geodesia para dummies(preliminar) 310314 v1

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  • UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE

    TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA

    GEODESIA PARA DUMMIES

    Preparado por: * Edilberto Nio N. edilbertonino@gmail.com

    Pgina1 de 33

    CAPTULO 1

    LA ELIPSE

    La elipse es el lugar geomtrico de los

    puntos que cumplen la siguiente relacin:

    PF+PF=2a; donde Pes cualquier punto de la

    elipse,F y F son los llamados focos de la

    elipse ver, figura 1.

    Elementos de la Elipse

    F,F: Focos

    AA: Eje mayor = 2a.

    OA: Semieje mayor = a.

    BB: Eje menor = 2b.

    OB: Semieje menor = b.

    e: Excentricidad.

    f: Aplanamiento.

    La distancia AA es llamada eje mayor de

    la elipse, con lo que OA= OA = AA/2=a,

    esllamado el semieje mayor de la elipse

    denotado con la letra a.

    La distancia BB es llamada eje mayor de la

    elipse, con lo que OB= OB = BB/2=b es

    llamado el semieje menor de la elipse

    denotado con la letra b.

    De la definicin de la elipse se puede

    escribir:

    + = 2 (1)

    = A = = = (2)

    Excentricidad.

    En el rea de las matemticas y la geometra

    la excentricidadse entiende como el

    parmetro que determina el grado de

    desviacin de una seccin cnica con

    respecto a una circunferencia [1] ver figura

    2. As:

    En el caso de una Elipse, la excentricidad

    (e) est dada por relacin

    P

    F F

    a

    b

    O

    2a

    2b

    Figura 1. Elementos geomtricos de la Elipse

    A A

    B

    B

    e=1

    e=2

    e=

    e=0

    e=0,5

    Figura 2. La excentricidad de las

    cnicas..

    La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0).

    La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0 1). [1]

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    GEODESIA PARA DUMMIES

    Preparado por: * Edilberto Nio N. edilbertonino@gmail.com

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    =

    =

    =e.

    Si OF, tiende a cero, entoncese = cero, y los

    focos estarn en el centro O, as, la elipse

    se convierte en una circunferencia.

    Teniendo en cuenta que OF=OF, y

    FB+FB=2a, y como FB=FB (ver figura 3)

    entonces FB=a

    Por definicin la excentricidad est dada

    por la ecuacin 3.

    =

    =

    3,

    Aplicando el teorema de Pitgoras,

    tenemos:

    2 = 2 + ()2 1 4

    De la ecuacin 3 se tiene = , y reemplazando este valor en la ecuacin 4,

    tenemos.

    2 = 2 + ()2 1 5

    Realizando procesos algebraicos a esta

    ecuacin tenemos:

    ()2 = 2 2 ,

    22 = 2 2,

    2 =2 2

    2 ,

    2 = 2(1 2) , 1 6

    = 2 2

    2 1 7

    La ecuacin 6 se conoce como la primera

    excentricidad de la elipse.

    De manera similar se deriva la segunda

    excentricidad de la elipse, la cual se muestra

    en la ecuacin 1-8.

    = 2 2

    2 1 8

    El aplanamiento f, (de las inciales del

    vocablo en ingle flat), est dado por la

    ecuacin 8

    =

    1 9.

    Nota: Una elipse desde el punto de vista

    geomtrico queda definida, cuando se

    conoce el semieje mayor y el inverso del

    aplanamiento.

    Ejemplo: La elipse que genera el Elipsoide

    de Referencia Geodsico GRS80, tiene

    parmetros geomtricos bsicos, los

    siguientes:

    a=6378137 m

    f= 1/298,2572221008827.

    Otros parmetros de una elipse:

    = 2 2 Excentricidad lineal[2].

    =2

    Radio de curvatura polar[2].

    F F O

    Figura 3. Elementos de la Elipse

    A

    P=B

    a b

    c c

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    Preparado por: * Edilberto Nio N. edilbertonino@gmail.com

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    En la siguiente tabla se muestran los

    parmetros de la elipse generadora del

    elipsoide de revolucin GRS80.

    Ecuacin de la Elipse

    Se requiere hallar una expresin

    matemtica que permitadescribir una elipse

    en un planoXY.

    De la figura 4, tomando los tringulos

    FPM, y FMP, aplicando el teorema de

    Pitgoras para dichos tringulos tenemos:

    Para el tringulo: FPM.

    ()2 = ()2 + 2 ,

    = ,

    ()2 = ( )2 + 2 1 10

    Para: FMP.

    ()2 = ()2 + 2,

    = + ,

    ()2 = ( + )2 + 2 1 11

    Se toma la ecuacin 1, y se reemplaza en

    sta, los trminos de la derecha de las

    ecuaciones 1-10 y 1-11, resultando la

    siguiente ecuacin.

    ( )2 + 2 + ( + )2 + 2 = 2

    11,

    Transponiendo el primer trmino de la

    derecha en la ecuacin 1-11, y elevando

    todo al cuadrado, tenemos:

    ( + )2 + 2 = 2 ( )2 + 2,

    ( + )2 + 2 = (2

    ( )2 + 2)2,

    Expandiendo los trinomios cuadrados,

    tenemos:

    2 + 2 + 2 + 2 = 42

    4( )2 + 2 + 2

    2 + 2 + 2

    Agrupando y suprimiendo trminos

    tenemos:

    4 = 42 4( )2 + 2,

    Eliminando el numero4 y transponiendo

    trminos se tiene:

    ( )2 + 2 = 2 ,

    Elevando al cuadrado a ambos lados de la

    ecuacin tenemos.

    2[( )2 + 2] = (2 )2,

    F F O

    Figura 4. Elipse en el plano XY

    X

    P(x, y) Y

    x

    y

    c c

    a

    b

    M

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    Extendiendo los trinomios cuadradosy

    realizando operaciones tenemos:

    22 22 + 22 + 22 = 4 22 + 22,

    Suprimiendo trminos tenemos:

    22 + 22 + 22 = 4 + 22,

    Transponiendo trminos tenemos:

    22 22 + 22 = 4 22,

    Agrupando trminos se tiene:

    2 (2 2) + 22 = 2(2 2) 1 13,

    De la ecuacin 3 se tiene que:

    2 = 2 2, por tanto la ecuacin 1-12 de convierte en:

    2 2 + 22 = 22,

    Y dividiendo por 22, a ambos lados de la ecuacin tenemos:

    2 2

    22+

    22

    22=

    22

    22,

    Simplificando tenemos la ecuacin de la

    elipse con focos en los puntos F(0, -x) y

    F(0, x), eje mayor 2a, y, eje menor 2b,

    figura 4, la cual se muestra en la ecuacin

    13:

    2

    2+

    2

    2= 1, 1 13

    EJERCICIOS1-1:

    1. Calcular los parmetros (e, e, b, f, E y p, de las elipses con semieje mayor (a)

    igual a los nmeros n, con n

    perteneciendo a losdivisores propios de

    los nmeros amigos1 (220, 284). Y c

    1Dos nmeros amigos son dos enteros positivos a y b

    tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a.

    =n1/3, siendo n1, igual a los nmeros

    primos impares y menores a 41.

    2. Dibujar 2 elipses, ayudndose con una cuerda, dos tachuelas, un lpiz y una

    regla. Comprobar empricamente las

    ecuaciones1 y 2.

    3. Investigar el valor de los parmetros geomtricos de la elipse generadora del

    elipsoide de Hayford o elipsoide

    internacional.

    4. Investigar el valor de los parmetros geomtricos de la elipse generadora del

    elipsoide GRS80.

    CAPTULO 2

    El desarrollo de la geometra de la elipse y

    del elipsoide, es una herramienta

    fundamental en la conceptualizacin,

    desarrollo y aplicacin de la geodesia

    geomtrica.

    El Elipsoide de Revolucin

    Al hacer girar una elipse sobre uno de sus

    ejes a,,b, (figura 2-1) cada fraccin

    infinitesimal (muy pequea) de giro, genera

    una nueva elipse, con orientacin distinta a

    la anterior, ver figura 2-2. La suma de estas

    elipses da como resultado una superficie

    denominada Elipsoide Revolucin.

    O

    Figura 2-1. Elipse

    X

    Y

    a

    b

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    GEODESIA PARA DUMMIES

    Preparado por: * Edilberto Nio N. edilbertonino@gmail.com

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    Sobre la superficie del elipsoide de

    revolucin se ubican n puntos. A fin de explicitar las coordenadas X, Y de un punto

    sobre el elipsoide, decimos que por cada

    punto sobre la superficie del elipsoide pasa

    una elipse, como se muestra en la figura 2-

    3.

    La Elipse Meridiana.

    La elipse que pasa por cada punto de la

    superficie del elipsoide, se le denomina

    elipse meridiana. Ver figura 2-4.

    Coordenadas Geogrficas Latitud y

    Longitud.

    Los elementos vistos hasta ac, nos permite

    introducir el concepto ms importante y

    estudiado en la geodesia y sobre el cual

    descansa el desarrollo de las ciencias

    cartogrficas, topogrficas, y en general

    todas las disciplinas que estn involucradas

    en la Geomtica y las disciplinas que tienen

    que ver con las ciencias de la tierra, e

    indirectamente con el desarrollo espacial,

    las comunicaciones y en general la vida

    cotidiana del hombre moderno.

    Ese concepto es el de las coordenadas

    geogrficas Latitud y Longitud.

    A continuacin se desarrolla lo referente a

    la latitud, en razn de que geomtricamente

    es un poco complejo su conceptualizacin y

    su desarrollo matemtico sobre el elipsoide.

    Cuando se trata de definir una magnitud en

    topografa o geodesia se debe tener muy

    presente el siguiente