ic a t io n
ic)
I N T E G R A T I O N
GAMBAR 2-19^'^)PROSEDUR MENDAPATKAN INTEGRAL KORELASI DENGAN
HENGGESER, MENGALIKAN, DAN MENGINTEGRALKAN
variabel, sedangkan sinyal diskrit hanya mernpvinyai harga
unl-uK set lap harga diskrit. Di sini akan lebih daliulu dibalias sinyal diskrit sebelum melanjutkan pembicaraan mengenai transformasi diskrit.
6.1. Sinyal-sinyal vfaktu diskrit
Pemrosesan suatu sinyal digital dalam sistem
diskrit dinyatakan sebagai deretan data yang menyatakan besarnya amplitudo. Secara matematis deretan data ini dapat dinyatakan sebagai : ' .
X : ( x(n) }, -00 < n < CO ................... (2-41)
di mana x(n) merupakan deretan data-data dari x untuk suatu harga n dari -co sampai <». Gambar 2-20 menunj'ukkan
suatu deretan sinyal digital secara grafik.
Gambar 2-21 menunjukkan beberapa sinyal diskrit yang menjadi dasar pemrosesan sinyal. Sinyal diskrit yang pertama adaleili fungsi unit sample d(n) (= fungsi Dirac), yang hanya mempunyai harga pada n=0, yaitu :
a ( n ) =— 0 untuk n / 0
............ (2-42)- I untuk n = 0
Secara real fungsi ini tidak ada, karena tidak ada impulse dalam sinyal.
Sinyal diskrit yang kedua adalah unit step U(n) yang mempunyai harga :
1 . untuk . n > 0.............. (2-43)
— 0 untuk n < 0
X =• {x (/ t )) , — CO < /I < 00
GAHBAR 2-20^6)
BENTUK SINYAL DISKRIT
Unil tompit
Unit ticp
SingtoMol
. 1 ! t l• • •
1 o r1
GAHBAR 2 - 2 1 ^ 9 )
BENTUK S I N Y A L D I G I T A L YANG UHUH D ITEM UK AN
U Oppenhcin, R.V Schafer, ’D)*i(aJ Siinil Frocessin/', Prenllce Hall Inc, Bmlttood Cliff, He» JerscT, 19T5, hal 6.
i 9 ) ibid, bai T.
Sedangkan sinyal yang terakhir adalah sinusoida, yang
mempunyai harga ;
x(n) - sin(an-vb) -co < n < co ........... (S-44)Dapat dikatakan baliwa suatu sistem diskrit bekerja
dengan mengolah data berupa data digital dan
menghasilkan output (keluaran) berupa sinyal digital
pula. Dal am hubungan input dan output secara umum suatu
sistem diskrif dapat digambarkan melalui persamaan ;
^n " ^ ^n-m ......................... <2-45)m : -0 0
di mana (x^) dan (7^1 adalah input dan output sedangkan (hnJ adalah respo.ns impulse s-istem.
/6.2. Fengubahan Transformasi Fourier menjadi diskrit
Bagian ini akan membicarakan bentuk lain pernyataan Fourier, yaitu Transformasi Fourier Diskrit (Discrete Fourier Transform/DFT). Transformasi Fourier diskrit ini didasarkan pada sejumlah urut-urutan data yang tertentu/ terbatas, dimana masing-masing data mewakili amplitude yang dipisahkan oleh Jarak tertentu (Jarak sample). Yang paling penting di sini adalah bagaimana mengubah transformasi Fourier supaya dapai diproses oleh komputer.
Cara mengubah suatu fungsi h(t) yang mempunyai transformasi Fourier H(f) agar dapat diproses oleh komputer ditunjukkan pada gambar 2-22. Untuk hal ini fungsi h(t) harus disampel dengan interval T <gambar 2-
22 b). Dengan menggunakan teori konvolusi maka fungsi
h(t) yang tersampel h(t) Ao(t) dan transformasinya
ditunjukkan pada gambar 2-22 c. Gambar ini menunjukkan
jika suatu fungsi mempunyai lebar band yang tidak
terbatas, maka akan keliilangan sebagian dari sinyal.
Prinsip ini berhubungan dengan teorema sampling, yaitu :
T = 1/(2 fc) ............. ................... (2-46)
atau
T < 1/(2 fc) ................................. (2-47)
supaya tidak terjadi aliasing. Sedangkan untuk T = 1/(2 fc) disebut sebagai Niquist Sampling rate.
Permasalahan yang pokok dalam bagian ini adalali
bagaimana menyatakan suatu sinyal yang kontinyu supaya
bisa diproses secara digital. Pada gambar £-22 c terlihat babwa sinyal tersebut masih tidaK bisa diproses, karena Jumlali samplenya masih tak terbingga. Karena itu fungsi diskrit harus dipotong supaya mempunyai jumlah sample yang terbatas sebanyak N. Fungsi yang memotong tersebut adalali suatu gelombang persegi
tunggal. Dengan menggunakan konvolusi basilnya terliliat seperti ditunjukkan oleh gambar 2-22 g.
Hasil terakhir ini sudabi bisa diproses oleh
komputer, karena kedua data sudali berupa data digital.
Kalau diperhatikan kedua fungsi asal didekati sebanyak N
sampl.0 , aodnvigUnn ha?«il tranajl'ormaslnya Juga mempunyai
sample sebanyak N Juga. Jadi dapat disimpulkan bahwa
penyampelan dalam domain waktu mengbasilkan fungsi pe-
riodik dalam domain frekuensi, sedangkan penyampelan
.,1.1
-nv-
h(t). _(»
—nv- (
\■111
'' ,
■\ ‘
oMl
h |tU ,(tU lil
* lit)
^ ‘
I V r r r r r - .-O
1*11)1
JL\ h
I .
i i i i i
t|M |i|.A ^ (t|.X illlA ,ln |^
l i o i l-N— 1 t
QAMBAR 2^2220)
PROSES MENDAPATKAN TRANSFORMASI FOURIER DISKRITSECARA GRAFIS
2 0 ) .0 Brighan, op,cil.,hal 92.
dalam domain frekuensi menghasilkan fungsi periodik dt domain waktu.
Secara matematis diskritisasi fungsi h(t) dari*
fungsi sample Ao(t) dengan jarak sample T dapat
dinyatakan seperti yang ditunjukkan pada gambar 2-22 a;00
h(t) Ao(t) : h(t) E d(t-kT)k= -00
00
= E h(kT) a(t-kT) ............. (2-48)k= -00 0
Hasil perkalian ini ditunjukkan pada gambar 2-22 c. Kemudian fungsi yang tersample dipotong dengan gelombang persegi tunggal pada gambar 2-22 d.
x(t) = 1. -T/2 < t 5 To-T/2 : 0, untuk yang lain.
To : lebar fungsi pemotong. Jadi hasil perpotongannya ;
00
E h(kT) d(t-KT) •- k : -00
r N-1E h(kT) d(t-kT)
L k-0x(t)
(2-49)
(2-50)
N = jumlali impulse = To/T
Langkah yang terahir adalah mengubah hasil tranformasi menjadi transformasi Fourier diskrit dengan menyampel dengan fungi A ^ d ) ;
0 3
(t) = To E e (t-i«To) r : -00
(2-51)
sehingga didapatkan hasil terakhir •.
r N-1E h(KT)d(t-KT)
I- K = 0
N-1
00
TO E a(t-rT)r : - 0 3
= . . . . + To C h(kT) a(t+To-KT) k-0N-1
+ To E h<RT) a(t-kT) k - 0
N-1+ To E h(kT) a(t-To-kT) +
k=0
atau secara singkat dapat ditulisKan
_h(t) 1 To E
r ; -CO
r N-iE h(kT) ,a(t-kT-rTo)
- R :0
(2-52)
(2-53)
Hasil persamaan (2-53) menunjukkan bahwa fungsi h(t)
merupakan fungsi periodik dengan periode To dan banyak
sample N. Dari persamaan (2-38) dan (2-40) maka transformasi Fourier dari fungsi yang tersample dapat dinyatakan sebagai berikut ;
_ n COH(-— ) = E Cn a(f-nfo)
To n=-oo(2-54)
dimana ;
ToTo-T/2
n Toh(t) e-J2Tifont ........ .. (2-55)
-T/2n r 0 , 1 1 , 1 2
dengan substitusi persamaan (2-53) dan (2-55) maka ;
■ To-T/2i
n To
CO r N-1To E
r:-<X) ■- k:0,E h(kT) a(t-kT-rTo) e-j2Tinfot
-T/2
■antuK satu periode maka ;
To-T/2
nN-1■ E h(kT) d(t-kT) te“J2TTnfotk : 0
-T/2To-T/2
N-1 E h(kT)
k:0
N-1
d (t-kT) e“J2T»nfot
-T/2
E h(kT) e"J2TinkfoT ............. (2-56)K--0
karena To=NT maka ;
N-1= 2 h(KT) e-j2Tikn/N
k-0(2-57)
sehingga transformasi Fouriernya dari persam'aan (2-53);
r nH
00 N-1E E h(kT) e-J2TTkn/N
n = - o o k:0(2-58)
karena. fungsi H(n/NT) periodik maka transformasi Fouriernya dapat dinyatakan sebagai ;
nH
N-1E h(KT) e“J2itKn/N
k rO(2-59)
untuk n = 0 , l , 2 , . . . N-lPersamaan 2-59 merupakan transformasi Fourier diskrit,
Untuk mendapatkan fungsi asal dari transformasi Fourier
dapat dicari dengan persamaan :
1 N-1 r n nh(kT) : --- E H
N n:0;-j£TTkn/N ...... (E-60)
L NT -J
dimana harga
k : 0, 1, 2 . . . N-i
Jadi vintuk mendapatkan hubungan agar kedua transformasi
ekivaien dari penurunan rumus di atas diperlukan syarat-
syarat sebagai berikut ;
- Fungsl h(t) harus periodik
- Fungsi h(t) harvis band-1 imited, artinya harganya barus terbatas ' ^
- Kecepatan penyampelan harus dua kali lebih besar dari komponen frekuensi yang paling besar dari h(t), supaya tidak terjadi aliasing.
- Fungsi pemotong x(t) harus tidak nol untuk satu periode.
6.3. Sifat-sifat Transformasi Fourier Diskrit
Pada bagian ini akan ditinjau sifat-sifat DFT (Discrete Fourier Transform) untuk suatu rentetan periodik dengan perioda N, tetapi- sifat-sifat ini Juga berlaku untuk rentetan terbatas K, dengan syarat babvfa rentetan itu merupakan bagian dari rentetan periodik yang terletak dal am interval O _< n ^ N-i, dan mempunyai harga nol di luar interval.
Beberapa sifat transformasi Fourier diskrit adalah:1. Linearitas
UnttLk mempermudali penulisan maKa KT diganti dengan
k dan n/NT diganti dengan n. Jika x(k) dan y(k) masing- masing mempviAyai transformasi Fourier X(n) dan Y(n) maka
x(k) + y(k) < = > X(n) + Y(n) ................. (2-61)
2. Simetrisitas
Jika h(k) dan H(n) adalah pasangan transformasi Fourier maka ;
1--- H(k) < = > h(-n) ......................... (2-62)N
3. Pergeseran waktuJika h(k) digeser sejauh i'maka :h(k-l) <:> H ( n ) e-J2Tini/N ................................................... (2-63)
4. Pergeseran freku.ensi
Jika H(n) digeser sejauh i maka transformasi Fourier baliknya dikalikan dengan eJ2ttik/N .
h(k) eJ2nik/H <=> H(n-i) .................. (2-64)
5. Konyugasi KompleksJika [x(k)l : tx(0), x(i), ... x(N-l)] adalali
rentetan harga real, seliingga N/2 adalali integer dan x(k) <:> X(n)
maka
X(N/2 + l) : X(H/2-l) ............... ........ (2-65)
dimana •.1 = 0, i,2, . . . . K/2X(n) = konyugasi kompleks dari X(n)
Rumus ini perlu diturunkan karena akan dipergunakan dal am proseft transformasi Fourier cepat (FFT).
1 N-lX(n) = -- E x(k) ....................... (2-66)
N k = 0
1 N-iX(N/2 + l) : --- E x(k) w(N/2 + l)k
N k ; 0
-- E x(k) w-(N/a-l)k v/KNN k:0
H •= X(N/2-l) ............................... (2-67)
dimana :W : e“j2n/H^ sehingga = I.
7. TRANSFORHASI FOURIER CEPAT (FFT)
Transformasi Fourier diskrit dapat diselesaikan secara tepat dengan menggunakan Transformasi Fourier
Cepat (Fast Fourier Transform/FFT). FFT yang ditemxikan oleh Cooley dan Tuckey menyebabkan penyelesaian transformasi diskrit menjadi lebih sederhana terutama dalam efisiensi waktu.. Ide penggunaan FFT ini adalah
memecahkan satu rentetan yang panjangnya N menjadi dua
rentetan yang lebih pendek. Dengan menggunakan FFT maka operasi matematik yang harus dilakukan dalam memroses transformasi Fourier diskrit maupun kebalikannya dapat dikurangi, dengan demikian dapat mengurangi waktu proses.
Dari persamaan (2-59) dan (2-60), keduanya merupakan pasangan transformasi Fourier diskrit:
n N-1X(---- ) : E x(kT) Q-JennK/H
NT k=o ■< :>
1 N-1 nx(kT) : --- -E X(------ ) eJSnnk/H ....... (2-68)
N n=o NT
atau dengan menggunakan sifat linieritas maka
n 1 N-1X(---- ) = --- E x(kT) e"J2Tink/N
NT N k=o
< :>
N-1 nx(kT) : E X(---- ) eJ2nnk/N .......... . ( 2-69)
n:o NT
Dari persamaan (2-69) terlihat balivra pasangan transformas i Fourier dapat dikalikan dengan suatu konstanta. Jika n/NT diganti n dan kT diganti k maka :
1 N-1X(n) = --- E x(k)
N k=o ,«< = >
N-1x(k) : E X(n) ............. . (2-70)
n= o
dimana n dan k = 0, 1, 2......N-1
Persamaan (2-69) dan (2-70) menjadl dasar bagi pe- nyelesalan transformasi Fourier cepat (FFT). Persamaan standard yang akan digunakan dalam pembeihasan ini a d a l ^ persamaan (2-70). Namun untuk mempermudah pembahasan
akan digunakan persamaan (2-68) supaya tidak terikat dengan konstanta i/N.
Algoritma FFT mempersyaratkan bahwa jvimlali atau
panjang rentetan x(n) ( = N ), harus merupakan
perpangkatan 2, yaitu N = 2 '’’ dimana t adalah . bilangan
bulat.
Jika N : 4, maka dari persamaan (2-70) dapat dituliskan
X ( 0 ) : X ( 0 ) W 0 + X ( 1 ) W 0 + x ( 2 ) W< > + X ( 3 ) W 0
X ( l ) = x ( 0 ) w O + x ( l ) W i + x ( 2 ) w 2 + x (3)w 3X(2) = x(0)wO + X ( 1 ) W 2 + x(2)W^ + x(3)W®X ( 3 ) = X ( 0 ) W 0 + x ( i ) w 3 + x ( 2 ) W 6 + x ( 3 ) w 9
..(2-71)
dal am bentuk matriks dapat dituliskan :
X(0) yO \f(0 X(0)X(l) yO v/1 v/2 y3 X(l)X(2) wO w2 W6 X(2)X(3) yO v3 w® W9 x(3)
..(2-72)
secara singkat matriks di atas dapat ditulis :
X(n) = x(k) .............................. (2-73)
Terlihat dari persamaan (2-71) dan (2-72) bahwa karena x(k) dan W bisa berharga kompleks maka jumlah perkalian kompleks yang dibutuiikan sebanyak dan jumlahpenambahan kompleks sebanyak N (N-1). Cara ini kurang praktis, karena itu untuk mengurangi proses matematik yang panjang digunakan FFT.
Untuk penggunaan algoritma FFT maka ambil jumlah
sample x(k) menurut hubungan N=2’’’, dimana t adalah
bilangan bulat. Untuk N = 4 = 2'’’ = maka persamaan(2-72) dapat dituliskan sebagai berikut :
X(0)
X(l)
X(2)
X(3)
1 1 1 1
1 Wl W2
1 V/2 wO W2
1 W3 w2
X ( 0 )
x ( l )
X ( 2 )
X ( 3 )
(£-74)
Penurunan persamaan (2-74) di atas dilakxikan dengan
menggunakan hubungan dimana [nk mod N]adalah sisa pembagian nk dengan*K, sebagai contoh jika
N-4, n=2, dan k=3 maka :
W6 - v2m
karena(2-75)
ynk - - exp r -J2ti • ■ (— -----) 6
exp t -J3it 1
exp [ -JTT 3 =
y2 ; mod N
r -J2tI(-------) 2
L , 4(2-76)
Kemudian dengan memfaktorkan matriks persamaan (2-74) :
x(0) x(l) x(2) x(3)
(2-77)
X ( 0 ) 1 wO 0 0 1 0 y O 0
X ( i ) 1 W2 0 0 0 1 • 0 y O
X ( 2 ) 0 0 i i 0 W2 0
X ( 3 ) 0 0 1 W3 0 1 0 W2
di sini terlihat bahwa baris kedua dan ketiga saling
ditukar, sehingga vektor kolom X(n) ditulis dalam bentuk 1ain adalah :
X(0)
X(l)
X(2)X(3)
kemudian
IX(n) ( 2 - 7 8 )
X1
( 0 ) 1 0 y O 0
X1
( i ) 0 1 0 wO
X1
( 2 ) 1 0 y 2 0
X . i
( 3 ) 0 i 0 W2
X(0)x(l)
X(2)
X(3)
(E-79)
dari persamaan (2-79) (0) diselesaikan denganperkalian dan penjumlahan kompleks hanya satu kali yaitu;
XI (0).*= x(0) + wO x(2) ..................... (2-60)
Elemen x^(l) juga mempunyai keadaan yang satna, sedangkan xj^CS) hanya mempunyai satu penjumlali kompleks karena
: -w2 sehingga :
Xi (2) : x(0) + W2 x(2) : x(0) - x(2) (2-81)
dimana x(2) telah diliitung pada persamaan (2-60),demikian pxila untiik xi(3).Selanjutnya penyelesaian lengkap persamaan ;
X(0) X (0) 2 1 yO 0 0 (0)X(l) X (1) 2 1 0 0 x^ (i)X(2) X (2) 2 0 0 1 X^ (2)X(3) x^(3)
. 20 0 i W3 x^ (3)
(2-82)
bentuk X 2 (0 ) hanya memerlukan perkalian dan penjumlahan satu Kali.
X2(0) : Xi(0) + W0 x i( l) ....... .......... (2-63)
Elemen x g {1) hanya memerlukan satu penjumlahan Kompleks{
karena -W^, demikian pula untuk yang
memerlukan perkalian dan penjumlalian satu kali dan X2(3)
yang memerlukan satu penjumlahan.
Terlihat bahwa penyelesaian persamaan (2-77) dari pembahasan di atas hanya memerlukan empat perkalian
kompleks dan delapan penjumlahan kompleks, jika dibandingkan dengan persamaan (2-74) yang memerl\ikan enam be las perkalian kompleks dan dua belas penjumlahan kompleks. Jelaslah bahwa dengan demikian vfaktu prosesnya akan berkurang.
Dengan menggunakan FFT maka untuk N ; S’’’, N X Nmatriks dipecahkan menjadi matriks sebanyak t masing-masing (N X N) sehingga jumlah perkalian kompleksdikurangi menjadi N t/2 perkalian dan N t penjumlahankompleks, Dengan demikian waktu proses FFT sebandingdengan : ' '
n2 2N ----- : ....... ............. . (2-84)N t /2
Gambar (2-23) dan (2-24) menunjukkan hubungan banyaknya
perkalian kompleks dan jumlciln waktu terhadap banyaknya
data (N), apabi1 a menggunakan FFT.
N (r»wmb<i •( umpU
GAMBAR 2-2321)GRAFIK PERBANDINGAN BANYAKNYA PERKALIAN KOMPLEKS
ANTARA PERHITUNGAN SECARA LANGSUNG DAN FFT
Langkah teraKhir adalah mendapatkan X(n) dari X(n), dengan menggunakan teknik pertukaran (unscrambling), yaitu :
X(0) X(00)X(2) X(iO)X(l) X(01)X(3) X(il)
(2-65)
bila urutan bit persamaan (2-85) dibalik, maka
X (00) ' X(00)X(10) . X(01)
dibalikX(01) urutan X(10)
bitX(ll) X (11)
-- X(n)
QAHBAR 2-2422)
GRAFIK PERBANDINGAN BANYAKNYA WAKTU YANG DIPERLUKAN ANTARA PERHITUNGAN SECARA LANGSUNG DAN PFT
sehingga :
X(n)
X (00) X(0)X(01) X(l)X(10) X(2)X ( 11 ) X(3)
(2-66)
22) AXhKdl.R, \t30,‘Orlbogoiiil Transforas fo r B ig iW Signal Processing', Springer Verlag Berlin, Heidelberg, 1975,
6. DIAGRAM ALIR (SIGNAL FLOW GRAPH)
Hetode termudali untuK men j e 1 askan penggunaan
matriks FFT adalah dengan menggunakan diagram alir
(signal flow graph). Untuk jumlah data maka t
menyatakan jximlcih array atau iterasi yang harus
dilakukan. Dari persamaan (2-77) dan (2-79) maka diagram alir dapat dinyatakan seperti pada gambar (2-25) untuk N=4.
COMPUTATION A R R A Y SA fO iti A m y AM«y 1 A n iy 2KqIU .,IU ' ■ KjtH
GAMBAR 2-25^3)
DIAGRAM ALIR FFT UNTUK N = 4
Dari gambar 2-25 di atas dapat dilihat bahwa setiap node dimasuki oleh 2 lintasan (path) dari node sebelumnya dimana masing-masing lintasan mempunyai besaran WP. Apabila tidak ada maka WP = i, Hetode ini sangat memudahkan untuk faktorisasi matriks untuk jumlaih data yang besar. Sebagai contoh :
xi (2) : x(0) + W2 x(2) .................... (2-87)
Gambar 2-26 menunj\ikkan diagram alir. untuk Ntl6,
2 B.0 Brighan, op.cii. ,hal 153
d a t aAfinAV
. COMCUfAtlON ARRAYS
/■I I ' } /• 3 J-« ■
GAMBAR 2-262^)
DIAGRAM ALIR FFT UNTUK N DAN PASANGAN NODE
sehingga ■ jvimlah iterasinya menjadi empat kali. Jika diperhatikan, pada sqtiap array terdapat pasangan node yang sama yaitu mempunyai lintasan input yang sama dari node sebelumnya. Sebagai contoh (0) dan (6)mempunyai lintasan yang sama dari node x(0) dan x(8).
Penyelesaian \mtuk kedua pasangan node tidak bergantung
satu dengan yang lain sehingga dapat diselesaikan secara
in-place (in-place computation), artinyahasil perkalian
atau penjumlahan dimasukkan pada lokasi itu sendiri.
Akibatnya jumlah array untuk x(k) sama dengan banyaknya
data N, sehingga tidak diperlukan array tambahan.
Langkah berikutnya adalah menemukan Jat .ak spasi
antara pasangan node (dual.node spacing). Dari gambar 2-
26, array pertama (iterasi pertama, L=i) x ^ (0) dan X j (6) dipisahkan sejavih k = 6 = N/2^. Demikian pula untuk yang
lain, x^(l) dan Xi(9) dipisahkan sejauh k=8.
Pada iterasi yang kedua (L=2) maka jarak spasi k = N/£2 = /i-. Sal ah satu pasangan node untuk iterasi kedua adalah X2(0) dan X2(4^). Demikian pula untuk iterasi selanjutnya, dapat dirumuskan secara umum :
k : N /2 l- ................................................................................ ( 2 - 8 6 )
L i iterasi ke i, ( i = 1,2,3 .... J
Dengan demikian pasangan suatu node dapat ditentuKan secara mvidaih, yaitu ;
Xi (k) ---- ^ ► xj (k+N/2L) ........... (2-89)
9. KONVERSI DATA
, Besaran-besaran yang banyaK dijumpat dal am
kenyataan, umumnya berupa besaran analog. UntuK
melaK-akan pemrosesan secara eleKtronik terhadap data
analog yang bukan llstrik elektronik, perlu dilakukan
pengubahan atau konversi besaran ke bentuk listrik
berupa tegangan atau arus. Hasil konversi besaran tersebut dapat berupa tegangan dalam bentuk yang
bermacam-macam, mungkin hanya berupa tegangan DC, sinusoida, termodulasi atau bentuk lain yang tidak teratur.
Pada umvimnya sering dilakukan pemrosesan awal yajig jviga merupakan bagian dari pemrosesan sinyal yang sudah berbentuk listriK tersebut. Pemrosesan awal tersebut dapat berupa penguatan, pelemalian, linierisasi,
kombinasi, demodulasi, filterisasi, proses sampling atau pengubahan ke bentuk digit'al dan lain-lain.
Dalam proses pemb.entukan data digital dari bentuk data analog, akan didapatkan besaran digital yang berupa sederetan keadaan yang dinyatakan dengan logika '0' dan
M'. Sebagai misal suatu besaran analog yang diubah ke
bentuk digital menghasilkan besaran digital iiOOllOi. Untuk mengetahui nilai data digital tersebut mewaki1i besaran analog berapa, diperlukan informasi mengenai pengkodean dan penyekalaan yang dipakai.
Kode yang banyak dipakai adalah kode binary. Dari contoh di atas, angka 11001101 dapat bernilai 2 macam,
yaitu :
iiOOllOl : + 2^ + 23 + 22 + 2 0 = 205
ataullOOliOi : 2“ + 2-2 + 2-5 + 2-^ + 2~® = 0.80078125
Angka ini mewakili besaran analog iertentu. setelah
dikalikan dengan faktor skala yang didapat dengan <1
melakukan peneraan tegangan yang standard. Bentuk pengkodean yang lain adalah kode BCD atau kode Gray.
9. 1. Analog to Digital Converter
Dal am tugas akhir ini penggunAan Analog to Digital Converter merupakan- hal yang ' paling penting, karena pemrosesan data dalam bentuk digital seringkali dirasakan lebih mudah dibandingkan dengan data dalam bentuk analog. Sinyal-sinyal digital secara ideal digambarkan oleh bentuk gelombang yang terjadi akibat perubahan antara dua harga tertentu. Sedangkan sinyal-
sinyal yang selalu mempunyai harga tertentu dalam suatu interval yang kontinyu disebut sinyal analog. Dalam
proses pengubahan sinyal analog ke bentuk digital tercakup empat proses yang berurutan yaitu sampling, holding, quantizing, dan encoding. Proses-proses ini tidaklah harus mer\ipakan suatu proses yang terpisah. Sampling dan Holding dikerjakan secara bersamaan dalam
rangkaian yang disebut S/H circuit (Sample and Hold
Circuit), quantizing dan encoding dikerjakan oleh
rangkaian yang disebut Analog to Digital Converter.
9.2. Rangkaian Dasar ADC (Analog to Digital Converter)
. ADC (Analog to Digital Converter) adalah rangkaian
yang dapat mengubah besaran analog menjadi bentuk digital. Tujuan pengubalian ini adalaJti supaya besaran yang
sudali diubah dalam bentuk digital dapat diproses- secara
digital, misalnya dengan komputer digital. Ada beberapa
macam rangkaian dasar ADC, antara lain adalah. ;
1. Successive Approximation (SAR) ADC
Jenis ADC . ini banyak dipakai terutama jika dihubungkan dengan komputer karena.. kelebihanhya dalam hal kecepatan konversi yang tinggi dan dapat dibuat
dengan jumlah bit yang banyak/resolusi tinggi.- Ciri lain dari ADC tersebut yang dipandang menguntungkan adalah kecepatan konversinya yang tidak bergantung pada besarnya tegangan inpvit yang akan dikonversi. Dengan kata lain waktu konversinya konstan. ADC jenis ini dibentuk dari beberapa komponen yaitu DAC, komparator dan beberapa register serta rangkaian kontrol. Diagram blok ADC tersebut dapat dilihat pada gambar 2-27.
ANAIOOINrUT SICNAU COMPAHA.TOH
ANALOGACFCACNCC
D/A COlCYCnTCW
g^°T7aV7 n r i T > t m t jSH ifT n e c is t if t .*TART
OCONVERSION
STATUSCONTRCK LOGIC ,A M O
O U TrirTKEO ISTEW i J- *— — lEW IA L OITTPUT
ts u s t i .
(c l o c k CLOCK OUTPUT
GAHBAR 2-2725)
DIAGRAM BLOK SUCCESSIVE APPROXIMATION ADC
2 5 ) Daniel H. SheinEold, ’A n s lo i-d lg iiil Ccnrersion noles', (Analog Detice, Inc.,19T1), hal 95
TekniK konversi yang dipakai adalah dengan
melak-ukan pembandingan antara tegangan input yang tidak
diketahvii dengan tegangan output yang dihasilkan oleh DAC. Input digital DAC diatur oleh shift register dan
rangkaian logika untuk konversi, sedangkan hasil
konversi dapat diambil dari register output.
Pemberian sinyal input 'start conversion'
menandakan dimulainya proses konversi. Sinyal start
tersebut mengakibatkan input DAC akan dibuat sedemikian rupa sehingga MSB = "1" dan bit yang lain berharga "0". Output DAC yang terjadi (1/2 Full Scale) dlbandingkan dengan input analog yang akan dikbnversi. Dari ouput komparator dapat diketahui mana yang lebih besar. Bila
tegangan output DAC lebih besar maka bit MSB tetap "1" (tidak berubah) sedangkan bila output DAC lebih kecil maka MSB diubah menjadi "0". Kemudian bit berikutnya (1 bit lebih rendah dari MSB) dibuat = "1" dengan keadaan MSB tetap seperti setelah proses pembandingan ‘pertama kali.
Dari keadaan input digital ini akan dihasilkan output analog yang juga akan dlbandingkan lagi dengan tegangan input untuk menentukan apakah keadaan bit kedua
akan diubah atau tidak. Proses di atas berlangsung terus
sampai LSB, sehingga diperoleh output digital dari input DAC yang terakhir. Proses pergeseran bit dari MSB sampai LSB dilakukan oleh shift register yang waktunya diatur oleh pulsa clock. Jadi untuk ADC 8 bit memerlukan waktu konversi 8 pulsa clock.
Jika proses konversi telali selesai, maka output
status bit akan mengeluarkan sinyal "End of Conversion"
(EOC) yang menyatakan balnwa output digital ADC dapat diambil sebagai besaran digital yang mewakili input analog yang dikonversi.
2. Parale1/FI ash ADC
Bila dikehendaki waktu konversi yang sangat cepat,
jenis ADC yang paling tepat adalah paralel atau flash
ADC yang diper1ihatkan pada gambar 2-28 di bawah ini.ADC tersebvit dibentuk dari buah komparator bila
t
dikehendaki ADC n bit.
oCOMPAHATOKS
>
- = 1>
■ = 0
E Nc • 6 D E R
GAHBAR 2-28
PARALEL/FLASH ADC 3 BIT
Cara kerja ADC tipe paralel/f1 ash ADC ini dapat
dijelaskan sebagai berikut ;
Input tegangan analog yang akan diubah ke digital
dipakai sebagai input semua komparator, sedangkan input
yang lain dari semua komparator mendapatkan , tegangan
dari tegangan referensi yang dibagi-bagi oleli sederetan
resistor. Output dari semua komparator kemudian
dikodekan oleh rangkaian logika "encoder” untuk
mendapatkan output digital yang sesuai dengan kode yang dkehendaki.
Dengan demikian Jelaslah bSihwa waktu konversi akan sangat cepat karena hanya ditentukan oleh waktu switching dari komparator dan waktu delay dari rangkaian
logika. Tetapi kerugiannya adalah terletak pada banyaknya komparator yang dibutuhkan. Untuk mengurangi jumlah komparator dengan sedikit mengorbankan kecepatan konversi, dipakai cara gabungan antara Successive Approximation ADC dan Plash ADC yang biasa disebut dengan "SEHI-FLASH ADC". ADC jenis inilah yang dipergunakan dal am tugas akhir ini. Dal am ADC tipe ini terdapat komparator dan DAC.
3. Jenis ADC yang lain.
Masih ada beberapa jenis ADC yang lain seperti single dan dual slope ADC yang menggunakan integrator
dan counter untuk mendapatkan besaran digital dan tracking ADC yang menggunakan DAC dan counter. Kedua
tipe ADC ini juga banyak dipakai untuk pembuatan alat
\ikur digital, namun karena Kecepatannya yang kurang,
maka tidak dipakai untuk pemroses sinyal digital atau
paa kontrol digital yang memerlukan waktu proses yang
cepat.