handouts penelitian operasional ii
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
1/184
2/17/2013 1
HANDOUTS
PENELITIAN OPERASIONAL II
www.k12lessonplans.com/lukmandono
JURUSAN TEKNIK INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI ADHI TAMA SURABAYA
2013
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
2/184
2
Kata Pengantar
Handout ini merupakan lanjutan dari handout Penelitian
Operasional I, yang telah dipelajari pada mata kuliahPenelitian Operasional I, dan ditujukan untukmahasiswa Teknik Industri.
Penjelasan teori dan aplikasi persoalan di dunia industri
digambarkan dengan cukup mudah, agar mahasiswamampu mencerna materi ini lebih cepat.
Salam,
Lukmandono
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
3/184
2/17/2013 3
MATERI
Programa Dinamis
Teori Permainan Rantai Markov
Teori Antrian
Programa Integer
Analisis Jaringan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
4/184
2/17/2013 4
PROGRAMA DINAMIS
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
5/184
2/17/2013 5
Programa Dinam is
berbeda dengan
prog rama l in ier yang
sudah k ita kenal.
Persoalan bersi fat
dinamis apabi la
diarahkan kepada
pemecahan secarabertahap yang masing-
masingnya merupakan
satu kesatuan.
Ada 3 hal yang penting
diketahui tentang programa
dinamis, yaitu:
STAGE (tahapan) dari
persoalan yang dihadapi
dan ingin dicari solusinya
STATE (kondisi) yang
menjadi faktor penentu
keputusan dari tiap tahapan
DECISION (keputusan) yang
harus diambil dari tiap
tahap untuk sampai kepadasolusi keseluruhan.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
6/184
2/17/2013 6
Stage 1 Stage 2 Stage N
State 1 State 2 State N
Decision 1 Decision 2 Decision N
Keputusan tahap N sangat ditentukan oleh keputusan padatahap-tahap sebelumnya.
Tergantung pada jenis perso alan yang dihadapi,
model /formulasi tu juan yang diharapkan pun akan berbeda.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
7/184
2/17/2013 7
Misalkan soal memilih ruteangkutan barang dengankereta kuda (stage coach)dari kota asal (A) ke kota
tujuan (K). Persoalan lebihdisederhanakan denganmemilah tahapan yangdapat ditempuh dengan
lama waktu tempuh antarkota yang dilewati, sebagaiberikut:
Contoh 1 : STAGE COACH
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
8/184
2/17/2013 8
Tahap 1 adalah pilihan rute ABatau AC
Tahap 2 adalah pilihan rute
antara BD, BE, BF, atau BGserta antara CD, CE, CF, atauCG
Tahap 3 dan 4 bisa dibacalanjut seperti di atas ...
Tahapan diperlukan sebagaipenentu rute yang akandipilih
Secara keseluruhan, tujuan
utama dari persoalantersebut adalah minimasiwaktu tempuh dari kota asal(A) ke kota tujuan akhir (T)
Penyelesaian dapatdilakukan denga caramundur (backward) atau
maju (forward), walaupada umumnya banyakdipilih cara mundur
Secara tradisionalpersoalan tersebut
dapat diselesaikandengan menghitungsetiap alternatif ruteyang mungkin (2 x 4 x 3x 1 = 24 alternatif),
kemudian pilih waktutempuh terkecil.
Cara programa dinamislebih sistematis dan
mudah dikerjakan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
9/184
2/17/2013 9
Dari \ Ke B C D E F G H I J K
A 15 12
B 20 17 18 17
C 18 25 20 20
D 12 14 16
E 15 15 13
F 15 18 20
G 15 13 17
H 15
I 13
J 10
Misalkan waktu tempu h antar kota (dalam har i) adalah sebagai ber iku t :
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
10/184
2/17/2013 10
Komponen waktu tempuh dapat langsungdicantumkan pada garis panah dari dari/kekota
Penyelesaian cara programa dinamis adalahdengan membuat matriks setiap tahap, dimulaidari tahap 4, ke tahap 3, ke tahap 2, danterakhir ke tahap 1
State (kondisi penentu keputusan) adalahminimasi waktu tempuh dari rute yangdipertimbangkan.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
11/184
2/17/2013 11
Tahap 4 : min { f4(x4) }
Tahap 4 hanya mencantumkan waktutempuh dari ~ ke
f4(x4) adalah nilai perolehan pada tahap 4
x4* adalah rute terbaik pada tahap 4 teruskan ke tahap 3
Dari \ Ke K f4(x4) x4*H 15 15 HK
I 13 13 IK
J 10 10 JK
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
12/184
2/17/2013 12
Tahap 3 : min { f3(x3) + f4*(x4) }
Tujuan tahap 3 adalah minimasi waktu tempuh tahap 3ditambah yang terbaik dari tahap 4
Misal untuk DH = 12 + 15 = 27 (dihitung mulai dari D hingga K),demikian yang lainnya
f4*(x4) adalah perolehan terbaik dari tahap 4 (pakai tanda *)
f3(x3) adalah nilai perolehan pada tahap 3
x3* adalah rute terbaik pada tahap 3 Dari tahap 3 ini terlihat bahwa tujuan berikutnya adalah ke J
(kecuali dari F bisa juga ke H)
teruskan ke tahap 2
Dari \ KeH
(15)
I
(13)
J
(10)f3(x3) x3*
D 27 27 26 26 DJE 32 32 23 23 EJ
F 30 31 30 30 FH , FJ
G 30 26 25 25 GJ
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
13/184
2/17/2013 13
Tahap 2 : min { f2(x2) + f3*(x3) }
Tujuan tahap 2 adalah minimasi waktu tempuh tahap 2
ditambah yang terbaik dari tahap 3 Misal untuk BE = 17 + 23 = 40 (dihitung mulai dari B
hingga K), demikian yang lainnya f3*(x3) adalah perolehan terbaik dari tahap 3 (pakai
tanda *)
f2(x2) adalah nilai perolehan pada tahap 2 x2* adalah rute terbaik pada tahap 2 Dari tahap 2 ini terlihat bahwa tujuan berikutnya adalah
ke D (bila dari C) atau E (bila dari B) teruskan ke tahap 1
ari \ KeD
(26)
E
(23)
F
(30)
G
(25)f2(x2) x2*
B 46 40 48 42 40 BE
C 44 58 50 45 44 CD
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
14/184
2/17/2013 14
Tahap 1 : min { f1(x1) + f2*(x2) }
Yang terbaik pada tahap 1 adalah rute AB
Bila diteruskan dapat diperoleh rute terbaik(waktu tempuh 55 hari), yaitu dari A ke B keE ke J dan berakhir di K
Dari \ KeB
(40)
C
(44)f1(x1) x1*
A 55 56 55 AB
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
15/184
2/17/2013 15
Contoh 2 : Cargo Loading
Barang yang harus diangkut harus utuh (tidak bolehsetengah atau seperempatnya, berarti kalaumengangkut 1 barang B ~ kapasitasnya 5 ton, bila 2barang B berarti 10 ton, dan seterusnya).
Jenis Barang Berat (ton) Biaya (juta/item)A 2 66
B 5 155
C 3 96
Misalkan, sebuah perusahaan angkutan mendapat ordermengirimkan barang dari satu tempat ke tempat lainnyadengan menggunakan satu truk besar dengan kapasitas15 ton. Jenis barang yang diangkut, berat, dan biayanyaadalah sebagai berikut:
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
16/184
2/17/2013 16
JAWAB
Stage dalam persoalan ini adalah jumlahbarang yang harus diangkut, tanpamelampaui kapasistas, dan dapat
memaksimumkan pendapatan. Ada 3 jenisbarang ~ berarti ada 3 tahapan (stage).
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
17/184
2/17/2013 17
Tahap 3 : Max { f3(x3) }
Karena berat barang C(sebagai x3) = 3 ton ~ berarti
jumlah maksimum barang Cyang dapat diangkut adalah5 buah)
Siapkan kolom untuk C = 0(tanpa barang C), C = 1 , C =2 , C = 3 , C = 4 , dan C = 5
Perhatikan kapasitasnya ~cantumkan rupiah yangdiperoleh
Pada C=2 ~ berarti rupiahnya= 2 x 96 = 192 juta, danseterusnya
Baris kapasitas cukupdiringkas untuk 0, 3, 6, 9, 12,dan 15 saja (kelipatan dariberat barang C = 3 ton)
Tanda panah ke bawah
berarti rupiahnya samadengan yang di atasnya
Nilai f3* (x3) berarti jawabterbaik pada tahap 3 padakapasitas yang terpakainya
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
18/184
2/17/2013 18
Tahap 2 ; Max { f2x2 + f3* (kapasitas - x3) }
Karena barang B (disebut x2) = 5 ton ~maksimum jumlah barang B yang bisadiangkut adalah 3 buah
Siapkan B=0 , B=1 , B=2, dan B=3
Perhatikan kapasitasnya
Formula di atas berarti: rupiah yangdiharapkan adalah dari barang B ditambah
dengan sisa kapasitas yang tersedia untuktahap 3 (tanda *) yang tebaik.
Hasil terbaik pada tahap 2 ini sudah mencakuphasil terbaik pada tahap 3
P h tik hit t b l i b i b ik t
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
19/184
2/17/2013 19
Perhatikan cara perhitungan tabulasinya sebagai berikut:
Pada kolom f2*x2 tercantum nilai rupiah terbaiknya Kolom x2* menunjukkan jumlah barang B yang harus diangkut pada tahap 2
Jumlah B yang dapat diangkut bisa 0, 1, atau 2 tergantung padakapasitasnya
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
20/184
2/17/2013 20
Tahap 1 : Max { f1x1 + f2* (kapasitas - x1) }
Pada tahap akhir cukupdicantumkan kapasitas
maksimum (15 ton)Karena berat barang A (disebut
x1) = 2 ton ~ maksimumjumlah barang yang bisadiangkut adalah 7 buah
dengan sisa 1 tonNilai rupiah terbaik dihitung darijumlah barang A yangdiangkut yang ditambahrupiah terbaik dari sisakapasitas di tahap 2
Siapkan kolom A=0 ; A=1 ; A=2 ;A=3 ; A=4 ; A=5 ; A=6 ; A=7
Hasil terbaik dari tahap 1secara kesuluruhanadalah 492 juta
Bawa 6 buah barang A (6x 96 juta = 396 juta)
Dari tahap 2 ~ tambahan
96 juta dari kolom B = 0(beraarti tidak adabarang B yang diangkut)
Ke tahap 3 ~ nilai 96tersebut dari kolom C = 1(berarti bawa 1 barangC)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
21/184
2/17/2013 21
Tahap 1 2 3
Bawa barang A=6 B=0 C=1Tonase 12 0 3 total = 15 ton
Rupiah 396 0 96 total = 492 juta
Ringkasan :
LATIHAN SOAL (1/3)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
22/184
2/17/2013 22
LATIHAN SOAL (1/3) Seorang kandidat presiden ingin mendapatkan dukungan suara
terbanyak dalam rangka pemilihan umum. Untuk maksud tersebutdia harus mengeluarkan uang untuk kampanye. Probabilitas
perolehan suara sangat bergantung kepada alokasi dana yangdisiapkan untuk tiap wilayah pemilihan/kampanye. Total dana yangdimiliki adalah 10 M.
Perkiraan pro sentase dukungan suara untuk t iap pengeluaran
uang d i t iap w i layah serta jumlah suara total di t iap w i layah
adalah sebagai berikut :
Jika sang kandidat ingin mendapat suara terbanyak, bagaimana strategikampanye yang sebaiknya dilakukan? Alokasi dana - wilayah ?
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
23/184
2/17/2013 23
LATIHAN SOAL (2/3)
Keuntungan pada empat macam kegiatan
merupakan fungsi jam kerja yang dialokasikanpada masing-masing kegiatan seperti tabelberikut. Jika setiap hari tersedia 4 jam kerja,bagaimana alokasi waktu sehingga keuntungan
per hari maksimum ?
Jam Kerja
Kegiatan
1 2 3 4
0
1
2
3
4
0
1
3
6
9
0
2
5
8
11
0
3
7
10
12
0
2
5
8
10
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
24/184
2/17/2013 24
LATIHAN SOAL (3/3)
Seorang mahasiswa mempunyai 7 hari persiapan
sebelum UAS dimulai, pada 4 mata kuliah. Estimasi darialternatif pengalokasian dari tiap mata kuliahmenghasilkan nilai-nilai sebagaimana tabel berikut.Bagaimana alokasi waktu yang sebaiknya ia
mencapai nilai yang maksimal ?Jumlah
HariBelajar
Estimasi nilai yang akan diraih pada matakuliah
1 2 3 4
1
2
3
4
3
5
6
7
5
5
6
9
2
4
7
8
6
7
9
9
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
25/184
TEORI PERMAINAN
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
26/184
Permainan (game) adalah suatu bentuk persaingan antara duaorang/pihak atau antara dua kelompok/group yang saling berhadapan
dan menggunakan aturan-aturan yang diketahui oleh kedua belahpihak yang saling berhadapan.
Sejarah Singkat Perkembangan Teori Permainan
Diperkenalkan pertama kali oleh Emile Borel seorang ahlimatematika dari Perancis pada tahun 1921
Baru pada tahun 1928 John Von Neumann berhasil untuk pertamakalinya menganalisis dan menyatakan pembuktiannya, yang
sekarang dikenal sebagai pembuktian teorema Minimax Tahun 1944 kerja nyata bidang teori permainan ditampilkan dalam
buku The Theory of Games and Economics Behavior, ditulis olehOskar Morganstern, seorang ahli Ekonomi.
Tahun 1947, George Dantzig merumuskan teori permainan sebagaikasus khusus dari program linier yang digunakan untuk
membuktikan teorema minimax dalam teori permainan dandigunakan untuk menentukan solusi dari permainan yang berukuranbesar.
Sejak saat itu teori permainan mendapatkan perhatian besar dandigunakan pada bidang ekonomi, politik, olahraga, militer danbidang-bidang lainnya.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
27/184
Konsep dasar teor i permainan
1. Ada 2 pemain dengan sejumlah strateginya.2. Kemenangan bagi seorang pemain berarti kekalahan bagi pemain
lainnya (zero-sum game).3. Adanya kelangkaan sumber daya (scarcity).4. Pembacaan tabel permainan adalah dari baris ke kolom, nilai
positif berarti kemenangan bagi pemain I sekaligus kekalahanbagi pemain II, dan sebaliknya nilai negatif berarti kekalahan bagipemain I sekaligus kemenangan bagi pemain II.
5. Dimungkinkan adanya prinsip dominansi.6. Pemain I cenderung kepada strategi maximin, sedangkan
pemain II cenderung kepada strategi minimax.
7. Bila nilai maximin = minimax berarti ada SADLE POINT(permainan sudah pasti mengarah pada salah satu pilihan strategisaja, tidak perlu ada perhitungan lanjut).
8. Bila nilai maximin tidak sama dengan minimax berarti ada MIXSTRATEGY (kedua pemain harus beertimbang dalam bentukprobabilitas untuk memainkan salah satu strateginya, harusdilakukan perhitungan lanjut).
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
28/184
Klasifikasi Permainan
Berdasarkan jumlah langkah dan pilihana. Permainan berhingga (finite game), yaitu suatupermainan yang mempunyai sejumlah langkah yangberhingga dengan setiap langkah yang memuatsejumlah pilihan yang berhingga pula.
b. Permainan tak berhingga (infinite game), untuk setiappermainan selain permainan berhingga.
Berdasarkan jumlah pemain (orang)Suatu permainan dikatakan permainan n orang jikaorang yang bermain adalah n. Disini orang dapatberperan sebagai individu ataupun sebagai kelompok.
Berdasarkan jumlah pembayarana. Permainan berjumlah nol (zero sum game)b. Permainan berjumlah tidak nol (non zero sum game)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
29/184
Contoh :
Adanya persaingan perebutan pasar barang-barang elektronika dari pengusaha Adan pengusaha B dengan mengadakan kampanye promosi. Pengusaha Amenggunakan tiga media promosi, yaitu TV, radio dan surat kabar. Pengusaha B
hanya menggunakan dua media promosi, yaitu TV dan radio. Dengan mengunakaninformasi pasar yang diperoleh dari hasil riset pemasaran diperoleh data sebagaiberikut :
Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media TV dan pengusaha Bjuga berpromosi dengan media yang sama, maka pengusaha A akanmemperoleh keuntungan Rp. 5 juta.
Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media radio dan pengusahaB melalui TV maka pengusaha A akan memperoleh keuntungan sebesarRp. 6 juta.
Pengusaha A akan rugi sebesar Rp. 10 juta bila ia berpromosimenggunakan media surat kabar disaat pengusaha B menggunakan TV
Bila pengusaha A berpromosi menggunakan TV dan pengusaha Bmenggunakan radio, maka kedua pengusaha sama-sama tidakmendapatkan keuntungan ataupun kerugian.
Bila kedua pengusaha sama-sama menggunakan media radio makapengusaha B akan memperoleh keuntungan sebesar Rp. 2 juta.
Pengusaha B juga akan memperoleh keuntungan sebesar Rp. 3 juta bila iaberpromosi menggunakan media radio di saat pengusaha A berpromosimenggunakan media surat kabar.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
30/184
Maka matriks pembayarannyaadalah :
Pengusaha
A
Strategi
Pengusaha B
TV Radio
TV 5 0
Radio 6 -2
SuratKabar
- 10 - 3
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
31/184
CONTOH : Game 2 x 2
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
32/184
Pemain I cenderung akan memilih strategi 2yang memberikan nilai maximin terbaik
(maksimasi dari perolehan terburuk) Pemain II akan cenderung memilih strategi 2
yang memberikan nilai minimax terbaik(minimasi dari kekalahan yang harus diterima)
Mix-strategy terjadi pada game ini, sehinggaharus dicari probabilitas pemilihan tiap strategioleh kedua pemain
Probabilitas pilihan strategi oleh I dinyatakandengan X1 dan X2, sedangkan untuk pemain IIdinyatakan dengan Y1 dan Y2.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
33/184
Untuk menentukan X1 dan X2 digunakan formulaberikut :
g11 X1 + g21 X2 = g12 X1 + g22 X2
g11 X1 + g21 (1 - X1)= g12 X1 + g22 (1 - X1)
12 X1 - 3 (1 - X1) = - 8 X1 + 6 (1 - X1)
12 X1 + 3 X1 - 3 = - 8 X1 - 6 X1 + 6
15 X1 - 3 = - 14 X1 + 629 X1 = 9
X1* = 9/29
X2* = 1 - 9/29 = 20/29
Probabilitas bagi pemain I untuk menggunakanstrategi 1 dan 2 adalah X1* = 9/29 dan X2* =20/29
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
34/184
Nilai permainan (game value) G* = 20 (14/29) - 8 = 48/29 (positif,
kemenangan untuk pemain I)
Dapat juga dihitung sebagai : G* = 15 (9/29) - 3 = 48/29
Untuk menentukan Y1 dan Y2 digunakan formula berikut :
g11 Y1 + g12 Y2 = g21 Y1 + g22 Y2
g11 Y1 + g12 (1 - Y1)= g21 Y1 + g22 (1 - Y1)
12 Y1 - 8 (1 - Y1) = - 3 Y1 + 6 (1 - Y1)12 Y1 + 8 Y1 - 8 = - 3 Y1 - 6 Y1 + 6
20 Y1 - 8 = - 9 Y1 + 6
29 Y1 = 14
Y1* = 14/29
Y2* = 1 - 14/29 = 15/29
Probabilitas bagi pemain II untuk menggunakanstrategi 1 dan 2 adalahY1* = 14/29 danY2* = 15/29
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
35/184
CONTOH : Game 2 x 4 dan ada
dominasi
Pemain II
Pemain I 1 2 3 4
1 12 -9 10 -6 -9
2 -5 6 -8 3 -8
12 6 10 3
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
36/184
Perhatikan kolom 1 dan 3 (strategi oleh pemain II)strategi 3 adalah dominasi dari strategi 1 bagi pemainII (nilai kekalahan bagi pemain II bila memilih strategi 3
selalu lebih baik daripada strategi 1) Dominasi pada kolom yang dihapus adalah yang nilai
perolehannya lebih besar (perhatikan kolom yangdiarsir itu yang didominasi/dikalahkan)
Perhitungan berikutnya boleh tidak mengikutkanstrategi 1 ini (kalaupun diikutkan pasti senantiasakalah)
Game tersebut adalah mix-strategi (karena nilaimaximin berbeda dengan minimax)
Pada pembahasan kali ini, semua strategi tetapdianalisa
Pemain I punya 2 alternatif strategi yang harusdihadapkan pada keempat strategi dari pemain II
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
37/184
caranya : hitung ekspektasi bagi pemain I jika pemain IImenggunakan keempat strateginya, sebagai berikut :
Strategi
Pemain II
Ekspektasi Nilai bagi Pemain I
1 12 X1- 5 X2 = 17 X1- 5(1)
2 - 9 X1+ 6 X2= -15 X1+ 6 (2)
3 10 X1- 8 X2 = 18 X1- 8(3)
4 - 6 X1+ 3 X2= -9 X1+ 3(4)
Gambarkan keempat garis pada grafik 2 dimensi untukekspektasi nilai bagi pemain I sekaligus menentukanprobabilitas pemilihan strategi bagi pemain I(kriterianya adalah MAXIMIN)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
38/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
39/184
Titik maximin ada padaperpotongan antara garis (3)dan (4)
Garis (1) selalu ada di atas
garis (3) dominasi strategi3 atas strategi 1
Strategi perlawanan terbaikbagi pemain II terhadaappemain I adalah denganmenggunakan strategi 3 atau4, yang lain tidak perludiperhatikan
Probabilitas pemilihanstrategi bagi pemain I adalah
18 X1 - 8 = -9 X1 + 3
27 X1 = 11 X1* = 11/27
X2* = 1 - 11/27 = 16/27
Probabilitas pemilihan strategibagi pemain II adalah (antarastrategi 3 dan 4) :
16 Y3 - 6 = -11 Y3 + 3
27 Y3 = 9Y3* = 9/27
Y4* = 1 - 9/27 = 18/27
Y1* = Y2* = 0
Nila permainan G* = 18(11/27) - 8 = 110/27(kemenangan untuk pemain I)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
40/184
CONTOH : Game 4 x 2 dan ada dominasi
Pemain II
Pemain I 1 2 maximin
1 -8 6 -8
2 8 -3 -33 5 -5 -5
4 4 -2 -2
minimax 8 6
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
41/184
Perhatikan kolom 2 dan 3 (strategi oleh pemain I)strategi 2 adalah dominasi dari strategi 3 bagi pemain I(nilai kemenangan bagi pemain I bila memilih strategi
2 selalu lebih baik daripada strategi 3) Dominasi pada baris yang dihapus adalah yang nilai
perolehannya lebih kecil (perhatikan baris yang diarsir itu yang didominasi/dikalahkan)
Perhitungan berikutnya boleh tidak mengikutkanstrategi 3 ini (kalaupun diikutkan pasti yang senantiasakalah)
Game tersebut adalah mix-strategi (karena nilaimaximin berbeda dengan minimax)
Pada pembahasan kali ini, semua strategi tetapdianalisa
Pemain I punya 4 alternatif strategi yang harusdihadapkan pada kedua strategi dari pemain II
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
42/184
caranya : hitung ekspektasi bagi pemain II jika pemain Imenggunakan keempat strateginya, sebagai berikut :
StrategiPemain I
Ekspektasi Nilai bagi Pemain II
1 -8 Y1+ 6 Y2 = -14 Y1+ 6(1)
2 8 Y1- 3 Y2= 11 Y1- 3
(2)
3 5 Y1- 5 Y2 = 10 Y1- 5(3)
4 4 Y1- 2 Y2= 6 Y1- 2(4)
Gambarkan keempat garis pada grafik 2 dimensiuntuk ekspektasi nilai bagi pemain II sekaligusmenentukan probabilitas pemilihan strategi bagipemain II(kriterianya adalah MINIMAX)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
43/184
Titik i i d d P b bilit ilih t t i
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
44/184
Titik minimax ada padaperpotongan antara garis (1)dan (2)
Garis (2) selalu ada di atas
garis (3)
strategi 2mendominasi strategi 3
Strategi perlawanan terbaikbagi pemain I terhadappemain II adalah denganmenggunakan strategi 1 atau
2, yang lain tidak perludiperhatikan
Probabilitas pemilihanstrategi bagi pemain IIadalah :
-14 Y1 + 6 = 11 Y1 - 325 Y1 = 9
Y1* = 9/25
Y2* = 1 - 9/25 = 16/25
Probabilitas pemilihan strategibagi pemain I adalah (antarastrategi 1 dan 2) :
-16 X1 + 8 = 9 X1 - 3
25 X1 = 11 X1* = 11/25
X2* = 1 - 11/25 = 14/25
X3* = X4* = 0
Nila permainan G* = 9 (11/25)
- 3 = 24/25 (kemenanganuntuk pemain I)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
45/184
LATIHAN SOAL (1/8)
Two competing ice cream chains, Kool Ice and Ice Kold,want to hold ice cream sales in order to capture someextra business from each other. They each have theoption of having a sale either on their most popularflavors or on all their to show which way the business is
turning for each of their choices. Number of customersof Kool Ice switching to Ice Kold (in hundreds ofpeople). Note that a negative number means they areswitching from Ice Kold to Kool Ice. Find the beststrategy for each of them.
Kool Ice
Ice Kold Sale on All Sale on Popular
Sale on All 4 - 3
Sale on Popular - 3 2
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
46/184
LATIHAN SOAL (2/8)
Pada sebuah daerah terdapat dua buah toko, yaitu toko Arjun dan tokoVijay yang menyediakan barang-barang dengan jenis, kualitas danharga yang sama. Keadaan itu mengakibatkan pembeli dapatterbagi menjadi dua bagian yang sama banyaknya. Dengandemikian tambahan pembeli bagi toko Arjun adalah penguranganpembeli bagi toko Vijay, dan sebaliknya. Kedua tokomerencanakan untuk mengadakan penjualan istimewa selamaseminggu menjelang tahun baru tiba dengan mengadakan iklanterlebih dahulu. Media iklan yang dipakai adalah surat kabar, radiodan televisi. Dengan bantuan biro periklanan, toko Arjunmembentuk matriks permainan sebagai berikut :
Toko Vijay
Media Surat Kabar Radio Televisi
Toko Surat Kabar - 60 35 30Arjun Radio - 20 0 15
Televisi 50 80 20
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
47/184
LATIHAN SOAL (3/8)
A new soda company, Super-Cola, recently entered themarket. This company has three choices of advertisingcampaigns. Their major competitor, Cola-Cola, alsohas three counter campaigns of advertising to choose
from in order to minimize the number of peopleswitching from their soda to the new one. It has beenfound that their choices of campaign results in thefollowing pay-off matrix :
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
48/184
LATIHAN SOAL (4/8)
Two players, A and B, each call out oneof the numbers 1 and 2 simultaneously. Ifthey both call 1, no payment is made. If
they both call 2, B pays A $3.00. If Acalls 1 and B calls 2, B pays A $1.00. If Acalls 2 and B calls 1, A pays B $1.00.
What is the payoff matrix for this game ?Is the game fair to both players ?
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
49/184
LATIHAN SOAL (5/8)
Bs Strategies B1 B2 B3 B4As Strategies
A1 0 - 1 2 - 4
A2 1 3 3 6
A3 2 - 4 5 1
Simplify the following payoff matrix
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
50/184
LATIHAN SOAL (6/8)
B1 B2
A1 2 - 3A2 - 3 4
Consider a game with the followingpayoff matrix
Find the value of the game when both players
use mixed strategies
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
51/184
LATIHAN SOAL (7/8)
IIProbability Y1 Y2 Y3
Probability Pure Strategy 1 2 3X1 1 0 - 2 2I
1X1 2 5 4 -3
Maximize the minimum expected payoffs of
both players.
Consider the payoff table in which player I hasonly two pure strategies :
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
52/184
LATIHAN SOAL (8/8)
Two stores, R and C, are planning to locate in one of two towns. Town 1 has60 percent of the population while town 2 has 40 percent. If both storeslocate in the same town they will split the total business of both townsequally, but if they locate in different towns each will get the business ofthat town. Where should each store locate ? Consider an extension ofthe above problem. Store R and C are trying to locate in one of three
towns. The matrix game is :
Store C locates in
1 2 3
Store R 1 50 50 80
locate in 2 50 50 80
3 20 20 80
The entries in the matrix above represent the percentages of businessthat store R gets in each case . Where should each store locate ?
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
53/184
TEORI ANTREAN
Ilmu pengetahuan utama tentang bentuk antrean, yang sering disebutteori antrean (queuing theory), merupakan sebuah bagian pentingoperasi dan alat yang sangatberharga bagi manajer operasi. Antrean(waiting l ine/queue) adalah sebuah s ituas i umumsebagai contoh,lihat bentuk deretan mobil yang menunggu untuk diperbaiki, pekerjaanfotokopi yang sedang menunggu untuk diselesaikan, atau orang-orangyang sedang berlibur menunggu untuk masuk wahana Jatim Park.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
54/184
ANTRE..?
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
55/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
56/184
Bagaimana jika..
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
57/184
Bagaimana jika..
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
58/184
Karakteristik Sistem Antrian
1. Kedatangan atau masukan sistem. Kedatangan memilikikarakteristik seperti ukuran populasi, perilaku, dansebuah distribusi statistik.
2. Disiplin antrean atau antrean itu sendiri. Karakteristik
antrean mencakup apakah panjangnya antrean terbatasatau tidak, dan disiplin orang-orangnya atau barangyang ada di dalamnya.
3. Fasilitas layanan. Karakteristiknya meliputi desain dan
distribusi statistik waktu pelayanan.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
59/184
Situasi Umum Antrean
K kt i tik K d t
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
60/184
Karakteristik Kedatangan
Sumber input yang menghadirkan kedatangan pelanggan bagi sebuah sistem
pelayanan memiliki tiga karakteristik utama :1. Ukuran populasi kedatangan.2. Perilaku kedatangan.3. Pola kedatangan (distribusi statistik).
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
61/184
Ukuran Populasi (Sumber) Kedatangan dibagi menjadi tidak terbatas atauterbatas. Jika jumlah kedatangan pengunjung atau kedatangan pada waktu
tertentu hanyalah sebagian kecil dari semua kedatangan yang potensial, makapopulasi kedatangan dianggap sebagai populasi yang tidak terbatas.
Contoh populasi yang tidak terbatas adalah mobil yang datang ke sebuah tempatpencucian mobil, para pengunjung yang tiba di sebuah supermarket, dan parasiswa yang datang untuk mendaftarkan diri di sebuah universitas besar. Sebagianbesar model antrean berasumsi bahwa populasi kedatangan tidak terbatas.
Sebuah contoh, populasi terbatas ditemukan dalam sebuahtoko percetakan yang memiliki delapan mesin cetak. Setiap mesin cetakmerupakan seorang pelanggan potensial yang mungkin rusak dan memerlukanpemeliharaan.
Pola Kedatangan pada Sistem
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
62/184
Pola Kedatangan pada Sistem
Pelanggan tiba di sebuah fasilitas pelayanan baik karena memiliki jadwal tertentu(sebagai contoh, 1 pasien datang setiap 15 menit atau 1 siswa datang setiapsetengah jam) atau yang datang secara acak. Kedatangan dianggap sebagai
kedatangan acak apabila kedatangan tersebut tidak terikat satu sama lain dankedatangannya tidak dapat diperkirakan dengan tepat. Biasanya, jumlahkedatangan setiap satuan waktu dapat diperkirakan dengan sebuah probabilitas(kemungkinan) distribusi yang dikenal dengan distribusi Poisson (Poissondist r ibut ion) . Untuk setiap waktu kedatangan (seperti 2 pelanggan per jam atau 4truk per menit), sebuah distribusi Poisson yang berlainan dapat ditetapkan
menggunakan rumus e- x
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
63/184
Dua contoh distribusi Poisson pada waktu kedatangan.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
64/184
Perilaku Kedatangan
Hampir semua model antrean menggunakan asumsi bahwa
pelanggan yang datang adalah pelanggan yang sabar.Pelanggan yang sabar adalah orang atau mesin yang maumenunggu dalam antrean sampai mereka dilayani dan tidakberpindah antrean. Sayangnya, hidup sangatlah rumit karenaorang-orang biasanya menolak dan keluar dari antrean.Pelanggan dapat menolak untuk mengantre karena merasaterlalu lama mendapatkan keperluan mereka. Pelangganyang keluar dari antrean adalah mereka yang mengantre,tetapi menjadi tidak sabar dan meninggalkan antrean tanpa
menyelesaikan transaksi mereka. Namun, kedua situasi inibaru menunjukkan kebutuhan teori antrean dan analisisnyasaja.
K kt i tik A t
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
65/184
Karakteristik Antrean
Barisan antrean itu sendiri merupakan komponen kedua dari sebuahsistem antrean. Panjangnya sebuah antrean bisa tidak terbatas
ataupun terbatas.
Karakteristik antrean yang kedua berkaitan dengan aturan antrean.Aturan
antrean ini mengacu pada aturan pelanggan yang akan menerima
pelayanan dalam barisannya. Sebagian besar sistem menggunakanaturan disiplin antrean yang dikenal dengan aturan f ir st -i n, f ir st -ou t(FIFO).
Namun, di dalam ruang darurat rumah sakit atau kasir jalur cepat pada
sebuah pasar swalayan, terdapat beragam prioritas lain yang dapatmemotong jalur FIFO. Pasien yang mengalami luka kritis akanmendapatkan prioritas pengobatan yang lebih tinggi dibandingkandengan pasien yang jari atau hidungnya patah.
Karakteristik Pela anan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
66/184
Karakteristik Pelayanan
Desain Dasar Sistem Antrean
Sistem layanan umumnya digolongkan menurut jumlah saluran yang
ada (contoh: jumlah penyedia) dan jumlah tahapan (contoh: jumlahpenghentian layanan yang harus dibuat). Sebuah sistem antrean jalurtunggal (single channel queuing system) dengan satu kasir biasanyamerupakan pos yang dilewatikendaraan (drive-in bank) dengan hanyasatu kasir yang dibuka. Di sisi lain, jika bankmemiliki beberapa kasir
yang sedang bertugas dengan setiap pelanggan menunggu dalam satujalur antrean umum dengan kasir pertama yang dapat melayani, makasistem itu disebut sistem antrean jalur majemuk (mul ti ple channelqueu ing system). Saat ini, sebagian besar bank menerapkan sistemantrean banyak jalur, sebagaimana halnya di tempat pangkas rambut
yang besar, agen tiket penerbangan, dan kantor pos.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
67/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
68/184
Distribusi Waktu Layanan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
69/184
Distribusi Waktu Layanan
Pola pelayanan serupa dengan pola kedatangan di mana pola ini konstanataupun acak. Jika waktu layanannya konstan, maka waktu yang diperlukanuntuk melayani setiap pelanggan adalah sama. Contoh kasus ini adalah dalam
operasi pelayanan yang menggunakan mesin, seperti pencucian mobilotomatis. Waktu layanan biasanya terdistribusi secara acak. Dalam banyakkasus, dapat diasumsikan bahwa waktu layanan acak dapat dijelaskan dengandistribusi probabilitas eksponensial negatif (n eg ativ e ex po nen tial
probab il i ty d is t ribu t ion).
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
70/184
Menghitung Kinerja Antrean
Model antrean membantu para manajer membuat keputusan untukmenyeimbangkan biaya pelayanan dengan menggunakan biayaantrean. Dengan menganalisis antrean, kita dapat memperoleh banyakperhitungan kinerja sebuah sistem antrean berikut.1. Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrean.
2. Rata-rata panjang antrean.3. Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem (waktu
tunggu ditambah waktu pelayanan).4. Jumlah pelanggan rata-rata sistem.5. Kemungkinan fasilitas layanan akan kosong.
6. Faktor kegunaan sistem.7. Kemungkinan beberapa pelanggan di dalam sistem.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
71/184
Biaya Antrian
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
72/184
Keragaman Model Antrian
Model A (M/M/1): Model Antrean Jalur Tunggal dengan Kedatangan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
73/184
Model A (M/M/1): Model Antrean Jalur Tunggal dengan Kedatangan
Berdistribusi Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial
1. Kedatangan dilayani atas dasar first-in, first-out (FIFO), dan setiapkedatangan menunggu untuk dilayani, terlepas dari panjangnya antrean.
2. Kedatangan tidak terikat pada kedatangan yang sebelumnya, tetapijumlah kedatangan rata-rata tidak berubah terhadap waktu.
3. Kedatangan digambarkan dengan distribusi probabilitas Poisson dandatang dari sebuah populasi yang tidak terbatas (atau sangat besar).
4. Waktu pelayanan berbeda dari satu pelanggan dengan pelangganberikutnya dan tidak terikat satu sama lain, tetapi tingkat rata-rata waktupelayanannya diketahui.
5. Waktu pelayanan terjadi akibat distribusi probabilitas eksponensial
negatif.6. Kecepatan pelayanan lebih cepat daripada tingkat kedatangan.
Asumsi-asumsi :
Dalam notasi antrean, huruf pertama menunjukkan kedatangan (dengan M menunjukkan distribusiPoisson), huruf kedua menunjukkan layanan (dengan M kembali menunjukkan distribusi Poisson, yangsama dengan kecepatan eksponensial dari layanandan D adalah kecepatan layanan konstan); simbolketiga menunjukkan jumlah penyedia layanan. Dengan demikian, sistem M/D/I (model C) berartikedatangannya Poisson, layanannya konstan, dan terdapat satu penyedia layanan saja.
Contoh sebuah antrean Jalur Tunggal
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
74/184
Contoh sebuah antrean Jalur Tunggal
Tom Jones, seorang montir di Golden Muffl er Shop,dapat memasang knalpot baru rata-rata sebanyak 3 buahper jam (atau 1 knalpot setiap 20 menit) berdasarkandistribusi eksponensial negatif. Pelanggan yangmenginginkan pelayanan ini tiba di bengkel dengan rata-rata 2 orang per jam, dengan mengikuti distribusiPoisson. Mereka dilayani dengan aturan first-in, first-outdan berasal dari populasi yang sangat besar (hampir takterbatas).
Rumus Antrean untuk Model A: Sistem Jalur Tunggal disebut juga M/M/1
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
75/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
76/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
77/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
78/184
Restoran McDonalds yang besar di Moscow menambah 900 tempat duduk,
800 pegawai, dan 80 juta dolar dalam obral tahunannya (kurang dari 2 juta
dolar di outlet di Amerika Serikat). AS mungkin akan menolak keras rata-ratawaktu menunggu selama 45 menit, tetapi masyarakat Rusia terbiasa dengan
antrean yang panjang. McDonalds menunjukkan layanan yang baik di
MosCow.
Model B (M/M/S): Model Antrean Jalur Majemuk
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
79/184
Model B (M/M/S): Model Antrean Jalur Majemuk
Antrean Jalur Majemuk
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
80/184
Bengkel Golden Muffl er memutuskan untuk membuka bengkel kedua danmempekerjakan montir kedua untuk memasang knalpot. Pelanggan yang datangdengan tingkat kedatangan sekitar = 2 orang per jam, akan menunggu di jalur
tunggal hingga salah satu dari kedua montir selesai. Setiap montir memasangknalpot sekitar = 3 per jam. Perusahaan ingin tahu perbandingan sistem inidengan sistem antrean jalur tunggal yang terdahulu.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
81/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
82/184
Jalur antrean yang panjang seperti di Los Angeles International (LAX) merupakan
pemandangan umum di banyak bandara. Ini adalah sebuah model M/M/S, di mana
para calon penumpang menunggu di satu garis antrean dengan satu atau
beberapa pegawai. Berdasarkan tingkat kedatangan yang berbeda tiap jamnya,
petugas penerbangan menambah atau mengurangi penyedia layanan di setiap
loketnya.
Model C (M/D/1): Model Waktu Pelayanan Konstan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
83/184
Model C (M/D/1): Model Waktu Pelayanan Konstan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
84/184
Inman Recycling, Inc. mengumpulkan kaleng aluminium dan botolbekas di Reston, Louisiana. Saat ini, pengemudi truk menunggukurang lebih selama 15 menit sebelum mengosongkan isi trukmereka untuk didaur ulang. Biaya pengemudi dan truk untukmenunggu dalam antrean adalah $60 per jam. Sebuah mesin daur
ulang kaleng otomatis baru dapat digunakan untuk memprosesmuatan truk dengan tingkat tetap, yaitu 12 truk per jam (berarti 5 menit untuk setiap truk). Truk yang datang rata-rata berdistribusiPoisson 8 kedatangan per jam. Jika mesin baru ini digunakan, makabiaya akan berkurang sebesar $3 untuk setiap truk yang kosong.
Model layanan konstan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
85/184
Model D: Model Populasi yang Terbatas
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
86/184
p y g
Model populasi terbatas
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
87/184
p p
Data masa lalu menunjukkan bahwa masing-masing dari lima mesin cetakkomputer laser di Departemen Energi, Amerika Serikat di Washington, DC,memerlukan perbaikan setelah digunakan sekitar 20 jam. Kerusakan mesin
cetak ditentukan mengikuti distribusi Poisson. Seorang teknisi yang bertugasdapat memperbaiki sebuah mesin cetak rata-rata selama 2 jam denganmengikuti distribusi eksponensial. Biaya kerusakan mesin adalah $120 per jam.Teknisi dibayar sebesar $25 per jam. Apakah Departemen Energi AS perlumempekerjakan teknisi kedua?
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
88/184
Contoh Soal 1
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
89/184
Saat ini, Sid Das Brick Distributors mempekerjakan seorang pekerjayang pekerjaannya memuat batu bata ke dalam truk perusahaan. Rata-
rata, 24 truk datang setiap hari atau 3 truk per jam ke lokasi pemuatandengan pola kedatangan sesuai dengan distribusi Poisson. Pekerjatersebut sanggup memuat batu bata ke atas 4 truk per jamnya denganwaktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial. Das yakin bahwaproduktivitas perusahaan akan sangat meningkat dengan menambahkan
seorang pemuat batu bata kedua. Ia memperkirakan dua orang kru digerbang pemuatan untuk menggandakan pemuatan dari 4 truk per jammenjadi 8 truk per jam. Lakukan analisis dampak antrean dari perubahanyang dilakukan dan bandingkan hasilnya dengan yang dicapai olehsistem satu pekerja. Berapakah kemungkinan adanya lebih dari 3 truk
yang sedang dimuat atau sedang menunggu?
Jawaban Soal 1
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
90/184
Hasil ini menunjukkan bahwa jika hanyasatu orang yang dipekerjakan, setiap trukrata-rata harus menunggu selama 45 menitsebelum dimuati. Selanjutnya, rata-rata
truk yang menunggu dalam antrean adalah2,25. Situasi ini mungkin tidak dapatditerima oleh pihak manajemen.Perhatikan juga adanya penurunan ukuranantrean setelah pekerja keduaditambahkan.
Contoh Soal 2
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
91/184
Sopir truk yang bekerja pada Sid Das (lihat Contoh soal no 1) mendapatupah rata-rata $10 per jam. Pekerja yang memuat batu bata menerima
upah sekitar $6 per jam. Sopir truk yang sedang menunggu dalamantrean atau lokasi pemuatan tetap menerima upah. Namun, dari segi
produktivitas, tidak ada yang dikerjakan dan tidak ada pemasukan bagiperusahaan selama waktu menunggu tersebut. Berapakah penghematan
per jam yang diperoleh perusahaan jika dipekerjakan 2 orang pemuat
batu bata dan bukan hanya 1 orang? Dengan melihat data pada ContohSoal no 1, terlihat bahwa jumlah truk dalam sistem rata-rata adalah 3ketika hanya ada 1 orang pemuat batu bata, dan menjadi 6 jika ada 2orang pemuat batu bata.
Jawaban Soal 2
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
92/184
Contoh Soal 3
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
93/184
Sid Das sedang mempertimbangkan untuk membangun lokasi pemuatankedua untuk mempercepat proses pemuatan batu bata ke truk. Ia berpikir
bahwa sistem ini akan lebih efisien jika dibandingkan denganmempekerjakan orang lain untuk membantu pemuat pertama padalokasi pemuatan pertama (seperti pada Contoh Soal no 1). Misalkan,setiap pekerja di setiap lokasi pemuatan mampu memuat 4 truk per jamdan 3 truk akan terus berdatangan per jamnya. Kemudian, terapkan
persamaan yang sesuai untuk menemukan kondisi operasi antrean yangbaru. Apakah pendekatan baru ini memang lebih cepat dibanding duapendekatan yang dipikirkan Das sebelumnya?
Jawaban Soal 3
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
94/184
Dengan melihat kembali ContohSoal no. 1, walaupun panjangantrean dan waktu rata-rata dalamantrean yang paling rendah adalahsaat lokasi pemuatan kedua dibuka,rata-rata jumlah truk dalam sistem
dan rata-rata waktu paling kecil yangdihabiskan untuk menunggu dalamsistem adalah ketika dipekerjakandua pemuat batu bata dengan satulokasi pemuatan. Jadi,
pembangunan lokasi pemuatankedua kurang disarankan.
Contoh Soal 4
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
95/184
Unit perawatan jantung di St. Elsewhere Hospital menyediakan 5 tempattidur yang selalu terisi oleh pasien yang baru melakukan operasi jantung.
Terdapat dua orang perawat yang bertugas dalam 3 giliran kerja yanglamanya 8 jam. Setiap 2 jam (mengikuti distribusi Poisson), seorangpasien memerlukan bantuan perawat. Kemudian, perawat akanmenghabiskan waktu sekitar 30 menit (terdistribusi eksponensial) untukmembantu pasien dan memperbarui catatan medis mengenai
permasalahan dan pemeliharaan yang dilakukan.
Karena pelayanan yang cepat sangatlah penting bagi kelima pasien yangada, pertanyaannya adalah berapakah jumlah rata-rata pasien yangdiurus oleh satu perawat? Berapakah waktu ratarata yang dihabiskan
pasien untuk menunggu seorang perawat tiba?
Jawaban Soal 4
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
96/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
97/184
Tabel Antreanterbatas denganPopulasi N = 5*
PERTANYAAN UNTUK DISKUSI
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
98/184
1. Apakah mengoperasikan aturan first-come, first-served pada toko roti di pasarswalayan merupakan langkah yang baik atau buruk? Mengapa?
2. Manakah yang lebih besar: Ws atau Wq? Jelaskan!
3. Jelaskan dengan singkat tiga situasi di mana aturan fi rst-in, fi rst-out (FIFO)tidak dapatditerapkan pada analisis antrean!
4. Jelaskan perilaku sebuah antrean di mana > ! Gunakan intuisi dan analisis!
5. Berikan contoh empat situasi di mana terdapat antrean terbatas!
6. Berapakah Anda menilai diri Anda dalam rupiah untuk waktu yang Andahabiskan dalam antrean? Berapakah nilai yang teman sekelas Anda berikan
untuk diri mereka? Mengapa terjadi perbedaan?
7. Apakah komponen dari sistem antrean berikut? Gambarkan jelaskan bentuksetiap konfi gurasi!
a) Tempat pangkas rambut. b) Tempat pencucian mobil.c) Tempat cuci pakaian otomatis d) Toko kecil yang menjual barang
kebutuhan sehari-hari.
SOAL 1
P l tib di J A d St li Sh b k 3 j
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
99/184
Para pelanggan tiba di Jonny Andrean Styling Shop sebanyak 3 orang per jamyang berdistribusi Poisson. Andrean dapat memangkas rambut 5 orang per jamdengan distribusi eksponensial.
a) Tentukan rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu untuk memangkasrambut!b) Tentukan rata-rata jumlah pelanggan dalam salon!c) Tentukan rata-rata waktu seorang pelanggan menunggu gilirannya!d) Tentukan rata-rata waktu seorang pelanggan menghabiskan waktu di salon!e) Tentukan persentase waktu sibuk Paul!
SOAL 2
Hanya terdapat satu mesin fotokopi dalam ruang santai mahasiswa sekolahbisnis. Para mahasiswa datang dengan tingkat kedatangan = 40 per jam(distribusi Poisson). Proses fotokopi rata-rata berjalan selama 40 detik atau =90 per jam (distribusi eksponensial). Hitunglah karakteristik berikut ini!a) Persentase waktu mesin digunakan.b) Rata-rata panjang antrean.c) Rata-rata jumlah mahasiswa dalam sistem.d) Rata-rata waktu yang dihabiskan untuk menunggu dalam antrean.e) Rata-rata waktu yang dihabiskan dalam sistem.
SOAL 3
PT P El kt ik t h k k l t k
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
100/184
PT. Panggung Elektronik mempertahankan kru pelayanannya untukmemperbaiki gangguan mesin sebanyak rata-rata = 3 per hari (berdistribusiPoisson). Kru dapat melayani rata-rata = 8 mesin per hari dengan waktu
perbaikan berdistribusi eksponensial.a) Berapakah tingkat utilisasi sistem pelayanan ini?b) Berapakah waktu rata-rata mesin rusak?c) Berapakah mesin yang sedang menunggu untuk dilayani?d) Berapakah kemungkinan terdapat lebih dari satu mesin dalam sistem? Selainitu, berapakah kemungkinan lebih dari dua mesin rusak dan menunggu untuk
diperbaiki atau sedang dilayani? Lebih dari tiga? Lebih dari empat?
SOAL 4
Tempat pencucian mobil Mesti Kinclong memerlukan waktu konstan selama 4,5
menit untuk satu siklus pencucian mobil. Kedatangan mobil berdistribusiPoisson sebanyak 10 per jam. Manajemen Mesti Kinclong ingin mengetahui:a) rata-rata waktu menunggu dalam antrean,b) panjang antrean rata-rata.
SOAL 5
T k b t l i k J ti T di T b iliki li k k
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
101/184
Toko pembuatan lemari kayu Jati Tuwo, di Tuban, memiliki lima perkakasotomatis untuk mengebor lubang guna memasang engsel. Mesin ini perludisiapkan untuk memenuhi setiap pesanan lemari. Pesanan mengikuti distribusi
Poisson, rata-rata 3/8 jam per hari. Terdapat seorang teknisi yang mengaturmesin ini. Waktu pelayanan bersifat eksponensial, rata-rata 2 setiap jam.a) Berapakah faktor layanan sistem ini?b) Berapakah rata-rata jumlah mesin yang sedang bekerja?c) Apakah dampaknya pada mesin yang bekerja jika ada seorang teknisi kedua?
SOAL 6
Dua orang teknisi yang bekerja secara terpisah mengawasi 5 komputer yangmenjalankan fasilitas pabrik otomatis. Rata-rata waktu untuk memperbaikikomputer yang bermasalah adalah 15 menit (berdistribusi eksponensial).
Komputer bekerja selama rata-rata 85 menit (berdistribusi Poisson) tanpamemerlukan perbaikan. Tentukan karakteristik berikut!a) Rata-rata jumlah komputer yang menunggu diperbaiki.b) Rata-rata jumlah komputer yang sedang diperbaiki.c) Rata-rata jumlah komputer yang tidak bekerja.
SOAL 7
Seorang montir menjalankan 5 mesin bor di seb ah pabrik baja Mesin
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
102/184
Seorang montir menjalankan 5 mesin bor di sebuah pabrik baja. Mesinmengalami kerusakan rata-rata satu kali setiap 6 hari kerja, dan kerusakan inicenderung mengikuti distribusi Poisson. Montir mampu memperbaiki rata-rata
satu mesin per hari. Pekerjaan perbaikan berdistribusi eksponensial.a) Rata-rata, berapakah mesin yang menunggu diperbaiki?b) Rata-rata, berapa mesin bor yang sedang bekerja?c) Berapakah waktu tunggu yang akan berkurang jika seorang montir keduadipekerjakan?
SOAL 8Suatu pertemuan kontraktor gedung berlangsung di Las Vegas. Terdapat 200orang yang datang ke bagian registrasi setiap jamnya (berdistribusi Poisson),dan biaya waktu tunggu di antrean adalah $100 per orang per jam. Las VegasConvention Bureau menyediakan pelayan untuk registrasi tamu dengan biaya
$15 per orang per jam. Dibutuhkan waktu satu menit untuk mendaft arkanseorang pengunjung (berdistribusi eksponensial). Dibuka satu jalur antrean sajadengan beberapa pelayan.a) Berapakah jumlah minimum pelayan untuk sistem ini?b) Berapakah jumlah maksimal pelayan untuk sistem ini?c) Berapakah biaya sistem per jam untuk jumlah pelayan maksimum?
d) Berapakah tingkat utilisasi pelayan dengan jumlah pelayan minimum?
RANTAI MARKOV
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
103/184
2/17/2013 103
RANTAI MARKOV
Konsep rantai Markovmengacu pada rantai Sekarang subur ~ masa
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
104/184
2/17/2013 104
mengacu pada rantaiperubahan tiap kondisiyang ada dari satu periode
ke periode berikutnya.Misalkan, kondisi tanahpertanian (ada 3kemungkinan: subur,kurang subur, dan kering)
pada suatu periode. Untukperiode berikutnya, kondisitanah pertanian tersebutdapat saja berubah kesubur, kurang subur, atau
kering. Ada/tidaknyaperubahan dari satukondisi ke kondisi lainnyadapat digambarkan dalammatriks berikut:
gmendatang mungkintetap subur, menjadi
kurang subur, ataumenjadi kering
Sekangan kurang subur~ masa mendatang
mungkin menjadi subur,tetap kurang subur, ataumenjadi kering
Sekarang kering ~ masa
mendatang mungkinmenjadi subur, menjadikurang subur, atau tetapkering
Periode jPeriode i 1 2 3
1 p p p
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
105/184
2/17/2013 105
1 p12 p12 p13
2 p21 p22 p23
3 p31 p32 p33
Dalam bentuk rantaiMarkov :
Contoh kondisi lain :
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
106/184
2/17/2013 106
Contoh kondisi lain :
Di bengkel, kondisi mesin-mesinnyaadalah: baik, agak rusak, dan rusakberat
Di persaingan pasar, kondisi (jenisproduk yang bersaing ada 5 merek) : A,B, C, D, dan E
Di ramalan cuaca, kondisinya adalah:
cerah, berawan, dan hujan dan banyak lainnya
LOYALITAS MEREK ~ RANTAI MARKOV
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
107/184
2/17/2013 107
Misalkan di suatu daerah dipasarkan empat mereksabun deterjen, merek A, B, C dan D. Terhadap para
pemakai deterjen didaerah tersebut telah dilakukanpenelitian dengan cara menyebarkan kuesioner.
Tebl berikut menunjukkan data jumlah langgananmasing-masing merek.
Merek
Jumlah
Langganan
Periode Pertama
Perubahan Selama Periode Jumlah
Langganan
Periode KeduaPindah ke Pindah dari
A
B
C
D
320
300
230
250
50
60
25
40
45
70
25
35
225
290
230
225
Total 1.000 175 175 1.000
Penelitian dilanjutkan untuk memperoleh datal bih i i i b h
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
108/184
2/17/2013 108
yang lebih rinci mengenai perubahanlangganan untuk masing-masing merek.
Merek JumlahLangganan
PeriodePertama
Tambahan darimerek
Pengurangandari merek
JumlahLangganan
PeriodeKedua
A B C D A B C D
AB
C
D
220300
230
250
020
10
15
400
5
25
025
0
0
1015
10
0
040
0
10
200
25
15
105
0
10
1525
0
0
225290
230
155
Total 1.000 1.000
Data di atas memberikan informasi bahwa darisejumlah 220 langganan A pada periode
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
109/184
2/17/2013 109
sejumlah 220 langganan A pada periodepertama, telah beralih menjadi langganan Bsebanyak 20 orang, menjadi langganan Csebanyak 10 orang, dan langganan D sebanyak15 orang.
Jumlah langganan yang pada periode pertamamemilih A dan pada periode kedua tetap
memilih A sebanyak (220-20-10-15) = 175 orang Probabilitas bahwa langganan A tetap menjadi
langganan A pada periode kedua adalahsebesar 175/220 = 0,796
Probabilitas langganan A beralih ke langgananB pada periode kedua adalah sebesar 20/220 =0,091
Apabila perhitungan dilanjutkan, akan diperoleh
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
110/184
2/17/2013 110
MPT sebagai berikut :
Periode Kedua
A B C D
A 175/220 = 0,796 20/220 = 0, 091 10/220 = 0,046 15/220 = 0,067
B 40/300 = 0,133 230/300 = 0,767 5/300 = 0,017 25/300 = 0,083
C 0/230 = 0 25/230 = 0,109 205/230 = 0,891 0/230 = 0
D 10/250 = 0,040 15/250 = 0,060 10/250 = 0,040 215/250 = 0,960
Atau dengan singkat dituliskan sebagai
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
111/184
2/17/2013 111
berikut :
0,796 0,091 0,046 0,067
0,133 0,767 0,017 0,083
P = 0 0,109 0,891 00,040 0,060 0,040 0,860
Pada diagonal utama (cetak tebal-mir ing) terbaca loyalitas setiap merekproduk untuk tetap memakai produk yang sama pada periode berikutnya.
Nilai probabilitas pij (untuk i = j) menunjukkan tingkat loyalitas produk
Terbaca misalnya, loyalitas tertinggi adalah pada produk C, tingkatloyalitas terendah pada produk B.
PANGSA PASAR ~ RANTAI MARKOV
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
112/184
2/17/2013 112
PANGSA PASAR RANTAI MARKOV
Rantai Markov dapat juga digunakan untukmemperkirakan besarnya pangsa pasar dariproduk yang ada setelah diketahui MPT(matriks probabilitas transisionalnya).Misalnya, ada dua merek A dan B sebagaiberikut:
P = MPT A B
A 0,88 0,12
B 0,15 0,85
Pangsa pasar pada periode sekarang X0
adalah 60 dan 40 persen ditulis :
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
113/184
2/17/2013 113
adalah 60 dan 40 persen, ditulis :
X0 = [0,60 0,40]
Besarnya pangsa pasar satu periode kedepan X1 = X0 * P (ingat perkalian matriks)
X1 = [0,552 0,448] pangsanya menjadi55,2 % dan 44,8 %
Pangsa pasar pada periode 2 ke depanadalah X2 = X1 * P dan seterusnya
KASUS PETANI ~ TANAHNYA
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
114/184
2/17/2013 114
KASUS PETANI TANAHNYA
Misalkan kondisi tanah sang petani adalah: (1) Good, (2)Fair, (3) Poor
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
115/184
2/17/2013 115
MPT tanpa pupuk ( P1 ) dan MPT dengan pupuk ( P2 )adalah :
0,2 0,5 0,3 0,3 0,6 0,1
P1= 0 0,5 0,5 P
2= 0,1 0,6 0,3
0 0 1 0,05 0,4 0,55
Bentuk rantai Markov-nya:
Fungsi Return (pendapatan, dalam juta rupiah)tanpa pupuk R1 dan Return dengan pupuk R2
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
116/184
2/17/2013 116
tanpa pupuk R1 dan Return dengan pupuk R2adalah :
Hanya ada 2 kemungkinan: tanpa atau denganpupuk
Bagaimana keputusan terbaik bagi sang petani
untuk 3 periode ke depan ?
70 60 30 60 50 -10R1= 0 50 10 R2= 70 40 0
0 0 -10 60 30 -20
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
117/184
Tahap 3 : vik
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
118/184
2/17/2013 118
i k=1 k=2 f3(i) k*
1 53 47 53 1
2 30 31 31 23 -10 4 4 2
Tahap 2 : vik + Pi1
k . f3 (1) + Pi2k . f3 (2) + Pi3 . f3 (3)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
119/184
2/17/2013 119
i k=1 k=2 f3(i) k*1 53 + 0,2(53) +
0,5(31+ 0,3(4) =
80,3
47 + 0,3(53) +
0,6(31) + 0,1(4) =
81,9
81,9 2
2 30 + 0(53) +0,5(31) + 0,5(4) =
47,5
31 + 0,1(53) +0,6(31) + 0,3(4) =
56,1
56,1 2
3 -10 + 0(53) + 0(31)
+ 1(4) = -0,6
4 + 0,05(53) +
0,4(31) + 0,55(4) =
21,3
21,3 2
Tahap 1 : vik + Pi1
k . f2 (1) + Pi2k . f2 (2) + Pi3 . f2 (3)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
120/184
2/17/2013 120
i i1 2 i2 2 i3 2
i k=1 k=2 f3(i) k*
1 53 + 50,8 =
103,8
47 + 60,4 =
107,4
107,4 2
2 30 + 38,7 = 68,7 31 + 48,2 = 79,2 79,2 23 -10 + 21,3 =
11,3
4 + 38,3 = 42,3 42,3 2
Kesimpulan untuk 3 tahun/periode
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
121/184
2/17/2013 121
ke depan :
tahun 1 dan 2 gunakan pupuk ~ apa pun
kondisi tanahnya
tahun 3 gunakan pupuk jika kondisitanah (2) atau (3), tidak perlu pupuk jika
kondisi tanah (1)
LATIHAN SOAL
Sebuah perusahaan otomotif sedang mempertimbangkan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
122/184
2/17/2013 122
Sebuah perusahaan otomotif sedang mempertimbangkankemungkinan dilakukannya advertensi besar-besaran untuk
jenis mobil Karimun Estilo. Perusahaan ini menetapkan bahwahasil penjualan saat ini dapat dikategorikan sebagai berhasilatau gagal.
Jika dilakukan advertensi : probabilitas bahwa bulan ini berhasildan bulan berikutnya gagal adalah 0,1, sedangkan bila bulanini gagal dan bulan berikutnya juga gagal probabilitasnya
adalah 0,4. Matriks labanya adalah : R 1 = 2 - 11 - 3
Jika advertensi tidak dilakukan probabilitas bahwa hasil penjualanbulan ini berhasil dan bulan berikutnya juga berhasil adalah0,7, tetapi jika bulan ini gagal, maka probabilitas bahwa bulan
berikutnya juga gagal adalah 0,8. Matriks labanya adalah :R 2 = 4 1
2 - 1Bagaimanakah policy optimum dari persoalan diatas ?
PROGRAMA INTEGER
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
123/184
2/17/2013 123
PROGRAMA INTEGER
Programa linier integer (integer linear programming/ILP) pada intinyaberkaitan dengan program-program linier dimana beberapa atau
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
124/184
2/17/2013 124
semua variabel memiliki nilai-nilai integer (bulat) atau diskrit. SebuahILP dikatakan bersifat campuran atau murni bergantung pada apakah
beberapa atau semua variabel tersebut dibatasi pada nilai-nilai integer.
Kondisi nyata di lapangan justru adalah dalam bentuk ini. Kita hanyaberbicara jumlah kursi sebagai kesatuan (6 atau 25 buah, tidakberupa pecahan 6,25 atau 25,8 buah).
Teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan program integersalah satunya adalah dengan metode Branch & Bound :
(1) Branch-ing (atau pencabangan): untuk mencoba keduakemungkinan jawaban integer, misal diperoleh X1 = 3,45 ~ berartikita buatkan 2 pencabangan (program baru dengan tambahanfungsi pembatas baru pada masing-masingnya, yaitu X1 < 3 dan
X1 > 4).(2) Bound-ing (atau pembatasan): memilih salah satu cabang yang
memberikan jawaban ke arah yang diinginkan (maksimasi atauminimasi).
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
125/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
126/184
Contoh 1 :
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
127/184
2/17/2013 127
Program (1) adalah PL awal di atas, dicari solusinya (untuk 2dimensi dapat digunakan cara grafik, untuk yang 3 atau lebihgunakan metode simpleks).
Solusi awal (lihat grafiknya) : X1 = 5,5 ; X2 = 0 ; Z = 55 (solusi
integer belum diperoleh karena X1 bernilai pecahan, walaupan Zsudah integer).
Perlu dilakukan pencabangan ~ ada di program (2) dan (3).
Max Z = 10X1 + 8X2
S/t 2X1 + 3X2 < 11
X1dan X2> 0 dan integer
Program 1
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
128/184
Prog ram (2) :
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
129/184
2/17/2013 129
Daerah fisibel adalah (0;0) - (5;0) - (5;0,3) - (3,7;0)
Nilai Z maksimal ada di (5;0,3) = 52,4 ~ belum solusiinteger - cabangkan ke program (4) dan (5)
Pencabangan untuk tambahan pembatas X2 < 0 danX2 > 1
Hasilnya lihat pada grafik 2
Max Z = 10X1 + 8X2
S/t 2X1 + 3X2 < 11
X1 < 5
tambahan pembatas baru X1 < 5
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
130/184
2/17/2013 130
Grafik 2
Prog ram (3) :
Tambahan pembatas baru X1 > 6
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
131/184
2/17/2013 131
Program ini tidak fisibel (tidak ada daerah jawaban)
Caranya: masukkan pembatas (2) ke (1) ~ nilainyapasti lebih besar dari batas 11
Tidak perlu BOUND-ing, pencabangan sudah pastiharus dari program (2) tercabang ke program 4 dan 5
Max Z = 10X1 + 8X2
S/t 2X1 + 3X2 < 11
X1 > 6
Prog ram (4) :
Tambahan pembatas baru X2 < 0
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
132/184
2/17/2013 132
Solusinya adalah pada titik (5;0) dengan Z =50 ~ solusi OPTIMAL
Max Z = 10X1 + 8X2
S/t 2X1 + 3X2 < 11X1 < 5
X2 < 0
Tambahan pembatas baru X2 < 0
Prog ram (5) :
Tambahan pembatas baru X2 > 1
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
133/184
2/17/2013 133
Solusinya pada titik (4;1) dengan Z = 48masih kalah dengan hasil program 4
Solusi program 4 dan 5 lihat grafik 3
Max Z = 10X1 + 8X2
S/t 2X1 + 3X2 < 11X1 < 5
X2 > 1
p
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
134/184
2/17/2013 134
Grafik3
Bila digambarkan proses pencabangan/pembatasan untuksoal 1 adalah sebagai berikut:
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
135/184
2/17/2013 135
Contoh 2
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
136/184
2/17/2013 136
Max Z = 3X1 + 4X2
S/t 2X1 + X2 < 6
2X1 + 3X2 < 9
Prog ram (1)
program asalnya
Solusi program (1) ~
dengan grafik adalah :
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
137/184
2/17/2013 137
Daerah fisibel adalah (0;0) - (3;0)- (2,25;1,5) - dan (0;3) daerahyang diarsir
Jawab optimal pada (2,25;1,5)dengan Z = 12,75 ~ namun beluminteger, baik pada X1 maupun X2
Pencabangan dilakukan pada X2karena nilai desimal dekat ke
SETENGAH (0,5), selanjutnyabuatkan program (2) dan (3)dengan tambahan fungsipembatas baru X2 < 1 dan X2 > 2
dengan grafik adalah :
Prog ram (2) :
Tambahan pembatas baru X2 < 1
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
138/184
2/17/2013 138
Tambahan pembatas baru X2 1
Max Z = 3X1 + 4X2
S/t 2X1 + X2 < 6
2X1 + 3X2 < 9X2 < 1
Grafik (baru) untuk program 2
dan 3
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
139/184
2/17/2013 139
Daerah fisibel adalah(0;0) - (3;0) - (2,5;1) - dan(0;1)
Z maksimal ada di(2,5;1) = 11,5
Prog ram (3) :
Tambahan pembatas baru X2 > 2
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
140/184
2/17/2013 140
Daerah fisibel adalah (0;2) - (1,5;2) - dan (0;3) Z maksimal ada di (1,5;2) = 12,5
Dari solusi program (2) dan (3) dilakukan bounding (pembatasan)dengan menetapkan bahwa pencabangan berikutnya adalah dari
program (3) ~ buatkan program (4) dan (5)
dasar boundingadalah nilai terbesar ~ bila kedua program fisibel
Pencabangan baru adalah dengan menambahkan pembatas keprogram 3 dengan X1 < 1 dan X1 > 2
Max Z = 3X1 + 4X2
S/t 2X1 + X2 < 62X1 + 3X2 < 9
X2 > 2
Max Z = 3X1 + 4X2
Prog ram (4) :Ada tambahan pembatas baru X1 < 1
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
141/184
2/17/2013 141
S/t 2X1 + X2 < 6
2X1 + 3X
2 < 9
X2 > 2
X1 1
Max Z = 3X1 + 4X2
S/t 2X1 + X2 < 6
2X1 + 3X2 < 9
X2 > 2
X1 > 2
Prog ram (5) :
Ada tambahan pembatas baru X1 > 2
Program (5) tidak fisibel, masukkan pembatas (3) dan (4) ke (2) ~hasilnya tidak fisibel
Dari gambar terlihat tidak ada daerah yang memenuhi syaratprogram 3 dan X1 > 2
Grafik (baru): untuk program 4
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
142/184
2/17/2013 142
Hasil program (4) adalah:
Daerah fisibel adalah(0;2) - (1;2) - (1;2,3) -dan (0;3)
Z maksimal pada
(1;2,3) = 12,33 ~belum integer Lakukan pencabangan
baru dari program (4) inimenjadi program (6)
dan (7) denganmenambahkanpembatas yang baru X2< 2 dan X2 > 3
Program (6) :
Ada tambahan pembatas baru X2 < 2
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
143/184
2/17/2013 143
Ada tambahan pembatas baru X2 < 2
Max Z = 3X1 + 4X2
S/t 2X1 + X2 < 6
2X1 + 3X2 < 9X2 > 2
X1 1
X2 < 2
Solusi program (6) ini ada pada (1;2) denganZ = 11
Program (7) :
Ada tambahan pembatas baru X2 > 3
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
144/184
2/17/2013 144
Ada tambahan pembatas baru X2 > 3
Max Z = 3X1 + 4X2
S/t 2X1 + X2 < 6
2X1 + 3X2 < 9
X2 > 2X1 1
X2 > 3
Solusi untuk program (7) adalah pada (0;3) denganZ = 12
>> SOLUSI OPTIMAL : integer
X1 = 0, X2 = 3 Z = 12
Bila dibuatkan diagran pencabangan dan pembatasannyahasilnya sebagai berikut:
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
145/184
2/17/2013 145
LATIHAN SOAL (1/2)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
146/184
2/17/2013 146
1. Z Maks = 3X1 + 2X2
c/t X1 2X2 2
X1 + X2 3,5
X1, X2 0 dan integer
2. Z Maks = 600X1 + 850X2
c/t 9X1 + 3X2 27
4X1 + 6X2 23X1, X2 0 dan integer
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
147/184
JARINGAN KERJA (NETWORK)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
148/184
Analisis Jaringan Kerja (Network) dipelajari dalam
Ilmu Manajemen Proyek. Analisis ini dipergunakan
untuk perencanaan, penjadwalan, dan pengawasan
suatu proyek. Ada dua teknik jaringan kerja yg ber-
kembang, yaitu : Critical Path Method (CPM) danProject Evaluation and Review Technigue (PERT).
Pada dasarnya kedua teknik analisis ini sudah sama,
perbedaannya terletak pada perkiraan waktu, dimana
CPM menaksir waktu dengan pasti (Deterministic),dan PERT dengan menggunakan teori kemungkinan
(probabilistic).
Teori jaringan kerja (network) merupakan teknik
analisis yang dapat membantu manajemem proyek utk
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
149/184
y g p j p y
melaksanakan tugas guna:
(1). Membuat perencanaan(2). Mengatur jadwal pelaksanaan
(3). Melakukan pengawasan, dan
(4). Mengambil keputusan
Dalam mengatur rangkaian dari kegiatan-kegiatan ini,
teori jaringan kerja harus dapat :
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
150/184
j g j p
1. Menggambarkan interelasi kegiatan dengan urutan
yang logis.2. Mengidentifikasi unsur-unsur kritis secara mudah
3. Medeteksi masalah-masalah yang gawat.
Dalam manajemen proyek ada 3 tahap kegiatan :(1). Membuat uraian kegiatan-kegiatan, menyusun
logika urutan kejadian-kejadian, menentukan
syarat-syarat pendahuluan, menguraikan intere-
lasi dan interdependensi antara kegiatan-kegiat-an.
(2). Penaksiran waktu yang diperlukan utk melaksana-
kan tiap kegiatan, menegaskan kapan suatu ke-
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
151/184
p g g p
giatan dimulai dan kapan berakhir, secara kese-
luruhan kapan proyek selesai.(3). Bila perlu, menetapkan alokasi biaya dan peralat-
an guna pelaksanaan tiap kegiatan, meskipun pd
hakekatnya hal ini tdk begitu penting.Tiga tahap perencanaan proyek ini akan menghasilkan
satu tabel yang terutama memuat daftar kegiatan,
logika ketergantungan dan waktu yg diperlukan untuk
melaksanakan tiap kegiatan. Contohnya ialah proyekPendirian Rumah Makan seperti pada Tabel berikut.
----------------------------------------------------------------------------------------
No. K e g i a t a n Kode Kegiatan Lama
seblmnya Pelaksana
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
152/184
(hari)
----------------------------------------------------------------------------------------
1. Membeli lemari dan estalase A - 10
2. Membeli peralatan restuaran B - 3
3. Mencari personil (pelayan dll) C - 1
4. Memilih dan membeli tempat restauran D - 2
5. Mengurus izin E D 7
6. Persiapan tempat F E 37. Memindahkan lemari-lemari di tempat G A,F 5
8. Memasang utilitas (listrik, air, dll) H G 4
9. Memasang peralatan I B,H 4
10. Membuat Dekorasi J B,H 3
11. Membeli stok barang K I,J 6
12. Memasang ikl;an dan promosi L G 3
13. Melatih personil M C,I 4
14. Pembukaan Pertama N K,L 7
-----------------------------------------------------------------------------------------
DIAGRAM JARINGAN KERJA
Untuk memahami teori jaringan kerja memerlukan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
153/184
j g j
beberapa lambang khusus utk memberikan keterang-
an yg jelas tentang proyek, yaitu :(1). Anak panah (arrow) menyatakan kegiatan
dgn ketentuan bahwa panjang dan arah panah tdk
mempunyai arti khusus. Pangkal dan ujung panah
menerangkan kegiatan mulai dan berakhir dengan
arah kekanan (positif). Kegiatan hrs berlangsung
terus dlm jangka waktu tertentu (duration) dgn
pemakaian sejumlah sumber spt manusia, alat,bahan, dan dana. Pada umumnya kegiatan diberi
kode huruf besar A, B, dan seterusnya.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
154/184
Untuk menyatakan saling ketergantungan logika dari
kegiatan-kegiatan, berikut ini dijelaskan beberapa
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
155/184
ketentuan sbb:
A B
(1). ; kegiatan B hanya dpt dimulai
stlh kegiatan A selesai.
(2). ; kegiatan C hanya dpt dimulai
setelah kegiatan A dan B se-
selesai. Kegiatan A dan B tdk
boleh berlangsung bersama-
sama; A dan B berakhir padakejadian yg sama.
1 2 3
1
2
3 4
A
BC
(3). ; kegiatan C dan D dapat
dimulai setelah kegiat-1 4AC
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
156/184
an A dan B berakhir,
dan selesai pd kejadianyg berbeda.
(4). ; dua kejadian yg saling
bergantung yg dihubung-
kan dengan dummy.
(5). Bila ada dua kegiatan berbeda yg mulai pada ke-
jadian yg sama dan berakhir pada kejadian yangsama pula, maka kegiatan tsb tdk boleh berim-
pit.
2
3
5
B
C
D
1
2
3 4
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
157/184
JARINGAN KERJA PROYEK RUMAH MAKAN
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
158/184
1
2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
D
A
B
C
E FG
H
I
J
1D
2D
L
K
M
N2
10
7 3
5
4
3
1
4
3
3
67
0
0
4
KONSEP WAKTU
Salah satu tujuan utama dari manajemen proyek ialah
k l l k l
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
159/184
menentukan jadwal yang memperlihatkan tanggal mu-
lai dan berakhirnya tiap kegiatan. Jumlah waktu ygdiperlukan utk menyelesaikan satu kegiatan tidak
perlu hrs tergantung pada jumlah waktu yang dibutuh
kan utk menyelesaikan seluruh proyek.
Waktu penyelesaian satu kegiatan harus dianalisis
baik-baik utk menghindari waktu yg terlalu sedikit
hingga penyelesaian menjadi terburu-buru dan waktu
yg terlalu longgar hingga penyelesaian kegiatan men-jadi bertele-tele. Waktu dihitung dlm satuan waktu
tertentu seperti hari, minggu, bulan, atau tahun.
Waktu Kejadian paling Cepat (WKC) untuk kejadian
i adalah waktu paling cepat, dimana kejadian i terwu-
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
160/184
jud sedemikian hingga semua hubungan sebelumnya
yg relevan dengan kejadian i telah selesai dilaksana-kan.
Waktu Kejadian paling Lambat (WKL) untuk kejadi-
an i adalah waktu paling lambat, dimana kejadian i
terwujud tanpa menunda penyelesaian proyek.
WKC
WKL
NK
Waktu mulai paling Cepat (WMC) suatu kejadian
ialah waktu tercepat yang paling mungkin suatu ke-
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
161/184
p y g p g g
giatan mulai.
Waktu selesai paling Cepat (WSC) suatu kejadian
ialah waktu tercepat yang paling mungkin suatu ke-
giatan selesai.
Waktu selesai paling lambat (WSL) suatu kegiatanadalah waktu paling lambat suatu kegiatan selesai,
tanpa mengganggu waktu penyelesaian proyek.
Waktu mulai paling lambat (WML) suatu kegiatan
adalah waktu paling lambat suatu kegiatan mulai,tanpa mengganggu waktu penyelesaian proyek (sama
dgn waktu kegiatan dikurangi dari WSL).
22
39
4 12E F
7 3
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
162/184
10
5 17
6
21
7
8
10
9 11
25
25
25
31
38
D
G
H
I
J
K
L
M
N
D1
D2
2
5
4
4
3
3
0
0
67
4
A
B
C
10
3
1
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
163/184
22
39 4 12
E
7
F
3
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
164/184
1 0
2 9 12
517
6 21
725
834
9 25
1031
11 38
D 2
7
G 5
H 4
I4
J
K
L
N
M
3
3
7
4
D1 0
D20
A
10
B
3
C
1
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
165/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
166/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
167/184
JALUR KRITIS
Suatu lintasan adalah rangkaian dr sejumlah kegiatan
m l i d i k j di n l d n b h nti pd k j di n
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
168/184
yg mulai dari kejadian awal dan berhenti pd kejadian
akhir. Berdasarkan ketentuan, maka definisi jalurkritis dpt ditetapkan sbb :
(1). Jalur kritis terjadi jika lintasan dimana tiap ke-
jadian pada lintasan tersebut mempunyai waktu
kejadian paling cepat = waktu kejadian paling
lambat.
(2). Jumlah waktu yg diperlukan utk menyelesaikan
satu lintasan kritis sama dgn jumlah waktu ygdiperlukan utk menyelesaikan seluruh proyek.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
169/184
(3). Waktu penyelesaian satu kegiatan kritis tidak
boleh melebihi waktu yg sudah ditentukan, krn
keterlambatan kegiatan kritis dpt mengganggu
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
170/184
keterlambatan kegiatan kritis dpt mengganggu
(memperpanjang) waktu penyelesaian seluruhproyek.
WAKTU MENGAMBANG
Selisih waktu antara waktu yg diperlukan oleh jalur
kritis dgn waktu yg diperlukan oleh jalur yg lain (tak
kritis) disebut slack atau float atau waktu mengam-
bang. Artinya terdapat waktu longgar atau idle time
utk menyelesaikan kegiatan tak kritis sehingga ke-terlambatan waktu dlm jalur tak kritis hrus diperhi-
tungkan bbrp lama waktu mengambang yg diperkenan
kan utk tiap kegiatan shg jalur kritis tak terganggu.
Dalam tiap diagram jaringan kerja, ada dua jenis
waktu mengambang, yaitu :
(1) Waktu Mengambang Total yaitu waktu maksimum
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
171/184
(1). Waktu Mengambang Total, yaitu waktu maksimum
yg tersedia utk melaksanakan kegiatan (i,j)kurang waktu pelaksanaan kegiatan bersangkutan.
Karena waktu maksimum melaksanakan kegiatan
(i, j) adalah selisih (WSL)ij - (WMC)ij maka :
(WMT)ij = (WSL)ij - (WMC)ij - Wij(2). Waktu Mengambang Bebas (WMB)ij adalah seli-
sih antara waktu yang tersedia utk kegiatan (i,j)
dengan waktu pelaksanaan (Wij), asalkan kegiatankegiatan dalam satu jalur hrs dimulai secepat
mungkin. Karena waktu tersedia adalah (WKC)j -
(WKC)i maka :
(WMB)ij = (WKC)j - (WKC)I - WijContoh 1:
U t k k i t (1 6) d (4 5) k
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
172/184
Untuk kegiatan (1,6) dan (4,5) maka :
(WMT)1,6 = (WSL)1,6- (WMC)1,6- W1,6= 21 - 0 - 3
= 18 hari
(WMT)4,5
= (WSL)4,5
- (WMC)4,5
- W4,5= 17-12-5
= 0
Ini berarti bahwa kita mempunyai waktu luang 18
hari untuk kegiatan (1,6) dan waktu luang utk kegiat-an (4,5) tidak ada sama sekali. Oleh karena itu kita
dapat memilih kemungkinan :
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
173/184
(WMB)1,8 = (WKC)8 - (WKC)1 - W1,8= 25 - 0 - 1
= 24
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
174/184
24
(WMB)8,11 = (WKC)11 - (WKC)8 - W8,11= 38 - 25 - 4
= 9
Ini berarti bahwa kegiatan (1,8) mempunyai kelong-
garan selama 24 hari apabila segera dimulai dandemikian juga kegiatan (8,11) mempunyai kelonggaran
waktu selama 9 hari apabila ia segera dimulai. Jlh
waktu mengambang total utk kegiatan (1,8) adalah
33 hari dibagi antara kegiatan (1,8) dan kegiatan
(8,11) sbg waktu mengambang bebas masing-masing
dengan 24 dan 9 hari.
Tabel. Perhitungan Waktu Mengambang utk Proyek Rumah Makan.
-----------------------------------------------------------------------------------------
Kegiatan Kode Wij (WMC)ij (WSL)ij (WMT)ij (WMB)ijKegiatan
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
175/184
-----------------------------------------------------------------------------------------
A (1,4) 10 0 12 2 2B (1,6) 3 0 21 18 18
C (1,8) 1 0 34 33 24
D (1,2) 2 0 2 0 0
E (2,3) 7 2 9 0 0
F (3,4) 3 9 12 0 0
G (4,5) 5 12 17 0 0
H (5,6) 4 17 21 0 0
I (6,7) 4 21 25 0 0
J (6,9) 3 21 25 1 1
D1 (7,8) 0 25 34 9 0
D2 (7,9) 0 25 25 0 0K (9,10) 6 35 31 0 0
L (5,10) 3 17 31 11 11
M (8,11) 4 25 38 9 9
N (10,11) 7 31 38 0 0
-----------------------------------------------------------------------------------------
PENJADWALAN (TIME CHART)
Akhir dari suatu rencana jaringan kerja (network)
adalah pembuatan satu jadwal Jadwal ini berupa
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
176/184
adalah pembuatan satu jadwal. Jadwal ini berupa
time chart yg dituangkan menjadi satu kalender ygsangat dibutuhkan oleh para pelaksana. Time chart
dari rumah dapat dilihat berikut ini.
Keterangan Gambar :
: Jalur Kritis
: Jalur non Kritis
: Nomor Kegiatan
: Waktu pelaksanaan tiap kegiatan
1
2 3 4 5 6 72 7 3 5 4 4
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
177/184
0 5 10 15 20 30
9
10 11
2 9 12 17 21 31 3825
101 4
1 6
1 8
96
5 10
8 11
6 7
4
3
3
1
3
Teknik Evaluasi dan Review Proyek (PERT)Estimasi kurun waktu kegiatan :
a = kurun waktu optimistik (optimistic duration time)
m = kurun waktu paling mungkin (most likely time)
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
178/184
m = kurun waktu paling mungkin (most likely time)
b = kurun waktu pesimistik (pessimistic duration time)
Probabilitas
a m b waktu
waktu waktu waktu
optimistik paling mungkin pesimistik
Kurun waktu kegiatan yang diharapkante = (a+4m+b)/6
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
179/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
180/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
181/184
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
182/184
SOALDari data dibawah :
a. Gambarkan jaringan kerjanya
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
183/184
Kegiatan KegiatanPengikut
a m b
A
B
C
D
E
F
G
H
B, C, D
F
G
E
G
H
H
1
6
2
1
3
5
3
1
4
14
5
2
12
7
4
5
7
16
8
3
21
9
5
9
j g j y
b. Hitung angka te dan V(te) untuk tiap kegiatanc. Titik waktu penyelesaian proyek (TE)
d. Berapa % kemungkinan mencapai target (Td) pada TE minus 2 hari ?
e. Berapa lama kurun waktu penyelesaian proyek dengan keyakinan 95 % ?
DAFTAR PUSTAKA Bazaraa. M.S. and Jarvis, J.J., 1977, Linear Programming and Network
Flows, John Wiley & Sons.
-
7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II
184/184
Bustanul Arifin Noer (2003, 2004, 2005, 2006). Riset Operasi. Diktat
Kuliah. Jurusan Teknik Mesin ITS. Surabaya. Dimyati, T.T. dan Dimyati, A., 1994, Operations Research : Model-modelPengambilan Keputusan, Edisi Kedua, Sinar Baru Algesindo, Bandung.
Frederick S. Hilier and Gerald J. Lieberman (2005). Introduction toOperation Research. 8th edition. McGraw Hill International Edition.Singapore.
Hamdy A. Taha (2003). Operations Research: An Introductions. 7th
edition.McMillan Publishing Company. New York USA. Hillier, Frederich S., and Lieberman, Gerald J., Introduction to Operations
Research, McGraw Hill, International Editions. Mulyono, Sri., 1991, Operations Research, Lembaga Penerbit Fakultas
Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta. Supranto, J., 1980, Linear Programming, Lembaga Penerbit Fakultas
Ekonomi Universitas Indonesia Jakarta