Hasilkali Transformasi

Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi dengan :

F : V v

G : V v

Sehingga produk atau komposisi dari f dan g yang ditulis sebagai GoF didefinisikan sebagai (GoF)(P) = G[F(P)], P V

Teorema 5.1 :

Jika F : V v dan G : V v masing-masing suatu transformasi maka hasil kali H = GoF : V v adalah juga transformasi.

Pembuktian 1. H : V v

Transformasi G memiliki daerah nilai dan daerah asal di V

Transformasi F memiliki daerah nilai dan daerah asal di V

2. H surjektif : Anggota kodomain memiliki pasangan didomain

Ambil sebarang y V, akan dibuktikan bahwa H(x) = y

Transformasi G : Ambil sebarang y V dan z V maka G(z) = y

Transformasi F : Ambil sebarang z V dan x V maka F(x) = z

Jadi dapat disimpulkan G(z) = y , G [F(x)] = y atau (GoF)(x) = y sehingga y = H(x)

3. H Injektif : Setiap domain memiliki tepat satu pasangan pada kodomain atau dapat ditulis PQ maka H(P) H(Q) .

Akan dibuktikan menggunakan kontradiksi

Andaikan H(P) = H(Q) maka G[F(P)] = G[F(Q)]

F(P) = F(Q)

P = Q

Dari pembuktian diatas, pengandaian H(P) = H(Q) adalah SALAH. Yang benar H(P) = H(Q) sehingga dapat disimpulkan bahwa H adalah injektif.

Example :

Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : V v yang didefinisikan sebagai berikut :

Jika x g, maka T(x) = x

Jika x g maka T(x) adalah titik tengah ruas garis dari x ke g yang tegak lurus.

Pembuktian Isometri : Transformasi dan refleksi.

Ambil sebuah garis h tegak lurus g dan Mh (refleksi garis h) atau Mh [T(x)] = y, sehingga y = (MhoT)(x). apakah merupakan hasil kali isometri? Dari gambar didapat MhoT = ToMh.

Andaikan x = (x,y) maka T(x) = (x, 1/2y) dan Mh[T(x)] = (-x, 1/2y)