hidrodinamika · web viewbahan penyusun fluida mempunyai bentuk yang tidak tetap (mudah...

Bab IV. Fluida (Zat Alir)


Bahan penyusun fluida mempunyai bentuk yang tidak tetap (mudah berubah bentuk oleh pengaruh gaya dan tekanan). Ini terdiri dari kesatuan bahan (kontinum) dan akan mengalami pergeseran ketika bekerja tegangan geser walaupun nilainya sangay kecil. Fluida dalam volume kecil dapat diperlakukan sebagai sesuatu yang kontinum jika berisi sejumlah besar molekul dimana jarak rata-rata lintasan yang dilalui oleh dua tumbukan molekul lebih kecil daripada usuran volume fluida. Fluida dapat dicirikan berdasarkan sifat fisis dan mekanik seperti kerapatan, tekanan, suhu, dan kecepatan. Zat cair dan gas keduanya adalah fluida, tetapi ada perbedaan mendasar diantara keduanya. Cairan tidak mudah dimampatkan dan dianggap memiliki kerapatan dan volume. Ini berbeda dengan gas, yaitu mudah dimampatkan. Gas tidak mempunyai bentuk yang tetap, tetapi memiliki permukaan yang jelas.

A. STATIKA FLUIDA

Hidrostatika atau statika fluida berkaitan dengan fluida yang diam. Sedangkan hidrodinamika atau dinamika fluida berkaitan dengan gerak fluida. Apabila aliran fluida bebas terhadap waktu, alirannya disebut tunak. Aliran fluida laminar atau streamline apabila pada lapisan yang berbeda yang berdekatan memiliki kecepatan yang berbeda. Apabila lapisan-lapisan tadi

155


bercampur, maka alirannya menjadi turbulen (bergolak).

Pada bagian ini kita batasi pembahasan untuk statika fluida, dimana dinamika fluida akan dibahas pada bagian berikutnya. Hukum Newton dan hukum konservasi akan digunakan untuk fluida karena kumpulan fluida semata-mata dianggap sebagai kumpulan partikel dalam jumlah besar.

Pandanglah bahwa fluida dalam keseimbangan statik. Selanjutnya elemen-elemen fluida adalah dalam keadaan diam dan kecepatan pada beberapa titik adalah nol. Sekarang akan dibahas dua karakteristik dari statika fluida, yaitu : (1) Fluida melakukan tekanan yang besarnya sama pada semua arah, dan (2) Tekanan pada kedalaman yang sama besarnya adalah sama.

Gambar 4.1Gaya gaya yang bekerja pada elemen fluida berbentuk

prisma

Perhatikan prisma segitiga yang sangat kecil yang ditunjukkan pada gambar diatas. F, Fy dan Fz

adalah gaya yang bekerja pada ketiga daerah 156


permukaan A, Ay dan Az berturut - turut seperti gambar. Gaya ini bekerja dengan arah normal (tegaklurus) pada permukaan.

Gaya yang bekerja hanyalah gaya normal serta berat fluida itu sendiri W. Jika berada dalam keseimbangan, maka gaya pada arah Y dan Z adalah nol (dianggap tidak ada gaya pada arah X)

(1)

(2)

Apabila P, Py dan Pz adalah tekanan (gaya normal per satuan luas) yang bekerja pada ketiga permukaan dan W = ρg[(dx dy dz)/2], kedua persamaan diatas dapat dituliskan menjadi :

(3)

dan

(4)Dimana ρ adalah massa jenis fluida dan dx dy dz/2 adalah volume prisma. Jika dx dy dan dz menuju nol, suku terakhir pada persamaan 4 diatas, yakni suku yang menyatakan berat fluida dapat diabaikan terhadap tekanan. Dari persamaan dahulu, disimpulkan :

P = Py = Pz (5)

157


(6)yang menyatakan bahwa tekanan tidak bergantung pada arah; besarnya tekanan sama pada semua arah dan merupakan besaran skalar. Persamaan 5 adalah pernyataan Hukum Pascal.

Sekarang kita menurunkan satu ungkapan mengenai perubahan harga tekanan dengan posisi vertikal dalam fluida statik. Anggaplah fluida memiliki volume dx dy dz yang sangat kecil seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah.

Gambar 4.2.Kesetimbangan gaya pada elemen fluida dengan

voluem dxdydz

Saat fluida berada dalam keseimbangan, jumlah gaya-gaya pada arah Z harus menjadi nol :

(7)

158


Suku kedua persamaan di atas, ketika diperluas dalam deret Taylor dengan z, maka suku pertama, dapat dinyatakan dengan :

(8)

Substitusi persamaan ini ke dalam persamaan 7 :

(9)

Setelah diintegralkan dan anggap bahwa fluida tidak dapat dimampatkan dan P = Po pada z = 0, diperoleh :

(10)

Oleh karena z berharga positif untuk arah ke atas, maka P bertambah dengan dengan turunnya z. Persamaan ini juga menyatakan bahwa pada kedalaman tertentu adalah sama jumlah tekanan Po

pada kolom bagian atas dengan berat kolom fluida dalam kolom.

Pendekatan alternatif untuk perlakuan ini adalah sebagai berikut. Misalkan w = ρ g adalah berat jenis, yaitu berat per satuan volume diberikan pada arah g. Anggaplah kedua titik 1 dan 2 dalam fluida dimana tekanannya adalah P1 dan P2 yang terpisah dengan jarak dr yang sangat kecil. Gagasan sebuah silinder dengan daerah melintang dA dan panjang dr, seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.3. di bawah.

159


Gambar 4.3.Tekanan dalam fluida

Gaya yang diberikan pada silinder hanyalah gaya oleh tekanan fluida dan gaya gravitasi. Saat cairan mencapai keseimbangan, jumlah komponen gaya dr harus nol, yaitu

(11)

dimana dr dA = dV adalah volume fluida dibagian dalam silinder. Perbedaan tekanan ∆P diantara kedua titik adalah :

(12)

Jika kedua titik 1 dan 2 berada pada jarak r1 dan r2, kemudian tekanan diantara kedua titik diperoleh dengan mengintegralkan persamaan di atas :

160


(13)

Integral garis ini secara tidak langsung menyatakan perbedaan tekanan diantara dua titik pada fluida bergantung pada gaya gravitasi dan orientasi ruang pada kedua titik. Selanjutnya, persamaan ini menyatakan bahwa “ perubahan tekanan pada suatu titik akan diteruskan pada titik-titik lainnya yang ada dalam fluida”, apa yang disebut dengan hukum Pascal.

Integrasi persamaan 13, asumsikan bahwa P1 = P0 dan P2 = P(z) adalah tekanan pada jarak z di atas titik 1, menghasilkan :

P(z) = P0 – ρgz (14)

Yang tak lain adalah persamaan 14. Selanjutnya, jika tekanan pada permukaan sebuah danau adalah Pa [ = 1,103 x 105 Pa ( 1 Pa = 1 N/m2)], maka tekanan pada kedalaman h ( z = - h) adalah :

P(h) = P0 – ρgh (15)

Dalam persamaan 14, kita asumsikan bahwa kerapatan fluida adalah konstan. Dalam hal ini tidak sesuai dengan kenyataan, khususnya untuk fluida seperti gas. Oleh karena itu, jika terdapat perubahan tekanan, maka juga akan menghasilkan perubahan volume. Jika B adalah modulus bulk gas, maka :

atau (16) Tanda minus dalam hal ini dapat diartikan bahwa jika P membesar, maka V mengecil. Jika m adalah massa

161


gas dengan volume V, maka kerapatannya ρ = m/V. Oleh karena itu

atau (17)

Padukan persamaan 17 dan 16, diperoleh :

(18)

Untuk gas ideal, persamaan yang digunakan :

(19)

Dimana n adalah jumlah mol yaitu n = m / M,adalah massa molekul, R = 8.314 J/mol-K dan T adalah suhu mutlak gas.

(20)

Mari kita gunakan persamaan untuk ρ dalam menghitung perubahan tekanan pada atmosfer sebagai fungsi dari ketinggian z. Substitusi nilai ρ dari persamaan diatas ke persamaan 9, diperoleh :

162


(21)Jika Po adalah tekanan di permukaan laut, integralkan persamaan diatas.

(22)

Dapat didefinisikan bahwa, asalkan suhu tetap konstan, untuk atmosfer isothermal, tinggi skala atmosfer H adalah :

(23)

Jadi persamaan P(z) pada beragam tekanan atmosfer menjadi :

(24)

Sementara nilai kerapatan bervariasi mengikuti persamaan :

(25)H dapat didefinisikan sebagai jarak (ketinggian) dimana kerapatan atau tekanan berkurang sebesar 1/e dari nilai semula. Untuk kerapatan konstan, persamaan 24 direduksi menjadi pernyataan yang sama untuk P(z). Anggaplah z menjadi sangat kecil, maka ρ tidak akan berubah, persamaan 24 dikembangkan menjadi :

163


(26)

Prinsip Archimedes

Perhatikan kembali berat fluida dengan volume V :

(27)

Oleh karena fluida diam, berat atau gayanya seimbang dengan gaya atau tekanan yang dilakukan oleh sekeliling fluida pada permukaan volume, yaitu :

(28)

Untuk fluida diam, Fb harus sama dan berlawanan dengan W, yaitu :

(29)

Gaya keatas Fb pada volume V dalam fluida sama dengan berat fluida yang dipindahkan/dikeluarkan. Ini dikenal sebagai Prinsip Archimedes, pernyataan ini berbunyi gaya keatas pada benda yang dicelupkan ke dalam fluida sama dengan berat dari volume fluida yang dipindahkan.

164


B. DINAMIKA FLUIDA (HIDRODINAMIKA)

Kajian tentang hidrodinamika dibagi dalam dua bagian, yakni kinematika dan dinamika. Dalam bagian ini kita akan membahas kinematika saja . Dua pendekatan yang dipakai seperti yang disarankan oleh Euler. Pendekatan pertama adalah penggunaan langsung meanika Newtonian pada partikel fluida yang ditinjau. Waktu t dipandang sebagai koordinat yang independent, sementara kordinat (x,y,z) dapat dinyatakan dalam koordinat awal (x0, y0,z0) masing-masing pada saat t0 dan t. Persamaan yang dihasilkan adalah persamaan Lgrangian (pendekatan ini juga dinamakan pendekatanLagrange).

Menurut system Eulerian untuk fluida , kita dapat menggambarkan sifat fluida melalui rapat massanya ρ(x,y,z,t), kecepatan v(x,y,z,t), dan tekanan P titik (x,y,z) yang berbeda serta pada saat t sepanjang lintasan fluida. Kita akan memusatkan perhatian pada tempat/titik dimana fluida tersebut mengalir, disampingpartikel-partikel fluidanya sendiri. Hal ini akan mengarahkan kita pada dua defenisi besaran laju perubahan waktu terhadap besaran ρ, v, atau P. Turunan parsial terhadap waktu adalah laju terhadap waktu dari besaran-besaran yang diukur pada suatu titik dalam ruang. Turunan total terhadap waktu adalah laju perubahan waktu terhadap besaran di atas yang diukur terhadap partikel yang bergerak bersama-sama dengan fluida.

Sebagai contoh, untuk vektor kecepatan v v = v (x,y,z)

(30)perubahan vektor kecepatan adalah :

v = v (x+dx,y+dy,z+dz, t+dt) - v (x,y,z,t)

165


(31)

Dalam limit dt kita dapat menulis turunan total terhadap waktu :

(32)

Dengan cara yang sama turunan terhadap tekanan P dapat ditulis

(33)

Besaran vx, vy dan vz ( = , dan ) adalah komponen-komponen dari kecepatan fluida v pada sembarang titik (x,y,z) dan saat t. Hubungan antara persamaan-persamaan di atas untuk besar-besaran lain yang menggambarkan fluida yang sedang dibahas. Persamaan di atas sesuai dengan bentuk umum :

(34)

dan

(35)

Dari kedua persamaan, kita dapat mengambil operator yang dimiliki oleh keduanya yakni :

166


(36)

yang disebut dengan turunan substansial (substantial derivative). Operator ini dapat digunakan terhadap vector maupun scalar. Kita akan menggunakan operator ini pada tiga bagian utama pembahasan ini yakni :

1. Persamaan kontinuitas.2. Persamaan gerak untuk aliran fluida ideal.3. Persamaan Bernoulli.

Persamaan Kontinuitas.

Kita dapat membahas persamaan kontinuitas dengan menerapkan persamaan konservasi massa pada sistim Eulerian. Misalkan sejumlah kecil elemen volume dxdydz dari sejumlah fluida di sekitar titik (x,y,z) seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut ini

Gambar 4.4.Gerak fluida melintasi elemen volume dxdydz vdi

sekitar titik (x,y,z)167


Kecepatan pada masing-masing sisi juga diperlihatkan. Massa yang mengalir melewati sisi I (ditunjukkan pada bagian yang diarsir) dalam waktu dt adalah :

dmI = ρ(x,y,z,t)vx(x,y,z,t)dy dz dt (37)

dimana ρ adalah rapat massa, dan vx adalah komponen kecepatan dalam arah x, yang arahnya normal terhadap luasan dydz. Massa yang mengalir keluar pada sisi II dalam waktu dt adalah :

dmII = ρ(x+dx,y,z,t)vx(x+dx,y,z,t)dx dy dz dt (38)

Jumlh massa yang yang meninggalkan elemen volume dalam arah X adalah :

dmII - dmI = ρ(x+dx,y,z,t)vx(x+dx,y,z,t)dx dy dz dt -ρ(x,y,z,t)vx(x,y,z,t)dy dz dt

(39)

Gunakan pengembangan suku berikut :

ρ(x+dx,y,z,t) = ρ(x,y,z,t)+

vx(x+dx,y,z,t) = vx(x,y,z,t)+

dimana suku dengan orde yang lebih tinggi diabaikan, sehingga diperoleh :

168


(40)Jika hal yang sama juga dilakukan untk sisi-sisi lainnya, maka total massa yang meninggalkan elemen volume dx dy dz dalam interval waktu dt adalah :

(41)Netto massa yangmeninggalkan elemen volume

ini adalah sama dengan pengurangan massa dalam elemen, yang berarti bahwa :

(42)

Samakan kedua persamaan di atas, menghasilkan :

(43)

Dalam notasi vektor , hubungan di atas dapat dinyatakan dengan :

(44)

Kedua persamaan di atas adalah pernyataan tentang persamaan kontinuitas dan secara sederhana menyatakan hukum kekekalan/konservasi massa. Massa dapat masuk dan keluar dari sistim yang ditinjau dan rapat massa dalam elemen volume dV (= dx dy dz)

169


yang bergerak bersama-sama dengan fluida nilainya konstan. Besaran ρv dinamakan fluks massa (disebut juga dengan rapat momentum atau aliran massa) didefenisikan sebagai massa fluida yang meninggalkan elemen volume dalam satu satuan waktu pada luasan yang ditinjau.

Sekarang kita lihat lebih lanjut gambaran persamaan 44. Massa aliran dapat ditentukan dengan mengintegralkan volume V melalui permukaan A dengan normal bidang :

(45)

Dapat dituliskan kembali bentuk pertama dengan menggunakan teorema divergensi Gauss, persamaan kedua dapat didiferensialkan terhadap waktu karena V adalah volume tertentu. Kemudian persamaan b ditulis dalam bentuk :

(46)

Persamaan ini menyatakan bahwa aliran keluaran dari volume melewati permukaan sama dengan laju pengurangan massa dalam volume.

Untuk aliran lambat, massa yang masuk sama dengan

massa yang meninggalkan volume, sehingga :

(47)

170


Selanjutnya, apabila penambahan berat jenis fluida konstan, kecepatan konstan pada daerah aliran dan tegak lurus , persamaan diatas menjadi :

(48)

Dan bila fluida tidak dapat dimampatkan, maka

(49)

yang berarti flux volume vA adalah konstan untuk fluida yang tidak dapat dimampatkan dan alirannya tetap.

Pada aliran fluida yang tidak dapat dimampatkan , ρ = konstan maka persamaan a menjadi :

(50)

Kita tahu bahwa divergensi dari curl vector adalah nol. Untuk itu, v diperoleh dari vektor potensial Ф. Ini jika :

(51)

Kemudian

(52)Persamaan ini sama dengan persamaan untuk vektor potensial gabungan dengan medan magnetik.

Pada penggambaran aliran fluida, curl kecepatan , , berguna untuk menjelaskannya sekarang. Mengingat hubungan

(53)

Pernyataan pada ruas kiri menggambarkan integral pada akhir permukaan A di normal komponen curl v, untuk ruas kanan digunakan teorema Stokes. Gambar 4.5 dibawah memperlihatkan dua contoh aliran fluida,

171


pusaran air dan garis melintang kemiringan kecepatan. Kedua contoh integral garis tidak sama dengan nol. Karena itu, curl kecepatan haruslah bukan nol. Banyaknya dapat diubah menjadi ukuran kecepatan putaran fluida per satuan luas. Pada gambar (a), curl v adalah perputaran pusaran yang nilainya tidak sama dengan nol. Pada gambar (b), meskipun tidak ada pusaran dan fluida tidak bergerak melingkar tetapi karena garis melintang kemiringan kecepatan, curl v tidak sama dengan nol. Gerakan fluida dikatakan mempunyai sifat perputaran.

Gambar 2

Gambar 4.5Dua contoh aliran fluida : (a) sebuah vortex,dan (b) suatu gradient kecepatan transversal. Dalam kedua

kasus, tidak nol ; keduanya memiliki aliran rotasional.

172


Apabila curl v adalah nol dimanapun di dalam fluida, gerakannya menjadi tidak berputar. Maka, apabila pada titik tersebut diberikan :

(54)

Partikel pada fluida dikatakan kecepatannya tidak kaku pada titik tersebut.Oleh sebab itu, bila curl v adalah nol, maka v diperoleh dari sebuah potensial skalar . Apabila curl pada skalar gradient adalah nol, diperoleh :

(55)

Substitusi nilai v kedalam persamaan 55, diperoleh :

(56)Persamaan ini menggambarkan aliran yang tidak berputar.

Persamaan Gerak untuk Aliran Fluida Ideal

Sekali lagi diasumsikan bahwa kita bekerja dengan fluida ideal; fluida tidak mengalami geseran ketika dalam keseimbangan. Tetapi kenyataannyabeberapa aliran fluida mempunyai kekentalan, kita anggap nilainya sangat kecil sehingga kita perhatikan tegangan geser saja. Lalu dianggap bahwa fluida ideal tidak memiliki kekentalan.

Gerak fluida tidak hanya memenuhi persamaan kontinuitas, tetapi juga Hukum-hukum Newton. Pandanglah fluida dengan volume fluida dx dy dz, diperlihatkan pada gambar 4.6, dimana netto gaya yang bekerja tidak sama dengan nol. Anggap bahwa disamping oleh tekanan, fluida juga mengalami gaya f per satuan volume yang juga tidak nol. Total gaya yang diberikan pada elemen volume adalah f dx dy dz. Gaya yang diberikan untuk menekan permukaan I adalah p(x,

173


y,z t) dy dz dan untuk permukaan II adalah p(x+dx, y,z t) dy dz. Penggunaan Hukum II Newton pada arah x :

Perluasan p(x+dx, y, z, t) untuk keadaan pertama di dx dy dz, diperoleh :

(57)

Dari Hukum II Newton,

(58)Persamakan kedua persamaan tersebut, diperoleh :

(59)

Ungkapan yang sama untuk arah yang lain :

(60)

(61)Dalam notasi vektor, ketiga persamaan dapat disatukan menjadi :

(62) Ini berhubungan dengan persamaan

(63)

Persamaan 63 dapat diubah dalam bentuk :

174


(64) Atau

(65)

Gambar 4.6Fluida dengan elemen volume dxdydz dimana netto

gaya yang bekerja sama dengan nol. Disamping tekanan, terdapat gaya per satuan volume f

Persamaan 63-65 adalah Persamaan gerak Euler untuk fluida. Jumlah f/ρ adalah gaya per satuan massa. Apabila kerapatan ρ bergantung hanya pada tekanan p, maka fluida menjadi homogen.

175


Apabila gaya f diberikan, hanya diperoleh lima besaran yang tidak diketahui : kerapatan, tekanan, dan tiga komponen kecepatan. Persamaan Kontinuitas dan persamaan Euler memberikannya hanya dengan empat persamaan scalar. Apabila kerapatan (atau salah satu dari kelima besaran yang tidak diketahui) diketahui, masalahnya dapat diselesaikan.

Persamaan Bernoulli

Hukum konservasi energi ketika digunakan untuk gerak fluida yang diberikan oleh persamaan Euler akan menghasilkan persamaan Bernoulli. Hasil scalar dari persamaan Euler (persamaan d) dengan vector kecepatan v :

(66)

Hasil dari f· v adalah daya per satuan volume diberikan oleh gaya f. Hubungan keduanya dapat dituliskan :

(67)

Bentuk akhir persamaan g dituliskan : (68)

Persamaan g juga 176ias diubah kebentuk : (69)

Pada fluida yang tidak dapat dimampatkan (dρ/dt = 0) dan aliran lambat , persamaan diatas menjadi :

(70)

176


Sekarang persamaan Euler dalam bentuk tersebut dapat diintegralkan. Kalikan kedua ruas dengan dt dan integralkan, diperoleh :

(71) Persamaan pertama pada ruas kiri adalah kerja yang diberikan oleh gaya per satuan volume. Apabila gaya f didapatkan dari potensial scalar Ф, maka :

(72)

dimana Ф adalah potensial energi per satuan volume, bentuk akhir persamaan h adalah : (73) Kemudian persamaan h dapat ditulis :

(74)Inilah bentuk umum dari persamaan Bernoulli.

Apabila gaya yang diberikan adalah gaya gravitasi, Ф = ρgz maka persamaan diatas menjadi :

(75)Persamaan ini, dimana pernyataan pada konservasi energi diketahui sebagai persamaan Bernoulli dan digunakan untuk aliran tetap pada fluida yang tidak dapat dimampatkan pada medan gravitasi. Tekanan p, menggambarkan kerja per satuan volume fluida. menggambarkan energi kinetic per satuan volume fluida, dan ρgz adalah energi potensial per satuan volume fluida.

Viskositas dan Aliran Viskositas

Dalam pembahasan sebelumnya, kita anggap bahwa fluida tidak kental; oleh karena itu tidak terjadi gesekan diantara lapisan-lapisan fluida ketika bergerak. Dalam kenyataannya, ketika salah satu lapisan dari dua

177


lapisan berdekatan mengalami gerakan, gaya geser yang timbul cenderung mengurangi gerak relative terhadap lapisan di dekatnya. Keberadaan gaya gesek dapat digambarkansebagai berikut.

Anggap bahwa kecepatan fluida adalah dalam arah Y. Fluida bergerak dalam lapisan yang searah dengan bidang XY, sepertiyang ditunjukkan dalam gambar. Kecepatan vy hanyalah fungsi z saja, yang berarti bahwa vy = f(z). Misalkan lapisan A bersentuhan dengan lapisan paling atas dalam fluida yang bergerak dengan kecepatan v dalam arah Y. Diperlukan gaya konstan F untuk menjaga agar kecepatan konstan, yang menunjukkan adanya kehadiran gaya gesek dengan fluida. Lapisan yang bersentuhan dengan lapisan yang bergerak juga bergerak dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan lapisan sehingga tidak ada kecepatan relative diantara keduanya. Lapisan fluida berikutnya yakni lapisan stasioner akan diam. Hal ini berarti bahwa kecepatan relative antara permukaan padat-fluida yang berarti tidak ada geseran sama dengan nol pada permukaan tersebut.

178


Gambar 4.7Distribusi kecepatan pada kasus aliran fluida kental

Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4.7, gradien kecepatan nilainya positif jika arahnya condong ke kanan. Gesekan akibat kekentalan menghasilkan tekanan geser positif Fyz bekerja dari kiri ke kanan menembus luasan A dan sejajar dengan bidang XY sedemikian sehingga arahnya normal pada bidang tersebut dan sejajar dengan sumbu Z. Koefisien kekentalan η didefenisikan sebagai perbandingan antara tekanan geser dengan gradien kecepatan yakni :

(76)

Ternyata kehadiran gradien kecepatan menimbulkan gaya geser yang bekerja pada lapisan yang berbeda dalam fluida. Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk sederhana

(77)

Defenisi ini memberi implikasi terhadap satu jenis distribusi dimana tegangan geser sebanding dengan gradient kecepatan. Ini yang dinamakan dengan aliran Newton. Dalam kebanyakan situasi, aliran fluida merupakan aliran non-Newtonian dan viskositasnya merupakan fungsi yang tidak sederhana, yakni menghasilkan tegangan geser yang lebih kompleks. Kita akan membatasi pembicaraan pada aliran Newtonian dan menerapkan hal yang baru saja kita defenisikan pada aliran laminar (fluida yang bergerak dalam bentuk lapisan-lapisan) dalam pipa bulat.

179


Pandanglah suatu fluida dengan aliran tunak dalam sebuah pipa dengan penampang yang luasnya sama dengan A = , dimana r0 adalah jari-jari pipa. Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4.8, sumbu pipa diambil sepanjang sumbu Y; yang berarti bahwa vy hanya fungsi jarak r dari sumbu pipa, yang berarti bahwa gradient kecepatannya adalah . Pandanglah sebuah silinder fluida dengan jari-jari r dan panjang L, maka . Kemudian dengan menggunakan gaya pada silinder dari sisi luar fluida :

(78)

Gambar 4.8Aliran laminer dalam sebuah pipa silinder

Gaya yang diberikan pada fluida adalah gaya viskositas dan tekanan berbeda ∆P antara jarak kedua bagian L yang terpisah. Saat tidak ada gaya dan percepatan, jumlah dari kedua gaya harus nol , jadi :

(79)Substitusi nilai F kedalam persamaan diatas, diperoleh :

(80)

180


Integralkan sisi luar dari sumbu silinder, anggaplah v = vo ; r = 0 dan v = vy ; z = r .

(81)

(82)Bila dianggap bahwa fluida barhenti pada dinding, vy = 0 ; r = ro diperoleh kecepatan maksimum :

(83)

Substitusi nilai ini ke persamaan I, didapat : (84)

Karena A = π r2 dan dA = 2 π r dr, total arus fluida I atau aliran massa pada pipa :

(85)

Substitusi persamaan ini ke persamaan vy dan integralkan, diperoleh :

(86)Pernyataan ini disebut dengan Hukum Poiseuille. Persamaan ini berisi banyaknya ukuran; karena itu η dapat dicari.

Kecepatan rata-rata fluida dapat ditentukan dengan definisi aliran massa.

(87)

181


Substitusi nilai vy, dA = 2 π r dr, dan integralkan dari r = 0 sampai r = ro, diperoleh ;

(88)Diperoleh hubungan antara penurunan tekanan dan kecepatan rata-rata.

Gerak Laminar (Streamline) dan Gerak TurbulenSekarang perhatikan gerak sebuah benda di

dalam fluida dan hubungannya dengan gaya gesek. Andai kata bola dengan jari-jari r berpindah dengan kecepatan kecil dan konstan v pada cairan viskositas η. Dianggap bahwa kecepatan kecil cukup untuk mendapatkan gerak streamline. Saat bola bergerak dengan kecepatan yang seragam, penggunaan gaya harus sama dengan gaya gesek F. Nilai F dapat diperoleh dengan analisis dimensi. Dianggap bahwa gaya gesek F adalah fungsi dari r, v dan η. Dapat dituliskan :

(89)

Dimana K adalah dimensi tetap yang tidak dapat diperoleh dari analisis dimensi. Substitusi dimensi ini pada berbagai jumlah, diperoleh :

(90)

Dan a = b = c = 1 (91)

Karena itu : (92)

182


Nilai K dapat di determinankan. Ini dilakukan dengan mengukur gaya yang dibutuhkan untuk menarik bola dengan jari-jari yang diketahui pada kecepatan aliran. K diubah menjadi 6π. Jadi :

(93)

Ini dikenal sebagai Hukum stokes.Sekarang perhatikan gerak dari sebuah bola kecil

yang dijatuhkan ke dalam cairan viskositas dengan kecepatan konstan. Berdasarkan prinsip Archimedes, berat bola adalah :

(94)

Dimana ρs dan ρl berturut-turut adalah berat jenis bahan bola dan cairan. Gaya ini harus sama dengan gaya gesekan yang diberikan. Bahwa :

(95)

Jadi,

(96)Dengan mengukur nilai v, nilai besaran-besaran yang lain dapat diketahui, juga untuk menghitung η. Sangat penting untuk mengingat persamaan-persamaan yang lalu yang digunakan apabila geraknya laminar atau streamline. Contohnya : sebuah batu yang dijatuhkan kedalam gliserin, mungkin akan mengalami gerak streamline, tetapi tidak jika didalam air.

Sir Osborne Reynolds menemukan bahwa kecepatan benda meningkat didalam cairan . Ini adalah kecepatan kritis ketika tiba-tiba terjadi perubahan gerak dari laminar ke turbulen. Kecepatan kritis ini bergantung pada berat jenis ρ fluida, viskositas η dan

183


diameter d pipa silinder saat cairan mengalir. Kemudian, dengan menggunakan analisis dimensi dapat ditulis :

(97)

Dimana Re adalah Reynolds number. Substitusi dimensi ini untuk jumlah yang berbeda, diperoleh :

Dan

a = -1, b = 1, dan c = -1Kemudian,

(98)

Dan

(99)Dengan menggunakan pipa silinder yang diketahui nilai d, ρ, dan η, nilai vc dan Re bisa dihitung. Kecepatan cairan pada pipa berubah dari maksimum pada sumbu menjadi nol pada tepi. Harus digunakan kecepatan rata-rata untuk menghitung kecepatan kritis. Dari hasil percobaan dengan menggunakan aliran fluida pada pipa kaca, Reynolds menyimpulkan bahwa aliran laminar cairan jika Re < 2000, dan aliran turbulen cairan jika Re > 4000. Untuk cairan yang mengutamakan gaya viskositas yang berfluktuasi, bilangan Reynold mempunyai nilia yang rendah. Pada keadaan yang sebaliknya, apabila gaya viskositas adalah penting, bilangan Reynolds akan besar, ditandai dengan adanya aliran turbulen.

Ketika benda bergerak dengan kecepatan kritis vc, geraknya laminar dan gaya gesek diakibatkan oleh

184


viskositas. Setelah kecepatan lebih besar dari kecepatan kritis, geraknya turbulen; pusaran arus diatur di depan gerakan benda. Sekarang gaya gesek bergantung pada perbedaan tekanan diantara bagian depan dan belakang benda dan viskositas yang sangat rendah. Perbedaan tekanan bergantung pada daerah … benda. Dapat dituliskan besarnya gaya gesek :

(100)

Dengan menggunakan analisis dimensi :

(101)Dimana K bergantung pada bentuk dan bermacam-macam nilai dari 0.9 sampai 0.01.

Soal dan Penyelesaian

1. Tentukan modulus bulk elastisitas suatu cairan jika tekanan yang besarnya 150 psi bekerja pada 10 ft3

fluida yang menyebabkan terjadi penurunan volume sebesar 0,02 ft3.Jawab :Diketahui :

psi, V = 10 ft3, ft3

2. Sebuah sumbat yang dipasang pada sebuah silinder bergerak dengan laju 20 ft/s dengan ukuran seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut. Lapisan minyak pada dinding silinder memisahkan sumbat dengan dinding silinder memiliki viskositas 0,020 lb. s/ft2. Berapakah gaya yang diperlukan untuk

185


mempertahankan gerak sumbat agar tetap bergerak dengan laju seperti di atas ?

Gambar 4.9Gambar/penjelasan untuk contoh soal 2

Jawab :

Tebal lapisan minyak : = 0,005 in = 4,16 x 10-4 ft

0,020 lb.s/ft2

Maka :

= 130,60 lb

3.Tentukan perbedaan tekanan antara pipa A dan B pada manaometer yang ditunjukkan pada gambar berikut

3 in

4,990 in

2 ft/s

186

5,00 in


Gambar 4.10Gambar untuk contoh soal no.3

Jawab :

Ambil titik B sebagai acuan :

187

Air

Air

Air

Air Raksa


4. Pintu air seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini lebarnya 5 ft terpasang pada titik B, dan ujungnya menahan dinding pada titik A. Hitung gaya yang bekerja pada pintu yang dilakukan oleh air laut.

Gambar 4.11Gambar untuk contoh soal no.4

188

15 ft

Permukaan air laut

Air laut = 64 lb/ft3 dinding

A

B

8 ft

6 ft

θ


Jawab :

Dengan menggunakan distribuís tekanan :

Perhatikan secara detail componen gaya yang bekerja pada pintu air AB.

189

15 ft

8 ft

6 ft

θ

F

9 ft

= +

F F1 F2

P1

P2 L


SOAL SOAL

1. Kita ketahui bahwa rapat massa udara di atmosfir berubah menurut ketinggian. Anggap bahwa rapat massa udara adalah konstan, yakni sekitar 1,3 kg/m3, yakni rapat massa pada tekanan dan temperatue standar pada permukaa laut. Berapakah tebal atmosfir menurut data ini.

2. untuk fluida yang tak termamptkan, jika kedua kompnen kecepatannya diketahui, bagaimana anda menentukan komponen kecepatan yang ketiga ? Dalam hal ini jika vx = 3x2 y2 zt3 dan vy = x2y3z2 t3 hitunglah vz.

3. Sebuah bak penampung dengan penampang A dan tinggi H diisi dengan fluida yang tak termapatkan (icompressible). Fluida dialirkan keluar pada sebuah lubang dengan luas penampang a. Hitung waktu yang digunakan untuk mengisi bak penampung tersebut sehingga tersisa setengahnya.

4. Distribusi kecepatan v untuk fluida tak termampatkan dalam suatu aliran turbulen pada

190


pipa bulat dengan jari-jari ro dinyatakan dengan persamaan :

Dimana vo adalah kecepatan fluida persis pada sumbunya. Hitunglah laju volumetric alirannya.

Dimana vo adalah kecepatan fluida persis pada sumbunya. Hitunglah laju volumetric alirannya.

5. Hitung kenaikan rapat massa air pada kedalaman 30 m di bawah permukaan sebuah danau. Harga modulus bulk air adalah 2 x 104 atm dan rapat massanya adalah 1000 kg/m3. Untuk tiap kedalaman 10 m, tekanan naik sebesar 1 atm.

6. Misalkan P0 adalah tekanan pada permukaan laut dan P adalah tekanan kolom udara pada ketinggian H meter. Asumsikan bahwa temperatur terdistribusi merata yakni T K. Tunjukkan bahwa log10 P0 - log10 P = C (H/T), dimana C adalah sebuah tetapan. Anggap bahwa tekanan pada permukaan laut adalah 1,013 x 105

N/m2 dan rapat massa udara pada suhu 00 C adalah 1,29 kg/m3.

7. Pandanglah sebuah garis aliran (streamline) air. Pada suatu titik yang ditetapkan, kecapatan air adalah 60 cm/s dan laju perubahan kecepatan terhadap jarak adalah 12 cm/s/m. Hitunglah percepatan air pada titik tersebut.

8. Sebuah tabung horizontal yangpanjangnya 20 cm dan diameternya 1 cm dihubungkan dengan ujung sebuah tangki yang dapat diatur sehingga ketinggian air dalam tangki tetap yakni 2 m. Hitung koefisien kekentalan fluida jika 500 cm3

fluida dapat dialirkan dalam waktu 5 menit.

191


9. Pandanglah sebuah tabung pipa kapiler horizontal yang panjangnya L dan jari-jarinya R dihubungkan dengan sebuah wadah yang kedap udara yang volumenya V. Udara bergerak dari wadah menuju tabung pipa kapiler, dan dalam waktu t tekanan udara turun dari P1 menjadi P2. Jika tekanan atmosfir P0, tunjukkan bahwa koefisien kekentalan dapat dinyatakan dengan :

Petunjuk : Pandang suatu penampang kecil tabung pipa dengan panjang dx dimana tekanannya adalah P, kemudian integrasikan keseluruh panjang tabung, kemudian gunakan Hukum Boyle.

10.Gunakan persamaan yang telah diturunkan dalam soal no. 9 untuk menghitung koefisien kekentalan dengan menggunakan data berikut : L = 1 m, R = 0,05 m, V = 0,5 m3, tekanan awal adalah 81 cm air raksa, tekanan akhir setelah 30 detik adalah 79,5 em air raksa, tekanan atmosfir adalah 76 cm air raksa serta temperature diasumsikan merata dimana-mana.

11.Angap bahwa bilangan Reynold sebuah pipa silinder adalah 1200 yang berdiameter 2,5 cm. Hitung kecepatan kritis untuk (a). air dan (b) gliserin untuk keduanya pada tempetaur 20° C.

192

hidrodinamika · web viewbahan penyusun fluida mempunyai bentuk yang tidak tetap (mudah...

Documents