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Hoja 1

Cátedra: MECANICA APLICADAMECANICA Y MECANISMOS

GEOMETRÍA GEOMETRÍA DE DE

MASASMASASMecánica Mecánica AplicadaAplicada

Mecánica y MecanismosMecánica y Mecanismos20152015

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Hoja 2

OBJETIVOSOBJETIVOS1.1. Determinar el Centro de Masa.Determinar el Centro de Masa.2.2. Analizar el Momento de Inercia de un cuerpo.Analizar el Momento de Inercia de un cuerpo.3.3. Definir Radio de Giro y Factor de InerciaDefinir Radio de Giro y Factor de Inercia.

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Hoja 3

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Hoja 4

Centro de gravedadCentro de gravedad

풙풄 =∑푭풊 ∗ 풙풊∑푭풊

풚풄 =∑푭풊 ∗ 풚풊∑푭풊

풛풄 =∑푭풊 ∗ 풛풊∑푭풊

Las coordenadas del Las coordenadas del centroidecentroide son:son:

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Hoja 5

Si las fuerzas consideradas son el peso de cada partícula de un sistema Si las fuerzas consideradas son el peso de cada partícula de un sistema material, las expresiones anteriores quedan:material, las expresiones anteriores quedan:

풙푮 =∑ 푷풊풙풊풏ퟏ∑푷풊

풚푮 =∑ 푷풊풚풊풏ퟏ∑푷풊

풛푮 =∑ 푷풊풛풊풏ퟏ∑푷풊

풛푮 Donde 풚푮 풙푮 Son las coordenadas del Centro de gravedadSon las coordenadas del Centro de gravedad

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Hoja 6

Teniendo en cuenta que P= m*g se tieneTeniendo en cuenta que P= m*g se tiene

풙푮 =∑ 풎풊품풙풊풏ퟏ∑풎풊 품

풚푮 =∑ 풎풊풚풊풏ퟏ∑풎풊

풛푮 =∑ 풎풊풛풊풏ퟏ∑풎풊

Se obtienen las coordenadas del Centro de Masa que en este caso coincide Se obtienen las coordenadas del Centro de Masa que en este caso coincide con el CG.con el CG.Teniendo en cuenta que m= V*densidad se puede establecer:Teniendo en cuenta que m= V*densidad se puede establecer:

풙푮 =∑ 푽풊풙풊풏ퟏ∑푽풊

풚푮 =∑ 푽풊풚풊풏ퟏ∑푽풊

풛푮 =∑ 푽풊풛풊풏ퟏ∑푽풊

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Hoja 7

Propiedades del Centro de MasaPropiedades del Centro de Masa

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Hoja 8

MOMENTO DE INERCIA DE MASASMOMENTO DE INERCIA DE MASAS

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Hoja 9

Momentos de segundo OrdenMomentos de segundo Orden

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Hoja 10

푱풙풚 = 풎 ∗ 풙 ∗ 풚

Es el producto de la masa de un punto material por la distancia a dos Es el producto de la masa de un punto material por la distancia a dos planos.planos.

Si es un sistema de puntos materialesSi es un sistema de puntos materiales

푱풙풚 = 풎풊 ∗ 풙풊 ∗ 풚풊풏

ퟏ

Y si se trata de un sólido continuoY si se trata de un sólido continuo

푱풙풚 = 풙 ∗ 풚 ∗ 풅풎

Los productos de inercia pueden ser positivos, negativos o nulosLos productos de inercia pueden ser positivos, negativos o nulos

Producto de inerciaProducto de inercia

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Hoja 11

De igual maneraDe igual manera

Teorema de Teorema de SteinerSteiner o de ejes paraleloso de ejes paralelos

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Hoja 12

Se observa que la suma Se observa que la suma representa el cuadrado de la distancia representa el cuadrado de la distancia OB entre los ejes y e yOB entre los ejes y e y´́

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Hoja 13

Momentos de Inercia de Placas Delgadas o ChapasMomentos de Inercia de Placas Delgadas o Chapas

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Hoja 14

Momentos de Inercia de cuerpos compuestosMomentos de Inercia de cuerpos compuestos

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Hoja 15

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Hoja 16

Radio de giro o radio de inerciaRadio de giro o radio de inercia

ElEl radioradio dede girogiro representarepresenta lala distanciadistancia aa lala cualcual lala masamasacompletacompleta deldel cuerpocuerpo debedebe concentrarseconcentrarse sisi elel momentomomentodede inerciainercia concon respectorespecto alal ejeeje vava aa permanecerpermanecer sinsincambiocambio.. LaLa masamasa mm reaccionaráreaccionará dede igualigual maneramanera aa unaunarotaciónrotación oo girogiro alrededoralrededor deldel ejeeje yaya queque conserveconserve lalaformaforma originaloriginal oo sisi sese concentraconcentra..

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Hoja 17

Factor de inerciaFactor de inercia

EnEn lala prácticapráctica cuandocuando sese acoplanacoplan elementoselementos rotantes,rotantes, sesesuelesuele utilizarutilizar enen lugarlugar dede loslos momentosmomentos dede inerciainercia conconrespectorespecto alal eje,eje, elel denominadodenominado “Factor“Factor dede Inercia”Inercia”“Momento“Momento dede Impulsión”Impulsión” oo “GD“GD22”” ProductoProducto deldel pesopeso deldelcuerpocuerpo rotanterotante porpor elel cuadradocuadrado dede susu diámetrodiámetro dede girogiroEsteEste valorvalor sese relacionarelaciona concon elel momentomomento dede inerciainercia dede lalasiguientesiguiente maneramaneraGDGD22= m g (2i)= m g (2i)2 2 = 4 m g i= 4 m g i22 = 4 g J = 4 9,8 J = 39,2 J = 4 g J = 4 9,8 J = 39,2 J

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Hoja 18

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Hoja 19

ROTACION DE EJESROTACION DE EJES

푱풖 = 휶ퟐ푱풙 + 휷ퟐ푱풚 + 휸ퟐ푱풛 − ퟐ휶휷푱풙풚 − ퟐ휶휸푱풙풛 − ퟐ휷휸푱풚풛

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Hoja 20

Elipsoide de InerciaElipsoide de Inercia

Si al eje u pasante por “O” se le dan diferentes Si al eje u pasante por “O” se le dan diferentes direcciones y que un punto E se ha marcado sobre cada direcciones y que un punto E se ha marcado sobre cada eje a una distancia OE cuyo módulo valeeje a una distancia OE cuyo módulo valeel lugar geométrico de los puntosel lugar geométrico de los puntosE forma una superficie E forma una superficie

ퟏ푱푼

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Hoja 21

La ecuación que se obtiene es la ecuación de una superficie cuadrática. La La ecuación que se obtiene es la ecuación de una superficie cuadrática. La obtenida es la ecuación de un elipsoide , que se denomina ELIPSOIDE DE obtenida es la ecuación de un elipsoide , que se denomina ELIPSOIDE DE INERCIA.INERCIA.

Esta elipsoide define el momento de inercia del cuerpo con respecto a Esta elipsoide define el momento de inercia del cuerpo con respecto a cualquier eje que pasa por Ocualquier eje que pasa por OSi se rotan los ejes de tal manera que sean los ejes principales. La Si se rotan los ejes de tal manera que sean los ejes principales. La ecuación del elipsoide con respecto a estos ejes es:ecuación del elipsoide con respecto a estos ejes es:

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Hoja 22

ElEl elipsoideelipsoide tienetiene 33 planosplanos ortogonalesortogonales dede simetríasimetría queque recibenreciben elel nombrenombre dedePLANOSPLANOS PRINCIPALESPRINCIPALES DEDE INERCIAINERCIA,, lala intersecciónintersección dede dichosdichos planosplanos dandan loslos33 EJESEJES PRINCIPALESPRINCIPALES DEDE INERCIAINERCIA..SiSi elel elipsoideelipsoide estáestá referidoreferido alal baricentrobaricentro sese denominadenomina ELIPSOIDEELIPSOIDE CENTRALCENTRALDEDE INERCIAINERCIA

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Hoja 23

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA••Mecánica Vectorial para IngenierosMecánica Vectorial para Ingenieros BeerBeer JohnstonJohnston••Dinámica Dinámica BoresiBoresi-- SchmidtSchmidt