TUGAS

STRUKTUR ALJABAR

Tentang

“GRUP SIKLIK DAN GENERATOR”

Oleh: KELOMPOK IV

Arwinda Febri 409295

Fatimah Mardiah 410362

Renta Yulia 410136

Sri Wahyuni S 410035

Yurizal Wendri 410388

Dosen Pembimbing:

ANDI SUSANTO, S.Si, M.Sc

JURUSAN TADRIS MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)

IMAM BONJOL PADANG

1434 H / 2013 M

0

GRUP SIKLIK DAN GENERATOR

Definisi ( perkalian )

Grup (G, o) disebut siklik bila ada elemen a Є G sedemikian sehingga G = {an| n Є

Z}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.

Defenisi ( terhadap penjumlahan )

Grup (G, +) disebut siklik bila ada elemen a Є G sedemikian sehingga G = {na | n Є

Z}.

Definisi 2.5

Grup G dikatakan grup siklik bila dan hanya bila ada elemen a Є G sedemikian

sehingga hingga setiap elemen y Є G, y = am dengan m bilangan bulat. Elemen a Є G

disebut penghasil (generator) dari G.

Contoh 2.11

(1) B = himpunan bilangan bulat, terhadap operasi penjumlahan. B

merupakan suatu grup. Grup B ini dapat dipandang sebagai grup siklik

dengan generator 1. Setiap bilangan bulat positif n dapat dinyatakan

sebagai jumlah n suku yang semua sukunya 1.

Misalnya 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Karena banyaknya elemen B (order grup

B) tak berhingga, maka B disebut grup siklik tak berhingga.

(2) Himpunan bilangan bulat modulo n terhadap operasi penjumlahan modulo

6 juga merupakan suatu grup siklik dengan order 1 atau (n - 1).

Misalkan G = { 0, 1,2,3,4,5} terhaap operasi penjumlahan modulo

6 adalah grup siklik dengan generator 1 atau 5, sebab

(2) (5) = 10 ≡ 4 (mod 6), 4 Є G

1

(3) (5) = 15 ≡ 3 (mod 6), 3 Є G

(4) (5) = 20 ≡ 2 (mod 6), 2 Є G

(5) (5) = 25 ≡ 1 (mod 6), 1 Є G

(6) (5) = 30 ≡ 0 (mod 6), 0 Є G

(7) (5) = 35 ≡ 5 (mod 6), 5 Є G

Dan seterusnya.

(-1) (5) = -5 ≡ 1 (mod 6), 1 Є G

(-2) (5) = -10 ≡ 2 (mod 6), 4 Є G

(-3) (5) = -15 ≡ 3 (mod 6), 3 Є G

Dan seterusnya.

Sehingga untuk setiap bilangan bulat m maka m (5) Є G.

Note:

-5 = 6 (-1) + 1

-10 = 6 (-2) + 2

-15 = 6 (-3) + 3 , dan seterusnya

Contoh :

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu grup terhadap operasi perkalian (G, o)

Tentukan grup siklik dari grup tersebut!

2

Penyelesaian :

Generator dari G = { -1, 1 } adalah -1 dan 1

[-1] = {(−1¿¿n | n Є Z }

= {(−1)0, ¿,(−1)2, … }

= {-1,1}

[1] = {(1)n | n Є Z}

= {(1)0, (1)1, (1)2, … }

= {1}

Generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :

[-1] = {-1, 1}

Generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :

[1] = {1}

Teorema :

Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian.

Bukti :

Misalkan (G, o) merupakan Grup Siklik terhadap operasi perkalian dan a merupakan

pembangun dari G, sehingga G = {an| n Є Z}.

Ambil x, y Є G, sehingga x = am dan y = an, untuk m, n Є Z.

x o y = amo an = am+n = an+m = an o am = y o x

3

Jadi (G, o) merupakan Grup Komutatif.

Misakan (G, o) merupakan Grup Siklik terhadap operasi penjumlahan dan merupakan

pembangun dari G, sehingga G = {na | n Є Z}.

Ambil x, y Є Z sehingga x = na dan y = ma, untuk m,n Є Z.

x + y = na + ma = (n + m) a = (m + n) a = ma + na = y + x

Jadi, (G, +) Merupakan Grup Komutatif.

Definisi 2.6

Jika G suatu grup dan a Є G, Periode (order) dari a adalah bilangan bulat positif

terkecil m sedemikian hingga am = u, jika tak ada bilangan bulat positif demikian,

maka dikatakan bahwa a berperiode tak berhingga. Periode a ditulis p (a).

Pada contoh 2.11 (2).

P (5) = 6 sebab (6) (5) = 30 ≡ 0 (mod 6)

P (4) = 3 sebab (3) (4) = 12 ≡ 0 (mod 6)

Selanjutnya periksalah bahwa p (3) = 2, p (2) =3, p (1) = 6 dan p (0) = 1

Contoh 2.12 perhatikan gambar 2.3

Misalkan s (O, 900) adalah rotasi dengan pusat O dan sudut putaran 900 berlawanan arah dengan arah

0 perputaran jarum jam.

4

Jika S (O, 900) = S maka S (O, 1800) = S2, S (0,

2700) = S3, dan S (O, 3600) = S4 = I yaitu

transportasi Identitas.

Pandang himpunan T = {I, S, S2,S3}. Maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa

T terhadap operasi perkalian o merupkan suatu grup.

Grup T inipun merupakan grup siklik dengn generator S atau S3 (mengapa ?).

Coba periksalah bahwa periode setiap elemennya adalah p (I) = 1, p (S) = 4, p (S2) =

2 dan p (S3) = 4.

Perhatikan lagi contoh 2.11 (2), yaitu G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap operasi

penjumlahan modulo 6 merupakan grup siklik dengan generator I atau S, sedangkan

order grup G yaitu n (G) = 6. Mengingat generator G maka grup siklik G dapat ditulis

sebagai

{0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1} atau

{0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5}.

Perhatikan bahwa factor persekutuan terbesar dari 1 dan 6 yaitu (1,6) = 1. Begtu pula

(5,6) = 1.

Demikian pula pada contoh 2.12, T = {I, S, S2,S3} terhadap operasi perkalian o, T

merupakan suatu grup siklik dengan generator S atau S3. Order grup T yaitu n (T) =

4. Perhatikan pula bahwa (4,1) = 1 dan (4,3) = 1.

Contoh-contoh ini membawa kita kepada teorema berikut ini:

Teorema 2.13

5

Gambar 2.4

Jika (G; o) suatu grup siklik dengan order k. a t Є G dengan o < t < k, maka a t

merupakan generator dari G bila dan hanya bila (k, t) = 1.

Bukti: I. Dibuktikan: jika (k, t) = 1 maka a t generator G.

G = {a, a2, a3, … ,ak−1, ak = u}.

Kita pernah mempelajari dalam Teori Bilangan,

Apabila a dan b dua bilangan bulat tidak nol, maka a dan b saling

prima jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat x dan y yang

memenuhi ax + by = 1.

jika (k, t) = 1 maka ada bilangan –bilangan x dan y sedemikian

sehingga kx + ty = 1

Sehingga ty = 1 – kx

Karena p (G) = k maka ak = u.

Perhatikan bahwa

(a t ¿¿y = a ty = a1−kx = a o a−kx = a o (ak¿¿−x = a o u−x = a o u = a

Jadi ¿ = a

Ini berarti bahwa elemen a dihasilkan oleh perpangkatan a t.

Oleh karena setiap elemen G merupakan perpangkatan dari a, maka

setiap elemen G dapat dihasilkan oleh perpangkatan dari a t. Jadi a t

adalah generator G.

II. Dibuktikan : Jika a t generator G maka (k, t) = 1.

6

a t generator G, maka setiap elemen G merupakan perpangkatan dari a t

.

a Є G dan misalkan a = (a t ¿¿y dengan y bilangan bulat, maka

a o a−1 = a ty o a−1

u = a ty−1

ak= a ty−1

Ini berarti (ty-1) merupakan kelipatan dari k, misalkan ty-1 = kx,

maka kx – ty = 1

Dan disimpulkan bahwa (k, t) = 1. (Terbukti)

Contoh 2.13 Jika G = {a, a2, a3, a4, …, u = a16} suatu grup siklik.

Maka generator G adalah a, a3, a5, a7, a9, a11, a13 atau a15

Perhatikan himpunan P = {u, a4, a8, a12} terhadap operasi perkalian o

seperti pada G. periksalah bahwa P merupakan suatu grup dan karena P

∁ G maka P subgroup dari G.

P merupakan grup siklik pula dengan generator a4 atau a12.

Teorema 2.14

Setiap subgroup dari grup siklik adalah grup siklik pula.

Bukti : Misalkan G suatu grup siklik dengan generator a, maka setiap elemen G

merupakan perpangkatan dari a. ambil H suatu subgroup dari G yang tidak

hanya terdiri atas elemen identitas saja.

7

Misalkan m adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga

am ∈ H.

Ambil sembarang elemen ak ∈ H.

Dalam teori Bilangan,

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dengan a > 0, maka ada dengan tunggal

pasangan bilangan-bilangan bulat dengan q dan r yang memenuhi b = qa + r

dengan 0 < r < a

kita telah mengetahui bahwa setiap bilangan bulat k dapat dinyatakan sebagai.

K = qm + r dengan 0 ≤ r ¿ m

Maka ak = aqm + r = aqm o ar

a-qm o ak = ar

(am)-q o ak = ar

am ∈ H dan H suatu subgroup maka (am)-q∈ H.

(am)-q ∈ H dan ak ∈ H dan karena H suatu subgroup, maka (am)-q o ak∈ H.

Karena (am)-q o ak = ar maka ar ∈ H pula.

Ingat ketentuan di atas bahwa jika ∅ ¿ r ¿ m maka ar ∈ H tidak mungkin

terjadi, sebab m adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga am ∈ H, maka

satu-satunya kemungkinan adalah r = ∅ berarti ak = aqm = (am)q.

Hal ini menunjukkan bahwa H merupakan subgroup siklik dengan generator

am.

8

DAFTAR PUSTAKA

Sukirman, 1998, Aljabar Abstrak, Jakarta: Universitas Terbuka

Rizal, Yusmet, 2006, Struktur Aljabar, Padang: UNP Padang

Sukirman, 2006, Pengantar Teori Bilangan, Yogyakarta: Hanggar Kreator

http://wijna.web.ugm.co.id

9