LOGARITHM

Logaritma (atau yang biasa disingkat dengan “log”), pertama kali ditemukan oleh John

Napier, seorang warga Skotlandia. Pada awalnya logaritma yang dia temukan berbeda dengan

logaritma yang dikenal saat ini. Logaritma yang dikenal sekarang ini ditemukan pada tahun

1617 yang merupakan gabungan konsep antara logaritma Napier dan Henry Briggs.

Napier lahir di puri Merchiston, dekat Edinburgh, Skotlandia. Ayahnya bernama Sir

Archibald Napier dan ibunya bernama Janet Bothwell. Ketika umur 14 tahun, Napier dikirim

ke Universitas St. Andrews untuk belajar theologi. Setelah berkelana ke mancanegara, Napier

pulang ke kampung halaman pada tahun 1571 dan menikah dengan Elizabeth Stirling serta

mempunyai dua orang anak. Tahun 1579, istrinya meninggal dan Napier pun menikah lagi

dengan Agnes Chisholm. Perkawinan yang kedua ini memberinya sepuluh orang anak. Pada

tahun 1608, Sir Archibald meninggal dunia dan Napier menggantikannya untuk tinggal di

puri Merchiston sepanjang hayatnya.

Meskipun Napier memberi sumbangsih besar dalam bidang matematika, tetapi minat

terbesar Napier justru bidang agama. Dia seorang pemeluk Protestan kuat yang menuliskan

pandangannya dalam buku Penjelasan tentang penemuan dari kebangkitan Santo Johanes (A

Plaine Discovery of the whole Revelation of Saint John) pada tahun 1593, yang dengan sengit

menyerang gereja Katholik dan mencerca Raja Skotlandia, James VI (kelak menjadi James I,

raja Inggis) dengan menyebutnya seorang atheis.

Bidang lain yang menjadi minat Napier, seorang tuan tanah, adalah mengelola tanah

pertanian. Untuk meningkatkan kesuburan tanah, Napier mencoba memberi pupuk berupa

garam. Tahun 1579, Napier menemukan pompa hidraulik untuk menaikkan air dari dalam

sumur. Dalam bidang militer, Napier berencana membuat cermin raksasa guna melindungi

Inggris dari serbuan angkatan laut Raja Philip II dari Spanyol. Kedua penemuan Napier ini

tidak berbeda dengan penemuan Archimedes.

Sejatinya, Napier bukanlah matematikawan profesional. Dia adalah seorang Baron yang

memiliki banyak tanah namun juga mempunyai hobi menulis berbagai topik yang menarik

hatinya. Dalam matematika, dia hanya tertarik meneliti tentang perhitungan dan trigonometri.

Istilah “kerangka Napier” (Napier’s frame) menunjuk kepada tabel-tabel perkalian dan

“Analogi Napier” dan “Hukum bagian-bagian lingkaran Napier” adalah alat bantu untuk

mengingat dalam kaitannya dengan trigonometri lingkaran.

Napier mengatakan bahwa penelitian dan penemuannya tentang logaritma terjadi dua-

belas tahun silam sebelum dipublikasikan. Pernyataan ini menunjuk bahwa ide dasarnya

terjadi pada tahun 1594. Meskipun ditemukan oleh Napier akan tetapi ada peran

pendahulunya. Stifel menulis Arithmetica integral pada 50 tahun silam dengan pedoman

karya-karya Archimedes. Angka dengan pangkat dua adalah dasarnya, meski tidak dapat

digunakan untuk tujuan penghitungan karena ada selisih yang terlalu besar dan cara

interpolasi tidak memberikan hasil secara akurat.

Pengaruh pemikiran Dr. John Craig tidak dapat dikesampingkan, turut mempengaruhi

Napier. Pertemuan tidak sengaja terjadi ini saat rombongan Craig yang sedang dalam

perjalanan menuju Denmark dengan menggunakan kapal terjebak badai besar sehingga

membuat rombongan ini berhenti tidak jauh dari observatorium Tycho Brahe yang tidak jauh

dari tempat Napier. Sambil menunggu badai reda, mereka berdiskusi tentang cara-cara

penghitungan yang digunakan dalam observatorium. Diskusi ini membuat Napier lebih

termotivasi sehingga pada tahun 1614 diterbitkan buku “Gambaran Tentang Aturan Dalam

Logaritma” (A Description of the Marvelous Rule of Logaritms).

Awal penemuan Napier sebenarnya sangat sederhana. Menggunakan progresi

geometrik dan integral secara bersamaan, Napier mengambil sebuah bilangan tertentu yang

mendekati angka 1. Dia menggunakan 1 – 107 (atau 0,9999999) sebagai bilangan. Sekarang,

istilah progresi dari pangkat yang terus meningkat sampai akhirnya hasilnya mendekati –

sangat sedikit selisihnya. Untuk mencapai “keseimbangan” dan menghindari terjadi

(bilangan) desimal dikalikan dengan 107.

N = 107(1 – 1/107)L, dimana L adalah logaritma Napier sehingga logaritma dari 107

sama dengan nol, yaitu: 107 (1-1/107) = 0,9999999 adalah 1 dan seterusnya. Apabila

bilangan tersebut dan logaritma dibagi 107, akan ditemukan - secara virtual – sistem

logaritma sebagai basis 1/e, untuk (1-1/107)107 mendekati Lim n→∞ (1 – 1/n)n = 1/e.

Perlu diingat bahwa Napier tidak mempunyai konsep logaritma sebagai dasar, seperti

yang kita ketahui sekarang. Prinsip-prinsip kerja Napier akan lebih jelas dengan

menggunakan konsep geometri di bawah ini.

A___________________P_________B ____________________

C_______________________D__________Q_______________________E

Garis AB adalah setengah dari garis CE. Bayangkan titik P berangkat dari titik A,

berjalan menyusur garis AB dengan kecepatan semakin menurun dengan proporsi sebanding

dengan jaraknya dari titik B; pada saat bersamaan titik Q bergerak dari garis CE… dengan

kecepatan bergerak sama seperti titik P.

Napier menyebut variabel jarak CQ adalah logaritma dari jarak PB adalah definisi

geometrik Napier. Misal: PB = x dan CQ = y. Apabila AB dianggap 107, dan jika kecepatan

bergeraknya P juga 107, maka dalam notasi kalkulus modern didapat dx/dt = -x dan dy/dt =

107, xo = 107, yo = 0. Jadi dy/dx = - 107/x, atau y = -107 ln cx, dimana c adalah inisial

kondisi untuk menjadi 10-7. Hasil, y = -107 ln (x/107) atau y/107 = log 1/e(x/107).

Begitu penemuan ini dipublikasikan, antusiasme matematikawan merebak sehingga

banyak dari mereka yang berkunjung ke Edinburgh. Salah satu tamunya adalah Henry Briggs,

seorang matematikawan Inggris yang sangat tertarik memelajari logaritma untuk

diaplikasikan ke ilmu astronomi. Pada pertemuan itu, Briggs mengusulkan pada Napier

tentang modifikasi yang dia lakukan yaitu mengubah basis logaritma menjadi 1, bukan 107,

hasilnya adalah nol dan menggunakan basis 10 (desimal).

Napier yang kondisi kesehatannya sudah tidak terlalu baik mengiyakan usul tersebut

dan meminta Briggs untuk mengerjakan tabelnya. Briggs menyanggupi dan pada tahun 1617,

tersusunlah buku karangannya tentang logaritma yang berjudul Logarithmorum Chilias

Prima, di London. Buku ini terbit tepat pada tahun kematian Napier. Untuk menghormatinya,

Briggs mencantumkan nama Napier dalam kata pengantar buku ini. Berkat buku ini pula

akhirnya dikenal log 10 = 1 = 10º. Dan bentuk logaritma seperti inilah (gabungan konsep

Napier dan Briggs) yang dikenal sampai sekarang.

Napier meninggal di purinya pada tanggal 3 April 1617 dan dimakamkan di gereja St.

Cuthbert, Edinburgh. Dua tahun kemudian, 1619, terbit buku “Konstruksi dari Keindahan

Logaritma” (Construction Of The Wonderful Logarithms), yang disusun oleh Robert, anak

kedua Napier dari istri keduanya.

Pada tahun 1624, Briggs menerbitkan karyanya yang berjudul Arithmetica Logarithmica.

Dalam buku ini disajikan logaritma bilangan asli dari 1 sampai 20.000 dan 90.000 sampai 100.000

dengan 14 angka di belakang koma. Terdapat pula fungsi-fungsi Sin dengan 15 angka di belakang

koma dan fungsi-fungsi Tan serta Sec dengan 10 angka di bekalang koma. Tabel – tabel lengkap

dicetak di Gouda di Belanda. Pada tahun 1628, Vlacq menambahkan logaritma bilangan asli untuk

20.000 sampai dengan 90.000.  Sebelum meninggal Briggs, menyerahkan proyek ini ini kepada

Gellibrand yang ketika itu adalah profesor astronomi di Gresham College dan sangat tertarik dengan

aplikasi logaritma bagi trigonometri. Ketertarikan ini diungkapkan dengan menyisipkan aplikasi

logaritma untuk trigonometri bidang maupun trigonometri ruang.

Ditemukannnya konsep dasar logaritma, sebelum terus dikembangkan oleh

matematikawan lain –terutama Henry Briggs-, membawa perubahan besar dalam dunia

matematika. Johannes Kepler terbantu karena logaritma mampu meningkatkan kemampuan

hitung bagi para astronomer. “Kesaktian” logaritma ini kemudian disebut oleh Florian Cajori

sebagai salah satu dari tiga penemuan penting bagi matematika (dua lainnya adalah notasi

angka Arab dan pecahan berbasis sepuluh/desimal).

EXPONENTIAL

Penemu eksponen juga John Napier. Ketika merumuskan tentang logaritma, Napier

mampu mengutak-atiknya menjadi suatu bentuk lain (perkalian). Napier menyadari bahwa

semua bilangan dapat dinyatakan dalam apa yang sekarang disebut bentuk eksponensial.

Misal: 8 dapat ditulis sebagai 23, 16 sebagai 24 dan sebagainya.

Apa yang membuat logaritma sangat berguna adalah fakta bahwa operasi perkalian dan

pembagian yang dikurangi untuk penambahan dan pengurangan sederhana. Ketika jumlah

sangat besar dinyatakan sebagai logaritma, perkalian menjadi penambahan eksponen.

Contoh: 102 kali 105 dapat dihitung sebagai 10(2+5) atau 107. Cara perhitungan seperti ini jelas

lebih mudah daripada menghitung 100 kali 100.000.

KAITAN ANTARA LOGARITMA DAN EKSPONEN

Logaritma sebetulnya adalah bentuk lain dari pangkat. Bentuk pangkat adalah seperti

ini : 23= 8, artinya 2 x 2 x 2 = 8. Lihat, jumlah angka 2 ada 3, oleh karena itu, hal ini dapat

disingkat menjadi 23.

Dari situ kita bisa membuat rumus umum, ab= c , artinya a pangkat b sama dengan c.

Lalu kaitannya dengan logaritmaada pada bentuk perpangkatannya. Jika kita punya

rumus 23= 8, maka bentuk logaritmanya adalah 2log 8 = 3. Atau bila dibuat rumus umum

maka akan seperti ini, alog c = b

Sehingga alog c = b ab= c

Aturan umum logaritma:

1. alog (c x d) = alog c + alog d

2. alog (c : d) = alog c - alog d

3. alog cd = d x (alog c)

4. (alog b)(blog c) = alog c

5. (alog b) : (alog c) = clog b

Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks

sebagai berikut: xy. Terkadang orang menulis eksponen menggunakan tanda ^ seperti 2^3

berarti 23.

Bilangan x disebut bilangan pokok, dan bilangan y disebut eksponen. Sebagai contoh,

pada 23, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung 23 seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga 23

hasilnya adalah 2.2.2 = 8. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara

ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung

menggunakan a2. Sehingga x2 adalah persegi dari x

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung

dengan a3. Sehingga x3 adalah kubik x

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung inversi bilangan pokok.

Sehingga = . Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik

bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh: = =

Jika eksponen sama dengan hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga

= . Contoh: =

Dengan cara yang sama, jika eksponen hasilnya adalah akar ke-n, sehingga =

Jika eksponen merupakan bilangan rasional , hasilnya adalah akar ke-q bilangan

pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

=

Aturan tentang eksponen:

1. = .

2. = dengan b 0

3. =

4. = dengan a 0

5. = dengan a 0

6. =

7. = 1 dengan bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0. Jika bilangan pokok

dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

DAFTAR PUSTAKA

http://its-matematika.blogspot.com/2009/10/john-napier.html

http://mate-mati-kaku.com/matematikawan/johnNapier.html

http://kolom-biografi.blogspot.com/2009/11/biografi-john-napier-penemu-logaritma.html

http://www.mate-mati-kaku.com/matematikawan/brigg.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma

http://klikbelajar.com/pelajaran-sekolah/pelajaran-matematika/belajar-matematika-logaritma-

dan-pangkat-eksponensial/

http://id.wikipedia.org/wiki/Eksponen

http :// www.wolframscience.com/reference/notes/901d