Download - Geodesia Para Dummies(Preliminar) 310314 v1
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TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
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CAPTULO 1
LA ELIPSE
La elipse es el lugar geomtrico de los
puntos que cumplen la siguiente relacin:
PF+PF=2a; donde Pes cualquier punto de la
elipse,F y F son los llamados focos de la
elipse ver, figura 1.
Elementos de la Elipse
F,F: Focos
AA: Eje mayor = 2a.
OA: Semieje mayor = a.
BB: Eje menor = 2b.
OB: Semieje menor = b.
e: Excentricidad.
f: Aplanamiento.
La distancia AA es llamada eje mayor de
la elipse, con lo que OA= OA = AA/2=a,
esllamado el semieje mayor de la elipse
denotado con la letra a.
La distancia BB es llamada eje mayor de la
elipse, con lo que OB= OB = BB/2=b es
llamado el semieje menor de la elipse
denotado con la letra b.
De la definicin de la elipse se puede
escribir:
+ = 2 (1)
= A = = = (2)
Excentricidad.
En el rea de las matemticas y la geometra
la excentricidadse entiende como el
parmetro que determina el grado de
desviacin de una seccin cnica con
respecto a una circunferencia [1] ver figura
2. As:
En el caso de una Elipse, la excentricidad
(e) est dada por relacin
P
F F
a
b
O
2a
2b
Figura 1. Elementos geomtricos de la Elipse
A A
B
B
e=1
e=2
e=
e=0
e=0,5
Figura 2. La excentricidad de las
cnicas..
La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0).
La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0 1). [1]
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=
=
=e.
Si OF, tiende a cero, entoncese = cero, y los
focos estarn en el centro O, as, la elipse
se convierte en una circunferencia.
Teniendo en cuenta que OF=OF, y
FB+FB=2a, y como FB=FB (ver figura 3)
entonces FB=a
Por definicin la excentricidad est dada
por la ecuacin 3.
=
=
3,
Aplicando el teorema de Pitgoras,
tenemos:
2 = 2 + ()2 1 4
De la ecuacin 3 se tiene = , y reemplazando este valor en la ecuacin 4,
tenemos.
2 = 2 + ()2 1 5
Realizando procesos algebraicos a esta
ecuacin tenemos:
()2 = 2 2 ,
22 = 2 2,
2 =2 2
2 ,
2 = 2(1 2) , 1 6
= 2 2
2 1 7
La ecuacin 6 se conoce como la primera
excentricidad de la elipse.
De manera similar se deriva la segunda
excentricidad de la elipse, la cual se muestra
en la ecuacin 1-8.
= 2 2
2 1 8
El aplanamiento f, (de las inciales del
vocablo en ingle flat), est dado por la
ecuacin 8
=
1 9.
Nota: Una elipse desde el punto de vista
geomtrico queda definida, cuando se
conoce el semieje mayor y el inverso del
aplanamiento.
Ejemplo: La elipse que genera el Elipsoide
de Referencia Geodsico GRS80, tiene
parmetros geomtricos bsicos, los
siguientes:
a=6378137 m
f= 1/298,2572221008827.
Otros parmetros de una elipse:
= 2 2 Excentricidad lineal[2].
=2
Radio de curvatura polar[2].
F F O
Figura 3. Elementos de la Elipse
A
P=B
a b
c c
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En la siguiente tabla se muestran los
parmetros de la elipse generadora del
elipsoide de revolucin GRS80.
Ecuacin de la Elipse
Se requiere hallar una expresin
matemtica que permitadescribir una elipse
en un planoXY.
De la figura 4, tomando los tringulos
FPM, y FMP, aplicando el teorema de
Pitgoras para dichos tringulos tenemos:
Para el tringulo: FPM.
()2 = ()2 + 2 ,
= ,
()2 = ( )2 + 2 1 10
Para: FMP.
()2 = ()2 + 2,
= + ,
()2 = ( + )2 + 2 1 11
Se toma la ecuacin 1, y se reemplaza en
sta, los trminos de la derecha de las
ecuaciones 1-10 y 1-11, resultando la
siguiente ecuacin.
( )2 + 2 + ( + )2 + 2 = 2
11,
Transponiendo el primer trmino de la
derecha en la ecuacin 1-11, y elevando
todo al cuadrado, tenemos:
( + )2 + 2 = 2 ( )2 + 2,
( + )2 + 2 = (2
( )2 + 2)2,
Expandiendo los trinomios cuadrados,
tenemos:
2 + 2 + 2 + 2 = 42
4( )2 + 2 + 2
2 + 2 + 2
Agrupando y suprimiendo trminos
tenemos:
4 = 42 4( )2 + 2,
Eliminando el numero4 y transponiendo
trminos se tiene:
( )2 + 2 = 2 ,
Elevando al cuadrado a ambos lados de la
ecuacin tenemos.
2[( )2 + 2] = (2 )2,
F F O
Figura 4. Elipse en el plano XY
X
P(x, y) Y
x
y
c c
a
b
M
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Extendiendo los trinomios cuadradosy
realizando operaciones tenemos:
22 22 + 22 + 22 = 4 22 + 22,
Suprimiendo trminos tenemos:
22 + 22 + 22 = 4 + 22,
Transponiendo trminos tenemos:
22 22 + 22 = 4 22,
Agrupando trminos se tiene:
2 (2 2) + 22 = 2(2 2) 1 13,
De la ecuacin 3 se tiene que:
2 = 2 2, por tanto la ecuacin 1-12 de convierte en:
2 2 + 22 = 22,
Y dividiendo por 22, a ambos lados de la ecuacin tenemos:
2 2
22+
22
22=
22
22,
Simplificando tenemos la ecuacin de la
elipse con focos en los puntos F(0, -x) y
F(0, x), eje mayor 2a, y, eje menor 2b,
figura 4, la cual se muestra en la ecuacin
13:
2
2+
2
2= 1, 1 13
EJERCICIOS1-1:
1. Calcular los parmetros (e, e, b, f, E y p, de las elipses con semieje mayor (a)
igual a los nmeros n, con n
perteneciendo a losdivisores propios de
los nmeros amigos1 (220, 284). Y c
1Dos nmeros amigos son dos enteros positivos a y b
tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a.
=n1/3, siendo n1, igual a los nmeros
primos impares y menores a 41.
2. Dibujar 2 elipses, ayudndose con una cuerda, dos tachuelas, un lpiz y una
regla. Comprobar empricamente las
ecuaciones1 y 2.
3. Investigar el valor de los parmetros geomtricos de la elipse generadora del
elipsoide de Hayford o elipsoide
internacional.
4. Investigar el valor de los parmetros geomtricos de la elipse generadora del
elipsoide GRS80.
CAPTULO 2
El desarrollo de la geometra de la elipse y
del elipsoide, es una herramienta
fundamental en la conceptualizacin,
desarrollo y aplicacin de la geodesia
geomtrica.
El Elipsoide de Revolucin
Al hacer girar una elipse sobre uno de sus
ejes a,,b, (figura 2-1) cada fraccin
infinitesimal (muy pequea) de giro, genera
una nueva elipse, con orientacin distinta a
la anterior, ver figura 2-2. La suma de estas
elipses da como resultado una superficie
denominada Elipsoide Revolucin.
O
Figura 2-1. Elipse
X
Y
a
b
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Sobre la superficie del elipsoide de
revolucin se ubican n puntos. A fin de explicitar las coordenadas X, Y de un punto
sobre el elipsoide, decimos que por cada
punto sobre la superficie del elipsoide pasa
una elipse, como se muestra en la figura 2-
3.
La Elipse Meridiana.
La elipse que pasa por cada punto de la
superficie del elipsoide, se le denomina
elipse meridiana. Ver figura 2-4.
Coordenadas Geogrficas Latitud y
Longitud.
Los elementos vistos hasta ac, nos permite
introducir el concepto ms importante y
estudiado en la geodesia y sobre el cual
descansa el desarrollo de las ciencias
cartogrficas, topogrficas, y en general
todas las disciplinas que estn involucradas
en la Geomtica y las disciplinas que tienen
que ver con las ciencias de la tierra, e
indirectamente con el desarrollo espacial,
las comunicaciones y en general la vida
cotidiana del hombre moderno.
Ese concepto es el de las coordenadas
geogrficas Latitud y Longitud.
A continuacin se desarrolla lo referente a
la latitud, en razn de que geomtricamente
es un poco complejo su conceptualizacin y
su desarrollo matemtico sobre el elipsoide.
Cuando se trata de definir una magnitud en
topografa o geodesia se debe tener muy
presente el siguiente principio: Cuando se
va a realizar una medicin se debe siempre
realizar las siguientes tres preguntas
Figura 2-3. Superficie del elipsoide
X
Y
P1(x, y)
O
Figura 2-2. Elipsoide de revolucin
X
Y
a
b
O
Figura 2-4. Elipse Meridiana del punto p(x,y)
X
Y
a
b
P(x,y)
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bsicas, desde donde mido, sobre que mido
y hasta donde mido.
Latitud
En general la Latitud de un punto es el arco
medido desde el ecuador terrestre sobre el
meridiano o la meridiana que pasa por el
punto, hasta el punto.
Como se ve en la grafica (2-5) un punto en
la vida real no est sobre la superficie ideal
elipsoidal, sino que est en la superficie
amorfa lo que se denomina la topografa, es
decir el paisaje sobre el cual nos movemos.
Como esta superficie es completamente
amorfa, sobre ella no es posible realizar
clculos matemticos ni geodsicos, todos
los clculos se realizan es sobre la
superficie del elipsoide.
De acuerdo a lo que se ve en la figura 2-6,
por un punto que este sobre la superficie
terrestre pasan tres verticales, dependiendo
a cual superficie se quiere referir dicho
punto. As mismo se generan ngulos
distintos de latitud.
Latitud geodsica() : Es el ngulo que forma la vertical al elipsoide con el plano
del ecuador, como se observa en la figura 2-
6.
Geoide Elipsoide
Topografa P(x, y)
Vertical al Geoide
Vertical al Elipsoide
Figura 2-6. Verticales que se generan en un
mismo punto sobre la superficie terrestre.
Geoide
Elipsoide
Topografa
P(x, y)
Figura 2-5Superficies fundamentales en los
estudios geodsicos
Y
O X
P
90 +
A
B Q
Figura 2-7. Latitud geodsica()
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Latitud reducida() : Es el ngulo en el centro de la circunferencia tangente a la
elipse en los extremos del eje mayor (2a)
formado entre el ecuador y el radio de la
circunferencia que va al punto interceptado
en ella por la lnea recta perpendicular al
semieje mayor de la elipse que pasa por el
punto en consideracin, como se ve en la
figura 2-8. Se denomina tambin latitud
paramtrica o latitud geomtrica.
Latitud Geocntrica() : Es el ngulo en el centro de la elipse entre con el plano del
ecuador y el radio geocntrico del punto en
consideracin. Como se ve en la figura 2-9.
Relacin entre la latitud Geocntrica y la
latitud reducida.
=
(2.1)
Relacin entre la latitud Geodsica y la
latitud reducida.
=
(2.2)
Longitud Geodsica.
Longitud geodsica de un punto es el
ngulo formado por el plano meridiano
geodsico (elipse meridiana) del punto y el
plano meridiano geodsico origen o
meridiano de Greenwich, se mide sobre el
ecuador terrestre, positiva al este de
Greenwich y negativa al oeste de
Greenwich, ver figura 2-10.
Coordenadas Rectangulares X Y de un
punto sobre la Elipse.
A cada punto sobre la elipse meridiana le
corresponde unas coordenadas X, Y, las
Figura 2-8Latitud Reducida
Y
O
X
P
Figura 2-9Latitud Geocntrica
Y
O
X
P
O
Figura 2-10. Longitud Geodsica
E
Z
W
Meridiano
Origen
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cuales estn en funcin de la latitud
geodsica y los parmetros geomtricos de
la elipse. A continuacin se derivan la
mtrica de dichas coordenadas.
De la figura 2-7, se deduce que la lnea AB,
es la tangente a la elipse meridiana en un
punto P(x, y), de la grfica tenemos que el
ngulo que forma la tangente con el ecuador
es 90 + , as, se puede plantear la siguiente ecuacin.
(90 + ) =
(2.3)
= (2.4)
=
1
(2.5)
De la ecuacin 1-13, conocida como la
ecuacin de la elipse.
2
2+
2
2= 1
Derivando parcialmente, la ecuacin de la
elipse respecto ay, tenemos:
2
2+
2
2
= 0,
2
2
=
2
2,
=
22
22, (2.6)
Igualando las ecuaciones 2-5con 2-6, se
tiene:
1
=
2
2,
1
=
2
2,
=2
2,
Sustituyendo el trmino 2 de la ecuacin 1-6, tenemos:
=2(1 2)
2,
= (1 2) (2.7)
Tomando la ecuacin de la elipse y
reemplazando la ecuacin 2-7 en la
tenemos.
2
2+
2(12)22
2= 1 (2.8)
Desarrollando la ecuacin 2-7, a fin de
obtener una ecuacin de X en funcin de , a y 2
2 + 2(1 2)22 = 2,
Se factoriza x2,
2(1 + (1 2)22) = 2,
2(1 + 222) = 2,
1 + 2 = 2
2(2 22) = 2,
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2 (1
2 2
2
2) = 2,
2
2( 1 22) = 2,
2( 1 22) = 22,
2 =22
1 22 ,
=
1 22 ,
2 9
Reemplazando en la ecuacin 2-6, la
ecuacin 2-8, tenemos:
=
1 22(1 2) ,
=(12)
1 22 (2.10)
As, las ecuaciones 2-8 y 2-9 permiten
obtener las coordenadas x, y sobre la elipse
meridiana teniendo en cuanta una latitud
geodsica dada y los parmetros
geomtricos de la elipse.
EJERCICIOS 2-1:
1) Teniendo en cuenta los parmetros de la elipse generadora del elipsoide GRS 80,
a=6378137 m
f= 1/298,2572221008827
e2= 0.00669438002290
Calcular las coordenadas x, y sobre
dicha elipse para los siguientes valores
de latitud:
= 435`46.3215`` ,
= 00`0``.0
= 150`0``.0
= 150`0``.0
= 450`0``.0
= 450`0``.0
= 750`0``.0
= 750`0``.0
= 900`0``.0
= 900`0``.0
Radios principales de la elipse meridiana.
Plano meridiano:
Plano primer vertical
Plano meridiano
Superficie
Elipse
Meridiano
Paralelo P
Normal al Elipsoide
Figura 3-1. Planos: meridiano y primer vertical
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En la figura 2-11, la recta QP, se denomina
la gran normal, es el mayor de los posibles
radios de curvatura de la elipse meridiana
en el punto en consideracin, as mismo de
dicha figura se deduce que:
(90 ) =
() =
= , ().
=
() 2 9
Tomando la ecuacin 2-8 y para reemplazar
el trmino x en la ecuacin 2-10, se tiene:
=
1 22
()
() =
(1 22)1/2 2
11
() =
1 22
La ecuacin 2-11, permite el clculo del
radio mayor de la elipse meridiana en un
punto dado, en funcin de la latitud
geodsica y los parmetros geomtricos de
la elipse meridiana.
Radio meridiano de la primera vertical.
El otro radio de gran importancia en
geodesia geomtrica es el llamado radio
meridiano de la primera vertical, se denota
con la letra griega .
Seguidamente se deriva la ecuacin de
radio meridiano de la primera vertical.
Y
O X
P
90 +
A
B Q
x
y
(90 )
Figura 2-11Esquema de la Gran Normal
M
Y
O
X
ds
Figura 2-12. Esquema de la radio de la
primera vertical
()
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De la figura 2-12 tenemos que:
= ,
=
2 12
Como ds se supone un arco infinitesimal, se
puede asimilar a una recta, por tanto,
= 2 + 2 2 13
De otra parte la tangente del ngulo se expresa mediante:
() =
(2.14)
= (/) (2.15)
Derivando la ecuacin 2-15 respecto a x,
tenemos:
=
2
()2
1+(
)2 (2.16)
Tomando la ecuacin 2-12 y multiplicando
y dividiendo por dx en el trmino derecho
de la ecuacin, tenemos:
=
(2.17)
Tomado la ecuacin 2.13 y dividiendo a
cada lado de la ecuacin por dx, tenemos
=
2
2+
2
2 (2.18)
Simplificando al interior del radical se
tiene:
= 1 +
2
2 (2.19)
Reemplazando en la ecuacin 2-17, las
ecuaciones 2-16 y 2-19, tenemos:
= 1+
2
2
2()2
1+(
)2
(2.20)
Haciendo producto de medios y extremos
tenemos
= (1+
2
2)1/2
(1+(
)2)2/2
2
()2
(2.21)
Agrupando el numerador,
= (1+(
)2)3/2
2
()2
(2.22)
Tomando la ecuacin 2.3, y derivando se
tiene
2
()2= ()
(2.23)
2
()2=
1
(
) (2.24)
Luego se debe hallar el valor de (
), para
ello tomamos la ecuacin 2-9 y derivamos
=
( (1 22)12)( (
1
2(1 22)
12)(22))
1 22
(2.25)
Eliminado el 2, y agrupando , enviando el radical negativo al
denominador, tenemos
=
( (1 22)12)
(2(2))
(1 22)
12
1 22
(2.26)
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Sacando comn divisor y factorizando
( ), tenemos:
=
[(1 22)(2(2))
(1 22)12
]
1 22 ,
2 27
Agrupando el numerador y haciendo
producto de medios y producto de extremos
tenemos.
=
(1+22+22)
(1 22)32
(2.28)
Factorizando 2, y sabiendo que 2 +2 = 1, y sacando el signo menos del parntesis, tenemos:
=
(12)
(1 22)32
(2.29)
Transponiendo trminos tenemos,
=
(1 22)32
(12) (2.30)
Reemplazando esta ecuacin en la ecuacin
2-24, se tiene:
2
()2=
1
2
(1 22)32
(12) (2.31)
Reemplazando en el denominador de la
ecuacin 2-22, se tiene:
= (1+2)
3/2
1
2
(1 22)32
(12)
(2.32)
Reemplazando (1 + 2)3/2 por su equivalente (2)3/2 y efectuando producto de medios y extremos, tenemos
= (2)
3/2(12)3
(1 22)32
(2.33)
Como 2 = 1/2
=
1
3(12)3
(1 22)32
(2.34)
Simplificando en el numerador se tiene
finalmente la ecuacin del Radio de
curvatura de la seccin normal meridiana
() =(1 2)
(1 22)3/2 (2.35)
El radio de curvatura de la seccin normal
meridiana puede definirse tambin como el
radio de curvatura que presenta el elipsoide
en un punto de latitud en la direccin de acimut 0o 180o.
RADIOS MEDIOS DE CURVATURA
Radio de curvatura de una seccin normal
cualquiera.
Euler demostr que si las lneas
coordenadas son perpendiculares entre s,
en un punto dado y coincidentes, con las
direcciones principales, el radio de
curvatura de una seccin normal cualquiera
se puede escribir en funcin de los radios de
curvatura de las secciones normales
principales mediante la frmula de Euler.
1
=
2()
+
2()
(2 36)
Siendo el acimut de la seccin normal considerada. Otra forma de expresarlo es
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=
2() 2() ( 2 37)
Radio medio.
Se denomina curvatura media de una
superficie en un determinado punto a la
semisuma de las curvaturas de las secciones
normales principales.
1
=
1
2(
1
()+
1
()) (2.38)
El correspondiente radio medio vale por
tanto
=2()()
()+() (2.39)
=2()()
()+() (2.40)
Radio medio de Gauss.
Se define el radio medio de Gauss como la
media aritmtica de los radios de curvatura
de las infinitas secciones normales de un
punto. Es decir:
=4
2
2() 2()
20
(2.41)
= (2.42)
La esfera de radio RG es una esfera tangente
al elipsoide en el punto considerado y se
emplea en ocasiones como aproximacin al
elipsoide.
EJERCICIOS 2-2:
Teniendo en cuenta los parmetros de la
elipse generadora del elipsoide GRS 80,
a = 6378137 m
f = 1/298,2572221008827
e2 = 0.00672267002233
e2 = 0.00673949677548
b= 6356752.31414 m
2-2-1). Calcular las coordenadas x, y, y los
radios: y , sobre dicha elipse para los siguientes valores de latitud:
= 435`46.3215`` ,
= 450`0``.0
= 900`0``.0
2-2-2). Calcular los valores de y sobre la elipse generadora del elipsoide GRS80,
para los valores de latitud de cero a noventa
grados, cada diez grados, realizar la grfica
comparativa y realizar el anlisis
cuantitativo y cualitativo de los dos radios
principales.
2-2-3). Calcular los valores de y sobre la elipse generadora del elipsoide
GRS80, para los valores de latitud de cero a
noventa grados, cada diez grados, con valor
de azimut de 45. Realizar la grfica
comparativa y realizar el anlisis
cuantitativo y cualitativo de los dos radios
medios.
CAPTULO 3
Coordenadas Cartesianas Geocntricas
elipsoidales (X, Y, Z)
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Las coordenadas cartesianas geocntricas
elipsoidales (x, y, z), para un punto
cualquiera sobre la superficie terrestre
vienen dadas por la siguiente mtrica,
donde los parmetros son de la figura 2-13,
es posible derivar dicha mtrica:
=
=
h= altura del punto desde la superficie del
elipsoide.
x= Coordenada X geocntrica del punto P
y= Coordenada Y geocntrica del punto P
z= Coordenada Z geocntrica del punto P
Para un punto sobre el elipsoide.
[
]
=
[
((1 2))]
(3.1)
Para un punto a una altura dada (h), sobre el
elipsoide
[
]
=
[ ( + )
( + )
((1 2) + )]
(3.2)
As, mismo se derivan
= 1 [+()2 3
2 3] (3.3)
= 1 [
] (3.4)
= 1 [
] (3.5)
=2+2
(3.6)
EJERCICIOS 3_1:
Teniendo en cuenta los parmetros de la
elipse generadora del elipsoide GRS 80,
a =6378.137 km
f = 1/298,2572221008827
e2 = 0.00669438002290
e2 = 0.00673949677548
b =6356.75231414 km
Resolver los siguientes ejercicios:
3.1.1). Calcular las coordenadas X, Y, Z
para el punto sobre la superficie elipsoidal
que tiene coordenadas elipsoidales:
= 435`46.3215`` ,
= 7404`39.0285``
h= 2620 m
O
Figura 2-13. Coordenadas rectangulares X, Y, Z
geocntricas
Y
Z
X Y
X
Z
P(X,Y,Z)
h
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3.1.2). Calcular las coordenadas , , h para el punto sobre la superficie elipsoidal que
tiene coordenadas cartesianas geocntricas:
X = 1744890.24 m
Y = -6116370.86 m
Z = 507899.216 m.
3.1.3). Suponiendo la tierra un modelo
episdico con parmetros de GRS80, y un
satlite artificial con rbita polar. Calcular:
a) La altitud del satlite sobre el polo norte, para un observador ubicado en un punto
de latitud =37o N
b) La altitud del satlite sobre el polo norte, para un observador ubicado en un punto
de latitud =37o S
CAPITULO4.
Reduccin al elipsoide
Las mediciones clsicas estn referidas al
sistema astronmico local materializado
por el instrumento.
Se denomina reduccin al conjunto de
operaciones necesarias para referir las
mediciones a la superficie de referencia
escogida, generalmente un elipsoide de
revolucin.
Reduccin de distancias
Reduccin al plano del horizonte local
La distancia reducida al plano tangente al
horizonte local viene dada por la ecuacin
4-1.
= () (4.1)
En terminologa topogrfica esta distancia
se suele llamar simplemente distancia
reducida. En la figura 3-1 es evidente que la
distancia reducida al plano tangente al
horizonte local del punto de estacin no
tiene por qu coincidir con la distancia
reducida al horizonte del punto visado.
En los levantamientos topogrficos se
suelen considerar las verticales paralelas.
En ese supuesto, la distancia reducida entre
dos puntos es independiente de la altitud
considerada y basta con emplear la
expresin 4-1. En realidad las verticales
convergen y por tanto, la distancia reducida
entre dos puntos depende de la altitud
considerada. Para evitar ambigedades y
variaciones de escala, es necesario reducir
todas las distancias a una altitud comn.
Lo lgico es reducir al elipsoide, ya que es
la superficie de referencia. En determinadas
aplicaciones no geodsicas puede interesar,
Dr
Shl
Sg
Se
Horizonte
local
Geoide
Elipsoide
R
h
H
N
D
Figura 4-1. Reduccin de distancias mediante
pasos sucesivos
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por el contrario, reducir al horizonte medio
local.
Reduccin al horizonte local
El plano tangente al horizonte local es una
aproximacin del horizonte local. De la
figura 3-1, se deduce:
= ( + ) 3 2
Siendo:
() =
( + ) +
() = ()
( + ) + ()
3 3
y sustituyendo, tenemos:
= ( + )1 [
()
( + ) + ()]
3 4
Teniendo en cuenta que las visuales suelen
ser prcticamente horizontales, el suponer
que 0 conduce a errores relativos menores de 1 ppm. Si adems se considera
un radio terrestre constante para la zona de
trabajo, se llega a la expresin que suelen
aplicar las estaciones totales.
= 01 [
()
0+()] (3-5)
Shl: distancia reducida al horizonte local
R0=radio medio de gauss en km
D: distancia geomtrica medida
: ngulo cenital medido
Reduccin al geoide
Como las verticales convergen, la distancia
horizontal depende de la altitud
considerada.
Si se dispone nicamente de altitudes
ortomtricas, la altitud H = 0 corresponde
al geoide, por lo que solamente se podrn
reducir las distancias al nivel del mar.
Como puede apreciarse en la figura 4_1, la
distancia reducida al horizonte local y la
distancia reducida al geoide pertenecen a
figuras semejantes, por lo que se establece
la relacin
=
+ (3-6)
Esta ecuacin conduce fcilmente a:
=
+ (3-7)
Que pone de manifiesto que ambas
distancias estn relacionadas por el factor
de escala
+ (3-8)
En pequeos trabajos de mbito topogrfico
puede adoptarse un valor constante de 3-8
para toda la zona de actuacin,
considerando una altitud promedio.
Reduccin al elipsoide.
En la actualidad es factible el acceso a
modelos de ondulacin de geoide y
mediante la ecuacin 3-9, es posible
manejar tanto altitudes ortomtricas como
elipsodicas.
= + (3-9)
Conocida la altitud elipsoidal del punto de
estacin, la distancia reducida al elipsoide
se obtienea partir de la distancia reducida al
horizonte local mediante la ecuacin 3-10.
=
+ (3-10)
Tambin se puede obtener a partir de la
distancia reducida al geoide mediante la
ecuacin 3-11
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=
+ (3-11)
En este caso ambas distancias estn
relacionadas por el factor de escala, como
se muestra en la ecuacin 3-12.
+ (3-12)
En Colombia el valor promedio de la
ondulacin del geoide respecto al elipsoide
de Hayford es de unos - 20 m. En tal caso,
el hecho de no considerar la ondulacin del
geoide supone, unas 3 ppm.
Como el error relativo de un distancimetro
de infrarrojos (5mm + 3 ppm) es de unas 8
ppm para distancias 1000 m, en mediciones de mbito topogrfico se puede
trabajar indistintamente con distancias
reducidas al geoide o al elipsoide, es decir
Del Dge (3.13)
No ocurre igual si se utiliza, por ejemplo,
un distancimetro laser (3mm + 1 ppm)
para medir 10 km. En este caso, el error
relativo es de 1.3 ppm, unas tres veces
inferior a la correccin que establece el
factor de escala de la ecuacin 3.8.
Reduccin de ngulos horizontales.
Las correcciones que han de efectuarse a un
acimut observado son las siguientes:
1) Por desviacin de la vertical.
2) Por la altitud del punto de estacin.
3) Por la altitud del punto visado.
4) Por el paso de la seccin normal a la lnea geodsica.
Correccin por desviacin de la vertical
Los acimutes astronmicos observados
sobre la superficie terrestre estn referidos
a la vertical astronmica, que depende del
campo gravitatorio.
Para efectuar clculos sobre el elipsoide, el
acimut debe estar referido a la vertical
geodsica. La correccin debida al efecto
del campo gravitatorio sobre un acimut
observado viene dado por la ecuacin
completa de Laplace.
1 + 2 = (
) (3.14)
Siendo
=Desviacin de la vertical en la direccin del meridiano
=Desviacin de la vertical en la direccin del primer vertical
=Latitud geodsica del punto i.
=Acimut geodsico entre los puntos i y j
=ngulo cenital entre los puntos i y j
S
R
D
h2
Figura 4-2. Reduccin de la distancia
geomtrica a la cuerda del elipsoide
h1
C
R
P2
P1
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Si el ngulo cenital est prximo a 90 esta
reduccin es prcticamente despreciable,
pero en observaciones con mucha
pendiente, sta, es la responsable de que los
cierres en los grandes tringulos geodsicos
alcancen valores de hasta 10 y 15.
Por altura del punto de estacin
La reduccin anterior correge la desviacin
de la vertical en el geoide. La lnea de la
plomada es perpendicular a todas las
superficies equipotenciales que atraviesa.
Al no ser stas paralelas, la altitud del punto
de observacin sobre el geoide se traducir
en un diferencial de desviacin de la
vertical.
Esta correccin es mucho menor que la
anterior y se suele despreciar.
Figura 4.3: Reduccin por altura del punto visado.
Correccin por altura del punto visado
Suponiendo corregida la desviacin relativa
de la vertical, el plano formado normal que
contiene al punto visado no coincide con el
plano normal que contiene a la proyeccin
del punto visado. Esto es debido a que las
normales de P1 y P2 no se cortan, excepto
cuando estn en el mismo meridiano o en el
mismo paralelo.
Las secciones normales correspondientes al
punto visado y a la proyeccin del punto
visado formarn un ngulo que debe ser
corregido. sta correccin, proporcional a
la altura del punto visado y a la torsin
geodsica, viene dada por
3 =
2222
(3.15)
=1
2( + ) (3.16)
=1
2( + ) (3.17)
Paso de la seccin normal a la lnea
geodsica
Un acimut corregido por desviacin de la
vertical y por altura del punto visado est
referido a la seccin normal directa. Es
necesario efectuar una nueva correccin
para referirlo a la lnea geodsica.
Se demuestra que la lnea geodsica triseca
al ngulo formado por las secciones
normales recprocas. La correccin para
pasar del acimut de la seccin normal al
acimut de la lnea geodsica viene dada por:
4 =22
122
22
(3.18)
=1
2( + ) (3.19)
sta correccin comienza a suponer alguna
dcima a partir de 200 km.
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Figura 4.4: Paso de la seccin normal a la
lnea geodsica.
Obtencin de acimutes y ngulos
reducidos
Una vez determinadas las correcciones
anteriores, el acimut reducido se obtiene
empleando
() = () + 1 + 2 +
3 + 4 (3.20)
Como un ngulo es la diferencia de dos
acimutes, aplicando las reducciones a cada
uno de los acimutes que conforman el
ngulo se obtiene la expresin para reducir
un ngulo. La correccin C1 se anulara,
obtenindose la expresin.
correg = obs + C2 + C3 + C4 (3.21)
Reduccin de ngulos verticales
Como muestra la figura xx1, los ngulos
cenitales medidos en campo estn referidos
al eje principal del instrumento, que intenta
materializar la vertical verdadera definida
por el campo gravitatorio. En los clculos
geodsicos, por el contrario, se emplea la
normal al elipsoide. La relacin entre
ambas verticales depende de la desviacin
de la vertical en el punto considerado, de
forma que
= + (3.22)
Donde:
ij ngulo cenital corregido de desviacin
ij ngulo cenital de la cuerda
Correccin angular debida a la desviacin de la vertical
La correccin angular debida a la
desviacin de la vertical se obtiene
mediante la ecuacin 3.25.
= (3.23)
= ( ) (3.24)
= + (3.25)
Figura 4.5 ngulo cenital, ngulo de
refraccin y desviacin de la vertical.
EJERCICIOS 3_1:
Teniendo en cuenta los parmetros de la
elipse generadora del elipsoide GRS80,
a =6378137 m
f = 1/298,2572221008827
e2 = 0.00669438002290
e2 = 0.00673949677548
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b =6356.75231414 km
Resolver los siguientes ejercicios:
Entre dos puntos P1, P2, de altitudes
aproximadas h1=557 m, h2=945 m, se ha
medido la distancia geomtrica de 6545.53
m. Obtener la distancia reducida al
elipsoide para el clculo de coordenadas. ( = 0435'46,32150", latitud media de la zona y = 45).
Dados:
Calcular el azimut reducido al elipsoide
() = () + 1 + 2+ 3 + 4
i = 4o 10 25. 854 N
j = 4o 05 56. 288 N
i = 74o 15 25. 741 W
j = 74o 08 30. 375 W
= 20
= 20
= 122 5232. 654
= 85 39 54. 822 (Observado)
Sij =15254.22 m
hi= 2600 m
hj= 2635.65 m
Exceso Esfrico
La topografa opera sobre porciones
pequeas de terreno, no teniendo en cuenta
la verdadera forma de La Tierra, sino
considerando la superficie terrestre como
un plano [4].
El error cometido con esta hiptesis es
despreciable, cuando se trata de extensiones
que no sean excesivamente grandes, si se
considera un arco en la superficie terrestre
de 18 km de longitud es tan slo 1,5 cm
ms largo que la cuerda subtendida, y que
slo se comete un error de 1 de exceso [4].
Se llama exceso esfrico de un tringulo al
valor en que la suma de sus tres ngulos
excede de dos ngulos rectos [4].
Si en el tringulo APB, de la figura 4-10,
limitado por tres crculos mximos, el arco
AB coincide con el plano de la figura. Cada
vrtice del tringulo, produce sobre la
esfera un huso de superficie conocida. En
efecto conociderando como 1 al rea de la
esfera A el valor en grados del huso, se
puede escribir
O
P
Figura 5-1. Exceso Esfrico
P
H1
H3
H2 H4
A
B
3601
x
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=
360 (5-1)
Por otra parte, sumando las reas de los tres
husos de ngulos, A,P,B resulta contando
dos veces el tringulo, cuya superficie se
denomina Hi, es decir
360+
360+
360=
1
2+ 2 (5-2)
El sumando , corresponde a media esfera.
Por otra parte, escribiendo el rea del
tringulo como parte del rea de la esfera,
cuyo valor es
42 (5-3)
++
360=
1
2+ 2
42 (5-4)
Pasando el 360 a multiplicar, se tiene:
+ +
360=
1
2+ 2
42
( + + ) = (360) (1
2+
22)
Factorizando el 2, del denominador y
dividiendo 360 en 2, se tiene,
( + + ) = (180) (1 +
2) ,
realizando la multiplicacin,
( + + ) = 180 +180
2,
simplificando, 180 con , y transponiendo
trminos se tiene,
2= ( + + ) 180 = (5-5)
Teniendo, H= rea del tringulo=A, y
transformando el radio R a radianes se
tiene,
=
2 1 (5-6)
se toma =
Tomando el rea de un tringulo, como
=1
2() (5-7)
Ejercicio:
Se desea calcular el error de cierre de un
tringulo elipsidico ABC cuyos datos se
muestran en la tabla 5-1.
Teniendo tambin las coordenadas
geodsicas de los puntos A, B, C las cuales
se muestran en la tabla 5-2.
Tabla 5-2. Coordenadas geodsicas de los
vrtices A,B,C
Estacin Longitud Latitud
A 1 4714.84 W 41 3743.09 N
B 1 1945.88 W 41 3326.98 N
C 1 3048.00 W 41 4333.00 N
Valor medio 41 3814,35668
Tabla 5-1. Coordenadas geodsicas de
los vrtices A,B,C
Esta
cin
Ang
ulo
Lectu
ra a:
Valor del Angulo
o
A C 0 0 3.8
B 36 55 38.4
B A 0 0 2.8
C 38 53 39.2
C B 359 59 58.8
C 104 10 51.0
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La longitud del arco AB, reducido al
elipsoide es de AB=39001 m.
Tomando los datos de la tabla 4-1, se
deducen los valores de los ngulos , , ,
que se muestran en la tabla 5-3.
Error de cierre de un tringulo geodsico,
viene dado por la siguiente expresin:
= + + 180 (5-8)
Como la sumatoria de los ngulos del
tringulo ABC es 180 04, entonces la
ecuacin 4-8, queda:
= 4 (5-9)
Se debe entonces calcular el exceso esfrico
del tringulo.
Calculo del exceso esfrico.
Se toma la ecuacin 5-6 y reemplazando en
esta la ecuacin 5-7, queda:
=1
2()
2 1 (5-10)
Teniendo en cuenta esta ecuacin basta con
hallar los arcos b y c del tringulo para
hallar el valor del exceso esfrico, dado que
A= =36 55 34.6 y R, se toma como se
dijo anteriormente como = , para el
clculos de los radios de curvatura () y
normal (), se toma una latitud media, que
resulta de la media de los valores de la
latitud de los tres vrtices: latitud media=
41 38 14,35668, y los parmetros del
elipsoide GRS80.
En la tabla 5-4, se presentan los clculos de
los radios y del rea del tringulo.
Tabla 5-4, valores de los radios y del rea del tringulo
Arco c Arco b (m) (m) Ro (m)
39001,0 25223,89 6346823,2 6387622,27 6367190,08
Reemplazando estos valores en la ecuacin
5-10, se tiene:
=
1
2 (39001,0 25223,89) (36 55 34.6)
(6367190,08)2 1
= 1.5
y el error de cierre del tringulo es:
= 4 1.5 = 2.5
Tabla 5-3. Valores de los ngulos
definitivos, y suma total de los ngulos
del triangulo
Angulo Valor del ngulo
o
36 55 34.6
38 53 37.2
104 10 52.2
TOTAL 180 0 4,00
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CAPITULO 5.
CURVAS SOBRE EL ELIPSOIDE DE
REVOLUCIN
Plano Normal:
Se denominan plano normal de un punto a
aquel que contiene a la normal al elipsoide
en dicho punto.
De los infinitos planos normales de un
punto del elipsoide existen dos de especial
relevancia. Uno es el que contiene el
semieje menor del elipsoide, denominado
plano meridiano y el otro, perpendicular a
plano meridiano denominado primer
vertical.
Plano normal Meridiano:
El que contiene al eje menor del elipsoide
se denomina plano meridiano.
Plano normal perpendicular:
Es aquel plano que es perpendicular al
plano meridiano, se denomina tambin
primer vertical y contiene la gran normal.
Seccin Normal
Es aquella curva plana formada al
interceptar un plano normal cualquiera con
la superficie del elipsoide. En general se
denominan secciones normales las curvas
que resultan de la interseccin de los planos
normales con el elipsoide,
Cada seccin normal tendr un radio de
curvatura diferente. El radio de curvatura
mnimo y mximo lo producen las
secciones normales principales, que son las
definidas por el plano meridiano y por el
primer vertical respectivamente. A dichas
secciones se las denomina secciones
normales principales, ver figura5-1.
La seccin normal meridiana en un punto es
la interseccin de su plano meridiano con el
elipsoide y su radio de curvatura () es el mnimo de todas las posibles secciones
normales.
La seccin normal del primer vertical en un
punto es la interseccin de su primer
vertical con el elipsoide y su radio de
curvatura () es el mximo de todas las posibles secciones normales
Secciones Normales Mutuas
Tomando sobre la superficie del elipsoide
de revolucin los puntos i y j como se
muestra en la figura 5-2, con latitudes y respectivamente, con mayor que .
Plano primer vertical
Plano meridiano
Superficie
Elipse
Meridiano
Paralelo P
Normal al Elipsoide
Figura 5-1. Planos: meridiano y primer vertical
P
Qi
Qj
O
Figura 5-2. Secciones normales mutuas
E W
ij
i
j
ji
P
Qi
i
Qj
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Trazando las normales a la superficie del
elipsoide en los puntos i y j, estas normales
estn contenidas en los planos de las elipses
meridianas que pasan atreves de los puntos
i y j, y se interceptan con el eje menor PP
de la elipse, en los puntos Qi y Qj,
respectivamente. Las normales de los
puntos i y j se interceptan en distintos
puntos con el eje PP, como se muestra a
continuacin, de la figura 5-2 se tiene:
= () 5 1
=
(1 22)1/2 5
2
Y
=(1 2)
1 22, 5
3
= 0 ;
0 =(1 2)
1 22, 5
4
De la figura 5-2, se tiene:
= , 5 5
=
1 22, 5
6
De otra parte la distancia entre el origen del
elipsoide y el punto Qi, se puede expresar
como: = ,
=
1 22
(1 2)
1 22
= (1
2)
1 22
= +
2
1 22
= 2
1 22, 5 7
De manera anloga se tiene para la distancia
OQi, que:
= 2
1 22, 5 8
Por definicin se tiene >, por tanto:
OQj > OQi, es decir, la normal a la
superficie del elipsoide, trazada en el punto
i el cual posee menor latitud que el punto j,
corta el eje menor del elipsoide ms cerca
al centro del elipsoide que la normal al
punto j.
De esta forma las normales a la superficie
del elipsoide en los puntos i y j, son dos
rectas que se cruzan en el espacio, pero que
no se cortan (se cortaran nicamente si
pertenecen a la misma elipse meridiana o en
el mismo paralelo).
P
Qi
Qj
O
Figura 5-3. Seccin normal de i a j
E W
ij
i
j
ji
P
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Si se traza un plano a travs de los puntos i-
Qi y j, es evidente que este plano contiene
la lnea i Qi, este plano es normal en el
punto i, como se muestra en la figura 5-3.
El plano i-Qi-j, engendra la curva ij la cual
se llama seccin normal directa desde el
punto i al punto j. De manera similar si se
traza un plano a travs de los puntos j-Qj e
i, es evidente que este plano contiene la
lnea j Qj, este plano es normal en el punto
j, como se muestra en la figura 5-4. El plano
j-Qj-i, engendra la curva ji la cual se llama
seccin normal directa desde el punto j al
punto i.
Por lo tanto, entre los dos puntos i y j,
situados sobre la superficie del elipsoide
pasan dos secciones normales, as, las
curvas ij y ji se denominan secciones
normales reciprocas inversas.
De la misma forma si se tiene un punto
tercer punto k se puede realizar el mismo anlisis, se tiene entonces las secciones
normales ik, ki, jk y kj; como se observa en
la grafica 5-5, est representa un triangulo
esfrico sobre la superficie del elipsoide, se
puede deducir de esta la manera como se
observaran los ngulos esfricos en los
diferentes vrtices.
Los ngulos desde luego son medidos desde
un punto sobre las secciones normales que
se generan desde cada uno de los puntos al
dar visual a los otros dos puntos como se
observa en la figura 5-5. No es difcil observar que los ngulos horizontales
medidos en los tres puntos, no formen sobre
la superficie del elipsoide, un triangulo
cerrado[4], es decir el triangulo ser una figura abierta, y generar una
indeterminacin en la formacin de los
tringulos geodsicos sobre el elipsoide. Lo
anterior se soluciona si los puntos i, j y k se
unan con Lneas Geodsicas.
P
Qi
Qj
O
Figura 5-4. Seccin normal de j a i
E W
ij
i
j
ji
P
i
j
k
ij
ji
ik
ki
kj jk
Figura 5-5. Triangulo sobre la elipse,
formado por secciones normales
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LNEA GEODSICA.
PROBLEMAS GEODESICOS
PROBLEMA GEODSICO DIRECTO
Consiste en que conocidas las
coordenadas geodsicas (Elipsoidales)
de un punto 1(1, 1) , la distancia
geodsica entre el punto 1 y el punto 2,
tambin se debe conocer el azimut
geodsico la lnea geodsica desde el
punto 1. Se deben hallar las
coordenadas geodsicas de
2(2, 2) , y el azimut de la lnea
medido desde el punto 2
(contra_azimut).
Solucin: Existen mltiples algoritmos
para la solucin del problema
geodsico directo. Uno de las ms
eficientes es el Mtodo de Legendre
(mtodo de expansin en series).
2= 1
+ 1_2
0
. . . 1
2= 1
+ 1_2 1
0
. . . 2
2_1= 1_2
+ 1
0
1_2 . . . 3
Se realiza un expansin en serie
de las ecuaciones anteriores, se
toma 0 y 0 como la latitud del
punto inicial, en este caso el
punto 1, y el azimut geodsico
de la lnea medido desde el
punto 1.
X
Z
Y
Polo
E. T. 1
2
1
2
P
1
P
2 1_2 2_1 S
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2
= 1 + 1_2
1
2
2(3
22
12
212 (21)
21_2
+111
21_2)
+3
6(341
4
413
2(21)31_2
321
2
213 (21)
31_2
21_2 1_2
121 21
+52121
2 (21) 1 21_2 1_2
22111
2 1_2 21_2) . 4
T1=0
2 =00
31 =3
22
02
202
32 = (20)20
33 =000
20
3 =2
2((t31*t32)+t33)
t41=3e40
4
a4M03
42 = 2(20)30
43 =320
2
203
44 = (20)30
t45 =seno20 cos0M0
20 cos20
46 =52020
2
47 = (20) 0 20 0
48 = 22000
2
49 = 0 20
4 = (3
6) [(41 42) (43 44)
45 + (46 47)
(48 49)]
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Longitud geodsica
2
= 1 + (1_2)
1
+2
2(
21(1)
21+
(1)
112(1)
+1
12(1)
) (1_2)(1_2)
+3
6[(1_2)
2(1_2)
1(41
3(21)(1)
41
21(1)
21
221(21)(1)
2121
+221
11(1)+
1
11(1)
2(1)(21)
2(1)+
1
1231
+21
12 )
21(1)(21_2)1(1_2)
211
+21(1_2)(21_2)
121(1)
+21(1_2)(21_2)
13(1)
] ( 5)
1 = 1
2 = (1_2)
1
31 =2
2
t32 = 21(1)
21
33 =(1)
112(1)
34 =1
12(1)
35 = (1_2)(1_2)2
3 =2
2(31 + 32 + 33)
41 =340
4
403
42 = 2(20)30
43 =320
2
203
44 = (20)30
45 =20 00
20 20
46 =52020
2
47 = (20) 0 20 0
48 = 22000
2
49 = 0 20
4 =3
6[(41 42) (43 44)
45 + (46 47)
(48 49)]
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Azimut Geodsico
2_1
= 1_2 + (1)(1_2)
1
+2(1_2)(1_2)
2(
21(1)(21)
221
+1
1121+
2(1)
12 )
+3(21_2)(1)(1)
61(
21(1)(21)
221
+1
1121+
2(1)
12 )
+3(1_2)
2(1_2)
61(41
3(1)2(21)
241
21(21)
22121
221(1)(21)
221
221(21)
2121+
2(1)
1131
2(21)
2(1)
22+
1
1221
)
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PROBLEMA GEODESICO DIRECTO.
(DESARROLLO FORMULAS DE
PUISSANT)
Se supone conocido:
La posicin Geogrfica de un punto
La distancia Geodsica entre el punto
cuya posicin es conocida y el punto
al que se le van a trasladar
coordenadas geogrficas.
El azimut geodsico del arco que une
los dos puntos.
Superficie de referencia
Se debe hallar:
La posicin del punto 2
El azimut geodsico del arco entre el
punto 2 y el punto 1.
1. CALCULO DE LA LATITUD
Se utiliza aproximacin esfrica
Precisin hasta 100k una parte por
milln
Mayor a 100k cuatro partes por milln.
Mtodo iterativo:
Inicialmente se calcula un valor inicial
para el valor de la diferencia de
longitud entre el punto inicial
(Conocido) y el punto 2, el cual es
desconocido.
0 =00
0 0
2
20200
[0
3
6030(0)
2(1
+ 320)]
1 =00
0
2 =0
2
20200
3 =0
3
6030(0)
2
4 = (1 + 320)
0 = 1 2 (3 4)
= [(00
0 0
2
2000
20
0
3
60020
20(1
+ 320)) (1
3
2
200(1 220)
0)]
0 .
0= ,
| +1| 0.001
5 =00
0
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6 =0
2
2000
20
7 =0
3
60020
20
8 = (1 + 320)
9 =3
2
200(1 220)
0
= [(5 6 (7 8))(1 9)]
2 =1 + .
Problema Geodsico Inverso.
El problema inverso de la geodesia consiste
en determinar el acimut y la longitud de la
lnea geodsica entre dos puntos dados o de
los cuales se conoce las coordenadas
elipsoidales, as; Pi(i, i) y Pj(j, j). Al igual que en el problema directo, existen
mltiples mtodos para resolverlo.
Soluciones al problema geodsico
inverso.
1) Solucin basada en el
procedimiento de Molodensky.
Este mtodo implica la utilizacin
de la geodesia espacial o
tridimensional, es decir se introduce
la altura de los punto sobre le
elipsoide.
2
= (+)2 + (+)
2
2(+)2(+)
2(
+ ( ))
(2)2( )2
(2)( )2(
)
Donde:
: Distancia geodsica desde el punto i al
j.
Gran normal del punto 1.
Gran normal del punto 2.
Altura elipsoidal del punto 1.
Altura elipsoidal del punto 2.
Calculo del azimut de la lnea geodsica
desde el punto i al punto j.
X
Z
Y
Polo
E. T. 1
2
1
2
P
1
P
2 1_2 2_1
S
Figura 2. Esquema grfico del
problema geodsico inverso
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()
=2 ( () ()) ()
(+)()()
+( )
()()+ () (
2)
Calculo del azimut de la lnea geodsica
desde el punto j al punto i.
()
=2 ( () ()) ()
(+)()()
( )
()() (
2)
2) Solucin basada en el mtodo de
Bessel.
El mtodo de Bessel para la solucin del
problema inverso de la geodesia, el
mtodo est basado en trasladar el
problema del elipsoide a una solucin en
la esfera y una vez solucionado
proyectarlo nuevamente al elipsoide. La
esfera utilizada es la llamada esfera de
Jacobi 2 ., tambin llamado imagen
esfrica del elipsoide.
2 Esfera tangente al elipsoide en el ecuador.
El azimut de la lnea geodsica se
obtiene, de la siguiente ecuacin:
= 1 (
()()
())
= 1 (
()()
())
La lnea geodsica Si j, sobre el
elipsoide, se le hace corresponder otra
sobre la esfera de Jacobi, a estas se
les hace corresponder el azimut, lo que
permite deducir que la latitud del punto
sobre la esfera es la latitud reducida
sobre el elipsoide.
Z
Pi
Pj
_ _ Si j
Figura 3. Triangulo geodsico sobre el elipsoide
900 900
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= 1 (
)ecuacin xx
=
=
Dadas las condiciones la distancia
geodsica entre los puntos ij se calcula
as:
=
1 222() 2( + )
,
= 1 + 2 2( + )
Donde:
2 = 22()
= 1 (2
)
= 1(() )
Integrando este diferencial se tiene:
= [(1 + 22)1
2
+2
2(1 + 22)1
2
2
+2(2 + 2)
6(1 + 22)1
2
3
422
6(1 + 22)3
2
3
4(2 + 2)
8(1 + 22)3
2
4
2
12
2
(1 + 22)1
2
4
+1
8
633
(1 + 22)52
4]
Notas Bibliogrficas:
[2].Asenjo Villamayor, Luis Garca -
Hernndez Lpez, David. Universidad
Politcnica de Valencia. Geodesia - 2003 -
530 pginas
[3].Jos Ral Ramrez Pinillos. Geodesia
Geomtrica.
[4] Fernando Martin Asin, Geodesia y
Cartografa Matemtica. Madrid 1983.
Notas Bibliogrficas:
[1]. http://es.wikipedia.org .
[2]. Asenjo Villamayor, Luis Garca -
Hernndez Lpez, David. Universidad
Politcnica de Valencia. Geodesia - 2003 -
530 pginas
[3].Jos Ral Ramrez Pinillos. Geodesia
Geomtrica.
[4].P. S. Zakatov, Curso de Geodesia
uperior.
