grafkom - sistem koordinat

13
 Transformasi Antar Sistem Koordinat

Upload: gabriel-de-araujo

Post on 05-Mar-2015

221 views

Category:

Documents


7 download

TRANSCRIPT

Page 1: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Transformasi Antar Sistem Koordinat

Page 2: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Multiple Coordinate Systems

• Dalam “world of models” bisa tdp banyak sistem koordinat• Setiap sistem koordinat dinyatakan atas skala, titik referensi 

relatif ke sistem koordinat referensi, dan orientasinya dilihat dari sistem koordinat referensi tsb

• Terdapat sistem koordinat root yang menjadi referensi dari setiap sistem koordinat secara langsung atau tidak langsung

Page 3: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Model’s Coordinate System

• Dalam world of models setiap model didefinisikan dalam sistem koordinatnya masing­masing 

• Transformasi yang terjadi tidak mengubah data geometris model tersebut pada sistem koordinatnya

• Transformasi yang terjadi hanya mengubah informasi geometris dari sistem koordinat model relatif terhadap sistem koordinat referensinya

• Pada saat penggambaran, setiap koordinat tsb baru dikomputasi hingga berada dalam satu sistem koordinat tunggal

Page 4: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Relasi Antar Koordinat

• Jika sistem koordinat model dalam sistem koordinat model, maka sistem koordinat referensi dapat dipandang sebagai transformasi geometris dari sistem koordinat referensi

• Sistem koordinat model (B) hasil transformasi dari sistem koordinat referensi (A) dengan matriks transformasi MAB

Page 5: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Matriks Transformasi Antar Sistem Koordinat

• Suatu obyek PB yang didefinisikan dalam koordinat model (B) hendak diketahui koordinatnya dalam sistem koordinat referensi (A) menjadi PA maka berlaku:

• PA = MAB PB

• Sebaliknya model dalam SK A dapat dinyatakan dl SK B dengan MBA= (MAB)­1

• PB = MBA PA = (MAB)­1 PA

Page 6: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Contoh

• sk B dengan referensi pada sk A: – origin B pada (10, 5) sk A – rotasi 30o

• Dimanakah PB = (5, 2) di dalam sk A?

MAB = T(10, 5).R(30o), 

jadi PA = MAB .PB  

PA=0.87 −0.5 100.5 0.87 50 0 1 ⋅521 =13.339.23

1

Page 7: Grafkom - Sistem Koordinat

   

• Dimanakah PA = (15, 15) di dalam sk B?

PB = MBA PA 

      = R(­30o).T(­10, ­5).PB 

PB=−0.87 0.5 −11 .160.5 0.87 0.670 0 1 ⋅15151 =9.336.16

1

Page 8: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Rantai Referensi Antar Sistem Koordinat

• Secara umum, suatu sistem koordinat model dapat menjadi sistem koordinat referensi model lainnya

• Jika MAB, MBC adalah matriks­matriks transformasi sistem koordinat

• MAB adalah sk B dengan sk referensi A

• MBC adalah sk C dengan sk referensi B

• Jika Pc adalah model yang didefinisikan di C. Maka dalam SK A model tsb memiliki koordinat PA sbb:

• PA = MAB MBC PC

Page 9: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Vektor Arah Sumbu­y

• Jika diketahui vektor V yang menyatakan sumbu­y sistem koordinat B serta posisi originnya (x0, y0)?

• Jika vektor unit arah sumbu­y 

• Sementara, vektor unit arah sumbu­x dapat diperoleh dari v karena ortonormal

v=V∣V∣

=vx , vy

u=ux,u

y=v

y,−v

x

Page 10: Grafkom - Sistem Koordinat

   

• Matriks transformasi antar sistem koordinat (untuk menyatakan titik dalam sk B ke dalam sk A):

• Matriks transformasi antar sistem koordinat (untuk menyatakan titik dalam sk B ke dalam sk A):

MA B=T x0 , y 0 ⋅vy vx 0

−vx vy 0

0 0 1

MB A=vy −vx 0

vx vy 0

0 0 1 ⋅T −x0 ,−y 0

Page 11: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Contoh

• Jika arah sumbu­y SK B adalah (­0.5, 0.87) dan origin berada pada (10, 5) dengan SK referensi A, dimanakah titik (5,2) pada sk B jika dinyatakan dalam sk A?

• Dimana kah titik (15, 15) pada sk A jika dinyatakan dalam sk B?

PB=0.87 0.5 0−0.5 0.87 00 0 1 ⋅1 0 −10

0 1 −50 0 1 ⋅15151 =9.336.16

1

PA=1 0 100 1 50 0 1 ⋅0.87 −0.5 0

0.5 0.87 00 0 1 ⋅

521=13.339.23

1

Page 12: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Transformasi Sistem Koordinat 3D

• Untuk kasus 3D biasanya diketahui dua vektor V dan W, menyatakan arah sumbu­y dan arah sumbu­z dan koordinat titik origin (x0, y0, z0)

• Vektor unit arah sumbu­y adalah                      

• vektor unit arah sumbu­z adalah 

• Maka, vektor unit arah sumbu­x adalah 

v= V∣V∣

= vx , vy , v z

w=W∣W∣

=wx ,w y ,wz

u=ux,u

y,u

z=v×w

Page 13: Grafkom - Sistem Koordinat

   

Transformasi Sistem Koordinat 3D

• Matriks transf untuk menyatakan titik dl sk B ke dl sk A:

• Matriks transf untuk menyatakan titik dl sk A ke dl sk B:

MA B=T x0 , y 0 , z0 ⋅ux vx wx 0

uy vy wy 0

uz vz wz 0

0 0 0 1

MB A=ux uy uz 0

vx vy vz 0

wx wy wz 0

0 0 0 1⋅T −x0 ,−y 0 ,−z0