47

Bagian 9 Gerak Melingkar Beraturan Sparisoma Viridi dancewithghost@yahoo.com +62-815-7104012 Materi Kuliah dan Tutorial Antara Tanggal 16 – 18 September 2002 FI-111 Fisika Dasar I, Semester I - 2002/2003 Hukum gerak Newton merupakan alat analisis gerak yang amat baik, dan dapat diterapkan sama baiknya bagi gerak benda sepanjang garis lurus atau pada sembarang kurva. 9.1. Definisi Gerak Melingkar Beraturan Definisi gerak melingkar beraturan adalah gerak suatu obyek yang bergerak dengan laju tetap (teratur) pada suatu lintasan berbentuk lingkaran. Kadang dirasakan lebih mudah untuk mendeskripsikan gerak melingkar beraturan dengan melalui periodanya dari pada melalui lajunya. Perioda T adalah waktu yang dibutuhkan suatu obyek untuk bergerak sekali mengelilingi satu lingkaran melakukan satu revolusi lengkap. Hubungan antara laju dan perioda adalah

T

rv π2= (9.1)

9.2 . Percepatan Sentripetal Sebuah obyek yang bergerak melingkar beraturan dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 9.1. Ilustrasi gerak melingkar dengan vektor kecepatan dan sudut yang dilaluinya. Telah diketahui sebelumnya bahwa percepatan adalah perubahan kecepatan, sehingga dengan demikian berdasarkan gambar 9.1. dapat dituliskan bahwa

r

tvvv ∆=∆

(9.2)

O

θ

vo

vt θ

vo

vt

∆v

θ

r

r

v ∆t

48

dengan sedikit manipulasi matematik dapat diperoleh

sarv

tva ==

∆∆=

2

(9.3)

Percepatan ini dikenal sebagai percepatan sentripetal, as. Kemudian ingatlah dalam hukum Newton I bahwa jika tidak ada gaya yang bekerja (percepatan) maka benda akan berberak lurus beraturan (garis putus-putus dalam gambar 9.2).

Gambar 9.2. Ilustrasi gerak melingkar dengan vektor kecepatan dan percepatan yang membuatnya berubah. Agar benda berubah arahnya sehingga mengikuti lintasan berbentuk lingkaran maka harus terdapat percepatan. Jadi as harus selalu ada agar benda berada tetap pada lintasan lingkaran. Dan apabila diamati untuk ∆t yang kecil (θ kecil) arah as akan selalu mengarah ke pusat lingkaran. Oleh karena itu percepatan ini dinamakan sebagai percepatan sentripetal (centripetal ≡ center-seeking, selalu mencari atau menuju pusat). 9.3 . Gaya Sentripetal Berdasarkan hukum Newton II, apabila obyek mengalami percepatan maka harus ada resultan gaya-gaya yang menyebabkan percepatan tersebut. Dengan sederhana gaya sentripetal dapat dinyatakan sebagai massa kali percepatan sentripetal, jadi besarnya adalah

r

vmFs

2

= (9.4)

yang arahnya sama dengan arah percepatan sentripetal, selalu menuju pusat lingkaran dan berubah dengan bergeraknya benda. Dan perlu diingat bahwa gaya sentripetal merupakan gaya resultan. Contoh penggunaannya adalah dalam tikungan datar, mobil berbelok akibat adanya gaya gesek statis yang mengarah ke pusat belokan (lingkaran). 9.4 . Tikungan Miring Pada tikungan miring, agar benda (mobil) dapat berbelok, gaya sentripetal tidak lagi melulu hanya ditimbulkan oleh gaya gesek sebagaimana halnya pada tikungan biasa. Khusus untuk tikungan tanpa gaya gesek ilustrasinya dapat dilihat dalam gambar berikut ini.

Gambar 9.3. Ilustrasi gerak melingkar pada tikungan miring.

v

as

θ

49

Terlihat dari gambar 9.3 bahwa dalam kasus ini gaya sentripetal diberikan oleh

∑ = xs maF (9.5)

rvmN

2

sin =θ (9.6)

dan pada arah w atau mg

0=∑ yF (9.7)

0cos =− mgN θ (9.8) sehingga dapat diperoleh

rgv2

tan =θ (9.9)

Persamaan (9.9) menyatakan bahwa untuk suatu laju v dengan radius r, seluruh gaya sentripetal yang diperlukan dapat diperoleh dengan membuat tikungan dengan kiringan θ, tidak bergantung pada massa mobil. Untuk laju yang besar dan jejari lintasan yang kecil, agar mobil dapat tetap pada jalur dan tidak slip diperlukan kemiringan tikungan yang lebih besar. Apabila laju mobil terlalu kecil maka mobil akan tergelincir turun, sedangkan apabila laju terlalu besar mobil akan tergelincir naik. 9.5 . Satelit dalam Orbit Melingkar Untuk satelit yang mengorbit bumi, gaya sentripetal diperoleh dari gaya gravitasi

ss maF =∑ (9.10)

rvm

rMmG

2

2 = (9.11)

Jadi kecepatan orbit satelit dan periodanya dapat diperoleh, yaitu

r

GMv = (9.12)

GMrT

3/22π= (9.13)

Gambar 9.4. Gerak satelit mengelilingi bumi.

50

Dengan konstanta gravitasi universal G, massa bumi M dan jari-jari bumi R adalah sebagai berikut

2211 /1067.6 kgmNG −×= (9.14) kgM 241098.5 ×= (9.15) mR 61038.6 ×= (9.16) 9.6 . Gravitasi Buatan Dalam suatu stasiun ruang angkasa agar awak stasiun tetap dapat bekerja sebagaimana halnya di bumi, perlu dibangkitkan suatu gravitasi buatan (artificial gravitation). Hal ini dapat dilakukan dengan memutar selubung stasiun dengan kecepatan tertentu. Hal ini dapat dilihat pada gambar.

Gambar 9.5. Gravitasi bulatan dalam satelit akibat gaya sentripetal.

Jika diinginkan awak stasiun mengalami berat seperti berat di bumi maka

ss maF =∑

mg

rvm =

2

(9.17)

rgv = (9.18) sehingga dapat diperoleh kecepatan putar selubung satelit tersebut. 9.7 . Gerak Melingkar Vertikal Gerak melingkar vertikal pada prinsipnya sama dengan berak melingkar (horizontal) biasa, hanya dalam hal ini perlu diperhitungan kontribusi dari gaya berat. Aplikasi gaya ini adalah pada atraksi tong setan, roler-coaster dan benda yang diputar vertikal dengan tali.

51

Gambar 9.6. Contoh gerak melingkar vertikal. Pada kedua kasus di atas dapat diturunkan hasil yang mirip seperti berikut ini.

Tabel 9.1. Pembandingan kedua kasus di atas.

Kasus motor dalam 'tong setan' Kasus benda diputar vertikal dengan tali

ss maF =∑

rvmwN

2

cos =− θ

ss maF =∑

rvmwT

2

cos =− θ

Kondisi pada kedua kasus agar benda dapat mencapai titik maksimum dan akibat yang ditimbulkannya dapat dilihat pada tabel 9.2 berikut.

Tabel 9.2. Kondisi benda agar dapat mencapai titik maksimum dan akibatnya.

Kasus motor dalam 'tong setan' Kasus benda diputar vertikal dengan tali

0=puncakN

grv =

0=puncakT

grv =

Hasil yang diperoleh merupakan laju minimal yang harus dimiliki benda dalam kedua kasus agar dapat mencapai titik puncak. Amati bahwa hasil ini (kebetulan) sama dengan persamaan (9.18). 9.8 . Contoh Soal 9.8.1. Soal-1 Sebuah roda mobil yang memiliki jejari 0.29 m dan diputar pada 830 revolusi tiap menit (rpm) oleh mesin penyeimbang-ban. Tentukan laju gerak bagian terluar ban. Jawab:

smenitrevolusirevolusimenitrevolusi

revolusiwaktuT 072.0102.11

8301 3 =×=×=×= − (9.19)

52

Kemudian dengan menggunakan persamaan (9.1) dapat diperoleh bahwa v = 25 m/s. 9.8.2. Soal-2 Sebuah mobil dikemudikan sepanjang lintasan berbentuk seperempat lingkaran dengan jejari 320 m dan 960 m. Bandingkan percepatan sentripetal untuk kedua belokan. Dalam kedua kasus ini laju mobil adalah 28 m/s. Jawab: Belokan seperempat lingkaran tersebut dapat digambarkan sebagai berikut

Gambar 9.7. Dua buah belokan dengan jejari yang berbeda. Untuk jejari r = 960 m diperoleh as = 0.82 m/s2 dan untuk r = 320 m diperoleh as = 2.5 m/s2. Dan apabila dilakukan pembandingan diperoleh hasil bahwa perbandingan jejari berbanding terbalik dengan perbandingan percepatan sentripetal. 9.8.3. Soal-3 Sebuah tali yang hanya mampu menahan tegangan maksimum 85 N dan memiliki panjang 14 m digunakan untuk menahan putaran suatu pesawat model. Tentukan kecepatan maksimum pesawat model sehingga tetap dapat ditahan oleh tali tersebut. Massa pesawat adalah 0.90 kg.

Gambar 9.8. Pesawat model yang diikat oleh tali. Jawab: Gaya sentripetal dalam hal ini disediakan oleh tegangan tali, sehinggga

r = 960 m

r = 320 m

v = 28 m/s v = 28 m/s

53

rvmT

2

= (9.20)

dan dapat diperoleh bahwa

mrT

v = (9.21)

yaitu v = 36 m/s.s 9.8.4. Soal-4 Bandingkan laju maksimum yang dapat dimiliki oleh suatu mobil untuk berbelok pada tikungan dengan radius 50.0 m dalam kondisi normal (koefisien gesek statis 0.9) dan dalam kondisi ber-es (koefisien gesek statis 0.1) tanpa slip.s Jawab: Agar mobil dapat berbelok diperlukan gaya sentripetal yang dalam hal ini disediakan oleh gaya gesek statis.

rvmN

rvmf

maF

s

s

ss

2

2

=

=

=∑

µ

(9.22)

dan

00

0

=−=−

=∑

NmgNw

Fy

(9.23)

Dengan melakukan substitusi persamaan (9.23) ke dalam persamaan (9.22) dapat diperoleh

grv sµ= (9.24)

Sehingga untuk kondisi normal dan ber-es, dapat diperoleh laju maksimumnya adalah 21.0 m/s dan 7.0 m/s. Dengan demikian jelaslah bahwa saat jalan ber-es mobil lebih aman dijalankan dengan laju yang lebih rendah dibandingkan dengan saat biasa agar tidak terjadi slip saat berbelok. 9.8.5. Soal-5 Tentukan kemiringan suatu tikungan yang tidak bergesekan agar mobil dengan laju 35 m/s dapat berbelok dengan jejari 550 m. Percepatan gravitasi digunakan 9.8 m/s2. Jawab: Dengan menggunakan persamaan (9.9) dapat diperoleh bahwa θ = tan-1 0.23 = 13 0. 9.8.6. Soal-6 Jika pada soal-5 (9.8.5) sebelumnya merupakan jejari tengah jalan, tentukan kecepatan maksimum dan minimum agar mobil dapat tetap di dalam jalan apabila lebar jalan adalah 4 m.s

54

Jawab: Dengan demikian radius jalan menjadi 550 ± 2 m.

θtanrgv = (9.25) Sehingga dapat diperoleh vmin = 35.1 m/s dan vmaks = 35.3. 9.8.7. Soal-7 Tentukan laju satelit yang mengorbit pada ketinggian 340 000 m dari permukaan bumi (bukan dari pusat bumi). Jawab: Dengan menggunakan persamaan (9.12) dapat diperoleh bahwa laju satelit adalah 7.70 x 10 3 m/s. 9.8.8. Soal-8 Tentukan ketinggian orbit satelit dari permukaan bumi sehingga dapat beredar sinkron dengan bumi. Jawab: Agar dapat beredar sinkron dengan bumi, maka periodanya harus sama dengan perioda perputaran bumi pada porosnya, yaitu sT 41064.8 ×= (9.26) Dan dengan menggunakan persamaan (9.13) dapat diperoleh bahwa mr 71023.4 ×= (9.27) sehingga melalui kesamaan (9.16) dapat dihitunga Rrh −= (9.28) yaitu 3.59 x 10 7 m. 9.8.9. Soal-9 Sebuah stasiun luar angkasa seperti dalam gambar 9.5 diputar dengan laju v, tentukanlah berapakah laju tersebut agar awak stasiun mengalami gaya berat sama dengan di bumi. Jawab: Dengan menggunakan persamaan (9.18) dapat diperoleh hasil bahwa laju putar putar stasiun angkasa tersebut adalah 130 m/s. Referensi

1. John D. Cutnell, Keneth W. JohnSon, Physics, John Wiley & Sons, New York, (1989) 113-130.