hidráulica para ingenieros

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    T    e    m    a     7    :     I    n    t    r    o     d    u    c    c     i     ó    n    a     l    a    s     M     á    q    u     i    n    a    s     H     i     d    r     á    u     l     i    c    a    s 1 HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología TEM A 7 INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS HIDRAULICAS HIDRAULICA APLICADA Código 325 3º Curso, INGENIERÍA INDUSTRIAL Curso 2004/05

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1HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

TEMA 7

INTRODUCCIÓN A LASMÁQUINAS

HIDRAULICAS

HIDRAULICA APLICADACódigo 325

3º Curso, INGENIERÍA INDUSTRIAL

Curso 2004/05

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2HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

1.1.- Introducción a las Bombas Centrífugas

1.2.- Clasificación de las máquinas de fluidos1.2.1.- Introducción: generalidades

1.2.2.- Algunos tipos de bombas

1.2.3.- Clasificación de las turbobómbas hidráulicas1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomáquinas o Teorema de Euler

1.4.- Altura teórica aportada por una bomba

1.5.- Derivación alternativa de la ecuación fundamental de las turbomáquinas

ANEXOS

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3HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

1.1.- Introducción a las Bombas Centrífugas

Este es el esquema típico de un bomba centrífuga.

EntradaCaudal

SalidaCaudal

Brida deAspiración

Brida deImpulsión

El sistema de funcionamiento esbastante sencillo. El caudal entra a la bomba através de la brida de aspiración. Pasa a través delrodete, dispositivo con aspas que se mueve sobre

su eje gracias al motor al que está acoplado. Elrodete le comunica energía centrífuga al fluido,siendo expulsado hacia la voluta, especie decaracol que recoge el caudal que sale del rodete,el cual lo conduce hacia la brida de impulsión,

salida de la bomba.

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Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

EntradaCaudal Eje

SalidaCaudal

Esquema de una bomba centrífugamonobloc típica.

Motor: Eléctrico o Diessel

Rodete

Motor: Eléctrico o Diessel

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Veamos que hace la bomba de forma breve: El fluido entra por la brida de impulsión, y sale por lade aspiración. Si aplicamos Bernoulli:

imp imp imp bomba asp asp asp  z g V p H z g V p  ++=+++.2.2

22

γ γ 

Dasp

Dimp

Qentrada

Qsalida

∆z[ ]asp imp asp imp asp imp 

bomba  z z g 

V p p H  −+

⎥⎥

⎢⎢

⎡−+⎥

⎤⎢⎣

⎡−=

.2.2

22

γ γ 

La diferencia de cotas entre laentrada y la salida es muy pequeña,y casi la podemos despreciar 

0≈

Obviamente el caudal a la entrada es el mismoque a la salida, y si los diámetros de aspiración eimpulsión son parecidos, las velocidades delfluido en esos puntos también lo serán, por lo quela diferencia la podríamos despreciar en un primer momento.

⎥⎥

⎢⎢

⎡−+⎥

⎤⎢⎣

⎡−=

V p p H  asp imp asp imp 

bomba  .2.2

22

γ γ 

0≈bomba 

asp imp  H p p 

+=γ γ 

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O lo que es lo mismo, toda la energía de bombeo, o energía que entrega labomba al fluido, éste lo invierte, o la almacena, en forma de presión a la

salida de la bomba.

bomba asp imp  H 

p p +=

γ γ 

Por tanto, las bombas lo que hacen es aumentar la energía en forma de presión del fluido.Consumen Energía de la red, energía eléctrica normalmente, y entregan energía al fluido, el cual laalmacena en forma de presión.

Energíaconsumidade la red

Perdidasen el motorEléctrico

PerdidasMecánicas( en el eje )

Perdidas Hidráulicas( Rozamiento,turbulencias, Choques,etc.. )

Energía

Hidráulica ÚtilEntregada alFluido

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¿ Cuál es la potencia

necesaria para elevar ellíquido de la tubería ?

( ) H Q H AV P AV F V P  imp h imp imp potencia  ........ γ γ  ====

Por tanto, la potencia útil que posee el fluido a la salida de la bomba será: H Q P util  ..γ =

La potencia eléctrica que toma de la red será ( si el motor es trifásico ): ϕ cos...3 I U P electrica  =

Así, el rendimiento de la bomba, será la relación entre la potencia útil que le entregamos al fluido y lapotencia eléctrica que tomamos de la red, y que pagamos:

electrica 

útil P 

P =η 

η 

γ  H Q 

P electrica 

..

=Es decir, la potencia consumida por la bomba será:

Donde el rendimiento será un parámetro de la bomba que el fabricante nos dará en forma de curva,en función del caudal que trasiega.

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De forma preliminar vamos a intentar entender el comportamiento de la bomba. Supongamosque no existen ningún tipo de pérdidas en la bomba. Así toda la energía que extraemos de la red se la

comunicamos a la bomba. Esto es debido a que el motor eléctrico mantiene las rpm constantes, por tanto,la energía disponible para el fluido se mantiene de alguna manera constante. Si pasa poco líquido, laenergía que le daremos al fluido por unida de volumen será mayor que si pasa mucho fluido por la bomba.Por tanto, es de esperar que el comportamiento de la bomba sea de una forma parecida a esta:

Si por la bomba pasa Q1, la bomba le da energíaal fluido el cual la almacena en forma de presión,

correspondiéndole una altura H1, si pasa máscaudal, Q2, la misma energía se reparte entremás y por tanto, a cada unidad de caudal lecorresponde menos energía, por lo que laenergía almacena es menor, y por tanto sale de

la bomba con menos presión ( altura ), H2.

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La bomba no sabe cuanto caudal ha de trasegar, quien marca el caudal es la instalación sobrela que va montada la bomba. Supongamos que tenemos la instalación de la figura

Curva Resistiva de la Instalación, HA

La bomba si la colocamos es la instalación

anterior, tendrá su punto de funcionamientoen H0,Q0. Que como vemos depende de lafricción, la válvula y la cota.

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Matemáticamente esto se expresa como:

Curva Motriz2

.. Q C Q B AH bomba  ++=Curva Resistiva de la instalación.22 .. Q r Q r Z H  valvula fricción A ++∆=

Así, si queremos un caudal en concreto, lo que hemos de hacer es variar la curva

resistiva, y para eso está la válvula que en función de su grado de abertura introducirá una resistenciau otra. Así, si por ejemplo cerramos la válvula aumentando la resistencia hidráulica de la misma, elsistema reducirá el caudal, Q1, y aumentando la altura, H1, que proporciona la bomba.

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Partes principales de las Bombas Centrífugas

ImpulsiónDifusor 

Impulsión

Aspiración

Aspiración

RodeteCámara Espiral o Caracol o Voluta

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Rodete

Voluta oCaracol

Linea de flujo

Punto de entrada al rodeteBOMBA CENTRÍFUGA SIN DIFUSOR

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EL aumento de energía se refleja a la salida del rodete como un aumento del momento cinético. SI queremoscomunicar mucha energía al fluido, y por tanto una mayor presión, la velocidad absoluta a la salida del rodete

será muy grande. Al pasar este fluido con alta velocidad por la voluta, se producirán muchas perdidas de energíapor fricción ya que estas dependen de la velocidad al cuadrado. Para evitarlo, se coloca entre el rodete y lavoluta unos álabes fijos que reducen la velocidad de salida aumentando la presión ( transforma energía cinéticaen potencial, no se pierde ), con lo que se reduce las perdidas posteriores en el paso por el caracol.

DIFUSOR

RODETE

CARACOL

CARCASAIMPULSIÓN

ASPIRACIÓN

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1.2.- Clasificación de las máquinas de fluidos

1.2.1.- Introducción: generalidades

Las bombas son máquinas de fluidos, es decir, dispositivos que transforman energía:• TURBINAS : Máquinas de fluidos absorben energía del fluido que trasiegan.

• BOMBAS : Máquinas de fluidos que comunican energía al fluido que trasiegan.

La primera gran clasificación de las máquinas de fluidos es atendiendo a su principio de funcionamiento:

• MÁQUINAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO: Máquinas en las que el fluido es trasegado de formadiscreta, es decir, el fluido se encierra en un volumen, desde la aspiración hasta la descarga, aplicándole

una serie de trasformaciones trasformación.

• TURBOMÁQUINAS: Máquinas en las que el intercambio de energía es debido a la variación del

momento cinético al pasar por la máquina. El intercambio se hace de forma continuo.

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Otra gran división en la clasificación de las máquinas de fluidos será atendiendo al tipo de fluido

que trasiegan, y sobre todo, a variación de la densidad del fluido en el interior de la máquina. Así podemosdistinguir:

• Máquinas Hidráulicas: El fluido no experimenta cambios en su densidad en su paso por la máquina.

Bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas

• Máquinas Térmicas: El fluido experimenta cambios en su densidad en su paso por la máquina

Turbinas de vapor y gas, turbocompresores

Así, nosotros dedicaremos la mayor parte de nuestro tiempo a las TURBOBÓMBASHIDRÁULICAS, algo de tiempo a las BOMBAS HIDRÁULICAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO, y sólose comentará el funcionamiento y principales aplicaciones de las TURBINAS HIDRÁULICAS. Lo relativo alas TURBINAS TÉRMICAS queda fuera del ámbito de esta asignatura.

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• Descripción general de una Bomba

1. Parte eléctrica: Motor y conexiones.

Motor de inducción o de jaula de ardilla, de potencia superior a lasolicitud más desfavorable.

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2.- Parte mecánica: Eje y rodamientos y sellos.

 – Muy simplificada al tratarse de un equipo compacto.

 – Eje y rodamientos sometidos a menos esfuerzos.

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• Sellos: es vital en una bomba sumergible.

• El más apropiado es la junta mecánica.

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2.- Parte mecánica: Cámara de aceite para la lubricación y refrigeración de la junta mecánica.

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3.- Parte Hidráulica: Voluta, impulsor y anillos de desgaste.

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Existen muchas formas de clasificarlo

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A parte de esta existen un gran número declasificaciones alternativas. En la literaturaanglosajona es muy común este tipo declasificación, en la que se llaman bombasdinámicas o cinemáticas a las turbobombas,

y se llaman bombas centrífugas al conjuntode bombas radiales, centrífugas yhelicocentrífugas

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1.2.3.- Clasificación de las turbobómbas hidráulicas

Existe una gran cantidad de clasificaciones para las bombas hidráulicas. La más popular es la que lasclasifica en función de la dirección del fluido en el rodete:

Radial o Centrífugo Helicocentrífugo o Mixo

• RADIAL o CENTRÍFUGA:

Toda partícula de fluido recorre una

trayectoria situada en un plano normal aleje de giro.

• AXIAL:

Las partículas recorren trayectoriassituadas en superficies cilíndricascoaxiales al eje de giro

• HELICOCENTRÍFUGAS:

Las partículas recorren trayectoriassituadas sobre superficies cónicas o de

revolución no desarrollables

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    T   e   m   a    7   :

    I   n   t   r   o    d   u   c   c    i    ó   n   a

    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a   s    H    i    d   r    á   u    l    i   c   a   s

26HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

CentrifugaRadial

Axial

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    T   e   m   a    7   :

    I   n   t   r   o    d   u   c   c    i    ó   n   a

    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a   s    H    i    d   r    á   u    l    i   c   a   s

27HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

Radial

Axial

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• Cámara Seca:

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29HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

Cámara Seca:

• VERTICAL

• HORIZONTAL

• Sumergibles

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    I   n   t   r   o    d   u   c   c    i    ó   n   a    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a   s    H    i    d   r    á   u    l    i   c   a   s

30HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

Sumergibles

1.- De pozo profundo. 2.- De Voluta. 3.- De hélice.

• Sumergibles: De pozo

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    I   n   t   r   o    d   u   c   c    i    ó   n   a    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a

   s    H    i    d   r    á   u    l    i   c   a   s

31HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

• Sumergibles: De pozo

1.- De eje largo. 2.- De motor

sumergible

• Sumergibles: Con Voluta

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    I   n   t   r   o    d   u   c   c    i    ó   n   a    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a

   s    H    i    d   r    á   u    l    i   c   a   s

32HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

• Sumergibles: Con Voluta

1.- De motor exterior. 2.- De motor sumergible:

• Sumergibles: de Hélice

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   s    H    i    d   r    á   u    l    i   c   a   s

33HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

Sumergibles: de Hélice

1.- De motor exterior.

2.- De motor sumergible:

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34HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

• Según el tipo de eje:

• MONOBLOC: Cuando el eje es único para el motor y la bomba• DE EJE LIBRE: Cuando la bomba y el motor tiene su propio eje, y se unen mediante algún

mecanismo para que la bomba sea arrastrada por el motor.

Eje Libre

Acoplamiento

entre ejes

Monobloc

Eje Común

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   s    H    i    d   r    á   u    l    i   c   a   s

35HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

• Según el Número de rodetes:

• MONOCELULAR ( monostage ): Cuando sólo tiene un rodete• MULTICELULAR ( multistage ): Cuando tiene una serie de rodetes acoplados.

Múltiples

rodetes

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36HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

Múltiples rodetes

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37HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

• Según la configuración del conjunto álabes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :

• Abierto• Semi-abierto

• Cerrado

• Según la configuración del conjunto álabes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :

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38HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

MONOCANALBICANAL

VORTEX ABIERTO

CORTADOR TIPOTORNILLO

1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomáquinas o Teorema de Euler

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39HIDRAULICA APLICADA

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q

Podemos partir de la aplicación de la ecuación de conservación del momento angular para unos ejes fijos ( ver anexo A para su deducción )

( ) ( ) ( )∫∫∫ ×+∀×=+∀×+×∀∀ vc vc  A

otros C 

erficie  Ad V V r d V r dt d 

T d g r F r GGGGGGGGGGG

 ρ  ρ  ρ .

sup ..

( ) ( ) ( )∫ ×+∫ ×=∫ ×=ΣΣ 12

Ad V V r Ad V V r Ad V V r M vc A

ext GGGGGGGGGGGGG

 ρ  ρ  ρ 

Entendiendo el volumen de control como todo al rotedete, y simplificando, suponiendo la ausencia derozamiento con los álabes y estado estacionario, obtendremos:

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40HIDRAULICA APLICADA

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• El único par exterior al V.C. Será el par motor, Mmotor  , necesario para mover el rodete con unavelocidad angular ω.

• Podemos suponer que la velocidad del flujo tanto a la entrada como a la salida del rodete esuniforme, es decir, no depende del punto del área en el que nos situemos.

Con estas dos suposiciones la ecuación anterior queda como:

( ) ( ) ∫×+∫×= ΣΣ 22

11ˆ. Ad V V r Ad V V r k M motor 

GGGGGGGG

 ρ  ρ 

Teniendo en cuenta los triángulos de velocidades:

Entrada:

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41HIDRAULICA APLICADA

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Entrada:

( ) ( )∫=∫=∫=∫

ΣΣΣΣ 1111

cos.1.cos.ˆ.ˆ. dAV dAn V dAn V Ad V  θ  ρ θ  ρ  ρ  ρ GGGG

r m  Q v V dAV Ad V  ....cos..cos.. 11111

 ρ  ρ θ  ρ θ  ρ  ρ  −=Σ−=Σ−=∫−=∫ΣΣ

GG

Salida:

( ) ( ) ( )∫=∫=∫=∫ΣΣΣΣ 2222

cos.1.cos.ˆ.ˆ. dAV dAn V dAn V Ad V  θ  ρ θ  ρ  ρ  ρ GGGG

r m  Q v V dAV Ad V  ....cos..cos.. 12222

 ρ  ρ θ  ρ θ  ρ  ρ  =Σ=Σ=∫=∫ΣΣ

GG

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1221 ..)..().(ˆ. V r V r Q Q V r Q V r k M  r r r motor GGGGGGGG

×−×=×+−×= ρ  ρ  ρ 

Así, la ecuación anterior queda como:

Aplicando la definición de producto vectorial de dos vectores:

( )

( ) u 

v r V r V r V r V r 

v r V r V r V r V r 

22222222

11111111

.cos..sin..sin..

.cos..sin..sin..

====×

====×

α θ θ 

α θ θ GGGG

GGGG

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    T   e   m   a    7   :

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Sustituyendo en la ecuación queda:

[ ]u u r motor  v r v r Q k M  1122 ....ˆ. −= ρ  TEOREMA DE EULER BÁSICO DELAS TURBOMÁQUINAS

La suposiciones que se han considerado son:

• No existen pérdidas hidráulicas en el rodete

• El rodete tiene un número infinito de álabes. O lo que es lo mismo todas las trayectorias de laspartículas en el interior del rodete están perfectamente guiadas y son idénticas

• El régimen es permanente• El flujo es incompresible

Vamos ahora a analizar un poco la expresión del teorema de Euler:

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[ ]u u r motor  v r v r Q k M  1122 ....ˆ. −= ρ 

Si nos fijamos en la velocidad del flujo, V, vemos que ésta sepuede descomponer en dos , una componente radial, vm, la cuales obvio que no producirá ningún tipo de par, ya que su línea deacción pasa por el centro de giro, y una componente vu ,

tangencial, la cual será la responsable del par producido.Se puede entender que el momento será proporcional a la distanciade aplicación, por tanto, queda claro que el momento creado sobreel fluido será proporcional a r.vu.

El motor de la bomba ha de proporcionar un par al fluidoproporcional a r 2.v2u, pero si el fluido a la entrada ya posee un par proporcional a r 1.v1u, el motor sólo tendrá que proporcionarle elresto, es decir la resta de ambas cantidades.

Qr es el caudal que circula por el rodete, es decir el caudal quetrasiega la bomba

[ ]u u  v r v r  1122 .. −

[ ]

[ ] m N v r Q 

m s 

m kg m 

s m 

s kg 

s m 

m s 

kg v r Q 

u r 

u r 

....

..

........

22

2

3

322

=

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

 ρ 

 ρ 

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   a    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a

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1.4.- Altura teórica aportada por una bomba

Del teorema de Euler, podemos extraer la potencia teórica de que la bomba ha de proporcionar:

[ ] [ ] [ ]u u r u u r u u r motor motor  v u v u Q v r v r Q v r v r Q M P  112211221122 ................ −=−=−== ρ ω ω  ρ ω  ρ ω 

La potencia comunicada al fluido en su paso por el rodete será:

¿ Cuál es la potencianecesaria para elevar ellíquido de la tubería ?

H Q H Av P 

P Av v P  h 

.....

...

γ γ  ==

==

∞∞ = ,, .. t t  H Q P  γ 

[ ] ∞=−= ,1122 ...... t r u u r motor  H Q v u v u Q P  γ  ρ 

Sustituyendo:

[ ]g 

v u v u H  u u 

t 1122

,.. −

=∞

ALTURA TEÓRICAPRODUCIDA POR UNABOMBA DE INFINITOSÁLABES

Como la mayoría de bombas están pensadas para que el flujo entre

de forma radial al rodete, es decir con = 90º , o lo que es lo mismov1u = 0, la altura teórica para esta bombas será:

g v u 

H  u t 

22,

.=∞

Es evidente que los parámetros que caracterizan una bomba son ALTURA y CAUDAL por lo que sería

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   a    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a

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Es evidente que los parámetros que caracterizan una bomba son ALTURA y CAUDAL, por lo que seríaadecuado intentar encontrar una relación entre ambos parámetros.

2211 Σ=Σ=r 

v El caudal es quien determina la componente radial vm de la velocidad V:

Mientras que la velocidad angular del rodete es quien marca lavelocidad tangencial u y por tanto la velocidad de arrastre.vu

60

...

60

.2..

60

.2. 2

222D N 

r N 

r u r N 

r u π π 

ω π 

ω  ===→==

222 cos. α v v  u  =

Si nos fijamos en la figura, el ángulo geométrico más físico es β2,ya que viene marcado por la curvatura de los álabes, y es fijo, porlo que es mejor trabajar con este ángulo que con α2 el cual varíaen función del caudal y la velocidad.

2222

222 cot. β 

 β g v u 

tg v u v  m 

m u  −=−=

w2

Sustituyendo en la ecuación de la altura:

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   a    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a

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( ) ( )

r r 

m m u t 

Q g g D N 

N D 

g Q 

g g D N D N 

g H 

g g v u 

g u 

g g v u u 

g v u 

⎥⎦

⎤⎢⎣

Σ−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =

Σ−⎟

 ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =

−=−

==

2

2222

2

2

222

2,

22222222222

,

1cot60

...

60.

.1cot

60..

60..

.1

cot..cot...

 β π π  β π π 

 β  β 

r t  Q B N AH  .. 2, −=∞

Para una velocidad de rotación dada N0, podemos determinar en funcióndel ángulo de salida de las paletas lo siguiente:

r r t  Q B g 

u Q g g D N 

g u H  .1cot

60.. 22

2

2222, −=⎥

⎤⎢⎣

⎡Σ

−=∞ β π 

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

grados

      c      o       t      a      n

 β tg 1

β

N0 Régimen de Giro Nominal

Si β < 90º -> ctg β >0 -> B>0-> PENDIENTE NEGATIVA

si Qr aumenta, Ht Disminuye

Si β > 90º -> ctg β <0 -> B<0-> PENDIENTE POSITIVA

si Qr aumenta, Ht Aumenta

V l t i t ó i i d l fl id l b b L d l l

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   a    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a

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Veamos que ocurre con la potencia teórica comunicada al fluido por la bomba. La podemos calcular como:

r r t r t  Q B N AQ H Q P  ....2

,, −== ∞∞ γ γ 

Como se puede observar, sólo las bombas con los álabes con ángulo b2 <90º sonviables, ya que en el resto sería necesario motores de potencia infinita.

     β 2

      >      9      0       º

   β 2   =    9    0    º

 β  2  <   9 0 º  

N AQ 

Q B N AQ P 

r r t 

2

max

2,

.

...0

=

−==∞ γ 

( )

22

.

0.2..

max2

max

2,,

,

r P r 

r r 

t t 

B N A

Q B N A

P MÁXIMAP 

t ==

=−=

∂→

∞∞ γ 

El caudal máximo que proporciona la bomba será:

El caudal que de la potencia máxima será:

1.5.- Derivación alternativa de la ecuación fundamental de las turbomáquinas

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    T   e   m   a    7   :

    I   n   t   r   o    d   u   c   c    i    ó   n

   a    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a

   s    H    i    d   r    á   u    l    i   c   a   s

48HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

q

Supongamos que el rodete está parado, y que por tanto el fluidoentra y sale de él con una velocidad w1 y w2 respectivamente.Aplicando el teorema de Bernoulli:

w p 

w p 

22

222

211 +=+

γ γ 

Donde p es la presión a la entrada y salida del rodete.

SI el rodete se pone en marcha y gira con velocidad angular constante ω, lo que hará será añadir al fluido una

energía extra, E, derivada por la fuerza centrífuga en su camino desde 1 a 2.

g w p 

E g 

w p 22

222

211 +=++

γ γ 

La fuerza centrífuga se puede determinar como: r m F  m c  ..2

, ω =

Así, el trabajo que realizará la fuerza centrífuga sobre una partícula que va de 1 a 2 estará determinado por:

2

.

2

.....21

22

21

2222

.

2

1

u u m 

r r m dr r m W 

Centr −

=−

=∫= ω ω 

Para una el fluido que circula entre dos álabes cuando el rodete esta

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49HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

Para una el fluido que circula entre dos álabes cuando el rodete estaquieto, según Bernoulli tenemos que:

2

222

1

211

2222221

21111

2222221

21111

.2.2

..

.....2

1..

..

.....2

1..

.....21.......

21..

z g 

w g p 

z g 

w g p 

Q g 

Q g z Q w w Ap 

Q g 

Q g z Q w w Ap 

Q g z Q w w Ap Q g z Q w w Ap 

r r 

r r 

r r r r 

++=++

++=

++

++=++

 ρ  ρ 

 ρ 

 ρ  ρ 

 ρ 

 ρ  ρ 

 ρ  ρ  ρ  ρ 

Para una el fluido que circula entre dos álabes cuando el rodete estagirando con velocidad constante ω, según Bernoulli tendremos que:

2

222

21

22

1

211

222222

21

22

121111

222222

21

22

121111

.2.2.2

.......2

1

....

..2.....2

1

..

.....21

....2

.....21

..

z g 

w g p 

g u u 

z g 

w g p 

Q g Q g z Q w w Ap 

Q g Q 

u u 

Q g z Q w w Ap 

Q g z Q w w Ap Q u u 

Q g z Q w w Ap 

r r 

r r r 

r r r r r 

++=−

+++

++=

+++

++=−

+++

 ρ  ρ 

 ρ 

 ρ  ρ 

 ρ 

 ρ  ρ  ρ 

 ρ  ρ  ρ  ρ  ρ 

 ρ g p p 

g u u 

g w w  12

21

22

22

21

.2.2−

=−

+−Como usualmente z2=z1

p p u u w w  1221

22

22

21 −

=−

+−

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50HIDRAULICA APLICADA

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 ρ g g g  .2.2+

γ γ 2

2

2

2

21

2

1

2

1.2.2 p g u w p g u w  +−=+−

.

.2

121

21 cte 

u w =+

γ 

ECUACIÓN DE BERNOULLI

GENERALIZADA

En el caso en en que existan pérdidas por fricción o por choques en el paso del fluido a través del rodetetendremos:

122

22

221

21

21

.2.2h 

p g u w p 

g u w 

++−

=+−

γ γ  Perdidas por fricción y choques enel rodete ( en m.c.a )

Ahora, teniendo en cuenta el triangulo de velocidades tendremos que:

( ) ( )

( )

α 

α 

α α α 

α α α 

α α 

cos...2

cos...2

cos...2sincos.

sin.cos...2cos.

sin.cos.

222

222

22222

222222

222

v u v u w 

v u v u w 

v u v u w 

v v u v u w 

v v u w 

−=−

−+=

−++=

+−+=

+−=

En el caso de perdidas despreciables en el interior del rodete ( h12 = 0 ):

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Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

γ 

α 

γ 

α  22222

211112

1

.2

cos...2

.2

cos...2 p 

v u v p 

v u v +

−=+

u v v  2cos. =α 

g v u p 

g v 

g v u p 

g v 

p g  v u v p g  v u v 

u u 

u u 

2222

21112

1

222

2

2111

2

1

.

.2

.

.2

.2 ..2.2 ..2

−+=−+

+−=+−

γ γ 

γ γ 

Según Bernoulli, este sumatorio es laenergía por unidad de peso que elfluido posee a la entrada del rodete

La energía por unidad de peso que elfluido posee a la salida del rodete

v u 

v u p 

v p 

v  u u  112212

122

2 ..

.2.2

−=+−+

γ γ 

g v u v u 

B B  u u  112212

.. −=−

g v u v u 

H  u u t 

1122,

.. −=∞

∞=− ,12 t H B B 

Energía ganada por el fluido a supaso por el rodete

En el caso en que se consideren perdidas podemos determinar 

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52HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

v u v u B B H  u u 

1122

12,

.. −=−=

Si existe fricción en el rodete:

e ro t  h B B H  det12, −−=∞

Si queremos tener en cuenta tanto los efectos de fricción con el efecto producidopor un número finito de álabes, englobándolo todo en perdidas en el rodete:

∑−−= r z t  h B B H  12,

Si se quiere tener en cuenta la existencia de perdidas en la boca de entrada delrodete antes de la sección 1 y las perdidas producidas después de la sección 2,

tanto en el caracol como en difusor, la altura útil creada por la bomba será:

∑−∑−∑−−=−= c d r ASPIRACIÓN IMPULSION u  h h h B B B B H  12

A.1.- Relación entre las velocidades de una partículas tomadas respecto a unsistema de coordenadas fi jo y móvil

ANEXOS

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53HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

k z  j y i x r GG

.ˆ.ˆ. ++=De la geometría obtenemos:y definiendo:

dt 

k d z 

dt 

 j d y 

dt 

i d x v 

dt 

k d z 

dt 

 j d y 

dt 

i d x k 

dt 

dz  j 

dt 

dy i 

dt 

dx 

dt 

r d p 

GG

GG

G

..ˆ

..ˆ.ˆ. +++=+++++=

r R X GGG

+=

dt r d 

V dt r d 

dt R d 

dt X d 

V  ref 

GG

GGGG

+=+==

Ahora podemos definir la velocidad de la partícula

referida al sistema fijo como: Donde es la velocidad del origen de coordenadas delmarco móvil.

ref V G

sistema de coordenadas fi jo y móvil

Donde es la velocidad de la partícula respecto del marco móvil

De la expresión anterior, que relaciona la velocidad de la partícula en los dos marcosde coordenadas, sólo que por averiguar una expresión para:

p v dt k d 

z dt  j d 

y dt i d 

x v V dt X d 

V  p ref 

GGG

GG

. ++++==

dt 

k d 

dt 

 j d 

dt 

i d G

,

ˆ

,

ˆ

Cálculo de la derivada del vector unitario :i

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54HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

Cálculo de la derivada del vector unitario :

Giro respecto al eje z con una velocidad angular wz :

( ) ( ) j 

t  j 

t t i t t i 

dt i d 

z t t a debido  z 

ˆˆ).1(

limˆˆ

limˆ

00ω 

θ 

ω 

=⎥⎦

⎤⎢⎣

∆∆

=⎥⎦

⎤⎢⎣

∆−+∆

=→∆→∆

Giro respecto al eje y con una velocidad angular wy :

( ) ( )k 

t i t t i 

dt 

i d y 

t t a debido  y 

ˆ)ˆ.().1(lim

ˆˆlim

ˆ

00

ω θ 

ω 

−=⎥

⎤⎢

−∆=⎥

⎤⎢

−+∆=

→∆→∆

Giro respecto al eje x con una velocidad angular w : No tiene ningún efecto sobre el

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Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

Giro respecto al eje x con una velocidad angular wx : No tiene ningún efecto sobre eleje x. Por lo que al combinarlos:

k  j dt i d 

y z  ˆ.ˆ.ˆ

ω ω  −=

Para los otros ejes: j i 

dt 

k d i k 

dt 

 j d x y z x  ˆ.ˆ.

ˆˆ.ˆ.

ˆω ω ω ω  −=−=

( ) ( ) ( )k x y  j z x i y z dt k d 

z dt  j d 

y dt i d 

x  y x x z z y  ˆ...ˆ...ˆ....ˆ

. ω ω ω ω ω ω  −+−+−=++

G

( ) ( ) ( )k x y  j z x i y z 

z y x 

k  j i 

r  y x x z z y k y x  ˆ...ˆ...ˆ...

ˆˆˆ

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω  −+−+−==×G

r dt 

k d 

z dt 

 j d 

y dt 

i d 

GG

G

×=++ ω .

ˆ

.

ˆ

.

Por tanto, resumiendo tenemos que: r v V V  p ref GGGGG

×++= ω 

Nota:

Velocidad de la

partícula p respectoC.Móviles

Velocidad del origen

del sistema deC.Móviles respecto aC . Fijas

Velocidad

angular delsistema C.Móviles

Vector Posición de la partícula Prespecto C. Móviles

Velocidad de la

partícula prespecto C.Fija

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rrvaaaG

GGGGGGGGG

×+××+×++ ωωωω2

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57HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

r r v a a a  p p ref  ×+××+×++= ω ω ω ω .2

(1) (2) (3) (4) (5) (6)(1) Aceleración rectilínea absoluta de una partícula relativa al marco dereferencia fijo

(2) Aceleración rectilínea absoluta del sistema de coordenadas relativa almarco de referencia fijo

(3) Aceleración rectilínea rectilínea de una partícula relativa al marco dereferencia en movimiento

(4) Aceleración de Corilolis debida al movimiento de una partícula dentro delmarco en movimiento

(5) Aceleración centrípeta debida a la rotación del marco en movimiento

(6) Aceleración tangencial debida a la aceleración angular dentro del marco enmovimiento

Sustituyendo esta aceleración en la expresión de la segunda ley:

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58HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

[ ] [ ]sysM 

p M 

M p 

M p ref sys 

M  p p ref sys 

dt p d 

dm v dt d 

dm dt 

v d dm a dm r r v a F 

dm r r v a a F 

sys sys sys sys 

sys G

GG

GGGGGGGGGG

GGGGGGGGGG

=∫=∫=∫=∫ ×+××+×+−

∫ ×+××+×++=

.....2

..2

ω ω ω ω 

ω ω ω ω 

Donde es la cantidad de movimiento relativo al marco de coordenadas en movimientop G

[ ]sys M 

p ref sys 

dt 

p d dm r r v a F 

sys 

GG

GGGGGGGG

=∫ ×+××+×+− ..2 ω ω ω ω 

Ahora, aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds:

( ) Ad v v d v t dt 

p d 

C C S 

p p p 

sys 

GGGGG

∫ ∫+∀∂∂

=

∀. ..

.... ρ  ρ 

Se obtiene, con una pequeña modificación que:

[ ] ( ) Ad v v d v t 

d r r v a F C C S 

p p p C 

p ref sys GGGGG

GGGGGGGG

∫ ∫+∀∂

∂=∀∫ ×+××+×+−

∀∀ . ...

.......2 ρ  ρ  ρ ω ω ω ω 

A.3.- La Ecuación de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Fijo

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59HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

El momento Angular de un sistema homogéneo se define como:

Para un sistema genérico lo definiremos como:

El principio del Momento Angular para un sistema será:

Donde es el momento de torsión total sobre el sistema ejercido por lo alrededores

Normalmente las fuerzas de volumen son la gravedad, por lo que podemos escribir:

V r H KGG

×=

∀×=×= ∫∫∀

d V r dm V r H 

C M sys 

...

.

 ρ KGKGG

sys sys  dt 

H d T 

GG

=

sys T G

otros volumen erficie sys sys  T F r F r F r T GGGGGGGG

+×+×=×= sup

( ) otros C 

erficie sys sys  T d g r F r F r T 

GGGGGGGG

+∀×+×=×= ∫∀.sup .. ρ 

Aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds para el cálculo de la variación del

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60HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

∫∫ +∀=∀

vc vc A

sis  Ad V d dt d 

dt dN  GG

 ρη  ρ η 

sis m V r 

GG

×=η 

Aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds para el cálculo de la variación del

momento angular:

Ahora, introduciendo estas expresiones en la anterior:

( ) ( )∫∫ ×+∀×=∀

vc vc A

sis  Ad V V r d V r dt d 

dt H d  GGGGGGG

 ρ  ρ 

( ) ( ) ( )∫∫∫ ×+∀×=+∀×+×∀∀ vc vc  A

otros C 

erficie  Ad V V r d V r dt d T d g r F r 

GGGGGGGGGG ρ  ρ  ρ 

.sup ..

Se trata de un V.C fijo, y por tanto todas las velocidades y vectores sedeterminan respecto al sistema fijo

A.4.- La Ecuación de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Rotatorio

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61HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

Se va a desarrollar una formulación para un V.C que gira con el móvil, es decir, para

un sistema de referencia no inercial.

Para un sistema:

Si el origen de coordenadas del sistema móvil coincide

con el del sistema fijo:

( ) ∀×+=×+= ∫∫∀

d V r R dm V r R H C M sys 

....

 ρ KGKKGGG

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ ×==→∀×=→= ∫∫

dm V r dt d 

dt H d 

T d V r H R sys M sys 

sys C 

KGG

GKGGG..0

.

 ρ 

Como la masa de un sistema es fija, podemos introducir la diferencial dentro de la integral:

( ) dm dt V d 

r V dt r d 

dm V r dt d 

dm V r dt d 

T sys sys sys  M M M 

sys  ∫∫∫ ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ×+×=×=

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ ×=

KGK

GKGKGG

( ) dm a r dm dt V d 

r T dt r d 

dt r d 

V dt r d 

dt r d 

V dt r d 

V V sys sys  M M 

sys R ref  ∫∫ ×=⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ×=→=×=×→= ⎯  ⎯→ ⎯ +=

=

GGK

GGGG

GGG

GG

GGG 0

0

Utilizando la deducción del apartado anterior:

El producto vectorial de un vector por si mismo

siempre vale 0

Recordando la expresión de la aceleración deducida con anterioridad:

rrvaaaG

GGGGGGGGG

×+××+×++ ωωωω2

7/30/2019 Hidráulica para Ingenieros

http://slidepdf.com/reader/full/hidraulica-para-ingenieros 62/63

    T   e   m   a    7   :

    I   n   t   r   o    d   u   c   c    i    ó   n

   a    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a   s    H    i    d   r    á   u    l    i   c   a   s

62HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

( )dm r r v a r T sys M 

p p sys  ∫ ×+××+×+×=G

GGGGGGGGGω ω ω ω .2

r r v a a a  p p ref  ×+××+×++= ω ω ω ω .2

0, ya que coinciden ambos orígenes de coordenadas

( ) ( ) dm dt v d r dm a r dm r r v r T sys sys sys  M 

M p 

M p sys  ∫∫∫ ×=×=×+××+××−

K

GGGGGGGGGGGG

ω ω ω ω .2

sys M 

dt 

h d dm v r 

dt 

d dm 

dt 

v d r 

sys sys 

GGG

KG

=×=× ∫∫Que es la variación del momento angular 

referido únicamente al sistema no inercial (móvil )

( ) otros 

erficie sys  T d g r F r T GGGGGK

+∀×+×= ∫∀.

sup .. ρ 

Como:

Y utilizando el teorema de arrastre de Reynolds:

( ) ( )∫∫ ×+∀×=∀ vc vc  A

p p p sis  Ad v v r d v r 

dt d 

dt h d  GGGGGGG

 ρ  ρ  `

Sustituyendo:G

⎞⎛

7/30/2019 Hidráulica para Ingenieros

http://slidepdf.com/reader/full/hidraulica-para-ingenieros 63/63

    T   e   m   a    7   :

    I   n   t   r   o    d   u   c   c    i    ó   n

   a    l   a   s    M    á   q   u    i   n   a   s    H    i    d   r    á   u    l    i   c   a   s

63HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

( ) ( ) dt 

h d 

dm r r v r T d g r F r sis 

M  p otros C erficie sys 

GGGGGGGGGGGGG

=×+××+××−⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎝ 

⎛ 

+∀×+× ∫∫∀ ω ω ω ω  ρ  .2...sup

Obtenemos que:

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

×+∀×=

∀×+××+××−⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ +∀×+×

∀∀

vc vc  Ap p p 

p otros 

erficie 

Ad v v r d v r dt d 

d r r v r T d g r F r 

GGGGGG

GGGGGGGGGGGGG

 ρ  ρ 

 ρ ω ω ω ω  ρ 

`

.2....

sup

Se trata de un V.C que gira en torno de un eje fijo,un sistema no inercial ( móvil y conaceleración ) y que coincide con el origen de coordenadas del sistema inercial ( fijo ), y por tanto todas las velocidades y vectores se determinan respecto al volumen de control, esdecir, sistema móvil.