Hierarchy di Matematika, Kemampuan Belajar, dan Masyarakat

1. Hierarchy di Matematika Sebuah tema bab sebelumnya adalah asumsi bahwa matematika memiliki tetap unik hirarki struktur. Analog dari tesis ini meliputi asumsi yangpembelajaran matematika paling terorganisir dengan cara ini, bahwa kemampuan matematika adalah terstruktur dengan cara ini, dan masyarakat yang memiliki struktur yang lebih atau kurang hierarkis tetap, mana pendidikan harus mencerminkan. Ini adalah asumsi sosial yang mendalam dan pendidikan penting, penjamin bab untuk diri mereka sendiri.

A. Apakah Matematika memiliki Struktur hirarkis Unik? Pertanyaan ini dapat dianalisis dalam dua bagian, mengenai keberadaan dan keunikan struktur hirarkis untuk matematika. Dengan demikian kita memiliki dua anak pertanyaan: apakah struktur hirarkis keseluruhan pengetahuan matematika ada? Dan jika demikian, apakah ini struktur hirarkis yang unik dan tetap? Hirarki dapat didefinisikan untuk setiap tubuh pengetahuan matematika dengan keseluruhan struktur. Apakah itu adalah struktur aksiomatik, berdasarkan aksioma dan aturan inferensi, atau struktur definisi, berdasarkan istilah primitif dan selanjutnya ditetapkan istilah, maka hirarki adalah didefinisikan, sebagai berikut. Primitif ekspresi dari hirarki (aksioma atau istilah primitif) terdiri dari level terendah (0). Setiap lainnya Ekspresi E dalam struktur dapat dicapai dalam beberapa jumlah minimum n aturanaplikasi (aturan inferensi atau definisi) dari ekspresi tingkat 0. Ini nomor n mendefinisikan tingkat E ekspresi dalam hierarchy.1 Jadi ekspresi setiap ditugaskan ke tingkat yang unik dalam hirarki. Jadi setiap tubuh matematika pengetahuan dapat diberi bentuk hirarki kanonik asalkan itu merupakan sistem matematika tunggal atau struktur, dihubungkan oleh inferensial atau definisi relationships.2 Dari jumlah tersebut, hubungan inferensial adalah yang paling tepat untuk mempertimbangkan, karena mereka mencerminkan link pembenaran antara proposisi matematika dan formula, menyediakan struktur teori aksioma deduktif. Hirarki 233 Menggunakan perbedaan antara tingkat wacana formal, informal dan sosial matematika, kita melihat bahwa untuk sebuah teori matematika yang tepat formal, hirarki dapat didefinisikan. Untuk ranah penyelidikan matematika informal, hal ini mungkin tidak mungkin. Untuk dasar aksiomatik mungkin tidak sepenuhnya ditentukan, dan logishubungan antara proposisi matematika informal yang mungkin tidak konklusif didirikan. Jadi berikut ini kita akan fokus hanya pada matematis formal teori, atau teori-teori matematika informal yang siap untuk formalisasi. Untuk jika kondisi untuk membangun hirarki tidak dapat dipenuhi.Kami sekarang siap untuk mempertimbangkan dua pertanyaan. Pertama-tama: melakukan suatu keseluruhan Struktur hirarkis pengetahuan matematika ada? Kita telah melihat bahwa untuk formalteori matematika, dengan tetap set aksioma, ada struktur hirarkis. Pilihan set aksioma, bersama-sama dengan spesifikasi aturan inferensi dan bahasa latar belakang formal, menentukan teori matematika hirarkis. Namun, matematika terdiri dari berbagai teori, banyak yang memilikibanyak aksiomatis formulasi yang berbeda. Teori himpunan aksiomatik, misalnya, memilikijumlah axiomatizations sangat berbeda seperti Zermelo-Fraenkel Teori Set dan Godel-Bernays-von Neumann Teori (Kneebone, 1963). Di luar ini, banyak matematikawan lebih bervariasi teori aksiomatis menetapkan mereka belajar dengan menambahkan lanjut aksioma (Jech, 1971; Maddy, 1984). Akibatnya, tidak ada struktur keseluruhan untuk matematika formal, karena dibuat up segudang teori yang berbeda dan formulasi teori, masing-masing dengan sendiri struktur dan hirarki. Selain itu, hampir setiap satu dari teori-teori aksiomatik tidak lengkap, menurut (1931) Teorema Godel. Jadi ada kebenaran dari teori yang tidak memiliki tempat dalam hirarki deduktif. Seperti yang kita lihat di awal bab, upaya oleh beberapa matematikawan besar abad ini membangun pengetahuan matematika dalam sistem dasar tunggal apakah logicist, formalis atau intuisionis,

semuanya gagal. Demikian hasil meta-matematika memaksa kita untuk mengakui bahwa matematika terdiri dari aneka ragam teori yang berbeda, yang ini tidak dapat direduksi menjadi sistem tunggal, dan bahwa tidak ada salah satu dari ini cukup untuk menangkap semua kebenaran bahkan dalam domain terbatas aplikasi. Oleh karena itu, pertanyaan tentang keberadaan matematika keseluruhan hirarki harus dijawab dalam negatif. Ini tidak dapat dibatalkan. Namun, dalam keadilan, kita juga harus mempertimbangkan pertanyaan yang lebih lemah. Melakukan informal yang besar dan komprehensif struktur matematika ada, bahkan jika itu gagal memenuhi kriteria ketat diperlukan untuk memberikan struktur yang jelas untuk matematika? Struktur seperti dapat ditemukan dalam Unsur Bourbaki (Kneebone, 1963). Bourbaki menyediakan akun sistematismatematika, dimulai dengan menetapkan teori, dan mengembangkan satu setelah lainutama teori murni, matematika struktural. Meskipun Bourbaki struktur tidak bisa dikatakan lengkap (dalam arti informal), untuk itu daun keluar aspek komputasi dan rekursif matematika, itu merupakan informal kodifikasi sebagian besar matematika. Apakah ini memberikan suatu afirmatifmenjawab pertanyaan melemah banyak? Jika kita mengakui bahwa hal itu, maka peringatan berikut harus diingat: Filosofi Pendidikan Matematika234 1 sebagian besar pengetahuan matematika dihilangkan; 2 sistem ini tidak secara formal cukup baik didefinisikan untuk memungkinkan hirarki tetap pengetahuan matematika untuk menghasilkan; 3 seluruh sistem tergantung pada asumsi teori klasik ditetapkan sebagai dasar matematika;4 seluruh sistem adalah budaya-terikat, mencerminkan pertengahan abad kedua puluhstrukturalisme. Jadi hanya dalam bentuk yang sangat lemah yang bisa kita menyatakan bahwa ada struktur keseluruhan ke signifikan bagian dari matematika. Pertanyaan kedua adalah sebagai berikut. Mengingat asumsi bahwa ada keseluruhan struktur pengetahuan matematika adalah suatu struktur yang unik dan tetap pada mana hirarki dapat didasarkan? Pertanyaan ini lagi memiliki dua bagian. Yang pertama berkaitan dengan keunikan struktur matematika. Yang kedua masalah tersebut definability dari hirarki yang tepat dalam hal struktur ini. Kita telah melihat bahwa keduaBagian ini tidak bisa dipertahankan. Bahkan jika struktur yang disediakan oleh Bourbaki yang mengakui menjadi unik, informal dan karena itu tidak cukup untuk definisi yang tepat darihirarki. Jadi dalam arti sempit, kita sudah dapat menyatakan bahwa tidak ada yang unikhirarki untuk matematika. Tapi mari kita beralih ke keunikan struktur matematika. Keunikan initampaknya akan bergantung pada kesepakatan mengenai dasar matematika. Bourbakimengasumsikan mengatur yayasan teoritis. Mengabaikan perbedaan antara set yang berbedateori, dapat mengatur teori dikatakan untuk memberikan yang unik, universal disepakati dasar untukmatematika? Pertanyaan ini harus dijawab dengan negatif. Kita telah melihat bahwa klaim foundationist bahwa matematika bersandar pada landasan yang unik gagal. Di setidaknya dua alternatif untuk fondasi set teori matematika ada. Pertama-tama, telah mengklaim bahwa Teori Kategori dapat memberikan landasan alternatif matematika, di tempat teori himpunan (Lawvere, 1966). Klaim ini belum sepenuhnya dibenarkan, tapi tetap merupakan tantangan untuk keunikan set teoritis yayasan. Memang, ada cabang teori kategori (teori Topos) yang logika intuitionistic baik dan klasik dapat dikurangi (Bell, 1981). Sejak set aksiomatik Teori ini dinyatakan dalam logika orde pertama klasik, dapat dikurangi dengan teori kategori. Kedua, logika intuisionis menyediakan fondasi untuk matematika. Meskipun tidak semua matematika klasik dinyatakan dalam bentuk dasar ini, banyak yang intuisionis program telah direalisasikan untuk analisis, oleh Uskup (1967) dan lain-lain. Selain itu, logika intuitionistic mengakomodasi matematika kombinatorial, tidak seperti yang settheoretic dasar matematika klasik. Jadi atas dasar kedua argumen, klaim bahwa ada struktur yang unik untuk matematika disangkal. Bahkan, sejarah matematika mengajarkan kita pelajaran

sebaliknya. Sepanjang nya matematika pengembangan perubahan melalui restrukturisasi mendasarmatematika konsep, teori dan pengetahuan (Lakatos, 1976). Jadi meskipun struktur memainkan peran sentral dalam mengorganisir pengetahuan matematika, mereka struktur beberapa yang membentuk, membubarkan dan reformasi atas berlalunya waktu. Sana tidak ada alasan untuk menganggap bahwa proses ini akan pernah berhenti, atau untuk mengasumsikan bahwateori alternatif dan formulasi ulang akan pernah habis. Pandangan demikian adalah pusatHirarki 235 ke konstruktivisme sosial, dan filsafat lainnya dari matematika yang mengakui dasar historisnya. Jadi tidak hanya itu tidak benar bahwa pada satu waktu matematika dapat dijelaskan oleh struktur hirarkis tunggal yang unik, tetapi juga lebih waktu apapun struktur hadir berubah dan berkembang. Dalam menyangkal klaim bahwa matematika memiliki struktur hirarkis yang unik, Perhatian telah dibatasi dengan logis, yang merupakan struktur deduktif matematika teori. Sebagaimana telah kita lihat hirarki dapat didefinisikan dengan cara lain, terutama, sebagai hierarki istilah dan definisi. Sementara ini tidak hampir sama signifikan dalam matematika sebagai struktur deduktif, argumen yang sama dapat dialihkan ke bidang ini. Untuk struktur deduktif teori apapun membawa dengan itu hirarki definisi, dan hampir sebagai struktur definisi sebanyak yang deduktifada. Dengan demikian tidak ada hirarki yang unik dari definisi baik. Tidak, lanjut global yanghirarki sedang digunakan dalam matematika. Dalam teori individu atau domain tertentu hirarki tentu memang ada, seperti derajat Turing (dari terasa berat) di rekursi teori (Bell dan Machover, 1977). Tapi ini tidak ada struktur cara yang bahkan signifikan fraksi pengetahuan matematika. Dengan demikian dapat ditegaskan tegas matematika yang tidak memiliki struktur hirarkis keseluruhan, dan tentu saja tidak unik satu, bahkan ketika klaim tersebut ditafsirkan murah hati dan longgar.Apakah matematika seperangkat komponen pengetahuan diskrit? Ada sebuah asumsi lebih lanjut mengenai sifat dan struktur matematika pengetahuan yang layak pemeriksaan karena impor pendidikannya. Ini adalah asumsi bahwa matematika dapat dianalisis ke dalam komponen pengetahuan diskrit, jumlah terstruktur (atau lebih tepatnya diatur) yang setia mewakili disiplin. IniAsumsi mensyaratkan bahwa proposisi matematika adalah pembawa independen arti dan makna.Membedakan antara wacana formal, informal dan sosial matematika, jelas bahwa klaim ini adalah terbaik yang dibuat untuk matematika formal. Untuk dua lainnya domain mengandaikan konteks yang berarti, seperti yang akan dikatakan di bawah ini. Karena struktur yang salah satu karakteristik pengetahuan matematika, klaim ini juga dapat beristirahat pada beralasan asumsi bahwa ada struktur yang unik untuk matematika. Ini mungkin diperlukan agar ketika diskrit 'molekul' pengetahuan digabungkan kembali, yang tetap dan ditentukan utuh (tubuh pengetahuan matematika) hasil. Kami memiliki dibuang dari asumsi kedua di atas. Namun, anggapan pra-bahwaproposisi matematika adalah pembawa independen arti dan makna juga gagal. Pertama-tama, ekspresi matematis formal berasal signifikansi mereka dari aksiomatik teori atau sistem formal di mana mereka terjadi. Tanpa konteks ini mereka kehilangan sebagian signifikansi mereka, dan struktur yang dikenakan oleh teori runtuh. Kedua, ekspresi matematika formal eksplisit berasal semantik mereka makna dari penafsiran atau interpretasi kelas dimaksudkan terkait denganteori formal yang diberikan dan bahasa. Semantik tersebut telah menjadi bagian standar darilogika formal sejak Tarski (1936). Gagasan ini telah diperpanjang untuk pengobatanFilosofi Pendidikan Matematika 236 resmi ilmiah teori oleh Sneed (1971), yang menambahkan kelas dimaksudkan penafsiran struktur formal teori. Dengan demikian pemisahan ekspresi matematika menjadi bagian-bagian terpencil dan diskrit menyangkal mereka banyak dari merekasignifikansi dan semua makna semantik mereka. Ekspresi seperti akibatnya memilikisedikit mengklaim dianggap sebagai 'molekul' komponen pengetahuan matematika. Bahkan lebih

dari atas, ekspresi wacana matematika informal yang memiliki makna implisit terkait dengan teori latar belakang dan konteks keseluruhan. Untuk aturan dan makna yang mengatur ekspresi tersebut tidak memiliki tepat resmi ketentuan, tetapi lebih bergantung pada aturan implisit penggunaan (Wittgenstein, 1953). Model semantik bahasa formal dan informal semakinmenarik pada konteks ucapan (Barwise dan Perry, 1982). Apakah dinyatakan dalam formal atau bahasa informal, ekspresi matematika tidak dapat dianggap sebagai berdiri bebas, independen pembawa makna. Dengan demikian matematika tidak dapat diwakili hanya sebagai satu set 'molekul' proposisi, untuk ini tidak mewakili struktural hubungan antara proposisi, serta kehilangan contextdependent mereka makna. B. Pendidikan Implikasi Fakta bahwa disiplin matematika tidak memiliki hirarki yang unik struktur, dan tidak dapat direpresentasikan sebagai koleksi 'molekul' proposisi, memiliki implikasi pendidikan yang signifikan. Namun, pertama hubungan antaradisiplin matematika, dan isi dari kurikulum matematika perlu dipertimbangkan. Hubungan antara matematika dan kurikulum Dua hubungan alternatif yang mungkin. (1) Kurikulum matematika harusperwakilan seleksi dari disiplin matematika, meskipun dipilih dan dirumuskan sehingga dapat diakses oleh peserta didik. (2) Kurikulum matematika adalah independen entitas, yang tidak perlu mewakili disiplin matematika. Paling teori kurikulum menolak kemungkinan kedua ini, berdebat kasus umum bahwa Kurikulum harus mencerminkan baik pengetahuan dan proses penyelidikan darisubjek disiplin (Stenhouse, 1975; Schwab, 1975, Hirst dan Peters, 1970). Suatu bentuk Kasus 2 yang amat satir oleh Benjamin (1971). Studi perubahan kurikulum telah mendokumentasikan bagaimana perkembangan matematika menimbulkan melalui tekanan yang diberikan oleh matematikawan perubahan dalam sekolah matematika kurikulum mencerminkan perkembangan (Cooper, 1985;Howson et al, 1981.). Secara umum, dalam pendidikan matematika diterima bahwa isi kurikulum harus mencerminkan sifat disiplin matematika. Penerimaan tersebut adalah baik implisit atau eksplisit, seperti dalam Thwaites (1979), Confrey (1981) dan Robitaille dan Dirks:Hirarki 237 pembangunan kurikulum matematika ... [hasil dari] beberapa Faktor yang beroperasi pada tubuh matematika untuk memilih dan merestrukturisasi konten yang dianggap paling sesuai untuk kurikulum sekolah. (Robitaille dan Dirks, 1982, halaman 3) Sebuah seminar internasional tentang masa depan pendidikan matematika eksplisit mempertimbangkan kemungkinan bahwa 'matematika nyata' tidak akan membentuk dasar dari matematika kurikulum untuk semua orang (mayoritas akan mempelajari hanya 'berguna ) matematika '. Namun, ini dibantah oleh tiga pilihan lain dipertimbangkan, termasuk pandangan yang paling diterima secara luas bahwa berbeda tapi perwakilan Kurikulum diperlukan (Howson dan Wilson, 1986). Dari lima ideologi dibedakan dalam buku ini, semua tetapi pelatih industri sangat mendukung kasus 1. Sebagai konsekuensi dari ini survei singkat, dapat dikatakan bahwa prinsip bahwa kurikulum matematika harus pilihan perwakilan daridisiplin matematika merupakan konsensus dari para ahli.Jika kurikulum matematika karena itu untuk mencerminkan disiplin matematikasetia, tidak harus mewakili matematika sebagai memiliki hirarki, yang unik tetapstruktur. Ada beberapa struktur dalam salah satu teori, dan tidak ada satu strukturatau hirarki pernah bisa dikatakan utama. Dengan demikian kurikulum matematika harusmemungkinkan untuk cara yang berbeda dari penataan pengetahuan matematika. Selain itu,matematika kurikulum tidak harus menawarkan koleksi proposisi terpisah sebagaikonstitutif matematika. Untuk komponen matematika adalah berbagaiterstruktur dan saling berkaitan, dan hal ini harus tercermin dalam matematikakurikulum.Ini implikasi pendidikan memungkinkan kita untuk mengkritik Kurikulum Nasional di

matematika atas dasar epistemologis. Untuk kurikulum matematikadirepresentasikan sebagai sebuah hirarki yang unik dari empat belas 'topik' (target pencapaian) di sepuluh tingkat (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1989). Selanjutnya, pada tingkat masing-masing, topik diwakili oleh sejumlah proposisi atau proses, dan penguasaandisiplin matematika dipahami sebagai akibat dari penguasaan tersebut berbedakomponen. Dengan demikian Kurikulum Nasional memberitahukan matematika, bertentangan dengan prinsip diterima kurikulum. Ini mewujudkan sebuah hirarki yang dibenarkan dalamhal sifat matematika, serta menggambarkan pengetahuan matematika sebagaiseperangkat fakta diskrit dan keterampilan.

Sebuah pertahanan yang mungkin adalah bahwa kurikulum matematika mungkin gagal untuk mewakili disiplin matematika untuk memenuhi tujuan psikologis, seperti untukmewakili hirarki psikologis matematika.

Filosofi Pendidikan Matematika2382. Hirarki dalam Belajar Matematika

A. The View bahwa Matematika Belajar adalah hirarkis

Hal ini sering mengklaim bahwa belajar matematika adalah hirarkis, yang berarti bahwa adaadalah barang-barang dari pengetahuan dan keterampilan yang merupakan prasyarat yang diperlukan untuk belajar dari selanjutnya item pengetahuan matematika. Pandangan tersebut diwujudkan dalam Piaget teori perkembangan intelektual. Piaget mendalilkan urutan empat tahap(Sensorimotor, pra-operasional, operasional konkret, operasional formal) yang membentukhirarki pembangunan. Pelajar harus menguasai operasi pada satu tahap sebelum diasiap untuk berpikir dan beroperasi pada tingkat berikutnya. Namun aspek hirarki kakuTeori Piaget telah dikritik (Brown dan Desforges, 1979). Memang Piaget diciptakanistilah 'decalage' untuk menggambarkan hierarki-melangkahi kompetensi.Lain psikolog yang mengusulkan bahwa belajar adalah hirarkis adalah Gagne. Diaberpendapat bahwa topik hanya dapat dipelajari ketika hierarki prasyarat telahbelajar.[A] topic (yaitu, item pengetahuan) pada tingkat tertentu dalam hirarkidapat didukung oleh satu atau lebih topik pada tingkat yang lebih rendah berikutnya ... Setiapindividu tidak akan dapat belajar topik tertentu jika ia telah gagalmencapai salah satu topik bawahan yang mendukungnya.

(Gagne, 1977, halaman 166-7)

Gagne menyatakan bahwa dalam pengujian empiris, tidak satu pun dari hierarki topik nya telah ada sebelumnyaSudah lebih dari 3 persen dari kasus sebaliknya.Jadi dua psikolog berpengaruh wakil dari perkembangan dan neobehaviouristtradisi menyatakan bahwa belajar adalah hirarkis. Selanjutnya, keduapsikolog telah membuat studi khusus matematika. Dalam matematikapendidikan, telah ada penelitian empiris yang mengaku untuk mengungkap belajar

hirarki dalam matematika. Sebuah proyek Inggris yang berpengaruh, Konsep di SekunderMatematika dan Ilmu Pengetahuan, mengusulkan sejumlah 'hierarki pemahaman' dibeberapa bidang utama matematika sekolah (Hart, 1981). Penelitian ini menawarkan hinggadelapan tingkat hirarki di setiap topik dipelajari.

Teori-teori dikutip dan pekerjaan empiris adalah pilihan kecil penelitianprihatin dengan mengidentifikasi hirarki dalam pembelajaran matematika. Seperti penelitian,mungkin ditambah dengan absolut-foundationist dilihat dari sifat matematika,telah menyebabkan kepercayaan bahwa pembelajaran matematika mengikutihirarkis urutan. Misalnya, pandangan ini diartikulasikan dalam Laporan Cockcroft.Matematika adalah pelajaran yang sulit baik untuk mengajar dan belajar. Salah satu alasanmengapa demikian adalah bahwa matematika adalah subjek yang hirarkis ... kemampuan untuklanjutkan ke pekerjaan baru sangat sering tergantung pada pemahaman yang memadaidari satu atau lebih lembar kerja, yang telah pergi sebelum.(Cockcroft, 1982, halaman 67, penekanan asli)

Pandangan hirarkis belajar matematika memiliki ekspresi tertinggi dalamHirarki239Kurikulum Nasional dalam matematika, seperti yang telah kita lihat (Departemen Pendidikan danScience, 1989). Ini adalah spesifikasi hirarkis tetap kurikulum matematikapada sepuluh tingkat, yang merupakan dasar hukum yang diperlukan untuk studi matematika dari semua anak (di sekolah negeri Inggris dan Welsh) dari usia 5 sampai 16 tahun.

B. Kritik dari View hirarkis Pembelajaran Matematika

Pandangan hirarkis belajar matematika bersandar pada dua asumsi. Pertama-tama,bahwa selama konsep pembelajaran dan keterampilan yang 'diperoleh'. Jadi sebelum beberapa tertentu pengalaman belajar peserta didik akan kekurangan konsep tertentu atau keterampilan, dan setelah pengalaman belajar yang tepat dan sukses pelajar akan memiliki, atau memilikidiperoleh, konsep atau keterampilan. Kedua, bahwa akuisisi matematikakonsep atau keterampilan tentu tergantung pada kepemilikan dipelajari sebelumnyakonsep dan keterampilan. Ini hubungan ketergantungan antara konsep dan keterampilan menyediakan struktur pada hirarki belajar. Jadi untuk belajar konsep tingkat n +1, yangpembelajar harus sudah memperoleh bagian yang tepat dari konsep-konsep tingkat n (tapibelum tentu semua tingkat itu). Akibatnya, menurut pandangan ini, matematikapengetahuan terorganisir secara unik menjadi beberapa tingkatan diskrit. Masing-masing dari keduaasumsi yang bermasalah, dan terbuka untuk kritik.

Hirarkis ketergantungan hubungan antara konsep

Salah satu asumsi adalah bahwa ada hubungan hirarkis tetap ketergantungan antarakonsep dan keterampilan, sehingga dalam hirarki yang unik dari konsep dan keterampilan. Dua utama kritik dapat menguat terhadap asumsi ini. Pertama, hal itu mengandaikan bahwakonsep atau keterampilan adalah suatu entitas yang dimiliki atau tidak dimiliki oleh seorang pelajar, ini adalah asumsi kedua, dikritik bawah. Tapi tanpa asumsi ini tidak dapat

mengklaim bahwa konsep tingkat n +1, tergantung pada kepemilikan konsep tingkatn. Untuk membuat klaim ini harus mungkin untuk mengklaim bahwa seorang pelajar determinatelymemiliki, atau belum, konsep atau tingkat n atau n +1.Kritik lebih substantif adalah bahwa keunikan hierarki belajar tidakdikonfirmasi secara teoritis maupun empiris. Resnick dan Ford (1984) menyimpulkan merekareview penelitian pada belajar hirarki dengan peringatan bahwa mereka harus digunakandengan hati-hati, dan mengutip komentar Gagne tentang 1968 sebagai sisa valid: 'belajar Ahirarki ... tidak dapat mewakili rute unik atau paling efisien untuk setiap pelajar diberikan. "(Halaman 57).

Sejumlah studi yang membandingkan efek dari instruksi berikut yang berbedaurutan konsep-konsep dari hirarki yang diusulkan (Phillips dan Kane, 1973) ataupencocokan pengetahuan peserta didik individu untuk hirarki belajar dengan cara yang berbutir halus (Denvir dan Brown, 1986) menegaskan bahwa tidak ada hirarki yang terbaik menggambarkan urutan atau struktur akuisisi pengetahuan setiap peserta didik '. Meskipun banyak penulis melaporkan efektivitas hierarki belajar untuk instruksi sequencing (Bell et al, 1983.;

Filosofi Pendidikan Matematika

240Horon dan Lynn, 1980), kenyataannya adalah bahwa strategi alternatif sama efektif seperti'Muka penyelenggara', 'pertanyaan tambahan' dan 'prinsip akhir mendalam' sengajamenggagalkan asumsi hirarkis mereka memesan (Begle, 1979; Bell et al, 1983;. Dessart,1981). Dengan demikian studi mengajar tersebut tidak memberitahu kita bagaimana pengetahuan pelajar 'terstruktur.

Pandangan umum dari para ilmuwan kognitif dan psikolog adalah bahwaorganisasi (dan sifat) pengetahuan peserta didik yang istimewa, dan bahwa hal itu tidak bisaakan dimasukkan ke sebuah struktur tetap tunggal. Oleh karena itu peserta didik 'konsep atau konseptual struktur telah disebut 'konsep alternatif' atau 'kerangka alternatif'(Easley, 1984; Gilbert dan Watts, 1983; Pfundt dan Duit, 1988). Sementara sepertiperbedaan pada skala mikro, pemahaman gagasan bahwa peserta didik 'ditopik matematika yang berbeda dapat disamakan dalam hirarki matematika secara keseluruhanjuga menolak (Ruthven, 1986, 1987;. Noss et al, 1989).

Konsep sebagai entitas yang diakuisisi .Asumsi yang tersisa menyangkut sifat konsep-konsep matematika dan keterampilan, tetapi pengobatan konsep saja sudah cukup untuk membangun argumen. Istilah 'Konsep' memiliki dua makna psikologis. Arti sempit adalah bahwa dari sebuah atribut atau sekumpulan objek. Hal ini dapat didefinisikan secara intensif, dengan cara properti mendefinisikan, atau luas, dalam hal keanggotaan dari himpunan. Sebuah konsep dalam pengertian ini memungkinkan diskriminasi antara orang-orang benda-benda yang jatuh di bawahnya, dan mereka yang tidak. Konsep dalam pengertian ini adalah sederhana,kesatuan jiwa benda. Pengertian luas tentang 'konsep' adalah bahwa struktur konseptual,terdiri dari sejumlah konsep (dalam arti sempit) bersama-sama dengan hubunganantara mereka (Bell et al., 1983). Struktur konseptual juga disebut skema, atau'Konsep dengan kebatinan' (Skemp, 1979). Hampir semua yang disebut sebagai konsep dalampsikologi matematika, seperti konsep nilai tempat, atau bahkan konsep

sepuluh, memiliki arti luas ini struktur konseptual, karena komponen anak perusahaan dapatdibedakan dalam setiap konsep.

Mengingat perbedaan ini, tiga keberatan utama dapat diajukan terhadap asumsibahwa konsep diperoleh sekaligus, atau baik 'dimiliki' atau 'kurang' oleh seorang pelajar.Pertama-tama, mengingat bahwa konsep yang paling sebenarnya struktur konseptual komposit, itu adalah jelas bahwa konstruksi mereka harus menjadi proses pertumbuhan diperpanjang, bukannyasemua atau keadaan tidak ada urusan. Dalam pandangan Interkoneksi yang kompleks antarakonsep, akuisisi konsep dapat menjadi urusan hampir seumur hidup.Kedua, kepemilikan pembelajar konsep hanya dapat diwujudkan secara tidak langsung,melalui penggunaannya, karena struktur mental adalah entitas teoritis yang tidak dapatlangsung diamati. Tapi penggunaan pelajar terhadap konsep tentu harus berada dalam beberapakonteks, sehingga konsep ini terkait dengan konteks penggunaan. Untuk abstrak 'esensi' dariKonsep dari konteks penggunaan, dan mengklaim bahwa 'esensi' merupakan konsepadalah dugaan. Saat ini berpikir dalam psikologi poin ke kontekstual terletaksifat kognisi (Brown et al, 1989;. Love, 1988; Solomon, 1989; Walkerdine,1988). Memang, ada tubuh besar penelitian yang menunjukkan bahwa penggunaan pembelajarkonsep matematika atau keterampilan dalam konteks yang berbeda sangat bervariasi (Carraher,Hirarki2411988; Evans, 1988a). Dengan demikian pemahaman peserta didik dari konsep tumbuh sesuai denganberbagai konteks penggunaan yang dikuasai, sekali lagi merusak gagasan bahwa perusahaanakuisisi adalah proses semua atau tidak.Ketiga, gagasan bahwa konsep adalah unik specifiable obyektif yang adaentitas, terbuka untuk kedua kritik filosofis dan psikologis, seperti Bab 4 dan 5memiliki ditampilkan. Hal ini diterima secara luas bahwa individu membangun pribadi yang unikmakna (Novak, 1987). Untuk mengklaim bahwa individu yang berbeda baik memiliki samaKonsep, bukan untuk mengatakan bahwa beberapa entitas tujuan yang sama, meskipun abstrak, adalah 'milik' oleh mereka berdua. Ini akan reify entitas teoritis murni hipotetis. Demikianklaim hanyalah Facon de parler, yang berarti bahwa kinerja dua individu 'yangsebanding. Sejak memperoleh konsep adalah proses mempengaruhi suatu istimewakonstruksi pribadi, itu tidak lagi berlaku untuk mengklaim bahwa seorang pelajar determinatelymemiliki atau tidak memiliki konsep tertentu. Secara keseluruhan, kita melihat bahwa klaim bahwa pembelajaran matematika mengikuti unik hirarki belajar tidak bisa dipertahankan. Pembangunan individu konsep dan hubungan mereka bersifat pribadi dan istimewa, bahkan jika hasilnya dapat dibagi kompetensi. Vergnaud A dikatakan:

[T] dia hirarki kompetensi matematika tidak mengikuti total orderorganisasi, sebagai teori tahap sayangnya menunjukkan, melainkanparsial memesan satu: situasi dan masalah yang mahasiswa master progresif,prosedur dan representasi simbolik yang mereka gunakan, dari usia 2 atau 3 sampaiuntuk pelatihan dewasa dan profesional, lebih baik dijelaskan oleh seorang partialorderskema di mana orang menemukan kompetensi yang tidak bergantung pada satu sama lain,meskipun mereka semua mungkin memerlukan seperangkat kompetensi yang lebih primitif dan[Mungkin] semua diperlukan untuk satu set yang lebih kompleks.Vergnaud (1983, halaman 4)

Konsekuensi untuk Kurikulum Nasional di Matematika

Diskusi ini memiliki konsekuensi untuk kerangka kurikulum hirarkis, dan karenanyauntuk Kurikulum Nasional dalam matematika (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan,1989). Yang paling penting, tidak ada pembenaran psikologis untuk memaksakan unik,tetap hirarki struktur pada kurikulum matematika untuk semua anak dari usia 5sampai 16. Hasil empiris dilaporkan di atas sebagian besar menyangkut porsi kecil darimatematika kurikulum dan dibatasi usia dan rentang pencapaian. Bahkan di bawah inimenguntungkan pembatasan, dugaan bahwa hirarki tunggal akurat mewakilimatematika secara psikologis harus ditolak. Di luar ini, kita telah melihat bahwa adaalasan teoritis yang kuat mengapa hirarki tetap tidak dapat menggambarkan belajar siswa.Ditambah dengan penolakan sebelumnya epistemologis, hasilnya adalah kuatkecaman dari kerangka pada prinsipnya, tanpa pengawasan rinci isinya.Hal ini juga diperhatikan bahwa hampir semua argumen yang digunakan dalam kritik ini dapatdialihkan ke area lain dari kurikulum, karena referensi rinci untukisi kurikulum nasional belum dibuat.

Filosofi Pendidikan Matematika242Ketika isi rinci dari Kurikulum Nasional dalam matematika yangdibawa ke dalam diskusi, pembenaran yang mungkin dapat diantisipasi. Yaitu, bahwameskipun kurikulum tidak memiliki epistemologis atau psikologis keharusan, namun mungkin mencerminkan pengetahuan terbaik yang tersedia tentang anak-anakkeseluruhan prestasi dalam matematika. Ada sejumlah besar pengetahuan tersebut tersedia dari skala besarPencapaian pengujian di Inggris dan negara-negara lain, seperti di PenilaianKinerja Unit (1985), Hart (1981), Tombol dan Foxman (1989), Carpenter et al.(1981), Lindquist (1989) dan Lapointe et al. (1989), Robitaille dan Taman (1989),dan Travers dan Westbury (1989). Informasi tersebut pasti merupakan produk budaya,mencerminkan hasil dari kurikulum matematika dimediasi oleh institusionalstruktur sekolah dan sistem penilaian. Namun demikian, ia menyediakan data dasar,meskipun pragmatis, itu yang dikenakan hirarkis diusulkan matematika kurikulum dapatdivalidasi. Informasi tidak perlu sepenuhnya membatasi kurikulum baru, karena di sanamungkin alasan yang jelas untuk mengubah aspek praktek masa lalu. Namun, mengingat iniperingatan, apapun, serius skala besar pengembangan kurikulum harus melaksanakan minimalmemeriksa daerah perjanjian dimaksudkan dan perselisihan dengan penelitian empiris, danmembenarkan dan mengantisipasi setiap penyimpangan yang besar.Kurikulum Nasional dalam matematika telah mengabaikan isu-isu tersebut, dan tidakmencerminkan keadaan saat ini pengetahuan. Keohane dan Hart (1989) dan Hart (1989)menunjukkan bahwa tingkat satu dari kurikulum yang direncanakan meliputi isi yang adatelah sangat bervariasi fasilitas. Tingkat empat termasuk dalam program studiuntuk anak-anak dari usia 8-16. Dalam sebuah penelitian terhadap sampel besar dari 11 tahun (Hart, 1981),ada fasilitas tingkat menyebar dari 2 persen menjadi 95 persen pada itemsesuai dengan tingkat empat laporan pencapaian.Tidak hanya Kurikulum Nasional dalam matematika kekurangan setiap paritas dengan, atau

referensi untuk, hasil penelitian empiris. Kelompok Kerja adalah Matematikadiperintahkan oleh ketuanya, D.Graham, tidak akan peduli dengan hal-hal tersebut.[T] kelompok itu tidak diharapkan untuk datang dengan air-ketat berbasis penelitianrekomendasi, diharapkan untuk mencerminkan praktek yang baik dalam cara pragmatis.(Nash, 1988, halaman 1)Ini menggambarkan kenyataan bahwa tidak ada upaya untuk mengembangkan NasionalKurikulum berdasarkan penelitian, apalagi untuk menguji secara empiris. Sebaliknya, itu dimasukkanbersama-sama oleh sebuah komite, bekerja sebagai tiga sub-komite, dalam hitungan beberapaminggu. Secara keseluruhan, telah terbukti kurang setiap epistemologis atau psikologisvaliditas, asumsi hierarkis nya. Mengingat statusnya, dan sumber daya yang tersedia,ini sangat lalai penciptanya (pemerintah).Hirarki2433. The Hirarki Kemampuan MatematikaA. View hirarkis Kemampuan MatematikaUmum intelijen telah dianggap oleh para psikolog sebagai, tetap mental yang bawaanlistrik, seperti kutipan berikut dari acara Schonell.Umum intelijen dapat didefinisikan sebagai kekuatan, bawaan serba mental yangtapi yang sedikit diubah dalam derajat oleh lingkungan meskipun yangrealisasi dan arah ditentukan oleh pengalaman.(Tansley dan Gulliford, 1960, halaman 24)Meskipun luas, pandangan ini tidak dimiliki oleh semua psikolog modern (Pigeon,1977). Namun demikian, kemampuan matematika 'karena telah diidentifikasi sebagai faktor utamadari kecerdasan umum (Wrigley, 1958), hal itu juga mungkin telah memberi kontribusi padaluas persepsi bahwa kemampuan matematika seseorang adalah tetap danbertahan. Dalam analisis tajam Ruthven (1987) menunjukkan bahwa persepsi iniluas, dan sering terlihat oleh para guru dan orang lain sebagai penyebab utamaberbeda tingkat pencapaian dalam matematika. Dia menggunakan 'stereotip kemampuan' istilahkarena kecenderungan guru untuk menghibur persepsi stabil kemampuan murid bersama-samadengan harapan prestasi mereka, bahkan dalam menghadapi bukti sebaliknya.Akibatnya, murid individual tampaknya dikenakan bentuk stereotip diyang guru ciri mereka dalam hal penilaian, ringkasan global yangkemampuan kognitif dan menghibur Sejalan overgeneralizedharapan dari mereka.(Ruthven, 1987, halaman 252)Salah satu konsekuensi dari sterotyping kemampuan adalah bahwa, dalam kasus yang ekstrim, diamatiperbedaan kinerja pada tugas-tugas tertentu yang diambil sebagai indikasi dari'Matematika kemampuan' peserta didik individu. Sebuah contoh yang terkenal adalah 'tujuh tahunPerbedaan 'dari Cockcroft (1982). Hal ini dibahas setelah karakterisasinumerik pencapaian 'rata-rata', 'jauh di bawah rata-rata' dan (implisit) 'banyakdi atas rata-rata anak-anak '[T] di sini adalah 'tujuh tahun perbedaan' dalam mencapai pemahamannilai tempat yang cukup untuk menuliskan nomor yangadalah 1 lebih dari 6399. Dengan ini dimaksudkan bahwa sementara 'rata-rata' anak bisa

melakukan tugas ini pada usia 11 tapi tidak pada usia 10, ada beberapa 14 tahunyang tidak bisa melakukannya dan beberapa 7 tahun yang bisa.(Cockcroft, 1982, halaman 100)Kutipan ini menunjukkan bahwa anak-anak individu pertunjukan pada item tertentupada kesempatan tertentu terkait dengan, dan bahkan diambil sebagai indikator dari keseluruhanmembangun dari 'kemampuan matematika'. Pengandaian yang mendasarinya danpersisten global yang konstruk kemampuan matematika 'individu, sehingga menimbulkantingkat pencapaian abadi, dikonfirmasi oleh kutipan berikut.Filosofi Pendidikan Matematika244Bahkan jika tingkat rata-rata pencapaian dapat diangkat, kisaranPencapaian kemungkinan akan tetap sama besar seperti pada saat ini, atau mungkin menjadimasih lebih besar, karena setiap langkah yang memungkinkan semua siswa untuk belajarmatematika lebih berhasil akan menguntungkan attainers tinggi sebanyak, danmungkin lebih dari, mereka yang pencapaian lebih rendah.(Cockcroft, 1982, halaman 101).Dalam kasus anak-anak yang rendah pencapaian dalam matematika dikaitkandengan kemampuan umum rendah, kursus matematika perlu secara khususdirancang untuk membangun jaringan ide-ide terkait sederhana dan aplikasi mereka(Cockcroft, 1982, halaman 98)Secara keseluruhan, ada asumsi luas, jelas dalam Cockcroft (1982), yangada hirarki linier tetap kemampuan matematika dari paling tidak mampu untukyang paling mampu (atau secara matematis berbakat), setiap anak dapat diberi posisi dalamhirarki, dan hanya sedikit menggeser posisi mereka selama tahun-tahun sekolah.Salah satu yang penting hasil dari persepsi stereotip dan harapanmurid adalah penerapan tujuan terbatas untuk pendidikan matematika yang lebih rendahmencapai murid. Ruthven menyediakan bukti tentang hal ini, dan menyimpulkan bahwapenekanan pada kegiatan berulang, pada pembelajaran instrumental, danperhitungan-mencerminkan persepsi stereotip kemampuan kognitifkurang murid sukses dan tujuan kurikulum yang sesuai untuk mereka, danstereotip harapan masa depan mereka, baik sebagai peserta didik dan sebagai anggotamasyarakat.(Ruthven, 1987, halaman 250)B. Kritik dari View hirarkis Kemampuan MatematikaRuthven (1987) memberikan kritik yang kuat dari stereotip kemampuan, berdebat padasatu sisi, bahwa konsistensi pencapaian mahasiswa matematika kurang dari yangseharusnya, bervariasi di kedua topik dan waktu. Di sisi lain, guruharapan dan stereotip menjadi diri memenuhi, dan diferensiasi kurikulummatematika yang membuat tuntutan kognitif tinggi dan rendah tinggi dan rendah mencapaisiswa, masing-masing, memperburuk perbedaan yang ada. Kritik ini dapatdidukung melalui dua perspektif teoritis: sosiologis dan psikologis.Argumen sosiologis untuk menolak pandangan hirarkis tetap kemampuan dalammatematika berasal dari teori pelabelan. Sebuah hubungan yang kuat antara sosiallatar belakang dan kinerja pendidikan hampir semua jenis adalah salah satu yang terpanjangdidirikan dan terbaik didukung temuan dalam penelitian sosial dan pendidikan

(Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1988b). Secara khusus, ada luasbukti di Inggris dari korelasi kesempatan hidup pendidikan dan kelas sosial(Meighan, 1986). Mungkin penjelasan terbaik teoritis didukung dari efekdidasarkan pada teori pelabelan, karena Becker (1963) dan lain-lain. Fitur kunci daripelabelan individu sebagai 'attainers rendah matematika', misalnya, adalah bahwa hal itu seringHirarki245self-fulfilling. Jadi streaming dengan kemampuan, yang tersebar luas dalam pengajaranmatematika, meskipun hanya longgar terkait dengan pencapaian diukur, memiliki efekpelabelan dengan kemampuan, sehingga mempengaruhi prestasi dalam matematika, menjadi selffulfilling(Meighan, 1986; Ruthven, 1987).Dasar teori kedua untuk menolak pandangan hirarkis tetap kemampuan yangpsikologis. Ada sebuah tradisi dalam psikologi Soviet yang menolak gagasantetap kemampuan, dan link perkembangan psikologis dengan pengalaman sosial dimediasi.Perkembangan ini dipercepat secara politis oleh larangan 1.936 Soviet pada penggunaantes mental, yang menghentikan penelitian pada perbedaan individu dalam kemampuan (Kilpatrick danWirszup, 1976). Seorang kontributor mani tradisi ini adalah Vygotsky (1962), yangmengusulkan bahwa bahasa dan pemikiran berkembang bersama-sama, dan bahwa pembelajar kemampuandapat diperpanjang, melalui interaksi sosial, di sebuah 'zona perkembangan proksimal'.Interaksi pengembangan pribadi dan konteks sosial dan gol melalui'Kegiatan' telah menjadi dasar dari Teori Kegiatan Leont'ev (1978) dan lain-lain.Dalam tradisi keseluruhan, psikolog Krutetskii (1976) telah mengembangkankonsep kemampuan matematika yang lebih cair dan kurang hirarkis dari itudibahas di atas. Dia pertama kali menawarkan kritik dari pandangan relatif tetap dari matematikakemampuan yang berasal dari tradisi psikometri dalam psikologi. Dia kemudian menawarkan nyasendiri teori kemampuan matematika berdasarkan pada proses mental yang dikembangkan olehindividu yang digunakan dalam menyerang masalah matematika. Dia mengakui individuperbedaan dalam pencapaian matematika, tetapi memberi bobot besar bagi perkembangandan pengalaman formatif para pelajar dalam mewujudkan potensi matematika nya.Tentu saja, 'potensi' tidak konstan atau tidak dapat diubah. Guru harustidak berpuas diri dengan gagasan bahwa anak-anak bervariasi pertunjukan-dalam matematika mengatakan-adalah refleksi dari tingkat kemampuan mereka. Kemampuan tidakditahbiskan sebelumnya sesuatu sekali dan untuk semua: mereka terbentuk dan dikembangkan melaluiinstruksi, praktek dan penguasaan suatu kegiatan. Oleh karena itu kami berbicara tentangperlunya membentuk, mengembangkan, menumbuhkan dan meningkatkan kemampuan anak-anak,dan kita tidak bisa memprediksi secara tepat seberapa jauh perkembangan ini mungkin pergi.(Krutetskii, 1976, halaman 4)Tradisi psikologis Soviet adalah memiliki dampak peningkatan pada matematikapendidikan (Christiansen dan Walther, 1986; Crawford, 1989; Mellin-Olsen, 1987). Sekarangsemakin diakui bahwa tingkat kognitif dari respon siswa dalam matematikaditentukan bukan oleh 'kemampuan' dari siswa, tetapi keterampilan dengan mana guru adalah

mampu terlibat siswa dalam matematika 'aktivitas'. Ini melibatkan pengembanganpendekatan pedagogis dalam matematika yang sensitif dan berhubungan dengan siswatujuan dan budaya. Siswa diberi label sebagai 'matematis kurang mampu' secara dramatis dapat meningkatkantingkat kinerja mereka ketika mereka menjadi terlibat dalam sosial dan budayakegiatan terkait dalam matematika (Mellin-Olsen, 1987).Lain konfirmasi empiris dari fluiditas kemampuan dapat ditemukan di idiotsavant fenomena. Di sini, orang-orang yang dicap sebagai 'yg tdk dpt dididik' bisa tampil padamengejutkan tingkat tinggi dalam domain di mana mereka telah bertunangan (Howe, 1989).Secara keseluruhan, ada teori yang kuat (dan empiris) dasar untuk menolak tetapFilosofi Pendidikan Matematika246hirarkis melihat kemampuan matematika, dan menghubungkan lebih banyak untuk sosialpembangunan, yang berasal dari tradisi Soviet. Ditambah dengan sosiologisargumen, ini terdiri dari sebuah kasus yang kuat terhadap pandangan hirarkis kemampuan dalammatematika.C. View hirarkis Kemampuan dalam Kurikulum NasionalSebuah pandangan hirarkis kemampuan matematika jelas dalam publikasi mengenaiKurikulum Nasional. Kelompok Tugas Penilaian dan Pengujian didirikan untukmengembangkan pengujian 'untuk segala usia dan kemampuan' (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan,1987a, halaman 26) dan terms of reference termasuk pemberian rekomendasipenilaian untuk 'mempromosikan belajar di berbagai kemampuan' (Departemen Pendidikandan Ilmu Pengetahuan, 1988b). Sekretaris Negara untuk Pendidikan (K.Baker) menulis kepadachair (P.Black) pada kemampuan dan diferensiasi, sebagai berikut.Saya meminta kelompok kerja subjek [matematika termasuk] untukmerekomendasikan target pencapaian untuk keterampilan, pengetahuan dan pemahamanyang siswa dari berbagai kemampuan yang berbeda biasanya harus diharapkanmencapai pada usia empat poin, tetapi sejauh mungkin untuk menghindari pengaturankualitatif berbeda-target dalam hal bidang pengetahuan, keterampilan ataupemahaman-untuk anak-anak kemampuan yang berbeda.(Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1988b, Lampiran B)Laporan akhir dari kelompok kerja matematika (Departemen Pendidikan danIlmu, 1988) juga menggunakan bahasa stereotip kemampuan. Surat yang menyertainyakepada Sekretaris Negara menyatakan bahwa proposal tertutup adalah: 'sesuai untukanak-anak dari segala usia dan kemampuan, termasuk anak-anak dengan kebutuhan pendidikan khusus. "(Halaman vi). Contoh-contoh selanjutnya dipilih secara acak dari laporan tersebut meliputi: 'Guruanak bayi ... akan perlu ... mengacu pada program B untuk memperpanjang kerjamurid mereka yang paling mampu '(halaman 63)'. Ada waktu datang ketika bahkan anak terang kebutuhanuntuk membuat upaya '(halaman 68)' beberapa persen mampu setidaknya 10 per murid mungkin memilikikesulitan dengan, misalnya, Level 1 pada usia 7 dan Level 2 pada usia 11 '(halaman 83).Kutipan tersebut sangat menyarankan bahwa baik resmi (pemerintah) melihat dan

yang terwakili dalam publikasi dari Kelompok Kerja Matematika adalah darihirarki kemampuan matematika, di mana individu secara umum dapat diberitetap dan posisi relatif stabil.Selain itu, Kurikulum Nasional dalam hasil matematika dalam pembatasanpengalaman kurikulum untuk siswa mencapai rendah dalam matematika. Sebagaikurikulum dan kerangka penilaian untuk menunjukkan Kurikulum Nasional (Gambar11,1), hasil bersih adalah satu kurikulum dalam matematika untuk semua siswa, dengan orang-orang'Rendah kemampuan' terbatas pada, tingkat yang lebih rendah sederhana.Hasil dari asumsi dalam Kurikulum Nasional dalam matematika adalahcenderung menjadi eksaserbasi dan berlebihan dari perbedaan individu dalamkinerja. Sebagaimana telah kita lihat, ini hampir pasti menjadi self-fulfilling, menyangkalKeberhasilan dalam matematika untuk jumlah yang sangat besar anak-anak sekolah.Hirarki247Tentu saja kemampuan stereotip dalam matematika tidak hanya karena diamatiperbedaan dalam pencapaian. Ada bukti tak terbantahkan bahwa kelas (sertaFaktor etnis dan gender) memainkan peran utama dalam pelabelan tersebut (Meighan, 1986). ItuKemampuan stereotip yang dibangun ke dalam Kurikulum Nasional dalam matematika mengasumsikan bahwasetiap anak dapat diberi posisi dalam 'hierarki kemampuan matematika', danbahwa hanya sedikit menggeser posisi mereka selama tahun-tahun sekolah. Akibatnya, bekerjakelas, anak-anak hitam dan perempuan cenderung ditempatkan lebih rendah, bukan lebih tinggi,hirarki ini, sesuai dengan harapan stereotip. Ini adalah satu lagi antiegalitarianfitur dari Kurikulum Nasional, yang akan memberlakukan tetap danhirarkis 'pecking order' dengan pencapaian pada siswa.Gambar 11.1: Kurikulum dan Penilaian Kerangka Kurikulum Nasional(Diadaptasi dari Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1988b)Garis-garis menunjukkan kemajuan siswa dengan kemampuan: kemampuan tinggi '(persentil ke-90)-topgaris putus-putus, 'rata-rata kemampuan' (persentil ke-50)-tengah garis, 'kemampuan rendah' (10persentil line)-rendah bertitik.Filosofi Pendidikan Matematika2484. Hirarki sosialB. Akar Hierarchy SosialHirarki sosial memiliki sejarah panjang, dating kembali ke Ibrani kuno danGreeks.3 Dalam Testment Lama Ibrani hirarki Tuhan tempat implisit di atas,diikuti oleh malaikat dalam barisan mereka, kemudian datang nabi duniawi seperti Musa,diikuti oleh kepala suku, laki-laki, dan kemudian mungkin perempuan dan anak-anak. Di bawahmereka adalah setan, dan akhirnya Lucifer atau Setan sendiri. Seperti hirarki linierperintah manusia, tetapi meluas urutan atas dan di bawah batas atau 'idealpoin ', analog dengan geometri proyektif. Nilai sangat terkait denganhirarki, semakin tinggi semakin baik, dengan ekstrem diidentifikasi dengan Baik dan Jahat.Nilai-nilai ini memiliki fungsi pembenaran, melayani untuk melegitimasi pelaksanaanotoritas dan kuasa oleh atasan pada bawahan dalam hirarki. Yang berikutnya

'Hak ilahi raja-raja' adalah contoh dari pembenaran kekuasaan.Dalam Bab 7 pandangan ini dijiplak dari sumber alternatif, pandangan Aristotelesalam, dengan yang direkat pada abad pertengahan untuk menimbulkan Rantai BesarMenjadi (Lovejoy, 1936). Sumber lain yang penting dari tradisi ini adalah pembagianorang menjadi tiga jenis bertingkat, disebut emas, perak dan perunggu (Plato, 1941). Ini adalahsignifikan karena link dengan pendidikan, di mana kurikulum yang berbeda adalahdianggap tepat untuk tiga jenis, ditentukan oleh kebutuhan stasiun berbedadalam hidup mereka akan berasumsi. Ini adalah sumber dari tema yang akan terlihat berjalanmelalui bagian ini. Kami juga telah melihat bahwa Yunani membedakan antarabekerja dari tangan dan kerja otak, sehingga menimbulkan hubungan antaramurni pengetahuan dan kelas yang lebih kuat (dan depan nya).Hasil yang modern gabungan dari tradisi adalah diterima secara luaspiramidal hirarkis model masyarakat, dengan kekuasaan terkonsentrasi di bagian atas,disahkan dan diperkuat, jika tidak direproduksi, dengan budaya dan nilai-nilai yang terkait.Model masyarakat dipandang oleh banyak orang sebagai 'alami' keadaan, sepertidicontohkan oleh manusia dan kelompok hewan di alam liar. Seperti biologi akarsecara tegas ditolak oleh analisis ulang feminis sejarah dan antropologi, yang melihathirarki piramidal yang terkait dengan dominasi laki-laki dalam masyarakat, dan menolakmengklaim bahwa itu bersifat universal (Fisher, 1979). Memang, seperti dipertanyakan hirarkispandangan masyarakat dapat dilihat sebagai bagian dari budaya yang menopang adastruktur masyarakat, dan karenanya dominasi laki-laki dan atas / kelas menengah. Ituidentifikasi hierarki piramidal sebagai struktur 'alami' masyarakat merupakancontoh dari 'kesalahan naturalistik', asumsi yang salah bahwa apa yang terjadi, adalah apa yangharus, kontingensi adalah keliru untuk kebutuhan.Ketika struktur kekuasaan masyarakat secara fisik terancam, kekuatan cenderungdibawa ke dalam bermain untuk mempertahankannya. Namun, apa yang lebih menarik, adalah dampak daridianggap ancaman terhadap budaya dan nilai-nilai terkait. Menurut Douglas (1966),kelompok sosial memiliki 'kelompok' batas, anggota membedakan dari luar, dan'Grid' batas-batas, membedakan sektor yang berbeda atau strata dalam group.4Di bawah ancaman, menurut Douglas, kelompok menjadi prihatin dengan kemurnian dalam SuratHirarki249budaya, dan dengan kelompok yang ketat dan batas-batas grid. Dalam pandangan ini, kemurnian terkaitdengan budaya kelas dominan, menjadi intensif, seperti halnya ketatnyabatas definisi, termasuk gradasi internal dalam suatu hirarki.B. Pendidikan dan Reproduksi Hirarki SosialMungkin teori modern yang paling berpengaruh pada struktur masyarakat adalah Karl Marx(1967). Dia berargumen bahwa materi kondisi dan hubungan-hubungan produksi memilikipusat yang menentukan kekuasaan atas struktur dan antar-hubungan dalam masyarakat. DiKhususnya, masyarakat memiliki infrastruktur, atau basis ekonomi, yang dalam 'contoh terakhir'menentukan dua tingkat suprastruktur, hukum dan negara, danterkait ideologi. Negara, melalui 'aparatur negara represif' (polisi, penjara,tentara, dll) mendukung dan mereproduksi produksi industri dalam mendukung modal dan

dominan kelas.Namun tesis ini dapat ditafsirkan dalam dua cara mengenai menghambatgaya pada massa dan masyarakat di besar. Ada 'keras' pandangan bahwa sosialkondisi sangat penentu, dan manusia yang dipenjarakan tanpakunci dari teori Marxis yang dapat digunakan untuk menembus kesadaran palsu dan penindasan.Ada juga 'lunak' posisi determinis, bahwa manusia mampu bereaksi, dandi mana-mana mampu 'menciptakan' perubahan sosial (Simon, 1976). Perbedaan adalah sebandingditarik oleh Giroux (1983) antara 'strukturalis' dan 'budayawan' tradisi di neomarxistTeori, yang menekankan pentingnya struktur sosial dan ekonomi, ataubudaya dan hubungannya dengan agen manusia, masing-masing.Sulit determinismeSebuah teori modern yang berpengaruh dalam tradisi ini adalah Althusser (1971). Dia berpendapat bahwa dalamSelain reproduksi sosial 'negara aparatus represif' tergantung pada suatu'Aparatur negara ideologis', yang meliputi pendidikan, agama, menghormati hukum,politik, dan budaya, dan bahwa kelas tidak dapat mempertahankan kekuasaan tanpa memperpanjanghegemoni atau dominasi budaya di daerah tersebut. Pendidikan adalah yang paling kuat'Aparatur negara ideologis' dalam mereproduksi hubungan produktif, yang menanamkanpenerimaan tenaga kerja dan kondisi kehidupan massa.Bourdieu dan Passeron (1977) mengusulkan sebuah teori sekolah danreproduksi masyarakat yang cocok dalam kategori ini. Dalam budaya akun linguistik('Modal budaya' lebih umum) sangat penting dalam menentukan sosialhasil pendidikan, dalam hal keanggotaan kelas. Mereka istilah 'simbolik kekerasan'dominasi budaya kelas pekerja yang masker reproduksi sosial.Sebuah perkembangan berpengaruh tesis deterministik keras, yang menomorduakanperan ideologi adalah bahwa Bowles dan Gintis.Hubungan saat ini antara pendidikan dan ekonomi terjamintidak melalui isi pendidikan tetapi melalui bentuk: hubungan sosialFilosofi Pendidikan Matematika250dari pertemuan pendidikan. Pendidikan mempersiapkan mahasiswa untuk menjadi pekerjamelalui korespondensi antara hubungan sosial produksi danhubungan sosial pendidikan. Seperti pembagian kerja dalam kapitalisperusahaan, sistem pendidikan adalah hirarki halus bergradasi otoritasdan kontrol di mana competitition daripada kerjasama mengaturhubungan antara peserta ... Urutan hirarki dari sistem sekolahmengagumkan diarahkan mempersiapkan siswa untuk posisi masa depan mereka dihirarki produksi, membatasi pengembangan kapasitas merekamelibatkan pelaksanaan partisipasi demokratis timbal balik dan salingdan memperkuat kesenjangan sosial oleh legitimasi penugasan siswauntuk yang tidak setara 'slot' dalam hirarki sosial.(Gintis dan Bowles, 1980, halaman 52-53)Kuat sebagai argumen ini, mereka menderita dua kelemahan utama. Pertama-tama, merekaterlalu deterministik dalam membelenggu pendidikan dengan kondisi produksi. Dalam hal ini,

mereka tidak memungkinkan untuk eksploitasi kekuatan bertentangan bekerja dalam sistem,atau untuk agen manusia atau resistensi dari dalam (Giroux, 1983). Kedua, terutamadalam kasus Bowles dan Gintis (1976), mereka mengabaikan hakikat pengetahuan, yangseperti yang telah kita lihat sebelumnya, berkaitan dengan ideologi dan kelas, dan tidak dapat diabaikan.Lembut determinismeBanyak wawasan dipertimbangkan di atas tetap berlaku untuk lembut dan kurang deterministikmelihat reproduksi dipertimbangkan di sini. Namun, di luar ini determinisme strukturalGramsci (1971) berpendapat bahwa dominasi masyarakat dengan satu kelas membutuhkan budayahegemoni. Ini merupakan dominasi budaya oleh satu kelas legitimasi, membingungkan danmemperkuat kekuatan dan prestise. Hegemoni tersebut jenuh 'masuk akal' darimassa, dan karenanya mengamankan persetujuan tanpa disadari dan kolusi.Williams (1976) dibangun di atas konsep hegemoni, tetapi berpendapat bahwa adaalternatif dan oppositonal bentuk kehidupan sosial dan budaya di sampingdominan budaya kelas. Ini dapat hidup berdampingan dengan budaya dominan yang mungkinmenggabungkan bentuk-bentuk alternatif atau bahkan bertentangan. Ini menggambarkan penting danlebih umum titik yang dibuat oleh Williams, mengenai banyaknya ideologi danbudaya. Itu semua terlalu mudah untuk jatuh ke dalam perangkap bergerak dari hegemoni kedisederhanakan dan statis pandangan budaya. Williams menekankan kompleksitas dan dinamika.Giroux (1983) mengakui sifat kompleks budaya. Dia mengusulkan bahwadalam budaya sekolah ada resistensi yang lebih dari sekedar respon kekurikulum otoriter, dan yang mencerminkan agenda alternatif sebagai gantinya implisit. Diaberpendapat bersama Freire dan pendidik masyarakat lainnya bahwa melalui pendidikan kritis,siswa dapat dibebaskan dari kekuatan reproduksi di tempat kerja di sekolah.Secara keseluruhan, menurut ini pengelompokan kedua, pasukan cenderung mereproduksiStruktur hirarkis masyarakat diakui, seperti pentingnya budaya,ideologi dan pengetahuan. Tapi ini terlihat memiliki peran ganda, baik sebagai pentingcara dominasi, dan juga sebagai cara yang mungkin untuk emansipasi.Hirarki251C. Mereproduksi Hirarki Sosial melalui MatematikaSejumlah penulis telah menerapkan satu atau bentuk lain dari ide-ide di atas untukpendidikan matematika, seperti Cooper (1989), Meffin-Olsen (1987), Noss(1989,1989 a) dan lain-lain di Noss dkk. (1990). Kedua Noss dan Cooper menyimpulkan bahwaitu adalah bentuk daripada isi pendidikan matematika (yaitu, 'tersembunyikurikulum ') yang menyampaikan tujuan sosialnya.Cooper berpendapat bahwa hegemoni sekolah latihan kekuatan negatif atasSD guru mengikat mereka untuk otoriter tradisional dan dirutinkanpendekatan ke matematika, dan kurikulum dibedakan yang berfungsi untuk menciptakanhirarki sosial. Unsur-unsur ini cincin kisah yang benar, dan menyediakan berhargawawasan tentang bagaimana tekanan budaya mengikuti rantai komando dalam hirarkisekolah. Namun demikian, akun ini oversimple gagal untuk mengakuiberbagai keyakinan dan ideologi dari guru dan kelompok tekanan sosial.Noss menyajikan kasus yang kuat untuk tesis deterministik yang lemah dalam matematika

pendidikan, dan mengidentifikasi Kurikulum Nasional dalam matematika sebagai melayanisosial reproduksi fungsi yang 'mendalam dan sengaja antieducational'(Noss, 1989, halaman 1). Dia berpendapat bahwa ada kontradiksi dalamsistem yang memungkinkan untuk ditumbangkan untuk melayani tujuan yang benar-benar pendidikan. DiKhususnya, prioritas rendah yang diberikan kepada konten matematika berarti, dalam pandangannya, bahwadapat dimanfaatkan untuk melayani memberdayakan, pendidikan demokratis. Namun dia tidaktidak mengakui bahwa struktur hirarkis isi kurikulumberfungsi untuk menciptakan masyarakat yang hierarkis bertingkat, seperti yang akan dikatakan di bawah ini.(Meskipun di Noss, 1989a, disarankan agar kurikulum dasar-keterampilan dalammatematika berfungsi untuk deskill tenaga kerja untuk eksploitasi keuangan.)Mellin-Olsen (1987) mengakui adanya kekuatan reproduksi dipendidikan matematika dan masyarakat, dan membangun mereka ke dalam rekening teoritismenggambar juga pada sosial, antropologi psikologi dan psikologi. Dia menekankan,berikut Giddens (1979), bahwa individu menciptakan ideologi serta hidup di dalamnya.Secara khusus, ia mengidentifikasi perlawanan terhadap hegemoni dengan produksi alternatifideologi dengan cara activity.5 Dia berpendapat bahwa pemberdayaan matematikapendidikan harus menangkap peluang tersebut: kritis pendidikan matematika harusmenyediakan pelajar dengan 'alat berpikir' untuk terlibat dalam kegiatan yang menantangimplisit ideologi sekolah.Ini laporan singkat tidak bisa melakukan keadilan untuk teori Mellin-Olsen, mendukungargumen dan link dengan praktek. Namun, dapat dikatakan bahwa saham dua bidangkelemahan diidentifikasi sebelumnya dalam rekening reproduksi sosial. Pertama, hal itu tidakmemadai membedakan ideologi yang berbeda dan kelompok kepentingan sosial di tempat kerja dikurikulum matematika. Hal ini mungkin tidak tampak diperlukan untuk argumen umumdiajukan oleh Mellin-Olsen, tetapi diperlukan sebelum ideologi implisitsekolah bisa ditantang. Kedua, tidak mengeksplorasi unsur-unsur ideologimemadai, dan di atas semua, tidak mempertimbangkan pandangan dari sifat matematika,yang sangat penting bagi pendidikan matematika, menurut tesis buku ini.Secara keseluruhan, ada dukungan luas untuk tesis bahwa pendidikan membantuFilosofi Pendidikan Matematika252mereproduksi struktur hirarkis masyarakat, melayani kepentingan orang kayadan istimewa. Namun, tesis ini perlu dipahami dengan cara yang mengakuikompleksitas hubungan dalam masyarakat, dan yang memodifikasideterministik karakter formulasi aslinya. Tesis ini dimodifikasi reproduksitergantung banyak pada ideologi, dan sehingga sangat tepat untuk mengeksplorasi hubungandengan model ideologi pendidikan dari buku ini.The industri pelatihDalam hal stasiun sosial massa, tujuan pelatih industri secara langsungreproduksi. Dengan demikian pelatihan sosial massa melalui matematika merupakan bagian daripersiapan untuk hidup taat tenaga kerja. Bor, hafalan, praktek, yang dualistikdemarkasi antara benar dan salah, dan otoritas hirarki ketat

guru membantu untuk menanamkan nilai-nilai dan harapan yang sesuai untuk disiplinpekerja masa depan untuk peran tidak perlu diragukan lagi di masyarakat, sedangkan strata yang lebih tinggi di masa depanmasyarakat yang tidak begitu diatur. Pelatihan tingkat rendah juga memastikan bahwa massa menjadimurah tenaga kerja (Noss, 1989a). Tujuan utama dari kelompok ini adalah untuk mengandung dan mendefinisikantempat (rendah) dari massa. Ideologi borjuis berasal dari banyakkelompok memiliki 'menjadi lebih baik sendiri', dan ideologi ini melibatkan menjaga merekaasal-usul sosial kelompok di tempat mereka '.Yang lama humanisTujuan humanis tua berfokus pada pengembangan matematis mampu dan berbakatdan penanaman nilai-nilai matematika murni. Ini melayani memelihara danreproduksi tubuh matematikawan, yang mewakili sebagian dariprofesional, menengah elit kelas, dengan budaya murni kelas menengah. Hal ini dapat ditelusurikembali ke perpecahan antara karya tangan dan otak, danconcomittent budaya dan kelas perbedaan (Restivo, 1985). Kelompok ini memilikitradisional dilakukan kekuasaan atas isi dari kurikulum matematika,membuat 'top down' itu (melayani kepentingan kelompok) daripada 'bottom up'(Melayani pertama kepentingan semua). Dengan berfokus pada kebutuhan elite, dan kelangsungan hidupnya,ideologi ini berusaha untuk mereproduksi struktur kelas masyarakat.Kedua kelompok kedua fokus pada pelestarian kelompok dan batasnya.Para humanis tua adalah bagian dari kelompok kelas menengah profesional dengan ekonomi danpolitik kekuasaan, dan dengan budaya yang kemurnian berfungsi untuk mendefinisikan dan membelaKelompok batas. Douglas (1966) berpendapat secara umum bahwa kemurnian berfungsi untuk mempertahankanKelompok batas dengan cara ini, atas dasar kerja antropologi yang luas. Itupurist tujuan dan ideologi kelompok ini cocok dengan pola ini. Pelatih industribertujuan untuk pendidikan matematika tidak murni, namun juga berfungsi untuk melestarikanKelompok batas sekitar massa, dan karenanya batas kelompok mereka sendiri. Initampaknya akan menjadi tidak konsisten dengan temuan Douglas. Namun dualistik merekanilai-nilai moral berpusat pada kemurnian moral dalam tradisi Yahudi-Kristen ('kebersihanHirarki253sebelah Ketuhanan ',' dosa asal '), yang bertentangan dengan kemurnian epistemologis yang lamahumanis. Jadi Douglas 'konsepsi budaya (dan tubuh) kemurnian sebagai respon terhadapKelompok ancaman batas berlaku di sini, juga.The teknologi pragmatisTujuan pragmatis teknologi yang tidak begitu ketat peduli untuk melestarikan kelasbatas, dan karenanya tidak begitu ketat reproduksi. Masyarakat dipandang sebagai berdasarkan kekayaandan kemajuan, mengikuti inovasi teknologi dan kemajuan. Matematikapendidikan adalah bagian dari pelatihan keseluruhan populasi untuk melayani kebutuhan

kerja, dan tujuan sosial yang jelas adalah meritokrasi. Sosial mobilitas atas dasarmerit atau pencapaian teknologi merupakan bagian dari perspektif ini, karena industri dansektor lainnya terus berkembang dan membutuhkan teknologi dilatihpersonel. Namun, stratifikasi sosial yang ada dengan kelas tidak dipertanyakan, danakibatnya berbagai faktor dan harapan sebagian besar berfungsi untuk mereproduksi sosialdivisi dan stratifikasi.Para pendidik progresifPara pendidik progresif bertujuan untuk kepedulian matematika realisasi danpemenuhan manusia melalui matematika sebagai sarana ekspresi diri danpengembangan pribadi. Penekanan dari perspektif ini sangat individualistik. Sementaraitu diarahkan pada kemajuan individu dalam berbagai cara, tidakmenemukan mereka dalam matriks sosial, juga tidak mengakui kekuatan yang bertentangan bekerja dimasyarakat yang merusak efektivitas pendidikan progresif. Jadi perspektif

Ini adalah

Filosofi Pendidikan Matematika254

Masyarakat